Chuyên đề Đại 7: Số chính phương

Chuyên đề:
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Môn: ĐẠI 7
Lớp: 7
Người thực hiện: Lê Thị Kim Oanh
Thực hiện ngày 11 tháng 3 năm 2008
I. Mục tiêu
Sau khi học xong chuyên đề học sinh có khả năng:
1.Biết vận dụng định nghĩa , tính chất của số chính phương dể chứng minh
một số có thể hay không thể là một số chính phương hay không?
2. Hiểu các bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng minh
3. Có kĩ năng vận dụng các kiến thức được trang bị để giải toán.
II. Các tài liệu hỗ trợ:
- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7
- Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 7
- Bồi dưỡng toán 7
- Nâng cao và phát triển toán 7
- …
III. Nội dung
1. Kiến thức cần nhớ
A, định nghĩa: Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự
nhiên.
VD: 9 và 25 là các số chính phương vì 9 = 3
2
; 25 = 5
2
B, Một số tính chất:
* Số chính phương chỉ có thể có tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9 không thể có tận
cùng là 2; 3; 7 ; 9
* Một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì có chữ số hàng chục là 2
* Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì có chữ số hàng chục

của nó là số lẻ.
* Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa thừa số
nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ. Từ đó suy
ra:
- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4
- Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
- Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16
- Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
* Số lượng các ước của một số chính phương là một số lẻ. Đảo lại, một số có
số lương các ước là số lẻ thì số đó là số chính phương.
2. Các ví dụ:
2.1. Ví dụ 1
chứng minh rằng:
a, Một số không thể viết dưới dạng 4n+2 hoặc 4n+3 (n
∈
N)
b, Một số không thể viết dưới dạng 3n+2
Giải:
a. Một số tự nhiên chẵn có dạng 2k
⇒
(2k)
2
= 4k
2

M
4
Một số tự nhiên lẻ có dạng 2k+1
⇒
(2k+1)

2
= 4k
2
+4k+1 chia cho 4 dư 1
Vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1. Do đó
không không thể viết dưới dạng 4n+2 hoặc 4n+3
b. Một số tự nhiên chỉ có thể viêt dưới dạng 3k hoặc 3k+1 hoặc 3k-1.
Khi đó: (3k)
2
= 9k
2

M
3
(3k+1)
2
= 9k
2
+6k+1 chia cho 3 dư 1
(3k+1)
2
= 9k
2
- 6k+1 chia cho 3 dư 1
Vậy một số chính phương chỉ có thể viết dưới dạng 3n hoặc 3n + 1. Do đó
không thể viết dưới dạng 3n+2
2.2. VD2
Chứng minh rằng: A = 224 99...9 100..09 là số chính phương
n–2 số 9 n số 0
Giải:

Ta có: A = 224 99.....9 1 00....09 = 224.10
2n
+ 99.....9.10
n+2
+ 10
n+1
+9
n–2 số 9 n số 0 n-2 số 9
= 225.10
2n
– 10
2n
+ 10
n
.10 +9
= 225.10
2n
– (10
n-2
– 1).10
n+2
+ 10
n+1
+9
= 225.10
2n
– 90.10
n
+9
= ( 15.10

n
– 3)
2
Ta thấy ( 15.10
n
– 3)
2
là bình phương của số tự nhiên. Vậy A là số chính
phương.
2.3. VD3:
Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số
hàng đơn vị dều là 6.
CMR: Tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính
phương
Giải:
Cách 1:
Vì một số chính phương có chữ số hàng chục là 6 thì chữ số hàng chục của
nó là số lẻ.
Khi đó, chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là 1, 3, 5, 7, 9
Vậy tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là:
1+3+5+7+9 = 25 = 5
2
là số chính phương.
Cách 2:
Nếu một số chính phương M = a
2
có chữ số hàng đơn vị là 6
⇒
chữ số tận
cùng của a là số chẵn

⇒
a
M
2 do đó a
2
M
4
Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì 2 chữ số tận cùng của số M là số chia hết
cho 4, gồm : 16, 36, 56, 76, 96.
Vậy Tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là: 1+3+5+7+9 =
25 = 5
2
là một số chính phương
3. Bài tập
3.1.Bài tập 1: Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp có phải là một số chính phương
không?
Giải:
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2, n+3
Xét số A = n (n+1)(n+2) (n+3) +1
= n(n+3)(n+1)(n+2) +1
= (n
2
+3n)( n
2
+ 3n +2) + 1
= (n
2
+3n)[(n
2
+3n) + 2] +1

= (n
2
+3n)(n
2
+3n) +2(n
2
+3n) +1
= (n
2
+3n)
2
+ 2(n
2
+3n) +1
= [(n
2
+3n) +1]
2
Với n
∈
N, A là bình phương của một số tự nhiên
⇒
A là chính phương
Vậy tích của 4 số tự nhiên liên tiếp không phải là một số chính phương.
3.2. BT2: CMR:
Tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính
phương
Giải : Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là n – 2, n – 1, n, n +1, n +2
Ta có: A = (n – 2)
2

+ (n – 1)
2
+ n
2
+ ( n +1)
2
+ (n +2)
2
= n
2
- 4n + 4 + n
2
– 2n +1 +n
2
+ n
2
– 2n +1 + n
2
+ 4n + 4
= 5n
2
+ 10 = 5(n
2
+ 2)
Vì n
2
là một số chính phương
⇒
n
2

không

thể có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8
⇒
n
2
+ 2
/
N
5
Do đó A = 5(n
2
+ 2)
M
5 nhưng
/
N
25.
Vậy A không là số chính phương.
3.3. BT3 CMR: Nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p -1 và p+1
không thể là các số chính phương
Giải:
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên
⇒
p
M
2 và p
/
N
4 (1)

(vì các số nguyên tố còn lại đều là số lẻ nên tích không chia hết cho 2)
* Giả sử p +1 là số chính phương. Đặt p +1 = m
2
( m
∈
N)
Vì p là số chẵn
⇒
p + 1 là số lẻ
⇒
m
2
là số lẻ
⇒
m lẻ.
Đặt m = 2k +1 (k
∈
N)
Ta có m
2
= (2k +1)
2
= 4k
2
+ 4k +1 hay p +1 = 4k
2
+ 4k +1
⇒
p = 4k
2

+ 4k = 4k.(k +1)
M
4 mâu thuẫn với (1)
Vậy p +1 không là số chính phương
* Ta có p = 2.3.5... là số chia hết cho 3
⇒
p -1 = 3k +3 -1 = 3k +2 không là số chính phương
Vậy nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p -1 và p+1 không thể là các
số chính phương
3.4. BT4 CMR số có dạng n
6
– n
4
+ 2n
3
+ 2n
2
với n
∈
N và n > 1 không phải
là số chính phương
Giải :
Ta có n
6
– n
4
+ 2n
3
+ 2n
2

= n
2
( n
4
– n
2
+ 2n +2)
= n
2
. [(n
4
– 2n
2
+1) + (n
4
+ 2n
2
+1)]
= n
2
.[(n
2
-1)
2
+ (n
2
+1)
2
] = n

2
.[(n-1)
2
(n+1)
2
+ (n
2
+1)
2
] = n
2
(n+1)
2
[(n-1)
2
+1]
Với n > 1 thì (n-1)
2
+1 = n
2
-2n + 2 = n
2
-2(n-1) < n
2
(1)
Mà (n-1)
2
+1> (n-1)
2
(2)

Từ (1) và (2)
⇒
n
2
< (n-1)
2
< (n -1)
2
+1 do đó ( n-1)
2
+ 1 không là số chính
phương
Vậy số có dạng n
6
– n
4
+ 2n
3
+ 2n
2
với n
∈
N và n > 1 không phải là số chính
phương
3.5.BT5 Cho A là một số tự nhiên gồm 1000 chữ số trong đó có 999 chữ số 5
và một chữ số khác 5. CMR A không là số chính phương.
Giải:
Giả sử A là số chính phương
⇒
A = k

2

(k
∈
N
*
)
⇒
A chỉ có thể có tận cùng là
0; 1; 4; 5; 6; 9
Xét các trường hợp
* Nếu A tận cùng bởi 0
⇒
A= 55...50
M
10 nhưng
/
N
100
999cs5
⇒
A không là số chính phương. Do đó A không thể có tận cùng bằng 0
* Nếu A tận cùng bởi 1
⇒
A= 55...51 = k
2

⇒
k là số lẻ
999cs5

Đặt k = 2n +1 (n
∈
N
*
)
Ta có 55...51 = ( 2n+1)
2
= 4n
2
+ 4n + 1
⇒
55...50 = 4n
2
+ 4n = 4( n
2
+1) (1)
Ta thấy vế phải của (1) là số chia hết cho 4 còn vế trái của (1) không chia hết
cho 4, vô lý. Do đó A không thể có tận cùng bằng 1
* Nếu A tận cùng bởi 4 thì A = 55...54 = k
2

⇒
k là số chẵn
Đặt k = 2m (m
∈
N
*
)
Khi đó A= 55...54 = (2m)
2

= 4m
2
( 2)
Ta thấy vế phải của (2) là số chia hết cho 4 còn vế trái của (2) không chia hết
cho 4, vô lý. Do đó A không thể có tận cùng bằng 4
* Nếu A có tận cùng bởi 5 thì A chia hết cho 5
⇒
k
2

M
25 . Đặt k = 5q (q
∈
N
*
)
Vì A
M
5
⇒
A lẻ
⇒
qk lẻ
⇒
q lẻ. Đặt q = 2p +1 (p
∈
N
*
)
⇒

k = 5(2p+ 1)
Khi đó A = k
2
= 25(2p +1)
2
= 25.( 4p
2
+4p +1) = 100p
2

+ 100p + 25 (*)
⇒
A có tận cùng bởi 25
Xét A = 55...525 = 55...500 + 25 (**)
Từ (*) và (**)
⇒
55..500 + 25 = 100p
2

+ 100p + 25
⇒
55...500 = 100p
2

+ 100p
Hay 55...5.100 = 100( p
2
+ p)
⇒
55..5 = p

2
+ p = p( p+1)
⇒
55...5 là số chẵn, vô lí
Vậy A không thể có tận cùng bằng 5
* Nếu A có tận cùng bởi 6 thì A= 55..56 = k
2

Tổng các chữ số của A là 5+5+...+ 5 + 6 = 5.999 +6
M
3 nhưng
/
N
9
999 số 5
⇒
A không là số chính phương .Vậy A không thể có tận cùng bằng 6
* Nếu A có tận cùng bằng 9 thì A = 55...59 = k
2

⇒
k là số lẻ
Đặt k = 2l +1 (l
∈
N
*
)
Khi đó A = 55...59 = (2l +1)
2
= 4l

2

+ 4l +1
⇒
55..58 = 4l
2
+ 4l = 4l (l +1) (3)
Ta thấy vế phải của (3) là số chia hết cho 4 còn vế trái của (3) không chia hết
cho 4, vô lý. Do đó A không thể có tận cùng bằng 9
Tóm lại không tồn tại số chính phương gồm 1000 chữ số trong đó có 999 chữ
số 5 và một chữ số khác 5
3.6.BT6 Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2 số 2n +1 và 3n + 1 đồng
thời là số chính phương
Giải:
Vì n là số tự nhiên có 2 chữ số
⇒

10 n≤
≤
100. Do đó 21
≤
2n +1
≤
201 (1)
Mặt khác 2n + 1 là số chính phương lẻ (2)
Từ (1) và (2)
⇒
2n + 1
∈
{25; 49; 81; 121; 169}

⇒
n
∈
{12; 24 ; 40 ; 60 ; 84}
Do đó 3n +1
∈
{37; 73; 121; 181; 253}
Trong các số trên chỉ có 121 = 11
2

là số chính phương .
Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là 40
3.7.BT7 Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng hiệu các bình phương của số
đó và số viết bởi 2 chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là số chính phương
Giải:
Gọi số tự nhiên có 2 chữ số cần phải tìm là
ab
( a, b # 0) a, b
∈
N
Số viết bởi hai chữ số của số
ab
nhưng theo thứ tự ngược lại là
ba
Ta có :
2 2
ab ba
−
= (10a +b)

2
– (10 b +a)
2

= 100a
2
+20 ab +b
2

- 100b
2
– 20ab + a
2

= 99a
2
– 99b
2
= 99( a
2
- b
2
) M 11
⇒
a
2
- b
2
M 11 hay (a+b)(a-b) M 11
Vì 0< a-b

≤
8 ; 2
≤
a+b
≤
18
⇒
a+b = 11
Khi đó
2 2
ab ba−
= 99( a
2
- b
2
) = 3
2
. 11(a+b)(a-b) = 3
2
.11
2
.(a-b)
Do đó, để
2 2
ab ba
−
là số chính phương thì a- b là số chính phương
Mà 0< a-b
≤
8 nên có 2 trường hợp a-b =1 hoặc a-b = 4

+ Nếu a-b = 1
Và a +b = 11
⇒
a= 6, b = 5
⇒

ab
= 65
Khi đó
2 2
ab ba
−
= 65
2
-56
2
= 4225 – 3136 = 1089= 33
2


+ Nếu a-b = 4
Và a +b = 11
⇒
a = 5,5
∉
N loại
Vậy số phải tìm là 65.