TẬP ĐỀ THI HSG TỈNH TOÁN 10

Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh nghệ an môn toán lớp 10
(từ 1992-1993 đến 2005-2006)
Đề số 1 (Năm học 1992-1993)
Bài 1: Cho a, b, c, d nguyên, thoả mãn hệ thức:



=+
+=+
cd1ab
dcba
Chứng minh rằng: c = d.
Bài 2: Chứng minh:
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2
2
1x2dcxxbaxx
++++++
Với mọi a, b, c, d thoả mãn điều kiện
1dcba
2222
=+++
.
Bài 3: Cho
1021
a,..a,a
là các số thực dơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( )
92110
2
10
2
2
2
1
a...aaa
a...aa
P
+++
+++
=
.
Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ, cho các điểm A(-2; -1), B(2; -4).
a) Tìm điểm C trên Ox sao cho các véc tơ
CB,OA
cùng phơng?
b) Tìm trên đờng thẳng x = 1 điểm M sao cho
0
45MBA
=
.
Đề số 2 (Năm học 1993-1994)
Bài 1: Cho phơng trình:
k5xx4
=++
.
a) Giải phơng trình với k = 3.

b) Tìm các giá trị của k để phơng trình có nghiệm duy nhất.
Bài 2: Xác định các số thực a, b thoả mãn các điều kiện sau:
i) Hai phơng trình
01axx
2
=++
và
02bxx
2
=++
có một nghiệm chung.
ii) Tổng
ba
+
nhỏ nhất.
Bài 3: Tìm nghiệm hữu tỷ của phơng trình:
05x2x3y
22
=+
Bài 4: Cho tam giác ABC: A(-1; 2), B(2; 1), C(-3;-3).
a) Xác định toạ độ điểm M thỏa mãn:
0MC4MB3MA2
=+
.
b) Tìm tập hợp điểm N sao cho:
222
NC2NBNA
=+
.
Đề số 3 (Năm học 1994 1995)

Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh nghệ an môn toán lớp 10
(từ 1992-1993 đến 2005-2006)
Bài 1: a) Chứng minh:
( )
71923
189019451930
592

+
b) Đơn giản biểu thức:
xsin1
xsin1
.
xcos1
xcos1
xcos1
xcos.xsin
A

+

+
+
=
(với
00
180x0
<<
)
Bài 2: Cho hàm số

1x68x1x2x)x(f
++=
a) Tìm tập xác định D của hàm số.
b) Tìm các giá trị xD sao cho f(x) là hằng số.
Bài 3: a) cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c. Tìm phơng tích của trọng tâm G của tam
giác đối với đờng tròn ngoại tiếp tam giác ấy.
b) Giả sử đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lợt
tại M, N, P thoả mãn
0CMBPAN
=++
. Chứng minh tam giác ABC đều.
Đề số 4 (Năm học 1995-1996)
Bài 1: Giải hệ phơng trình sau với các ẩn số x, y, z:





=++
=++
=++
8zyx
6zyx
2zyx
333
222
Bài 2: a) Cho
1cbaRc,b,a
=++
+

và
. Chứng minh rằng:
6accbba
+++++
b) Gọi
21
x,x
là nghiệm của hệ:





>
=+
=
0,
1xx
0xx
21
21
.Chứng minh rằng:
4
1
x.x
21

Bài 3: Cho tam giác ABC.
a) Tìm tập hợp các điểm I thoả mãn hệ thức:
0IC6IB3IA

=+
.
b) Cho 2 điểm E và F di động trong mặt phẳng thoả mãn điều kiện:
EC2EBEA
3
1
EF
+=
.
Tìm bao hình của đờng thẳng EF.
Bài 4: Cho đờng tròn tâm O bán kính R và một điểm K cố định nằm trong đờng tròn với
OK = k 0. Qua điểm K dựng dây cung AB nào đó. Hãy xác định vị trí dây cung AB trong
mỗi trờng hợp sau:
a) Tổng
22
KBKA
+
đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó.
b) Tổng
22
KBKA
+
đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó.
Đề số 5 (Năm học 1996-1997)
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh nghệ an môn toán lớp 10
(từ 1992-1993 đến 2005-2006)
Bài 1: Giải hệ phơng trình:

=
+


=
+
+
+
0
yx
x3y
y
3
yx
y3x
x
22
22
Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức:
1n,n;2
n
n
1
n
n

1
n
n
n
n
><++ Z
.
Bài 3: Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC có thể tính theo công thức:
( )( ) ( )( )
BABCBCBA
yyxxyyxx
2
1
S
=
.
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn (O;R). M là điểm chuyển động trên O.
Tìm vị trí của điểm M để biểu thức:
222
MC3MB2MAT
+=
đạt giá trị bé nhất, đạt
giá trị lớn nhất. Tính các giá trị đó.
Đề số 6 (Năm học 1997 1998)
Bài 1: a) Cho
{ } { }
43x/RxB;32x/RxA
=<+=
.
Tìm

BA;BA
?
b) Cho tập hợp 6 điểm trên mặt phẳng
{ }
654321
A;A;A;A;A;A
trong đó không có 3
điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn
ji
AA
nối 2 trong 6 điểm đó đợc tô bằng màu đỏ
hoặc xanh. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác
kji
AAA
có 3 cạnh đồng
màu.
Bài 2: Cho phơng trình:
01mx4x
2
=+++
a).Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm âm.
b).Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
21
xx
<
thoả mãn:
7
x
x
x

x
2
1
2
2
2
2
2
1
+
c).Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
53
)x2(x)x(f
=
trên [0; 2].
Bài 3: a) Cho ABC. Chứng minh:
Asin
Ccos
Csin
Bcos
Bsin
Acos
CgcotBgcotAgcot
3
3
3
3
3
3
333

++++
b) Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A, B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB
dựng 2 hình vuông AMNP và MBQR. Chứng minh:
BNAR

.
Đề số 7 (Năm học 1998 1999)
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh nghệ an môn toán lớp 10
(từ 1992-1993 đến 2005-2006)
Bảng A
Bài 1: Chứng minh rằng nếu phơng trình:
( ) ( ) ( )
2
222
cbyaxyx
=+++++
có nghiệm thì bất đẳng
thức sau đúng:
( )
2
2
bac3
+
.
Bài 2: Cho hàm số:
**
:f
+

QN

thoả mãn điều kiện:
2)1(f
=
và
1n)n(fn)n(f...)2(f)1(f
2
>=+++
.
Hãy tìm công thức đơn giản của
)n(f
?
Bài 3: Giải phơng trình:
20xx1x59x14x5
22
++=++
.
Bài 4: a) Cho n véc tơ
n21
a,...,a,a
đôi một không cộng tuyến. Trong đó tổng (n-1) véc tơ
bất trong n véc tơ cộng tuyến với véc tơ còn lại.
Chứng minh rằng:
0a...aaa
n21
=+++=
.
(Hai véc tơ cộng tuyến là 2 véc tơ nằm trên hai đờng thẳng song song hoặc trùng
nhau).
b) Cho ABC, AM và BN là hai trung tuyến. Chứng minh rằng:
2 1 1

tan tan tan
AM BN
C A B
= +
.
Đề số 8 (Năm học 1998-1999)
Bảng B
Bài 1: Cho x, y là các số thực thoả mãn: x, y > 0; x+y 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
xy4
xy
2
yx
1
P
22
++
+
=
.
Bài 2: (Bài 2 bảng A).
Bài 3: Giải phơng trình:
21xx1xx
2
4
2
=++
.
Bài 4: a) Cho O là điểm bất kỳ trong ABC. Chứng minh:
0OC.SOB.SOA.S

AOBAOCBOC
=++
b) Cho ABC (BC=a, CA=b, AB=c).
Chứng minh rằng: Nếu a+b <3c thì:
1
tan .tan
2 2 2
A B
<
.
Đề số 9 (Năm học 1999-2000)
Bài 1: Cho
)3,2,1i(,b,a
ii
=
R
.
a) Chứng minh rằng:
( )( )
( )
2
332211
2
3
2
2
2
1
2
3

2
2
2
1
babababbbaaa
++++++
b) Giả sử
.4aaaaaa
133221
=++
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh nghệ an môn toán lớp 10
(từ 1992-1993 đến 2005-2006)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4
3
4
2
4
1
aaaP
++=
.
Bài 2: a) Giải hệ phơng trình:

=
+
=
+
=
+
3
zy
yz
2
zx
xz
1
yx
xy
b) Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thoả mãn phơng trình:
0z9y3x
333
=
Bài 3: a) Cho
0b,0a

.Chứng minh rằng:
( )
b,acos.b.ab.a
=
b) Chứng minh rằng trong tam giác ABC có các trung tuyến ứng với các cạnh AB và
BC vuông góc thì

5
4
Bcos

.
c) Cho ABC không cân, đờng tròn tâm O nội tiếp trong tam giác ABC tiếp xúc với
các cạnh BC, CA, AB tơng ứng ở A
1
, B
1
, C
1
. Gọi M là giao điểm của BC và B
1
C
1
.
Chứng minh rằng: MO vuông góc với AA
1
.
Đề số 10 (Năm học 2000-2001)
Bài 1: a) Tìm giá trị của m để phơng trình:
0m1mxx
22
=++

có nghiệm
]1;1[x

.

c) Cho hệ phơng trình:









=++
=++
=++
=++

1n
2
n
n1n
2
1n
32
2
2
21
2
1
xcbxax
xcbxax
............................

xcbxax
xcbxax
Tìm điều kiện đối với a, b, c để hệ trên:
- vô nghiệm.
- có nghiệm duy nhất.
Bài 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (a;b) để phơng trình
0baabxx
2
=++
có nghiệm nguyên.
Bài 3: a) Cho ABC và 3 điểm A, B, C là trung điểm các cạnh BC, CA, AB.
Tính giá trị biểu thức
'CC.AB'BB.CA'AA.BCS
++=