CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH HÌNH CHÓP HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN

CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH HÌNH CHÓP HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN
Tổng hợp Công thức tính thể tích khối chóp các trường hợp cực hay
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Dạng 2: Tính thể tích khối chóp có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy
Dạng 3: Tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Dạng 4: Tính tỉ số thể tích hai khối chóp
Phương pháp tính thể tích hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Phương pháp tính thể tích hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Phương pháp tính thể tích khối đa diện đều cực hay
Phương pháp tính tỉ số thể tích của hai khối chóp cực hay
Phương pháp tính thể tích các khối đa diện cực hay


Chủ đề: Thể tích hình chóp
Tổng hợp Công thức tính thể tích khối chóp các trường hợp cực hay
Phương pháp giải
* Nếu khối chóp đã cho có chiều cao h và diện tích đáy S day thì thể tích tính
theo công thức:

* Để xác định được chiều cao của hình chóp ta cần xác định:
• Chóp có cạnh bên vuông góc chiều cao chính là cạnh bên.
• Chóp có hai mặt bên vuông góc đáy đường cao là giao tuyến của hai mặt bên
vuông góc đáy.
• Chóp có mặt bên vuông góc đáy chiều cao của mặt bên vuông góc đáy.
• Chóp đều chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy.
• Chóp có hình chiếu vuông góc của một đỉnhlên xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt
đáy đường cao là từ đỉnh tới hình chiếu.
Chú ý: Các công thức tính diện tích đa giác
a) Tam giác:

b) Hình vuông cạnh a: S = a2(a: cạnh hình vuông)
c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)
d) Hình bình hành ABCD: S = đáy x cao = AB. AD.

e) Hình thoi ABCD: S= AB. AD.

f) Hình thang:

(a,b: hai đáy, h: chiều cao)

g) Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc:
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Chú ý khi giải toán
+ Một hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là
đường cao.
+ Một hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì cạnh bên
là giao tuyến của hai mặt đó vuông góc với đáy


Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân ở B, AC=a√2,
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Hướng dẫn:

ABC là tam giác vuông cân ở B, AC=a√2 nên

SA vuông góc với mặt phẳng ABC nên SA là đường cao

Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4; AB = 6; BC = 10

và CA = 8. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC


Hướng dẫn:
Nửa chu vi của tam giác là: p = 12

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng
30º.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC
Hướng dẫn:
Do SA ⊥ (ABC) nên AB là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (ABC).
⇒ Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là
Xét tam giác SAB vuông tại A có:

∆ABC đều cạnh a nên

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, AD = a.
Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt
phẳng S.ABCD bằng 60º. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD


Hướng dẫn:

SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD)
Do đó, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là


Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy và AB = a, AC =
2a, góc BAC = 120º. Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60º. Tính theo a thể
tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn:

Gọi F là hình chiếu vuông góc của A lên BC.
(SBC) ∩ (ABC) = BC

Vậy góc giữa (SBC) và (ABC) là góc SFA = 60º
Xét tam giác ABC, AB = a, AC = 2a, góc BAC = 120º có:


Xét tam giác ABF vuông tại F có:

Xét tam giác ABF vuông tại F có:

B. Bài tập vận dụng
Bài tập thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Bài 1: Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B, AB =
a; AC=a√3. Tính thể tích khối chóp biết rằng SB=a√5.


Hiển thị đáp
án
Đáp án : A
Giải thích :

ΔSAB vuông tại A có:


Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có ABCD là hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD),.
Góc giữa mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 30º . Tính thể tích khối chóp
S.ABCD

Hiển thị đáp án
Đáp án : C


Giải thích :

Từ A kẻ AH vuông góc với BD, H∈ BD ⇒ BD ⊥ (SAH)

Mà H là trung điểm của AC suy ra

Bài 3: Cho khối chóp S.ABC có ABCD là hình thoi, cạnh bằng a√3; SA ⊥
(ABCD), góc BAD=120º. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết rằng góc giữa mặt
phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 60º


Hiển thị đáp án
Đáp án : D
Giải thích :

Ta có SA ⊥ (ABCD)

Gọi H là tâm của hình thoi ABCD nên AH ⊥ BD
Mà SA ⊥ BD ⊂(ABCD) ⇒ BD ⊥ (SAH)

Mà H là trung điểm của AC suy ra


Bài 4: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Hai
mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Biết AD=2BC=2a và

BD=a√5. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết rằng góc giữa SB và (ABCD)
bằng 30º

Hiển thị đáp án
Đáp án : A
Giải thích :


Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết
rằng SC=a√3


Hiển thị đáp án
Đáp án : B
Giải thích :


Bài 6: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật; AC=2AB=2a ; SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết rằng SD=a√5.

Hiển thị đáp án
Đáp án : D
Giải thích :


Bài 7: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm O; AC=2AB=2a;
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết góc giữa
SC và (ABCD) bằng 45º.

Hiển thị đáp án
Đáp án : A
Giải thích :


Bài 8: Cho khối chóp S.ABC đáy ABC là tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh
BC=a√2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên (SBC) tạo với mặt
phẳng đáy một góc bằng 45º. Thể tích khối chóp S.ABC bằng V. Gía trị 6V/a^3 là:

Hiển thị đáp án
Đáp án : C
Giải thích :


ΔABC vuông cân tại A có BC=a√2 ⇒ AB=AC=a
Gọi M là trung điểm của BC

Ta có:

Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc giữa AM và SM


Bài 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt
phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
biết rằng góc giữa SC và (ABCD) bằng 45º

Hiển thị đáp án
Đáp án : B
Giải thích :

Bài 10: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt
phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
biết rằng góc giữa SM và (ABCD) bằng 60º , với M là trung điểm BC

Hiển thị đáp án
Đáp án : A
Giải thích :


Ta có:

Dạng 2: Tính thể tích khối chóp có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy
A. Phương pháp giải & Ví dụ
1. Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là một
đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
2. Kết quả: Trong hình chóp đều:
+ Đường cao hình chóp qua tâm của đa giác đáy.
+ Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
+ Cắt mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.


Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AD = 2a, AB = a. Gọi
H là trung điểm AD, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD biết SA=a√5
Hướng dẫn:

Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = 3a, AC = 6a.
Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn AB sao cho AH =

2HB. Biết SC hợp với (ABC) một góc bằng 60º . Tính thể tích khối chóp S.ABC
Hướng dẫn:


Tam giác ABC vuông tại B, AB = 3a, AC = 6a

AH = 2HB; AB = 3a ⇒ HB = a

Có: SH⊥(ABCD) nên góc giữa SC và (ABC) là góc giữa SC và HC


Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a,
BC=a√3, H là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng
vuông góc với mặt đáy, đường thẳng SD tạo với đáy một góc 60º . Tính thể tích
của khối chóp theo a
Hướng dẫn:

HD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD). Do đó góc giữa
đường thẳng SD và đáy là góc giữa HD và SD