TỈ số THỂ TÍCH HÌNH CHÓP HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN

TỈ SỐ THỂ TÍCH HÌNH CHÓP
Câu 1: Hình chóp S.ABC có A’B’C’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC; tỷ số thể tích của hai khối
chóp SA’B’C’ và SABC là:
1
1
1
1
A.
B.
C.
D.
10
8
4
6
Hướng dẫn giải:
V
SA ' SB ' SC ' 1
Sử dụng công thức S . A ' B ' C ' 
.
.
 .
VS . ABC
SA SB SC 8
Chọn đáp án D.
1
Câu 2: Cho hàm số S.ABC. Trên 3 cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A', B', C' sao cho SA '  SA ;
2
1
1
SB '  SB; SC '  SC . Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABCD và S'.A'B'C'. Khi

2
2
V'
đó tỷ số
là:
V
1
1
1
1
A.
B.
C.
D.
12
16
8
6
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích ta có
V ' SA ' SB ' SC ' 1 1 1 1

.
.
 . . 
V
SA SB SC 2 2 3 12
Chọn đáp án B.
Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD. Gọi A', B', C', D' theo thứ tự là trung điểm của AB, BC,
CD, DA. Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C'D' và S.ABCD bằng ?

1
1
1
1
A.
B.
C.
D.
8
3
2
4
Hướng dẫn giải:
Ta thấy 2 hình chóp S.ABCD và S.A'B'C'D'. Có chung chiều cao kẻ từ
đỉnh S xuống đáy. Vậy để đi tìm tỉ số khoảng cách thì chúng ta chỉ cần
tìm tỉ số diện tích 2 đáy mà ta có hình vẽ như sau:
Ta thấy
2
VA ' B ' C ' D ' 1
a 2
a2 1

S A 'B'C'D'  A ' D '.A'B'  
 S ABCD 
 
V
2
2
2
2

ABCD


Chọn đáp án A.
Câu 4: Hình chóp SABC có M, N, P theo thứ tự là trung điểm SA, SB, SC. Đặt k 
giá trị của k là
8
7
A.
B.
7
8
Hướng dẫn giải:
V
SM SN SP 1 1 1 1
.
.
 . . 
Ta có SMNP 
VSABC
SA SB SC 2 2 2 8
V
V
 VSMNP
V
7
 MNPABC  SABC
 1  SMNP
VSABC
VSABC

VSABC 8
Chọn đáp án B.

C. 8

D.

VMNPABC
. Khi đó
VSABC

1
8

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 1


Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, M là trung điểm SC. Mặt phẳng (P) qua
AM và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại P và Q.Khi đó tỉ số thể tích giữa khối SAPMQ và khối
SABCD bằng :
1
1
2
2
A.
B.
C.
D.
8

9
3
3
Hướng dẫn giải:
Vì mp song song với BD nên PQ song song với BD. Gọi O là tâmhình bình hành ABCD.
Suy luận được SO,AM, PQ đồng qui tại G và G là trọng tâm tam giác SAC.
SQ SP 2
Suy luận được tỉ số=

 ;
SD SB 3
VSAQM VSAPM 1

 ;
Chứng minh được tỉ số thể tích :
VSADC VSABC 3
VSAQM  VSAPM 1 VSAPMQ 1
 

Suy ra được:
VSADC  VSABC 3 VSABCD 3
Chọn đáp án C.
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC, M là trung điểm của SB, điểm N thuộc SC thỏa SN  2 NC. Tỉ số
VS . AMN
VS . ABC
1
1
1
1
A.

B.
C.
D.
5
3
4
6
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
VS . AMN SM SN 1 1 1

.
 . 
VS . ABC
SB SC 2 3 6
Câu 7: Cho khối tứ diện OABC với OA, OB, OC vuông góc từng đôi một và
OA  a, OB  2a, OC  3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC. Thể tích của khối
tứ diện OCMN tính theo a bằng:
3a 3
2a 3
a3
A.
B. a 3
C.
D.
4
4
3
Hướng dẫn giải:
1

1 1 1
a3
VCOMN CM CN 1

.
  VCOMN  VCOAB  . . OB.OC.OA  (dvtt)
VCOAB
CA CB 4
4
4 3 2
4
Chọn đáp án D.
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 48 và ABCD là hình thoi. Các điểm M, N, P, Q lần
lượt là các điểm trên các đoạn SA, SB, SC, SD thỏa mãn: SA  2SM , SB  3SN ; SC  4SP; SD  5SQ .
Tính thể tích khối chóp S.MNPQ
2
4
8
6
A.
B.
C.
D.
5
5
5
5
Hướng dẫn giải:
Lưu ý công thức tỉ lệ thể tích chỉ dùng cho chóp tam giác chung đỉnh và tương ứng tỉ lệ cạnh. Ta có:
VSMNP VSMQP SM SN SP SM SQ SP 1 1 1 1 1 1



.
.

.
.
 . .  . .
VSABC VSADC
SA SB SC SA SD SC 2 3 4 2 5 4

V
 11 1 1 1 1 1
1 V
3 8
 . SMNP  SMQP    . .  . .   VSMNPQ  1  
VSABCD 2  VSABC VSADC  2  2 3 4 2 5 4 
5 5
Chọn đáp án D.


VSMNPQ

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 2


Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông cân ở B, AC  a 2, SA  a và SA   ABC  .
Gọi G là trọng tâm của SBC , một mặt phẳng   đi qua AG và song song vsơi BC cắt SC, SB lần
lượt tại M, N. Thể tích khối chóp S.AMN bằng

4a 3
4a 3
4a 3
2a 3
A.
B.
C.
D.
27
27
27
9
Hướng dẫn giải:
Tam giác ABC vuông tại B  AC  AB 2  AB  BC  a
Gọi I là trung điểm BC, G là trọng tâm của tam giác SBC
SG 2
SM SN SG 2
Nên
 mà MN song song với BC suy ra



SI 3
SC SB SI 3
V
SM SN 4
4
Do đó S . AMN 
.
  VS . AMN  VS . ACB

VS . ACB
SC SB 9
9

1
1 1 2 a3
Mặt khác VS . ABC  .SA.SABC  .a. .a 
3
3 2
6
3
3
4
4 a
2a
Suy ra VS . AMN  VS . ACB  . 
.
9
9 6
27
Chọn đáp án D.
Câu 10: Cho khối chóp S. ABC. Lấy A', B' lần lượt thuộc SA, SB sao cho 2SA'  3 A ' A; 3SB '  B ' B.
Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp S. A ' B ' C và S. ABC là:
1
2
3
3
A.
B.
C.

D.
15
10
20
6
Hướng dẫn giải:
3 1 3
36. . =
.
5 4 20
Chọn đáp án A.
Câu 11: Hình chop SACB có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a, AC  a 2 , AB=3a. Gọi M,N
V
là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SC. Đặt k  SAMN , khi đó giá trị của k là
VSABC
1
1
1
1
A.
B.
C.
D.
2
3
30
30
Hướng dẫn giải:
SM SN
Ta có k 

.
SB SC
SAC vuông tại A, có AN  SC tại N nên
2

SN SA2 1
SN 1
 SN .SC  SA


 


2
2
CN CA
2
SC 3

CN .CS  CA
SM
SA2 1
SM
1

 

Tương tự
2
BM AB

9
SB 10
1 1
1
k  . 
3 10 30
Chọn đáp án C.
Câu 12: Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD đôi một vuông góc với nhau
BA  3a, BC  BD  2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tính thể tích khối chóp
C.BDNM

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 3


A. V  8a3

B. V 

2a 3
3

C. V 

3a 3
2

D. V  a3

Hướng dẫn giải:

1
1 1
VABDC  AB.S BCD  3a. 2a.2a  2a 3
3
3 2
VAMNC AM AN AC 1
1
1

.
.
  VAMNC  VABDC  a 3
VABDC
AB AD AC 4
4
2

 VBDNM  VABDC  VAMNC 

3a3
2

Chọn đáp án C.
Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SB và G là trọng
tâm của tam giác SBC. Gọi V, V’ lần lượt là thể tích của các khối chóp M.ABC và G.ABD, tính tỉ số
V
V'
V 3
V 4
V 5

V
A.
B.
C.
D.



2
V' 2
V' 3
V' 3
V'
Hướng dẫn giải:
V d  M ,  ABCD   MC 3
Vì các tam giác ABC và ABD có cùng diện tích nên



V ' d  G,  ABCD   GC 2
Chọn đáp án A.
Câu 14: Cho khối chóp S.ABC. Trên các đoạn SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C’ sao cho
1
1
1
SA '  SA; SB '  SB; SC '  SC . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C' và S.ABC bằng:
2
3
4
1

1
1
1
A.
B.
C.
D.
12
24
2
6
Hướng dẫn giải:
V
SA ' SB ' SC ' 1 1 1 1
Ta có: S . A ' B ' C ' 
.
.
 . . 
VS . ABC
SA SB SC 2 3 4 24
Chọn đáp án D.
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. SA vuông góc với mặt đáy
(ABCD);AB  2a, AD  CD  a. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy ( ABCD) là 60o . Mặt phẳng
(P) đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB cắt các cạnh SA, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích
khối chóp S.CDMN theo thể tích khối chóp S. ABCD.
14
4
A. VS .CDMN  VS . ABCD
B. VS .CDMN  VS . ABCD
27

27
10VS . ABCD
VS . ABCD
C. VS .CDMN 
D. VS .CDMN 
27
2
Hướng dẫn giải:
1
1
Đặt V  VS . ABCD , ta có: VS.CDA  VS.ABCD ; VS.ABC  VS.ABCD
3
3
Mặt phẳng (P) đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB
cắt các cạnh SA, SB lần lượt tại M, N. Khi đó MN AB và
SM SN 2


SA SB 3
Ta có:

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 4


VS .CDM SC SD SM 2
2
2

.

.
  VS .CDM  VS .CDA  V
VS .CDA SC SD SA 3
3
9
2

VS .MNC SM SN SC  2 
4
8

.
.
    VS .MNC  VS . ABC  V
VS . ABC
SA SB SC  3 
9
27
2
8
14
Bởi vậy: VS .CDMN  VS .CDM  VS .MNC  V  V  V
9
27
27
Chọn đáp án A.
Câu 16: Cho tứ diện ABCD. Gọi B’ và C’ lần lượt thuộc các cạnh AB và AC thỏa 3 AB '  AB và
V
3 AC '  AC . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối tứ diện k  AB ' C ' D bằng:
VABCD

1
1
1
A. k 
B. k  9
C. k 
D. k 
9
6
3
Hướng dẫn giải:
1
Áp dụng bài toán tỉ số thể tích k 
9
Chọn đáp án D.
Câu 17: Cho hình chóp S.ABC. Gọi M,N,P tương ứng là trung điểm của SA,BC và AB. Mặt phẳng
(MNP) chia khối chóp thành 2 phần. Gọi V1 là thể tích của phần chứa đỉnh S, V2 là thể tích của phần
V
còn lại. Tính tỉ số 1
V2
1
1
A. 2
B. 1
C.
D.
3
2
Hướng dẫn giải:
Do (MNP) và (SAC) có M là điểm chung và AC//PN

S
Từ M kẻ MQ//AC( Q  SC )=> (MNP) cắt SC tại Q
Ta có: VSABC  VSMPBNQ  VAMQCNP
V1

V2

) VAMQCNP  VMAPN  VMANC  VMQCN

M

1
1
1
1
 d ( S ;( ABC )). .S ABC  d ( S ;( ABC )). .S ABC
2
4
2
2
1
1
 d (A;(SBC)). .S SBC
A
2
4
1 1 1
1
1
V

 (   ) VSABC  VSABC  VSMPBNQ  VSABC  1  1
8 4 8
2
2
V2

Q

C
P

Chọn đáp án B.
Câu 18: Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình
bình hành. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm cúa SA,
V
SB. Tỉ số thể tích S .CDMN  ?
VS .CDAB
1
3
5
A.
B.
C.
2
8
8
Hướng dẫn giải:

N
B

S

D.

1
4

N

M
A

B
HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 5
D

C


VS .CDMN VS .CDM  VS .CMN VS .CDM
V


 S .CMN
VS .CDAB VS . ACD  VS . ABC 2VS . ACD 2VS . ABC


SM SM SN 3


.

2SA 2SA SB 8

Chọn đáp án B.

Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC), AB  a, BC  a 3,SA  a . Một mặt phẳng    qua A vuông góc SC tại H và cắt SB
tại K. Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a.
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A. VS . AHK 
B. VS . AHK 
C. VS . AHK 
D. VS . AHK 
30
90
60
20
Hướng dẫn giải:

 AK  SC  AK     
Ta có 
, suy ra
AK

BC
BC


SAB






AK   SBC   AK  SB
Vì SAB vuông cân tại A nên K là trung điểm của SB. Ta
có:
VS . AHK SA.SK .SH
SH
. Ta có AC  AB 2  BC 2  2a


VS . ABC
SA.SB.SC 2SC

SH SH .SC SA2 1



SC
SC 2
SC 2 5
1
1
a3 3
SH

1

 , lại có VS . ABC  SA. . AB.BC 
3
2
6
2SC 10

SC  AC 2  SA2  a 5 , khi đó


VS . AHK
VS . ABC

a3 3
Vậy VS . AHK 
60
Chọn đáp án C.

Câu 20: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau;
AB = a 3 , AC = 2a và AD = 2a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên DB, DC. Tính thể tích V
của tứ diện AHKD.
A. V 

4 3 3
a.
21

B. V 

4 3 3
a.
7

C. V 

2 3 3
a.
21

D. V 

2 3 3
a.
7

Hướng dẫn giải:

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 6


Ta có :

VD. AHK SA SK DH 1 DH .D B 1
AD 2

.
.
 .


.
VD. ABC SA SC DB 2 DB 2
2 AD 2  AB 2

1
4a 2
2
 . 2

2
2 4a  3a
7
1
1
1
2a 3 3
VD. ABC  DA.S ABC  2a. 2a.a 3 
3
3
2
3
3
4a 3
Suy ra VAHKD  VD. AHK 
.
21
Chọn đáp án A.

Câu 21: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V với đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung

điểm cạnh SC. Mặt phẳng qua AC’ và song song với BD cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại B’; D’. Khi
đó thể tích của khối chóp S.A’B’C’D’ bằng
V
V
V
2V
A.
B.
C.
D.
3
3
4
2
Hướng dẫn giải:
Phân tích: Để giải quyết được bài toán này các em cần dựng được mặt phẳng đi qua AC’ và song song
với BD sau đó tìm giao điểm của nó với các cạnh SB, SD
Để dựng được mặt phẳng đi qua AC’ và song song với BD ta làm như sau:
Gọi O là giao điểm của AC và BD, gọi I là giao điểm của SO và AC’. Qua I kẻ B’D’ song song với
BD, khi đó ta có mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng (AD’C’B’).
SI 2
Ta dễ dàng nhận thấy rằng I là trọng tâm của tam giác SAC nên

SO 3
SD ' SI SB ' 2
Theo định lí Ta lét ta có



SD SO SB 3

Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích của khối chóp tam giác (tứ diện) ta có:
VSAD ' C ' SA SD ' SC '
2 1 1

.
.
 1. . 
VSADC
SA SD SC
3 2 3
VSAB ' C ' SA SB ' SC '
2 1 1

.
.
 1. . 
VSABC
SA SB SC
3 2 3
1 1
1
V
Mà VSADC  VSABC  VSABCD nên VSAD ' C ' B '  VSAD ' C '  VSAB ' C '  .2. VSABCD 
2 2
2
3
Chọn đáp án A.
Câu 22: Cho tứ diện ABCD có DA  1, DA   ABC  . ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên 3
cạnh DA, DB, DC lấy điểm M, N, P mà

DM 1 DN 1 DP 3
 ,
 ,
 . Thể tích của tứ diện MNPD
DA 2 DB 3 DC 4

bằng:
3
2
3
B. V 
C. V 
96
12
12
Hướng dẫn giải:
1 3
3
VABCD  . .1 
3 4
12
1 3
3
VDMNP DM DN DP 1 1 3 1


.
.
 . .   VDMNP  .
8 12 96

VDABC
DA DB DC 2 3 4 8
Chọn đáp án C.

A. V 

D. V 

2
96

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 7


Câu 23: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, M là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AM và song
song với BD cắt SB, SD tại N, K. Tính tỉ số thể tích của khối S.ANMK và khối chóp S.ABCD
1
1
2
3
A.
B.
C.
D.
9
3
5
2
Hướng dẫn giải:

Trong mặt phẳng (SAC) gọi G là giao điểm của
AM và SO. Ta có G là trọng tâm tam giác SAC.
Trong mp(SBD) kẻ đường thẳng qua G song song
với BD cắt SB,SD tại N và K.
Gọi VS . ANMK  VS . ANM  VS . AKM
V
SN SM 2 1 1
Ta có : S . ANM 
.
 . 
VS . ABC
SB SC 3 2 3
1
1
 VS . ANM  VS . ABC  VS . ABCD
3
6
VS . AKM SK SM 2 1 1

.
 . 
VS . ADC SD SC 3 2 3
1
1
1
 VSAKM  VSADC  VSABCD VS . ANMK  VS . ABCD
3
3
6
Chọn đáp án C.

Câu 24: Cho chóp tứ giác đều SABCD . Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD tại
SB ' 2
 . Tính thể tích V của tứ diện SAB’C’D’
B’, C’, D’. Biết rằng AB = a,
SB 3
6a 3
28
7
A. V  a 3
B. V  14a3
C. V  a 3
D. V 
18
3
2
Chọn đáp án D.
Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , hai mặt bên (SAB) và (SAD)
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 450 . Gọi H và K lần lượt là
trung điểm của SC và SD. Thể tích của khối chóp S.AHK là:
a3
a3
a3
A.
B.
C.
D. a 3
24
12
6
Hướng dẫn giải:

Hướng dẫn: (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy  SA   ABCD 
   SCD  ,  ABCD    SDA  450  SA  AD  a

1
1 a 2 a3
VS . ACD  SA.SSCD  a. 
3
3 2
6
VS . AHK SH SK 1
1
a3

.
  VS . AHK  VS . ACD 
VS . ACD SC SD 4
4
24
Chọn đáp án A.
Câu 26: Cho khối chóp tứ giác S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm cạnh SC
và N là điểm thuộc cạnh SD sao cho SN  2 ND . Tính tỉ số thể tích k giữa hai đa diện SABMN và
khối chóp S. ABCD.
5
5
1
1
A. k 
B. k 
C. k 
D. k 

6
12
3
6
HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 8


Hướng dẫn giải:
+ Do ABCD là hình bình hành nên
1
SABC  SADC  VS . ABC  VS . ADC  VS . ABCD
2
V
SM
V
1
V
1
+ Ta có S . ABM 
 S . ABM   S . ABM 
1
VS . ABC
SC
VS . ABCD 4
VS . ABCD 2
2
VS . ANM SN SM
V
2 1

V
1
và

.
 S . ANM  .  S . ANM 
1
VS . ADC SD SC
VS . ABCD 6
VS . ABCD 3 2
2
+ Suy ra
VS . ABM VS . ANM 1 1
V
 VS . ANM
5
V
5

   S . ABM

 SABMN 
VS . ABC VS . ADC 4 6
VS . ABCD
12
VS . ABCD 12
5
+ Vậy k  .
12
Chọn đáp án B.

Câu 27: Cho hình l ng trụ ABC.A’B’C’ vì M là trung điểm của CC’. Gọi khối đa diện (H) là phần c n
lại của khối l ng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chóp M.ABC. Tỷ số thể tích của (H) và khối
chóp M.ABC là:
1
1
A.
B. 6
C.
D. 5
6
5
Hướng dẫn giải:
1
Gọi M là trung điểm của CC’ . Theo bài ra ta có: VM . ABC  VC ' ABC  a  VC ' ABC  2a
2
1
Ta lại có VC ' ABC  VAA ' B ' C '  2a nên ta có  H   VAA ' B ' C '  VMABC '  2.2a  a  5a
2
H   5
Vậy
VM . ABC
Chọn đáp án D.
Câu 28: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có thể tích là V . Gọi M , N , Q lần lượt là trung điểm của
AD, DC và B’C’. Thể tích của khối tứ diện QBMN bằng:
8V
V
V
3V
A.
B.

C.
D.
8
3
8
4
Hướng dẫn giải:
1
Ta có: VQBMN  .d  Q;  BMN   .S BMN 1 . Rõ ràng ta nhận
3
thấy hình tứ diện QBMN và hình hộp ABCDA ' B ' C ' D ' có
S
chiều cao bằng nhau. Nên ta chỉ đi tìm tỉ lệ BMN .
S ABCD
Ta có S ABCD  SDMN  S ABM  SBNC  SBMN
 SBMN  S ABCD  SDMN  S AMB  SBNC
S
S
1 1 1
Mặt khác ta có DMN  DMN  .  ;
S ABCD 2 S ADC 2 4 8
S ABM
S
1 1 1
 ABM  . 
S ABCD 2S ABD 2 2 4
HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 9

S BNC
S
1
3
 1 1 1
 , khi đó SBMN  1     S ABCD  BMN   2 
S ABCD 8
S ABCD 4
 8 4 4
V
1 3 1
V
Từ (1) và (2) suy ra QBMN  .   VQBMN 
3 8 8
8
ABCD
Chọn đáp án C.

Tương tự thì

Câu 29: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V. Lấy điểm A’ trên cạnh SA sao cho
1
SA '  SA . Mặt phẳng qua A’ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt
3
tại B’, C’, D’. Khi đó thể tích chóp S.A’B’C’D’ bằng?
V
V
V
V
A.

B.
C.
D.
27
81
9
3
Hướng dẫn giải:
Vì  A ' B ' C ' D '  / /  ABCD   A ' B '/ / AB, B ' C '/ / BC , C ' D '/ / CD
SA ' 1
SB ' SC ' SD ' 1
 


 . Gọi V1,V2 lần lượt là VS . ABC ,VS . ACD
SA 3
SB SC
SD 3
Ta có: V1  V2  V
VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' 1
V

.
.

 VS . A ' B 'C '  1 .
VS . ABC
SA SB SC 27
27
VS . A ' C ' D ' SA ' SC ' SD ' 1

V

.
.

 VS . A ' C ' D '  2 .
VS . ACD
SA SC SD 27
27
V V
V
Vậy VS . A ' BC ' D '  VS . A ' B ' C '  VS . A ' C ' D '  1 2 
.
27
27
Chọn đáp án D.

Mà:

Câu 30: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng (MB’D’) chia
khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
7
5
7
5
A.
B.
C.
D.
24

12
17
17
Hướng dẫn giải:
+ Lập thiết diện của khối hộp đi qua mặt phẳng
(MB’D’). Thiết diện chia khối hộp thành hai phần
trong đó có AMN.A’B’D’
+ Lấy N là trung điểm của AD → MN là đường trung
bình của tam giác ABD
1
 MN / /BD và MN  .BD
2
1
=> MN / / B'D' và MN  .B' D '
2
=> M,N,B’,D’ đồng phẳng với nhau=> Thiết diện là
MNB’D’.
Nhận thấy AMN.A’B’D’ là hình đa diện được tách ra
từ K.A’B’D’ ( K là giao điểm của MB’,ND’ và AA’)
+ Áp dụng định lý Ta lét ta có :
KA KM KN 1
KA KM KN
MN 1 VK.AMN

.
.





 ,
KA ' KB' KD ' B'D ' 2 VK.A 'B'D' KA ' KB ' KD ' 8
7
7 1 1
7 1 1
7
.Shình hộp
 VAMN.A 'B'D'  .VK.A 'B'D'  . . KA '.A'B'.A'D'  . . .2AA '.A 'B'.A 'D ' 
8
8 3 2
8 3 2
24
HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 10


 Tỷ lệ giữa 2 phần đó là

7
17

Chọn đáp án B.
Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
SQ
các cạnh SA, SD. Mặt phẳng () chứa MN cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại Q, P. Đặt
 x , V1 là thể
SB
1
tích của khối chóp S.MNQP, V là thể tích của khối chóp S. ABCD. Tìm x để V1  V .
2

1  33
1  41
1
A. x 
B. x  2
C. x 
D. x 
4
4
2
Hướng dẫn giải:
V
(HS tự vẽ hình) Ta có VS . ABD  VS .BCD  , V1  VS .MNQ  VS . NPQ
2
SP SQ
+) Vì MN//BC nên PQ//BC 

x
SC SB
VS .MNQ SM SN SQ x
VS .MNQ x
VS .MNQ x VS . NPQ SN SQ SP 1 2


.
.
.
.
 x
 

 
 ;
+)
V
VS . ABD
SA SD SB 4
4
V
8 VS .BCD SD SB SC 2
2
VS . NPQ x 2


V
4
V
 VS . NPQ 1
1
x x2 1
+) Ta có: V1  V  S .MNQ
  
 . Suy ra đáp án.
2
V
2
8 4 2
Câu 32: Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA   ABCD  ; góc giữa hai mặt
phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 60o. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Thể tích của hình
chóp S.ADNM bằng:
a3

3 3a 3
3a 3
6a 3
A.
B.
C.
D.
8
8 2
8 2
4 6
Hướng dẫn giải:
- Diện tích đáy

-Tỉ số
-Vì

và tỉ số
nên

Chọn đáp án B.
Câu 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của cạnh SC.
Mặt phẳng (P) qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, N. Gọi V, V’ lần lượt là thể tích các khối
V'
S.ABCD và S.AMKN. Tỉ số
có giá trị nhỏ nhất là:
V
1
3
1

1
A.
B.
C.
D.
5
8
3
2
Hướng dẫn giải:
HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 11


Hs tự vẽ hình
SM
SN
V
Đặt x 
;y 
 V '  VS . AMK  VS . ANK   x  y  1
SB
SD
4
3xy
Mặt khác V '  VS . AMN  VS .MNK 
V
 2
4
Từ (1) và (2) có: x  y  3xy

x
1
SN
x
1
1

y
,  y  0  x  , y 
1
1 x    x  1
3x  1 
3
SD
3x  1
2
2
V'
3x 2
1


,   x  1
V 4  3 x  1  2


Xét hàm số f  x  

3x 2
4  3x  1

1
1

  x  1 . F(x) đạt GTNN bằng 3
2


Chọn đáp án C.
Câu 34: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng song song với đáy
cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Gọi M’, N’, P’, Q’ lần lượt là hình chiếu của
M, N, P, Q trên mặt phẳng đáy. Tìm tỉ số SM: SA để thể tích khối đa diện MNPQ.M’N’P’Q’ đạt giá trị
lớn nhất.
1
1
2
3
A.
B.
C.
D.
3
2
3
4
Hướng dẫn giải:
+ Áp dụng định lý talet.
SM
Đặt
 k . Áp dụng định lý Talet trong Tam giác SAD

SA
có MN//AD
MN SM

 k  MN  k.AD
AD SA
Áp dụng định lý Talet trong Tam giác SAB có MQ//AB
MQ SM

 k  MQ  k .AB . Kẻ đường cao SH của
AB
SA
hình chóp.
Áp dụng định lý Talet trong Tam giác SAH có MM’//SH
MM ' AM
SM

1
 1  k  MM '  1  k  .SH
SH
SA
SA
 VMNPQ.M ' N ' P ' Q '  MN .MQ.MM '  AD. AB.SH .k 1  k   Vhinh chop .k . 1  k 
V min khi và chỉ khi k  1  k  k 

1
2

Chọn đáp án A.
Câu 35: Cho khối tứ diện có thể tích bằng V . Gọi V  là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các

V
trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số
.
V
V 1
V 1
V 2
V 5
A.
B.
C.
D.
 .
 .
 .
 .
V 2
V 4
V 3
V 8
Hướng dẫn giải:

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 12


A
Q

P

E

B

F

D
N

M
C

VA.QEP VB.QMF VC .MNE VD. NPF
V  V  VA.QEP  VB.QMF  VC .MNE  VD. NPF

 1



V
V
V
V
V
V
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 . .  . .  . .  . .  .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Chọn đáp án A.
Ta có

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 13