CII-Giải tích 11

ĐạI Số Tổ hợp 11
Chuyên đề: Tổ hợp - Xác xuất-Nhị thức Niu-tơn
A. Lý thuyết
1.C ác quy tắc đếm
1.1 Quy tắc công:
Giả sử một công việc có thể thực hiện theo 1 trong k phơng án A
1
,A
2
...Ak.Có :
n
1
cách thực hiện phơng án A1
n
2
cách thực hiện phơng án A
2
...................................................
n
k
cách thực hiện phơng án A
k
Khi đó số cách để thực hiện công việc là : T=n
1
+n
2
+...+n
k
1.2 Quy tắc nhân :
Giả sử một công việc gồm k công đoạn A
1

,A
2
...A
k
.Có :
n
1
cách thực hiện phơng án A
1
n
2
cách thực hiện phơng án A
2
...................................................
n
k
cách thực hiện phơng án A
k
Khi đó số cách để thực hiện công việc là:N=n
1
.n
2
....n
k
2. Chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị
2.1Hoán vị
Cho tập A gồm n phần tử.Số các hoán vị (đổi vị trí) của A ký hiệu là P
n
và P
n

=n!=n(n-1)(n-2)....1
2.2 Chỉnh hợp
Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k ( 1 k n).Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ
tự ta đựoc chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. Số các chỉnh hợp chập k của A ký hiệu là
k
n
A

)!(
!
kn
n
A
k
n

=
với qui ớc 0!=1và
0
n
A
=1 (0 k n)
2.3 Tổ hợp
Cho tập A gồm n phần tử và ssó nguyên k ( 1 k n).Mỗi tập con gồm k phần của A gọi là một tổ hợp chập k
của n phần tử của A.Số các tổ hợp
của A ký hiệu là :
k
n
C
và

( )
!
! ! !
k
k
n
n
A
n
C
n k n k
= =


2.4 Các công thức tính chất của:
k
n
C
Các tính chất dới đây ta ngầm hiểu là các biểu thức tồn tại và có nghĩa
1.
k n k
n n
C C

=
2.
1
1
k k k
n n n

C C C

+
= +
(hay kiểu khác
1 1
1
k k k
n n n
C C C
+ +
+
= +
) 3.
1
1
1
1
k k
n n
n
C C
k
+
+
+
=
+
H ớng dẫn chung :Phần lớn các bài tập thuộc phần toán đếm này đều có hai dạng là đếm số và đếm số
phơng án.

- Với bài toán đếm số chúng ta chỉ cần gọi số cần đếm dang a
1
, a
2
..a
n
sau đó phân tích xem có bao nhiêu cách
chọn các số a
1
, a
2
..a
n
rồi tổng hợp lại.Chú ý rằng nên dùng các quy tắc hoán vị chỉnh hợp để chọn gộp các số a
1
,
a
2
..a
n
để khỏi phải đếm theo qui tắc cộng hay nhân
- Với bài toán đếm số phơng án thì ta phân ra làm các phơng án A1,A2...An theo yêu cầu của đề (để phân
không thiếu trờng hợp nên sử dụng biểu đồ cây-mình sẽ nói rõ ở bài học)sau đó đếm số cách thực hiện các ph-
ơng án A1,A2...An.Rồi tổng hợp lại là OK ngay!
- Sự khác biệt giữa số chỉnh hợp và tổ hợp là:tuy cùng là số cách lấy k phần tử tử từ tập A ra nh ng chỉnh hợp
thì sắp thứu tự còn tổ hợp thì không.Còn hoán vị thực ra là trờng hợp riêng của chỉnh hợp khi ta đem cả n phần
tử của A ra sắp xếp lại theo thứ tự
- Một số bài tập làm theo phần thuận sẽ khó khăn ta nên làm ngợc lại theo phần bù.Ví nh trong một thùng da
hấu và táo có 100 quả ngời ta bắt đếm số quả táo.Do táo nhỏ khó đếm nên ta đếm số da hấu rồi lấy tổng số quả
trừ đi là the end ngay thôi

3. Nhị thức niu- tơn
1
§¹I Sè Tỉ hỵp 11
Với hai số thực a,b và n
N∈
ta có công thức:
( )
0 1 1 2 2 2
... ...
n
n n n k n k k n n
n n n n n
a b C a C a b C a b C a b C b
− − −
+ = + + + + + +
Các số
k
n
c
là các hệ số của nhò thức
-Số hạng tổng quát của khai triển , kí hiệu có dạng,
1
n k n k k
k n
T C a b
− −
+
=
-Các hệ số của nhò thức cách đều hai đầu của sự khai triển thì bằng nhau:
n k k

n n
C C
−
=
-
0 1 2
... ... 2
k n
n
n n n n n
C C C C C
+ + + + + + =
-Tổng các hệ số hệ số của nhò tức nằm ở các vò trí chẳn,bẳng tổng các hệ số nhò thức ở các vò trí lỴ vµ
bằng
1
2
n−
0 2 4 1 3 5
... ...
n n n n n n
C C C C C C
+ + + = + + +
=
1
2
n−
*
( )
1
n

x
+ =
0 1 2 2
... ...
k k n n
n n n n n
C C x C x C x C x
+ + + + + +
*
( )
1
n
x
− =
( ) ( )
0 1 2 2
... 1 ... 1
k n
k k n n
n n n n n
C C x C x C x C x− + − + − + + −
b. Bµi tËp vỊ ®¹i sè tỉ hỵp - X¸c xt-NhÞ thøc Niu-t¬n:
Quy t¸c céng, Quy t¾c nh©n:
1. Mét trêng phỉ th«ng cã 12 häc sinh chuyªn tin vµ 18 häc sinh chuyªn to¸n. Thµnh lËp mét ®oµn gåm hai ngêi
sao cho cã mét häc sinh chuyªn to¸n vµ mét häc sinh chuyªn tin. Hái cã bao nhiªu c¸ch lËp mét ®oµn nh trªn?
2. Tõ c¸c sè 1,2,3,4,5,6,7,8.
a. Cã bao nhiªu sè tù nhiªn gåm 6 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau?
b. Cã bao nhiªu sè gåm 5 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau vµ chia hÕt cho 5?
3. Cã thĨ lËp bao nhiªu sè ch¼n gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau lÊy tõ 0,2,3,6,9?
4. Cã bao nhiªu sè ch¼n cã 4 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau?

5. Tõ c¸c s« 0,1,2,3,4,5.
a. Cã bao nhiªu sè cã ba ch÷ sè kh¸c nhau chia hÕt cho 5
b. cã bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau chia hÕt cho 9?
Ho¸n vÞ.
1. Cho 5 ch÷ sè 1,2,3,4,5.
a. Cã bao nhiªu sè cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau?
b. Cã bao nhiªu sè cã 5 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau vµ b¾t ®Çu lµ sè3?
c. Cã bao nhiªu sè cã 5 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau vµ kh«ng b¾t ®Çu b»ng sè 1.
d. Cã bao nhiªu sè cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau vµ b¾t ®Çu la ch÷ sè lỴ?
2. Cã bao nhiªu xÕp 5 b¹n A,B,C,D, E vµo mét ghÕ dµi sao cho:
a. B¹n C ngåi chÝnh gi÷a.
b, Hai b¹n A, E ngåi hai ®Çu ghÕ?
3. Mét häc sinh cã 12 cn s¸ch ®«i mét kh¸c nhau trong ®ã cã 4 cn V¨n, 2 cn To¸n, 6 cn Anh V¨n, Hái
cã bao nhiªu c¸ch s¾p c¸c cn s¸ch lªn mét kƯ dµi sao cho c¸c cn cïng m«n n»m kỊ nhau?
4. Cã hai bµn dµi, mçi bµn cã 5 ghÕ. Ngêi ta mn xÕp chỉ ngåi cho 10 häc sinh gåm 5 nam vµ 5 n÷. Hái cã bao
nhiªu c¸ch s¾p xÕp nÕu:
a. C¸c häc sinh ngåi t ý?
b. C¸c häc sinh nam ngåi mét bµn, häc sinh n÷ ngåi mét bµn?
5. XÐt c¸c sè gåm 9 ch÷ sè trong ®ã cã 5 ch÷ sè 1 vµ 4 ch÷ sè cßn l¹i lµ 2,3,4,5. Hái cã bao nhiªu c¸ch s¾p nÕu
a. N¨m ch÷ sè 1 xÕp kỊ nhau
b. N¨m ch÷ sè 1 xÕp t ý?
ChØnh hỵp.
1. Tõ c¸c sè 1,2,3,4,5,6 lËp bao nhiªu sè cã 4 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau?
2. Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau??
3. Tõ c¸c sè 0,1,3,5,7 lËp bao nhiªu sè gåm 4 ch÷ sè kh¸c nhau
a. Chia hÕt cho 5
2
ĐạI Số Tổ hợp 11
b. Không chia hết cho 5?
4. Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau trong đó

a. Số tạo thành là số chẳn?
b. Một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt số 1?
c. nhất thiết phải có mặt chữ số 5??
d. Phải có mặt hai số 0 và 1?
5. Từ các số 1,2,3,4,5,6,7 lập đựoc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276??
6. Giải các phơng trình và bất phơng trình sau:
a.
)2(672.
2
ã
2
xxxx
PAAP
+=+
b.
xAA
xx
215
23
+
c.
8910
9
xxx
AAA
=+
Tổ hợp.
1. Đề thi trắc nghiệm có 10câu hỏi Học sinh cần chọn trả lời 8 câu
a. Hỏi có mấy cách chọn tuỳ ý?
b. Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc?

c. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu sau??
2. Một tổ có 12 học sinh. Thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau. Cần chọn 4 học sinh cho mỗi đề kiểm tra. Hỏi
có mấy cách chọn?
3. Có 5 tem th khác nhau và 6 bì th khác nhau. Ngời ta muốn chọn từ đó ra 3 tem th và 3 bì th và dán 3 tem th
lên 3 bì th đã chọn. Mỗi bì th chỉ dán 1 tem. Hỏi có bao nhiêu cách làm nh thế?
4. Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 ng ời đi dự Hội nghị sao cho
trong đó có ít nhất 1 cán bộ lớp?
5. Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý. Muốn lập một đoàn công tác có 3 nguời gồm cả
nam lẫn nữ, cần có nhà Toán hoc lẫn Vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
6. Một đội Văn Nghệ gồm 10 nguời trong đó có 6 nữ, 4 nam. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ:
a. Thành hai nhóm có số nguời bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau?
b. Có bao nhiêu cách chọn 5 ngời trong đó không quá một nam?
7. Có hai đờng thẳng song song d
1
và d
2
. Trên d
1
lấy 15 điểm phân biệt, trên d
2
lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi có bao
nhiêu tam giác mà có 3 đỉnh là các điểm đã lấy?
8. Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng, các quả cầu đều khác nhau. Chọn ngẫu
nhiên 4 quả cầu trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
a. Sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ cả ba màu?
b. Không có đủ ba màu?
9. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngời gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh
niên tình nguyện đó về giúp đỡ ba tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ??
10. Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ.
Từ 30 câu hỏi đó lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho trong mỗi đề nhất thiết

phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2??
11. Đội TNXK của một trờng có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B, 3 học sinh lớp C. Cần
chọn 4 học sinh làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn nh vậy??
12. i tuyn hc sinh gii gm 18 em, gm 7hc sinh khi 12, 6 hc sinh khi 11, 5 hc sinh khi 10. C 8 em
i d tri hố sao cho mi khi cú ớt nht 1 em c chn. Hi cú bao nhiờu cỏch c nh vy?
13. (ĐH Y-2000)
Có 5 nhà toán học nam,3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam.lập 1 đoàn công tác có 3 ngời cần có cả nam
và nữ ,có cả toán và lý .Hỏi có bao nhiêu cách
14. Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ biết khiêu vũ.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3nam và 3 nữ để ghép thành 3
cặp nhảy
15. Bill Gate có 5 ngời bạn thân. Ông muốn mòi 5 trong số họ đi chơi xa .Trong 11 ngời này có 2 ngời không
muốn gặp mặt nhau. Hỏi ngài tỷ phú có bao nhiêu cách mời
16. ĐH-CĐ khối B/2004
Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 cau khó(K) 10 câu trung bình(TB)và 15 câu dễ(D).Từ 30 câu có có thể lập
đợc bao nhiêu đề kiểm tra mỗi đề gồm 5 câu khác nhau sao cho mỗi đề fải có 3 loại(K-D-TB)và số câu dễ không
ít hơn 2?
3
ĐạI Số Tổ hợp 11
17. ĐH-CĐ khối B/2005
Một đội thanh nien tình nguyện có 15 ngời,gồm 12 nam và 3 nữ .Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội
tình nguyện đó về 3 miền núi sao cho mỗi tỉnh đều có 4 nam và 1 nữ
18. Trong mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh đợc lấy từ các đỉnh của H.
a/ Có bao nhiêu tam giác nh vậy.
b/ Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của H.
c/ Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H.
d/ Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của H.
19. ***ĐH-CĐ khối B/2002 Cho đa giác đều A
1
,A

2
,....A
2n
(n

N và n 2) nội tiếp đờng tròn (O).Biết rằng
số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n đỉnh A
1
,A
2
,....A
2n
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là4 trong 2n
đỉnh A
1
,A
2
,....A
2n
. Tìm n
RúT GọN CáC BIểU THứC

1. Rút gọn các biểu thức sau:
a. A=
4 7 8 9
10 3 5 2 7
P P P P
P P P P P

ữ

b. B=
6 5
n n
4
n
A +A
A
c. C =
2
5 3
4 2
5
4 3 2 1
5 5 5 5
3 2
P P
P P
A
A A A A
P 2P

+ + +
ữ



d. D=
n+1

4
n n-k
P
A P
+
5 6 7
15 15 15
7
17
C +2C C
C
+
e. E=
2 3 3
6 8 15
3
3 5
1 1 1
C - C C
3 28 65
P A
+
f. F=
3 2
5 5
2
A - A
P
+
5

2
P
P
2. Chứng minh :
a.
n
n
P
=
n-1
1
P
+
n-2
1
P
b.
n+2 n+1 2 n
n+k n+k n+k
A A Ak+ =

c.
2 2 2 5
k n+1 n+3 n+5 n+5
P A A A n.k!A=
d.
k n-k
n n
C C
=

PHơng trình liên quan đến công thức tổ hợp:
Giải các PT và BPT sau:
1.
xxCCC
xxx
14966
1221
=++
2. P
2
x
2
-P
3
.x=8 3.
2 2
x 2x
2A +50=A , x N
4.
123
14

=+
x
xxx
CCA
5.
1 2 3
x x x
7

C +C +C = x
2
6.
3 2 2
x-1 x-1 x-2
2
C C = A
3


7.
1 2 1
x x+1 x+4
1 1 7
=
C C 6C

8.
3 n-2
n n
A +C =14n
9.
3 4 2
2 3
n n n
A C A =
10.
=
2 2
x x x x

P A 72 6(A 2P )
11.
=
x x x
5 6 7
1 2 14
C C C
12.
+ + + +
+ + + =
2 2 2 2
n 1 n 2 n 3 n 4
C 2C 2C C 149
13.
1 2 3 2
x x x
C 6C 6C 9x 14x
+ + =

14.
23
2
20
nn
CC
=
15.
=
x x x
4 5 6

1 1 1
C C C
16.Tìm k sao cho các số
k k 1 k 2
7 7 7
C ;C ;C
+ +
theo thứ tự lập
thành một cấp số cộng. 17 . Giải phơng trình
6
1
)!1(
)!1(!
=
+

x
xx
với x là số tự nhiên khác 0.
18.
3032
22
1
<+
+
xx
AC
19.
10
6

2
1
32
2
+
xx
x
x
C
x
AA
20 .
12
4
15
.
+
+
<
nnn
n
PPP
P
21.


+
<
x 3
x 1

4
x 1 3
C
1
A 14P
22.

<
4 3 2
x 1 x 1 x 2
5
C C A 0
4
23.
+
2 2 3
2x x x
1 6
A A C 10
2 x
2 4 .
2 4 2x 2003
2x 2x 2x
C C ... C 2 1
+ + +

4
ĐạI Số Tổ hợp 11
25. Giải hệ:

=
=+
8025
9052
y
x
y
x
y
x
y
x
CA
CA
26.
2 1
1
5 3
y y
x x
y y
x x
C C
C C

=


=


27.
+

=


=

y y 1
x x
y y 1
x x
C C 0
4C 5C 0
28.
+
+ + +
=
m 1 m m 1
n 1 n 1 n 1
C : C : C 5 : 5 : 3
29.
4 3 2

n 1 n 1 n 2
5
C C A 0, n
4

< Ơ 30.
3 n 2
n n
A 2C 9n

+
31.
+ =


=

y y
x x
y y
x x
2A 5C 90
5A 2C 80
32.
+
+
=
y y 1 y 1
x 1 x x
C : C : C 6 : 5 : 2

Các bài toán tổng hợp:
1. Có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số từ các số 1,2,...,6. Trong đó 1 và 6 có mặt 2 lần, các số còn lại 1 lần.
2. Có bao nhiêu số chẳn gồm 6 chữ số khác nhau trong đó chữ số đàu tiên là số lẻ.
3. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có đúng 3 chữ số chẳn và 3 chữ số lẻ.
4. Có baonhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có mặt số 0 nhng không có mặt số 1
5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ sô biết rằng sô 2 có mặt 2 lần, số 3 có mặt 3 lần, các chữ số còn lại
không quá một lần?
6.Cho hai ng thng song song d
1
v d
2
. Trờn ng thng d
1
ly 10 im phõn bit, trờn ng thng d
2
cú n
im phõn bit (n>1). Bit rng cú 2800 tam giỏc cú nh l cỏc im ó cho. Tỡm n.
7.T cỏc ch s 0,1,2,3,4,5,6, cú th lõp bao nhiờu s chn, mi s cú 5 ch s khỏc nhau trong o cú ỳng 2 ch
s l v hai ch s l ú ng cnh nhau?
8. T cỏc s 0,1,2,3,4 cú th lp baonhiờu s t nhiờn cú 5 ch s khỏc nhau? Tớnh tng tt c cỏc s t nhiờn ú.
9.Cú bao nhiờu s t nhiờn gm 5 ch s sao cho: Ch s 0 cú mt hai ln, s 1 cú mt 1 ln, 2 s cũn li phõn
bit
10. Cú bao nhiờu s t nhiờn cú bn ch s sao cho khụng cú ch s no lp li 3 ln.
11. Cú bao nhiờu s t nhiờn cú 7 ch s sao cho: S 2 cú mt 2ln, s 3 cú mt 3 ln, cỏc s cũn li khụng quỏ
mt ln.
12. Cho a giỏc u A
1
, A
2
, ......A

2n
ni tip ng trũn tõm O, bit rng s tam giỏc cú cỏc nh l 3 trong 2n
im A
1
, A
2
, ......A
2n
gp 20 ln s hỡnh ch nht cú nh l 4 trong 2n im.Tỡm n.
13. T cỏc s 1,2,.....,6. Lp bao nhiờu s cú 3 ch s khỏc nhau v chia ht cho 3.
14. Cú bao nhiờu s t nhiờn chn gm 5 ch s khỏc nhau v khụng bt u bng 123.
Nhị thức Newton
I. áp dụng công thức khai triển.
1. Tìm hệ số của số hạng thứ t trong khai triển
10
1






+
x
x
2. Tìm hệ số của số hạng thứ 31 trong khai triển
40
2
1

+
x
x
3. Tìm hạng tử chứa x
2
của khai triển:
(
)
7
3 2
xx
+

4. Tìm hạng tử không chứa x trong các khai triển sau: a.
12
3
3






+
x

x
b.
7
4
3
1








+
x
x
5. Tìm hệ số của x
12
y
13
trong khai triển của (2x-3y)
25
6. Tìm hạng tử đứng giữa trong khai triển
10
3
5
1

+
x
x
7. trong khai triển
21
3
3








+
a
b
b
a
tìm hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng nhau?
8. Cho khai triển :
( )
100

2 100
0 1 2 100
x 2 a a x a x ... a x
= + + + +
a/ Tính hệ số
97
a
.
b/
0 1 2 100
...S a a a a= + + + +
5