GA Giai tich 11 NC new

Ngày soạn:
Chơng 4 Giới hạn
A. Mục tiêu:
- Nắm vững các định nghĩa về giới hạn và biết vận dụng chúng vào việc giải một số
bài tập đơn giản về giới hạn của dãy số và hàm số. Hiểu đợc một cách trực quan định
nghĩa giới hạn của hàm số mà dãy số là một hàm với đối số tự nhiên.
- Nắm vững các định nghĩa và định lí về giới hạn của hàm số. Biết vận dụng các định
lí vào việc tính hay nghiên cứ giới hạn của hàm số. Giải đợc các bài toán thực tế.
- Nắm vững các dạng giới hạn vô định trình bày trong SGK và một số kĩ thuật cơ bản
khử dạng vô định. Biết nhận dạng các dạng vô định và tính đợc các dạng vô định đơn
giản. Nhận dạng đợc cấp số nhân lùi vô hạn và tính đợc tổng các số hạng của nó.
- Nắm đợc định nghĩa hàm liên tục tại một điểm và trong một khoảng, một đoạn, nửa
khoảng, nửa đoạn. Biết vận dụng các định lí về hàm liên tục nghiên cứu tính liên tục
của hàm số và sự tồn tại nghiệm của một số phơng trình đơn giản.
B. Nội dung và mức độ :
- Không dùng ngôn ngữ , N để dịnh nghĩa giới hạn của dãy số mà thông qua các ví
dụ cụ thể để hình thành khái niệm giới hạn bằng 0, từ đó dẫn đến khái niệm giới hạn
khác 0.
- Định nghĩa giới hạn của hàm số thông qua giới hạn của dãy số.
- áp dụng đợc định nghĩa tìm đợc giới hạn của một số hàm đơn giản. Khử đợc giới
hạn dạng vô định ở dạng đơn giản:
0
;
0


; - ; 0..
- Định nghĩa hàm liên tục tại một điểm và trong một khoảng, một đoạn, nửa khoảng,
nửa đoạn và công nhận các định lí về hàm liên tục , không đa vào định lí về trị trung
gian ở dạng tổng quát mà chỉ đa vào một trờng hợp của nó khi f(a).f(b) < 0. áp dụng
đợc vào việc giải bài tập chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số phơng trình đon

giản.

Tiết 60 dãy số có Giới hạn 0

A - Mục tiêu:
- Nắm đợc khái niệm và định lí dãy số có giới hạn 0
- áp dụng đợc vào bài tập
B. Ph ơng tiện thực hiện :
- Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài học, máy tính bỏ túi fx
-500MS, fx - 570MS, fx - 500A
C. Cách thức tiến hành:
Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề,
luyện chữa.
D - Tiến trình bài học :
1. ổ n định tổ chức :

2. Kiểm tra bài cũ:
* HS1: Xét tính bị chặn của dãy số sau: a) u
n
=
n
n 1
+
b) u
n
=
2
43
2
2

+

n
nn
3. Bài mới
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt
- Trả lời các câu hỏi đặt ra
của giáo viên:
+ Các giá trị nhỏ dần khi n
tăng dần.
+ Khoảng cách từ các số
hạng u
1
, u
2
, u
3
, u
4
, u
5
, u
10

đến điểm 0 nhỏ dần khi n
tăng dần.
+ Bắt đầu từ u
10 000
thì:
| u

10 000
- 0 | < 0, 001
+ Bắt đầu từ u
1000 000 000
thì:
| u
1000 000 000
- 0 | < 0, 000
000 001
Nhận xét đợc: Khi n trở
nên rất lớn thì các khoảng
cách này xấp xỉ 0
- Trả lời đợc:
+Với n > k = 51 thì v
n
<
50
1
+Với n > k = 76 thì v
n
<
75
1
+Với n > k = 501 thì v
n
<
500
1
+Với n > k = 1000001 thì
v

n
<
1000000
1
- Trình bày đợc H2:
- Nêu vấn đề: Cho dãy số
(u
n
) với u
n
=
n
n
)1(

+ Dãy số tăng hay giảm?
+ Dãy số (v
n
) mà v
n
=
n
u

là giảm đúng hay sai?
+ Với n lớn hơn bao nhiêu
thì: v
n
< 100,
v

n
< 1000, v
n
< 10000,
v
n
< 100000, v
n
< 10
n
. Khi
nào v
n
= 0.
- Đa ra khái niệm dãy
(u
n
) với u
n
có giới hạn 0
0
)1(


n
n
=
1
0
n

nhỏ
hơn bất cứ một số dơng
nhỏ tùy ý cho trớc, bắt đầu
từ một chỉ số n nào đó trở
đi.
- Thực hiện H1?
- Yêu cầu học sinh lên
bảng chứng minh
- Thực hiện VD1:
+ C/minh
nn
n 1sin

?
+ Chứng minh lim
n
1
= 0
+ Chứng minh lim
n
nsin
=0
- Thực hiện H2?
1. Định nghĩa dãy số có
giới hạn 0
* Định nghĩa:
limu
n
= 0

Với mỗi số
dơng nhỏ tuỳ ý cho trớc,
mọi
n
u
, kể từ một số
hạng nào đó trở đi, đều
nhỏ hơn số dơng đó.
* Nhận xét
+ Dãy số (u
n
) có giới hạn
0 khi và chỉ khi (
n
u
) có
giới hạn 0
+ Dãy số không đổi (u
n
)
với u
n
= 0 có giới hạn 0
2. Một số dãy số có giới
hạn 0.
+ lim
n
1
= 0

+ lim
3
1
n
= 0
* Định lí 1: Cho hai dãy
số (u
n
) và (v
n
). Nếu
n
u


v
n
với mọi n và
limv
n
= 0 thì limu
n
= 0
Lớp Ngày dạy Sĩ số
11A2
nnn
kk
111
=
mà lim

n
1
= 0
nên lim
k
n
1
= 0
- Trình bày đợc:
n
nn
n






=
4
1
4
1
4
5
cos

vì cos
1
5

n
. áp dụng ĐL2 suy
ra điều phải chứng minh
- C/m:
n
n
k
11

?
- Hãy chứng minh định lí
2?
- Nêu một số VD cho định
lí 2?
- Thực hiện H3?
+C/m:
n
n
n







4
1

4
5
cos

với

n
* Định lí 2:
Nếu
q
< 1 thì limq
n
= 0
4. Củng cố: - Định nghĩa và các định lí về dãy số có giới hạn 0?
* Lên bảng làm bài1, 3, 4 (SGK T130)
* Bài tập: Cho dãy số ( u
n
) với u
n
=
( )
n
1
n

. Bắt đầu từ số hạng u
n
nào của dãy thì
khoảng cách từ u
n

đến 0 lần lợt nhỏ hơn 0, 01; 0, 000 01
HD: Xét khoảng cách từ u
n
đến 0:
( )
n
1
1
0 0,01
n n

= <

n
> 100 n > 10000 nên suy ra bắt đầu từ số hạng
thứ 10001 trở đi ta có khoảng cách từ u
n
đến 0 nhỏ hơn 0,01.
Tơng tự xét:
( )
n
1
1
0 0,000 01
n n

= <
cho n > 10
10
tức là từ số hạng thứ 10

10
+ 1 trở đi, ta có
khoảng cáh từ u
n
đến 0 nhỏ hơn 0, 000 01
5. Về nhà: - Học bài và hoàn thành bài tập trong SGK và SBT>



Tiết 61 Giới hạn của dãy số
A. Mục tiêu:
- Nắm đợc khái niệm và định lí dãy số có giới hạn 0
- áp dụng đợc vào bài tập
B. Ph ơng tiện thực hiện :
- Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài học, máy tính bỏ túi fx
-500MS, fx - 570MS, fx - 500A
C. Cách thức tiến hành:
Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề,
luyện chữa.
D - Tiến trình bài học :
1. ổ n định tổ chức :

2. Kiểm tra bài cũ:
* HS1: * Chứng minh dãy số có số hạng tổng quát sau có giới hạn 0?
u
n
=
2
3
2

+
n

3. Bài mới
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt
- Trao đổi thảo luận và lên
bảng trình bày lời giải của
bài tập.
- HS thực hiện
- Các nhóm thực hiện
- Các nhóm nhận xét, thảo
luận
- HS lên bảng trình bày
yêu cầu của giáo viên.
- Các nhóm thực hiện
- Các nhóm nhận xét, thảo
luận
- Gọi 2 học sinh lên bảng
chữa bài tập:
Một học sinh chữa phần
a), một học sinh chữa phần
c) và phần b)
- Củng cố các định lí về
giới hạn.
- Các nhóm nhận xét các
bài giải trên bảng.
- GV chỉnh sửa hoàn chỉnh
bài giải
- GV gọi một HS lên bảng
trình bày bài tập

- Các nhóm nhận xét các
bài giải trên bảng.
- GV chỉnh sửa hoàn chỉnh
bài giải
* Bài 1: Chứng minh dãy
số có số hạng tổng quát
sau có giới hạn 0?
a) u
n
=
( 1)
5
n
n

+

b) u
n
=
sin
5
n
n +

c) u
n
=
cos 2
1

n
n +
HD :
a)
( 1) 1
5
n
n n

<
+
với mọi n.
* Bài 2: Chứng minh dãy
số sau có giới hạn 0?
a) u
n
=
1
( 1)n n +
b) v
n
=
2
( 1) cos
1
n
n
n

+

+ HD:
a)
1
n
u
n
<
với mọi n.
b)
2
1
n
v
n
<
với mọi n.
* Bài 3: Chứng minh dãy
số sau có giới hạn 0?
Lớp Ngày dạy Sĩ số
11A2
- HS lên bảng trình bày
yêu cầu của giáo viên.
- Các nhóm thực hiện
- Các nhóm nhận xét, thảo
luận
- HS lên bảng trình bày
yêu cầu của giáo viên.
- Các nhóm thực hiện
- Các nhóm nhận xét, thảo
luận

- GV gọi một HS lên bảng
trình bày bài tập
- Các nhóm nhận xét các
bài giải trên bảng.
- GV chỉnh sửa hoàn chỉnh
bài giải
- GV gọi một HS lên bảng
trình bày bài tập
- Các nhóm nhận xét các
bài giải trên bảng.
- GV chỉnh sửa hoàn chỉnh
bài giải
a) u
n
= (0,99)
n
b) u
n
=
( 1)
2 1
n
n

+

c) u
n
=
sin

5
(1,01)
n
n


HD:
b)
1 1
2 2
n
n
n
u

< =
ữ


* Bài 4: Cho dãy số
(u
n
) =
3
n
n
a) Chứng minh rằng
1
2
3

n
n
u
u
+

với mọi n.
b) Bằng PP quy nạp chứng
minh 0 < u
n
<
2
3
n

ữ

,

n.
c) Chứng minh rằng (u
n
) có
giới hạn 0.
4. Củng cố:
- Cách chứng minh dãy số có giới hạn 0?
5. Về nhà: - Học bài và hoàn thành bài tập trong SGK và SBT>
- Đọc trớc bài: Dãy số có giới hạn hữu hạn

Ngày soạn:

Tiết 61 dãy số có Giới hạn hữu hạn
A - Mục tiêu:
- Nắm đợc khái niệm và định lí dãy số có giới hạn hữu hạn và tính đợc tổng của cấp
số nhân lùi vô hạn.
- áp dụng đợc vào bài tập
B. Ph ơng tiện thực hiện :
- Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài học, máy tính bỏ túi fx
-500MS, fx - 570MS, fx - 500A
C. Cách thức tiến hành:
Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề,
luyện chữa.
D - Tiến trình bài học :
1. ổ n định tổ chức :

2. Kiểm tra bài cũ:
* Chứng minh dãy số có số hạng tổng quát sau có giới hạn 0?
u
n
=
n
n 1cos
+

3. Bài mới:
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt
- Thực hiện yêu cầu của
giáo viên.
- Trao đổi thảo luận VD1,
2. từ đó thực hiện H1:
- Trình bày đợc H2:

Do
2
2
27
n
nn

= 27 -
n
1
với
mọi n và lim(-
n
1
) = 0 nên
lim
2
2
27
n
nn

= 27.
Vậy lim
3
2
2
27
n
nn

= 3.
- Trao đổi thảo luận VD4,
5
- Trình bày đợc H3:
Có u
n
=
2
32
2
1
311
n
nnn
+
+
do đó
limu
n
= 0.
- Cho dãy số (u
n
) với
u
n
= 3 +
n
n
)1(

. Chứng
minh dãy số là giảm và từ
đó chứng ninh lim(u
n
- 3) =
0 ?
- Nêu và cho học sinh thực
hiện VD1, 2?
- Hãy thực hiện H1?
- Tổ chức học sinh thành
nhóm, đọc và nghiên cứu
định 1, 2 của SGK về giới
hạn hữu hạn.
- Phát vấn kiểm tra sự đọc
hiểu của học sinh.
- Củng cố định lí thông
qua H2?
+ Chứng minh
lim
2
2
27
n
nn

= 27.
Tính: lim
3
2

2
27
n
nn

- Hãy thực hiện VD4, 5?
- Hãy thực hiện H3?
+ Chia cả tử và mẫu của
dãy số cho n
3
ta đợc biểu
thức nào?
+ Tính limu
n
?
1. Định nghĩa dãy số có
giới hạn hữu hạn:
* Định nghĩa:
limu
n
= L

R
lim(u
n
- L) = 0
+ Nhận xét: ( SGK T
131)
2. Một số định lí:
* Định lí 1:

Giả sử limu
n
= L. Khi đó:
a) lim
Lu
n
=
và lim
3
3
Lu
n
=
b) Nếu u
n


0 với
n

thì
L

0 và lim
Lu
n
=
* Định lí 2:
Giả sử limu
n

= L, limv
n
=
M và c là hằng số . Khi đó:
lim(u
n
+ v
n
) = L + M
lim(u
n
- v
n
) = L - M
lim(u
n
. v
n
) = L . M
lim(c.u
n
) = c.L
lim
M
L
v
u
n
n
=

nếu M

0.
Lớp Ngày dạy Sĩ số
11A2
- Trình bày đợc H4:
u
1
=
2
1
và q =
2
1
.
Do đó S =
1
2
1
1
2
1
=

- Trình bày đợc H4:
0,313131... =
100
31
+
100

31
.
100
1
+
100
31
.(
2
)
100
1
+ ... =
99
31

- Nêu định nghĩa.
- Yêu cầu HS thực hiện
H4:
+ Hãy xác định u
1
và công
bội q của cấp số nhân đó?
+ Từ đó áp dụng công thức
tính tổng?
- Nêu và hớng dẫn Hs thực
hiện VD6?
- Hãy thực hiện H5?
+ Phân tích 0,313131...
thành tổng các số hạng của

một cấp số nhân?
+ Từ đó hãy tính tổng?
3. Tổng của cấp số nhân
lùi vô hạn.
* Định nghĩa: Cho cấp số
nhân vô hạn: u
1
, u
1
q,
u
1
q
2
, ..., u
1
q
n
, .... Khi đó
tổng của cấp số nhân đó
là:
S = u
1
, u
1
q + u
1
q
2
+ ...

=
q
u

1
1

4. Củng cố: - Định nghĩa và các định lí dãy số có giới hạn hữu hạn? Công thức tính
tổng của cấp số nhân lùi vô hạn?
+ Bài tập: HS lên bảng thực hiện 6, 7, 8, 10 ( SGK T134, 135)
* Bài 1: Cho dãy ( v
n
) với v
n
=
2 n 1
n
+
. Chứng minh rằng
n
x
lim v 2
+
=
( do n chỉ có
một quá trình dần đến + nên chỉ cần ghi limv
n
= 2 thì phải hiểu là
n
x

lim v 2
+
=
)
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Xét
( )
n
x
lim v 2
+

= lim
2 n 1
2
n

+

ữ
ữ

= lim
1
n
=
0
Nên suy ra:
n
x

2 n 1
lim v lim 2
n
+
+
= =
( đpcm )
- Hớng dẫn học sinh sử dụng
định nghĩa 2 để chứng minh
một dãy có giới hạn khác 0.
- Củng cố định nghĩa 2
* Bài 2: Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau khoảng một thời gian T =
24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc
hại đối với sức khỏe của con ngời ( T đợc gọi là chu kì bán rã ). Gọi u
n
là khối lợng
chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.
a) Tìm số hạng tổng quát u
n
của dãy số ( u
n
)
b) Chứng minh dãy ( u
n
) hội tụ về 0.
c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó, khối lợng chất phóng xạ
đã cho ban đầu không còn độc hại nữa nếu khối lợng chất phóng xạ còn lại bé hơn
10
- 6
g

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a) Ta có: u
1
=
1
2
; u
2
=
1
4
; u
3
=
1
8
; ... nên ta dự
đoán u
n
=
n
1
2
. Ta chứng minh dự đoán trên bằng
quy nạp. Thật vậy, với n = 1 ta có u
1
=
1
2
là một

khẳng định đúng.
Giả sử khẳng định đúng với n = k 1, tức u
k
=
k
1
2
là một khẳng định đúng.
Ta phải chứng minh u
k + 1
=
k 1
1
2
+
. Thật vậy, theo
giả thiết quy nạp và theo giả thiết của bài toán ta
có: u
k + 1
=
1
2
u
k
=
1
2
.
k
1

2
=
k 1
1
2
+
b) Vì u
n
=
n
1
2
nên limu
n
= 0 ( | q | =
1
2
< 1 )
c)Ta có 10
- 6
g = 10
- 6
. 10
- 3
kg =
9
1
kg
10
. Xét bất

đẳng thức :
n 9
1 1
0
2 10
<
2
n
> 10
9
nên ta cần
chọn n sao cho 2
n
> 10
9
, chẳng hạn n = 36.
Vậy sau chu kì bán rã thứ 36 thì khối lợng chất
phóng xạ còn lại không còn ảnh hởng đến sức
khỏe của con ngời.
( nghĩa là sau 36
ì
24000 = 864000 năm )
- Gọi 3 học sinh lên bảng chữa
các phần a), b), c) theo trình tự:
a

b

c.
- Củng cố khái niệm dãy số có

giới hạn 0, giới hạn khác 0.
Bản chất của định nghĩa:
| u
n
| nhỏ hơn một số dơng bất kì
đối với dãy u
n
có giới hạn 0, và |
u
n
- a | nhỏ hơn một số dơng bất
kì đối với dãy u
n
có giới hạn a
bắt đầu từ một chỉ số n
0
nào đó
trở đi.
- Uốn nắn cách biểu đạt của học
sinh trong:
+ Trình bày lời giải.
+ Ngôn từ diễn đạt.
- Dành cho học sinh khá:
Hãy dùng định nghĩa, chứng
minh lim
n
1
2
=0
5. Về nhà: - Học bài, hoàn thành bài tập trong SGK và SBT.

- Đọc trớc bài : Dãy số có giới hạn vô cực.


Ngày soạn:
Tiết 63 Dãy số có giới hạn vô cực
A - Mục tiêu:
- Nắm đợc khái niệm giới hạn và các quy tắc tính giới hạn ,
- áp dụng đợc vào bài tập
B. Ph ơng tiện thực hiện :
- Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài học, máy tính bỏ túi fx
-500MS, fx - 570MS, fx - 500A
C. Cách thức tiến hành:
Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề,
luyện chữa.
D - Tiến trình bài học :
1. ổ n định tổ chức :

2. Kiểm tra bài cũ: Gọi học sinh làm bài tập: Tìm các giới hạn:
a) A
1
= lim
( )
( )
n
n n
n
n
3 5 2 4
4 10
+ ì

+
c) A
2
= lim
( ) ( )
5 4
2 2
4n 3n n 7
n n 1 5 2n
+
+
b) A
3
= lim
n 1
2n 1

+
d) A
4
= lim
2
1 1 4n
n
n 2n



ữ ữ

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a) A
1
= lim
n n
n
3 1
5 1
4 2
10
1
4

+ ì
ữ ữ


+
ữ

= - 1
b) A
2
= lim
2
2 2
1 7
4 3
n n
1 5

1 2
n n
ì +

+
ữ ữ

= - 2
c) A
3
= lim
1 1
n n
1
2
n

+
= 0
d) A
4
= lim
( )
( )
2
3
n 1 1 4n
2n

=

2
1 1
1 4
n n
2


ữ ữ

= -2
- Gọi 2 học sinh lên bảng chữa bài
tập:
Một học sinh chữa phần b) và
phần e) một học sinh chữa phần d)
và phần f)
- Củng cố các định lí về giới hạn.
- Hớng dẫn học sinh làm bài tập 3
bằng sử dụng định lí 2:
a)
2 2 2
2n 1 2n cosn 2n 1
n n n
+ +

b)
2 sin2n cos2n 2
3n 1 3n 1 3n 1
+

+ + +

c)
( )
n
2 2 2
1
1 1
n 1 n 1 n 1


+ + +
3. Bài mới:
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt
- Trả lời đợc yêu cầu của
giáo viên.
- Tiếp nhận kiến thức.
- Xét dãy số u
n
= 2n 3.
Chứng minh dãy số là
tăng?
+ Chứng minh: lim
n
u
1
= 0
1. Dãy số có giới hạn +
* Định nghĩa:
limu
n
= +

Với mỗi
số dơng tuỳ ý cho trớc,
mọi u
n
kể từ một số hạng
Lớp Ngày dạy Sĩ số
11A2
- Trao đổi thảo luận và lên
bảng trình bày.
- Đọc và nghiên cứu phần
định nghĩa.
- Trả lời câu hỏi của giáo
viên.
- Đọc và nghiên cứu và
thảo luận theo nhóm đợc
phân công.
- Trả lời câu hỏi:
+Có nsinn-2n
3
=n
3
(-2+
2
sin
n
n
)
với mọi n và limn
3

= + ,
lim(-2+
2
sin
n
n
) = -2 < 0 nên
lim(nsinn 2n
3
) = -
+ Vì lim
3
2n -nsinn
= +
nên lim
3
2sin
1
nnn

= 0
- Trình bày đợc:
Chia cả tử và mẫu cho n
3
ta
đợc: lim
nn
nn

+

2
3
2
123
= -
- Nêu định nghĩa.
- Nêu và cho HS chứng
minh VD: limn = + lim
n
= +, lim
3
n
= +
- Tổ chức học sinh thành
nhóm để đọc và tiếp nhận
kiến thức.
- Chứng minh: Nếu
limu
n
= - thì lim(-u
n
) =
+
- Yêu cầu HS nêu một số
VD.
- Yêu cầu HS chứng minh
định lí?
- Tổ chức học sinh thành
nhóm để đọc, nghiên cứu,
thảo luận phần quy tắc tìm

giới hạn vô cực (SGK
T140, 141)
- Tổ chức học sinh thành
nhóm để đọc, nghiên cứu,
thảo luận VD2, 3, 4của
SGK.
- Phát vấn kiểm tra sự đọc
hiểu của học sinh:
- Yêu cầu HS thực hiện
H1:
+ Tìm lim(nsinn 2n
3
)?
+ Tính lim
3
2sin
1
nnn

?
- Yêu cầu HS thực hiện
H2?
+ Chia cả tử và mẫu cho số
nào?
+ Tìm lim
nn
nn

+
2

3
2
123
?
nào đó trở đi, đều lớn hơn
số dơng đó.
2. Dãy số có giới hạn -
* Định nghĩa:
limu
n
= -

Với mỗi số
âm tuỳ ý cho trớc, mọi u
n
kể từ một số hạng nào đó
trở đi, đều nhỏ hơn số âm
đó.
* Nếu limu
n
= - thì
lim(-u
n
) = +
* Chú ý: SGK T139.
* Định lí:
Nếu lim
n
u
= +

thì lim
n
u
1
= 0
3. Một vài quy tắc tìm
giới hạn vô cực
a) Quy tắc 1: SGK
T140
b) Quy tắc 2: SGK
T140
c Quy tắc 3: SGK T141
4. Củng cố: - Các quy tắc tìm giới hạn vô cực?
* Bài 1: Tìm các giới hạn:
a) M = lim
n
2n 5
n 3
+
ì
b) N = lim
3
2
2n n
n 3

+
c) P = lim(- n
4
+ 2n

3
- 1 )
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a) M = lim
n
5
2
n
0
3
+
=
(lim
5
2 2
n

+ =
ữ

,lim3
n
=
+)
b) N = lim
2
3
1
2
n

1 3
n n

= +
+
do lim
2
1
2 2
n

=
ữ


và lim
3
1 3
0
n n

+ =
ữ

c) P = lim
4
4
2 1
n 1
n n

+
ữ



= -
Củng cố phơng pháp giải bài tập:
Chia cả tử thức và mẫu thức cho n
với mũ cao nhất của tử thức và
mẫu thức nhằm mục đích sử dụng
đợc dạng giới hạn:

x
m
x
n
x
1
lim 0
n
1
lim 0 với m N *
n
lim q 0 nếu q 1
+
+
+
=

=
= <
limq
n
= + nếu | q | > 1
* Bài 2: Tìm các giới hạn:
a) A = lim( n
3
+ 2n
2
- n + 1 ) b) B = lim( - 2n
4
+ 5n
2
- 2 ) c) C = lim
n
n
3 2
1 2

+
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a) A = +
b) B = -
c) C = lim
n n 1
n
3 1
2 2
1

1
2



ữ ữ

= +

+
ữ

- Gọi một học sinh thực hiện giải
bài tập.
- Củng cố khái niệm giới hạn .
- Củng cố phơng pháp giải bài tập.
* Bài 3: Cho cấp số nhân lùi vô hạn ( u
n
) có q =
1
4
. Biết tổng của nó là
64
3
. Hãy viết
(u
n
) dới dạng khai triển bằng cách tính các số hạng u
1
, u

2
, u
3
, u
4
và u
5
.
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Theo công thức tính tổng của các số hạng của
cấp số nhân lùi vô hạn, ta có:
S =
1
u
1 q
=
1
1
u 4
u
1
3
1
4
=

=
64
3
suy ra: u

1
= 16 và
u
2
= 4, u
3
= 1, u
4
=
1
4
, ... , u
n
=
n 3
1
4

, ...
- Gọi một học sinh thực hiện giải
bài tập.
- Củng cố khái niệm tổng của các
số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn
- Củng cố phơng pháp giải bài tập.
* Bài 4: Cho dãy số ( u
n
) với u
n
=
{

n chữ số 3
0, 33...3
.
a) Chứng minh rằng ( u
n
) tăng và bị chặn trên.
b) Tìm lim u
n
.
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a) - Chứng minh dãy đơn điệu tăng:
Xét u
n + 1
- u
n
=
{
n 1 ch ữ số 3
0, 33...3
+
-
{
n chữ số 3
0, 33...3
=
{
n chữ số 0
0, 0...0 3
với mọi n N*. Vậy ( u
n

) là dãu đơn điệu tăng.
- Chứng minh dãy bị chặn trên:
Ta có u
n
=
{
n chữ số 3
0, 33...3
< 1 với mọi n N*.
Do đó ( u
n
) là dãy bị chặn trên. Vậy dãy ( u
n
) có
giới hạn.
b) Ta có u
n
=
{
n chữ số 3
0, 33...3
=
{
n chữ số 3
n
3...3
10
=
n 1 n 2
n

3.10 3.10 ... 3.10 3
10

+ + + +
=
2 n
3 3 3
...
10 10 10
+ + +
=
n
n
3 1
1
10 10
1 1
1
1
3 10
1
10




ữ

=

ữ




Khi n
+
thì u
n


1
3
- Ôn tập định lí 3:
( Định lí Weierstraas )
+ Mọi dãy tăng và bị chặn trên
đều có giới hạn.
+ Mọi dãy tăng và bị chặn dới đều
có giới hạn.
- Nêu phơng pháp chứng minh sự
tồn tại giới hạn của một dãy và lập
chơng trình giải toán:
+ Chứng minh dãy đã cho đơn
điệu ( tăng hoặc giảm )
+ Chứng minh dãy đã cho bị chặn
( trên hoặc dới )

- Củng cố cách tính tổng các số
hạng của cấp số nhân lùi vô hạn:
Lập chơng trình giải bài toán tính
tổng S:
+ Bớc 1:Xét dãy các số hạng của
tổng cần tính: u
1
; u
2
; ... ; u
n
; ... nếu
là một cấp số nhân lùi vô hạn thì
chuyển sang bớc 2.
+ Bớc 2: áp dụng công thức tính
tổng: S =
1
u
1 q
5. Về nhà:- Học bài và hoàn thành bài tập trong SGK và SBT.
- Đọc trớc bài: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn của hàm số.



Ngày soạn:
Giới hạn của hàm số. Hàm số liên tục.
Tiết 64 Định nghĩa và một số định lí về giới hạn
của hàm số.
A - Mục tiêu:
- Nắm đợc định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm và một số định lí cơ bản.

- áp dụng đợc vào bài tập
B. Ph ơng tiện thực hiện :
- Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài học, máy tính bỏ túi fx
-500MS, fx - 570MS, fx - 500A
C. Cách thức tiến hành:
Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề,
luyện chữa.
D - Tiến trình bài học :
1. ổ n định tổ chức :

2. Kiểm tra bài cũ:
* Tìm giới hạn của hàm số:
a) lim
nn
n
32
31
+

b) lim
n
n
n
n
3
3
+


3. Bài mới

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt
- Trả lời đợc:
f(x
n
) =
2
4(2
2


n
n
x
x
= 2(x
n
+
2)
- Tiếp nhận kiến thức.
- Đọc và nghiên cứu và
thảo luận theo nhóm đợc
phân công.
- Lên bảng trình bày lời
giải của bài toán.
- Trình bày đợc:
f(x) = x + 2
limf(x
n
) = 1
Vậy

1
lim

x
1
12
2
++
+
xx
x
= 1
- Nêu bài toán
+ Xác định f(x
n
)?
+ Tìm limf(x
n
)?
- Nêu định nghĩa.
- Tổ chức học sinh thành
nhóm để đọc, nghiên cứu,
thảo luận VD1,
- Nêu 1 số VD khác về
giới hạn của HS?
- Tính giới hạn của hàm số
f(x) =
1
12
2

++
+
xx
x
khi x dần
tới 1?
- Thực hiện H1?
+ Rút gọn f(x)?
+ Tính limf(x
n
)
I. Giới hạn của hàm số
tại một điểm:
1. Giới hạn hữu hạn:
* Định nghĩa:
Giả sử x
0


(a;b) và f là
một hàm số xác định trên
tập (a;b) \
{ }
0
x
0
lim
xx

f(x) = L

R

Với
mọi dãy số (x
n
) trong tập
(a;b) \
{ }
0
x
mà limx
n
= x
0
ta
đều có limf(x
n
) = L
+ Nhận xét:
0
lim
xx

c = c,
0
lim
xx

x = x

0
Lớp Ngày dạy Sĩ số
11A2
- Đọc và nghiên cứu và
thảo luận theo nhóm đợc
phân công.
- Trả lời câu hỏi của GV.
- Đọc và nghiên cứu VD2.
- Phát biểu định nghĩa theo
yêu cầu của giáo viên?
- Đọc nghiên cứu VD3.
- Trao đổi thảo luận và lên
bảng chứng minh nhận
xét.
- Đọc nghiên cứu VD4.
- Trả lời và trình bày đợc:
+ Hàm số xác định khi x

0 và x

-2
+
2
2
1
2 1
lim
2
x
x x

x x

+
+
= -4
- Đọc nghiên cứu VD5.
- Đọc nghiên cứu VD6.
- Giới hạn vô cực của hàm
số tại một điểm đợc định
nghĩa tơng tự nh giới hạn
hu hạn của hàm số tại một
điểm. Hãy phát biểu định
nghĩa đó?
- Nêu và hớng dẫn HS thực
hiện VD2?
- Trong trờng hợp khác
hãy phát biểu định nghĩa t-
ơng tự?
- Nêu và hớng dẫn học
sinh thực hiện VD3?
- Nêu nhận xét và yêu cầu
học sinh chứng minh?
- Định lí vẫn đúng khi x
, x +
- Hãy phát biểu thành lời
định lí?
- Nêu nhận xét.
- Nêu và hớng dẫn học
sinh thực hiện VD4?
- Hãy thực hiện H2?

+ Tìm miền xác định của
hàm số?
+ Tìm
2
2
1
2 1
lim
2
x
x x
x x

+
+
?
- Nêu và hớng dẫn học
sinh thực hiện VD5?
2. Giới hạn vô cực
Giả sử x
0


(a;b) và f là
một hàm số xác định trên
tập (a;b) \
{ }
0
x
0

lim
xx

f(x) = +



Với
mọi dãy số (x
n
) trong tập
(a;b) \
{ }
0
x
mà limx
n
= x
0
ta
đều có limf(x
n
) = +

II. Giới hạn của hàm số
tại vô cực.
* Định nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định
trên khoảng (a;+

)
+
x
lim
f(x) = L

Với mọi
dãy số (x
n
) trong khoảng
(a;+

) (tức x
n
> a) mà
limx
n
= +

ta đều có
limf(x
n
) = L.
* Nhận xét :
+
x
lim
x
k
= +

,
+
x
lim
k
x
1
=
0,
x
lim
x
k
=
, 2
, 2 1
k n
k n
+ =


= +


x
lim
k
x
1

= 0
3. Một số định lí về giới
hạn hữu hạn.
* định lí 1:
Giả sử:
0 0
lim ( ) , lim ( )
x x x x
f x L g x M

= =
.
Khi đó:
0
0
0
0
lim( ( ) ( ))
lim( ( ) ( ))
lim( ( ). ( )) .
lim( . ( )) .
x x
x x
x x
x x
f x g x L M
f x g x L M
f x g x L M
c f x c L

+ = +
=
=
=
Nếu M

0 thì
- Trình bày đợc H3:
4 3
4 2
2
lim
2 7
x
x x x
x x

+
+
= 2
- Tính đợc:
3
1
lim( 7 ) 8
x
x x

+ =
3
1
3 3
1
lim 7 8
lim 7 2
x
x
x x
x x


+ =
+ =
- Nêu định lí 2.
- Nêu và hớng dẫn học
sinh thực hiện VD6?
- Hãy thực hiện H3?
+ Chia cả tử và mẫu cho x
3
ta đợc hàn số nào?
+ Tính
4 3
4 2
2
lim
2 7
x
x x x

x x

+
+
?
- Hãy thực hiện H3?
Tìm
3
1
lim( 7 )
x
x x

+
?
3
1
3 3
1
lim 7 ?
lim 7
x
x
x x
x x


+
+
0

( )
lim
( )
x x
f x L
g x M

=
* Nhận xét:
0
0
lim . .
k k
x x
a x a x

=
* Định lí 2 :
Giả sử:
0
lim ( )
x x
f x L

=
. Khi
đó

0
0

3
3
) lim ( )
) lim ( )
x x
x x
a f x L
b f x L


=
=

c)Nếu f(x)

0 với
{ }
0
\x J x
trong đó J là
một khoảng nào đó chứa x
0
thì L

0 và
0
lim ( )
x x
f x L

=
4. Củng cố: - Cách tìm giới hạn của hàm số tại một điểm, tại vô cực ?
* áp dụng làm bài tập : 23, 24, 25 (SGK T152)
* Bài 1: Cho hàm số f( x ) =
2
x 9
x 3


. Tìm lim f( x ) khi x 1 ? Khi x 3 ?
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Giả sử ( x
n
), ta có:
f( x
n
) =
2
n n n
n
n n
x 9 (x 3)(x 3)
x 3
x 3 (x 3)
+
= = +

- Nếu lim x
n
= 1 thì lim f( x

n
) = 1 + 3 = 4
Suy ra
x 1
limf(x) 4

=
- Nếu lim x
n
=3 ( x
n
3) thì lim f( x
n
) = 3 + 3
= 6
Suy ra
x 3
limf(x) 6

=
- Hớng dẫn học sinh dùng định nghĩa
1 để tìm giới hạn của hàm số.
- Củng cố định nghĩa 1:
Để chứng minh không tồn tại giới hạn
0
x x
lim f(x)

bằng định nghĩa 1:
Lấy 2 dãy số ( x

n
) phân biệt sao cho
lim x
n
= x
0
và c/m 2 dãy tơng ứng
( f (x
n
) ) có giới hạn khác nhau.
* Bài 2: Tìm các giới hạn sau: a)
2
x 3
x 1
lim
2 x

+
b)
2
x 0
1
lim x sin
x


ữ


Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên

a)
2
x 3
x 1
lim
2 x

+
=
2
2
x 3 x 3
x 3 x 3
limx lim1
3 1 5 3
3
lim2.lim x 2. 3


+
+
= =
b) Ta có: 0
2
1
x sin
x
x
2
mà

2
x 0 x 0
limx lim0 0

= =

nên ta có:
2
x 0
1
lim x sin
x


ữ

= 0 ( định lí 2 )
- Cho bài tập đối với HS khá:
Chứng minh rằng
x 0
1
limsin
x

?
không tồn tại.
- HD: Lấy hai dãy số (x
n
)0 là:
x

n
=
1
n2
và x
n
=
1
n2
2

+
* Bài 3: Tìm giới hạn ( nếu có ) của các hàm số sau khi x +:
a) f( x ) =
sinx
x
b) g(x) =
2 2
4
x sin2x x cos2x
3x 1
+
+
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a) Ta có
sinx 1
0
x x

x R \

{ }
0
. Mặt
khác, ta lại có:
x
1
lim 0
x
+
=
nên
x
sinx
lim 0
x
+
=
b) Do
2 2 4 4 2
x sin2x x cos2x x x x 2+ + =

xR nên:
2 2 2
4 4
x sin2x x cos2x x 2
3x 1 3x 1
+

+ +

Hay:
2 2 2 2
4 4 4
x 2 x sin2x x cos2x x 2
3x 1 3x 1 3x 1
+

+ + +
Mặt khác:
2
4
x x
2 4
x 2 2
lim lim 0
3 1
3x 1
x x
+ +
= =
+
+
nên
suy ra đợc:
x
lim g(x) 0
+
=
- Gọi 2 học sinh lên bảng trình
bày bài tập đã đợc chuẩn bị ở nhà.

u(x) f(x) v(x) xK \
{ }
0
x

và
0 0
x x x x
lim u(x) lim v(x) L

= =
thì ta
cũng có:
0
x x
lim f(x) L

=
.
5. Về nhà: - Học bài và hoàn thành bài tập trong SGK và SBT.


Ngày soạn:
Tiết 65 Giới hạn Một bên
A - Mục tiêu:
- Nắm đợc k/n giới hạn một bên, giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực của hàm số
- áp dụng đợc vào bài tập
B. Ph ơng tiện thực hiện :
- Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài học, máy tính bỏ túi fx
-500MS, fx - 570MS, fx - 500A

C. Cách thức tiến hành:
Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề,
luyện chữa.
D - Tiến trình bài học :
1. ổ n định tổ chức :

Lớp Ngày dạy Sĩ số
11A2
2. Kiểm tra bài cũ:
* Làm bài tập: Cho hàm số f( x ) =




+


2
2x 3 nếu x 1
x 3x 2
nếu x<1
x 1
Tính f(1)?
1
2
1
lim(2 3) ?
3 2
lim ?
1

x
x
x
x x
x



+

Liệu có tìm đợc
x 1
limf(x)?
?
3. Bài mới:
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt
- Đọc và nghiên cứu và
thảo luận theo nhóm phần
định nghĩa.
- Trả lời câu hỏi của GV.
- Ytao đổi, thảo luận
và trả lời câu hỏi
của giáo viên.
- Đọc nghiên cứu và thảo
luận VD1.
- Trình bày đợc:
+
( 1)
lim ( ) 1,
x

f x


=
( 1)
lim ( ) 1
x
f x
+

=
. Vậy
( 1)
lim ( ) 1
x
f x

=
- Trả lời câu hỏi của giáo
viên.
- Đọc nghiên cứu và thảo
luận VD2.
- Tơng tự hãy định nghĩa
giới hạn bên trái của hàm
số tại x
0
?
- Nếu hàm số có giới hạn
tại x
0

thì có giới hạn bên
phải và giới hạn bên trái
tại đó hay không?
- Nêu và hớng dẫn học
sinh thực hiện VD1?
- Thực hiện H1?
+ Tìm giới hạn bên trái và
bên phải của hàm số?
+ Kết luận?
- Cho học sinh nêu định
nghĩa giới hạn tại vô cực
1. Giới hạn hữu hạn.
* Định nghĩa 1: Hàm số f
xác định trên khoảng
(x
0
;b), x
0


R
0
lim
x x
L
+

=
Với mọi dãy số
(x

n
) trong khoảng (x
0
;b)
mà limx
n
= x
0
ta đều có:
limf(x
n
) = L.
* Định nghĩa 2: Hàm số f
xác định trên khoảng
(a;x
0
), x
0


R
0
lim
x x
L


=
Với mọi dãy số
(x

n
) trong khoảng (a;x
0
)
mà limx
n
= x
0
ta đều có:
limf(x
n
) = L.
* Nhận xét:
+ Nếu
0
lim ( )
x x
f x L

=
thì f có
giới hạn bên phải và giới
hạn bên trái tại x
0
và
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x
+

=
= L
+ Ngợc lại vẫn đúng.
Nếu
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x
+

=
=L
thì f có giới hạn tại x
0
và
0
lim ( )
x x
f x L

=
+ Các địng lí 1, 2 (T63)
vẫn đúng khix
0 0
,x x x
+

II. Giới hạn vô cực
- Các định nghĩa

0 0
lim ( ) , lim ( )
x x x x
f x f x


= + =