ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM PHẦN 3

CHƯƠNG 1: (TIẾP THEO)
BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
CHỦ ĐỀ 5.
TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HAI HÀM SỐ GIAO NHAU THỎA
MÃN CÁC YẾU TỐ ĐẶC BIỆT
Để biện luận theo m về số giao điểm cuatr hai hàm số và thỏa mãn các điều kiện về tính chất hình
học phẳng Oxy thì ta làm các bước sau:
Bước 1: TXĐ:
f ( x, m ) = g ( x , m ) ⇔ F ( x , m ) = 0
Bước 2: Phương trình hoành độ giao điểm và đưa về dạng:
∆
Sử dụng biệt thức , hoặc đưa về phương trình tích để biện luận số giao điểm của hai hàm số.
Bước 3: Dựa theo yêu cầu của đề bài mà ta sử dụng các công thức biến đổi của hình học phẳng như:
vectơ, tích vô hướng, khoảng cách, hình chiếu, điểm đối xứng,…
Bước 4: Giải và kết luận giá trị của tham só m.

Bài tập vận dụng
y=

m−x
( Hm )
x+2

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số
và đường
d : 2x + 2 y −1 = 0
thẳng
giao nhau tại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác có diện
S=
tích là

m = 3.
A.
Giải:

3
8

.

B.

1
m= .
2

C.

m = 2.

Hoành độ giao điểm A, B của d và

D.

( Hm )

−x + m
1
= − x + ⇔ 2 x 2 + x + 2 ( m − 1) = 0, x ≠ −2,
x+2
2

Phương trình (1) có 2 nghiệm

x1 , x2

m = 1.

là các nghiệm của phương trình:

( 1)

phân biệt khác -2:

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang 1


17

∆ = 17 − 16m > 0
m <
⇔
⇔
16
2
2.
−
2
−
2

+
2
m
−
1
≠
0
(
)
(
)
m ≠ −2

Ta có:
AB =

( x2 − x1 )

2

+ ( y2 − y1 ) = 2.

= 2.

( x2 + x1 )

2

− 4 x1 x2 =

2

( x2 − x1 )

2

2
. 17 − 16m
2
h=

Khoảng cách từ gốc tọa độ đến d là

1
2 2

1
1 1
2
3
1
SOAB = .h. AB = .
.
. 17 − 16m = ⇔ m =
2
2 2 2 2
8
2

Suy ra

Chọn A.

(thỏa mãn)
y=

2x
(H)
x−2

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số
và đường
d : y = x+m
thẳng
giao nhau tại hai điểm phân biệt thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị sao cho
khoảng cách giữa hai điểm đó là nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
1
m=
30.
31.
32.
33.
m=4
m=0
m = −1
2
A.
và
B.
và
C.

và
D.
và
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
2x
= x + m ⇔ x 2 + ( m − 4 ) x − 2m = 0, ( 1)
x−2
Để d cắt (H) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2.
∆ = m2 + 16
⇔
, ∀m
−4 ≠ 0

Giả sử

( 2)

A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 )

Thei viet ta có:

là hai giao điểm khi đó
 x1 + x2 = 4 − m
( 3)

 x1.x2 = −2m

x1 , x2

là 2 nghiệm của phương trình (1)

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang 2


y1 = x1 + m, y2 = x2 + m
Để A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị thì A và B nằm khác phía đối với đường thẳng
x−2=0
.
( x1 − 2 ) ( x2 − 2 ) < 0
x−2=0
A và B nằm khác phía đối với đường thẳng
khi và chỉ khi
hay
x1.x2 − 2 ( x1 + x2 ) + 4 < 0, ( 4 )
Tahy (3) vào (4) ta được
AB =

( x1 − x2 )

2

−4 < 0

luôn đúng (5). Mặt khác ta lại có

+ ( y1 − y2 ) = 2 ( x1 + x2 ) − 8 x1 x2
2

Tahy (3) vào (6) ta được:

2

AB = 2m 2 + 32 ≥ 32

vậy

( 6)
AB = 32

m=0
nhỏ nhất khi

( 7)

AB = 32
m=0
Từ (1), (5), (7) ta có
và
thỏa mãn.
Chọn C.
Nhận xét: Đối với các bài khoảng cách như bài 1 và 2, thì có cách nào tính khoảng cách AB
nhanh nhất không?
Chúng ta khẳng định là có.
ax + b
y=
y = mx + n, ( m ≠ 0 )
cx + d

Thật vậy, ta có bài tổng quát: Cho hàm số
và đường thẳng
A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 )
Gọi A, B là hai điểm mà đường thẳng cắt hàm số. Giả sử
là 2 giao điểm,

khi đó
AB =
=

Với

x1 , x2

là 2 nghiệm phương trình:

( x1 − x2 )

2

+ ( y1 − y2 ) =

( 1 + m ) ( ( x1 + x2 )
2

2

2

)

− 4 x1 x2 =

f ( x ) = mx + n, ( 1)

( x1 − x2 )
1
m

2

+ ( m ( x1 − x2 ) ) =
2

(1+ m ) ( x − x )
2

1

2

2

(1+ m ) ∆
2

∆

được tính từ phương trình (1).
∆

+Nếu AB nhỏ nhất thì nhỏ nhất.
Ta có thể xét bài tập sau đây:

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang 3


y=
Bài 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số

x +1
(H)
x −1

và đường

d : y = x + m2 x + m

thẳng
giao nhau tại hai điểm phân biệt A, B thuộc 2 nhánh khác nhau . Xác định
m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất.
m = 5.
m = −3.
m=0
m = −1
A.
B.
C.
.

D.
.
Giải:
Để đường thẳng d luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm
x +1
= 2x + m
x −1

x1 < 1 < x2

có hai nghiệm phân biệt với mọi m và
.
 x + 1 = ( x − 1) ( 2 x + m )
⇔
x1 < 1 < x2
 x ≠ 1
có hai nghiệm phân biệt
.
2 x 2 + ( m − 3) x − m − 1 = 0 ( *)
⇔
 x ≠ 1

có hai nghiệm phân biệt

x1 < 1 < x2

.

( m + 1) + 16 > 0, ∀m
∆ > 0

⇔
⇔
 f ( 1) < 0
 f ( 1) = 2 + ( m − 3) − m − 1 = −2 < 0
2

Vậy với mọi giá trị m thì đường thẳng d luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh
khác nhau.
A ( x1;2 x1 + m ) , B ( x2 ;2 x2 + m )
Gọi
là giao điểm giữa d và (H).
x1 , x2
(
là 2 nghiệm phương trình (*))
Ta có:
AB =

( x2 − x1 )

2

AB =
Theo viet ta có:

(

+ ( 2 ( x2 − x1 ) ) = 5 ( x2 − x1 ) = 5 ( x2 + x1 ) − 4 x1 x2
2

2

2

)

1 
2
5 ( m + 1) + 16  ≥ 2 5


2

ABmin = 2 5 ⇔ m = −1

Vậy

m = −1

là giá trị cần tìm.

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang 4


Nhận
AB =

Khi

xét:
1
2

Vậy

( 1 + 2 ) ∆ = 12
2

∆ → min

. vậy

ta

có

5∆ =

m = −1

thể

tính

(

theo

công

thức

tính

nhanh

)

. Chọn D.

Bài 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số

A.

trên:

1
2
5 ( m + 1) + 16 → min
2

y=

thẳng

ở

x +1
(H)

x −1

và đường

d : y = x + m2 x + m

AB = 5.
giao nhau tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
 m = 10
 m = −2

m = 3.
m=0
B.
C.
.
D.
.

m = 4.

Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
2 x 2 + mx + m + 2 = 0, ( x ≠ −1) , ( 1)
(d) cắt (H) tại 2 điểm phân biệt

⇔

phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1

2
m − 8m − 16 > 0 ( 2 )
⇔
 x ≠ −1

A ( x1; y1 )

B ( x2 ; y 2 )

Gọi
và
là giao điểm giữa d và (H). Ta có
trình (1).
1
1
1
AB =
1 + 22 ) ∆ =
5∆ =
5 ( m 2 − 8m − 16 ) = 5
(
2
2
2
 m = 10
⇔ m 2 − 8m − 20 = 0 ⇔ 
 m = −2

x1 , x2

là 2 nghiệm của phương

Thỏa mãn (2). Chọn D.
y=
Bài 5: Tìm tất cả các giá trị thực của a và b sao cho đồ thị của hàm số

d : y = ax + b

A.

a = −2

b = −1

x −1
( C)
x +1

giao nhau tại hai điểm phân biệt, đối xứng nhau qua đường thẳng
a = −2
a = −2
a = −2



b = −2
b = −3
b = −4
B.
C.

D.

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
và đường thẳng

∆ : x − 2y + 3 = 0

Trang 5

.


Giải:

Phương trình của

∆

y=
được viết lại dưới dạng

1
3
x+
2
2

.

1
∆ ⊥ d ⇔ a. = −1 ⇔ a = −2
2

∆
Để giao điểm đối xứng qua thì
d : y = −2 x + b
Suy ra đường thẳng
Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C ):
x −1
= −2 x + b ⇔ 2 x 2 − ( b − 3) x − ( b + 1) = 0. ( 1)
x +1

.

Để d và (C ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆ > 0 ⇔ b 2 + 2b + 17 > 0 ⇒ ∀b ∈ ¡
x A + xB b − 3

=
 xI =
2
4

 y = y A + yB = b + 3
 I
2
2

Goi I là trung điểm của AB, ta có:

∆
∆
Vì A, B đối xứng nhau qua nên trung điểm I thuộc vào đường thẳng , ta có:
b−3
xI − 2 y I + 3 = 0 ⇔
− ( b + 3) + 3 = 0 ⇔ b = −1.
4

Vậy

 a = −2

b = −1

thỏa ycbt. Chọn A.
y=

Bài 6: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị của hàm số

d : y = mx + 3

2x + 1
( C)
x −1

và đường thẳng

giao nhau tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O. (O là gốc

tọa độ)

A.

m = 3 ± 5.

B.

m = 3 − 5.

C.

m = 3+ 5

.

D.

m = 2± 5

Giải:

Pt hoành độ gia điểm:

2x + 1
= mx + 3, ( x ≠ 1) ⇔ mx 2 − ( m − 1) x − 4 = 0, ( 1)
x −1

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang 6

.


(d) cắt đồ thị hàm số (C ) tại A, B khi và chỉ khi pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1, nên:
 2x + 1
= mx + 3, ( x ≠ 1) ⇔ mx 2 − ( m − 1) x − 4 = 0, ( 1)

 x −1
m.12 − ( m − 1) .1 − 4 ≠ 0

m ≠ 0
m ≠ 0


 ∆ > 0 ⇔   m < −7 − 4 3
g 1 ≠ 0

(
)

  m > −7 + 4 3

uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
OA ⊥ OB ⇔ OA.OB = 0 ⇔ x A .xB + ( mx A + 3) ( mxB + 3) = 0

⇔ ( m 2 + 1) ( x A .xB ) + 3m ( x A + xB ) + 9 = 0, ( 2 )

Theo Viet ta có:

m −1

x
+
x
=
A
B

m
, ( 3)

 x .x = − 4
 A B
m

Thay (3) vào (2) ta được:
Vậy với

m = 3 ± 5.

m 2 − 6m + 4 = 0 ⇔ m = 3 ± 5

thỏa mãn ycbt. Chọn A.

Bài 7: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị của hàm số

và đường thẳng
2 2

A.

, với
m = 0
m = 3


∆ : y = −x + 2

tại 3 điểm phân biệt

A ( 0; 2 )

y = x3 + 2mx 2 + 3 ( m − 1) x + 2 ( C )

; B; C sao cho tam giác MBC có diện tích

M ( 3;1)

B.

m = 1
m = 3


C.

Giải:
Pt hoành độ giao điểm của đồ thị với
x3 + 2mx 2 + 3 ( m − 1) + 2 = − x + 2

m = 0
m = 2


∆

.

D.

m = 2
m = 3


.

là

 x = 0 ⇒ y = 2
⇔ 2
 x + 2mx + 3m − 2 = 0 ( 1)

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang 7

∆

Đường thẳng
cắt đồ thị hàm số (C ) tại ba điểm phân biệt
nghiệm phân biệt khác 0, khi và chỉ khi:

A ( 0;2 )

, B, C thì pt (1) có hai

m > 2

m 2 − 3m + 2 > 0
∆ ' > 0
  m < 1
⇔
⇔

3
m
−
2
≠
0
 g ( 0 ) ≠ 0

m ≠ 2

3

B ( x1; y1 )

Gọi
y1 = − x1 + 2

và

và

C ( x2 ; y 2 )

, trong đó
y2 = − x2 + 2

h = d ( M ;( ∆) ) =

3 +1− 2

Ta có:
Mà

2

x1 , x2

⇒ BC =

là nghiệm của (1);

2 S MBC 2.2 2
=
=4
h
2

2
2
2
BC 2 = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = 2 ( x2 + x1 ) − 4 x1 x2 



= 8 ( m2 − 3m + 2 )
m = 0
8 ( m 2 − 3m + 2 ) = 16 ⇔ 
m = 3

Suy ra
m = 0
m = 3

Vậy
thỏa ycbt. Chọn A.

Bài 8: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị của hàm số
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
 m < −1
 m < −1
m > 4

m > 1


A.
B.
Giải:
Pt hoành độ giao điểm:

x1 ; x2 ; x3

thỏa mãn điều kiện
 m < −1
m > 2

C.
.
D.

1
2
y = x 3 − mx 2 − x + m + ( Cm )
3
3

x12 + x22 + x32 > 15
m < 0
m > 1


.

.

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang 8


1 3
2
x − mx 2 − x + m + = 0 ⇔ x3 − 3mx 2 − 3 x + 3m + 2 = 0
3
3
⇔ ( x − 1)  x 2 + ( 1 − 3m ) x − 3m − 2  = 0 ( 1)
x = 1
⇔ 2
 x + ( 1 − 3m ) x − 3m − 2 = 0 ( 2 )

( Cm )

cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt thì pt (1) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có
hai nghiệm phân biệt khác 1.

∆ = ( 1 − 3m ) 2 + 4 ( 3m + 2 ) > 0
3m 2 + 2m + 3 > 0, ∀m
⇔
⇔ m ≠ 0 ( 3)


m

≠
0

 g ( 1) = −6m ≠ 0
Giả sử
Ta có:

x3 = 1, x1 , x2

là nghiệm của (2).
x1 + x2 = 3m − 1; x1x2 = −3m − 2

. Khi đó:

x + x + x > 15 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 + 1 > 15
2
1

2
2

2
3

2

 m < −1
2
⇔ ( 3m − 1) + 2 ( 3m + 2 ) − 14 > 0 ⇔ m 2 − 1 > 0 ⇔ 
( 4)

m > 1

Từ (3) và (4) ta có giá trị cần tìm là:

 m < −1
m > 1


. Chọn B.

y = x 3 − 3 x 2 − 9 x + m ( Cm )

Bài 9: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị của hàm số
cắt
trục hoành tại 3 điểm phân biệt với các hoành độ lập thành cấp số cộng.
m = 11.
m = 10.
m=9
m=8
A.
B.
C.
.
D.
.
Giải:
x 3 − 3 x 2 − 9 x + m =0( *)
Pt hoành độ giao điểm:
x1 , x2 , x3 ( x1 < x2 < x3 )
( Cm )

x1 , x2 , x3
Ox
Giả sử
cắt trục
tại ba điểm phân biệt có hoành độ
thì
là
nghiệm của pt(*)
x 3 − 3x 2 − 9 x + m =( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 )
Khi đó:
x3 − ( x1 + x2 + x3 ) x 2 + ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) x − x1 x2 x3
⇒ x1 + x2 + x3 = 3 ( 1)

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang 9


Ta có:
x1 , x2 , x3

x1 + x3 = 2 x2

lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
x2 = 1
m = 11.
Thế (2) vào (1) ta được
, thay vào pt (*) ta được:

( 2)

m = 11: ( *) ⇔ x3 − 3x 2 − 9 x + 11 = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 − 2 x − 11) = 0

Với
 x1 = 1 − 2 3

⇔  x2 = 1
⇒ x1 + x3 = 2 x2

 x3 = 1 + 2 3
Vậy m=11 thỏa ycbt. Chọn A.

CHỦ ĐỀ 6.
TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ THẢO MÃN
CÁC YẾU TỐ ĐẶC BIỆT
∆

( C ) : y = f ( x)

M 0 ( x0 ; y0 )

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của
tại điểm
y0 = f ( x0 )
x0
Nếu cho
thì tìm
f ( x ) = y0
y0
x0

Nếu cho
thì tìm
là nghiệm của phương trình
y ' = f '( x )
y ' ( x0 ) = f ' ( x0 )
Tính
. Suy ra
.
y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 )
∆
Phương trình tiếp tuyến là:
( C ) : y = f ( x)
k
∆
∆
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của
biết có hệ số góc cho trước
Cách 1: Tìm tọa độ tiếp điểm.
M ( x0 ; y0 )
f ' ( x0 )
Gọi
là tiếp điểm. Tính
k ⇒ f ' ( x0 ) = k ( 1)
∆
có hệ số góc
y0 = f ( x0 )
x0
∆
Giải phương trình (1), tìm được
và tính

. Từ đó viết phương trình của .
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
y = kx + m
∆
Phương trình đường thẳng
có dạng
.

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang 10


 f ( x ) = kx + m
( *)

 f ' ( x ) = k

∆

tiếp xúc với (C ) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
∆
Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của .
k
∆
Chú ý: Hệ số góc của tiếp tuyến có thể được cho gián tiếp như sau:
k = tan α
α
∆
+ tạo với chiều dương trục hoành góc thì

d : y = ax + b
k =a
∆
+ song song với đường thẳng
thì
1
k =−
d
:
y
=
ax
+
b
a
≠
0
(
)
a
∆
+ vuông góc với đường thẳng
thì
k −a
= tan α
d
:
y
=
ax

+
b
1
+
ka
α
∆
+ tạo với đường thẳng
một góc thì
.
A ( xA ; y A )
( C ) : y = f ( x)
∆
∆
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của
, biết đi qua điểm
Cách 1: Tìm tọa độ tiếp điểm.
M ( x0 ; y0 )
y0 = f ( x0 ) , y0′ = f ' ( x0 )
Gọi
là tiếp điểm. Khi đó:
M : y − y0 = f ' ( x0 ) . ( x − x0 )
∆
Phương trình tiếp tuyến tại
A ( xA ; y A )
y A − y0 = f ' ( x0 ) . ( x A − x0 ) ( 2 )
∆
đi qua
nên:
x0

∆
Giải phương trình (2), tìm được
. từ đó viết phương trình của .
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
A ( xA ; y A )
k : y − y A = k ( x − xA )
∆
Phương trình đường thẳng đi qua
và có hệ số góc
∆
tiếp xúc với (C ) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
 f ( x ) = k ( x − x A ) + y A
( *)

f
'
x
=
k
(
)


∆
Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến .
Bài toán 4: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được 1,2,3,… tiếp tuyến với đồ
thị

(C ) : y = f ( x)

.

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang 11


Giả sử

d : ax + by + c = 0.M ( xM ; y M ) ∈ d

Phương trình đường thẳng

∆

k : y = k ( x − xM ) + y M

qua M có hệ số góc
 f ( x ) = k ( x − xM ) + yM ( 1)

( 2)
 f ' ( x ) = k
∆
tiếp xúc với (C ) khi hệ pt sau có nghiệm:
f ( x ) = ( x − xM ) . f ' ( x ) + y M ( C )
k
+ Thế từ (2) vào (1) ta được
( C)
x
M

+ Số tiếp tuyến của
vẽ từ
= số nghiệm của của (C ).
Bài toán 5:
( C ) : f = f ( x)
Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị
và hai tiếp tuyến đó
vuông góc với nhau.
M ( xM ; yM )
Gọi
k : y = k ( x − xM ) + y M
∆
M
Phương trình đường thẳng qua
có hệ số góc
 f ( x ) = k ( x − xM ) + yM ( 1)

( 2)
 f ' ( x ) = k
∆
tiếp xúc với (C ) khi hệ pt sau có nghiệm:
f ( x ) = ( x − xM ) . f ' ( x ) + y M ( C )
k
+ Thế từ (2) vào (1) ta được
x1 , x2
⇔
+ Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C )
(C ) có 2 nghiệm phân biệt
.
⇔ f ' ( x1 ) . f ' ( x2 ) = −1

Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
.
M
Từ đó ta tìm được
.
Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C ) sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành thì
Bài toán 6: Tìm giá trị tham số mà tiếp tuyến của hàm số thỏa mãn các tính chất hình học Oxy ta sử
dụng cách viết phương trình tiếp tuyến của các dạng trên
 f ( x ) = k ( x − xM ) + y M ( 1)

( 2)
 f ' ( x ) = k
∆
tiếp xúc với (C ) khi hệ pt sau có nghiệm:
Sử dụng công thức cơ bản của hình học Oxy về công thức khoảng cách, độ dài, vectơ,…

BÀI TẬP ÁP DỤNG
HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang 12


Bài 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số
y = x 3 + ( 1 − 2 m ) x 2 + ( 2 − m ) x + m 2 + 2m − 5 ( C )
d :x+ y+7 =0
có tiếp tuyến tạo với đường thẳng

góc

A.

cosα =

α

, biết
1
m≤−
4

m≤−
C.

m≥
hoặc

1
3

m≥

1
26
1
2

.

B.

1
4

m≤−

hoặc
.
Giải:
y ' = 3 x 2 + 2 ( 1 − 2m ) x + ( 2 − m )
Gọi

m ≤ −1

D.

m≥
hoặc

1
5

1
3

m≥
hoặc

1
3

.

.

y = kx + b

k

là hệ số góc của tiếp tuyến, phương trình tiếp tuyến
. Suy ra tiếp tuyến có
ur
uu
r
n1 = ( k ; −1)
n2 = ( 1;1)
vectơ pháp tuyến
, đường thẳng d có vectơ pháp tuyến
Ta có:
3

r r
k1 =

n1.n2
k
−
1
1
2
cos α = r r ⇔

=
⇔ 12k 2 − 26k + 12 = 0 ⇔ 
2
n1 . n2
26
2. k + 1
k = 2
 2 3
Để hàm số (C ) có tiếp tuyến thỏa mãn ycbt thì ít nhất một trong hai phương trình:

y ' = k1

( 1)

Nghĩa là:

y ' = k2
hoặc

( 2)

có nghiệm thực
3
 2
3 x + 2 ( 1 − 2 m ) x + 2 − m = 2

3 x 2 + 2 ( 1 − 2 m ) x + 2 − m = 2

3

x

.

1
1

m
≤
−
;
m
≥

8m − 2m − 1 ≥ 0
 ∆′ ≥ 0
4
2
⇔ 1
⇔ 2
⇔
′
∆2 ≥ 0
m ≤ − 3 ; m ≥ 1
 4m − m − 3 ≥ 0

4
2

⇔m≤−

1
4

m≥
hoặc

1
2

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang 13


m≤−
Vậy với

1
4

m≥
hoặc

1
2

. thỏa ycbt. Chọn A.
y=

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số

x +1
( C)
x −1

và đường

d : y = 2x + m
thẳng
giao nhau tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A và B
song song với nhau.
m = −1.
m = −2.
m = −3
m = −4
A.
B.
C.
D.
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
2
x +1
2 x + ( m − 3) x − m − 1 = 0 ( 1)
= 2x + m ⇔ 
x −1
 x ≠ 1

Đề hàm số (C ) và d giao nhau tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình (1) luôn có 2

nghiệm phân biệt khác 1 khi và chỉ khi:

∆ = ( m − 3) 2 + 8 ( m + 1) = ( m + 1) 1 + 16 > 0, ∀m ∈ ¡

 g ( 1) = −2 ≠ 0
Vậy hàm số (C ) và d luôn luôn giao nhau tại hai điểm phân biệt A, B.
x1 , x2 ( x1 ≠ x2 )
x1 , x2
Gọi
lần lượt là hoành độ của A và B thì
là nghiệm của phương trình (1).
1
x1 + x2 = ( 3 − m ) ( *)
∆1 , ∆ 2
2
Theo Vi-et:
, tiếp tuyến
tại A, B của hàm số (C ) có hệ số góc lần
lượt là:
−2
−2
k1 = y ' ( x1 ) =
và k2 = y ' ( x2 ) =
2
2
( x1 − 1)
( x2 − 1)
∆1 / / ∆ 2 ⇔ k1 = k2 ⇔ −
Theo đề bài:

2

( x1 − 1)

2

=−

2

( x2 − 1)

2

 x1 = x2 ( loai )
 x − 1 = x2 − 1
2
2
⇔ ( x1 − 1) = ( x2 − 1) ⇔  1
⇔
 x1 − 1 = − x2 + 1  x1 + x2 = 2, ( 2 )

Thay (*) vào (2) ta được:

1
( 3 − m ) = 2 ⇔ m = −1
2

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />

Trang 14


Vậy

m = −1

Bài 3: Cho điểm
y=
hàm số

A.

thỏa ycbt. Chọn A.

A ( 0; m )

, tìm tất cả các giá trị thực của m để từ điểm A kẻ được hai tiếp tuyến tới

x+2
( C)
x −1

sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục Ox.
 −2
 −2
 −2
  

3
5
7
m ≠ 1
 m ≠ 1
m ≠ 1
B.
C.
D.

 −2 < m

m ≠ 1
Giải:

A ( 0; m )

Phương trình tiếp tuyến qua
, có dạng:
ĐK có 2 tiếp tuyến đi qua A:
x+2
 x − 1 = kx + m ( 2 )

 −3

=k
( 3)
2
 ( x − 1)
x ≠1

có hai nghiệm
.
Thay (3) vào (2) và rút gọn ta được:
( m − 1) x 2 − 2 ( m + 2 ) x + m + 2 = 0 ( 4 )

Để (4) có 2 nghiệm

x ≠1

là:

y = kx + m, ( 1)

m ≠ 1
m ≠ 1

( *)
 f ( 1) = −3 ≠ 0 ⇔ 
m
>
−
2

∆ ' = 3m + 6 > 0

y1 =

x1; x2

Gọi hoành độ tiếp điểm

là nghiệm của (4), tung độ tiếp điểm là
Để hai tiếp điểm nằm khác phía trục Õ là:
( x + 2 ) ( x2 + 2 ) < 0
y1. y2 < 0 ⇔ 1
( x1 − 1) ( x2 − 1)
⇔

x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) + 4
9m + 6
2
<0⇔
<0⇔m>−
x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1
−3
3

x1 + 2
x +2
, y2 = 2
x1 − 1
x2 − 1

.

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang 15


So với điều kiện (*), vậy

Bài 4: Tìm tất cả các điểm

 2
− < m
 3
m ≠ 1

M

thỏa ycbt. Chọn B.
y=

thuộc đồ thị hàm số

x −1
( C)
2x + 2

sao cho tiếp tuyến tại

( C)

M

của

d : y = −4 x.

tạo với trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng

 1 3
 3 5
 1
 3 5
M  − ; − ÷, M  − ; ÷
M  2; ÷, M  − ; ÷
 2 2
 2 2
 5
 2 2
A.
B.
 1
 3 5
 1
 3 5
M  3; ÷, M  − ; ÷
M  5; ÷, M  − ; ÷
 4
 2 2
 3
 2 2
C.
D.
Giải:
1
y' =
2
( x + 1)
Ta có:

 a −1 
M  a;
÷∈ ( C ) , ( a ≠ −1)
 2a + 2 
∆
Gọi
là điểm cần tìm. Gọi
tiếp tuyến với (C ) tại M, ta có phương
∆:
trình
a −1
1
a −1
∆ : y = f '( a ) ( x − a ) +
⇒y=
x − a) +
2 (
2a + 2
2 ( a + 1)
( a + 1)

Gọi

 a 2 − 2a − 1 
A = Ox ∩ ∆ ⇒ A  −
;0 ÷
2



 a 2 − 2a − 1 
B = Oy ∩ ∆ ⇒ B  0;
÷
 2 ( a + 1) 2 ÷



. Khi đó

∆

tạo với hai trục tọa độ

∆OAB

có trọng tâm là:

 a 2 − 2a − 1 a 2 − 2a − 1 
G−
;
2 ÷

÷
6
6
a
+
1
(
)




HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang 16


Do

G∈d

−4.

a 2 − 2a − 1 a 2 − 2a − 1
1
+
=0⇔4=
2
2
6
6 ( a + 1)
( a + 1)

nên:
1
1


a + 1 = 2

a = − 2
⇔
⇔
a + 1 = − 1
a = − 3

2

2

(Vì A, B

≠0

nên

a 2 − 2a − 1 ≠ 0

1
 1 3
a = − ⇒ M  − ;− ÷
2
 2 2

Với
Chọn A.

).

; với

3
 3 5
a = − ⇒ M − ; ÷
2
 2 2

y=

2x − 3
( C)
x−2

Bài 5: (KSCL CHV) Tìm tất cả các điểm M thuộc đồ thị hàm số
sao cho tiếp tuyến
tại M với ( C) cắt các đường tiệm cận của (C ) tại A và B để đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có
I
diện tích nhỏ nhất, với là giao điểm của 2 tiệm cận.
 5
 3
M  4; ÷ và M ( 3;3)
M  0; ÷ và M ( 3;3)
 2
 2
A.
B.
 7
M  5; ÷ và M ( 3;3)
M ( 1;1) và M ( 3;3)
 3

C.
D.
Giải:
1
y' = −
2
( x − 2)
Ta có:
−1
 2a − 3 
M  a;
÷∈ ( C ) , a ≠ 2, y ' ( a ) =
2
 a−2 
( a − 2)
Giả sử
Phương trình tiếp tuyến với (C ) tại M có dạng:
−1
2a − 3
∆: y =
x − a) +
2 (
a−2
( a − 2)
Tọa độ giao điểm A, B của (

∆

) và hai tiệm cận là:

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang 17


 2a − 2 
A  2;
÷; B ( 2a − 2; 2 )
 a−2 

Ta thấy

 x A + xB 2 + 2 a − 2
= a = xM
 2 =
2

 y A + y B = 2a − 3 = y
M
a−2
 2

Mặt khác
diện tích

I ( 2; 2 )

, Suy ra M là trung điểm của AB.

và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có

2


1 
2
2
 2a − 3
 
S = π IM = π ( a − 2 ) + 
− 2 ÷  = π ( a − 2 ) +
≥ 2π
2
 a−2
 
( a − 2 ) 


2

Theo Bđt Cô si

( a − 2)

2

=

Dấu “=” xảy ra khi
Do đó hai điểm M cần tìm là:

Chọn C.

1

( a − 2)

2

a = 1
⇔
a = 3

M ( 1;1) và M ( 3;3)

.

y=
Bài 6: Tìm tất cả các điểm M thuộc đồ thị hàm số

I ( −1; 2 )

(

tới tiếp tuyến của

( C)

) (

(

M ( 0; −1) , M −1 − 3;2 + 3
B.

C.
D.

sao cho khoảng cách từ điểm

tại M là lớn nhất.

M −1 + 3;2 − 3 , M −1 − 3;2 + 3
A.

2x −1
( C)
x +1

)

)

 1
M ( 2;1) , M 1; ÷
 2

M ( 0; −1) , M ( 2;1)
Giải:
y' =
Ta có:

3

( x + 1)

2

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang 18


Giả sử
y=

 2a − 1 
M  a;
÷∈ ( C ) , a ≠ −1
 a +1 

3

( a + 1)

2

Khoảng cách từ
d=

2

( y − 2 ) − 3 ( a + 1) = 0

I ( −1;2 )

3 ( −1 − a ) − 3 ( a + 1)
9 + ( a + 1)

có phương trình:

2a − 1
a +1

( x − a) +

⇔ 3 ( x − a ) − ( a + 1)

, thì tiếp tuyến tại M với

( C)

4

tới tiếp tuyến là:
=

6 a +1
9 + ( a + 1)
9

Theo bất đẳng thức Cauchy

( a + 1)

4

6

=

9

( a + 1)

2

+ ( a + 1)

2

+ ( a + 1) ≥ 2 9 = 6
2

2

, Vậy

d≤ 6

6

Khoảng cách lớn nhất bằng
khi:
9
2
2
+ ( a + 1) ⇔ ( a + 1) = 3 ⇔ a = −1 ± 3
2
( a + 1)

(

) (

M −1 + 3;2 − 3 , M −1 − 3;2 + 3
Vậy có hai điểm M:
Chọn A.

y=
Bài 7: Tìm tất cả các điểm M thuộc đồ thị hàm số

( C)

cắt hai tiệm cận của
 3
M ( 3;3) , M  0; ÷
 2
A.
 9
M  6; ÷, M ( 1;1)
 4

C.
Giải:

2x − 3
( C)
x−2

)

.

sao cho tiếp tuyến tại M của

tại A, B và có độ dài AB ngắn nhất.
 5
M ( 3;3) , M  4; ÷
 2
B.

D.

M ( 3;3) , M ( 1;1)

.

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang 19

( C)

y' = −
Ta có:

Giả sử

1

( x − 2)

2

 2a − 3 
M  a;
÷∈ ( C ) , a ≠ 2.
 a−2 

Tiếp tuyến tại M có phương trình

Giao điểm của
Giao điểm của

Ta có:

∆

y '( a ) = −
Ta có:

∆

với tiệm cận ngang là:

1 
2
AB 2 = 4 ( a − 2 ) +
≥8
2
( a − 2 ) 


Dấu “=” xảy ra khi

4

( a − 2)

2

.
1
2a − 3
∆: y =−
x − a) +
2 (
a−2
( x − 2)

với tiệm cận đứng là:

( a − 2)

1

2 

A  2;2 +
÷
a−2


B ( 2a − 2; 2 )

.
a − 2 = 1
a = 3
=1⇔ 
⇔
 a − 2 = −1  a = 1

Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là:

M ( 3;3) , M ( 1;1)

.Chọn D.

Bài 8: Tìm tất cả các giá trị thực của thàm số m sao cho hàm số

d : y = mx + m + 3

A.


−3 + 2 2
m =
3


−3 − 2 2
m =
3


−4 + 2 2
m =
3


−4 − 2 2
m =
3


C.
Giải:

giao nhau tại

A ( −1;3) , B, C

B.

D.

và tiếp tuyến của

( C)

y = x 3 − 3x + 1( C )

, đường thẳng

tại B và C vuông góc nhau.


−2 + 2 2
m =
3


−2 − 2 2
m =
3


−5 + 2 2
m =
3



−5 − 2 2
m =
3


HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang 20


y ' = 3x 2 − 3

Ta có:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và (d):

x3 − ( m + 3) x − m − 2 = 0 ⇔ ( x + 1) ( x 2 − x − m − 2 ) = 0

 x = −1, y = 3
⇔ 2
 x − x − m − 2 = 0 ( *)
Để hàm số (C ) cắt d tại 3 điểm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác -1, nên:
9

∆ > 0
m > −
⇔
4

 f ( −1) ≠ 0

m ≠ 0
xB ; xC

Giả sử
là nghiệm của (*), hệ số góc của tiếp tuyến:
k B = 3xB2 − 3; kC = 3xC2 − 3
Theo giả thiết:

k B .kC = −1 ⇔ ( 3 xB2 − 3) ( 3 xC2 − 3) = −1 ⇔ 9m 2 + 18m + 1 = 0

−3 + 2 2
m =
3
⇔

−3 − 2 2
m =
3


Vậy với
Chọn A.


−3 + 2 2
m =
3


−3 − 2 2

m =
3


thỏa ycbt.

ĐỀ ÔN TẬP CHƯƠNG I
ĐỀ SỐ 1.
Bài 1: cho tam giác vuông ABC có độ dài cạnh huyền bằng 5(đơn vị độ dài). Người ta quay tam
giác ABC quanh trục một cạnh góc vuông để sinh ra hình nón, với kích thước nào của tam giác ABC
thì hình nón sinh ra có thể tích lớn nhất?

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang 21


x=5
A.
C.

2
5
,y=
3
3

B.

x = 10, y = 15

x = 3, y = 4

.

D. Một kết quả khác.

Giải:
1
1
1
Vn = .S d .h = .π x 2 . y = .π ( 25 − y 2 ) . y
3
3
3
2
3
f ( y ) = ( 25 − y . y = − y + 25 y )
f ' ( y ) = −3 y 2 + 25 = 0 ⇔ y =
BBT
y

5
3

0

f '( y )

+

−
Max

f ( y)

x=5

5

5
3

2
5
,y=
3
3

Vậy
. Chọn A.
Bài 2: Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình mẫu.
Hộp có đáy là một hình vuông cạnh

x ( cm )

, chiều cao là

h ( cm )

và có thể

500 ( cm3 )

tích là
. Hãy tìm độ dài cạnh của hình vuông sao cho chiếc hộp
được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất:
A.

5cm

B.

10cm

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang 22


2cm

C.
Giải:

D.

500
x2
2000

S = x 2 + 4 xh = x 2 +
x
2000
f ( x) = x2 +
x
2000
⇒ f '( x) = 2 x − 2 x ∈ 0;10 5
x
f ' ( x ) = 0 ⇒ x = 10

3cm

V = x 2 .h = 500 ⇒ h =

( (

X

0

10

10 5

||

f ( x)

⇒ x = 10

))

589
300

(thỏa mãn). Chọn B.

Bài 3: Huyền có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Huyền muốn biến hình tròn đó thành một cái
phễu hình nón. Khi đó Huyền phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với
nhau. Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm x để thể tích phễu lớn nhất?

A.

2 6
π
3

B.

π
3

C.

π
2

D.

π

4

Giải:
1
V = π r 2h
3
HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang 23


R 2 = h 2 + r 2 = const ⇒ r 2 = R 2 − h 2
1
⇒ V = π h ( R2 − h2 ) = f ( h )
3
1
1
1
f ( h ) = π R 2h − π h 3; f ' ( h ) = π R 2 − π h 2
3
3
3
R
⇒ f '( h) = 0 ⇔ h =
3
⇒ Vmax ⇔ h =

R
2.R
⇒r=

3
3
2π r =

Chu vi đường tròn đáy hình nón là
Ta có:
2π 
→ 2π R
x¬ 


2 2R
3

2 2
2 6
πR ⇒ x =
π
3
3

Chọn A.
Bài 4: sau khi phát hiện ra dịch bệnh vi rút Zika, các chuyên gia y tế TP.HCM ước tính số người

f '( t )

f ( t ) = 15t 2 − t 3

t

nhiễm bệnh kể từ khi xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ là
. Ta xem
t
là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm . Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày bao
nhiêu?
A. Ngày thứ 10.
B. Ngày thứ 15.
C. Ngày thứ 20.
D. Ngày thứ 25.
Giải:
f ( t ) = 15t 2 − t 3
f ' ( t ) = 30t − 3t 2 = −3 ( t − 5 ) + 75 ≤ 75
2

f ' ( t ) max = 75 ⇔ t = 5

Bài 5: Có một mảnh đất hình vuông ABCD cạnh a. Người ta cần làm một cái trại có đáy là hình
thang ABCM với điểm M thuộc cạnh AD và

mp ( ABCD )

AM = x ( 0 ≤ x ≤ a )

tại A. Giả sử đỉnh cột là S, chiều cao cột là
nhất của thể tích trại dạng chóp S.ABCM là:

. Dựng cái cột vuông góc với

y, ( y > 0 )

. Nếu

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
x2 + y 2 = a2

, giá trị lớn

Trang 24


A.

a3 3
.
3

B.

a3 3
.
8

C.

a3 3
.
24

D.

a3 3
.
32

Giải:

AM = x ⇔ DM = a − x
S ABCM = a 2 −

1
1
( a − x) a = a ( a + x)
2
2

y = a2 − x2
1
1
VS . ABCM = .SA.S ABCM = a ( a + x ) a 2 − x 2
3
6

Xét hàm số:
f ( x ) = a ( a + x ) a 2 − x 2 , x ∈ [ 0; a ]
 x = −a
f '( x ) = 0 ⇔ 
x = a

2

BBT
X

a
2

0
f '( x )

+

−

max

f ( x)

⇒ Vmax

0

a

a
a3 3
⇔ x = ⇒ VS . ABCM =
2
8

. Chọn B.

Bài 6: Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12cm và chiều rộng 8cm. Gấp góc bên phải của
tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh của góc đó chạm đáy dưới như hình vẽ. Để độ dài nếp gấp là nhỏ
nhất thì giá trị nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu?

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang 25