MỘT số DẠNG TÍCH PHÂN vận DỤNG CAO vdc

MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN KHÓ TRONG ĐỀ
THI THPT QUỐC GIA
TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM – ADMIN NGUYỄN DUY CHIẾN

Dạng 1. Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thức u  x  f   x   u  x  f  x   h  x 
Phương pháp:
 Dễ dàng thấy rằng u  x  f   x   u  x  f  x   u  x  f  x  
 Do đó u  x  f   x   u  x  f  x   h  x   u  x  f  x    h  x 
 Suy ra u  x  f  x    h  x  dx
 Từ đây ta dễ dàng tính được f  x 
Câu 1: Cho hàm số

y  f  x

 x  1 f   x   f  x   3 x
A. f  2   2.

2

có đạo hàm liên tục trên

R.

Biết

f  1  1

và

 2 x. Tính giá trị f  2  .

2
B. f  2   .
3

C. f  2   3.

5
D. f  2   .
2

Dạng 2. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f   x   f  x   h  x 
Phương pháp:
 Nhân hai vế với e x ta được e x . f   x   e x . f  x   e x .h  x   e x . f  x    e x .h  x 
 Suy ra e x . f  x    e x .h  x  dx
 Từ đây ta dễ dàng tính được f  x 
Câu 2: (Thăng Long – Hà Nội – Lần 2 – 2018) Cho f  x  là hàm số lien tục trên R thỏa mãn

f  x   f '  x   sin x với mọi x và f  0   1 . Tính e . f  
A.

e  1
2

B.

e  1
2

C.

e  3
2

D.

 1
2

Dạng 3. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f   x   f  x   h  x 
Phương pháp:
 Nhân hai vế với e  x ta được e  x . f   x   e  x . f  x   e x .h  x   e x . f  x    e  x .h  x 
 Suy ra e  x . f  x    e  x .h  x  dx
 Từ đây ta dễ dàng tính được f  x 
Câu 3: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 2) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa
mãn điều kiện f '  x   f  x   x 2 .e x  1, x  R và f 1  1 . Tính f  3 .
A. 6e3  3

B. 6e 2  2

C. 3e 2  1

D. 9e3  1


Dạng 4. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f   x   p  x  . f  x   h  x 
(Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1)
Phương pháp:
p  x dx
 Nhân hai vế với e 
ta được

f   x  .e 

p  x  dx

 p  x  .e 

 Suy ra f  x  .e 

p  x  dx

p  x  dx

  e

. f  x   h  x  .e 

p  x  dx

p  x dx

  f  x  .e 


p  x dx

  h x .e  p  x dx
 


.h  x  dx

 Từ đây ta dễ dàng tính được f  x 
Câu 4: Cho

x

2

hàm số

y  f  x

có đạo hàm liên

tục

trên

R.

Biết

f  0  2

và

 1 f   x   xf  x    x. Tính giá trị f  3 .

Câu 5: (HKII–Chuyên Lê Hồng Phong–TPHCM–1718) Xét hàm số f  x  liên tục trên đoạn R ,

1
. Tính f  2  .
2
e2
e2
e
e
A. f  2  
B. f  2  
C. f  2  
D. f  2  
3
6
3
6
Câu 6: (Liên Trường–Nghệ An–1718) Cho hàm số f  x  liên tục trên R \ 0; 1 thỏa mãn điều
thỏa mãn điều kiện  x  2  . f  x    x  1 f '  x   e x và f  0  

kiện f 1  2 ln 2 và x  x  1 . f '  x   f  x   x 2  x . Giá trị f  2   a  b ln 3  a, b  R  .
Tính a 2  b 2 .
25
9
5
13
A.
B.
C.
D.
4

2
2
4
Câu 7: (Chuyên ĐH Vinh–Lần 2–1718) Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [1; 2]
thỏa mãn f (1)  4 và f ( x)  xf ( x)  2 x3  3x 2 . Tính giá trị f (2).
A. 5.
B. 20.
C. 10.
D. 15.
Câu 8: (Quỳnh Lưu 1–Nghệ An–Lần 1–1718) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục
2

trên R thỏa mãn f '  x   2 xf  x   2 xe  x và f  0   1 . Tính f 1 .

1
2
2
C. 
D.
e
e
e
(Cẩm Bình–Hà Tĩnh–1718) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;  thỏa

A. e
Câu 9:

B.

f  x

 4 x 2  3x và f 1  2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x
y  f  x  tại điểm có hoành độ x  2 là

mãn f '  x  

A. y  16 x  20

B. y  16 x  20

C. y  16 x  20

D. y  16 x  20 .

Câu 10: (Cẩm Bình–Hà Tĩnh–1718) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn
2

x. f '  x   x 2 .e x  f  x  và f 1  e. Tính tích phân I   f ( x)dx
1

A. I  e 2  2e.
B. I  e.
C. I  e 2 .
D. I  3e 2  2e
Câu 11: (Chuyên Vinh–Lần 4) Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0; 
và thỏa mãn f 1  1, f  x   f   x  3 x  1, với mọi x  0. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 4  f  5   5.

B. 2  f  5  3.

C. 3  f  5  4.

D. 1  f  5  2.


Câu 12: (SGD – Bắc Ninh) Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm tại mọi x   0;   đồng
3
2

thời thỏa mãn điều kiện: f  x   x  sin x  f '  x    cos x và

 f  x  sin xdx  4. Khi đó,



2

f   nằm trong khoảng nào?
A. 6;7 

B. 5; 6

C. 12;13

D. 11;12

 
Câu 13: (Quốc Học–Huế-Lần 3) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 0;  . Biết
 3


3

 

f '  x  .cos x  f  x  .sin x  1,  x  0;  và f  0   1 . Tính tích phân I   f  x  dx .
 3
0
A. I 

3 1
2

B. I 

3 1
2

C. I 

1
2

D. I 

1 

2 3

 
Câu 14: Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm trên khoảng  0;  đồng thời thỏa mãn

 2
x
 
 
hệ thức f  x   tan x. f '  x  
. Biết rằng 3 f    f    a 3  b ln 3 trong đó
3
cos x
3
6
a, b  R . Tính giá trị của biểu thức P  a  b .
14
4
7
2
A. P 
B. P 
C. P 
D. P 
9
9
9
9


Dạng 5. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f   x   p  x  . f  x   0
Phương pháp:
 Chia hai vế với f  x  ta được
f  x
f  x

 p  x  0 
  p  x
f  x
f  x

 Suy ra

 
 f  x  dx    p  x  dx  ln f  x     p  x  dx
f x

 Từ đây ta dễ dàng tính được f  x 


n

Dạng 6. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f   x   p  x  .  f  x    0
Phương pháp:
n

 Chia hai vế với  f  x   ta được
f  x
f  x
 p  x  0 
  p  x
n
n
 f  x  
 f  x  
 n 1

 f  x  
dx    p  x  dx  
 Suy ra 
n
n  1
 f  x  
 Từ đây ta dễ dàng tính được f  x 
f  x

   p  x  dx

Câu 48. [2D3-4] Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  2   

2
2
và f   x   2 x  f  x   với mọi x  
9

. Giá trị của f 1 bằng
A. 

35
.
36

2
B.  .
3

C. 

19
.
36

D. 

2
.
15

Lời giải
Chọn B.
2

f  x 0

Ta có f   x   2 x  f  x   

 1 
1
 2x  
  x2  C .
  2 x 
2
f  x
 f  x  
 f  x 

2
1
suy ra C   .
9
2
1
2
 .
Do đó f 1 
3
 1
12    
 2

Từ f  2   

f  x