Ôn tập thể tích khối tròn xoay

ÔN TẬPTHỂ TÍCH KHỐI TRÒN
XOAY



Khối tròn xoay rất thông
dụng trong đời sống vì

Sử dụng thuận tiện
Có tính thẩm mỹ
Dễ sản xuất




b
a
Làm thế nào để tìm
thể tích khối tròn xoay ?


A. ÔN TẬP GIÁO KHOA
1. Cho hình thang cong S giới hạn bởi
các đường :

x = a
x = b


y = f(x)


y = 0


y=f(x)
a

b


Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi
cho S quay xung quanh Ox được tính bởi
công thức :
y=f(x)

a
b

y=0

b
b

V = π∫ f (x)dx = π∫ y dx
a

2

a

2

2. Cho hình thang cong S giới hạn bởi
các đường :

y = a
y = b


x = g(y)

x = 0


b
x=g(y)
a


Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi
cho S quay xung quanh Oy được tính bởi
công thức :
b
x=g(y)
a
b

b

V = π∫ g (y)dy = π∫ x dy

a

2

a

2


3.Gọi V là thể tích của khối tròn xoay
sinh ra khi cho quay quanh Ox hình phẳng
giới hạn bởi các đường :
y=f(x)

x = a
x = b


y = f(x)

y = g(x)


y=g(x)
a

Với f(x) > g(x) ∀x∈ [a,b]

b

y=f(x)
y=g(x)
a

b

V được tính bởi công thức :
b

V = π ∫  f (x) − g (x) dx

a 
b

2

2

V = π∫ [ BPLN − BPLT ] dx
a


B. ĐỀ TOÁN ÔN THI
Đề 1
Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra
khi cho quay quanh Ox hình phẳng giới hạn
bởi các đường sau :

 y = sin x

y=0


x=0

x=π



y = sin x ; y = 0 ; x = 0 ; x = π
y = sin x
y=0

x=0

x=π


Giaûi

y = sin x ; y = 0 ; x = 0 ; x = π
π

π

V = π ∫ y dx = π ∫ sin xdx
0

V = π∫

π

2

2

0

( 1 − cos 2x ) dx

2
π
2
π
sin 2x 
π
V = x −
=

2
2 0 2
0


y = sin x
y=0

x=0

x=π

2

π
V=
2


Đề 2
Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra
khi cho quay quanh Ox hình phẳng giới hạn
bởi các đường sau :

y = cos x + sin x ; y = 0 ;
4

π
x= ;x=π
2

4


y = cos x + sin x ; y = 0 ; x = 0 ; x = π
4

4

y = cos x + sin x
4

y=0

x=0

x=π

4


π

V = π∫ y dx
0
π

2

= π ∫ ( cos x + sin x ) dx
0
π

4

4

= π∫ ( 1 − 2sin x cos x ) dx
2

2

0

 1 2 
= π ∫  1 − sin 2x ÷dx
0
 2

π


 1

V = π ∫ 1 − ( 1 − cos 4x )  dx
0
 4

π 3
1

V = π ∫  + cos 4x ÷dx
0
4 4

π

π

1
3


V = π  x + sin 4x 
16
4
0
2
3π
V=
4


y = cos x + sin x ; y = 0 ; x = 0 ; x = π
4

4

y = cos x + sin x
4

4

y=0

x=0

x=π

3π
V=
4

2


Đề 3
Tính thể tích của các khối tròn xoay sinh
ra khi cho quay quanh Oy hình phẳng giới
hạn bởi các đường sau :

x
1. y =
;y=2 ;y=4 ;x=0
2
1
2. y = x ; y = x ; y = 2
2
2


Giaûi

x
1. y =
;y=2 ;y=4 ;x=0
2
2

x
2
x = 2y

y=

2


x = 0
x = 0
⇔ 

y=2
y = 2


y = 4

y = 4

2


b

V = π∫ [ BPLN − BPLT ] dy
a4

V = π∫ x dy
2

2
4

V = π∫ 2ydy
2

V = πy

2 4
2

= π [ 16 − 4 ] = 12π


1
2. y = x ; y = x ; y = 2
2
1

x = 2y
y= x

2
x = y


⇔ 
y = x
y = 2
y = 2

y = 0


