Những phương pháp điển hình trong giải toán phổ thông

NGUYỄN HỮU ĐIỂN

NHỮNG
PHƯỢNG PHÁP
ĐIỀN HÌNH

TRONG

NHÀ XUẤT BẢN G!ÁO Dực


NGUY I n H Ữ U -D lẩN

NHỮNG PHƯƠNG PHÁ? E>lẩN HỈNH
TRONG GIẰI TOÁN ỉ*Hổ THÔNG

NHÀ XUẤ T BẦN GIÁO D Ụ C


Chịu trách nhiệm xuất bản :
Giám đốc NGÔ TRẦN ÁI
Tổng biên tập v ũ DƯƠNG THỤY

Biên tập nội dung :
NGÔ LONG HẬU
Trình bày bia :
TẠ TRỌNG TRÍ
Chế bản :
NGUYỄN HỮU DIỂN

ÕEt H ĩ 8 2 ' 171- 01

Mã số : 8H7é8Ml


LỜI GIỚI THIỆU
m
Mỗi bài toán trong thực tế củng như những bài toán bài tập trong
học tập ta phải chọn lấy một cách tiép cận, một cách giải, nhiểu khi phải
trai qud nhiều cách thử giài tà mới chọn dưực một cách giải thích hợp
nhất hoặc là ta phải kết hựp nhiều cách giải cho một bài tâp. Nhưng
không phdi di củng biết được hốt ra i;h giải trong toán học, ngoài ra biết
rổi còn áp dụng chúng như thế nào lại là một vâh đổ rất khó khản.
Nhằm cung cấp cho bạn dọc những cách giải có thê xây ra cho một bài
toán chúng tôi liệt kẽ những phương pháp hay được áp dung nhất. Từ
các phương pháp này bạn dọc sê rút ra cho mình kinh nghiộm và sáng
tạo cách giài độc đáo khác.
Môi phương pháp chỉ mạnli đối vởi một lớp bài toán cụ thẻ nào dó,
nén cuốn sách này nội dung rất phong phú về các chửng loại bài tập
inứi mô ta hôt đuực các phương pháp giai. Bạn đọc chỉ cần kiôn thức
phổ thông và một chút chãm chú, yêu thích toán học lá cỏ thể vượt qua
mọi điều bí ân trong cuốn sách này. Trước đảy tác giả cuốn sách này
liầ soạn Td nhừng LUốnh sách riỏng cho những phương pháp cơ bản của
t.Mn học như: Phương pháp Đirichlỏ và úrrig dụng [1], Phương pháp quy
rạp toán học [2], rhưcuỏn sách này khỏng trinh bầy những phương pháp trên nìà trình bầy
tác phưcfng pháp tàm LÒ' n h ỏ h(fn và rất quan trọng khi học và làm bài

tip tocín. Mồi chưcíiìp vo phương pháp trong cuốn sách này là dộc lập,
[ệ thống bài tập chọn lọc và có y nghĩa cơ bản trong toán học. Sơ đổ
thung cù<ì mỏi ehưcừig là:

Phương pháp điển hình giải bài tập toán

4

1. Phần dần xuât bao gôm bài toán vui hoặc bãi toán cỏ mà ta đ«ì
biết và sau dó khái quát các bước dùng phương pháp này.
2. Tiếp dến là hàng loạt bài tâp theo một ý nghĩa nào dỏ của phương
pháp mả tác giả cho là quan trọng.
3. Bước tiếp là một chủ dề hay trong toán học, trinh bầy có hệ thỏng
dùng phương pháp dang nghiỏn 'cứu.
4. Phẩn cuối là bài tập luyện tập, nếu các bạn thấy khó

có thế tim

thấy lởi gợi ý ồ chương cuối cùng.
5. Cuối chương là các bải tập tự giải dành cho cácban ham

học và

tim hiếu thỏm.
Sách dược chia làm 7 chương, năm chưcttig dầu ld năm phương pháp
khác nhdu:
C hư ơng 1: P h ư ơ n g p h á p p h ả n chứng. Đây là một phương p h á p rất
hay dược dùng trong lập luận toán học, điều cjuan trọng trong phưítng
pháp này là tạo ra mệnh dề phủ định và tìm ra sự vỏ lý với giả thiết
bài toán và vỏ lý với kiến thức toán học dà biết. Người nắm chắc các
kiến thức toán học rất hay dùng phương pháp này do họ thây được sự
vô lý trong ménh dề phủ định. Chuyên dề về số nguyên tổ" làm nỏi bật

bản chât của phương pháp này dà dược dùng từ xa xưa.
C hương 2: P hư ơ ng p h á p p h ầ n tử cực b iê n . Đây là phương pháp
xuất phát từ nhừng kiến thức cớ bản của toán học: tiỏn đề thứ tự. Tác
giả muốn trình bầy sự tương dương của tiôn đề thứ tự và nguyên lý i|uy
nạp toán học. Chuvỏn dề về nghiệm ngưvên của phương trinh vỏ dịnh
dược trình bầy cùng với phương pháp dần tỏi vồ hạn củng làm nôi bật
việc áp dụng phương pháp này có từ thởi cồ dại.


Lài giới thiệu

5

C hư ơ ng 3: P h ư ơ n g p h áp chia n h ỏ b à i toán. NhiỂu bải toán việc
giải nó thực chất là giải tùlìg phần một. Ngày nay trong tin học củng
hay dùng phương pháp này, người ta gọi là phương pháp từ trên xuống,
chia thành những cây nhó dế giải. Chuyôn dề của chương này là bài
toán lởn Perma. Hơn bc\ trăm năm nay bài toán mới được giải, nhưng
quá trình tìm lời giải các nhà toán học đà lần lượt khắc phục từng bước
vả chính điổu này gây ra biết bao nghịch lý trong quá trình tìm lời giải
tổng quát. Còn trường hợp đc/n giản dã dược Ferma giải ngay khi đề
xuất bdi toán.
C hương 4. P h ư ơ n g p h á p tru y ngược lai. Những điều cần khảng
định ta cứ cho lả đúng rổi biến đói đôn mệnh đổ hoặc công thức hiển
nhiên đúng. Con đưởng quan trọng của phưưng pháp này là cả truy
xuổi di và ngược lại. Truy ngược lại tiềm táng nhừng thừa nhận kết
quả sai, khồng tưcyng đưitng. Chuyên để của chương này là nghiệm
của những phương trình tương đướng. Thông qua những ví dụ các bạn
có thể thấy tầm quan trọng như thế nào khi ta có phép biếh dổi tương
đương.

C hương 5. P h ư ơ n g p h á p đư a về bài toán tư ơ n g đương. Trong
toán học một vân đổ có thỏ phát biểu bởi nhiểu ngổn ngừ toán học khác
nhau như hình học, đại số, lượng g iác,... Nhừng biến dôi tương đương
hoặc thỏ hiện bằng ngôn ngừ khác làm bải toán dỗ giải hơn. Trong sự
phát triển cùcì toán học phương pháp này dà phát huy tác dụng rất lớn
như sô phức, hình lụu giải tích, .... Chuvên đổ của chương này là một
plurtừig pháp ràt hay nỉìíim thiết lập hoặc chứng minh bất cứ môi liên
hò nào của nhưng đại lượng trong một tam giác bằng cách giải tích.
Chương 6. Nhừng bài toán hay và một sô' đổ thi học sinh giỏi các nước
chủ vôu là phư

Phương pháp điền hình giải bài tập toan

6

C h ư ơ n g 7. ỉ ẩ1\ giải và gợi ý cho các bài luyện tập ở các chưNgưởi biốn soạn cuốn sách hoàn toàn áp dặt phưcíng pháp một Cdih
chủ quan, nhiều bài tập có thể giải bằng phương pháp khác hay hc*v
Cuốn sách này dành cho các bạn yèu thích toán học trong tnrtVng phổ
thông, các thầy cô giáo, các sinh viẽn dại học sư phạm và tât cả nhữitg,
người quan tâm tới giáo đục toán học ở Viột nam. Trong triển khai nộii
dung và cách diễn dạt thể nào củng có sai sót, xin bạn dọc bổ? sung vài
cho ý kiến. Mọi liên hệ gửi về địa chỉ: Nhà xuất bản Giáo Dục, 81 Trám
Hưng Đạo, Hà Nội.
Chúc các bạn thành công.
Mả nội, tháng 3 năm 20)1
N g u y ên H ữu Đ iển

Chương 1
PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG

1.1. C ác b ư ớ c s u y l u â n p h ả n c h ứ n g
Một bài toán như một chuyện cổ tích mà những năm di học chúng
tối rảt thích và cứ di theo tri nhớ chúng tôi cả nội dung và cách giải nó.
Tỏi xin phép chép lại dây
£>1.1 Người ta đồn rằng ở một ngôi đền nọ rất thiêng do ba vị thần ngự
trị: thần Thật Thà (luôn luôn nói thật), thần Dối Trá (luôn luôn nói
dổi) và thần Khỏn Ngoan (khi nói thật, khi nói dôĩ). Các vị thần đều
ngự trên bệ thờ và sẵn sàng trả lời câu hỏi khi có người thỉnh cầu.
Nhìtng hinh dạng của ba vị thần giông hệt nhau nên người ta không
biết vị thần nào trả lời đê m à tin hay không tin.
Một hỏm, một học giả từ phương xa đến đền gặp các vị thần đ ể xin
thỉnh cầu. Bước vào miếu, học giả hỏi thần ngồi bên phải:
• Ai ngôi cạnh ngài i
• fìo là thắn Dở'i Trá.

Tiếp dỏ hòi thần ngồi giữa:
- Ngài lả thần Ặfì ‘Ị
Tòi là thẩn Khôn Ngoan.
Cuỏĩ củng ông ta quay sang hỏi thần ngồi bên trá i:
• Ai ngồi cạnh ngài ?
• Đó là thần thật thà.


Ph ương pháp điển hình trong giải toán p h ổ thông

8

Nghe X mg học giá khắng định mỗi vị là thần gỉ. Bạn /ìáy cho biết
học giả đó đà suy luận như thê nào i
Lỏi giải. Cáu hỏi của học gici cho ba vị thần nhung đểu nhằm mục dích:
thẩn ngồi giữa là thần gì ?. 1lọc giả dà nhận được ba cáu trà lời với
thông tín hoàn toàn khác nhau về vị thần ngổi giửa. I lọc giả có thỏ suy
luận như sau (có thỏ vì cỏ nlìiểu cách suy luận khác cùng giải được bài
toán này):
1. Nếu thần ngồi bon trái là thần Dối Trá thì thần bẽn phải là thần Thật
Thà hoặc Khôn Ngoan.
- Nếu thần ngồi bèn phdi là Thật Ihd thì ngồi giửcì là thần Dối Trá
(do câu trả lời củạ thần Thật Thà). Điổu này vồ lý, vì bên trái củng là
thần Dối Trá.
- Nếu thần ngồi bẽn phải là Khôn Ngoan, thì ngổi giừa l(ỉ thẩn Thật
Thà. Điểu này cũng vô lý, vì ngài dà nói: "Tôi là thần Khôn Ngoan".
Vậy bên trái khổng phải là thần Dối Trá.
2. Nếu thần ngổi bỏn phải là thần Dối Trá thì thần ngồi giữa ]à thần
Thật Ihá hoặc Khôn Ngoan.
- Thần ngồi giữa không phải lá Ihật Thà, vì ngài dà nói: "Tôi lả thần
Khôn Ngoan".
- Nếu thần ngồi giừa là Khôn Ngoan, thì thần ngổi bên trái là Thật
Thà. Điều này cũng vỏ lý, vì ngải đà nói: "Ngồi giữa là thần Thật ỉhà".
Vậy bẻn phải không phải là thần Dối Trá.
3. Vậy chỉ còn ngồi giừa là thần Dối Trá. Như vậy bèn trái không phai
là thần Ihạt Thà, vì ngài đã nói: "Ngồi giữa là thần Ihật \hả". Ilìỏ thì
bên trái là thần Khồn Ngoan. Cuối cùng, bôn phải là thần lhặt Thà. ©>
Trong suốt t|ưá trình giai bài toán trôn ta cứ lặp di lặp lcỉi một lý


Chương ĩ. Phương pháp phản chứng

9

luận là: Giả sừ diều cần tìm là đúng, rổi tìm dỏh sự vổ lý dế loại trừ
gikôt luận đúng đắn. Phép suv luận như vậy gọi là pỉiép suy luận phản
chứng. Trong toán học từ Xíi XƯCỈ người ta đà áp dụng phép suy luận

nảy dỏ chứng minh và liiễn giải nhửng khảng định toán học.
1rong lịch sử toán học phương pháp này đá được sử dựng rất sớm
như chứng minh nguyên ly Đirichlỏ [I], dây là nguyên lý lổng và thỏ
tđ nhắc lại:
>1.2 Ngươi ta nhốt thò vào trong một sỏ lồng, biết rằng sô thỏ nhiều
hơn sỏ ỉồng. Chứng m inh rằng có ít nhất hai con thồ được nhốt trong
cùng một lồng.
UYi giãi. Gid sử ngưực lại mỗi lồng chỉ nhốt nhiều nhất có một con thỏ#
như vậv sô' thỏ nhỏ hítn hoặc bằng số lồng, mà theo giả \hiết số thỏ
nhiều hơn sổ lổng, điều này dẫn dến vô lý. Từ dó suv ra có ít nhất 2
con thỏ trong cùng một lổng.

Q

về cip dụng nguyên lý này các bạn có thỏ xem cuốn sách [1]. Dù
mừ rộng bất cứ cách nào nguyữn lý này đều chứng minh bằng phương
plìcip phán chúìip. Iroii£ chương trinh phô thổng có chứng minh một
mênh dồ l ơ ban Ndii
>1.3 Nếu <}. //..Ả' là ba dường thắng phản biệt trong m ặt pìiẩng sao cho
(Ị v à h s o n g s o n g v ớ i Ẳ\ t?ìi ỊỊ s o n g s o n g v à i h.

Ị/ri giai, la gia su npưọV lại (Ị khống song song với h. Vì (Ị và h nằm trôn
cung mặt phàm;, mà không song song với nhau thì chúng cắt nhdu tại

một điếm p. I rom; trưững hợp này từ p có hdi đường thăng song song
với k. Điều này không thố đưọV vì ở pho thông td cổng nhận mệnh dề


Phương pháp điển hình trong giải toán phó thông

10

sau luôn đúng: Qua m ột điếm đả cho chỉ tắn tại duy nhất một đường
thẳng song song với một đường thắng đả cho. Như vâv điểu gid sử Id
sai, do dó kô't luận của bài toán lả đúng.

(2)

Những bai toán về khẳng định một hệ thức đúng, khăng định nghiệm
của phướtig trình# hệ phướng trinh hoặc một bât đảng thức,... trong các.
môn dại số, hình học, số học người ta hay dùng phương pháp phân
chứng. Phương pháp phán chứng dược tiến hành theo các bước sau:
Bưởc 1. Giả sử điều cần chứng minh là sai (phủ định lại mệnh dể cần
chứ ng m inh).

Bước 2. Từ điểu giả sử ta suy ra một số tính chất hoặc quan hộ m»ới,
mà những tính chất mới này mâu thuẫn với điểu đà cho hoặc trái với
các tính chất ta đả biết.
Ta kết luận điểu giả sử ban dầu là sai, vậy bài toán được chúín^
minh. Bước 1 quan trọng vì phdi tạo ra mệnh đổ phủ định chính xá«c.

1.2. M ệ n h đ ế p h ủ đ ị n h đ i ề u c ần c h ứ n g m i n h
Ta xét một số ví dụ và lưu ý tới việc lập mệnh dề phủ định.
>1.4 Chứng m in h rằng sin 1° là m ột sô vô tỷ.

Lời giải. Giả sử ngược lại: sin lu là một số hừu tỷ. Nghĩa là sin 1° =
íỉr dây ra và n !à những số nguyên. Khi dó cos2 1° = 1 - sin2 1° và
cos2 iu —sin2 l u = cos2° cũng là nh ử n g số h ừ u tỷ. l ương tự ta củng nỉhảm
dượe cos4° =

2006*2°

— 1, cos 8° — 2cĩos3ì4° — 1 ,C0 8 16° =

- 1

cũng lả nhừng số hữu tỵ. Hơn nữd
— = cos3ơ° = cos(32° - 2°) = cos 32" cos 2° -t- sin 32

.. 2°


Chương 1. Phương phap phán chứng

11

= (2COS* 16n - 1) ros 2° 4- 24 cos 16IJcos8° COS4°c-os 2° sin 2°.
la nhận dược sự vỏ lý vi bòn trái là một sỏ vỏ tỷ mà bôn phải lại là một
số hữu tỷ.

©

>1.5 Cơ .s*ó của sô logarit tự nhiên định nghĩa bằng lim (1 4- - )r' . Chứng
n-+oc
71

minh ràng ( là sô vô tỷ băng cách áp dụng cách biêu diễn
. e

o i 1
, 1
^ 2! ^ 3!^ ••• + nỉ +

Lời ỊỊÌài. l a gia sử ngược

lại: nếu &= —, ở đây rn và (Ị là nguyên. Ta

Iihân hai vếcủd đăng thức
- = • > 1 1
1
2! ^ :ỉ! " ' ^ n\ +

" '

với số nguyên /ỉ!//. Khi đó bẽn trái là một số nguyên rúm, c
là tỏng của hai sô hạng: ^2 + — 4- — -*-••• + -ỉ- 1n!ơ và
h

*

V

2!

3!

n! /

( _ J _ _____ 1_____
\ »

t

1

( u r 1)(n 4* ‘2)

H

Ị
(n -f* 1)...(n + p) +

)■

l a sẻ dần đến vô lý nếu ta chứng minh đưực rằng với một n nào đó số
hạng thứ hai thực sự nhỏ hơn 1. Thật vậv
1
1
<
(n 4- l)(n + 2)
(n + 1 )2’
i
1
<
(u + l)(n + 2)(n + 3)

(n + l)r
1__________
1
(rỉ - 1)(n 4- 2) • • • (fằ + p) < (n -+- i)p


Phương pháp điên hỉnh trong giải toán p h ổ thống

12

Vì thỏ
1

^

n

1

-

+ 1

(n

1

_

-t- 1)(ĩỉ 4- 2)

(?ầ

l)...(/i — /i)

^

1
1
. „
1
_ <1
< ^ 7------ĨTĨ H---- ■*" 7------- Tũỉ "---- ) - (l ------------------- i---- — •
(r« -l)2
(" - i)p
(„ + 1)(I - _ L —)
Tt
11 -t- 1
Nếu n > q, thì - < 1. Suy ra e là một số vổ tỷ.

(?)

>1.6 Chứng m inh rằng s ố t không thê ỉà nghiệm của một tam thức bậc
hai với những hệ sò nguyên. Cho biết rằng
e-«=Ị

2!

1

3!

1

4!

_

.

(_ i r i

n!

..

Lời giải. Giả sử tổn tại một tam thức bậc hai như vặv (ừ 2 -4- bx -t- c, ở
dây a, ò, c ld nguyên sao cho a t2 -hbe + c = 0. Khi dỏ ae + b —ce 1 = 0
và ta áp dụng cách biểu diễn của số ( và r 1:

a ( 2 + ẩ + ẳ --------ầ + " ‘ H c í ẳ " ẩ + 4 ! * '" + ( " l),,^

‘” , = “ Ò'

hay là

Nhân hai vổ' của dăng thức trổn với N\, ở đâv /V là một sô tự nhiên nào
dó, td nhận dược

a-i- ( —l ) N +ìe

a*f ( - Ì Ị ^ ^ C

/V 4-1

~ (Ã T T I)(ýv + 2 ) "

fl + ( - l ) IVtkf
h (yv 4- 1)(JV -K 2 )—(iV + * ) “*’

Với yv > |a| 4* |r| đảng thức đã cho là vổ lý, tó i vì
a + ( - l ) lv+lc
1

a + ( - l ) ,v+2c
+ [N + l ) ( N - 2 ) +

tt + ( —[)N *kc_______ I
(N + l)(N +2)...{N + k) ~


Chương I. Phương p.iáp phản chứng

|g| - \('\

N -l

M + \rị

13

n\ + |c|
< 1
N

(I

~ { N + ìỴ2

(N + \) k

vả ta nhận đưực một ^ nguyôn bằng một số khống nguyôn. Suy ra t
không thỏ là nghiệm cua tcỉm thức bậc hai có hộ số nguyồn.

©

>1.7 Chứng minh răng trong m ặt phắng không tồn tại một tam giác
cán với góc ở đỉnh 15°, mà những đinh của tam giác nằm ở các toạ độ
nguyên
Un giói. Già sử có một tam giác như vậy tồn tại (Hình 1.1)
Ký hiệu

s

là diện tích của tam giác

ABC.

Khi đó

s — («:< - a I )(h2 - h ) - - [ ( « 3 - n-j)(ỉ)j - b.ị) 4—(«3 - ữ\)(b\ -

) - ( a 2 - a t)(ò2

Nghĩđ ld >■l.ỉ Iiìọt số ỉhũru tỷ.
Mặt khác
,.s’ = ;-|.'t/i|J SÌM/M ?'
= .(«2 —«1 )^ —
llci một sỏ vổ tv.
•

-

l ừ sự vổ lý
'

/

in.iv suy ra không thẻ l ó một
ttíim giác với các tính chài mong
miuốn.

©

">1.8 Bấy da giác đều co diện tích ĩù ỉ nằm trong một hình vuông có
ưtộ dùi cạnh lả 2. Clìứng m inh rằng it nhất có hai đa giác cắt nhau
Uỉđi diện tích phẩn chung không nhò hơn 4.


Phướng pháp điên hình trong giải toán p h ổ thờnq

14

Lời gidi. Kỹ hiệi’ l \ , i — 1,2.....7 là bây da giác có diện tích 1 và hanh
vuông V' có diện tích 4 chứd 7 hình đd giác trôn. Giả sử mệnh d ể it
nhát có hai da giác cắt nhau với diện tích chung không nhả hơn ì tỉ
sai. Ta có (ky hiệu S a là diện tích của hình .4)
sỊ\c Ijj < ỉ

với mọi 1 < i < j < 7

Từ dây suy ra
SpịLỉi*! = spị —S i’2 - *SV, pj > 1

1-

I lơn nửa
= AV|Uf'a
- s*

- *í>’( ) r . p 3
+ ^V-* “ £(/V"

> SpiuPa +

FS)'.'(fJ7riH:<)

- ^ \ f \ r p :<) - Sụ^nPs)

> (2 - ậ) -i-1 - (ậ - ỉ ) = 3 - ( ỉ + ỉ ) .

7
7 7
7 7
! áp lại cách làm trên tíi nhận dược
1

2

6

ẮV1 .J pauFV--/VJfV-|/*»ufV > 7 " ( y + 7 * 1---- -- 7 ) = *•
Điều này khổng thể xẩy ra vì các đa giác nằm trong hình vuổng V’ co
diện tích 4. Điổu vổ lý trôn cho Lì kết luận ít nhất phải cỏ hai h ìn h la*
Q)

giác cắt nh au với phần chung diộn tích lớn hơn ị.

1.3. S ư v ô lý s u y ra từ n h ữ n g k i ế n t h ứ c đ ã b i ế t
Bước 2 ta dùng suy luận hoặc biến dổi mệnh đổ phủ định đôn mỏ»t
sự vô lý với những kiến thức dà biết. Kiêh thức Toán

học càngrộnig v.à

sâusắc thì áp dụng phương pháp càng d£ dàng, lìm ra nhừng diềiu v<ồ


Chương I. Phương pháp phan chứng

15

lv với các kiỏh thức đã biết là rất quan trọng, vi vậy viộc học toán là

khổng ngừng và khổng có giới hạn. Tiết này ta xét một sô" bài toán có
dùng kiỏn thức CCĨ' ban của toán học tuy là rất đơn giản dỏ7 suy ra điểu

võ ly.
*

>1.9 Chứng minh rằng với n > 1 và những sô tự nhiên khác nhau
(i\ . ri-2 ,

không th ể cỏ đẳng thức

1 1
aị

a\ ^

...

* ]

* aị

iLài giài. Giả sử Lì có dẩmg thức

II =
— 1
“ 2

1
aị -+----aị2

----7aị’
—

lả dây « 1 < fỉj < • • • < au . l ừ ti\ > 2 ta nhận được ữfc > Â*4- 1, vì thỏ
1 = 1 + 1 _____ r _L

nị

tiị
1

1 1
—

=

iy)

22

.V
l

1

1

1

(»1 * l) a < 1.2
2»

2.3 +

n(n + 1)

!) + --. -S-(I-----!_) = 1---- 1— < 1,
.i

n

n

1

7ì «+■ 1

t)iểu này vỏ lý.

©

>1 10 Nếu một sô tự nhiên 71 có 1000 chừ sô, mồi chữ s ố đều là sô 5 trừ
ìỉttóỉ sô trong đo, thì sỏ

n không thê là một sô chính phương.

l.ÀÁ ỵiài. Ta gùi su n ỉtìmột số chính phưcíng. Khi đỏ chữ sỏ* cuối cùng

c ùa nó chi la 0, i . 1 . 0 . (>
a) \'ốu ìi có chữ srt

hoặc là 9.
cuối cùng là 5. Khi đó y/n = 10A- 4-5và Tì =

i ()0 (ẢJ -+* Ả) - 2ĩi, ngliĩt] lcỉ chử số trước cuối cùng lả 2. l ổng những chữ
Siốcùíi II sè là S(n) = !)!)!>.r> -+- 2, có nghĩa là phép chid 71 cho .*{ sẽ nhận


Phương pháp điển hình trong giải toán phô thòưìg 7

16

dược số dư ld 2. Mặt khác vi 71 là số chính phương, thì khi chia cho

í

chỉ nhận được sỏ' dư là 0 hoặc 1 (điểu nảy dỗ kiếm tra vởi mọi khả nâing ;
của

n: n

=

W k\ n

=

lịk —

1; 11 =

l\k

-4- 2). S u y ra sỏ 11 k h ố n g th e là lììột vỏ >

chính phưttag.
b) Nếu ĩI cỏ chừ số cuối cùng lả 6. Khi đó S(ĩi) =

—(í, nglhid »

là S(n), và cả n chia hỏt cho l\, lìhưng không chia lìỏt cho 9, điếu mày '
cỏ nghĩa lả 11 khổng phải ld số chính phương (vì khổng thỏ thì sỏ c h ín h ỉ

phương phân tích ra chỉ cỏ một tliừd số 3).
c) Nếu n có Iihừng chữ sô cuối cùng trong các trưởng hợp 5)0,51. 71 i
hoặc 59, thì khi chia cho 1 ta nhận dưực các sỏ dư tương ứng

2 vài

3. Mặt khác 71 lả một số chính phương thì khi chia cho í tđ nhận dược
SỔI dư 0 hoặc 1 (diều này dờ kiểm tra). Suy ra trong trưởng hựp nàv n
củng không phải lả số chính phưiíng.

©)

>1.11 Từ những chữ sô 1,2.3, 1,5.6.7 bằng mọi to hợp tạo ra sô co bấy
chữ sô không có chữ sô nào lặp lại. Chứng m inh rằng không có ĩĩìột
sô nào trong những sô này chìa hết cho những sỏ khác.

ÌÀn giai Ta giả sử tổn tại hai sỏ M và /V trong những tổ hợp sổ dcì chi),
sao cho N = h.M. Vì số nhỏ nhất trong những số đà cho ld 12.*M5(i7,
còn số lớn nhất là 765*1321, thì 2 < k < (ỉ.
Tổng các chữ số của mọi sồ đã cho đều là 28, nghĩa là khi chia mọi
số cho 9 nhận dược số dư 1 (vì tông các số chia cho 9 dư 1). Nêu
M = \)n 4 -1 và N = k.M = 9*71.Ả-4- k. từ 2 < Ả* < (i suy
ra khi /V chi.ỉ cho
J
*

-- -

9 nhận đưcỉc số dư hoàn toàn khác 1. Điều này vA lý.

Q)

>1.12 Chứng m in h rằng không tần tại một sỏ nguyên VI nào mà m(m 1) là luỹ thừa của m ột sô nguyên.


Chương 1. Phương pháp phản chứng

17

iLới giòi. Những số 7 n và m 4 “ l là nguyôn tố cùng nhau, vi vây nỏu giả
'SIÍ ĩn[ỉn -r 1) ìđ ỉuỷ thừa bậc k của một số nguyên nào đó, thì mỏi số

lliạng là luỷ thừa bậc h của một sô* nguyên nào đó. Ihật vậy, nếu phàn
ttích mịrn -+- 1 ) ra nhửng số hạng nguyên tố: m(m + 1 ) = p V - p T '
Itliì với mọi (\, đều chid lìôt cho kt còn mỗi ///* chính là hoặc m, hoặc
ỉm - 1.

N hưng hai số liên tiếp VI và Vi

1 không thỏ là cả hai cùng là luỹ

ỉthừa bậc k của n h ữ n g sồ nguyỏn nào dỏ. (Nếu ak = m Vd k > 1, thì
(íỉ — 1)k > (n ■+■ 1)íi.fc 1 = a* -r «.*■' 1 > m + 1).

.

©

>1.13 Chứng m inh rằng đa thức x 2 im .y2ịm) 4- 1 không th ể biêu diễn
(dưới dụ n g f(x).fj(y), ở đáy f ( x ) L'à (j(y) là những đa thức tương ứng
ícủa biển .r và y.
ỈÀti giới, ỉ ti giả s ừ nvỊƯỢc lại, n g h ĩa là tồ n tại hai dà th ứ c

irà chúng có
(1 .1 )

ỉ(x)My) = 1

ị J dật .r = 0, khi đó* /(()) = an. Từ (1.1) suy ra aT,.g(y) = 1 với mọi y,

1rong (l.l) ta đạt

X

= y = 0, ta sè nhận được /(())tf(0) = 1, hoặc iả

fi,.bìn = l. Nhưng khi đó với mọi x\ 7/ ta sè có

/ ( * ) . <

/ ( ? / )

=

~

~

^TI

r

~

hồn nhiên nó kliồng bằng x 2()íỉ0.?/20(1<)
NPPĐH - 2

=

-

4

—

• ÍPI

-

1

4 vó i nioi Ẩ\y.


18

Phương pháp điển hin/ì trong giải toán phó thòng

01.14 Chứng m inh rằng nếu một đa giác có một sô trục đỏì xứng, thi
tất cả chúng cắt nhau tại một điếm.
I

\

Lời giấi. Ta sẽ chứng minh trước nhát mọi hai trục đổi xứng cắt nhau
bẽn trong đa giác.
Thật vậy#giả sử ngưực lại, hai trục đối xứng Sị và $ 2

nhau ngcùi

đa giác (I ỉình 1.2a).
Kiìi đó nhửng diẹn tích của những phần đổì xitag phải bằng nhau,
hoặc là
= ổ2 + ổ và 6-2 = ờ\ -1- ồ.
Từ dây suy ra rfj > ổ‘2 và ổ-2 > à], diỂu này là khổng thổ.
Như vậy hai trục dối xứng cắt nhau bôn trong da giác. Ia sẽ chứng;
minh răng trục dối xứng thứ bd di qua di ỏm cắt của hai dường thãip
trước đây.

Giả sử ngưực lại. Khi dó ba trục đối xứng sẽ tạo ra một tam gáinào dỏ A B C (I Tinh 1.2b). Trong tam giác này ta chọn một điôm bât <ỳ
p . Khổng khỏ kiểm tra răng mỗi diêm X trong mật phảng cùng rùm
với p trong ít nhất một nửa mặt phăng tạo ra bởi ba trục đổi xứng.


Chương 1. Phương pháp phản chứng

19

\<ì nổi điỏm p với điôm Xcỉ nhất thuộc da giác, ký hiệu la A/. Ta lấv
ìnhừng dióm p và A/ nằm trong nửa mặt phăng của trục

Sị.

Khi dỏ

idiônì Xí' đối xưng vởi M qua trục .Sj cùng nằm trong da giác:. Lấy PPị
idường vuông góc hạ từ p xuống A/A/'. Điểm P\ »0 nằm cùng với p, M
im ộ t n ừ a

m ặt p hăng

của

trụ c

Sị.

Khi

M 'P \

dỏ

>

M P i,

từ d â y

suy

ra

j Ị \ \ r > ỉ* hí. Bát dẩng thức sau cùng ngược với cách chọn điếm M.
ỈĐiều này vô lý.

-

©

•1.15 Chứng m inh rang nếu a và b lả những sô nguyên và (a.b) = 1
íthì hoặc là (a -4- b. n2 —ab —lr) = 1 hoặc (a -4- b. a2 —ai) —b*) = 3.
ỈLài giài. la gicì sử rằng sô nguyên tố /) là ước số của a-hb và a2 —ab-rb2.
Khi d ó từ đ ẳ n g th ứ c

n J — ab

-r 6“ = (a

fc)2 — [ \ a b su y ra 3 a ò : p . S uy ra

ỉhoậc p = .‘I hoặc 'ỉ:/> ht)»ặc b:p. Nhưng nếu td giả thiết rằng (1 . p hoặc
ìb . p, thi Kí dó

Vcì

tu (n — fc) \p td nhận được p là ước số chung của a vả

ib, m à nõ tĩcỉi với điếu knộn

Nêu í/ —I) và íi2

cho (a ,ò ) = 1. Vì vộy p = 3.

ư/j —b2 không chia hỏt cho một số nguỵỏn tố nào,

'thi chúng nguyên tỏ cung nhau.

©

>1.16 Cho rt, ò. (• /à những sô nguyèn lẻ, chứng m inh rằng ax2+fcj+c = 0
không thê có nghiệm hữu tỷ.
U i giúi. Gia sử - là Iìiột nghiệm hừu tỷ, ở dây có thế cho răng p và f/
khổng dồng thời là nhửng số nguyên chẩn. Ta sẽ xem xét hai trường
hợp hoác I>hoặc (Ị la sỏ chẩn. Cho mục đích này giả sử ọ là chẵn. Từ
.

(ĩ \ ’ )

)

r= ^

^

Ic chan, nên

C (Ị

nhí^n ^ ưcíc aP*

+ t7/2 = 0- Vì ttp2

2 phíii là số chẩn, n h ữ n g khổng thó dược vi r và

ỈỊ

bpq
dồng

thơi \À sỏ lẻ. Ta CÙ11 £ nhận được kết <.|uả tương tự nếu giả sử (Ị lả m ột số
u . Do đ ó , đ ổ n g th ờ i

p

Vd

<Ị

là lẻ và

a y 2 + b p q - h C(Ị2

= 0. N h ư n g đ ẳ n g th ứ c


Phương pháp điên /linh giải bài tập toán

20

sau cùng phát biổu rằng tổng của bcì số lẻ là bằng 0, điều này khổH£ thô
có. Do đó phư
(v)

1.4. S ư vô lý s u y ra từ g i ả t h i ế t c ủ a b à i t o á n
>1.17 Chứng m inh rằng tống (hiệu) của hai phản s ố tối giản có n h ữ n g
mẩu sô khác nhau, không th ể là một sô nguyên.
Lởi giải. Cho 7 và ^ là hai phân số tối giản, mà b
b
(ỉ

(L l a giả sử rằmg

ở dây A' là số nguyên.
Từ
(1.2) ta nhận• được ad + bc = ìĩbd' nó chỉ ra rằng tích hr chia hôt ichcv
•
d. Ỉ3ỜĨ vì r vả r/ là nguyên tố cùng nhau, suy ra b chia hết cho d. 1 ư<ơng,

tự ta có kết luận rằng d chia hết cho b. ỉ rong trưởng hợp này ta> có'
b = pd và d = qb. Từ những đảng thức nảy td nhận dược p(Ị = 1/ ng;híd«
là tích của hai số n g u y ên bảng 1. Điều này chỉ xây ra khi p = <7 = 1.
Nhưng-từ đó suy ra b = d, nó trái với điểu kiốn dà chạ. Suy ra kết liuận
bài toán.

*

©

>1.18 Cho những sỗ a(), a l t an, mà chúng cỏ mối liên hệ dị) = au = (:)
và Uk -I - 2a* -Hajt-f I > 0

(k = 1 , 2 , - i). Chứng m inh rằng tấỉt CUI

những sỏ a i , tt-2 ,..., «7, - ỉ là không dương.
Lời giải, Ta già sử gược lại, nghĩa là giữa những số ak(k = 1,2,..., 71 — 1))
có cả những số dương, lẩy ap là số đầu tiởn trong chúng, nghĩra lài
ap_ I < 0. av > 0. Khi đó av —av_ 1 > 0 .


Chương 1. Phương phán phán chứng

21

Theo diều kiộn dầu bài ak 1 - 2nk + a*+| > 0 hoặc là
(1.3)

Bắt dầu từ Ả' = p, từ dần^ thức (1.3) và từ

ttp

- av - 1 > 0 ta nhận dược

■dẫy bât đăng thức sau
d ự Ỷ-1

Q-p ^

í). ( I p 4 2

^ '» 4 1

- 1

'2 ^

Q-ĩt

—1

ihoặc là

Nhưng điểu đó trái với điổu kiện an = 0. Suy ra tất cả nhừng sô'
taịc(k = 1 . 2 ....... n — 1) là không dương.

©

ỉ'>1.19 C hừng minh rằng một đa giác lồi có 13 cạnh không th ể chia ra

(thành những hình binh hành.
ILỜi giai. Ta giả sử một dă giác lồi

71

canh có thô cắt thảnh nhừng hình

Ibinh hành. Khi đó mỗi cạnh của da giác sẽ là m ột cạnh của m ột hình

Ibinh hành va suy ra những canh của da giác sẻ là đôi một song song
í^iing nhctu (ba cạnh khỏng thế song song cùng nhau, tó i vì đa giác

lld lối). Nhưng trong trường hựp như vậy da giác sẽ có sô canh chẵn,
Inhưng già thiết cho 11 = 13. Suv ra da giác loại này không thể chia ra
inh ừng hình bìĩih hành.

>1.20 Cho a j , a-2 s

*©

tt-20 hai mươi s ố tự nhiên khác nhau nằm giữa ỉ

ỉ '0 70 sao cho fi\ < (l i < ... < a-2 ịb C hứ ng m in h rằ n g giữ a n h ữ n g sô
r"-À - Hk- I ( vài k = 2s .*ỉ__ 2ỈÌ) có ừ n h ấ t 4 s ố bằng n h a u .
ì l / i Ị*ịải. Gid SỪ ngược lại nghĩa là giữa những hiệu không có bốn số
biằn£ nhau. 'la tạo những hiệu «20 “ ^ 1 9 * ^ 1 9 —a i8 i—»a 2 “ a i

cả là

Phương pháp điên hình giải bài tập toán

22

19 sô. Giá trị nhỏ nhất của những hiệu này theo giả sử ngước lại chỉ
còn là những sỏ: 1,1, 1,2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, b, 7. Khi dó
(^2 0

— 19 ) “*" ( 0-1Q—a ị8 )

(1*2 — I ) ^

—

4 4“4 *+■4 4" 5 •+■5 *+- 5 ■+- () *4“ 6 4- () 4“ 7 lì^ỉiĩd ỉd 0.-2ÌÌ —fí\ ^ 70. NlìƯiì^ clìU V
rằng 1 < tt20 < 70 và 0 < « 1 < 70, ta nhận được a *20 —« 1 < 69. Điểu này
vô lý, vậy điểu giả sử là sai, vậy có ít nhât bốn hiệu phải bằng nhau. © )
>1.21 Cho 12 .S’õ 'a i, a-2 , .... » 1 2 thoả m ãn các bất đÁ ng thức sau (Iiia 1 —

a 3 ) < 0 , a;j(ữ2 - 0 3 -1- 0 4 ) < 0 , a\ Ị (riỊ() —ai 1 4 - 0 1 2 ) < 0. Chứng
m inh rằng giữa những sổ này có ít nhất 3 s ố dương và ít nhất 3 sô
âm.
IM giải Ta giả sử tất cả các sỏ' đều khổng âm. Từ nhửng bất dẳng thức
trên suy ra không có sô' nào trong <1 2 , ữ3 , ữ | 1 bằng không .Từ điều kiện
bài toán đã cho và điều giả sử trên ta dỗ nhận dược (íXi — ứ.2 + 03) 4 (<*2 - <13 -+- a4) + ... 4 - (al() —a n

^ 1 2 ) < 0 , nghĩa là dị

« 1 2 < 0 , nó trái

với điều giả sử ngưực lại. Suy ra giữd những số có ít nhất một số âm.
Bằng lý luận tương tự ta củng có kết luận trong nhửng sô' đã cho có ít
nhất một số dương. Lý luận ta tiếh hành ở trên có thể tiến hành với
sô' lượng bâ't đẳng thức bâ't kỳ: ví dụ từ bất đẳng thức thứ nhất và thứ
hai ta nhận dược giửa những số ữj 1 a2, ữ3 , a4 có ít nhất một sô" dương và
một số âm. Tương tự từ bâ't đăng thức năm và sáu và từ bâ't đẩng thức
mười và mười một ta nhận được giữa nhũng số <1 5 ,(1 6 , <2 7 , 0 8 , 0 9 ,(2 -1 0 , an
có ít nhâ't hai số không âm và hai sỏ' âm. Cuối cùng ta nhận được giửa
nhũhg số dã cho có ít nh ất ba số dương và ít n h ấ t ba số âm.

(v)

>1.22 Chứng m inh rằng số 101010 không th ể biểu diễn như hiệu cửa
binh phương hai s ố nguyên.


Chương 1. Phương pháp phả n chứng
Lởi giai.

23

la giả sử tổn tạr nhũng số nguỵẽn a và b, sao cho

tt2 - b2 = 101010. l ông và hiệu của hai số nguyên đồng thời ld nhũlìg
sổ chẵn hoặc lìhừng số lẻ, vì thỏ' tích của (a + b)(a - ò) = n2 —ò2 hoặc là
m ột số lẻ hoặc ỉd m ột số chia hết cho 4. Cùng khi dỏ số 101010 là m ột
sô chần, nhưng không chia hết cho 4. Suy ra nó không thể biếu diễn
n h ư hiệu bình phương của hai số nguyên.

©

>1.23 Chứng m inh rằrig nếu tổng binh phương của hai sô nguyên chia
hết cho 7, thì mỗi sô đều chia hết cho 7.
Lởi giơi. Cho X và y là hai sô' nguyên sao cho X2 + y 2 chia hết cho 7. Giả
sử X kliồng chia h ế t cho 7. Bình phương của m ột sô" nguyên không chia

hết cho 7, mà chid cho 7 cho các số dư 1, 2 và 4 (hảy chứng minh!). Suy
ra sổ X2 chi à cho 7 cho ta các số d ư n h ư trên. Vì số y có thể chia hết

cho 7, thì với sô y 2 chia cho 7 có khả năng số dư là 0, 1, 2 và 4. Ta có
thỏ kỏt luận rằng sô dư của X2 4- y 2 chia cho 7 nhận dược n h ư từ những
sỏ 1, 2 và 4 cộng thỏm vào m ột trong những số 0 ,1 , 2 và 4. Nghĩa là số
dư !à m ột trong những số 1, 2, 3, 4, 5 và 6, điều này trái với giả thiết
rJ - Ị/2 chia hỏt cho 7. N ghĩa lả diều giả sử X không chia hết cho 7 là
Sdi, suy ra X chia hết cho 7. Tương tự ta củng chứng m inh cho y chia
hết cho 7.

©

>1.24 Chứng m inh rằng nếu a và b là những sô nguyên và (a,fc) = 1,
thì (a 4- /), aò) — 1 và (a —6, ab) = 1.

IM giai. Ta giả sứ rằng số nguyên tố p là ước số của tt + b và ab. nghĩa
la ịa 4- b) : j) vã ab: p. Từ ab: p, suy ra a : p hoặc b :p. Từ nhũhg điểu vừa
có va (« 4- b) : p suy ra tiếp a :p và b:p, điểu này trái với điều kiện đã

cho (n. b) = 1. I'a đã chứng minh được (a 4-ò,aỏ) = 1. Hoàn toàtì tương
tụ ta củng chứng m inh cho (a —ò, aò) = 1.

Q

Phương pháp'điên hình trong giải toán phô thông

24

1.5. T ì m m § n h đ ê p h ủ đ ị n h

Bước I là u muốn phủ định lại kỏt luán. Như vậy ta phải tạo ra

m ệnh dề phủ định diổu cần chứng m inh. Đây củng ld vấn đổ ỉ />gk cùcì
các m ệnh để. Trong các phát biểu toán học thưởng tồn tại những đạing

mệnh dề sau dây:
M ên h đê tổn tai: Một mênh đề ký hiệu là P(x). xác định trên miền X.
Ví dụ p(n) = { sô tự nhiên 71 chia hết cho

đây là mệnh dề có miến

xác định la tập các số tự nhiên X = N . Mệnh để tồn tại thường có dạng
{ Tồn tại X € X sao cho Tịx) }
Lượng tử trong toán học cho loại mệnh đổ này ngưởi ta-thưởng viéi:
Bx € X : T(x). Mệnh đề tổn tdi cũng có mệnh đề sai và mệnh dề đúng.
Ví dụ: mệnh dể tồn tại đúng
"Tồn tại số thực X sao cho X + ì >

tx"

= 3:c 6 l i : X — 1 > 7T.

Mệnh đổ tồn tại sai:
"Tồn tại X số thực sao cho X2 ■+• 1 = 0" = 3:n € R : X2 - 1 = 0 .
M ên h đê tể n g quát: Tương tự phần trôn mệnh dề tổng quát có dạr.g
{ Với mọi X € X sao cho T(x) }
Ký hiệu lượng tử toán học của loại mệnh dề này ld : V;r £ x , f ' ị z )
hoặc (V.T £ X)P(x).
Mệnh dề tống quát sai:
"Với mọi số thực X, X *+■1 > 7r" = Vx € R .x + 1 > 7r.

Mệnh đổ đúng:
"Với mọi X số thực, X2 4- 1 > 0" = v.r € R, X2 H- 1 > 0.
Phủ đ ịn h của m ện h đ ể tổn tại và tổ n g q u á t Dâu gạch ngang trtn