TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN ĐẠI SỐ 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

––

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

GIỚI HẠN
A - LÝ THUYẾT CHUNG
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1. Định nghĩa
 Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số  un  có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô cực và viết

lim un  0 viết tắt là lim un  0 hoặc un  0 , nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt

n 



đối nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Định nghĩa 2: Ta nói rằng dãy số  un  có giới hạn là số thực a khi n dần đến dương vô cực và
viết lim un  a , viết tắt là lim un  a hoặc un  a , nếu lim  un  a   0
n 

n 

2. Một vài giới hạn đặc biệt
1
1
a) lim  0 ; lim k  0 với k nguyên dương
n
n
n
b) lim q  0 nếu q  1
c) Nếu un  c ( c là hằng số) thì lim un  lim c  c
II. Định lý về giới hạn hữu hạn
Định lý 1:
a) Nếu lim un  a , lim vn  b thì


lim  un  vn   a  b



lim  un  vn   a  b



lim  un vn   a.b



lim

un a
 (nếu b  0 )
vn b

b) Nếu un  0 với mọi n và lim un  a thì a  0 và lim un  a
III. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn u1 , u2 , u3 ,.......un ,....... có công bội q với q  1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng
S của cấp số nhân đó là: S  u1  u1q  u1q 2  ... 

u1
.
1 q

IV. Giới hạn vô cực
1. Định nghĩa:
 Ta nói dãy số  un  có giới hạn  nếu với mỗi số dương tùy ý, mọi số hạng của dãy số, kể từ
một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Khi đó ta viết lim  un    hoặc

lim(un )   hoặc un  



Ta nói dãy số  un  có giới hạn  nếu với mỗi số âm tùy ý, mọi số hạng của dãy số, kể từ
một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
Khi đó ta viết lim  un    hoặc lim un   hoặc un  

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 2

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

2. Một vài giới hạn đặc biệt
a) lim nk   với k nguyên dương
b) lim qn   nếu q  1
3. Định lý 2:
a) Nếu lim un  a và lim vn   thì lim

un
0
vn

b) Nếu lim un  a  0 , lim vn  0 và vn  0 với mọi n thì lim
c) Nếu lim un   và lim vn  a  0 thì lim  un vn   

un
 
vn

V. Một số lưu ý:
Khi làm bài tập trắc nghiệm, ta có thể làm như bài tập tự luận, sau khi tính toán sẽ chọn kết quả phù
hợp với yêu cầu của bài toán
Ngoài ra có thể sử dụng các nhận xét để có kết quả nhanh chóng, chính xác hơn. Có một số bài tập có
thể nhận xét nhanh để loại trừ được những phương án không phù hợp

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1. Định lý:

a) Giả sử lim f  x   L và lim g  x   M . Khi đó:
x  x0

x  x0






lim  f  x   g  x   L  M

x  x0

lim  f  x   g  x   L  M

x  x0

lim  f  x  .g  x   L.M

x  x0

lim

x  x0

f  x L

(nếu M  0 )
g  x M

b) Nếu f  x   0 với mọi x  J \  x0  , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x0 thì L  0 và

lim

x  x0

f  x  L

2. Một vài giới hạn đặc biệt
 lim x k   với k nguyên dương
x 




lim x k   nếu k là số lẻ

x 

lim x k   nếu k là số chẵn

x 

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
Định lý về giới hạn của tích và thương hai hàm số chỉ áp dụng được khi các hàm số có giới hạn
hữu hạn
Sau đây là một số quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số có
giới hạn vô cực.
Nếu lim f  x   L  0 và lim g  x    thì

x  x0

x  x0

lim  f  x  .g  x  bằng  (dấu “+” nếu hai giới hạn cùng dấu và dấu “- “ nếu hai giới hạn khác

x x0

dấu.

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

lim

f  x
0
g  x

lim

g  x
  (dấu “+” nếu hai giới hạn cùng dấu và dấu “-“ nếu hai giới hạn khác dấu.
f  x

x  x0

x  x0

Các quy tắc trên vẫn được áp dụng cho các trường hợp :
x  x0 , x  x0 , x   và x  

HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Hàm số liên tục tại một điểm
Định nghĩa: Giả sử hàm số f  x  xác định trên khoảng K và x0  K . Hàm số y  f  x  gọi là
liên tục tại x  x0 nếu lim f  x   f  x0 
x  x0

Hàm số không liên tục tại x  x0 gọi là gián đoạn tại x0
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
Hàm số y  f  x  liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng đó. Hàm số
y  f  x  gọi là liên tục trên đoạn  a; b  nếu nó liên tục trên khoảng  a, b  và lim f  x   f  a 
x a

lim f  x   f  b 

;

x b

3. Một số định lý cơ bản
Định lý 1: Hàm số đa thức liên tục trên tập
. Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và
các hàm số lượng giác y  sin x , y  cos x , y  tan x , y  cot x là những hàm số liên tục trên tập xác
định của chúng

Định lý 2. Giả sử y  f  x  và y  g  x  là hai hàm số liên tục tại điểm x0 . Khi đó:
a) Các hàm số y  f  x   g  x  , y  f  x   g  x  và y  f  x  .g  x  liên tục tại điểm x0
b) Hàm số y 

f  x
liên tục tại x0 nếu g  x0   0
g  x

Định lý 3. Nếu hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và f  a  . f  b   0 thì tồn tại ít nhất một điểm
c   a; b  sao cho f  c   0

B - BÀI TẬP
n

Câu 1. Tìm lim un biết un  
k 1

A. 

1
n2  k
B. 

C. 3

D. 1

C. 2

D. 1

Câu 2. Tìm lim un biết un  2 2... 2
n dau can

A. 

B. 

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

1
 1 1 1

Câu 3. Tìm giá trị đúng của S  2 1     ...  n  .......  .
2
 2 4 8


A.

2  1.

B. 2 .

C. 2 2 .

D.

1
.
2

 1
1
1 
 .... 
Câu 4. Tính giới hạn lim  

n  n  1 
1.2 2.3
A. 0

B. 1 .

C.

3
.
2

D. Không có giới

C.

2
.
3

D. 2 .

1

1
1
 .... 
Câu 5. Tính lim  

n  2n  1 
1.3 3.5
A. 1 .

B. 0 .

1
1
1 
 .... 
Câu 6. Tính giới hạn: lim  

n  n  2 
1.3 2.4
3
A. .
B. 1 .

4

 1
1
1 
 ... 
Câu 7. Tính giới hạn lim  
.
n(n  3) 
1.4 2.5
11
A.
.
B. 2 .
18

C. 0 .

D.

2
.
3

C. 1 .

D.

3
.

2

D.

3
.
2


1 
1 
1 
Câu 8. Tính giới hạn: lim 1  2 1  2  ... 1  2   .
 2  3   n  
1
1
A. 1 .
B. .
C. .
2
4
Câu 9. Tính giới hạn của dãy số un  (1 
A. 

B. 

Câu 10. Tính giới hạn của dãy số un 
A. 

n(n  1)

1
1
1
.:
)(1  )...(1  ) trong đó Tn 
T1
T2
Tn
2
1
3

D. 1

2
3

D. 1

C. 3

D. 1

C.

23  1 33  1 n3  1
.
....
.:
23  1 33  1 n3  1

B. 

C.

2k  1
.:
2k
k 1
n

Câu 11. Tính giới hạn của dãy số un  
A. 

B. 

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

n

n
.:
k 1 n  k
B. 

Câu 12. Tính giới hạn của dãy số un  
A. 

2

C. 3

D. 1

Câu 13. Tính giới hạn của dãy số un  q  2q 2  ...  nq n với q  1 .:
A. 

B. 

C.

13  23  33  ...  n3 a
lim
  a, b 
n3  1
b
Câu 14. Biết
A. 33
B. 73
Câu 15. Tính giới hạn của dãy số un 
A. 



q

1  q 

2

. Giá trị của 2a 2  b2 là:
C. 51

D.

q

1  q 

2

D. 99

1
1
1
:

 ... 
2 1 2 3 2 2 3
( n  1) n  n n  1

B. 

C. 0

D. 1

(n  1) 13  23  ...  n3
:
3n3  n  2
1
B. 
C.
9

Câu 16. Tính giới hạn của dãy số un 
A. 

D. 1

Câu 17. Cho các số thực a,b thỏa a  1; b  1 . Tìm giới hạn I  lim
A. 

B. 

C.

1  a  a 2  ...  a n
.
1  b  b2  ...  b n

1 b
1 a

u0  2011
u3

Câu 18. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: 
1 . Tìm lim n .
n
un 1  un  u 2
n

A. 
B. 
C. 3

D. 1

D. 1


u1  3
Câu 19. Cho dãy số  un  được xác định bởi 
. Tính lim un .

2  n  1 un1  nun  n  2
A. lim un  1 .
B. lim un  4 .
C. lim un  3 .
D. lim un  0 .

1


u

1

2
Câu 20. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi: 
. Tìm kết quả đúng của lim un .
un 1  1 , n  1
2  un

1
A. 0 .
B. 1 .
C. 1 .
D.
2
Câu 21. Cho dãy số  un 

u1  2

u  2  1 , n 
thỏa mãn 
un 1  n

1  2  1 un








. Tính u2018 .

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. u2018  7  5 2

B. u2018  2

Giới Hạn Nâng Cao

C. u2018  7  5 2

D. u2018  7  2

1
Câu 22. Cho dãy số ( xn ) xác định bởi x1  , xn 1  xn2  xn ,n  1
2

Đặt S n 

1
1



x1  1 x2  1



1
. Tính lim Sn .
xn  1

B. 

A. 

Câu 23. Cho dãy ( xk ) được xác định như sau: xk 

C. 2

D. 1

1 2
k
  ... 
2! 3!
(k  1)!

n
Tìm lim un với un  n x1n  x2n  ...  x2011
.

C. 1 

B. 

A. 

Câu 24. Cho dãy ( xk ) được xác định như sau: xk 

1
2012!

D. 1 

1
2012!

D. 1 

1
2012!

1 2
k
  ... 
.
2! 3!
(k  1)!

n
Tìm lim un với un  n x1n  x2n  ...  x2011
.

B.  .

A.  .

C. 1 



Câu 25. Cho hàm số f  n   a n  1  b n  2  c n  3 n 

*

1
.
2012!

 với a, b, c là hằng số thỏa mãn

a  b  c  0. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. lim f  n   1
x 

Câu 26. Cho a, b 

B. lim f  n   1
x 

C. lim f  n   0

x 

D. lim f  n   2
x 

, (a, b)  1; n  ab  1, ab  2,... . Kí hiệu rn là số cặp số (u, v) 



sao cho

rn
1

.
n  n
ab

n  au  bv . Tìm lim

A.  .

B.  .

C.

1
.
ab

D. ab  1 .

Câu 27. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1  3, 2un1  un  1 với mọi n  1 . Gọi Sn là tổng n số hạng
đàu tiên của dãy số (un ) . Tìm lim Sn .
A. lim Sn   .

C. lim Sn  1.

Câu 28. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1  1, u2  2, un  2 
A.  .

B.

3
.
2

B. lim Sn   .

D. lim Sn  1 .

un 1  un
với mọi n  1 . Tìm lim un .
2
5
4
C. .
D. .
3
3

u
1
2
Câu 29. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1  , un 1  un  n với mọi n  1 . Tìm lim un .
4
2

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. lim un 

1
.
4

C. lim un 

1
.
2

Giới Hạn Nâng Cao

B. lim un  0 .

D. lim un   .

Câu 30. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1  1, un1  un  2n  1 với mọi n  1 . Khi đó lim
A.  .

B. 0.

C. 1.

Câu 31. Cho dãy số (un ) được xác định bởi u1  a, u2  b, un  2 

un 1
bằng.
un

D. 2.
un 1  un
với mọi n  1 , trong đó a
2

và b là các số thực cho trước, a  b . Tìm giới hạn của (un ) .
C. lim un 

A. lim un  a .

a  2b
.
3

D. lim un 

B. lim un  b .

2a  b
.
3

4n 2  n  2
Câu 32. Cho dãy số (un ) với un 
, trong đó a là tham số. Để (un ) có giới hạn bằng 2 thì
an2  5
giá trị của tham số a là?
A. -4.
B. 2.
C. 4.
D. 3.
Câu 33. Tìm hệ thức liên hệ giữa các số thực dương a và b để: lim( n2  an  5  n2  bn  3)  2 .
A. a  b  2 .

B. a  b  2 .

C. a  b  4 .

D. a  b  4 .

Câu 34. Tìm các số thực a và b sao cho lim( 3 1  n3  a n  b)  0 .
 a  1
A. 
.
b  0

a  1
B. 
.
b  0
n

Câu 35. Cho dãy số (un ) . Biết
A. 1.

 uk 
k 1

B.

 a  1
C. 
.
b  1

1
3n2  9n
với mọi n  1 . Tìm
nun
2

1
.
2

C. 0.

a  0
D. 
.
b  1
n

u
k 1

k

.
D.  .

1  3  32  ...  3k
bằng:
5k  2
k 1
n

Câu 36. lim 
A. 0.

B.

17
.
100

C.

17
.
200

D.

1
.
8

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

GIỚI HẠN HÀM SỐ
a0 x n  ...  an 1 x  an
, (a0 , b0  0) .
Câu 37. Tìm giới hạn A  lim
x  b x m  ...  b
0
m 1 x  bm
B.  .

A.  .

3x  5sin 2 x  cos 2 x
bằng:
x 
x2  2
A.  .
B. 0 .

C.

4
.
3

D. Đáp án khác.

Câu 38. lim

C. 3 .

D.  .

Câu 39. Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để giới hạn:
a
b


lim  2
 2
 là hữu hạn:

x  2  x  6 x  8
x  5x  6 
A. a  4b  0.

B. a  3b  0.

C. a  2b  0.

x4  a4
bằng:
x a x  a
C. a 3

D. a  b  0.

Câu 40. Cho a là một số thực khác 0. Kết quả đúng của lim
B. 2a3

A. 3a3

x 2  mx  m  1
, m là tham số thực. Tìm m để C  2.
Câu 41. Cho C  lim
x 1
x2 1
A. m  2
B. m  2
C. m  1

D. 4a3

D. m  1

x 2  ax  b
Câu 42. Cho a và b là các số thực khác 0. Nếu lim
 6 thì a  b bằng:
x 2
x2

4
2
A.
B.
C. 6
D. 8
Câu 43. Giới hạn lim
x 3

A. 1 .

x  1  5x  1
a
bằng
(phân số tối giản). Giá trị của a  b là
b
x  4x  3
1
9
B. .
C. 1 .

D.
9
8

8 x  11  x  7 m
m

trong đó
là phân số tối giản, m và n là các số nguyên
2
x  3x  2
n
n
dương. Tổng 2m  n bằng:
A. 68
B. 69
C. 70
D. 71
3

Câu 44. Biết lim
x 2

m
6 x  9  3 27 x  54 m
 , trong đó
là phân số tối giản, m và n là các số nguyên
2
x 3 x  3
n


  x  3x  18 n

Câu 45. Biết lim

dương. Khi đó 3m  n bằng:
A. 55

B. 56

C. 57

D. 58

ax  b 9 x 2  2
5
x 
cx  1

Câu 46. Cho a , b , c là các số thực khác 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa a , b , c để lim
.

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.

a  3b

 5.
c

B.

a  3b
 5 .
c

C.

Giới Hạn Nâng Cao

a  3b
 5.
c

D.

a  3b
 5 .
c

 4 x 2  3x  1

lim
  ax  b    0, a và b thỏa
Câu 47. Cho a và b là các tham số thực. Biết rằng

x 

 cx  1

mãn hệ thức nào trong các hệ thức dưới đây?
A. a  b  9.
B. a  b  9.
C. a  b  9.
D. a  b  9.
1 1 1
Câu 48. Cho a là một số thực dương. Tính giới hạn lim   
.
x a x
a   x  a 2

A. bằng 

1
.
a2

B. là  .

C. là  .

D. không tồn tại.

1 
 n

Câu 49. Cho n là một số nguyên dương. Tính giới hạn lim 
.

n
x 1 1  x
1 x 

n 1
n 1
n
A. .
B.
.
C.
.
2
2
2
Câu 50. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực k sao cho giới hạn lim(
x 1

B. k  2 .

A. k  2 .
Câu 51. Tìm giới hạn B  lim

n

x 0

B. 
n

x 0

B. 
m

x 0

m

x 0

Câu 55. Tìm giới hạn G  lim
x 0

A. 

m

a
n

D. 1 

n
a

C.

am
bn

D. 1 

am
bn

C.

a b

m n

D.

C.

2  an  bm 
mn

D. 0

C.

a b

m n

D.

a b


m n

1  ax  n 1  bx
:
1  x 1

B. 

A. 

C.

1  ax  n 1  bx
:
x

B. 

A. 
Câu 54. Tìm giới hạn N  lim

1
k
 2 ) là hữu hạn.
x 1 x 1
D. k  2 .

1  ax  1
với ab  0 :

1  bx  1

A. 
Câu 53. Tìm giới hạn N  lim

n2
2

1  ax  1
(n  *, a  0) :
x

A. 
Câu 52. Tìm giới hạn A  lim m

C. k  2 .

D.

1  ax n 1  bx  1
:
x

B. 

a b

m n

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết

Facebook: />Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 56. Tìm giới hạn F  lim

n

x 0

(2 x  1)(3x  1)(4 x  1)  1
:
x

B. 

A. 
Câu 57. Tìm giới hạn B  lim
x 0

C.

C. B 

1  mx   1  nx 
Câu 58. Tìm giới hạn V  lim
n

D. 0


4




3




2

D. B 


4




3




2

m

:

x2

x 0

B. 

A. 

9
n

1   x 3 1   x 4 1   x 1
với   0 .:
x

B. 

A. 

Giới Hạn Nâng Cao

mn  n  m 
2

C.

mn  n  m 
2

D.

C.

1
n!

D. 0

C. 2n

D. 0

1  x 1  x  ...1  x  :
Câu 59. Tìm giới hạn K  lim
3

n

1  x 

x 1

n 1

B. 

A. 


Câu 60. Tìm giới hạn L  lim

 
n

1  x2  x 

x 0

1  x2  x

x

B. 

A. 

1  mx   1  nx 
V  lim
n

Câu 61. Tìm giới hạn

x 0

n

:

m

:

1  2 x  3 1  3x
B. 

A. 



C.

2  an  bm 
mn

D. mn  n  m 

2
Câu 62. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số f  x   mx  9 x  3x  1 có giới

hạn hữu hạn khi x  .
A. m  3

B. m  3

C. m  0

D. m  0

C. a  1 .

D. a  1 .

2
Câu 63. Giới hạn lim ( x  3x  5+ax) = + nếu.
x 

A. a  1 .

B. a  1 .

b
0
a
Câu 64. Cho và là các số thực khác . Biết
A. 2 .
B. 6 .

lim (ax  x 2  bx  2)  3

x 

C. 7 .

ab
, th tổng
bằng
D. 5 .

(ax+b- x 2  6 x  2)  5 số lớn hơn trong hai số
Câu 65. Cho a và b là các số thực khác 0 . Biết xlim


a và b là số nào trong các số dưới đây?
A. 4 .
B. 3 .

C. 2 .

D. 1 .

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

m
m
trong đó
là phân số tối giản, m và n là
n
n
m
n
các số nguyên dương. T m bội số chung nhỏ nhất của
và .

A. 135 .
B. 136 .
C. 138 .
D. 140 .
3
2
3
2
Câu 66. Biết lim ( 9 x  2 x  27 x  4 x  5)  
x 

Câu 67. Cho a và b là các số nguyên dương. Biết lim ( 9 x 2 + ax  3 27 x3  bx 2  5) 
x 

b thỏa mãn hệ thức nào dưới đây?
A. a  2b  33 .
B. a  2b  34 .

C. a  2b  35 .

7
, hỏi a và
27

D. a  2b  36 .

Câu 68. Tìm giới hạn C  lim [ n ( x  a1 )( x  a2 )...( x  an )  x] :
x 

B. 

A. 

Câu 69. Cho a và b là các số thực khác 0. Giới hạn lim
x 0
A.

a
2b

B. 

a
2b

C.

a1  a2  ...  an
n

1  ax  1
bằng:
sin bx
2a
C.
b

D.

a1  a2  ...  an

2n

D. 

2a
b

Câu 70. Cho a, b, c là các số thực khác 0,3b  2c  0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c để:

lim
x 0

A.

tan ax
1
 .
3
1  bx  1  cx 2

a
1

3b  2c 10

B.

a
1


3b  2c 6

C.

a
1

3b  2c 2

D.

a
1

3b  2c 12

sin  x  1
bằng:
x 1 x m  x n

Câu 71. Cho m và n là các số nguyên dương phân biệt. Giới hạn lim
B. n  m

A. m  n
Câu 72. Tìm giới hạn A  lim.
x 1

B. 

x 0

m

D.

1
nm

C.

n
m

D. 0

C.

b
a

2n 2m

D. 0

C.

a
2n

D. 0

cos ax  m cos bx
:
sin 2 x

B. 

A. 

1
mn

sin( x m )
:
sin( x n )

A. 
Câu 73. Tìm giới hạn H  lim

C.

1  n cos ax
:
x 0
x2

Câu 74. Tìm giới hạn M  lim
A. 

B. 

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 12


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

3 5 f ( x )  11  4
f ( x)  15
.
 12 . Tính T  lim
x 3
x 3
x2  x  6
x 3
1
3
1
B. T 
.
C. T 
D. T 
.
40
20
4

Câu 75. Cho f ( x) là đa thức thỏa mãn lim

A. T 

3
.
20

HÀM SỐ LIÊN TỤC
 eax  1
khix  0

x
Câu 76. Cho hàm số f  x   
, với a  0. Tìm giá trị của a để hàm số f  x  liên tục
 1 khix  0
 2
tại x0  0.
A. a  1 .

B. a 

1
.
2

C. a  1 .

D. a  

1
2


4x  1 1
khi x  0

2
Câu 77. Tìm a để các hàm số f ( x)   ax  (2a  1) x
liên tục tại x  0
3
khi x  0

A.

1
2

B.

1
4

C. 

1
6

D. 1

 x2
, x 1

 3
 2x
Câu 78. Cho hàm số f  x   
, 0  x  1 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
1  x
 x sin x , x  0


A. f  x  liên tục trên

.

B. f  x  liên tục trên

\ 0 .

C. f  x  liên tục trên

\ 1 .

D. f  x  liên tục trên

\ 0;1 .

 1 x  1 x
khi x  0


x
Câu 79. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số f  x   

liên tục tại x  0.
m  1  x
khi x  0

1 x

A. m  1.
B. m  2 .
C. m  1 .
D. m  0

 3 x  2  2x 1
khi x  1

Câu 80. Tìm m để các hàm số f ( x)  
liên tục trên
x 1
3m  2
khi x  1

A. m  1

B. m 

4
3

C. m  2

D. m  0

 2x  4  3
khi x  2

Câu 81. Tìm m để các hàm số f ( x)  
liên tục trên
x 1
khi
x

2
 2
 x  2mx  3m  2
Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. m  1

B. m  

1
6

C. m  5

Giới Hạn Nâng Cao
D. m  0

x  x  2
neá
u x 2

2
 x 4

Câu 82. Cho hàm số f  x   x 2  3b
neá
u x  2 liên tục tại x  2. Tính I  a  b ?
2a  b  6 neá
u x 2


9
19
173
93
A. I 
B. I  
C. I 
D. I  
30
32
16
16


Câu 83. Chon hàm số f  x   



số liên tục tại x  3 .
A. m .

 x  3

2

x 3
m

khi x  3. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm
khi x  3

B. m

C. m  1 .

.

D. m  1 .

 ax 2  (a  2) x  2
khi x  1

Câu 84. Cho hàm số f ( x)  
. Có tất cả bao nhiêu giá trị của a để hàm
x3 2
8  a 2
khi x  1


số liên tục tại x  1 ?
A. 1.

B. 0.

12  x  9 

Câu 85. Cho hàm số f  x    ax  2b  12
 3
 x 1  2

C. 3.

 x  9

D. 2.

. Biết rằng a, b là giá trị thực để hàm số liên tục

tại x0  9. Tính giá trị của P  a  b.
A. P 

1
2

C. P  17

B. P  5

3
2
Câu 86. Cho phương tr nh x  ax  bx  c  0

1

D. P  

1
2

trong đó a, b, c là các tham số thực. Chọn khẳng

định đúng trong các khẳng định sau
A. Phương tr nh 1 vô nghiệm với mọi a, b, c .
B. Phương tr nh 1 có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c .
C. Phương tr nh 1 có ít nhất hai nghiệm với mọi a, b, c .
D. Phương tr nh 1 có ít nhất ba nghiệm với mọi a, b, c .
1
Câu 87. Phương tr nh x5  x 4  5 x3  x 2  4 x  1  0 có bao nhiêu nghiệm.
2
A. 2
B. 3
C. 4

D. 5

Câu 88. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương tr nh sau có nghiệm

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết

Facebook: />Trang 14


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

 2m

2

 5m  2   x  1

A. m 

1 
\  ; 2 .
2 

2017

x

2018

Giới Hạn Nâng Cao

 2   2 x  3  0.

1

1 

B. m   ;    2;   .C. m   ; 2  .
2

2 

D. m

.

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

C - HƯỚNG DẪN GIẢI
GIỚI HẠN DÃY SỐ
n

1

Câu 1. Tìm lim un biết un  

n2  k
B. 

k 1

A. 

C. 3

D. 1

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có:

1
n n

Mà lim

2

n
n2  n



1
n k
2

 lim

1



n 1
2

n
n2  1

, k  1, 2,..., n Suy ra

n
n n
2

 un 

n
n2  1

 1 nên suy ra lim un  1 .

Câu 2. Tìm lim un biết un  2 2... 2
n dau can

B. 

A. 

C. 2

D. 1

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: un  2

1 1
1
 ... n
2 22
2

1
1 
 2

n

2

1
1 
2

,nên lim un  lim 2

n

 2.

1
 1 1 1

S  2 1     ...  n  ....... 
2
 2 4 8
.
Câu 3. Tìm giá trị đúng của

A.

2  1.

B. 2 .

C. 2 2 .

D.

1
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn C.
1 1 1
1
1
Ta có: S  2 1     ...  n  .......   2.
2 2.

1
2
 2 4 8

1
2

 1
1
1 
 .... 
Câu 4. Tính giới hạn lim  

n  n  1 
1.2 2.3
A. 0

B. 1 .

C.

3
.
2

D. Không có giới

hạn.
Hướng dẫn giải
Chọn B.

Đặt : A 

1
1
1
1 1 1
1
1
1
n

 .... 
 1     ...  
 1

2 2 3
n n 1
n 1 n 1
1.2 2.3
n  n  1

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

 1

1
1 
n
1
 lim 

 .... 
 lim
1
  lim
1
n  n  1 
n 1
1.2 2.3
1
n

1

1
1
 .... 
Câu 5. Tính lim  

n  2n  1 
1.3 3.5
A. 1 .

B. 0 .

2
.
3
Hướng dẫn giải

C.

D. 2 .

Chọn B.
Đặt A 

1
1
1

 .... 
1.3 3.5
n  2n  1

 2A 

2
2
2

 .... 
1.3 3.5
n  2n  1

1 1 1 1 1
1
1
 2 A  1       ...  
3 3 5 5 7
n 2n  1
1
2n
 2A  1

2n  1 2n  1
n
 A
2n  1
 1

1
1
n
1
1
Nên lim  
 .... 
 lim
 .
  lim
1
n  2n  1 
2n  1
2

1.3 3.5
2
n

1
1
1 
 .... 
Câu 6. Tính giới hạn: lim  

n  n  2 
1.3 2.4
3
A. .
B. 1 .
C. 0 .
4
Hướng dẫn giải
Chọn A.

D.

2
.
3

1
1
1 
1 2

2
2 
 .... 
 .... 
Ta có : lim  
  lim  

n  n  2 
2 1.3 2.4
n  n  2 
1.3 2.4
1 1 1 1 1 1
1
1 
1 1
1  3
 lim 1      ...  
  lim 1  
 .
2 3 2 4 3 5
n n2
2 2 n2 4

 1
1
1 
 ... 
Câu 7. Tính giới hạn lim  
.
n(n  3) 

1.4 2.5
11
A.
.
B. 2 .
18

C. 1 .

D.

3
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

Cách 1:

 1
1
1 

1  1 1 1 1 1
1
1 
lim  
 ... 
 lim  1       ...  


n(n  3) 
n n  3  
3  4 2 5 3 6
1.4 2.5

1  1 1
1
1
1 
 lim  1   



 3  2 3 n  1 n  2 n  3 


 3n2  12n  11  11
11
 lim 
 .
18
n


1
n

2
n

3





 18

Cách 2: Bấm máy tính như sau: C  lim [ n ( x  a1 )( x  a2 )...( x  an )  x] và so đáp án (có
x 

thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn).


1 
1 
1 
Câu 8. Tính giới hạn: lim 1  2 1  2  ... 1  2   .
 2  3   n  
1
1
A. 1 .
B. .

C. .
2
4

D.

3
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1:


1  1  
1 
 1  1  1  1   1  1  
lim 1  2 1  2  ... 1  2    lim 1  1  1  1   ... 1  1   
 2  3   n  
 2  2  3  3   n  n  
 y n  xn  ( y  x)( y n1  y n1x  ...  xn1 )  y  x 

y n  xn
y n1  y n1 x  ...  x n1

Cách 2: Bấm máy tính như sau:  lim ( y  x)  lim

y n  xn
và so đáp án (có

y n1  y n2 x  ...  x n1

x 

x 

thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn).
Câu 9. Tính giới hạn của dãy số un  (1 
A. 

n(n  1)
1
1
1
.:
)(1  )...(1  ) trong đó Tn 
T1
T2
Tn
2

B. 

C.

1
3

D. 1

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: 1 

1
2
(k  1)( k  2)
 1

Tk
k (k  1)
k (k  1)

1 n2
1
 lim un  .
Suy ra un  .
3 n
3

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 10. Tính giới hạn của dãy số un 

23  1 33  1 n3  1
.
....

.:
23  1 33  1 n3  1

B. 

A. 

Giới Hạn Nâng Cao

C.

2
3

D. 1

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có

k 3 1
(k  1)(k 2  k  1)

k 3  1 (k  1)[(k  1)2  (k  1)  1]

2 n2  n  1
2
Suy ra  un  .
 lim un 
3 (n  1)n

3
2k  1
.:
2k
k 1
B. 
n

Câu 11. Tính giới hạn của dãy số un  
A. 

C. 3

D. 1

Hướng dẫn giải
Chọn C.
1
1 1 1
1  2n  1
Ta có: un  un     2  ...  n 1   n 1
2
2 2 2
2  2

1
3 2n  1
 un   n 1  lim un  3 .
2
2 2

n

n
.:
k 1 n  k
B. 

Câu 12. Tính giới hạn của dãy số un  
A. 

2

C. 3

D. 1

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có: n

n
n
n
1
 un  n 2
 2
 un  1  2
n n
n 1 n 1
n 1

2

 un  1 

n
 0  lim un  1 .
n 1
2

Câu 13. Tính giới hạn của dãy số un  q  2q 2  ...  nq n với q  1 .:
A. 

B. 

C.

q

1  q 

2

D.

q

1  q 

2

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: un  qun  q  q 2  q3  ...  q n  nq n1

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

 (1  q)un  q

Giới Hạn Nâng Cao

q
1  qn
.
 nq n1 . Suy ra lim un 
2
1 q
1  q 

13  23  33  ...  n3 a
  a, b 
n3  1
b
A. 33
B. 73

Câu 14. Biết lim

 . Giá trị của

2a 2  b2 là:

C. 51

D. 99

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Câu 15. Tính giới hạn của dãy số un 

1
1
1
:

 ... 
2 1 2 3 2 2 3
( n  1) n  n n  1

B. 

A. 

C. 0

D. 1

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có:

1
1
1


(k  1) k  k k  1
k
k 1

Suy ra un  1 

1
 lim un  1
n 1

(n  1) 13  23  ...  n3
Câu 16. Tính giới hạn của dãy số un 
:
3n3  n  2
1
A. 
B. 
C.
9

D. 1

Hướng dẫn giải
Chọn C.

 n(n  1) 
Ta có: 1  2  ...  n  
 3 
3

Suy ra un 

3

2

3

n(n  1)2
1
 lim un  .
3
3(3n  n  2)
9

Câu 17. Cho các số thực a,b thỏa a  1; b  1 . Tìm giới hạn I  lim
A. 

B. 

C.

1 b
1 a

1  a  a 2  ...  a n
.
1  b  b2  ...  b n
D. 1

Hướng dẫn giải
Chọn C.

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

Ta có 1, a, a2 ,..., a n là một cấp số nhân công bội a 1  a  a 2  ...  a n 

1  a n1
1 a

1  bn1
Tương tự 1  b  b  ...  b 
1 b
2

n

1  a n 1
1 b
Suy ra lim I  lim 1  an 1 
1 b
1 a
1 b

( Vì a  1, b  1  lim an1  lim bn1  0 ).

u0  2011
u3

Câu 18. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: 
1 . Tìm lim n .
n
un 1  un  u 2
n

A. 
B. 
C. 3

D. 1

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta thấy un  0, n

Ta có: un31  un3  3 

3 1
(1)

un3 un6

Suy ra: un3  un31  3  un3  u03  3n (2)
3
3
Từ (1) và (2), suy ra: un 1  un  3 

Do đó: un3  u03  3n 

1
1
1
1

 un3  3   2
2
u  3n  u 3  3n 
3n 9n
3
0

1 n 1 1 n 1
   (3)
3 k 1 k 9 k 1 k 2

n
1
1
1
1
1
1
 n
.

1



...


2


2


2
1.2 2.3
(n  1)n
n
k 1 k
k 1 k
n

Lại có:

0

n

1

k
k 1

2

 2n

2
2n
Nên: u03  3n  un3  u03  3n  
9
3

Hay 3 

u03 un3
u3 2
2
  3 0  
.
n n

n 9n 3 n

Vậy lim

un3
3 .
n


u1  3
Câu 19. Cho dãy số  un  được xác định bởi 
. Tính lim un .

2  n  1 un1  nun  n  2

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 21


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
B. lim un  4 .

A. lim un  1 .

Giới Hạn Nâng Cao

C. lim un  3 .

D. lim un  0 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

1

u1  2
Câu 20. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi: 
. Tìm kết quả đúng của lim un .
un 1  1 , n  1
2  un

1
A. 0 .
B. 1 .
C. 1 .
D.
2
Hướng dẫn giải
Chọn B.
1
2
3
4
5
Ta có: u1  ; u2  ; u3  ; u4  ; u5  .;...
2
3
4
5
6

Dự đoán un 

n
với n
n 1

*

Dễ dàng chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp.
Từ đó lim un  lim

Câu 21. Cho dãy số  un 

n
1
 lim
 1.
1
n 1
1
n

u1  2

u  2  1 , n 
thỏa mãn 
un 1  n

1  2  1 un


A. u2018  7  5 2



B. u2018  2





. Tính u2018 .

C. u2018  7  5 2

D. u2018  7  2

Hướng dẫn giải
Chọn A.

1
Câu 22. Cho dãy số ( xn ) xác định bởi x1  , xn 1  xn2  xn ,n  1
2

Đặt S n 
A. 

1
1



x1  1 x2  1



1
. Tính lim Sn .
xn  1

B. 

C. 2

D. 1

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Từ công thức truy hồi ta có: xn1  xn , n  1, 2,...
Nên dãy ( xn ) là dãy số tăng.
Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

Giả sử dãy ( xn ) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim xn  x
Với x là nghiệm của phương tr nh: x  x 2  x  x  0  x1 vô lí
Do đó dãy ( xn ) không bị chặn, hay lim xn   .

Mặt khác:

1
1
1
1

 
xn 1 xn ( xn  1) xn xn  1

1
1
1
 
xn  1 xn xn 1

Suy ra:

Dẫn tới: Sn 

1
1
1
1

 2
 lim Sn  2  lim
2
x1 xn 1
xn 1

xn 1

Câu 23. Cho dãy ( xk ) được xác định như sau: xk 

1 2
k
  ... 
2! 3!
(k  1)!

n
Tìm lim un với un  n x1n  x2n  ...  x2011
.

B. 

A. 

C. 1 

1
2012!

D. 1 

1
2012!

D. 1 

1
2012!

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có:

k
1
1
1
 
nên xk  1 
(k  1)! k ! (k  1)!
(k  1)!

Suy ra xk  xk 1 

1
1

 0  xk  xk 1
(k  2)! (k  1)!

n
 n 2011x2011
Mà: x2011  n x1n  x2n  ...  x2011

Mặt khác: lim x2011  lim n 2011x2011  x2011  1 
Vậy lim un  1 

1
2012!

1
.
2012!

Câu 24. Cho dãy ( xk ) được xác định như sau: xk 

1 2
k
  ... 
.
2! 3!
(k  1)!

n
Tìm lim un với un  n x1n  x2n  ...  x2011
.

A.  .

B.  .

C. 1 

1
.
2012!

Hướng dẫn giải
Chọn C

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Ta có:

Giới Hạn Nâng Cao

k
1
1
1
 
nên xk  1 
.
(k  1)! k ! (k  1)!
(k  1)!

Suy ra xk  xk 1 

1
1

 0  xk  xk 1 .
(k  2)! (k  1)!

n
Mà: x2011  n x1n  x2n  ...  x2011
 n 2011x2011 .

Mặt khác: lim x2011  lim n 2011x2011  x2011  1 
Vậy lim un  1 

1
.
2012!

1
.
2012!



Câu 25. Cho hàm số f  n   a n  1  b n  2  c n  3 n 

*

 với a, b, c là hằng số thỏa mãn

a  b  c  0. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. lim f  n   1
x 

B. lim f  n   1

x 

C. lim f  n   0
x 

D. lim f  n   2
x 

Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu 26. Cho a, b 
n  au  bv . Tìm lim
n 

A.  .

, (a, b)  1; n  ab  1, ab  2,... . Kí hiệu rn là số cặp số (u, v) 



sao cho

rn
1

.
n ab

B.  .

C.

1
.
ab

D. ab  1 .

Hướng dẫn giải
Chọn C
 n  1
Xét phương tr nh  0;
(1).
n 


Gọi (u0 , v0 ) là một nghiệm nguyên dương của (1). Giả sử (u, v) là một nghiệm nguyên
dương khác (u0 , v0 ) của (1).
Ta có au0  bv0  n, au  bv  n suy ra a(u  u0 )  b(v  v0 )  0 do đó tồn tại k nguyên
dương sao cho u  u0  kb, v  v0  ka . Do v là số nguyên dương nên v0  ka  1  k 
. (2)
Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương tr nh (1) bằng số các số k nguyên
 v  1
 n u 1
dương cộng với 1. Do đó rn   0   1    0    1 .
 a 
 ab b a 
Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau:

n u0 1

n u0 1
   rn 
   1.
ab b a
ab b a

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 24

v0  1
a


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Từ đó suy ra:

Giới Hạn Nâng Cao

1 u0 1 rn 1 u0 1 1
 
 
 
 .
ab nb na n ab nb na n

Từ đây áp dụng nguyên lý kẹp ta có ngay lim
n 

rn
1

.

n ab

Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad +
cos 5 x
lim
và so đáp án.
2 x x  109
Câu 27. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1  3, 2un1  un  1 với mọi n  1 . Gọi Sn là tổng n số hạng
đàu tiên của dãy số (un ) . Tìm lim Sn .
A. lim Sn   .

C. lim Sn  1.

B. lim Sn   .

D. lim Sn  1 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
1
1
Cách 1: Ta có 2un1  un  1  un 1  un  . Đặt vn  un 1 .
2
2
1
1
1
1

Khi đó: vn 1  un 1  1  un   1   un  1  vn . Vậy  vn  là một cấp số nhân có công
2
2
2
2
1
bội q  . Gọi Tn là tổng n số hạng đầu tiên của  vn  .
2
n

1
1  
n
  1 n 
  1 n 
1 q
2

 v1.
Ta có: Tn  v1.
 2v1. 1     . Suy ra: Sn  Tn  n  2v1. 1      n
1
 2 
 2 
1 q
1





2
.
Vậy limSn   .
Cách 2: Sử dụng MTCT. Nhập vào màn hình: A  A  X : Y 

1
1
X  : X Y .
2
2

Bấm r, máy hỏi A? nhập 0 , máy hỏi X? nhập 3 , máy hỏi Y? Nhập 0 , bấm =
liên tiếp ta thấy giá trị của A ngày một tăng cao.
Câu 28. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1  1, u2  2, un  2 
A.  .

B.

3
.
2

un 1  un
với mọi n  1 . Tìm lim un .
2
5
4
C. .
D. .
3

3

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Sử dụng MTCT.
Qui trình bấm máy

Kết quả thu được

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 25