ôn thi TN môn Toán (CB) theo hướnng dẫn mới của bộ

Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP MƠN TỐN
(CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN)
Câu I (3 điểm):
- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài tốn liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số, cực
trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho
trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)…
Câu II (3 điểm):
- Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit.
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Tìm ngun hàm, tính tích phân.
- Bài tốn tổng hợp.
Câu III (1 điểm):
Hình học khơng gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay;
tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể
tích khối cầu.
Câu IV.(2 điểm):
Nội dung kiến thức:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt
cầu.
Câu V.(1 điểm):
Nội dung kiến thức:
- Số phức: mơđun của số phức, các phép tốn trên số phức. Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình bậc
hai hệ số thực có biệt thức ∆ âm.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
MƠN: GIẢI TÍCH
Chủ đề I: DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ:

I/ Khảo sát hàm đa thức:
1/ Sơ đồ khảo sát hàm đa thức:
B1: Tập xác đònh: D=
¡
.
B2: Tìm
lim y
x
=
→±∞
B3: Tính đạo hàm y’, tìm nghiệm của phương trình y’= 0, tính giá trò của hàm số tại các nghiệm vừa
tìm được.
B4: Lập bảng biến thiên
1
x
Ghi tập xác đònh và nghiệm của phương trình y
/
=0
f’(x)
Xét dấu y
/
f(x)
Ghi khoảng tăng, giảm , cực trò của hàm số
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
B5: Tính đạo hàm cấp 2, tìm nghiệm của y”= 0 ⇒ điểm uốn.
B6: Tìm điểm đặc biệt thường tìm một điểm có hoành độ nhỏ hơn cực trò bên trái và một điểm có
hoành độ lớn hơn cực trò bên phải.
B7:Vẽ đồ thò
Các dạng đồ thò hàm bậc 3:
y y y y

0 x 0 x 0 x 0 x


' 0 có 2 nghiệm phân biệt
0
=


>

y
a

' 0
0
≥ ∀


>

y x
a

' 0 có 2 nghiệm phân biệt
0
y
a
=



<


' 0
0
≤ ∀


<

y x
a

Chú ý: Đồ thò hàm bậc 3 luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Các dạng đồ thò hàm trùng phương:

y' 0 có 3 nghiệm phân biệt
a 0
=


>


' 0 có 1 nghiệm đơn
0
y
a
=



>


' 0 có 3 nghiệm phân biệt
0
y
a
=


<


' 0 có 1 nghiệm đơn
0
y
a
=


<

Chú ý: Đồ thò hàm trùng phương luôn nhận trục oy làm trục đối xứng.
2/ Ví dụ 1: Khảo sát các hàm số y = x
3
+3x
2
– 4
Giải:

Tập xác đònh: D = R
lim
x
y
→±∞
=±∞
y
′
= 3x
2
+6x = 3x(x+2), cho
0 4
0
2 0
x y
y
x y
= ⇒ = −

′
= ⇔

= − ⇒ =

Lập bảng biến thiên.
x
−∞
-2 0 +
∞
y

/
+ 0 - 0 +
y 0 CT +
∞
-
∞
CĐ -4
6 6y x
′′
= +
cho
y
′′
= 0
⇔
x= –1
⇒
y= -2, y’’ đổi dấu qua x=-1 ⇒ I(-1 ;-2) là điểm uốn
Điểm đặc biệt: A(1;0) B(-3;-4)
Vẽ đồ thò hàm số:
2
2
-2
-4
x
y
14 -2
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y = 2x
2

– x
4
Giải
MXĐ : D= R
lim
x
y
→±∞
=−∞
y
′
= 4x–4x
3
= 4x(1–x
2
) cho
y
′
= 0
⇔
4x(1–x
2
)=0
⇔
x = 0 y=0
x = 1 y=1
⇒


± ⇒



Lập bảng biến thiên:
x
−∞
-1 0 1 +
∞
y
/
+ 0 - 0 + 0 -
y 1 CT 1
-
∞
CĐ 0 CĐ -
∞


y
′′
= 4–12x
2
cho
y
′′
= 0
⇔
x =
3
3
±

⇒
y=
5
9
y
′′
đổi dấu qua x =
3
3
±
⇒
Đồ thị hàm số có 2 điêm uốn là
3 5
;
3 9
 
±
 ÷
 ÷
 
Điểm đặc biệt: A
( )
2;0
B
( )
2;0−

Đồ thò:
3/ Bài tập đề nghò:
Bài 1 : Khảo sát các hàm số sau:

a/ y=x
3
– 3x
2
b/ y= - x
3
+ 3x – 2 c/ y= x
3
+ 3x
2
+ 4x -8
d/ y = x
4
– 6x
2
+ 5 e/ y = -
1
4
x
4
+ 2x
2
+
9
4
f/ y = x
4
+ 2x
2
Bài 2 :

a/Cho hàm số y= x
3
– 3m x
2
+ 4m
3
. Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m=1.
b/Cho hàm số y= x
4
– m x
2
+ 4m -11 . Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m=4.
II/ Khảo sát hàm nhất biến:
1/ Sơ đồ khảo sát hàm
ax b
y
cx d
+
=
+
:
B1: TXĐ D = R\
d
c
−
 
 
 
B2:+ Giới hạn và tiệm cận :
•

lim lim
x x
a a
y y y
c c
→−∞ →+∞
= = ⇒ =
là tiệm cận ngang
•
lim
d
x
c
y
+
 
→ −
 ÷
 
= +∞
( hoặc -
∞
)
•
lim
d
x
c
y
−

 
→ −
 ÷
 
= −∞
( hoặc +
∞
)
3
2
-2
x
y
1
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
d
x
c
⇒ = −
là tiệm cận đứng
B3: Tính đạo hàm y’=
( )
2
. .a d b c
cx d
−
+

⇒
tính đơn điệu của hàm số

B4: Lập bảng biến thiên.
x Ghi miền xác đònh của hàm số
f’(x) Xét dấu y
/
f(x) Ghi khoảng tăng giảm của hàm số
B5:Tìm giao điểm của đồ thò với các trục toạ độ , có thể lấy thêm một số điểm khác để dễ vẽ.
B6:Vẽ đồ thò
Dạng đồ thò hàm b1/b1
y’< 0
x D∀ ∈
y’> 0
x D∀ ∈
2/ Ví dụ: Khảo sát hàm số : y =
2 2
1
x
x
−
+
.
MXĐ: D= R\
{ }
1−
y
′
=
( )
2
4
1x +

> 0
x
∀ ∈
D
⇒
hàm số luôn đồng biến trên từng khỏang xác đònh của nó.
x
lim y 2
→±∞
=
⇒ TCN: y = 2
x 1 x 1
lim y ; lim y
+ −
→− →−
= −∞ = +∞
⇒ TCĐ: x=–1 ;
Lập bảng biến thiên.
Điểm đặc biệt: A(0;-2), B(1; 0), C(-2;6), D(-3;4)
Đồ thò:
Bài tập đề nghò:
Bài 1: khảo sát các hàm số sau:
a/ y =
2
2 1
x
x
− +
+
b/ y =

1
1
x
x
−
+
. c/y =
4
4x −
Bài 2:
4
x -
∞
-1 +
∞
y
/
+ +
y +
∞
2
2 -
∞

2 4 6 8-2-4-6-8
2
4
6
8
-2

-4
-6
-8
x
y
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
Cho hàm số y=
1mx m
x m
− +
−
khảo sát hàm số khi m = 2.
Chủ đề II: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ
I/Bài toán1: Tìm giao điểm của hai đường:
 Cho hai hàm số : y= f(x) có đồ thò (C), y= g(x) có đồ thò (C’). Tìm giao điểm của (C) và (C’).
 Phương pháp giải:
B1: phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f(x) = g(x) (1)
B2: Giải (1) giả sử nghiệm của phương trình là x
0
,x
1
,x
2
. . . thì các giao điểm của (C) và (C’)
là :M
0
(x
0
;f(x
0

) ); M
1
(x
1
;f(x
1
) ); M
2
(x
2
;f(x
2
)) . . .
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C) và (C’).
Ví dụ 1:
Cho đường cong (C): y= x
3
-3x +1 và đường thẳng d đi qua điểm A(0;1) có hệ số góc k. biện luận số
giao điểm của (C) và d.
Giải
Phương trình đường thẳng d có dạng: y= kx + 1.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là : x
3
-3x +1 = kx + 1 (1)
⇔
x
3
-(3+k)x = 0
⇔
x(x

2
-3-k) = 0
⇔

2
0
( ) 3 0 (2)
x
g x x k
=


= − − =

ta có
/
∆
(2)
= 3+k
Nếu 3+k < 0
⇔
k<-3 Phương trình (2) vô nghiệm
⇒
(1) có 1 nghiệm
⇒
(C) và d có 1 giao điểm.
Nếu 3+k = 0
⇔
k= -3 Phương trình (2) có nghiệm kép x=0
⇒

(1) có 1 nghiệm bội
⇒
(C) và d có 1
giao điểm.
Nếu 3+k > 0
⇔
k> -3 . Mặt khác g(0) = 0
⇔
-3-k = 0
⇔
k = -3 vậy phương trình (2) có 2 nghiệm
phân biệt khác không
⇒
(1) có 3 nghiệm phân biệt
⇒
(C) và d có 3 giao điểm.
Ví dụ 2: Cho hàm số
3 2x
y
x 1
−
=
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số đã cho
tại hai điểm phân biệt.
Giài:
2/ Đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt
⇔ Phương trình (ẩn x)
3 2x

= mx+2
x 1
−
−
có hai nghiệm phân biệt
⇔ Phương trình (ẩn x) mx
2
– (m – 4)x – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt, khác 1
⇔
2
2
2
m 6 2 5
m 0
m 0
(m 4) 20m 0 6 2 5 m 0
m 12m 16 0
m 0
m.1 (m 4).1 5 0

<− −
≠


≠


∆= − + > ⇔ ⇔ − + < <

 

+ + >



>
− − − ≠



Bài tập đề nghò:
5
6
4
2
-2
5
x
y
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
Bài 1: Cho đường cong (C): y=
2
2
1
x x
x
+ −
+
và đường thẳng d qua gốc toạ độ có hệ số góc k. biện
luận theo k số giao điểm của d và (C).
Bài 2: Cho đường cong (C): y=

4
2x −
. Dựa vào đồ thò (C) biện luận theo k số giao điểm của (C) và
đường thẳng y=k.
II/ Bài toán2: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò
 Dùng đồ thò biện luận số nghiệm của phương trình f(x)=
( )m
ϕ
.
 Phương pháp giải:
B1: Vẽ đồ thò (C) của hàm f(x) (Thường đã có trong bài toán khảo sát hàm số )
B2: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thò (C) và đường thẳng y=
( )m
ϕ
. Tùy theo m
dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm.
Ví dụ:
Cho hàm số y=x
3
– 6x
2
+ 9x (C). Dùng đồ thò (C) biện luận số nghiệm của phương trình x
3
– 6x
2
+ 9x
– m = 0
Giải:
Phương trình x
3

– 6x
2
+ 9x – m = 0
⇔
x
3
– 6x
2
+ 9x = m
Số nghiệm của phương trình là số giao
điểm của đồ thò (C) và đường thẳng d: y=m.
dựa vào đồ thò ta có:
Nếu m > 4 phương trình có 1 nghiệm.
Nếu m = 4 phương trình có 2 nghiệm.
Nếu 0< m <4 phương trình có 3 nghiệm.
Nếu m=0 phương trình có 2 nghiệm.
Nếu m < 0 phương trình có 1 nghiệm.
Bài tập đề nghò:
Bài 1: a/ Khảo sát hàm số y= x
4
– 4 x
2
+ 5.
b/ Dùng đồ thò (C) của hàm số vừa khảo sát biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x
4
– 4 x
2
+ 5=m.
Bài 2: Cho hàm số y= x

3
- 3x – 2 có đồ thò (C)
a/ Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số.
b/ Dùng đồ thò (C), đònh m để phương trình: x
3
- 3x – 2=m có 3 nghiệm phân biệt.
III/ Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến.
Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) trong các trường hợp sau:
1/ Tại điểm có toạ độ (x
0
;f(x
0
)) :
B1: Tìm f ’(x)
⇒
f ’(x
0
)
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x
0
;f(x
0
))

là: y =
/
0
f (x )
(x–x
0

) + f(x
0
)
2/ Tại điểm trên đồ thò (C) có hoành độ x
0
:
B1: Tìm f ’(x)
⇒
f ’(x
0
), f(x
0
)
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
là:y =
/
0
f (x )
(x–x
0
) + f(x
0
)
3/ Tại điểm trên đồ thò (C) có tung độä y
0
:
6
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
B1: Tìm f ’(x) .

B2:Do tung độ là y
0
⇔
f(x
0
)=y
0
. giải phương trình này tìm được x
0
⇒
f
/
(x
0
)
B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y
0
là:y =
/
0
f (x )
(x–x
0
) + y
0
4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:
B1: Gọi M
0
(x
0

;y
0
) là tiếp điểm .
B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên :

)(
0
xf
′
=k (*)
B3: Giải phương trình (*) tìm x
0

⇒
f(x
0
)
⇒
phương trình tiếp tuyến.
Chú ý:
 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f
/
(x
0
)=a.
 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f
/
(x
0
).a=-1.

5/ Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x
1
;y
1
) :
B1:Phương trình đường thẳng d đi qua A(x
1
;y
1
) có hệ số góc k là: y = k(x–x
1
) + y
1
(1)
B2: d là tiếp tuyến của (C)
⇔
hệ phương trình sau có nghiệm :



=
′
+−=
kxf
yxxkxf
)(
)()(
11
B3:Giải hệ này ta tìm được k chính là hệ số góc của tiếp tuyến thế vào (1) ⇒ phương trình tiếp tuyến.
Ví dụ 1 :

Cho đường cong (C) y = x
3
.Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong :
a.Tại điểm A(-1 ; -1) b.Tại điểm có hoành độ bằng –2
c.Tại điểm có tung độä bằng –8 d. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
e.Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm B(2;8)
Giải:
Ta có y’= 3.x
2
a/ Tiếp tuyến tại A(-1;-1)
( )C∈
có
0
0
x 1
f(x ) 1
= −


= −

⇒ f’(x
0
)= 3.(-1)
2
= 3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y=f’(x
0
)
(x-x
0

)+f(x
0
) = 3.(x+1) + (-1)
b/ Ta có x
0
= -2 ⇒
0
0
f(x ) 8
f '(x ) 12
= −


=

⇒ Ph.trình tiếp tuyến là y= 12(x+2) – 8 =12x + 16
c/ Ta có tung độä bằng y
0
= –8
⇔
f(x
0
)= -8
⇔

3
0
x
=-8
⇒

x
0
=-2
⇒
f’(x
0
)=12
⇒
Phương trình tiếp tuyến là:
y= 12(x+2) – 8 = 12x + 16
d/ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
⇔
f’(x
0
)=3
⇔
3.
2
0
x
=3

⇔

x
0
=
±
1
với x

0
=1
⇒
f(x
0
)=1
⇒
Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2 .
với x
0
=-1
⇒
f(x
0
)= -1
⇒
Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2.
e/Phương trình đường thẳng d đi qua B(2;8) có hệ số góc k là: y = k(x–2) + 8

d là tiếp tuyến của (C)
⇔
hệ phương trình sau có nghiệm :
3
2
k(x-2) + 8(1)
3 (2)
x
x k

=



=



⇔
x
3
= 3x
2
(x-2) + 8
⇔
2x
3
- 6x
2
+ 8 = 0
⇔

2
1
x
x
=


= −


Với x=2
⇒
k=12
⇒
phương trình tiếp tuyến là y=12(x-2)+8 = 12x -16.
Với x=-1
⇒
k=3
⇒
phương trình tiếp tuyến là y= 3(x-2)+8 = 6x - 4
Bài tập đề nghò:
7
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
Bài 1: Cho hàm số y= x
3
- 3x
2
có đồ thò (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại các giao điểm với trục hoành. b/ Tại điểm có hoành độ = 4.
c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= -3. d/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x + 2005.
e/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=
1
3
x + 2006. f/Biết tiếp tuyến đi qua A(1;-2).
Bài 2: Cho hàm số y=
2
1
x x
x
− +

+
có đồ thò (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại các giao điểm với trục hoành. b/ Tại điểm có hoành độ = 2.
c/ Tại điểm có tung độ y=-
3
2
. d/Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= - 1. e/Biết tiếp tuyến đi qua A(2;0).
IV/ Bài toán 4: xét tính đơn điệu
A/ Phương pháp xác đònh khoảng tăng, giảm hàm số :
+ MXĐ D= ?
+ Tính : y
/
= , tìm nghiệm của ptr y
/
= 0
+ BXD (sắp các nghiệm của PT y
/
= 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
Chú ý: y
/
> 0 thì hàm số tăng ; y
/
< 0 thì hàm số giảm
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghòch biến trên khoảng ...
Đònh lý 2 (dùng để tìm gía trị m):
a) f
/
(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b) ( chỉ bằng không tại hữu hạn điểm∈ (a;b) ) thi f(x) tăng trong khoảng (a;b).
b) f
/

(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b) ( chỉ bằng không tại hữu hạn điểm∈ (a;b) ) thi f(x) giảm trong khoảng (a;b).
B/ CÁC DẠNG TỐN CƠ BẢN:
Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
Phương Pháp:
• Tìm tập xác định.
• Tính đạo hàm
( )f x
′
. Giải phương trình
( )f x
′
=0.
Gọi các nghiệm là x
i
(i=1,2,3,4,….n)
• Lập bảng biến thiên.
• Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Ví dụ 1:
Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) y= –2x
3
+9x
2
+24x –7
b)
2
1
1
x x
y

x
− +
=
−
Giải:
a) Miền xác định: D=
¡

2
6 18 24y x x
′
= − + +

1
0
4
x
y
x
= −

′
= ⇔

=

Bảng biến thiên: x –
∞
–1 4 +
∞

y
′
– 0 + 0 –
y


Hàm số nghịch biến trong các khoảng:
( ; 1),(4; )−∞ − +∞
Hàm số đồng biến trong khoảng: (–1;4)
8
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh
b) Miền xác định: D=
{ }
\ 1¡

( )
2
2
2
1
x x
y
x
− +
′
=
−

0
0
2
x
y
x
=

′
= ⇔

=

Bảng biến thiên: x
−∞
0 1 2 +
∞


y
′
– 0 + + 0 –
y
Hàm số đồng biến trong các khoảng: (0;1), (1;2)
Hàm số số nghịch biến trong các khoảng:
( ;0),(2; )−∞ +∞
Ví dụ 2 :
Định m để hàm số: y= x
3

– 3mx
2
+ (m+2)x– m đồng biến trên
¡
Giải:
Miền xác định: D=
¡
y
′
= 3x
2
– 6mx+ m+ 2
′
∆
= 9m
2
– 3m– 6
Bảng xét dấu: m
−∞

2
3
−
1 +
∞

′
∆
+ 0 – 0 +
Ta phân chia các trường hợp sau:

 Nếu
2
1
3
m− ≤ ≤

Ta có:
′
∆
≤
0
⇒ 0,y x
′
≥ ∀ ∈ ¡ ⇒
hàm số đồng biến trên
¡
 Nếu
2
3
1
m
m

< −


>

Ta có:
′

∆
> 0 phương trình
y
′
=0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
(giả sử x
1
< x
2
)
Bảng biến thiên: x
−∞
x
1
x
2
+
∞

y
′
+ 0 – 0 +
y

Hàm số không thỏa tính chất luôn luôn đồng biến trên
¡
 Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài toán là:

2
1
3
m− ≤ ≤
Bài tập
Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a)
3
4
3
y x x= −
b)
3 2
1 1
10
3 2
y x x x= + + −
9
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
c) y=
1
4
x
4
–2x
2
–1
d)
2 1
5

x
y
x
−
=
+
e)
2
2 26
2
x x
y
x
+ +
=
+
f)
2 1 3y x x= − − −
Bài 2: Định m để hàm số y= –x
3
+ mx
2
– 3x+ 1 nghịch biến trên
¡
Bài 3: Định m để hàm số
1
2 1
mx
y
x m

+
=
+ +
nghịch biến trong từng khoảng xác định của nó.
V/ Bài toán 5: Cực trị của hàm số
• Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trò tại x
0
và có đạo hàm tại x
9
thì f
/
(x
0
)=0
• Tìm cực trò = dấu hiệu I :
+ MXĐ D=?
+ Tính : y
/
= , tìm nghiệm của ptr y
/
= 0 . Tính y
CĐ
; y
CT

+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y
/
= 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
+ Kết luận cực trị ?
Chú ý:

1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên (a;b).
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y
/
= 0.
3) x
0
là cực trị của hàm số 
/
( ) 0
0
/
( )
=



y x
y x
• Tìm cực trò = dấu hiệu II:
+ MXĐ
+ Đạo hàm : y
/
= ? .. y
//
= ? ..
cho y
/
= 0 => các nghiệm x
1
, x

2
….. .( nếu có )
+ Tính y
//
(x
1
); y
//
(x
2
)…….
Nếu y
//
(x
0
) > 0 thì hàm số đạt CT tại x
0
, y
CT
= ?
Nếu y
//
(x
0
) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x
0
, y
CĐ
= ?
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y

/
khó xét dấu
*Cực trò của hàm hữu tỉ : Nếu h/s đạt cực trò tại x
0
thì y
/
(x
0
)= 0 và giá trò cực trò y(x
0
) =
u (x )
0
v (x )
0
′
′
* Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trò (có cực đại,cực tiểu): y’= 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔

a 0
0
≠


∆ >

*Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trò (có cực đại,cực tiểu): y’= 0 có hai nghiệm phân biệt khác
nghiệm của mẫu
* Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trò : y

/
= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1:
Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a) y= –x
4
+ 2x
2
– 3
b) y= e
–x
(x
2
– 3x +1)
Giải:
a) Miền xác định: D=
¡
10
đổi dấu qua x
0
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

y
′
= – 4x
3
+ 4x= 4x(–x
2
+ 1)

y
′
= 0
⇔
0
1
1
x
x
x
=


=


= −

Bảng biến thiên: x
−∞
–1 0 1 +
∞


y
′
+ 0 – 0 + 0 –
y –2 –2
–3

Điểm cực đại: A(–1;–2), B(1;2)
Điểm cực tiểu: C(0;–3)
b) Miền xác định: D=
¡

y
′
= –e
–x
(x
2
– 3x +1)+ e
–x
(2x–3) = e
–x
(–x
2
+5x–4)
y
′
= 0
⇔
1
4
x
x
=


=


Bảng biến thiên: x
−∞
1 4
+∞


y
′
– 0 + 0 –
y
4
5
e

1
e
−
Ví dụ 2:
Tìm các điểm cực trị của hàm số: y= x– 2sin
2
x
Miền xác định: D=
¡

y
′
= 1– 4sinxcosx= 1– 2sin2x

y

′
=0
⇔
sin2x=
1
2
π
π
π
π

= +

⇔ ∈


= +


¢
12
5
12
x k
k
x k

y
′′
= – 4cos2x

4 cos 2
12 6
y k k
π π
π π
   
′′
+ = − +
 ÷  ÷
   
= –2
3
<0
Vậy:
12
x k
π
π
= +
,
k ∈ ¢
là những điểm cực đại.

π π
π π
   
′′
+ = − +
 ÷  ÷

   
5 5
4cos 2
12 6
y k k
= 2
3
>0
Vậy:
π
π
= +
5
12
x k
,
∈¢k
là những điểm cực tiểu.
Ví d ụ 3/ : Xác đònh m để hàm số:
2
1x mx
y
x m
+ +
=
+
đạt cực đại tại x=2.
Giải:
Ta có
( )

2 2
2
2 1
'
x mx m
y
x m
+ + -
=
+
;
( )
4
2 2
''
x m
y
x m
+
=
+
11
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
Đ/k cần để å hàm số đạt cực đại tại x=2 là:
( )
2
' 2 0 4 3 0f m m= + + =Û
⇔
1
3

m
m
é
=-
ê
ê
=-
ë
Đ/k đủ: Với m= -1 thì f
//
(2)=2>0 ⇒ m= -1 không là giá trò cần tìm.
Với m= -3 thì f
//
(2)= -2< 0 ⇒ m= -3 là giá trò cần tìm.

Ví d ụ 4/ Chứng minh rằng hàm số y=
2
2
2
2
x x m
x
+ +
+
luôn luôn có một cực đại và một cực tiểu.
Giải:
Ta có
( )
( )
2

2
2
2 2 4
'
1
x m x
y
x
- + - +
=
+
Cho
( )
2
' 0 2 2 4 0y x m x= - + - + =Û
ta có
( )
2
' 2 4 0 m m= - + > "D

⇒
y
/
=0 luôn luôn có 2 nghiệm
phân biệt. Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.
3/Đònh m để hàm số y=
( )
3 2 2
3 3 1x mx m m x− + − +
có cực đại, cực tiểu.

Giải
Txđ D=R y
/
= 3x
2
-6mx +3(m
2
-m)
Để hàm số có cực đại, cực tiểu
⇔
y
/
=0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔
3x
2
-6mx +3(m
2
-m)=0 có 2 nghiệm phân
biệt
⇔

/
0∆ >

⇔
9m
2
-9m
2

+9m >0
⇔
m>0 vậy m>0 là giá trò cần tìm.
Bài tập đề nghò:
Bài 1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a)
3 2
1
4 15
3
y x x x= − + −
b) y=
4 3 2
3
9 7
4
x x x− − +
c) y= 2sinx +cos2x trên
[ ]
0;2
π
d) y=
2
3 6
2
x x
x
− + +
+
e)

2
4y x x= −
4
x x
y e e
−
= +
Bài 2: Đònh m để y=
( ) ( )
1133
2223
−−−+−
mxmmxx
đạt cực đại tại x=1. ĐS:m=2
Bài 3: Cho hàm số y=
bax
x
+−
2
4
2
. Đònh a,b để hàm số đạt cực trò bằng –2 tại x=1
Bài 4 : Cho hàm số y=
1
2
+
+−
x
mxx
Đònh m để hàm số có cực trò và 2 giá trò cực trò cùng dấu.

Bài 5: Cho hàm số y=
( ) ( )
131
23
−+−−+
xmxmx
.CMR đồ thò hàm số lu6n có cực đại và cực tiểu.Viết phương
trình đường thẳng qua hai điểm cực trò của hàm số .
Bài 6: Cho hàm số y= mx
4
+(m
2
–9)x
2
+ 10. Tìm m để hàm số có ba cực trị.
Ch ủ đề III :TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NH NHẤT CA HM SỐ .
Phương pháp giải:
*Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số trên miền xác đònh hay một khoảng :
-Tìm tập xác đònh .
12
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
-Tính y’, tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng khơng hoặc khơng xác định nhưng tại đó hàm số liên tục ,
tính giá trò của hàm số tại các điểm đó.
-Lập bảng biến thiên căn cứ bảng biến thiên
⇒
GTLN, GTNN.
*Giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a;b]:
-Tính y’, tìm các điểm thuộc [a;b] tại đó đạo hàm bằng khơng hoặc khơng xác định nhưng tại đó hàm
số liên tục. Giả sử các điểm đó là x
1

, x
2
,…, x
n
- Tính các giá trò f(a), f(x
1
), f(x
2
),…., f(x
n
) , f(b) GTLN là số lớn nhất trong các giá trò vừa tìm được,
GTNN là giá trò nhỏ nhất trong các số vừa tìm được.
Ví dụ
a)Tìm giá trò lớn nhất & giá trò nhỏ nhất của hàm số y=
2
2x x−
.
b)Tìm giá trò lớn nhất & giá trò nhỏ nhất của hàm số b/ y =
x
xx 1
2
++
trên [
1
2
;2 ]
Giải :
a)Txđ : D =[0;2]
y
/

=
2
1
2
x
x x
−
−
cho y
/
=0
⇔
1-x=0
⇔
x=1
⇒
y=1
Bảng biến thiên
X 0 1
2
y
/
+ 0 -
y 1
0 CĐ
0

max ( ) (1) 1f x f= =
,
min ( ) (0) (2) 0f x f f= = =

b) y
/
=
2
2
1x
x
−
cho y
/
=0
⇔
x
2
-1=0
⇔

1
1 ;2
2
1
1 ;2
2
x
x

 
= ∈

 

 


 
= − ∉

 
 

Ta có y(
1
)
2
=
7
2
; y(1)=3 ; y(2)=
7
2
1
[ ;2]
2
min ( )f x
= f(
1
)
2
=f(2)=
7
2

;
1
;2
2
max ( ) (1) 3f x f
 
 
 
= =
Bài tập đề nghò:
Bài 1: Tìm giá trò lớn nhất,giá trò nhỏ nhất của các hàm số :
a) y= x
2
+
2
x
(x > 0) b) y =
3
3 2x x− +
trên
[ ]
10,10−
c) y =
5 4x−
trên đoạn
[ ]
1,1−
d) y= x
4
- 4x

2
+ 2 trên đoạn [-2;2]
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y= 2cos
2
x–3cosx– 4 trên
;
2 2
π π
 
−
 
 
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y= (x–6)
2
4x +
trên [0;3]
13
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
Chủ đề IV: Phương trình, bất phương trình mũ loga
Kiến thức cơ bản về lũy thừa :
1./ Cho
0 -n
n
1
a 0, ta có: a 1; a
a
≠ = =
2./ Cho
m m

a 0,r (m,n Z,n>0 và
n n
> = ∈
tối giản) , ta có
m
m
n
n
a a=
3./ Cho
a,b,α,β R; a>0, b>0 , ta có ∈
+
α β α β
a .a a
+
=
+
α
α β
β
a
a
a
−
=
+
( ) ( )
β α
α β α.β
a a a= =

+
α α α
(a.b) a .b=
+
α
α
α
a a
b b
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
Kiến thức cơ bản về loga :
1./ Định nghĩa:
0 1 0
a
log, , :
N
a a M M N M a> ≠ > = ⇔ =
Suy ra :
1 0 1
a
loglog ,
a
a= =
2./ Các cơng thức: Cho
0 1 0, , ,a a M N> ≠ >

ta có
+
log
a
M
a M=
+
log ( )
a
a
α
α
=
+
( )
log log
a
a
b b
α
β
β
α
=
;
( )
0, 0b
α
≠ >
+

( )
log . log log
a a a
M N M N= +
+
log log log
a a a
M
M N
N
 
= −
 ÷
 
+
log
log .log log log
log
a
a b a b
a
M
b M M M
b
= ⇔ =
;
( )
0 , 1< ≠a b
+
1

log
log
a
b
b
a
=
;
( )
0 1b< ≠

1/ Phương pháp giải phương trình mũ và logarit :
• Dạng cơ bản:
o
f (x)
a
=
g(x)
a
⇔ f(x) = g(x)
o
v(x)
u
= 1 ⇔ ( u −1 ).v(x) = 0 (trong đó u có chứa biến )
o
f (x)
a
= b ( với b > 0 ) ⇔ f(x) = log
a
b

o log
a
f(x) = log
a
g(x) ⇔
f (x) 0 g(x) 0
f (x) g(x)
> >
=



o
log f (x) b
a
0 a 1
=
< ≠



⇔ f(x) =
b
a
o
log v(x)
u(x)
= b ⇔
[ ]
v(x) 0 ; u(x) 0 ; u(x) 1

b
v(x) u(x)
> > ≠
=





• Đặt ẩn phụ :
α.
2f (x)
a
+β.
f (x)
a
+ γ = 0 ; Đặt : t =
f (x)
a
Đk t > 0
α.
f (x)
a
+β.
f (x)
b
+ γ = 0 ; ( với a.b=1) Đặt : t =
f (x)
a
(Đk t > 0) ⇒

1
t
=
f (x)
b
α.
2f (x)
a
+β.
( )
f (x)
a.b
+ γ.
2f (x)
b
= 0 ; Đặt t =
f (x)
a
b
 
 ÷
 
14
hoặc
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
• Logarit hoá hai vế : a
f(x)
=b
g(x)
⇔ f(x)=g(x). log

a
b
2/ Phương pháp giải bất phương trình mũ và logarit
• Dạng cơ bản :
1
0

f (x)
a
>
g(x)
a
⇔
f (x) g(x) khi a 1
f (x) g(x) khi 0 a 1
> >
< < <



2
0

f (x)
a
> b ⇔ Nếu b ≤ 0 có nghiệm ∀x
Nếu b > 0 f(x) > log
a
b nếu a > 1
f(x) < log

a
b nếu 0 < a < 1
3
0

f (x)
a
< b ⇔ Nếu b ≤ 0 thì pt vô nghiệm
Nếu b > 0 ; f(x) < log
a
b nếu a > 1
f(x) > log
a
b nếu 0 < a < 1
4
0
log
a
f(x) > log
a
g(x) ⇔ Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ≠ 1
(a−1)[ f(x) − g(x) ] > 0
5
0
log
a
f(x) > b ⇔ * Nếu a > 1 : bpt là f(x) >
b
a
* Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) <

b
a
6
0
log
a
f(x) < b ⇔ * Nếu a > 1 : bpt là 0 < f(x) <
b
a

* Nếu 0 < a < 1 bpt là f(x) >
b
a
7
0

( )
v(x)
u(x)
> 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) > 0
8
0

( )
)(
)(
xv
xu
< 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) < 0
Lưu ý:

*) trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng cơng thức sau để bài tốn trở nên dễ dang hơn.
1
0

f (x)
a
>
g(x)
a
 (a−1)(f(x) − g(x)) > 0.
2
0
log
a
f(x) > log
a
g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0.
CÁC BÀI TẬP MẪU
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a./
2
x 3x 1
1
3
3
− +
 
 ÷
=
 ÷

 ÷
 
b./
x 1 x 2
2 2 36
+ −
+ =
Giải:
a./
2
2
x 3x 1
(x 3x 1) 1 2 2
x 1
1
3 3 3 (x 3x 1) 1 x 3x 2 0
x 2
3
− +
− − +

 
=

 ÷
= ⇔ = ⇔ − − + = ⇔ − + = ⇔

 ÷
=
 ÷


 

b./

x x x
x 1 x 2 x
x x 4
2 8.2 2
2 2 36 2.2 36 36
4 4
9.2 36.4 2 16 2 x 4
+ −
+
+ = ⇔ + = ⇔ =
⇔ = ⇔ = = ⇔ =
Bài 2: Giải các phương trình sau
a./
2 5
3 5
x+
=
b./
2 1
5 2 50.
x x−
=
Giải:
15
Nguyn Nng Sut THPT Quang Trung Goứ Dau Taõy Ninh

a./
2 5
3
3
5 5
3 5 2 5 5
2

log
log
x
x x
+

= + = =
b./
2 1
20
4
5 2 50 5 50 20 100 100
2
. . log
x
x x x x
x

= = = =
Bi 3: Gii cỏc phng trỡnh sau
a./
25 2 5 15 0.

x x
=
b./
4 2 1
3 -4.3 27 0
x x +
+ =
c./
2 2
3 3 24
x x+
=
Gii:
a./
( )
2
25 2 5 15 0 5 2 5 15 0. .
x x x x
= =
t t = 5
x
, t >0 ta cú phng trỡnh: t
2
2t 15= 0
5
3 (loai)
5 5 1
=

=

= =
x
t
t
x
b./
( )
2
2x 2
2x 2
2
2 2
4x 2x+1
3 -4.3 +27=0 3 12 3 27 0
Nờu t=3 t>0 ta cú : t 12 27 0
1
3 3 3 2 1

2
9 2 2
3 9 3
1

+ =
+ =

= = =
=






= =
= =


=

.
;
x
x
x
t
t x
x
t x
x
c./
( )
2
2 2
9
3 3 24 9 3 24 0 9 3 24 3 9 0

3
. . .
x x x x x
x
+
= = =
t
3 0
x
t = >
, ta cú
2
3
9t 24 9 0 3 3 1
1
( loai)
3
=


= = =

=

x
t
t x
t

Bi 3: Gii cỏc phng trỡnh sau:

a./
2 2
3 2log log ( )x x+ + =
b./
2
2 2 2
9log log logx x x+ =
Gii:
a./
2 2
3 2log log ( )x x+ + =
(1)
K:
0 0
0
3 0 3
x x
x
x x
> >

>

+ > >

2
2
2
1 3 2 3 2 4
1

3 4 0 1
4

(loaùi)
( ) log ( ) ( )x x x x
x
x x x
x
+ = + = =
=

+ = =

=

b./
2
2 2 2
9log log logx x x+ =
(1) K: x>0
16
Nguyn Nng Sut THPT Quang Trung Goứ Dau Taõy Ninh
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 9 2 9
1
9 3 3
2

( ) log log log log log log

log log log log
x x x x
x x x
+ = + =
= = =
x=3>0 tha iu kin . Vy phng trỡnh cú nghim l x=3
Bi 2: Gii cỏc phng trỡnh sau:
a./
2
2 2
2 2 0log logx x+ =
b./
2 1
1 1 4log ( ) log
x
x

+ =
c./
2 3
5 7lg lg lgx x x =
d./
2 2
2 16 7 0. log logx x+ =
Gii:

2
2 2
2
2 2

2 2 0 (1) x>0
(1) 2 0
/ log log :
log log
+ =
+ =
a x x ẹK
x x
2
2
2
2
2
1
1
t= ta cú : t 2 0
2 2
2

1
2
4
log
log ,
log


=

=

+ =


= =




=



= =


x
t
ẹaởt x t
t x
x
x
Tha iu kin x>0 . Vy phng trỡnh cú nghim l: x=2 v x=1/4
b./
2 1
1 1 4log ( ) log
x
x

+ =
(1)

K:

[ ]
2
2 2
2 2
2
2 2
1 0 1
1 1 2
4 2
1 1 1 1 1
1 1
1 1 2 0
(*)

log
( ) log ( ) log ( )
log ( ) log ( )
log ( ) log ( )
x x
x x
x x
x x
x x
> >

+ = + =

+ =
t:
2
1log ( )t x=
, ta cú :
2
1
2 0
2
t
t t
t
=

+ =

=


2
2
1 2 3
1 1
1 5
1 2
1
4 4

log ( )
log ( )
x x
x
x
x x
= =

=





=
= =


tha (*)
Vy phng trỡnh cú nghim l : x = 3 v x = 5/4.
c./
2 3
5 7lg lg lgx x x =
(1)
K: x>0 (*)
2 2
1 5 3 7 8 7 0

( ) lg lg lg lg lgx x x x x = + =
17

Nguyn Nng Sut THPT Quang Trung Goứ Dau Taõy Ninh
t: t= lgx , ta cú:
2
7
10
1 1
8 7 0
7 7
10
lg
lg
x
t x
t t
t x
x
=

= =

+ =


= =
=



tha (*)
Vy phng trỡnh cú nghim l: x = 10 v x = 10

7
d./
2 2
2 16 7 0 (1). log logx x+ =
K:
2
0
1
1
0
16 0
log x
x
x
x
x
>
>


>

>
>


(*)
2 2 2 2 2
1 2 16 7 0 2 3 0( ) . log log log log logx x x x + + = + =
t:

2
0logt x=
, ta cú:
2
2
1
2 3 0 1 2
3 0 (loaùi)
log
t
t t x x
t
=

+ = = =

= <

. Tha (*)
Vy phng trỡnh cú nghim l x=2.
Bi 3: Gii cỏc bt phng trỡnh sau
( )
( ) ( )
2
1
2
2
1
1 3
3 1

3 9
3 1
5 2 5 2
b./ 3./
./
x
x
x
x
x x
a
c


+
+

< >
+
+
Gii:
a./
( )
1
1
3 1 3
3 1 3 3 3 1 3 3 27 3 9 26 3 12
3
3 1
6

3
13
. . . .
x x
x x x x
x
x
x R

+

< < + < + >
+
>
b./
( )
2
2
93
x
x
>
2 4
4
16
3 3 2 4 8 16
4 7
x
x
x

x x x x

> > > <
c./
( ) ( )
2
1 3
5 2 5 2
x x +
+
(1)
Ta cú
( ) ( ) ( )
1
1
5 2 5 2 1 5 2 5 2
5 2

+ = = = +
+
Vy (1)
( ) ( )
2
1 3
2
5 2 5 2 1 3
x x
x x

+ +

2
2 0 1 2x x x
Bi 4: Gii cỏc bt phng trỡnh sau
18