TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ
ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. CHUẨN KIẾN THỨC

TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Định nghĩa :
Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác
định trên K được gọi là :
• Đồng biến trên K nếu với mọi x1,x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1) < f ( x2 )
• Nghịch biến trên K nếu với ∀x1,x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1) > f ( x2 ) .
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu :
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I
• Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f '( x) ≥ 0 với mọi x ∈ I

• Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f '( x) ≤ 0 với mọi x ∈ I
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu :
Định lý :
Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên
tục trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I
nhưng không phải đầu mút của I ) .Khi đó :
• Nếu f '( x) > 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I
• Nếu f '( x) < 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I

• Nếu f '( x) = 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f không đổi trên khoảng I
Chú ý :
• Nếu hàm số f liên tục trên a;b và có đạo hàm f '( x) > 0 trên khoảng

( a;b) thì hàm số

f đồng biến trên a;b
• Nếu hàm số f liên tục trên a;b và có đạo hàm f '( x) < 0 trên khoảng

( a;b) thì hàm số

f nghịch biến trên a;b .
• Ta có thể mở rộng định lí trên như sau
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . Nếu f '(x) ≥ 0 với ∀x ∈ I
( hoặc f '(x) ≤ 0 với ∀x ∈ I ) và f '(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm của I thì
hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I .
Chú ý. Vận dụng định lí trên vào các hàm số thường gặp trong chương
trình.
P(x)
*Nếu hàm số f là hàm đa thức (không kể hàm số hằng) hoặc f(x) =
Q(x)
(trong đó P(x) là đa thức bậc hai , Q(x) là đa thức bậc nhất và P(x) không
HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />

chia hết cho Q(x) thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K
⇔ ∀x ∈ K ,f '(x) ≥ 0 (f '(x) ≤ 0) .
ax + b
với a,b,c,d là các số thực và
cx + d
ad – bc ≠ 0 thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K
⇔ ∀x ∈ K ,f '(x) > 0(f '(x) < 0).
*Nếu hàm số f là hàm nhất biến , f(x) =

B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Dạng 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của

hàm số

Bài toán 01: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH
.
Phương pháp .
B1.Tìm tập xác định của hàm số f
B2. Tính đạo hàm f ’(x) và tìm các điểm x0 sao cho f '(x0 ) = 0 hoặc f '(x0 )
không xác định .
B3. Lập bảng xét dấu f '( x) ,dựa vào định lí 1 ,nêu kết luận về các khoảng
đồng biến , nghịch biến của hàm số .
B4. Kết luận.

Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:
2 − 4x
1. y =
1− x
2x + 1
x+1
Lời giải.
1. Tập xác định : D = ¡ \ { 1}
Ta có: y' =

−2
(x − 1)2

< 0 ∀x ∈ D ,suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

xác định .
Giới hạn lim y = 4 , lim y = 4;
x→+∞

2.

x→−∞

lim y = −∞ , lim y = +∞

x→−1+

x→−1−

Bảng biến thiên:

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />

x

1

-∞

+∞

-

y'

+∞

4

y

4

-∞

Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;1) và ( 1; +∞)
2. Tập xác định : D = ¡ \ { −1}
Ta có: y' =

1
(x − 1)2

> 0 ∀x ∈ D , suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác

định .
lim y = −∞ , lim y = +∞

Giới hạn lim y = 2 , lim y = 2;
x→+∞

x→−1+

x→−∞

x→−1−

Bảng biến thiên:

x

-1

-∞

+∞

+

+

y'

+∞

y

2

-∞

2

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( −1; +∞)
Ví dụ 2. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:
1. y =

x2
1− x

2.

−x2 − x + 5
x+ 2
Lời giải.
1. Tập xác định : D = ¡ \ { 1}
y=

Ta có: y' =

− x2 + 2x
(1− x)2

x = 0 , y = 0
∀x ∈ D: y' = 0 ⇔ 
 x = 2 , y = −4
Giới hạn lim− y = +∞ , lim+ y = −∞;
x→1

x→1

lim y = +∞ , lim y = −∞.

x→−∞

x→+∞

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />

Bảng biến thiên:
x

-∞

-

y'

y

1

0
0

2

+

+

0

+∞

-

+∞

+∞
0
CT

CÑ
-4
-∞

-∞

Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;0) và ( 2; +∞) ;
Hàm số đồng biến trên các khoảng (0;1) và (1;2).
2. Tập xác định : D = ¡ \ { −2}

Ta có: y' = −1−

3
(x + 2)2

< 0 ∀x ∈ D, suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

xác định.
Giới hạn lim− y = −∞ , lim+ y = +∞; lim y = − ∞ , lim y = −∞
x→−2

x→−∞

x→−2

x→+∞

Bảng biến thiên:
x

-

y'

y

-2

-∞

+∞

+∞

+∞

-∞

-∞

Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −2) và ( −2; +∞)
Ví dụ 3. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:
x3 − 4x + 8
x− 2
Lời giải.

Tập xác định : D = ¡ \ { 2}
f(x) =

Ta có: f '(x) =

(3x2 − 4)(x − 2) − (x3 − 4x + 8)
(x − 2)2

=

2x3 − 6x2
(x − 2)2

∀x ∈ D: f '(x) = 0 ⇔ 2x3 − 6x2 = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3
HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />

Giới hạn: lim− f(x) = −∞ , lim+ f(x) = +∞; lim f(x) = +∞ , lim f(x) = +∞.
x→2

x→−∞

x→2

x→+∞

Bảng biến thiên:
x

-∞

-

f'(x)
f(x)

2

0

-

-

0

+∞

3

+

0

+∞

+∞

+∞
23

-4

CT
-∞

Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;2) và ( 2;3) ;
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3;+∞ )

Ví dụ 4. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:
1. y = x3 – 3x2 + 4
2.
x3
+ x2 + 3x − 1
3
Lời giải.
Tập xác định : D = ¡
Ta có: y' = 3x2 – 6x
y=

 x = 0 , y(0) = 4
∀x ∈ D: y' = 0 ⇔ 
 x = 2 , y(2) = 0
3 4
3 4
3
3
Giới hạn: lim y = lim x  1− + 3 ÷ = +∞ , lim y = lim x  1− + 3 ÷ = −∞
x→+∞
x→+∞

x→−∞
x→−∞
x x 
x x 


Bảng biến thiên:
x

+

y'

2

0

-∞

y

0

-

0

+∞

+

+∞

yCÑ
4

yCT
0

-∞

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2 ; +∞) ;
Hàm số nghịch biến trên ( 0;2) .
2. Tập xác định : D = ¡

Ta có: y' = x2 + 2x + 3 = ( x + 1) + 2 > 0 ∀x ∈ D , suy ra hàm số đồng biến trên ¡
2

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />

Giới hạn:

lim y = +∞ , lim y = −∞

x→+∞

x→−∞

Bảng biến thiên
x

-∞

+∞

+

y'

+∞

y
-∞

Ví dụ 5. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:
1. y = x4 + 2x2 – 4
2.
1 4
x − 2x2 + 2
4
Lời giải.
1. Tập xác định : D = ¡
Ta có: y' = 4x3 + 4x = 4x(x2 + 1)
y=

∀x ∈ D: y' = 0 ⇔ x = 0,y(0) = −4
2
4
4
Giới hạn: lim y = lim x  1+ 2 − 4 ÷ = +∞;

x→+∞
x→+∞

x
x 
Bảng biến thiên
x

-∞

y

+∞

0

-

y'


2
4
lim y = lim x4  1+
−
÷ = +∞
2
x→−∞
x→−∞


x
x4 

0

+∞

+
+∞

-4
CT

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞ );
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞;0 )
2. Tập xác định : D = ¡
Ta có: y' = x3 − 4x = x(x2 − 4).
 x = 0 , y(0) = 2
∀x ∈ D: y' = 0 ⇔ 
 x = ±2 , y(±2) = −2
lim y = +∞
Giới hạn: lim y = +∞;
x→−∞

x→+∞

Bảng biến thiên
HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang

x

-2

-∞

-

y'

0

2

0

+

0

-

0

+∞

+

+∞

y

+∞
CÑ

-2

2

CT

-2
CT

Hàm số đồng biến trên hai khoảng (- 2;0) và (2;+ ∞ );
Hàm số nghịch biến trên hai khoảng (- ∞ ; - 2) và (0;2).
Ví dụ 6. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:
7
1. y = 9x7 − 7x6 + x5 + 12
2.
5
2
3
3
y = x5 − x4 + x2 + 2x − 1
5
4
2

Lời giải.
1. Hàm số đã cho xác định trên ¡ .
Ta có: y' = 7x4 ( 3x − 1) .
2

1
1
và y' > 0 với mọi x ≠ 0 , x ≠ .
3
3
 1
Hàm số đồng biến trên nửa khoảng ( −∞;0 , đoạn 0;  và nửa khoảng
 3
y' = 0 với x = 0 hoặc x =

1

 3 ; +∞ ÷ . Từ đó suy ra hàm số đồng biến trên ¡ .


2. Hàm số đã cho xác định trên ¡ .

(

)(

)

2
2

Ta có: y' = x − 1 2x − 3x + 2 .

y' = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 1 vì 2x2 − 3x + 2 > 0, ∀x ∈ ¡ .

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) và

( 1;+∞ ) , nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:
x− 2
2x − 1
1. y =
2. y =
x−1
x−1
2x + 1
3x + 1
2. y =
4. y =
x−1
2 + 4x
Bài 2: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang


1. y =

x2 + 4x + 4
x+ 1

2. y =

4x2 + 5x + 5
x+1

x2 − x + 1
− x2 + 2x − 1
4. y =
x−1
x+ 2
Bài 3: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:
3. y =

1. y = x3 − 3x2 + 2
3. y =

4 3
x − 2x2 + x − 3
3

2. y =

x3 3x2
−
+ 2x + 4
3

2

4. y = x3 − 6x2 + 9x − 3

5. y = − x3 − 3x2 + 24x + 26
Bài 4: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:
1. y = −2x4 + 4x2
2. y = x4 − 6x2 + 8x − 1
1
3
1
3. y = − x4 − x2 + 1
4. y = − x4 + x3 − 4x + 1
4
2
4
Bài 5: Chứng minh hàm số sau đồng biến trên ¡ :
2
y = x9 − x6 + 2x3 − 3x2 + 6x − 1 .
3
Bài toán 02: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ
TUYỆT ĐỐI, CHỨA CĂN THỨC.
Phương pháp .
Nhận xét:
• Bài toán xét tính đơn điệu của hàm số được chuyển về bài toán xét dấu
của một biểu thức ( y' ).
• Khi tính đạo hàm của hàm số có dạng y = f(x) ta chuyển trị tuyệt đối
vào trong căn thức y = f 2(x) , khi đó tại những điểm mà f(x) = 0 thì hàm số
không có đạo hàm.

Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: y = 1− x3
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng
Ta có: y' = −

( −∞;1 .

3x2

2 1− x3
y' = 0 khi x = 0 và y' < 0 khi ∀x ∈ ( −∞;1) và x ≠ 0 .

Do đó hàm số nghịch biến trên nửa khoảng ( −∞;1 .
Chú ý: y' = 0 tại x = 0 thì hàm số không đổi trên nửa khoảng

( −∞;1 .

Ví dụ 2. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:
y = ( x + 3) 3 − 2x − x2
HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang


Lời giải.
. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn −
 3;1 .
Ta có: y' =

−2x( x + 3)

3 − 2x − x2

, hàm số không có đạo hàm tại x = −3, x = 1

−
 3< x < 1
⇔ x= 0
Với ∀x ∈ ( −3;1) : y' = 0 ⇔ 
−2x( x + 3) = 0
Bảng biến thiên
x
−3
0
+
y'
0
y

−

1

3 3

Hàm số đồng biến trên hai khoảng ( −3;0) ,hàm số nghịch biến trên hai
khoảng ( 0;1)
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

1. y = x2 − 2x

2. y = x3 − 2x

4. y = x 1− x2
3. y = 3x2 − x3
Bài 2: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:
1. y = x + 2x − x2

2. y = ( 2x + 1) 9 − x2

3. y = x2 − x − 20

4. y = x + 1− 2 x2 + 3x + 3
Bài 3: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:
x
x+ 3
1. y =
2. y =
x2 + 1
x2 + 1
Bài 4: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:
2
1. y = x + 1
2. y = x + 2x − 3
Bài 5: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:
2
1. y = x − 2x − 3

2

2. y = x − 4x + 3 + 2x + 3

Bài toán 03: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ KHÁC

Ví dụ
Ví dụ . Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: y =

x2
x4 + 1

Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên ¡ .

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang


Ta có: y' =

(

2x 1− x4

(

)

x4 + 1

Bảng xét dấu:

x
y'

2

)

. Với ∀x ∈ ¡ : y' = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 0 hoặc x = 1

−∞
+∞

−1
+

0
0

−

1
0

+

0

−

Trên khoảng x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 0;1) : y' > 0 ⇒ y đồng biến trên các khoảng

( −∞;−1)

và ( 0;1) ;

Trên khoảng x ∈ ( −1;0) ∪ ( 1; +∞ ) : y' < 0 ⇒ y nghịch biến trên các khoảng
x ∈ ( −1;0) và ( 1;+∞ ) .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài tập: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:
4x + 5
12x + 1
3x2 − x + 1
1. y = 2
2. y =
3.
y
=
4x − 4
12x2 + 2
x2 − x + 1

Bài toán 04: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
Phương pháp .
Vì y' = 0 tại vô hạn điểm nên ta chưa thể kết luận hàm số nghịch biến trên
¡ .
Ta sẽ chứng minh hàm số luôn nghịch biến trên ¡ bằng định nghĩa.
Với ∀x1,x2 ∈ ¡ , x1 < x2 , khi đó luôn tồn tại khoảng (a;b) chứa x1,x2
Do y' = 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng (a;b) nên hàm số nghịch biến trên

khoảng (a;b) ⇒ y(x1) > y(x2) ⇒ hàm số nghịch biến trên
Chú ý:
• Khi xét tính đơn điệu của hàm số chứa hàm lượng giác chúng ta cần lưu
ý là đạo hàm của hàm số có thể triệt tiêu tại vô hạn điểm. Khi đó để xét
tính đơn điệu của hàm số trên TXĐ, ta sẽ chuyển về xét tính đơn điệu trên
một khoảng chứa hữu hạn điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu.
• Đối với hàm đa thức nếu tất cả các hệ số không đồng thời bằng 0 thì nó
chỉ triệt tiêu tại hữu hạn điểm.

Ví dụ

Ví dụ . Chứng minh rằng hàm số : y = cos2x − 2x + 3 nghịch biến trên ¡
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên ¡ .
Ta có: y' = −2sin2x − 2 = −2( 1+ sin2x) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ và y' = 0 khi
π
+ kπ , k ∈ ¢ . Vì y' = 0 tại vô hạn điểm nên chưa thể kết luận hàm số
4
nghịch biến trên ¡ .
x= −

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang


Với ∀x1,x2 ∈ ¡

và x1 < x2 , khi đó luôn tồn tại khoảng ( a;b) chứa x1,x2 . Do

y' = 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng ( a;b) nên hàm số nghịch biến trên

khoảng ( a;b) khi đó y ( x1) > y ( x2 ) ⇒ hàm số nghịch biến trên ¡ .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:
1. y = 2sinx + cos2x với x ∈ 0; π
2. y = sin2x − 2cosx − 2x với

 π π
x∈  − ; ÷
 2 2
Bài 2
1. Chứng minh rằng hàm số y = sin2x − 2x + 1 luôn nghịch biến trên ¡ .
2. Chứng minh rằng hàm số y = 3sinx − cosx + 2x − 1 luôn đồng biến trên ¡
.
3. Tìm m để hàm số y = 2x + msinx − 1 đồng biến trên ¡ .
4. Tìm m để hàm số y = 2cos2x + mx − 3 đồng biến trên ¡ .
1
1
Bài 3 Tìm tham số m để hàm số: y = mx + sinx + sin2x + sin3x đồng biến
4
9
trên ¡ .

Dạng 2:
Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu tập
xác định.
Phương pháp .
B.1. Xác định tham số để hàm số f xác định trên khoảng đã cho.
B.2. Tính f’(x) ,vận dụng định lí 1 vào các hàm số thường gặp trong

chương trình (xem phần tóm tắt giáo khoa)
Chú ý. Để giải bài toán dạng này ,ta thường sử dụng các tính chất sau.
Nếu f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) thế thì .
∆ ≤ 0
* ∀x ∈ ¡ (hay ¡ bớt đi một số hữu hạn điểm), f(x) ≥ 0 ⇔ 
.
a > 0
* ∀x ∈ ¡

∆ ≤ 0
(hay ¡ bớt đi một số hữu hạn điểm), f(x) ≤ 0 ⇔ 
a < 0

Bài toán 01:
TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH.
Phương pháp .
• Tìm TXĐ
• Tính y’
• Hàm số đồng biến trên ¡ ⇔ y' ≥ 0,∀x ∈ ¡
( Hàm số nghịch biến trên ¡ ⇔ y' ≤ 0,∀x ∈ ¡
Từ đó suy ra điều kiện của m.
HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang


Chú ý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên D
• Hàm số đồng biến trên I ⊂ D ⇔ f '(x) ≥ 0, ∀x ∈ I và f '(x) = 0 có hữu hạn
nghiệm.
• Hàm số đồng biến trên I ⊂ D ⇔ f '(x) ≤ 0, ∀x ∈ I và f '(x) = 0 có hữu hạn
nghiệm.

Các ví dụ

Ví dụ 1: Định m để hàm số y =

mx + 4
luôn đồng biến trên từng khoảng
x+ m

xác định
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D = ¡ \ {− m}( −∞; −m) ∪ ( − m; +∞ )
Ta có: y' =

m2 − 4
(x + m)2

Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng ( −∞; −m) và ( − m; +∞ )
⇔ y' > 0 , ∀x ∈ D ⇔ m2 − 4 > 0 ⇒ m < −2 hoặc m > 2
Vậy, với m < −2 hoặc m > 2 thì hàm số luôn đồng biến trên các khoảng
( −∞;−m) và ( −m;+∞ )
Ví dụ 2 : Định m để hàm số luôn đồng biến:
1. y = x3 + 3x2 + mx + m
2.
y = mx3 − (2m − 1)x2 + (m − 2)x − 2
Lời giải.
1. Hàm số đã cho xác định D = ¡
Ta có: y' = 3x2 + 6x + m
Cách 1: Hàm số luôn đồng biến trên ¡ ⇔ y' ≥ 0,∀x ∈ ¡ , thì phải có ∆ ' ≤ 0 ,
tức 9 − 3m ≤ 0 hay m ≥ 3

Vậy, với m ≥ 3 thì hàm số luôn đồng biến trên ¡ .
Cách 2: Hàm số luôn đồng biến trên ¡ ⇔ y' ≥ 0,∀x ∈ ¡ , thì phải có
2
m ≥ −3x2 − 6x . Xét hàm số g ( x) = −3x − 6x trên ¡ và có g'( x) = −6x − 6 ,

g'( x) = 0 ⇔ x = −1

Bảng biến thiên:

x

−∞
+∞

g'(x)
g(x)

−1
−

0

+

3
−∞
−∞

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />

Trang


Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m ≥ g(x) với ∀x ∈ ¡ ⇔ m ≥ 3
2. Hàm số đã cho xác định D = ¡
Ta có: y' = 3mx2 − 2(2m − 1)x + m − 2
∆ ' ≤ 0
⇔ y' ≥ 0,∀x ∈ ¡ , thì phải có 
, tức
3m > 0

Hàm số luôn đồng biến trên ¡

4m2 − 4m + 1− 3m(m − 2) ≤ 0
(m + 1)2 ≤ 0
⇒ m> 0
hay 

m > 0
m > 0
Vậy, với m > 0 thì hàm số luôn đồng biến trên ¡ .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
1
Bài 1: Tìm a để hàm số y = x3 + ax2 + 4x + 3 đồng biến trên ¡
3
m
Bài 2: Tìm
để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác
định .
mx + 3 − 2m

−2x2 + ( m + 2) x − 3m + 1
1. y =
2. y =
x+ m
x−1
Bài 3: Tìm m để hàm số:
1. y = (m + 2)

x3
− (m + 2)x2 − (3m − 1)x + m2 đồng biến trên ¡ .
3

2. y = (m − 1)x3 − 3(m − 1)x2 + 3(2m − 3)x + m nghịch biến trên ¡ .

(

)

1 2
m − 1 x3 + ( m + 1) x2 + 3x luôn nghịch biến trên ¡ .
3
3 2
3
2
x− 2 +
x − 4 đồng biến trên tập xác định của nó.
4. y = mx +
3
3
3. y =

(

)

(

)

5. y = x + 1+ m x2 + 1 đồng biến trên ¡ .
Bài 4: Tìm m để hàm số: y =

−3x2 + mx − 2
nghịch biến trên từng khoảng
2x − 1

xác định.
Bài toán 02: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH
BIẾN TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH.
Ví dụ : Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu của hàm số:
1
1
y = x3 − m ( m + 1) x2 + m3x + m2 + 1
3
2
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên ¡ .
Ta có y' = x2 − m ( m + 1) x + m3 và ∆ = m2 ( m − 1)
+ m = 0 thì y' = x2 ≥ 0,∀x ∈ ¡

2

và y' = 0 chỉ tại điểm x = 0 . Hàm số đồng biến

trên mỗi nửa khoảng ( −∞;0 và 0; +∞ ) . Do đó hàm số đồng biến trên ¡ .
HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang


+ m = 1 thì y' = ( x − 1) 2 ≥ 0,∀x ∈ ¡

và y' = 0 chỉ tại điểm x = 1. Hàm số đồng

biến trên mỗi nửa khoảng ( −∞;1 và 1; +∞ ) . Do đó hàm số đồng biến trên
¡ .
+ m ≠ 0,m ≠ 1 khi đó y' = 0 ⇔ x = m hoặc x = m2
× Nếu m < 0 hoặc m > 1 thì m < m2 .
Bảng xét dấu y' :
x
−∞
+∞
y'

+

m
+

m2
−

0

0

Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞;m)

(

)

(

)

2
2
và m ;+∞ , giảm trên khoảng m;m .

× Nếu 0 < m < 1 thì m > m2
Bảng xét dấu y' :
x
−∞
+∞
+
y'
+

m

m2
−

0

0

(

2
Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng −∞;m

(

)

)

2
và ( m;+∞ ) , giảm trên khoảng m ;m .

Dạng 3: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn
điệu trên khoảng xác định.
Phương pháp .
Tìm điều kiện để hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên khoảng
(α ; β ) .
Hàm số đã cho xác định D = ¡
Ta có: y′ = f ′(x) = 3ax2 + 2bx + c .
1. Hàm số f đồng biến trên (α ; β ) ⇔ y′ ≥ 0,∀x ∈ (α ; β ) và y′ = 0 chỉ xảy ra tại
một số hữu hạn điểm thuộc (α ; β ) .

Trường hợp 1:
• Nếu bất phương trình f′(x) ≥ 0 ⇔ h(m) ≥ g(x) (*)
thì f đồng biến trên (α ; β ) ⇔h(m) ≥ maxg(x)
(α ;β )

• Nếu bất phương trình f′(x) ≥ 0 ⇔ h(m) ≤ g(x) (**)
thì f đồng biến trên (α ; β ) ⇔h(m) ≤ ming(x)
(α ;β )

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang


Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f′(x) ≥ 0 không đưa được về dạng (*)
thì đặt t = x − α . Khi đó ta có: y′ = g(t) = 3at2 + 2(3aα + b)t + 3aα 2 + 2bα + c .
– Hàm số f

a > 0
đồng biến trên khoảng (−∞;a) ⇔g(t) ≥ 0,∀t < 0 ⇔
hoặc
∆ ≤ 0

a > 0

∆ > 0

S > 0
P ≥ 0


a > 0
– Hàm số f đồng biến trên khoảng (a; +∞) ⇔g(t) ≥ 0,∀t > 0 ⇔
hoặc
∆ ≤ 0
a > 0

∆ > 0

S < 0
P ≥ 0

2.Hàm số f nghịch biến trên (α ; β ) ⇔ y′ ≥ 0,∀x ∈ (α ; β ) và y′ = 0 chỉ xảy ra
tại một
số hữu hạn điểm thuộc (α ; β ) .
Trường hợp 1:
• Nếu bất phương trình f′(x) ≤ 0 ⇔ h(m) ≥ g(x) (*)
thì f nghịch biến trên (α ; β ) ⇔h(m) ≥ maxg(x)
(α ;β )

• Nếu bất phương trình f′(x) ≥ 0 ⇔ h(m) ≤ g(x) (**)
thì f nghịch biến trên (α ; β ) ⇔h(m) ≤ ming(x)
(α ;β )

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f′(x) ≤ 0 không đưa được về dạng (*)
thì đặt t = x − α . Khi đó ta có: y′ = g(t) = 3at2 + 2(3aα + b)t + 3aα 2 + 2bα + c .
a < 0
– Hàm số f nghịch biến trên khoảng (−∞;a) ⇔g(t) ≤ 0,∀t < 0 ⇔
hoặc
∆ ≤ 0
a < 0


∆ > 0

S > 0
P ≥ 0

a < 0
– Hàm số f nghịch biến trên khoảng (a; +∞) ⇔g(t) ≤ 0,∀t > 0 ⇔
hoặc
∆ ≤ 0

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang


a < 0

∆ > 0

S < 0
P ≥ 0

Chú ý:

1. Phương trình f ( x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thỏa
x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0 .

x1 ≤ 0 ≤ x2 ⇔ P ≤ 0 .

∆ > 0

0 ≤ x1 < x2 ⇔ P ≥ 0
S > 0


∆ > 0

x1 < x2 ≤ 0 ⇔ P ≥ 0
S < 0


0 < x1 < x2
∆ > 0
⇔

 x1 < x2 < 0 P > 0
b
c
, P = x1.x2 = .
a
a
2. Nếu hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên tập D ,thế thì:
∀x ∈ D,f(x) ≥ 0 ⇔ minf(x) ≥ 0 .
Trong đó : S = x1 + x2 = −

x∈D

3. Nếu hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên tập D, thế thì
∀x ∈ D,f(x) ≤ 0 ⇔ maxf(x) ≤ 0 .

x∈D

4. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên D
≥ k ( nếu tồn tại minf(x) )
* f(x) ≥ k ∀x ∈ D ⇔ minf(x)
D
D
≤ k ( nếu tồn tại maxf(x) ).
* f(x) ≤ k ∀x ∈ D ⇔ maxf(x)
D
D
Bài toán 01: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN
KHOẢNG K = −∞;α , β;+∞ , ( −∞;α  , β;+∞ .
Phương pháp .
Chú ý 1:
* Hàm số y = f ( x,m) tăng trên ¡ ⇔ y' ≥ 0 ∀x ∈ ¡ ⇔ min y' ≥ 0 .

(

) (

)

)

x∈¡

y' ≤ 0 .
* Hàm số y = f ( x,m) giảm trên ¡ ⇔ y' ≤ 0 ∀x ∈ ¡ ⇔ max
x∈¡

Chú ý 2: Đặt f ( x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) .

• f ( x) = 0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn : x1 < α < x2 . Đặt t = x − α , khi đó
g ( t) = f ( t + α ) . Bài toán trở thành g ( t) = 0 có hai nghiệm trái dấu tức
t1 < 0 < t2 ⇔ P < 0 .

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang


• f ( x) = 0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn : x1 ≤ x2 < α . Đặt t = x − α , khi đó
g ( t) = f ( t + α ) . Bài toán trở thành g ( t) = 0 có hai nghiệm cùng âm nghĩa là
t1 ≤ t2 < 0 ⇔ ∆ ≥ 0, S < 0, P > 0 .

• f ( x) = 0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn β < x1 ≤ x2 . Đặt t = x − β , khi đó
g ( t) = f ( t + β ) . Bài toán trở thành g ( t) = 0 có hai nghiệm cùng dương nghĩa
là 0 < t1 ≤ t2 ⇔ ∆ ≥ 0, S > 0, P > 0 .

• Để ý f ( x) = 0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn:
x1 < α < x2 ⇔ ( x1 − α ) ( x2 − α ) < 0 ⇔ x1.x2 − α ( x1 + x2 ) + α 2 < 0
∆ > 0

α < x1 < x2 ⇔ x1 + x2 > 2α
 x −α x −α >0
)( 2 )
( 1

∆ > 0


x1 < x2 < α ⇔ x1 + x2 < 2α
 x −α x −α >0
)( 2 )
( 1

α < x1 < x2 < β ⇔ ∆ > 0, 2α < x1 + x2 < 2β , ( x1 − α ) ( x2 − α ) > 0,

( x1 − β ) ( x2 − β ) > 0.

Ví dụ
Ví dụ .
Cho hàm số y =

(m + 1)x2 − 2mx + 6m
. Tìm các giá trị của tham số m để hàm
x−1

số:
1. Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó;
khoảng ( 4; +∞ )

2. Đồng biến trên

Lời giải.
TXĐ: D = ¡ \ { 1}
1. Xét hai trường hợp.
4
2x − 6
và y' =

> 0 với mọi x ∈ D
x−1
(x − 1)2
Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định .
Vậy, m = −1 thỏa yêu cầu bài toán.
TH1: Khi m = −1 , ta có hàm số y =

TH2: Khi m ≠ −1 , ta có y' =

(m + 1)x2 − 2(m + 1)x − 4m
(x − 1)2

Đặt g(x) = (m + 1)x2 − 2(m + 1)x − 4m và ta có y' cùng dấu với g(x)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định
⇔ ∀x ∈ D,y' ≥ 0 ⇔ ∀x ∈ D ,g(x) ≥ 0 .
1
∆ ' = (m + 1)2 + 4m(m + 1) ≤ 0 (m + 1)(5m + 1) ≤ 0
⇔
⇔
⇔ −1< m ≤ − .
5
m > −1
m + 1 > 0

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang


Vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa yêu cầu của bài toán là


1
 −1; − 5 .


2. Theo câu trên m = −1 thỏa mãn đề bài.
Với m ≠ −1 Khi đó hàm số đồng biến trên khoảng ( 4; +∞ )
2
⇔ ∀x ∈ (4; +∞),g(x) ≥ 0 ⇔ ∀x ∈ (4; +∞), 2x − x ≤ m
x2 − 2x − 4

(do x2 − 2x − 4 > 0 ∀x ∈ (4; +∞))
Xét hàm h ( x) =

2x − x2

, khi đó (1) ⇔ ∀x ∈ (4; +∞),h(x) ≤ m ta lập bảng biến
x2 − 2x − 4
thiên của h ( x) trên (4; +∞) .
h'(x) =

8x − 8
2

(x − 2x − 4)2

> 0 ∀x ∈ (4; +∞).

2 
2

x2  − 1÷
−1
x 

x
lim h(x) = lim
= lim
= −1.
2 4
x→+∞
x→+∞ 2 
2 4  x→+∞
1
−
−
x  1− −
x x2
x x2 ÷



Dựa vào bảng biến thiên của h ( x) suy ra ∀x ∈ (4; +∞) , h(x) ≤ m ⇔ −1 ≤ m .
Vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa yêu cầu của bài toán là [−1; +∞)
.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Định m để hàm số :
2x − 1
1. y =
nghịch biến trên (2; +∞)
x− m

mx + 4
2. y =
nghịch biến trên khoảng ( −∞;1) .
x+ m
3. y =

2x2 − 3x + m
đồng biến trên khoảng (−∞; −1) .
x−1

4. y =

x2 − 2mx + 3m2
nghịch biến trên khoảng (−∞;1) .
2m − x

5. y =

x2 + 5x + m2 + 6
đồng biến trên khoảng ( 1;+∞ ) .
x+ 3

mx2 + 6x − 2
nghịch biến trên nửa khoảng 1; +∞ ) .
x+ 2
Bài 2: Định m để hàm số :
1. y = x3 + (1− 2m)x2 + (2 − m)x + m + 2 đồng biến trên khoảng (0; +∞) .
6. y =

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết

Facebook: />
Trang


2. y = x3 + 3x2 − mx − 4 đồng biến trên khoảng (−∞;0) .
3. y =

x3
− mx2 + (1− 2m)x − 1 đồng biến trên ( 1;+∞ ) .
3

4. y = x3 − (m + 1)x2 − (2m2 − 3m + 2)x + m(2m − 1) đồng biến trên  2; +∞ )
1
5. y = mx3 + 2( m − 1) x2 + ( m − 1) x − 2013 đồng biến trên khoảng ( 2;+∞ ) .
3

(

)

3
2
2
6. y = x − ( m + 1) x − 2m − 3m + 2 x + 2013m ( 2m − 1) đồng biến trên nửa

 2; +∞ )
Bài 3: Định m để hàm số :
1. y = 2x3 − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 đồng biến trên khoảng (2; +∞)
2. y = x3 + (m − 1)x2 − (2m2 + 3m + 2)x nghịch biến trên (2; +∞)
1

3. y = (m2 − 1)x3 + (m − 1)x2 − 2x + 1 (m ≠ ±1) nghịch biến trên khoảng (−∞;2) .
3
1
4. y = mx3 − (m − 1)x2 + 3(m − 2)x + 1 đồng biến trên (2; +∞) .
3
5. y = − x3 − 3x2 + mx + 4 nghịch biến trên khoảng ( 0;+∞ ) .
6. y = 2x3 − 2x2 + mx − 1 đồng biến trên khoảng ( 1;+∞ ) .

Bài toán 02: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN
KHOẢNG XÁC ĐỊNH

( α;β ) , α;β .

Phương pháp .

Ví dụ

Ví dụ : Định m để hàm số y = x3 + 3x2 + (m − 1)x + 4m nghịch biến trong

( − 1;1)

Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D = ¡
Ta có: y' = 3x2 + 6x + m − 1

Cách 1: Hàm số nghịch biến trong khoảng ( − 1;1) ⇔ y' ≤ 0 và x1 < −1 < 1 < x2
( x1 + 1) ( x2 + 1) < 0
m < 4
⇔
⇔

⇒ m < −8
m < −8
( x1 − 1) ( x2 − 1) < 0

Vậy, với m < −8 thì hàm số luôn nghịch biến trong khoảng ( − 1;1)

Cách 2: Hàm số nghịch biến trong khoảng ( − 1;1) ⇔ y' ≤ 0 , ∀x ∈ ( − 1;1) tức
là phải có: m ≥ −3x2 − 6x + 1, ∀x ∈ ( − 1;1)

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang


Xét hàm số g ( x) = −3x2 − 6x + 1, ∀x ∈ ( − 1;1) và có g'( x) = −6( x + 1)
Với ∀x ∈ ( − 1;1) ⇒ x + 1 > 0 ⇒ g'(x) < 0 , ∀x ∈ ( − 1;1)

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m ≥ g(x) với ∀x ∈ ( − 1;1) ⇔ m < −8

Vậy, với m < −8 thì hàm số luôn nghịch biến trong khoảng ( − 1;1)
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Định m để hàm số :
1. y = x4 − 2mx2 − 3m + 1 đồng biến trên khoảng (1; 2).
2. y = x3 − (m + 2)x2 + (3m + 2)x + 2 đồng biến trên đoạn  3;4
Bài 2: Tìm m để hàm số:
1
1. y = x3 + ( 2m − 1) x2 + mx + 2 nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .
3
x3
− (m + 1)x2 + (2m + 1)x + m nghịch biến trên (0;3) .

3
3. y = x3 + 3x2 − 3(m2 − 1)x + 1 đồng biến trên (1;2) .
2. y =

3
2
4. y = x – 3x + ( 2m + 1) x – 4. biến trên [ −2; −1]

5. y = x3 + 3x2 + ( m + 1) x + 4m nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .
6. y = mx3 − x2 + 3x + m − 2 đồng biến trên khoảng ( −3;0) .

Dạng 4: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn
điệu trên khoảng có độ dài k cho trước.
Phương pháp .
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’
+ Hàm số có khoảng đồng biến ( hoặc nghịch biến ) ⇔ y' = 0 có 2 nghiệm
phân biệt x1, x2 đồng thời x2 − x1 = k
Chú ý:
ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1,x2 (giả sử x1 < x2 ) thỏa
x1 =

−b − ∆
−b + ∆
, x2 =
2a
2a

⇒ x2 − x1 =

∆
2
, trong đó ∆ = b2 − 4ac x2 − x1 = k ⇔ ( x1 + x2 ) − 4x1.x2 = k2 ( a > 0
2a

)

Các ví dụ
Ví dụ 1 : Định m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trên một
khoảng có độ dài nhỏ hơn 1.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D = ¡
HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang


Ta có: y' = 3x2 + 6x + m
Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1 ⇔ y' ≤ 0 và
x1 − x2 < 1
9 − 3m > 0 m < 3
3
⇔ 2
⇒
⇒ < m< 3
4
−
4m
<
1

4
S − 4P < 1 
3
< m < 3 thì hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài nhỏ
Vậy, với
4
hơn 1
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số: y = x3 − mx2 + ( m + 36) x − 5 nghịch biến trên
khoảng có độ dài bằng 4 2 .
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên ¡ .
Ta có: y' = 3x2 − 2mx + m + 36 và ∆ ' = m2 − 3m − 108
Dễ thấy ay' = 3 > 0 , do đó hàm số đã cho không nghịch biến trên ¡ .
Nếu m < −9 hoặc m > 12 tức ∆ ' > 0 thì y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 .
Lập bảng xét dấu, ta thấy y' < 0 với x ∈ ( x1;x2 ) suy ra hàm số nghịch biến
với x ∈  x1;x2  .
Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4 2 khi x1 − x2 = 4 2 tức
2

m2 − 3m − 108
= 4 2 , bình phương hai vế và rút gọn ta được phương
3

trình: m2 − 3m − 180 = 0 ⇔ m = −12 hoặc m = 15 ( thỏa điều kiện ) .
Vậy, với m = −12 hoặc m = 15 yêu cầu bài toán được thỏa mãn.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Định m để hàm số :
1. y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 1
2. y = −2x3 + 3mx2 − 1 đồng biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 1

(

)

2 3 m−1 2
x +
x − m2 + m x − 1nghịch biến trên khoảng có độ dài là 3
3
2
Bài 2: Định m để hàm số :
1. y = −x3 + 3x2 + (m − 1)x + 2m − 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ
hơn 1
Bài 3: Tìm m để hàm số:
3. y =

1. y = ( m + 1) x3 − 3( m + 1) x2 + 2mx + 4 đồng biến trên khoảng có độ dài không
nhỏ hơn 1.

2. y = x3 − mx2 + ( m + 36) x − 5 nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4 2 .
HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang


3. y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 2 2

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />
Trang