chung minh bat dang thuc

Chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN
của hàm số bằng phơng pháp chuyển về lợng giác
-----------
Các vấn đề cần chuẩn bị :
1- Các công thức lợng giác
2- Các ĐT, BĐT trong tam giác
3, Bài toán ví dụ:
Dạng 1: Sử dụng điều kiện của biến x k (k >0)
Đặt x = k.sina;
22


a
hoặc đặt x = k.cosa; 0 a
Ví dụ 1: Chứng minh các biểu thức sau:
a,
154aa93
2
+
b,
9
2
8a
2
a16a1
+
c,
3a1 với12645a
2
24a
3

4a
+
Giải:
a, Điều kiện:
22
- 3sina; a ặt Đ 3.a



=
Khi đó

3sin3cos4.3sin3.3cos4aa93
2
+=+=+
3
=
151515
=+
)-3cos(sin
5
4
cos
5
3

Với
5
4
sin ;

5
3
cos
==

b, Điều kiện a 1. Đặt a = cos; 0
Ta có
9
2
8a
2
a16a1
+

5
2
4(2a
2
a16a
+
)15

51)
2
4(2cossin 6cos
+


524cos3sin
+

)
5
3
vàsin
5
4
cos (với
==

52(cos5
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có đpcm
c, Từ 1 a 3 - 1 a - 2 1
Đặt a - 2 = cos với [0; ]
1
Khi đó:
A = 4a
3
- 24a
2
+ 45a - 26
= 4 (cos +2)
3
- 24(cos +2)
2
+ 45 (cos + 2) - 26
= 4cos
3
- 3cos = cos3

Ví dụ 2: Chứng minh các bất đẳng thức:
a,
1
2
x1y
2
y1x
+
b,
2
2
x12x1)
2
(2x3
+
Giải:
a, Điều kiện x 1; y 1
Đặt x = sina, y = sinb với







2
;
2

ba,

Khi đó:
2
x1y
2
y1x
+
= sinacosb + sinbcosa = sin(a + b)

1b)sin(a
2
x1y
2
y1x
+=+
(đpcm)
b, Điều kiện x 1
Đặt x = cosa với 0 a
Khi đó:
2cosasina1)a
2
(cos3
2
x12x1)
2
(2x3
+=+
=
sin2a)
2
1

cos2a
2
3
2( sin2a cos2a 3
+=+
=
)
6
(cos(2a2 sin2a)
6
sin cos2a
6
2(cos

=+
=
2
=+
)
6
(cos(2a2
2
x12x1)
2
(2x3

(đpcm)
Ví dụ 3:
Chứng minh nếu x < 1 và n là số nguyên (n 2) thì ta có BĐT:
(1 - x)

n
+ (1 +x)
n
< 2
n
Giải:
Với điều kiện bài toán x < 1
đặt x = cosa, a K
Khi đó (1 - x)
n
+ (1 +x)
n
= (1- cosa)
n
+ (1 + cosa)
n
2
=
n
2
a
2
2cos
n
2
a
2
2sin

+
=
n
2)
2
a
2
cos
2
a
2
(sin
n
2 )
2
a
2n
cos
2
a

2n
(sin
n
2
=+<+
(vì với n 2 sin
2n
x < sin
2
x và cos
2n
x < cos
2
x)
Dạng 2: Biến x, y của biểu thức có điều kiện: x
2
+ y
2
= k
2
(k >0)
Đặt x = k.cos; y = k.cos; [0; 2]
Ví dụ 1:
Cho x
2
+ y
2
= 1, chứng minh rằng:
a,
1

y2
x3

+
b,
1yx
4
1
66
+
c, a + b = 2; chứng minh: a
4
+ b
4
a
3
+ b
3
d, a + b = c. Chứng minh:
4
3
4
3
4
3
cba
>+
e, x
2
+ y

2
= u
2
+ v
2
= 1
Chứng minh:
2v)y(uv)x(u
++
Giải:
a, Từ điều kiện x
2
+ y
2
= 1
Ta đặt x= sin; y = cos
( [0; 2] khi đó BĐT cần chứng minh tơng đơng với:
-1



cos2sin
cos
sin
+
+
3 cos - -21
2
3
(vì 2 + cos >0)

+
(2) 2 cos sin3
(1) -2 cos sin3


Ta có:
) cos
2
1
sin
2
3
2( cos sin3

+=+
=
) cos
6
sin
6
2(

+
3
=
(1) -2)
6
2sin(
+


và
) cos
2
1
sin
2
3
2( cos sin3

+=
=
(2) )
6
- 2sin(



Vậy
1

y2
x3

+
b, Đặt x = sin; y = cos
Khi đó:
x
6
+ y
6
= sin
6
+ cos
6

= (sin
2
+ cos
2
) (sin
4
- sin
2
cos
2
+ cos
4
)
= (sin
2

+ cos
2
)
2
- 3sin
2
cos
2
= 1-
4
3
sin
2
2
Vì 0 sin
2
2 1 nên
4
3
1
4
1

sin
2
2 1

1yx
4
1

66
+
(đpcm)
c, * Nếu một trong hai số có hai số âm, chẳng hạn b <0
Khi đó a> 2 và ta có a
4
> a
3
; b
4
> b
3
Vậy a
4
+ b
4
> a
3
+ b
3
* Giả sử a 0; b 0. Từ điều kiện a + b = 2
Ta đặt a = 2sin
2
; b = 2cos
2
khi đó:
a
4
+ b
4

> a
3
+ b
3
16sin
8
+ 16cos
8
8sin
6
+ 8cos
6

8sin
6
(2sin
2
- 1) + 8cos
6
(2cos
2
- 1) 0
8cos2 (cos
6
- sin
6
) 0
8cos
2
2 (sin

4
+ sin
2
cos
2
+ cos
4
) 0
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có đpcm
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cos2 = 0 hay sin
2
= cos
2
hay a = b
d, Từ giả thiết
1
=+
c
b
c
a
Đặt

2
cos
c
b
;
2
sin

c
a
==
4
Khi ®ã (1) ⇔
4
3
4
3
4
3
cba
>+
>1 ⇔
1
4
3
)
4
3
)
>+
αα
2
(cos
2
(sin
⇔
1
2

3
)
2
3
)
>+
αα
(cos(sin
(2)
V× 0 < sinα < 1 vµ 0 < cosα < 1 nªn
αα
2
sin(sin
>
2
3
)
vµ
αα
2
(cos cos
2
3
)
>
do ®ã
1
2
cos
2

sin
2
3
)
2
3
)
=+>+
αααα
(cos(sin
tøc lµ ta cã (2) tõ ®ã suy ra ®pcm
D¹ng 3: Sö dông ®iÒu kiÖn x ≥ k (k > 0)
§Æt
α
cos
k
x =
; α ∈[ 0;
2
π
) ∪ [π ;
2
3
π
)
Khi ®ã x
2
- k
2
= k

2
(
)1
−
α
2
cos
1
= k
2
tg
2
α vµ tgα > 0
VÝ dô 1:
a, Cho a ≥ 1, chøng minh r»ng
2
a
31
2
a
2
≤
+−
≤−
b, Cho a ≥ 1, b ≥ 1 chøng minh r»ng
ab1
2
b1
2
a

≤−+−
c, Cho x, y, x, t lµ nghiÖm hÖ







≥+
=+
=+
12tyzx
16
2
z
2
t
9
2
y
2
x
Chøng minh r»ng: (x+z) ≤ 5
Gi¶i:
a, Tõ ®iÒu kiÖn a ≥ 1 ®Æt:
α
cos
k
a

=
; α ∈[ 0;
2
π
) ∪ [π ;
2
3
π
)
Khi ®ã:
5