SKKN toan (một số phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức)

Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc
phần thứ nhất
A. mở đầu
1.Lý do chn sỏng kin
a, C s lí lun:
Tri thức khoa học của nhân loại càng ngày càng đòi hỏi cao.
Chính vì vậy, việc giảng dạy trong nhà trờng phổ thông ngày
càng đòi hỏi nâng cao chất lợng toàn diện, đào tạo thế hệ trẻ có
tri thức cơ bản, có khả năng t duy, sáng tạo, độc lập, tích cực và
chủ động trong lĩnh hội tri thức khoa học. Môn Toán là môn học
góp phần tạo ra những yêu cầu đó. Việc hình thành năng lực giải
Toán cho học sinh trung học cơ sở là việc làm chính không thể
thiếu đợc của ngời thầy, rèn luyện cho các em có khả năng t duy
sáng tạo, nắm chắc kiến thức cơ bản, gây đợc hứng thú cho các
em yêu thích môn Toán. Môn Toán có vị trí đặc biệt quan trọng
trong trờng phổ thông, có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển
các năng lực và phẩm chất trí tuệ. L mt môn khoa hc gây
nhiu hng thú cho hc sinh, nó l mt môn hc không th thiu
trong quá trình hc tp, nghiên cu v c trong cuc sng hng
ngy. Mt nh toán hc có nói: Toán hc c xem nh l mt
khoa hc chng minh.
Thật vậy, do tính chất trừu tợng, tính chính xác, t duy suy
luận logic. Toán học đợc coi là "môn thể thao trí tuệ" rèn luyện
cho học sinh trí thông minh, sáng tạo. Trong cỏc mụn hc trng ph
thụng, Toỏn hc c coi nh l mt mụn hc c bn, l nn tng cỏc em phỏt
huy c nng lc bn thõn, gúp phn to iu kin cỏc em hc tt cỏc mụn
khoa hc t nhiờn khỏc.
Vy dy nh th no hc sinh khụng nhng nm chc kin thc c bn
mt cỏch cú h thng m cũn phi c nõng cao phỏt trin cỏc em cú hng thỳ
say mờ hc tp l mt cõu hi m mi thy cụ luụn t ra cho mỡnh. Tuy nhiờn
11

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng


Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc
hc tt mụn Toỏn thỡ ngi giỏo viờn phi bit cht lc ni dung kin thc, phi i
t d n khú, t c th n tru tng v phỏt trin thnh tng quỏt giỳp hc sinh
cú th phỏt trin t duy toỏn hc, lm cho cỏc em tr lờn yờu thớch toỏn hn t ú
cỏc em cú ý thc hc tp m bo yờu cu ca thi i mi.
b)C s thc tin:
L mt giỏo viờn c phõn cụng ging dy nhiu nm mụn Toỏn 7 - Bi
dng i tuyn Toỏn 7 vi i tng hc sinh khỏ gii, cỏc em cú t duy nhy bộn
v nhu cu hiu bit ngy cng cao, tụi luụn trn tr lm th no phỏt huy c
ht kh nng ca cỏc em ú l trỏch nhim ca cỏc giỏo viờn chỳng ta. Qua ging
dy chng trỡnh toỏn lp 7 tụi nhn thy chuyờn v Tỉ lệ thức - Tớnh cht
dóy t s bng nhau l mt chuyờn tht lý thỳ, phong phỳ a dng khụng th
thiu phõn mụn ại s lp 7.
Vic gii bi toỏn v tỉ l thc l mt dng toỏn hay, vi mong mun cung
cp cho cỏc em mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc, giỳp cỏc em lm
bi tp tt hn nhm tớch cc hoỏ hot ng hc tp, phỏt trin t duy, do ú tụi
chn chuyờn Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v tỉ l thc thc
hin trong chng trỡnh toỏn lp 7.
2)Mc ớch nghiờn cu
- Cỏc phng phỏp thng dựng gii cỏc bi toỏn v tỉ l thc.
- Rốn k nng vn dng kin thc khi gii bi toỏn v tỉ l thc, học sinh
nắm vững kiến thức, biết vận dụng vào giải bài tập, vận dụng
trong hình học 8 phần Định Lí Ta-let và tam giác đồng dạng.
- Cng c v hng dn hc sinh lm bi tp nhằm nâng cao
chất lợng giờ dạy, nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp
vụ cho bản thân, thông qua đó giới thiệu cho bạn bè đồng nghiệp

tham khảo vận dụng vào quá trình giảng dạy
môn Toán ở trờng THCS đạt hiệu quả cao.

22

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng


Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc
- Học sinh tự giác chủ động tìm tòi, phát hiện giải quyết
nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt sáng tạo các
kiến thức kỹ năng đã thu nhận đợc.

PHN TH HAI
B. NI DUNG
I. Tỉ lệ thức

1. Định nghĩa:

Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số

a
c
=
b
d

(hoặc a : b

= c : d).

Các số a, b, c, d đợc gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các
số hạng ngoài hay còn gọi là ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong
hay còn gọi là trung tỉ.
2. Tính chất:

Tính chất 1: Nếu

a c
=
b d

thì

ad = bc

Tính chất 2: ( Điều kiện để 4 số lập thành các tỉ lệ thức)
Nếu

ad = bc

và a, b, c, d

0

thì ta có các tỉ lệ thức sau:
33

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng

Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc

a c
=
b d

a b
=
c d

;

;

d c
=
b a

;

d b
=
c a

Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các
đẳng thức còn lại.
II . Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

- Tính chất: Từ

a c
=
b d

suy ra:

a c a+c ac
= =
=
b d b+d bd

- Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau:

a c e
= =
b d
f

suy ra:

a c e a+c+e ac+e
= = =
=
= ...
b d f b+d + f bd + f

(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).

Chú ý: Khi có dãy tỉ số

a b c
= =
2 3 5

ta nói các số a, b, c tỉ lệ với

các số 2; 3; 5.
Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5
Sau khi hc sinh ó nm chc c lý thuyt thỡ vic vn
dng lý thuyt vo gii bi tp l vụ cựng quan trng, do vy
ngi giáo viờn khụng ch n thun cung cp li gii m quan
trng hn l dy cho cỏc em bit suy ngh tỡm ra con ng hp
lý gii bi toỏn nh nh toỏn hc Pụlia ó núi Tỡm c cỏch
gii mt bi toỏn l mt iu phỏt minh.
Tuy nhiờn khi gii bi tp dng ny tụi khụng mun dng li
nhng bi tp SGK m tụi mun gii thiu thờm mt s bi tp
in hỡnh v mt s phng phỏp gii cỏc bi tp ú.
DNG 1 : TèM THNH PHN CHA BIT TRONG T L THC, DY T S BNG NHAU

44

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng


Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc

Bài toán 1: Tìm hai số x và y biết

x y
=

2 3

và

x + y = 20

Giải:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)

Đặt

x y
= =k
2 3

, suy ra:

Theo giả thiết:
Do đó:

x = 2k

,

y = 3k

x + y = 20 2k + 3k = 20 5k = 20 k = 4

x = 2.4 = 8
y = 3.4 = 12

KL:

x = 8 , y = 12

Cách 2: ( Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y x + y 20
= =
= =4
2 3 2+3 5

Do đó:
KL:

x
=4 x=8
2

;

y
= 4 y = 12
3

x = 8 , y = 12

Cách 3: (phơng pháp thế)

Từ giả thiết

x y
2y
= x=
2 3
3

55

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng


Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc

x + y = 20
mà

x=
Do đó:
KL:

2y
+ y = 20 5 y = 60 y = 12
3

2.12
=8
3

x = 8 , y = 12

Bài toán 2: Tìm x, y, z biết:

x y
=
3 4

y z
=
3 5

,

và

2x 3y + z = 6
Giải:

Cách 1:

Từ giả thiết:

x y
x y
= =
3 4 9 12

(1)

;

y z
y
z
=
=
3 5 12 20

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Ta có:

x y z
= =
9 12 20

(*)

x y z 2x 3 y z 2x 3 y + z 6
= = = = = =
= =3
9 12 20 18 36 20 18 36 + 20 2

( áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

Do đó:
KL:

x
= 3 x = 27
9

y
= 3 y = 36
12

z
= 3 z = 60
20

x = 27 , y = 36 , z = 60

66

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng


Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc

Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt

x
y
z
=
=
=k

9 12 20

( sau đó giải

nh cách 1 của VD1).
Cách 3: (phơng pháp thế: ta tính x, y theo z)

Từ giả thiết:

y
z
3z
=
y =
3
5
5

2 x 3 y + z = 6 2.
mà

y=
Suy ra:
KL:

3.60
= 36
5

;

x y
3y
= x=
=
3 4
4

3z
5 = 9z
4
20

3.

9z
3z
z
3. + z = 6 = 60 z = 60
20
5
10
x=
,

9.60
= 27
20

x = 27 , y = 36 , z = 60

Bài toán 3: Tìm hai số x, y biết rằng:

x
y
=
2
5

và

x. y = 4 0

Giải:
Cách 1: (đặt ẩn phụ)

Đặt

x
y
=
=k 0
2
5

Theo giả thiết:
+ Với
+ Với

k =2

k = 2

, suy ra

x = 2k

,

y = 5k

x. y = 40 2k .5k = 40 10k 2 = 40 k 2 = 4 k = 2

ta có:
ta có:

y = 5.2 = 10

x = 2.2 = 4

x = 2.( 2) = 4

;

y = 5.( 2) = 10

77

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng

Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc
KL:

x = 4 , y = 10

hoặc

x = 4 , y = 10

Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Hiển nhiên x

0

Nhân cả hai vế của

x y
=
2 5

x 2 xy 40
= =
=8
2
5
5

với x ta đợc:

x 2 = 16
x = 4

+ Với

+ Với
KL:

x=4

ta có

x = 4

4 y
4 .5
= y=
= 10
2 5
2

ta có

x = 4 , y = 10

4 y
4.5
= y=
= 10
2 5

2

hoặc

x = 4 , y = 10

Cách 3: (phơng pháp thế) làm tơng tự cách 3 của ví dụ 1
Bài toán 4: Tìm x, y, z biết
a)

3x = 5y = 8z và x + y + z = 158

b)

2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z - 7y = 60

c)

2x = 3y = 5z và x + y - z = 95
Giải:

Đối với bài toán 5 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên.
Song tôi đã nhắc các em lu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ
đẳng thức giữa hai tích hoặc đến tính chất của đẳng thức.
Từ đó các em có hớng giải và chọn lời giải cho phù hợp.
88

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng

Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc
Cách 1: Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai
tích ta có lời giải sau:

Ta có: 3x = 5y

5y = 8z



y
y
x
x 1 y 1
x
=
. = . hay
=
5
3
5 8 3 8
40 24

y z
y 1 z 1
y
z
= . = . hay =
8 5 8 3 5 3
24 15

x+ y+ z
x y z
158
= = =
=
=2
40 24 15 40+ 24+ 15 79

x = 40 . 2 = 80
y = 24 . 2 = 48
z = 15 . 2 = 30
Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Cách 2: Dựa vào tính chất của phép nhân của đẳng thức. Các
em đã biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3; 5; 8. Từ đó các em
có lời giải của bài toán nh sau:
Ta có BCNN(3; 5; 8) = 120
3x.

Từ 3x = 5y = 8z

Hay



1
1
1
= 5y.
= 8z.

120
120
120

y
x+ y+ z
x
z
158
=
=
=
=
=2
40 24 15 40+ 24+ 15 79

(Tơng tự nh trên có ...)
Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Cách 3: Tôi đã đặt vấn đề: Hãy viết tích giữa hai số thành 1
thơng. Điều đó đã hớng cho các em tìm ra cách giải sau:
99

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng


Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc

Từ 3x = 5y = 8z

x=

y=

z=



x+ y+ z
x y
z
158
=
=
=
=
= 240
1 1 1 1 1 1
79
+ +
3 5 8 3 5 8 120

1
.240= 80
3

1
.240= 48
5

1
.240= 30
8

Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Qua ba hớng giải trên, đã giúp các em có công cụ để giải
toán và từ đó các em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu,
lôgic. Cũng từ đó giúp các em phát huy thêm hớng giải khác và vận
dụng để giải các phần b và c.
Để giải đợc phần b có điều hơi khác phần a một chút yêu
cầu các em phải có t duy một chút để tạo lên tích trung gian nh
sau:
+ Từ 2x = 3y 2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y

(1)

+ Từ 5y = 7z 5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z

(2)

Từ (1) và (2) ta có: 10x = 15y = 21z





y
3x + 5z 7y
x
z

60
=
=
=
=
= 840
1
1
1
1
1
1
15
3.
+ 5.
7.
10 15 21
10
21
15 210

x=

1
.840= 84
10

1010

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng

Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc

y=

z=

1
.840= 56
15
1
.840= 40
21

Vậy x = 84; y = 56; z = 40.
Kết quả thu đợc: Các em đã tìm hớng giải cho phần c và tự cho
đợc ví dụ về
dạng toán này.
Bài toán 5. Tìm x, y, z biết rằng

a)

\

b)

x1 y 2 z 2
=
=

vàx + 2y z = 12
5
3
2

x1 y 2 z 3
=
=
và2x + 3y z = 50
2
3
4

Để tìm đợc lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem
làm thế nào để xuất hiện đợc tổng x + 2y - z = 12 hoặc 2x +
3y - z = 50 hoặc2x + 3y- 5z =10
Với phơng pháp phân tích, hệ thống hoá đã giúp cho các em
nhìn ra ngay và có
hớng đi cụ thể.
Cách 1: Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy số
bằng nhau có lời
giải của bài toán nh sau:

a) Ta có :

x 1 y 2 z 2 2( y 2) 2 y 4
=
=
=
=

5
3
2
2.3
6

1111

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng


Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc

=



x 1 + 2 y 4 ( z 2) x + 2 y z 3 12 3
=
=
=1
5+62
9
9

x-1=5

x=6

x-2=3

y=5

z-2=2

z =4

Cách 2: Dùng phơng pháp đặt giá trị của tỷ số ta có lời giải sau:

Đặt

x1 y 2 z 2
=
=
=k
5
3
2


Ta có:

x - 1 = 5k

x = 5k + 1

y - 2 = 3k

y = 3k + 2

z - 2 = 2k

z = 2k + 2

x + 2y - z = 12



2k + 1 + 2(3k + 2) - (2k + 2)

= 12


9k + 3 = 12



k=1

Vậy x = 5 . 1 + 1 = 6
y=3.1+2=5
z=2.1+2=4
Với các phơng pháp cụ thể của từng hớng đi các em đã vận
dụng để tự
giải phần (b) và của bài toán 5.
Bài toán 6: Tìm x, y, z biết rằng:

y+ z+ 1 x+ z+ 2 x+ y 3
1
=

=
=
x
y
z
x+ y+ z
1212

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng


Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc
Đối với bài toán 6 có vẻ hơi khác lạ. Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ
đâu? đi từ kiến thức nào? Điều đó yêu cầu các em phải t duy có
chọn lọc để xuất hiện
x + y + z. Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để xuất
hiện dãy tỷ số bằng nhau và đã có lời giải của bài toán nh sau:
Giải:
Điều kiện : x, y, z 0

Ta có:



y + z + 1 x + z + 2 x + y 3 y + z + 1+ x + z + 2 + x + y 3 2(x + y + z)
=
=
=
=
=2

x
y
z
x+ y+ z
x+ y+ z

1
=2
x+ y+ z



x+y+z=

1
= 0,5
2

x + y = 0,5 z
y + z = 0,5 x
x + z = 0,5 y
Thay các giá trị vừa tìm của x, y, z vào dãy tỷ số trên, ta có:

+)

y + z +1
0,5 x + 1
=2
=2
x

x
0,5 - x + 1 = 2x
1,5 = 3x
x = 0,5

+)

x + z + 2 0,5 y + 2

=2
y
y
2,5 - y = 2y
2,5 = 3y
1313

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng


Một số phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức

y=

+)

5
6

x+ y −3
0,5 − z − 3

=2⇒
=2
z
z
 -2,5 - z = 2z
 -2,5 = 3z
−
z=

VËy (x; y; z) = ( 0,5;

5
6

5
6

5
6

;- )

Bµi tËp vËn dông:
Bµi 1: T×m c¸c sè x, y, z biÕt r»ng:

x
y
z
= =
10 6 21

a)

vµ

5 x + y − 2 z = 28

b)

x y
=
3 4

,

y z
=
5 7

vµ

2 x + 3 y − z = 124

c)

2x 3y 4z
= =
3 4 5

e)

x y
=
5 3

vµ

vµ

x + y + z = 49

d)

x
y
=
2
3

vµ

x2 − y2 = 4

xy = 54

f)

x
y
z

=
=
= x+ y+z
y + z +1 z + x +1 x + y − 2
Bµi 2: T×m c¸c sè x, y, z biÕt r»ng:
1414

Người thực hiện: Nguyễn Thị Hồng


Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc

a)

3x = 2 y , 7 y = 5 z

và

x y + z = 32

b)

x 1 y 2 z 3
=
=
2
3
4

và

2 x + 3 y z = 50

c)

e)

2x = 3 y = 5z

x 3 y3 z 3
= =
8 64 216

g)

và

x + y z = 95

d)

v x2 + y2 + z2 = 14.

f)

x y z
= =
2 3 5

và

xyz = 810

2x + 1 3y 2 2x + 3y 1
=
=
5
7
6x

1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y
=
=
18
24
6x

Dạng 2. Chứng minh tỷ lệ thức

Việc hệ thống hoá, khái quát hoá các kiến thức của tỷ lệ thức còn
có vai trò rất
quan trọng trong việc chứng minh tỷ lệ thức, với hệ thống các bài
tập từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể, cơ bản đến kiến thức
trừu tợng, mở rộng đã cho các em rất nhiều hớng để giải quyết tốt
yêu cầu của bài toán.

Để chứng minh tỉ lệ thức:

A C
=

B D

ta thờng dùng một số phơng pháp

sau:
Phơng pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C

Phơng pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số

A
B

và

C
D

có cùng giá trị.
1515

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng


Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc
Phơng pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
Một số kiến thức cần chú ý:

+)

a na

=
( n 0)
b nb
n

+)

a c a c
= =
b d b d

n

Bài toán 1: Cho tỷ lệ thức:

Chứng minh :

a c
= 1
b d

với a, b, c, d



0

ab cd
=
a

c
Giải

Cách 1: Từ

a
c
=
a.d = b.c
b
d

Xét tích
Thay

(a b).c = a.c b.c

b.c = a.d (a b).c = a.c a.d = (c d ).a

(a b).c = (c d ).a
Vậy

Nh vậy để chứng minh:

ab cd
=
a
c
ab cd
=

a
c
1616

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng


Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc

ta phải có đẳng thức

Cách 2 : Đặt

Xét

Và

(a b).c = (c d ).a

.

a
c
=
= k a = b.k ; c = d .k
b
d

a b b.k b b(k 1) k 1
=

=
=
a
b.k
b.k
k
c d d .k d d (k 1) k 1
=
=
=
c
d .k
d .k
k


Từ (1) và (2)

(1)

(2)

ab cd
=
a
c

Trong cách này ta chứng minh tỉ số:

ab cd

=
a
c

nhờ tỉ số

thứ ba. Để có tỉ số thứ ba ta đặt giá trị tỉ số đã cho bằng giá trị
k. Từ đó tính giá trị của một số hạng theo k.

Cách 3: Từ tỉ số

a c a b
= =
b d c d

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

a b a b a ab cd a b
= =
=

=
c d cd c cd
c
a

hay

ab cd
=

a
c

Trong cách này sử dụng hoán vị trung tỉ rồi áp dụng tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau rồi lại hoán vị ngoại tỉ một lần nữa.
Cách 4:
1717

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng


Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc

Từ

a c b d
= =
b d a c

Xét

a b
b
b
d cd
=1 1 =1 =
a
a
a
c

d

Vậy

ab cd
=
a
c

Cách 5:

Từ

a c
b d
= =
b d
a c

Lấy 1 trừ từng vế của tỉ lệ thức:

b
d ab cd
1 =1
=
a
c
a
c
Trong cách này, biến đổi đồng thời ngoại tỉ cho trung tỉ.

Rồi lấy số 1 trừ từng vế của tỉ lệ thức rồi biến đổi đẳng thức
cần chứng minh

Cách 6:

Từ tỉ lệ thức

a c
= a.d = b.c
b d

. Ta có:

a b c d (a b).c (c d ).a a.c b.c a.c + a.d b.c + a.d
=
=
=
=
a
c
a.c
a.c
a.c
a.d = b.c
Mà



bc + ad
=0

ac

vì

a, c 0

ab cd
a b cd

=0
=
a
c
a
c
1818

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng


Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc
Trong cách này, từ tỉ lệ thức cần chứng minh ta chứng minh hiệu
của hai tỉ số đó bằng 0.
Tóm lại từ một tỉ lệ thức ta có thể suy ra tỉ lệ thức khác
bằng cách chứng minh theo nhiều cách khác nhau có thể sử dụng
trong bài tập.

Bài toán 2: Cho tỷ lệ thức

a 2 + b 2 ab

=
c 2 + d 2 cd

Với

a , b, c , d 0

và

c d

Chứng minh :

a c
=
b d

hoặc

a d
=
b c

Cách 1: Ta sử dụng cách 6:

Vì

a 2 + b 2 ab
=
c 2 + d 2 cd

(a 2 + b 2 )cd ab(c 2 + d 2 )

=0
2
2
(c + d )cd
a 2 cd + b 2 cd c 2 ab d 2 ab

=0
(c 2 + d 2 )cd
(a 2 cd c 2 ab) ( d 2 ab b 2 cd ) = 0
ac(ad bc) db(da bc) = 0

nên

a 2 + b 2 ab
=0
(ad bc)( ac db) = 0
c 2 + d 2 cd
a c
=
b d
a d
ac bd = 0 ac = bd =
b c
ad bc = 0 ad = bc



1919

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng


Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc

Vậy

a 2 + b 2 ab a c
=
=
2
2
cd
b d
c +d

Cách 2 : Từ

hoặc

a d
=
b c

a 2 + b 2 ab
a 2 + b 2 2ab
=
2
=

c 2 + d 2 cd
c + d 2 2cd

áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có:

a 2 + b 2 a 2 + b 2 + 2ab (a + b) 2 a + b
=
=
=

c 2 + d 2 c 2 + d 2 + 2cd (c + d ) 2 c + d

và

2

a 2 + b 2 a 2 + b 2 2ab (a b) 2 a b
=
=
=

c 2 + d 2 c 2 + d 2 2cd (c d ) 2 c d
2

Từ (1) và (2)

a+b ab

=

c + d c d

Xét trờng hợp :

(1)
2

(2)

2

a+b ab
=
c+d cd

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a + b a + b + a b 2a a
=
=
=
c + d c + d + c d 2c c
a + b a + b a + b 2b b
=
=
=
c + d c + d c + d 2d d

Xét trờng hợp :

a b
a c
= =
c d
b d

a+b
ab ba
=
=
c+d
cd cd

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2020

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng


Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc

a + b b a a + b + b a 2b b
=
=
= =
c + d c d c + d + c d 2c c
a + b b a a + b b + a 2a a
=

=
=
=
c + d c d c + d c + d 2d d

Bài toán 3: Cho tỉ lệ thức



a c
=
b d

a b
a d
= =
d c
b c

. Chứng minh rằng:

ab a 2 b 2
= 2 2
cd c d

Giải:

Cách 1: Từ giả thiết:

Ta

có:

a c
= ad = bc
b d

(1)

ab( c 2 d 2 ) = abc 2 abd 2 = acbc adbd

(2)

cd ( a 2 b 2 ) = a 2 cd b 2 cd = acad bc.bd

Từ (1), (2), (3) suy ra:

ab( c 2 d 2 ) = cd ( a 2 b 2 )



Cách 2: Đặt

Ta có:

a c
= =k
b d

(3)

ab a 2 b 2
=
cd c 2 d 2

, suy ra

(đpcm)

a = bk , c = dk

ab bk .b kb 2
b2
=
=
=
cd dk .d kd 2 d 2

(1)
2121

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng


Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc

(
(

)

)

a 2 b 2 (bk ) 2 b 2 b 2 k 2 b 2 b 2 k 2 1 b 2
=
= 2 2
= 2 2
= 2
2
2
2
2
2
c d
(dk ) d
d k d
d k 1 d

ab a 2 b 2
=
cd c 2 d 2

Từ (1) và (2) suy ra:

Cách 3: Từ giả thiết:

ab a 2 b 2
=
cd c 2 d 2

Bài toán 4. Cho tỷ lệ thức

a)

(đpcm)

a c
a b
ab a 2 b 2 a 2 b 2
= = = 2 = 2 = 2
b d
c d
cb c
d
c d2



a b c d
=
a+ b c + d

(2)

b)

a c
=
b d

(đpcm)

. Hãy chứng minh

2a + 5b 2c + 5d
=
3a + 4b 3c + 4d

Để giải bài toán này không khó, song yêu cầu học sinh phải hệ
thống hoá kiến thức thật tốt và chọn lọc các kiến thức để vận
dụng vào dạng toán để tìm hớng giải cụ thể.
Cách 1: Sử dụng phơng pháp đặt giá trị của dãy tỷ số để chứng
minh phần a.

Đặt

a c
= =k
b d



a = bk ;

c = dk

Ta có:

2222

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng

Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc

a b bk b b(k 1) k 1
=
=
=
a + b bk+ b b(k + 1) k + 1 a b c d
=
(Đ pcm)

c d dk d d(k 1) k 1 a + b c + d
=
=
=
c + d dk+ d d(k + 1) k + 1
Cách 2 : Sử dụng phơng pháp hoán vị các số hạng của tỷ lệ thức
và tính chất cơ bản của dãy tỷ số bằng nhau ta có lời giải nh sau:

Từ

a c
=
b d



a b
=

c d

=

(hoán vị các trung tỷ)

a b a+ b
=
c d c+ d

nhau)

( theo tính chất của dãy tỷ số bằng



a b c d
=
a+ b c + d

(hoán vị các trung tỷ)

Cách 3: ( Dựa vào tính chất cơ bản của tỷ lệ thức):
Ta có:

(a + b)(c d ) = ac ad + bc bd

(a b)(c + d ) = ac + ad bc bd

Từ giả thiết:

(1)

(2)

a c
= ad = bc
b d

Từ (1), (2), (3) suy ra:

(3)

(a + b)(c d ) = (a b)(c + d )



a+b c+d
=
a b cd

(đpcm)
2323

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng


Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc
Với việc hệ thống hoá các kiến thức về tỷ lệ thức đã đa ra
một số hớng giải, yêu cầu học sinh chọn lựa hớng giải nào thích

hợp, ngắn gọn, dễ hiểu,để trình bày lời giải cho mình trong
mỗi bài, qua đó để học sinh tự giải các bài tập phần b, c của bài
1.

Bài toán 5. Cho

a)

a c
=
b d

Hãy chứng minh:

( a b) 2 = ab
( c d) 2 cd

b)

( a+ b) 2 = ab
( c + d) 2 cd

c)

( a b) 2 = (a+ b)2
( c d) 2 (c + d)2
Đối với bài toán 5 hớng giải tơng tự nh bài toán 1, song mức
độ tính toán dễ nhầm lẫn hơn. Tôi phải phân tích, cho học sinh
ôn lại về luỹ thừa, về tính chất mở rộng của tỉ lệ thức để các
em dễ nhận biết, dễ trình bày hơn. Tôi đã

nhấn mạnh lại công thức:
2

2

a c a c
ac
= = =
b d b d bd

Nếu:

và hớng cho các em trình bày lời

giải của bài toán phần b.
Giải:

Từ

a c a b
=
=
b d c d


(hoán vị các trung tỷ)

2424

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng

Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc
2



Hay

2

ab a2 b2 2ab a2 + 2ab+ b2
a b
= 2
= = = 2 = 2 =
c
d
cd
2
cd
b
d
c + 2cd+ d2


( a+ b) 2
( c + d) 2

=

ab
cd

Tơng tự phần (b) học sinh dễ dàng hiểu và trình bày đợc lời
giải phần a, c và hớng cho các em tự tìm hiểu các phơng pháp
khác để chứng minh tỷ lệ thức.

Bài toán 6: Cho

a b
=
b c

. Hãy chứng minh

a2 + b2 a
=
b2 + c2 c

Để giải đợc bài toán này yêu cầu học sinh phải có bớc suy
luận cao hơn,
không dập khuôn máy móc mà phải chọn lọc tính chất của tỷ lệ
thức để có hớng
giải phù hợp.
Cách 1: Sử dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức rồi thay thế vào
vế trái, sau đó biến đổi vế trái bằng vế phải .

Từ

a b

=
b c

b2 = ac. Thay vào vế trái ta có:

a2 + b2 a2 + ac a(a+ c) a
=
=
=
2
2
2
c
(
a
+
c
)
c
b + c ac+ c

(Đpcm)

Cách 2: Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng
thức ta có lời giải sau:

2525

Ngi thc hin: Nguyn Th Hng