TÍCH PHÂN hàm ẩn

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

MỤC LỤC
DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM
DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN
DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

BÀI TẬP
DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM
1
f x
 \ 1
f 0  2017 f  2   2018

Câu 1: Cho hàm số   xác định trên
thỏa mãn f   x  
,  
,
x 1
S  f  3   f   1
. Tính
.
A. S  1 .
B. S  ln 2 .
C. S  ln 4035 .
D. S  4 .
2
1 
Câu 2: Cho hàm số f  x  xác định trên  \   thỏa mãn f   x  
và f  0   1 . Giá trị của
2x 1
2
biểu thức f   1  f  3  bằng
A. 4  ln15 .
B. 3  ln15 .
C. 2  ln15 .
D. ln15 .
1
2
 
Câu 3: Cho hàm số f ( x) xác định trên  \   thỏa mãn f ( x ) 
, f (0)  1 và f (1)  2 . Giá
2x 1
2

trị của biểu thức f ( 1)  f (3) bằng
A. 4  ln 5 .
B. 2  ln15 .
C. 3  ln15 .
D. ln15.
Câu 4: Cho hàm số f  x  xác định trên  thỏa mãn f   x   2 x  1 và f 1  5 . Phương trình
f  x   5 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tổng S  log 2 x1  log 2 x2 .

A. S  1 .
Câu 5:

Câu 6:

Câu 7:

Câu 8:

Câu 9:

B. S  2 .

C. S  0 .

D. S  4 .

3
1 
 2
Cho hàm số f ( x) xác định trên  \   thỏa mãn f   x  
, f  0   1 và f    2 .

3x  1
3 
 3
Giá trị của biểu thức f   1  f  3  bằng
A. 3  5ln 2 .
B. 2  5ln 2 .
C. 4  5ln 2 .
D. 2  5ln 2 .
4
f  x
 \  2; 2
f 0 1
Cho hàm số
xác định trên
và thỏa mãn f   x   2
; f  3  0 ;  
x 4
f 3  2
P  f   4   f   1  f  4 
và
. Tính giá trị biểu thức
.
3
5
5
A. P  3  ln .
B. P  3  ln 3 .
C. P  2  ln .
D. P  2  ln .
25

3
3
1
Cho hàm số f  x  xác định trên  \  2;1 thỏa mãn f   x   2
; f  3   f  3   0
x  x2
1
và f  0   . Giá trị của biểu thức f   4   f   1  f  4  bằng
3
1 1
1 4
1 8
A.  ln 2 .
B. 1  ln 80 .
C. 1  ln 2  ln .
D. 1  ln .
3 3
3 5
3 5
1
Cho hàm số f  x  xác định trên  \  1;1 và thỏa mãn f   x   2
; f  3   f  3   0
x 1
 1
1
và f     f    2 . Tính giá trị của biểu thức P  f  0   f  4  .
 2
2
3
3

1 3
1 3
A. P  2  ln .
B. P  1  ln .
C. P  1  ln .
D. P  ln .
5
5
2 5
2 5
1
Cho hàm số f  x  xác định trên  \  1 thỏa mãn f   x   2
. Biết f  3   f  3   0
x 1
 1
1
và f     f    2 . Giá trị T  f  2   f  0   f  4  bằng:
 2
2
1 5
1 9
1 9
1 9
A. T  2  ln .
B. T  1  ln .
C. T  3  ln .
D. T  ln .
2 9
2 5
2 5

2 5

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

Câu 10: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên  0;   thỏa mãn f  2  

1
15

và f   x    2 x  4  f 2  x   0 . Tính f 1  f  2   f  3  .
7
11
11
7
.
B.
.
C.
.
D.
.
15
15

30
30
Câu 11: Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên  . Biết f 6  x  . f   x   12 x  13 và f  0   2 .

A.

Khi đó phương trình f  x   3 có bao nhiêu nghiệm?
A. 2 .
B. 3 .
C. 7 .

D. 1.

Câu 12: Cho hàm số f  x  xác định trên  thỏa mãn f   x   e x  e x  2 , f  0   5 và
 1
f  ln   0 . Giá trị của biểu thức S  f   ln16   f  ln 4  bằng
 4
31
9
5
A. S  .
B. S  .
C. S  .
D. f  0  . f  2   1 .
2
2
2
 
Câu 13: Cho hàm số f  x  liên tục, không âm trên đoạn  0;  , thỏa mãn f  0   3 và
 2

 
f  x  . f   x   cos x. 1  f 2  x  , x   0;  . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M
 2
  
của hàm số f  x  trên đoạn  ;  .
6 2
21
5
A. m 
, M  2 2 . B. m  , M  3 .
2
2
5
C. m 
, M  3 . D. m  3 , M  2 2 .
2
Câu 14: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  x   0 , x   . Biết f  0   1

f ' x
 2  2 x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x   m có hai
f  x
nghiệm thực phân biệt.
A. m  e .
B. 0  m  1 .
C. 0  m  e .
D. 1  m  e .
Câu 15: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  x   0 với mọi x   . f   x    2 x  1 f 2  x  và

và

f 1  0, 5 . Biết rằng tổng f 1  f  2   f  3  ...  f  2017  

a
a
;  a   , b    với
b
b

tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a  b  1 .

B. a    2017; 2017  . C.

Câu 16: Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f
f 1  f  2   ...  f  2017   f  2018  

đề nào sau đây đúng?
a
A.  1 .
b
C. a  b  1010 .

'

a
 1 .
b

 x    2 x  3. f 2  x 

D. b  a  4035 .
và f  0  

1
. Biết tổng
2

a
a
với a  , b  * và
là phân số tối giản. Mệnh
b
b

a
1.
b
D. b  a  3029 .

B.

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

 f   x  . f  x   2  f   x   2  xf 3  x   0


Câu 17: Cho hàm số y  f  x  , x  0 , thỏa mãn 
. Tính
 f   0   0; f  0   1
f 1 .

A.

2
.
3

B.

3
.
2

C.

6
.
7

D.

Câu 18: Giả sử hàm số f ( x) liên tục, dương trên  ; thỏa mãn f  0   1 và



7
.
6

f  x
x
 2
. Khi đó
f  x x 1



hiệu T  f 2 2  2 f 1 thuộc khoảng
A.  2;3  .

4

Câu 19: Khi đó


0

 0;   ;

B.  7;9  .

C.  0;1 .

1
f  tan t 
dt   f  x  dx . Vậy
cos 2t
0

D.  9;12  .

1

 f  x  dx  6 .Cho hàm số

y  f  x  đồng biến trên

0

y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f  3  

2
và
3

2

 f '  x     x  1 . f  x  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 2613  f 2  8   2614 .
B. 2614  f 2  8   2615 .

C. 2618  f 2  8   2619 .

D. 2616  f 2  8   2617 .

Câu 20: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f 1  1 ,
f  x   f   x  3 x  1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 4  f  5   5 .

B. 2  f  5   3 .

C. 3  f  5   4 .

D. 1  f  5   2 .
2

x  

 f   x    f  x  . f   x   15 x 4  12 x ,
f  0   f   0   1 . Giá trị của f 2 1 bằng

Câu 21: Cho hàm số

A.

f  x

9
.
2

thỏa mãn

B.

5
.
2

C. 10 .

Câu 22: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn

f





x 1
x 1

và

D. 8 .

 dx  2 

x 1  3
x5

  C . Nguyên

hàm của hàm số f  2 x  trên tập  là:


A.

x3
C .
2  x2  4

B.

x3
C .
x2  4

C.

2x  3
C .
4  x 2  1

D.

2x  3
C.
8  x 2  1

DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN
5

Câu 23: Cho

2



f  x  dx  10 . Kết quả   2  4 f  x   dx bằng:

2

5

A. 34 .

B. 36 .

C. 40 .

D. 32 .
9

Câu 24: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và F  x  là nguyên hàm của f  x  , biết

 f  x  dx  9 và
0

F  0   3 . Tính F  9  .

A. F  9   6 .

B. F  9   6 .

C. F  9   12 .

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. F  9   12 .

Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
2

Tích Phân và Ứng Dụng

2

Câu 25: Cho I   f  x  dx  3 . Khi đó J    4 f  x   3 dx bằng:
0

0

A. 2 .

B. 6 .

4

D. 4 .

C. 8 .

4

4

I   3 f  x   5 g  x   dx
 f  x  dx  10 2 g  x  dx  5
2
Câu 26: Cho 2
và
. Tính
A. I  5 .
B. I  15 .
C. I  5 .
9

0

 f  x  dx  37

 g  x  dx  16

Câu 27: Giả sử
A. I  26 .

và
B. I  58 .

0

9

2



5

f  x  dx  3

Câu 28: Nếu 1
A. 2 .

,



I    2 f  x   3g ( x)  dx

0
. Khi đó,
C. I  143 .

thì

2

 f  x  dx

bằng
C. 3 .

1

B. 2 .
3

 f  x  dx  1

bằng:
D. I  122 .

5

f  x  dx  1

2

Câu 29: Cho 1
A. 1.

D. I  10 .

9

 f  x  dx  2

và

D. 4 .

3

2

B. 3 .

 f  x  dx
. Giá trị của 1
bằng
C. 1 .

D. 3 .
6

10

Câu 30: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;10  và



 f  x  dx  3 .

f  x  dx  7 và

2

Tính

2

0
10

P   f  x  dx   f  x  dx .
0

6

B. P  4 .

A. P  7 .

C. P  4 .

1

Câu 31: Cho

D. P  10 .

2

 f  x  dx  2
0

 f  x  dx 

2

,

 f  x  dx  4 , khi đó

0

?

1

B. 2 .

A. 6 .

C. 1.

D. 3 .
3

1

Câu 32: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có

 f  x  dx  2 ;  f  x  dx  6 . Tính I   f  x  dx .
1

0

B. I  12 .

A. I  8 .
2

Câu 33: Cho



và

1

A. I 

11
.
2

1

1

C. I 

 f  x  dx  2  f  x  dx  3  g  x  dx  7
;

;

1

17
.
2

bằng
5
D. I  .
2

1

. Mệnh đề nào sau đây sai?

4

 f  x  dx  1 .

B.   f  x   g  x   dx  10 .

4
8

C.

. Tính

I    x  2 f  x   3 g  x   dx

4

8

A.

7
.
2

4

1

0

D. I  4 .

2

 g  x  dx  1
B. I 

8

Câu 34: Biết

C. I  36 .

2

f  x  dx  2

3

1
4

 f  x  dx  5 .

D.

4

 4 f  x   2 g  x  dx  2 .
1

Câu 35: Cho hàm số

f  x

có

f  x

liên tục trên đoạn

 1;3 , f  1  3 và

3

 f ( x) dx  10 giá trị

1

f  3

của
bằng
A. 13 .

B. 7 .

C. 13 .

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. 7 .
Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
2

2

 f  x  dx  3

  f  x   1 dx

Câu 36: Cho
A. 4 .

0

. Tính

0

Tích Phân và Ứng Dụng

?

B. 5 .

D. 1.

C. 7 .

2

0 g  x  . f   x  dx  2

Câu 37: Cho y  f  x  , y  g  x  là các hàm số có đạo hàm liên tục trên  0; 2  và
2

2



 g  x  . f  x  dx  3 . Tính tích phân I    f  x  .g  x  dx .

,

0

0

A. I  1 .
Câu 38: Cho hai tích phân

B. I  6 .
2

 f  x  dx  8

 g  x  dx  3

2

D. I  1 .

C. I  5 .

5

và

5

5

. Tính I 

  f  x   4 g  x   1 dx .

2

A. I  11 .

B. I  13 .

C. I  27 .

D. I  3 .

1

Câu 39: Cho hàm số f  x   x 4  4 x 3  2 x 2  x  1 , x   . Tính  f 2  x  . f   x  dx .
0

A.

2
.
3

2
C.  .

3

B. 2 .

D. 2 .
4

6

Câu 40: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn

 f  x  dx  6 . Tính

f  x  dx  10 và



2

0
2

6

giá trị của biểu thức P   f  x  dx   f  x  dx .
0

A. P  4 .`

4

B. P  16 .

C. P  8 .

D. P  10 .

1

1

Câu 41: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn [0; 1] và có  3  2 f  x   dx  5 . Tính
0

A. 1 .

B. 2.

 f  x  dx .
0

D. 2 .

C. 1.
1

Câu 42: Cho hai hàm số f  x  và g  x  liên tục trên đoạn [0; 1], có

1

 f  x  dx  4 và  g  x  dx  2
0

0

. Tính tích phân I    f  x   3 g  x   dx .
A. 10 .

B. 10 .

D. 2 .

C. 2.
1

Câu 43: Cho hàm số f  x   ln x  x 2  1 . Tính tích phân I   f '  x  dx .
0



A. I  ln 2 .



B. I  ln 1  2 .

C. I  ln 2

D. I  2ln 2

Câu 44: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; ln3] và thỏa mãn f 1  e 2 ,
ln 3

 f '  x  dx  9  e

2

. Tính I  f  ln 3  .

1

A. I  9  2e 2 .
B. I  9 .
C. I  9 .
D. I  2e 2  9 .
Câu 45: Cho hai hàm số y  f  x  và y  g  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn
1



1

f '  x  .g  x  dx  1 ,

0

A. I  2 .



1

/

f  x  .g '  x  dx  1 . Tính I    f  x  .g  x  dx .

0

0

B. I  0 .

C. I  3 .

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. I  2 .

Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

x2

Câu 46: Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;   và thỏa

 f  t  dt  x.cos  x . Tính f  4  .

0

2
B. f  4   .
3

A. f  4   123 .

C. f  4  

3
.
4

D. f  4  

1
.
4

f  x

Câu 47: Cho hàm số f  x  thỏa mãn



t 2 .dt  x.cos  x . Tính f  4  .

0

A. f  4   2 3 .

C. f  4  

B. f  4    1 .

1
.
2

D. f  4   3 12 .

x

 
Câu 48: Cho hàm số G  x    t.cos  x  t  .dt . Tính G '   .
2
0
 
 
 
A. G '    1 .
B. G '    1 .
C. G '    0 .
2
2
2

 
D. G '    2 .

2

x2

Câu 49: Cho hàm số G  x    cos t .dt ( x  0 ). Tính G '  x  .
0

2

A. G '  x   x .cos x .

B. G '  x   2 x.cos x . C. G '  x   cos x .

D. G '  x   cos x  1 .

x

Câu 50: Cho hàm số G  x    1  t 2 dt . Tính G '  x  .
1

x

A.

1 x

2

B. 1  x 2 .

.

1

C.

1 x

2

D.  x 2  1 x 2  1 .

.

x

Câu 51: Cho hàm số F  x  

2

 sin t .dt

( x  0 ). Tính F '  x  .

1

A. sin x .

B.

sin x
.
2 x

C.

2sin x
.
x

D. sin x .

x

Câu 52: Tính đạo hàm của f  x  , biết f  x  thỏa  t.e f  t  dt  e f  x  .
0

Câu 53: Cho hàm số

C. f '  x  

B. f '  x   x 2  1 .

A. f '  x   x .
y  f  x

0;   
liên tục trên 

1

.
x

D. f '  x  

x2

và

 f  t  dt  x.sin  x  . Tính

1
.
1 x

f 4

0

 
A. f   
.
4
Câu 54: Cho hàm số

f  x


B. f    .
2

liên tục trên khoảng

C. f   

 2; 3  . Gọi F  x 


.
4

D. f   

là một nguyên hàm của

1
.
2
f  x

trên

2

 2; 3  . Tính

khoảng
A. I  6 .

Câu 56: Cho

, biết

 f  x  dx  2
11
.
2

và

F   1  1

và

F 2  4

.
D. I  9 .

C. I  3 .

2

1

A. I 

1

B. I  10 .

2

Câu 55: Cho

I    f  x   2 x  dx

2

 g  x  dx  1

1

B. I 

7
.
2

. Tính

I    x  2 f  x   3 g  x   dx
1

C. I 

17
.
2

D. I 

2

2

2

 3 f  x   2 g  x  dx  1

 2 f  x   g  x   dx  3

 f  x  dx

1

,

1

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
. Khi đó,

1

5
.
2

bằng

Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

11
5
6
16
.
B.  .
C. .
D.
.
7
7
7
7
Câu 57: Cho f  x  , g  x  là hai hàm số liên tục trên đoạn  1;1 và f  x  là hàm số chẵn, g  x  là

A.

1

hàm số lẻ. Biết



1

f  x  dx  5 ;  g  x  dx  7 . Mệnh đề nào sau đây là sai?

0

0

1

A.

1

 f  x  dx  10 .

C.

  f  x   g  x  dx  10 .

B.

1
1

1

1

  f  x   g  x  dx  10 .

D.

1

 g  x  dx  14 .

1

Câu 58: Cho f  x  , g  x  là hai hàm số liên tục trên đoạn  1;1 và f  x  là hàm số chẵn, g  x  là
1

hàm số lẻ. Biết

1

 f  x  dx  5 ;  g  x  dx  7 . Mệnh đề nào sau đây là sai?
0

0

1

A.

1

 f  x  dx  10 .

B.

1
1

C.

  f  x   g  x  dx  10 .

1

1

  f  x   g  x  dx  10 .

D.

1

 g  x  dx  14 .

1

10

8

10

 f  z  dz  17

 f  t  dt  12

 3 f  x  dx

Câu 59: Nếu
A. 15 .
0

và

0

thì

bằng
C. 15 .

8

B. 29 .

2

7

 f  x  dx  2  f  t  dt  9

Câu 60: Cho
A. 11 .

,

1

D. 5 .

7

1

. Giá trị của

 f  z  dz
2

B. 5 .

là

C. 7 .

D. 9 .
3

Câu 61: Cho hàm số y  f  x  liên tục, luôn dương trên  0;3 và thỏa mãn I   f  x  dx  4 . Khi đó
0
3



1 ln  f  x  

giá trị của tích phân K   e



 4 dx là:

0

A. 4  12e .
B. 12  4e .
C. 3e  14 .
Câu 62: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  thỏa

D. 14  3e .

 f  0   f   0   1;
.

 f  x  y   f  x   f  y   3xy  x  y   1, x,y  
1

Tính

 f  x  1dx .
0

A.

1
.
2

1
B.  .
4

C.

1
.
4

D.

7
.
4

1

Câu 63: Cho hàm số f  x  là hàm bậc nhất thỏa mãn

  x  1 f   x  dx  10

và 2 f 1  f  0   2 .

0
1

Tính I   f  x  dx .
0

A. I  1 .

B. I  8 .

C. I  12 .

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. I  8 .

Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 64: Cho hàm số

f  x

xác định trên

 \ 0

, thỏa mãn f   x  

Tích Phân và Ứng Dụng
1

f 1 a
f 2  b
,  
và  
5
x x
3

f 1  f  2 
. Tính  
.
A. f   1  f  2    a  b .

B. f  1  f  2   a  b .

C. f  1  f  2   a  b .

D. f  1  f  2   b  a .

Câu 65: Cho hàm số

f  x

xác định trên

 \ 0

và thỏa mãn f   x  

1

f 1  a f  2   b
,  
,
4
x x
2

f 1  f  2 
. Giá trị của biểu thức  
bằng
A. b  a .
B. a  b .
C. a  b .
D. a  b .

Câu 66: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện f  x   0

1
. Tính giá trị của f  ln 2  .
2
2
1
C. f  ln 2   .
D. f  ln 2   .
3
3
định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các

, x   ; f   x    e x . f 2  x  , x   và f  0  
2

2
.
B. f  ln 2    .
9
9
Câu 67: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  , xác

A. f  ln 2  

2

điều kiện f  x   0 x   , f   x    x. f  x   , x   và f  0   2 . Phương trình tiếp
tuyến tại điểm có hoành độ x  1 của đồ thị  C  là.
A. y  6 x  30 .
B. y  6 x  30 .
C. y  36 x  30 .
Câu 68: Cho hàm số y  f  x   0 xác định, có đạo hàm trên đoạn
x

D. y  36 x  42 .
 0;1 và thỏa mãn:

1

g  x   1  2018 f  t  dt , g  x   f 2  x  . Tính
0



g  x dx .

0

1011
A.
.
2

1009
B.
.
2

2019
.
D. 505 .
2
y  f  x
1;1
f x  0, x  
Câu 69: Cho hàm số
có đạo hàm và liên tục trên đoạn 
, thỏa mãn  
f ' x  2 f  x  0
f 1 1
f 1
và  
. Biết   , tính   .
A. f  1  e 2 .
B. f   1  e 3 .

C. f   1  e 4 .
D. f   1  3 .

C.

Câu 70: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn f   0   9 và
2

9 f   x    f   x   x   9 . Tính T  f 1  f  0  .

1
 9 ln 2 .
D. T  2  9ln 2 .
2
y  f  x
f ' x . f x  x4  x2
f 0 2
f 2 2
Câu 71: Cho hàm số
thỏa mãn    
. Biết  
. Tính
.
313
332
324
323
A. f 2  2  
.
B. f 2  2  

.
C. f 2  2  
.
D. f 2  2  
.
15
15
15
15
Câu 72: Cho f ( x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên 1; 4  thỏa mãn

A. T  2  9ln 2 .

B. T  9 .

2

x  2 xf  x    f   x   , x  1; 4 , f 1 

A.

391
18

B.

361
18

C. T 

3
. Giá trị f  4  bằng:
2
381
C.
18

y  f  x
f  x
Câu 73: Cho hàm số
có
liên tục trên nửa khoảng
2 x
3 f  x   f   x   1  3.e
. Khi đó:

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
371
18
0;  

D.

thỏa mãn

Trang 9

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. e3 f 1  f  0  
3

C. e f 1  f  0 

1



2

e 3

e


2

1
.
2

 3 e 2  3  8
3

Tích Phân và Ứng Dụng

B. e3 f 1  f  0  

1



2

2 e 3

1
.
4

D. e3 f 1  f  0    e 2  3  e 2  3  8 .

.

Câu 74: Cho hàm số f liên tục, f  x   1 , f  0   0 và thỏa f   x  x 2  1  2 x f  x   1 . Tính
f

 3 .

A. 0 .

B. 3 .

C. 7 .

D. 9 .

1

Câu 75: Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f   x    2 x  3  f 2  x  và f  0    . Biết rằng
2
a
a
tổng f 1  f  2   f  3  ...  f  2017   f  2018   với  a  , b  *  và
là phân số
b
b
tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng?
a
a
A.  1 .
B.  1 .
C. a  b  1010 .
D. b  a  3029 .
b
b
ax  b
Câu 76: Biết luôn có hai số a và b để F  x  
 4a  b  0  là nguyên hàm của hàm số f  x 
x4
và thỏa mãn: 2 f 2  x    F  x   1 f   x  .

Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?
A. a  1 , b  4 .
B. a  1 , b  1 .
C. a  1 , b   \ 4 . D. a   , b   .
y  f  x
1; 2
f 1  4

Câu 77: Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên   thỏa mãn
và
3
2
f  x   xf   x   2 x  3 x
f 2
. Tính  
A. 5 .
B. 20 .
C. 10 .
D. 15 .
x
  
Câu 78: Cho f  x  
trên   ;  và F  x  là một nguyên hàm của xf   x  thỏa mãn
2
cos x
 2 2
  
F  0   0 . Biết a    ;  thỏa mãn tan a  3 . Tính F  a   10 a 2  3a .
 2 2
1
1
1
A.  ln10 .
B.  ln10 .
C. ln10 .
D. ln10 .
2

4
2
Câu 79: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
f  x   0 , x   , f   x    e x . f 2  x  x   và f  0  

1
. Phương trình tiếp tuyến của
2

đồ thị tại điểm có hoành độ x0  ln 2 là
A. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 .
B. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 .
C. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 .
D. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 .
Câu 80: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 , f  x  và f   x  đều nhận giá trị
1

1

2
dương trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f  0   2 ,   f   x  .  f  x    1 dx  2 


0
0
1

f   x  . f  x  dx

3

. Tính   f  x   dx .
0

A.

15
.
4

B.

15
.
2

C.

17
.
2

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D.

19
.
2

Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

Câu 81: Cho f ( x) không âm thỏa mãn điều kiện f ( x). f '( x )  2 x f 2 ( x)  1 và f (0)  0 . Tổng giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  f ( x ) trên 1;3 là
A. 22
B. 4 11  3
C. 20  2
D. 3 11  3
Câu 82: Cho hàm số f  x  có đạo hàm và đồng biến trên  thỏa mãn f  0   1 và
1

2

 f   x    e x f  x  , x   . Tính tích phân

 f  x  dx bằng
0

B. e  1 .
C. e 2  2 .
D. e2  1 .
y  f  x
 \ 0
Câu 83: Cho hàm số
xác định và liên tục trên

thỏa
2
2 2
x f  x    2 x  1 f  x   xf   x   1
x   \ 0
f 1  2
với
và  
. Tính  f  x  dx .
A. e  2 .

mãn

1

1
A.   ln 2 .
2
Câu 84: Cho hàm số

3
ln 2
B.   ln 2 .
C. 1 
.
2
2
y  f  x  . Có đạo hàm liên tục trên

3 ln 2

D.  
.
2 2
 . Biết f 1  e

và

 x  2  f  x   xf   x   x 3 , x   . Tính f  2  .
A. 4e 2  4e  4 .
B. 4e2  2e  1 .
C. 2e3  2e  2 .
D. 4e 2  4e  4 .
Câu 85: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f  0   0 . Biết
1



f 2  x  dx 

0

9
và
2

1



1

x
3
dx 
. Tích phân  f  x  dx bằng
2
4
0
4
6
2
B. .
C. .
D. .




f   x  cos

0

1
A. .


1

Câu 86: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  0; 1 , thỏa mãn


0

1

  f  x 

2

1

1

f  x  dx   xf  x  dx  1 và
0

3

dx  4 . Giá trị của tích phân   f  x   dx bằng

0

0

A. 1.
B. 8 .
C. 10 .
D. 80 .
Câu 87: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f  x   0 khi x  1, 2  .
2

Biết



 
 f  x  dx  ln 2 . Tính f  2  .
2

f '  x  dx  10 và

1

f' x

1

A. f  2   10 .

B. f  2   20 .

C. f  2   10 .

D. f  2   20 .

Câu 88: Cho hàm số f  x  có đạo hàm và liên tục trên đoạn  4;8 và f  0   0 với  x   4;8 . Biết
2

 f   x  
1

1
rằng  
dx  1 và f  4   , f  8   . Tính f  6  .
4
4
2
4 
 f  x  
8

5
2
3
1
.
B. .
C. .
D. .
8
3
8
3
Câu 89: Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn các điều

A.

2

kiện f   0    1 và  f   x    f   x  . Đặt T  f 1  f  0  , hãy chọn khẳng định đúng?
A. 2  T  1 .

B. 1  T  0 .
C. 0  T  1 .
D. 1  T  2 .

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

 f  x   0,  x ,

Câu 90: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp 2 liên tục trên  thoả  f  0   f   0   1,
.
 2
2
 xy  y   yy,  x  .
Mệnh đề nào sau đây đúng?
1
1
3
3
A.  ln f 1  1 .
B. 0  ln f 1  .
C.  ln f 1  2 .
D. 1  ln f 1  .
2

2
2
2
3

Câu 91: Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện

  f  x   3g  x  dx  10

đồng

1
3

thời

3

 2 f  x   g  x  dx  6 . Tính   f  x   g  x  dx .
1

A. 9 .

1

B. 6 .

C. 7 .

D. 8 .

d

Câu 92: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  , nếu

d

 f  x  dx  5 và  f  x  dx  2 (với a  d  b
a

b

b

) thì

 f  x  dx bằng.
a

5
.
2
Câu 93: Cho f  x  và g  x  là hai hàm số liên tục trên đoạn 1;3 , thỏa mãn:

A. 3 .

B. 7 .

C.

D. 10 .

3

3

  f  x   3g  x  dx  10 và

 2 f  x   g  x  dx  6 . Tính I    f  x   g  x   dx

3

1

1

1

A. I  8 .
B. I  9 .
C. I  6 .
D. I  7 .
Câu 94: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên đoạn  0;5 và đồ thị hàm số y  f   x 
trên đoạn  0;5 được cho như hình bên.
y
1

x

3 5

O

5
Tìm mệnh đề đúng
A. f  0   f  5   f  3  . B. f  3   f  0   f  5  .
C. f  3   f  0   f  5  . D. f  3   f  5   f  0  .
Câu 95: Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm tại mọi x   0;   đồng thời thỏa mãn điều kiện:
3
2

f  x   x  sin x  f '  x    cos x và

 f  x  sin xdx  4.

Khi đó, f   nằm trong khoảng


2

nào?
A.  6; 7  .

B.  5; 6  .

C. 12;13  .

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. 11;12  .

Trang 12


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 96: Cho

hàm


2

f  x

số

xác

Tích Phân và Ứng Dụng

định

 
2

2 f  x  sin  x    d x 
. Tích phân
4 
2



  f  x   2
2

0

 
 0; 2 



trên

thỏa

mãn


2

 f  xd x

bằng

0



.

B. 0 .
C. 1.
D. .
4
2
2
Câu 97: Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn 3 f  x   f  2  x   2  x  1 e x  2 x 1  4 . Tính
A.

2

tích phân I   f  x  dx ta được kết quả:
0

A. I  e  4 .

C. I  2 .

B. I  8 .

2

D. I  e  2 .

2

Câu 98: Suy ra 4 f  x  dx  8   f  x  dx  2 . Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 0;  1 thỏa
0

0

mãn điều kiện f 1  2 ln 2 và x  x  1 . f   x   f  x   x 2  x . Giá trị f  2   a  b ln 3 , với
a, b   . Tính a 2  b 2 .
25
9
A.
.
B. .
4
2

C.

5
.
2

Câu 99: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  và f   x   x 4 

D.

13
.
4

2
 2 x x  0 và f 1   1 .
x2

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên  0;1 .
B. Phương trình f  x   0 có đúng 3 nghiệm trên  0;   .
C. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên 1; 2  .
C. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên  2;5  .
Hươngd dẫn giải
Chọn C
2

3
x6  2 x3  2  x  1  1
2
f  x  x  2  2x 

 0 , x  0 .
x
x2
x2
 y  f  x  đồng biến trên  0;   .

4

 f  x   0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng  0;   1 .

Mặt khác ta có:
2
2
2
2
21



4
f   x   x  2  2 x  0 , x  0   f   x  dx    x 4  2  2 x  dx 
x
x
5

1
1
21
17
 f  2   f 1 
 f 2  .
5
5
Kết hợp giả thiết ta có y  f  x  liên tục trên 1; 2  và f  2  . f 1  0  2  .
Từ 1 và  2  suy ra phương trình f  x   0 có đúng 1 nghiệm trên khoảng 1; 2  .
Câu 100: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  và thỏa mãn f   x    1;1 với
2

 x   0; 2  . Biết f  0   f  2   1 . Đặt I   f  x  dx , phát biểu nào dưới đây đúng?
0

A. I    ;0  .

B. I   0;1 .

C. I  1;   .

ĐT: 0978064165 - Email:

Facebook: />
D. I   0;1 .

Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng
1

Câu 101: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0; 1 thỏa mãn

 xf  x  dx  0 và
0

max f  x   1. Tích
[0; 1]

1

phân I   e x f  x  dx thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
0

5

3

 5 3
A.  ;   .

B.  ; e  1  .
C.   ;  .
D.  e  1;    .
4

2

 4 2
Câu 102: Cho hàm số f  x  có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f  0   1 và
1

1

1

2
3
1

3  f   x   f  x     dx  2  f   x  f  x  dx . Tính tích phân   f  x   dx :
9
0 
0
0
3
5
5
7
A. .
B. .

C. .
D. .
2
4
6
6
Câu 103: Cho hai hàm số f  x  và g  x  có đạo hàm trên đoạn 1; 4  và thỏa mãn hệ thức

 f 1  g 1  4

 g  x    x. f   x  ;
A. 8ln 2 .

4

. Tính I    f  x   g  x   dx .
f  x    x.g   x 
1
B. 3ln 2 .

C. 6ln 2 .

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. 4ln 2 .

Trang 14


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM
1
f x
 \ 1
f 0  2017
Câu 1: Cho hàm số   xác định trên
thỏa mãn f   x  
,  
,
x 1
f  2   2018
S  f  3   f   1
. Tính
.
A. S  1 .
B. S  ln 2 .
C. S  ln 4035 .
D. S  4 .
Hươngd dẫn giải
Chọn A
1
Cách 1: Ta có  f  x  dx  
dx  ln  x  1   C .
x 1
 f  x   ln  x  1   2017 khi x  1
Theo giả thiết f  0   2017 , f  2   2018 nên 

.
 f  x   ln  x  1   2018 khi x  1
Do đó S  f  3   f   1  ln 2  2018  ln 2  2017  1 .
Cách 2:
0
0

dx
1
f
(0)

f
(

1)

f
'(
x
)
dx

 ln x  1 |01  ln
(1)



x


1
2

1
1
Ta có: 
3
3
 f (3)  f (2)  f '( x)dx  dx  ln x  1 |3  ln 2 (2)
2
2
2 x  1


Lấy (1)+(2), ta được f (3)  f (2)  f (0)  f ( 1)  0  S  1 .
2
1 
Câu 2: Cho hàm số f  x  xác định trên  \   thỏa mãn f   x  
và f  0   1 . Giá trị của
2x 1
2
biểu thức f   1  f  3  bằng
A. 4  ln15 .
B. 3  ln15 .
C. 2  ln15 .
D. ln15 .
Hươngd dẫn giải
Chọn C
1
2. d  2 x  1

2
Ta có f  x    f   x  dx  
dx   2
 ln 2 x  1  c .
2x 1
2x 1
f  0   1  c  1  f  x   ln 2 x  1  1 .
 f  1  ln 3  1
 f  1  f  3   2  ln15 .

 f  3  ln 5  1
2
1 
Câu 3: Cho hàm số f ( x) xác định trên  \   thỏa mãn f ( x ) 
, f (0)  1 và f (1)  2 .
2x 1
2
Giá trị của biểu thức f ( 1)  f (3) bằng
A. 4  ln 5 .
B. 2  ln15 .
C. 3  ln15 .
D. ln15.
Hươngd dẫn giải
Chọn C
2
1

Cách 1: • Trên khoảng  ;   : f ( x )  
dx  ln(2 x  1)  C1.
2x 1

2

Lại có f (1)  2  C1  2.
1
2

• Trên khoảng  ;  : f ( x )  
dx  ln(1  2 x)  C2 .
2
2x 1


ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

Lại có f (0)  1  C2  1.

1

ln(2 x  1)  2 khi x  2
Vậy f ( x )  
.
1
ln(1  2 x)  1 khi x 


2
Suy ra f ( 1)  f (3)  3  ln15.
Cách 2:
0
0

2dx
1
 ln 2 x  1 |01  ln
(1)
 f (0)  f (1)   f '( x )dx  
3

1
1 2 x  1
Ta có: 
3
3
 f (3)  f (1)  f '( x)dx  2dx  ln 2 x  1 |3  ln 5 (2)
1
1
1 2 x  1


Lấy (2)-(1), ta được f (3)  f (1)  f (0)  f (1)  ln15  f (1)  f (3)  3  ln15 .
Câu 4: Cho hàm số f  x  xác định trên  thỏa mãn f   x   2 x  1 và f 1  5 . Phương trình
f  x   5 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tổng S  log 2 x1  log 2 x2 .

A. S  1 .

B. S  2 .

C. S  0 .
Hướng dẫn giải

D. S  4 .

Chọn A
Ta có: f  x    f   x  dx    2 x  1 dx  x 2  x  C .
Mà f 1  5  1  1  C  5  C  3  f  x   x 2  x  3 .
x  1
Xét phương trình: f  x   5  x 2  x  3  5  x 2  x  2  0  
.
 x  2
S  log 2 x1  log 2 x2  log 2 1  log 2  2  1 .
3
1 
 2
Cho hàm số f ( x) xác định trên  \   thỏa mãn f   x  
, f  0   1 và f    2 .
3x  1
3 
 3
Giá trị của biểu thức f   1  f  3  bằng
A. 3  5ln 2 .
B. 2  5ln 2 .
C. 4  5ln 2 .
D. 2  5ln 2 .
Hươngd dẫn giải

Chọn A

1

ln 3 x  1  C1 khi x   ; 3 
3
3



Cách 1: Từ f   x  
.
 f  x  
dx= 
3x  1
3x  1
ln 3 x  1  C khi x   1 ;  
1
3





Câu 5:


1

ln 3 x  1  1 khi x   ; 


0  C1  1
C1  1
3




.
 f  x  
2
1

C2  2
   2 0  C 2  2

ln 3 x  1  2 khi x   ;  
3

3

Khi đó: f  1  f  3   ln 4  1  ln 8  2  3  ln 32  3  5 ln 2 .

f

Ta có: 
f


0  1

0
0

0
0
3
1
dx  ln 3x  1 1  ln
1
 f  0   f  1  f  x  1   f   x  dx  
4
1
1 3 x  1

Cách 2: Ta có 
3
3
3
3
2
3
 f  3  f    f  x  2   f   x  dx  
dx  ln 3 x  1 2  ln 8  2 

3
3
3
2
2 3x  1


3
3

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

2
Lấy  2   1 , ta được: f  3  f  1  f  0   f    ln 32  f  1  f  3   3  5 ln 2 .
3
4
f x
 \  2; 2
Câu 6: Cho hàm số   xác định trên
và thỏa mãn f   x   2
; f  3  0 ;
x 4
f 0  1
f 3 2
P  f   4   f   1  f  4 
và  
. Tính giá trị biểu thức
.
3

5
5
A. P  3  ln .
B. P  3  ln 3 .
C. P  2  ln .
D. P  2  ln .
25
3
3
Hươngd dẫn giải
Chọn B
 x2
ln x  2  C1 khi x   ; 2 

 x2
4
4dx
4dx
Từ f   x   2
 f  x   2

 ln
 C khi x   2; 2 
x 4
x 4
 x  2  x  2   x  2 2
 x2
 C3 khi x   2;  
ln
 x2


 f   3  0
ln 5  C1  0
C1   ln 5



Ta có  f  0   1  0  C2  1
 C2  1
 1
C  2  ln 5

 3
 f 2  2
ln  C3  2
 5
 x2
khi x   ; 2 
ln x  2 -ln5

 x2
 f  x   ln
1
khi x   2; 2  .
x

2

 x2
 2  ln 5 khi x   2;  

ln
 x2
1
Khi đó P  f  4   f  1  f  4   ln 3  ln 5  ln 3  1  ln  2  ln 5  3  ln 3 .
3
1
Câu 7: Cho hàm số f  x  xác định trên  \  2;1 thỏa mãn f   x   2
; f  3   f  3   0
x  x2
1
và f  0   . Giá trị của biểu thức f   4   f   1  f  4  bằng
3
1 1
1 4
1 8
A.  ln 2 .
B. 1  ln 80 .
C. 1  ln 2  ln .
D. 1  ln .
3 3
3 5
3 5
Hươngd dẫn giải
Chọn A
 1 x 1
 3 ln x  2  C1 khi x   ; 2 

1
1
dx

dx
x 1
f  x  2
 f  x   2

  ln
 C khi
x   2;1
x  x2
x  x2
 x  1 x  2   3 x  2 2
 1 x 1
 C3 khi x  1;  
 ln
3 x  2
1
1 2
1
Do đó f  3  f  3  0  ln 4  C1  ln  C3  C3  C1  ln10 .
3
3 5
3

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

1
1 1
1
1 1
 ln  C2   C2   ln 2 .
3 3 2
3
3 3

1
x 1
ln
 C1
khi x   ; 2 

3 x2

 1
x 1 1 1
 f  x    ln
  ln 2 khi
x   2;1 .
3
x

2
3
3


1
x 1
1
 C1  ln10 khi x  1;  
 ln
3
3 x  2
Khi đó:
1 1
1
1 5
 1
 1 1
 1 1
f  4   f  1  f  4    ln  C1    ln 2   ln 2    ln  C1  ln10    ln 2 .
3 3
3
3 2
 3
 3 2
 3 3
1
Câu 8: Cho hàm số f  x  xác định trên  \  1;1 và thỏa mãn f   x   2
; f  3   f  3   0
x 1
 1
1
và f     f    2 . Tính giá trị của biểu thức P  f  0   f  4  .
 2

2
3
3
1 3
1 3
A. P  2  ln .
B. P  1  ln .
C. P  1  ln .
D. P  ln .
5
5
2 5
2 5
Hươngd dẫn giải
Chọn C
1 x 1
 2 ln x  1  C1 khi x   ; 1  1;  
1
dx
dx

.
f  x   2
 2


x 1
x  1  x  1 x  1  1 x  1
ln
 C2 khi x   1;1

 2 x  1
1
1 1
Ta có f  3  f  3  0  ln 2  C1  ln  C1  0  C1  0 .
2
2 2
1
1 1
 1
1
Và f     f    2  ln 3  C2  ln  C2  2  C2  1 .
2
2 3
 2
2

Và f  0  

1
 2 ln

Suy ra f  x   
 1 ln
 2

x 1
x 1

khi

x   ; 1  1;  

x 1
 1 khi
x 1
1 3
Vậy P  f  0   f  4  = 1  ln .
2 5
Câu 9:

.
x   1;1

Cho hàm số f  x  xác định trên  \  1 thỏa mãn f   x  

 1
và f    
 2
1 5
A. T  2  ln .
2 9

1
. Biết f  3   f  3   0
x 1
2

1
f    2 . Giá trị T  f  2   f  0   f  4  bằng:
2

1 9
1 9
B. T  1  ln .
C. T  3  ln .
2 5
2 5
Hươngd dẫn giải

1 9
D. T  ln .
2 5

Chọn B
Ta có

 f   x  dx   x

1
1  1
1 
1 x 1
dx   

C .
 dx  ln
1
2  x 1 x 1 
2 x 1

2

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

 1 x 1
 2 ln x  1  C1 khi x  1, x  1
Do đó f  x   
.
 1 ln 1  x  C khi  1  x  1
2
 2 x  1
 1
1
Do f  3   f  3   0 nên C1  0 , f     f    2 nên C2  1 .
 2
2
1 x 1
khi x  1, x  1
 2 ln x  1
1 9
Nên f  x   
. T  f  2   f  0   f  4   1  ln .
2 5
 1 ln 1  x  1 khi  1  x  1

 2 x  1
Câu 10: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên  0;   thỏa mãn
f  2 

A.

7
.
15

1
và f   x    2 x  4  f 2  x   0 . Tính f 1  f  2   f  3  .
15
11
11
B.
.
C.
.
15
30
Hươngd dẫn giải

D.

7
.
30

Chọn D

Vì f   x    2 x  4  f 2  x   0 và f  x   0 , với mọi x   0;   nên ta có 
Suy ra

f  x 
 2x  4 .
f 2  x

1
1
1
 x 2  4 x  C . Mặt khác f  2  
nên C  3 hay f  x   2
.
f  x
15
x  4x  3

1 1 1
7
Do đó f 1  f  2   f  3    

.
8 15 24 30
Câu 11: Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên  . Biết f 6  x  . f   x   12 x  13 và f  0   2 .

Khi đó phương trình f  x   3 có bao nhiêu nghiệm?
A. 2 .
B. 3 .
C. 7 .
D. 1.

Hươngd dẫn giải
Chọn A
Từ f 6  x  . f   x   12 x  13   f 6  x  . f   x  dx   12 x  13 dx   f 6  x  df  x   6 x 2  13x  C
f 7  x
2
f  0  2
C  .
 6 x 2  13x  C 
7
7
7
2
Suy ra: f  x   42 x  91x  2 .



Từ f  x   3  f 7  x   2187  42 x 2  91x  2  2187  42 x 2  91x  2185  0 *  .
Phương trình *  có 2 nghiệm trái dầu do ac  0 .
Câu 12: Cho hàm số f  x  xác định trên  thỏa mãn f   x   e x  e x  2 , f  0   5 và
 1
f  ln   0 . Giá trị của biểu thức S  f   ln16   f  ln 4  bằng
 4
31
9
5
A. S  .
B. S  .
C. S  .
2
2

2
Hươngd dẫn giải
Chọn C

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. f  0  . f  2   1 .

Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
ex 1

Ta có f   x   e x  e x  2 

ex

 2x  2x
e  e
 x
x
e  2  e 2


khi x  0

Tích Phân và Ứng Dụng

.

khi x  0

x

 2x
2
2e

2e
 C1 khi x  0

Do đó f  x   
.
x
x

2e 2  2e 2  C khi x  0

2
Theo đề bài ta có f  0   5 nên 2e0  2e0  C1  5  C1  1 .

 f  ln 4   2e

ln 4
2

 2e



ln 4
2

1  6


 1
Tương tự f  ln   0 nên 2e
 4

 f   ln16   2e



  ln16 
2

1
ln  
4
2

  ln16

 2e

Vậy S  f   ln16   f  ln 4  

2

 2e

1
ln  
4
2

 C2  0  C2  5 .

7
5   .
2

5
.
2

 
Câu 13: Cho hàm số f  x  liên tục, không âm trên đoạn  0;  , thỏa mãn f  0   3 và
 2
 
f  x  . f   x   cos x. 1  f 2  x  , x   0;  . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M
 2
  
của hàm số f  x  trên đoạn  ;  .
6 2
21
5
A. m 

, M  2 2 . B. m  , M  3 .
2
2
5
C. m 
, M  3.
D. m  3 , M  2 2 .
2
Hươngd dẫn giải
Chọn A
Từ giả thiết f  x  . f   x   cos x. 1  f 2  x 



f  x . f   x 
1 f 2  x

 cos x  

f  x. f  x
1 f 2  x

dx  sin x  C

Đặt t  1  f 2  x   t 2  1  f 2  x   tdt  f  x  f   x  dx .
Thay vào ta được  dt  sin x  C  t  sin x  C  1  f 2  x   sin x  C .
Do f  0   3  C  2 .
Vậy 1  f 2  x   sin x  2  f 2  x   sin 2 x  4 sin x  3
 
 f  x   sin 2 x  4sin x  3 , vì hàm số f  x  liên tục, không âm trên đoạn  0;  .

 2


1
Ta có  x    sin x  1 , xét hàm số g  t   t 2  4t  3 có hoành độ đỉnh t  2 loại.
6
2
2
 1  21
Suy ra max g  t   g 1  8 , min g  t   g    .
1
1
 
 
2 4
 ;1
 ;1
2 

2 

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

21
 
 
Suy ra max f  x   f    2 2 , min f  x   g   
.
  
  
2
6
2


;
;


6 2
6 2








Câu 14: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  x   0 , x   . Biết
f ' x
 2  2 x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x   m
f  x

có hai nghiệm thực phân biệt.
A. m  e .
B. 0  m  1 .
C. 0  m  e .
D. 1  m  e .
Hươngd dẫn giải
Chọn C
f  x
f  x
Ta có
 2  2x  
dx    2  2 x  d x .
f  x
f  x
f  0   1 và

2

2

 ln f  x   2 x  x 2  C  f  x   A.e 2 x  x . Mà f  0   1 suy ra f  x   e 2 x x .
2

2

Ta có 2 x  x 2  1   x 2  2 x  1  1   x  1  1 . Suy ra 0  e2 x  x  e và ứng với một giá trị thực

t  1 thì phương trình 2x  x 2  t sẽ có hai nghiệm phân biệt.
Vậy để phương trình f  x   m có 2 nghiệm phân biệt khi 0  m  e1  e .
Câu 15: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  x   0 với mọi x   . f   x    2 x  1 f 2  x  và

f 1  0, 5 . Biết rằng tổng f 1  f  2   f  3  ...  f  2017  

a
a
;  a   , b    với
b
b

tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a  b  1 .

a
 1 .
b
Hươngd dẫn giải

B. a    2017; 2017  .

C.

D. b  a  4035 .

Chọn D
Ta có f   x    2 x  1 f 2  x  



f  x
f  x
  2 x  1   2

dx    2 x  1 dx
2
f  x
f  x

1
 x2  x  C
f  x

1
1
1
1
nên C  0  f  x    2

 .
2
x  x x 1 x
1 
1  1 1 1 1
 1
Mặt khác f 1  f  2   f  3  ...  f  2017     1          ...  


 2  3 2  4 3
 2018 2017 
1
2017
 f 1  f  2   f  3  ...  f  2017   1 


 a  2017 ; b  2018 .
2018 2018
Khi đó b  a  4035 .
1
Câu 16: Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f '  x    2 x  3  . f 2  x  và f  0  
. Biết tổng
2
a
a
f 1  f  2   ...  f  2017   f  2018   với a  , b  * và
là phân số tối giản.
b
b
Mệnh đề nào sau đây đúng?
a
a
A.  1 .
B.  1 .
b
b
C. a  b  1010 .
D. b  a  3029 .
Hươngd dẫn giải
Chọn D

Mà f 1  

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 21

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Biến đổi f



'

'

 x  2x  3 
2

f  x
f

 x    2 x  3 . f 2  x  

f ' x 
f 2  x

Tích Phân và Ứng Dụng

dx    2 x  3 dx

1
1
1
 x 2  3x  C  f  x    2

. Mà f  0  
nên  2 .
f  x
x  3x  C
2

Do đó f  x   

1
1

.
x  3x  2
 x  1 x  2 
2

a
1
1
1
 1

 f 1  f  2   ...  f  2017   f  2018    

 ..... 


b
2018.2019 2019.2020 
 2.3 3.4

1
1
1 
1  1009
1 1 1 1
1
       ..... 


.
   

2018 2019 2020 
2 3 3 4
 2 2020  2020
a  1009
Với điều kiện a, b thỏa mãn bài toán, suy ra: 
 b  a  3029 .
b  2020
 f   x  . f  x   2  f   x   2  xf 3  x   0


Câu 17: Cho hàm số y  f  x  , x  0 , thỏa mãn 
. Tính
 f   0   0; f  0   1
f 1 .

Khi đó

A.

2
.
3

B.

3
.
2

6
.
7
Hươngd dẫn giải

C.

D.

7
.
6

Chọn C
2

Ta có: f   x  . f  x   2  f   x    xf

3

 x  0 

f   x  . f  x   2  f   x  
f 3  x

2

 x

 f   x  
f  x
f   0
x2
02
 2


x




C



C  C  0.

2

2
f
x
f
x
2
f
0
2









f  x
x2
Do đó 2

f  x
2
1

1

1
f  x

 x3 
x2
1
1
1
1
6
 2
dx    dx  

   f 1  .
    
f  x
2
f  x 0  6  0
f 1 f  0 
6
7
0
0
f  x
x
Câu 18: Giả sử hàm số f ( x) liên tục, dương trên  ; thỏa mãn f  0   1 và
 2
. Khi đó
f  x x 1
1





hiệu T  f 2 2  2 f 1 thuộc khoảng
A.  2;3  .

B.  7;9  .

C.  0;1 .
Hươngd dẫn giải

D.  9;12  .

Chọn C
Ta có



f  x
dx 
f  x

x
 x 2  1 dx 



d  f  x
f  x

2

1 d  x  1
  2
.
2
x 1

1
ln  x 2  1  C , mà f  0   1  C  0 . Do đó f  x   x 2  1 .
2
Nên f 2 2  3; 2 f 1  2 2  f 2 2  2 f 1  3  2 2   0;1 .

Vậy ln  f  x   









ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

4

Câu 19: Khi đó


0

 0;   ;

1
f  tan t 
d
t

0 f  x  dx . Vậy
cos 2t

Tích Phân và Ứng Dụng

1

 f  x  dx  6 .Cho hàm số

y  f  x  đồng biến trên

0

y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f  3  

2
và
3

2

 f '  x     x  1 . f  x  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 2613  f 2  8   2614 .
B. 2614  f 2  8   2615 .

C. 2618  f 2  8   2619 .

D. 2616  f 2  8   2617 .
Hươngd dẫn giải

Chọn A
Hàm số y  f  x  đồng biến trên  0;   nên suy ra f   x   0, x   0;   .
Mặt khác y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   nên
2

 f   x     x  1 f  x   f   x    x  1 f  x  , x   0;  
f  x

  x  1 , x   0;   ;
f  x



f  x 
f  x

Từ f  3  

dx  

 x  1dx



f  x 

1
3

 x  1

3

C ;

2 8
3
suy ra C 

2
3 3

1
Như vậy f  x   
3
Bởi thế:

2 8

 x  1   
3 3

2

3

2

2

4

1

2 8 
2 8
2 8
3
f  8   
8  1      9     f 2  8   9     2613, 26 .
3 3 
3 3
3 3
3

Câu 20: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f 1  1 ,
f  x   f   x  3 x  1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 4  f  5   5 .

B. 2  f  5   3 .

C. 3  f  5   4 .

D. 1  f  5   2 .
Hươngd dẫn giải

Chọn C
Cách 1:
Với điều kiện bài toán ta có
f  x
f  x
1
1
f  x   f   x  3x  1 


dx  
dx
f  x
f  x
3x  1
3x  1


d  f   x 
f  x



2
1
2
1

2

ln
f
x

3
x

1

C

f
x

e
3
x

1
d
3
x


1
 
  3

 

3
3

Khi đó f 1  1  e

4
C
3

2
4
 1  C    f  x  e3
3

3 x 1 

4
3

3 x 1 C

.

4
3

 f  5  e  3, 79   3;4  .

Vậy 3  f  5   4 .

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Chú ý: Các bạn có thể tính



Tích Phân và Ứng Dụng

dx
bằng cách đặt t  3x  1 .
3x  1

Cách 2:
Với điều kiện bài toán ta có
5
5
5
d  f  x  4
f  x

f  x
1
1
f  x   f   x  3x  1 


dx  
dx  

f  x
f  x
f  x
3
3x  1
3x  1
1
1
1
5

 ln f  x  
1

4
f  5 4
4
 ln
  f  5  f 1 .e 3  3, 79   3;4  .
f 1 3
3

2

Câu 21: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f   x    f  x  . f   x   15 x 4  12 x , x   và
f  0   f   0   1 . Giá trị của f 2 1 bằng
9
.
2

A.

B.

5
.
2

C. 10 .

D. 8 .

Hươngd dẫn giải
Chọn D
2

Ta có:  f   x    f  x  . f   x   15 x 4  12 x , x   .
  f   x  . f  x    15 x 4  12 x , x    f   x  . f  x   3 x 5  6 x 2  C1
Do f  0   f   0   1 nên ta có C1  1. Do đó: f   x  . f  x   3 x 5  6 x 2  1
1

  f 2  x    3 x5  6 x 2  1  f 2  x   x 6  4 x3  2 x  C2 .

2

Mà f  0   1 nên ta có C2  1. Do đó f 2  x   x 6  4 x 3  2 x  1 .

Vậy f 2 1  8.
Câu 22: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn

f





x 1
x 1

 dx  2 

x 1  3
x5

  C . Nguyên

hàm của hàm số f  2 x  trên tập  là:


x3
C .
2  x2  4

A.

B.

x3
C .
x2  4

C.

2x  3
C .
4  x 2  1

D.

2x  3
C.
8  x 2  1

Hươngd dẫn giải
Chọn D
Theo đề ra ta có:

f





x 1
x 1

 dx  2 

x 1  3
x5

 C  2

 
f

 

x 1 d



x 1 

2





x 1  3



2

 C .

x 1  4

2  t  3
t 3
 C   f  t  dt  2
 C .
2
t 4
t 4
 2x  3
1
1  2x  3
f  2 x  dx   f  2 x  d  2 x   

C
C
 2
1
 8x  8
2
2   2 x 2  4


Hay 2 f  t  dt 
Suy ra



ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 24


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN
5

Câu 23: Cho



2

f  x  dx  10 . Kết quả   2  4 f  x   dx bằng:

2

5

A. 34 .

B. 36 .

C. 40 .
Hươngd dẫn giải

D. 32 .

Chọn A
2

2

5

2

5

Tacó   2  4 f  x   dx  2  dx  4  f  x  dx  2 x 2  4  f  x  dx  2.  5  2   4.10  34 .
5

5

2

5

9

Câu 24: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và F  x  là nguyên hàm của f  x  , biết

 f  x  dx  9
0

và F  0   3 . Tính F  9  .
A. F  9   6 .

B. F  9   6 .

C. F  9   12 .
Hươngd dẫn giải

D. F  9   12 .

Chọn C
9

9

Ta có: I   f  x  dx  F  x  0  F  9   F  0   9  F  9   12 .
0
2

2

Câu 25: Cho I   f  x  dx  3 . Khi đó J    4 f  x   3 dx bằng:
0

0

A. 2 .

B. 6 .

D. 4 .

C. 8 .
Hươngd dẫn giải

Chọn B
2

2

2
2

Ta có J    4 f  x   3 dx  4  f  x  dx  3 dx  4.3  3 x 0  6 .
0

0
4

4

Câu 26: Cho



f  x  dx  10 và

2

0

4

 g  x  dx  5 . Tính I   3 f  x   5g  x  dx
2

A. I  5 .

2

B. I  15 .

C. I  5 .
Hươngd dẫn giải

D. I  10 .

Chọn A
4

4

4

Có: I   3 f  x   5 g  x   dx  3 f  x  dx  5 g  x  dx  5 .
2

2
0

9

Câu 27: Giả sử

2
9

 f  x  dx  37 và  g  x  dx  16 . Khi đó, I   2 f  x   3g ( x)  dx bằng:
0

9

A. I  26 .

B. I  58 .

0

D. I  122 .

C. I  143 .
Hươngd dẫn giải

Chọn A
9

9

9

9

0

Ta có: I    2 f  x   3 g ( x)  dx   2 f  x  dx   3g  x  dx  2  f  x  dx  3 g  x  dx  26 .
0

0

2

Câu 28: Nếu

5

0

0

9

5

 f  x  dx  3 ,  f  x  dx  1 thì  f  x  dx bằng
1

2

A. 2 .

1

B. 2 .

C. 3 .
Hươngd dẫn giải

D. 4 .

Chọn B
5

Ta có


1

2

5

f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3  1  2 .
1

2

ĐT: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 25