đề cương đại số

MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ
I. Bất đẳng thức
Bài 1. Cho
, ,a b c
là các số dương. Chứng minh:
3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
Bài 2. Cho
, ,a b c
là các số dương. Chứng minh:
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
Bài 3. Cho
0 , , 1a b c< <
. Chứng minh rằng:
1 1
(1 )(1 )(1 )
3
a b c
a b c
≥ + − − −
+ +

Bài 4. Cho n số dương
1 2
, ,...,
n
x x x
thỏa
1 2
... 1
n
x x x+ + + =
. Chứng minh rằng:
1 2
1 1 1 ( 1)
n
x x x n n− + − + + − ≤ −L
Bài 5. Cho
1, 2, 3x y z≥ ≥ ≥
. Chứng minh:

1 2 3
1 1 1
1
2
2 3
yz x zx y xy z
xyz
− + − + −
 
≤ + +
 ÷

 
Bài 6. Cho
,a b
là hai số dương:
a) Chứng minh rằng:
4 2 2 4
1a b
ab
a b a b
+ ≤
+ +
b) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
a b ab
a b
ab
+
+
+
Bài 7. Cho các số dương
, ,a b c
thỏa mãn:
2 2 2
1a b c+ + =
. Chứng minh:
2 2 2 2 2 2
3 3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥

+ + +
Bài 8. Cho
,a b
là hai số dương. Chứng minh:
3 3 2 2
( )a b ab a b+ ≥ +
Bài 9. Cho các số dương
, ,a b c
. Chứng minh:
2 2 2
1 1 1 a b c
ab
a bc b ca c ab
+ +
+ + ≤
+ + +
Bài 10. Cho các số dương
, ,a b c
thỏa mãn:
1a b c+ + =
. Chứng minh:
2 2 2
1 1 1
9
2 2 2a bc b ca c ab
+ + ≥
+ + +
Bài 11. Cho các số dương
, ,a b c
. Chứng minh rằng:

3 3 3 2 2 2
a b c a bc b ca c ab+ + ≥ + +
Bài 12. Cho
,a b
lớn hơn 1. Chứng minh
2 2
8
1 1
a b
b a
+ ≥
− −
Giải
Cách 1. p dụng bất đẳng thức Minkwosky ta được:
2 2 2
( )
1 1 2
a b a b
b a a b
+
+ ≥
− − + −
. Mặt khác thì:
2
2 2 2
( )
8 2 8 8 16 0 ( 4) 0
2
a b
a ab b a b a b

a b
+
≥ ⇔ + + − − + ≥ ⇔ + − ≥
+ −
(đúng). Vậy ta có điều phải chứng minh.
Cách 2. Đặt
1, 1x a y b= − = −
, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
2 2
2 2
( 1) ( 1)
8 ( 1) ( 1) 8
x y
x x y y xy
y x
+ +
+ ≥ ⇔ + + + ≥
. Theo bất đẳng thức Cauchy thì:
2 2
( 1) ( 1) 2 ( 1)( 1)x x y y xy x y+ + + ≥ + +
. Mặt khác
2 ( 1)( 1) 8 ( 1)( 1) 4xy x y xy x y xy(đúng)+ + ≥ ⇔ + + ≥
Do đó ta có điều phải chứng minh.
Bài 13. Cho
,a b
dương và
1a b+ =
. Chứng minh:
2 2
1 1

6
ab
a b
+ ≥
+
Bài 14. Cho các số dương
, ,a b c
thỏa mãn:
1a b c+ + =
. Chứng minh:
2 2 2
1 1 1 1
30
ab bc ca
a b c
+ + + ≥
+ +
Bài 15. Cho các số dương
, ,a b c
thỏa mãn:
1ab bc ca+ + =
. Chứng minh:
2 2 2
1
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
II. Biến đổi đẳng thức

Bài 1. Cho các số
, , , , ,a b c x y z
thỏa mãn:
, ,x by cz y ax cz z ax by= + = + = +
,
0x y z+ + ≠
. Chứng minh:
1 1 1
2
1 1 1a b c
+ + =
+ + +
Bài 2. Cho ba số
, ,a b c
thỏa mãn đẳng thức:
2002 2002 2002
2003 2003 2003
1
1
a b c
a b c

+ + =


+ + =


. Tính giá trò của biểu thức:
2001 2002 2003

T a b c= + +
Bài 3. Cho
1a b c+ + =
và
1 1 1
0
a b c
+ + =
. Tính
2 2 2
a b c+ +
Bài 4. Cho
0x y z+ + =
. Chứng minh:
3 3 3
3x y z xyz+ + =
. Từ đó rút gọn phân thức:
3 3 3
2 2 2
3
( ) ( ) ( )
x y c xyz
x y y z z x
+ + −
− + − + −
Bài 5. Cho
3 3 3
0, 3abc a b c abc≠ + + =
. Tính giá trò của biểu thức:
A

a b c
1 1 1
1 . 1 . 1
     
= + + +
 ÷  ÷  ÷
     
Bài 6. Biết
ax by c
bx cy a
cx ay b
+ =


+ =


+ =

. Chứng minh rằng:
a b c abc
3 3 3
3+ + =
Bài 7. Cho
abc a b c0, 0≠ + + =
. Tính
a b c
bc ca ab
2 2 2
+ +

Bài 8. Cho
a b c d 0
+ + + =
. Chứng minh rằng:
a b c d c d ab cd
3 3 3 3
3( )( )+ + + = + −
Bài 9. Cho
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1
x y z a
x y z b
c
x y z


+ + =


+ + =



+ + =


. Tính
x y z
3 3 3

+ +
theo
a b c, ,
.
Bài 10. Giải hệ phương trình:
a b c
a b c
a b c
2 2 2
3 3 3
1
1
1
+ + =


+ + =


+ + =

Bài 11. Cho
a b c, ,
thỏa mãn:
a a b
2002 2003 2004
= =
. Chứng minh rằng:
a b b c c a
2

4( )( ) ( )− − = −
Bài 12. Cho
ax by cz
x y z
3 3 3
1 1 1
1

= =


+ + =


. Chứng minh rằng:
ax by cz a b c
2 2 2
3 3 3
3
+ + = + +
Bài 13. Chứng minh rằng nếu:
a bc 0≠
và
a b c 0
+ + =
thì:
b c a c a b a b c
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
0+ + =

+ − + − + −
Bài 14. Cho
x y,
thỏa mãn:
(
)
(
)
x x y y
2 2
2005 . 2005 2005+ + + + =
. Chứng minh rằng:
x y
2005 2005
0+ =
Bài 15. Cho
a b c, ,
là các số thực khác 0 sao cho:
a b b c c a a b c
3 3 3 3 3 3 2 2 2
3+ + =
. Tính giá trò của biểu thức:
a b c
A
b c a
1 . 1 . 1
     
= + + +
 ÷  ÷  ÷
     

III. Phương trình bậc hai và hệ thức Viét
Bài 1. Hai phương trình:
x a x x b x c
2 2
( 1) 1 0; ( 1) 0+ − + = + + + =
có nghiệm chung, đồng thời hai phương trình:
x x a x cx b
2 2
1 0; 1 0+ + − = + + + =
cũng có nghiệm chung. Tính giá trò của biểu thức:
a
b c
2004
+
Bài 2. Cho parabol (P):
y x
2
1
4
=
và đường thẳng (d):
y x
1
2
2
= − +
.
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d). Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất.
c) Tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA + NB ngắn nhất.

Bài 3. Cho hai số a và b khác 0 thỏa mãn:
a b
1 1 1
2
+ =
. Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm:
x ax b x bx a
2 2
( )( ) 0+ + + + =
Bài 4. Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số sau:
x
y
x x
2
2
1
1
+
=
− +
Bài 5. Biết rằng phương trình
x x
2
3 1 0− + =
có nghiệm x = a. Hãy tìm một giá trò của
b Z∈
để phương trình
x bx
16 8
1 0− + =

có nghiệm x = a.
Bài 6. Tìm k để phương trình
kx k x k
2
(12 5 ) 4(1 ) 0− − − + =
có tổng bình phương các nghiệm là 13.
Bài 7. Cho hai phương trình:
ax bx c a
2
0 (1), 0+ + = ≠
và
mx nx p m
2
0 (1), 0+ + = ≠
. Chứng minh rằng nếu ít
nhất một trong hai phương trình trên vô nghiệm thì phương trình sau luôn có nghiệm:
an bm x ap mc x bp nc
2
( ) 2( ) 0− + − + − =
Bài 8. Tìm các giá trò của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn m:
x x m
2
0+ + =
Bài 9. Tìm các giá trò của a để phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x x a x4 ( 7) 1 0+ − + =
Bài 10. Chứng minh rằng phương trình:
a b x a b x a b
2 2 2 3 3 4 4
( ) 2( ) 0− + − + − =
luôn có nghiệm với mọi a, b.

Bài 11. Tìm m sao cho phương trình
x m x m2 2 1 2 4 0− − + − =
có hai nghiệm phân biệt.
Bài 12. Cho phương trình:
m x mx
2
(2 1) 2 1 0− − + =
. Đònh m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn
x x
2 2
1 2
1− =
Bai 13. Cho phương trình:
x m x
3
( 2) 8 0− + + =
a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
b) Khi phương trình có ba nghiệm
x x x
1 2 3
, ,
chứng minh rằng:
x x x x x x
3 3 3
1 2 3 1 2 3
3+ + =

Bài 14. Tìm x, y thỏa mãn:
x y xy x y
2 2
5 5 8 2 2 2 0+ + + − + =
Bài 15. Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
x a x a a
x x
2 2
2
(3 2) 2 5 3
0
5 14
− − + − −
=
+ −
Bài 16. Cho phương trình
2
0x px q− + =
trong đó
,p q
là các số nguyên tố. Biết phương trình có hai nghiệm nguyên
dương. Chứng minh rằng
2 2
p q+
là số nguyên tố.
Bài 17. Giả sử phương trình
2
1 0x mx n+ + + =
có các nghiệm
1 2

,x x
là các số nguyên khác 0. Chứng minh rằng
2 2
m n+
là hợp số.
IV. Phương trình chứa căn
1)
3 1 2 ( 1)x x x+ + − = =
2)
4 3 2 ( 7)x x x− − = =
3)
1 4 3 ( 0, 3)x x x x− + + = = = −
4)
1 79
2 2 3 3 5 ( )
4
x x x x
− +
+ − − = − =
Bài tập về nhà
1)
3 5 2 3 2 ( 2)x x x x− + − = + =
2)
17
12 13 4 13 1 ( 3, )
33
x x x x x
−
+ − + = + = =

3)
2 5
1
2
x
x
+
=
−
(vơ nghiệm)
4)
( 3) 1 0 ( 1)x x x+ − = =
Bài tập nâng cao
1)
( 1) ( 2) 2 ( 3)x x x x x x− + − = −
2)
2 4 1 2 3 4 16x x x x− + − = − + −
3)
2
3 5 8 18x x x x− + − = − +
4)
13 13 x x− + =
5)
8 3 5 3 5x x+ − + − − =
6)
1 4 5 1 4 5 2( 17)x x x x x− + − + − − − = −
7)
3
2 2 2
3 3

8 ( 1) ( 1) 2 1x x x− − + = −
8) Cho
,x y
+
∈ ¡
có
6x y xy+ =
. Tính
x
y
9) Tìm
m
để phương trình sau có nghiệm
6 9 9x x x x m− − + + − =