97 câu số phức từ các đề thi thử trường chuyên 2018

Câu 1: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là
1 + 2i ?

A. z 2 − 2z + 3 = 0

B. z 2 + 2z + 5 = 0

C. z 2 − 2z + 5 = 0

D. z 2 + 2z + 3 = 0

Đáp án C
Phương pháp:
Cách 1: Giải các phương trình bậc hai ẩn z ở các đáp án, đáp án nào có nghiệm z = 1 + 2i
thì chọn đáp án đó.
Cách 2: Thay nghiệm z = 1 + 2i vào các phương trình ở các đáp án. Đáp án nào thỏa mãn
thì chọn đáp án đó.
Cách giải:
+) Xét phương trình: z 2 − 2z + 3 = 0 ⇔ z 2 − 2z + 1 + 2 = 0 ⇔ ( z − 1) = −2 ⇔ ( z − 1) = 2i 2
2

 z − 1 = 2i
 z = 1 + 2i
⇔ z − 1 = 2i ⇔ 
⇔
⇒ loại đáp án A.
 z − 1 = − 2i
 z = 1 − 2i
+) Xét phương trình: z 2 + 2z + 5 = 0 ⇔ z 2 + 2z + 4 + 1 = 0 ⇔ ( z + 2 ) = −1 = i 2
2

z + 2 = i
 z = −2 + i
⇔ z+2 =i ⇔ 
⇔
⇒ loại đáp án B.
 z + 2 = −i
 z = −2 − i
+) Xét phương trình: z 2 − 2z + 5 = 0 ⇔ z 2 − 2z + 1 + 4 = 0 ⇔ ( z − 1) = −4 = −4i 2
2

 z − 1 = 2i
 z = 1 + 2i
⇔ z − 1 = 2i ⇔ 
⇔
⇒ chọn đáp án C
 z − 1 = −2i
 z = 1 − 2i
Câu 2: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Trong hình vẽ bên, điểm M biểu
diễn số phức z. Số phức z là:
A. 2 − i
B. 1 + 2i
C. 1 − 2i
D. 2 + i
Đáp án A
Phương pháp:

2


Cho điểm M ( a; b ) biểu diễn số phức z ⇒ z = a + bi ⇒ z = a − bi

Cách giải:
Ta có M ( 2;1) biểu diễn số phức z ⇒ z = 2 + i ⇒ z = 2 − i
Câu 3: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho số phức z = a + bi (a,b là các số thực) thỏa mãn
z. z + 2z + i = 0. Tính giá trị của biểu thức T = a + b 2 .
A. T = 4 3 − 2.
B. T = 3 + 2 2.
C. T = 3 − 2 2.
D. T = 4 + 2 3.
Đáp án C.
Phương pháp giải: Lấy môđun hai vế để tìm
Lời giải: Ta có z. z + 2z + i = 0 ⇔ ( z + 2 ) z = −i.
Lấy môđun 2 vế, ta được ( z + 2 ) z = −i = 1.
2

z + 2 z − 1 = 0 ⇔ z = −1 + 2 ⇒ z = −
2

i
−1 + 2 +2

=

(

thế ngược lại để tìm số phức z

i
z +2

⇔ z + 2 z − 1 = 0 ⇔ z = −1 + 2 ⇒ z = −

⇔z =−

z,

i
z +2


−i
a =0
= 1 − 2 i ⇒
.
1+ 2

b =1 − 2

Vậy T = a + b 2 = 0 + 1 − 2

(

)

2

)

= 3 − 2 2.

Câu 4: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình
z 2 + 6z + 13 = 0 trong đó z1 là số phức có phần ảo âm. Tìm số phức ω = z1 + 2z 2 .

A. ω=9 +2i.
B. ω = −9 + 2i.
C. ω = −9 − 2i.
D. ω=9 −2i.
Đáp án B.
Phương pháp giải: Giải phương trình bậc hai tìm nghiệm phức
Lời giải:
Ta có
Vậy

z =−3 −2i
2
2
z 2 +6z +13 = 0 ⇔z 2 +6z +9 =−4 ⇔( z +3 ) = ( 2i ) ⇔ 1
.
z 2 =−3 +2i

ω = z1 + 2z 2 = −2 − 2i + 2 ( −3 + 2i ) = −9 + 2i.

Câu 5: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho số phức z = 3 + 2i. Tính
A. z = 5.
B. z = 13.
C. z =5.
Đáp án B.
Phương pháp giải: Số phức z = a + bi có môđun là
Lời giải: Ta có z =3 +2i ⇒ z = 32 +2 2 = 13.

z.

D.

z = 13.

z = a 2 + b2

Câu 6: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn
iz 2 − 1 + 2i = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 2iz1 + 3z 2 .
A. 313 + 16.
B. 313.
C. 313 + 8.
Đáp án A.

z1 − 3i + 5 = 2

D.

và

313 + 2 5.


Phương pháp giải:
Đưa về biện luận vị trí giữa hai điểm thuộc đường tròn để khoảng cách của chúng lớn
nhất
Lời giải:
Ta có z1 − 3i + 5 = 2 ⇔ 2i ( z1 − 3i + 5) = 2. 2i ⇔ 2iz1 + 6 + 10i = 4.
Và

iz 2 − 1 + 2i = 4 ⇔ z 2 −

1 − 2i
= 4 ⇔ z 2 + 2 + i = 4 ⇔ −3z 2 − 6 − 3i = 12.
i

 u + 6 + 10i = 4
 u = 2iz1
⇒
Đặt 
và T = 2iz1 +3z 2 = 2iz1 −( −3z 2 ) = u −v .
v
=
−
3z
v
−
6
−
3i
=
12

2

2
2
Tập hợp điểm M biểu diễn số phức u là đường tròn ( x +6 ) +( y +10 ) =16 tâm
I1 ( −6; −10 ) , R 1 = 4.
2
2
Tập hợp điểm N biểu diễn số phức v là đường tròn ( x −6 ) +( y −3 )

R 2 = 12.

=144

tâm I2 ( 6;3) ,

Khi đó T = MN max ⇔ MN = I1I 2 + R1 + R 2 = 12 2 + 12 2 + 4 + 12 = 313 + 16.
Câu 7: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Cho số phức z thỏa mãn z ( 2 − i ) + 13i = 1. Tính
môđun của số phức z
A. z = 34

B. z =

5 34
3

34
D. z = 34
3

C. z =

Đáp án D
Phương pháp giải:
Tìm số phức z bằng phép chia số phức, sau đó tính môđun hoặc bấm máy tính
1 − 13i
= 3 + 5i ⇒ z = 34
Lời giải: Ta có z ( 2 − i ) = 1 − 13i ⇔ z =
2−i
Câu 8: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡

(

)

thỏa mãn z − 2 = z

)

và ( z + 1) z − i là số thực. Giá trị của biểu thức S = a + 2b bằng bao nhiêu?
A. S = −1
B. S = 1
C. S = 0
D. S = −3
Đáp án D
Phương pháp giải:
Đặt z = a + bi, thực hiện yêu cầu bài toán, chú ý số phức là số thực khi phần ảo bằng 0
Lời giải:
Ta có z − 2 = z ⇔ a + bi − 2 = a + bi ⇔ ( a − 2 ) + b 2 = a 2 + b 2 ⇔ a = 1
2

(

)

2
Khi đó z = 1 + bi ⇒ z = 1 − bi ⇒ ( z + 1) z − i = ( 2 + bi ) 1 − ( b + 1) i  = b + b + 2 − ( b + 2 ) i

là số thực.
Khi và chỉ khi b + 2 = 0 ⇔ b = −2

Vậy S = a + 2b = −3
Câu 9: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết z1 = w + 2i


và z 2 = 2w − 3 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + az + b = 0 . Tìm giá trị
T = z1 + z 2
A. T =

2 97
3

B. T =

2 85
3

C. T = 2 13

D. T = 4 13

Đáp án A
Phương pháp giải:
Đặt số phức w, biến đổi về z và sử dụng hệ thức Viet cho phương trình bậc hai
Lời giải:
 z1 = w + 2i = m + ( n + 2 ) i
suy ra 
 z 2 = 2w − 3 = 2m − 3 + 2ni
3n + 2 = 0
2
⇔n=−

Ta có z1 + z 2 = 3m − 3 + ( 3n + 2 ) i = −a là số thực ⇒ 
3
3m − 3 ≠ 0
Đặt w = m + ni ( m, n ∈ ¡

)

4

 z1 = m + 3 i
⇒
 z = 2m − 3 + 4 i
 2
3
4 
4 
16  4


2
Lại có z1.z 2 =  m + i ÷ 2m − 3 + i ÷ = 2m − 3m + +  m − 4 ÷ = b là số thực
3 
3 
3 3


4
m−4=0⇔ m =3
3
4


 z1 = 3 + 3 i
2 97

→ T = z1 + z 2 =
Vậy 
3
z = 3 − 4 i
2

3
⇒

Câu 10: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Cho số phức z thỏa mãn z = 1. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức T = z + 1 + 2 z − 1
A. max T = 2 5

B. max T = 3 5

C. max T = 2 10

Đáp án A
Phương pháp giải:
Gọi số phức, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm giá trị lớn nhất
Lời giải:
Cách 1. Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ M ( x; y )
Và A(−1;0), B ( 1;0 ) .
2
2
Ta có z = 1 ⇒ x + yi = 1 ⇔ x + y = 1

D. max T = 3 2


⇒ M thuộc đường tròn đường kính AB
MA 2 + MB2 = AB2 = 4.
Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có

(1

T = MA + 2MB =

2

+ 22 ) ( MA 2 + MB2 ) AB2 = 5.4 = 2 5

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức max T = 2 5
Cách 2. Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ z + 1 =

( x + 1)

2

+ y 2 và z − 1 =

( x − 1)

2

+ y2

Mặt khác z = 1 ⇔ x 2 + y 2 = 1 ⇔ x 2 + y 2 = 1, khi đó
T=

( x − 1)

⇔T≤

(1

2

2

+ y2 + 2

( x − 1)

2

+ y2

+ 22 ) ( x − 1) + y 2 + ( x − 1) + y 2  = 10 ( x 2 + y 2 + 1) = 2 5 ⇒


2

2

max T = 2 5

Câu 11: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Cho số phức z thỏa mãn z ( 1 − 2i ) + zi = 15 + i. Tìm
môđun của số phức z
A. z = 5
B. z = 4
C. z = 2 5
D. z = 2 3
Đáp án A
Phương pháp
Gọi z = a + bi ⇒ z = a − bi. Sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau.
Cách giải
z = a + bi ( a, b ∈ ¡

)

⇒ ( a + bi ) ( 1 − 2i ) + ( a − bi ) i = 15 + i
⇔ 2 − 2ai + bi + 2b + ai + b = 15 + i
 2a + 2b + b = 15
a = 3
⇔
⇔
⇒ z = a + bi ⇒ z = 32 + 4 2 = 5
 −2a + b + a = 1
b = 4
Câu 12: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương
7 − 4i
trình z 2 − 2z + 5 = 0. Tìm tọa độ điểm biểu diễn cho số phức
trong mặt phẳng
z1
phức?

A. P ( 3; 2 )
B. N ( 1; 2 )
C. Q ( 3; −2 )
D. M ( 1; 2 )
Đáp án A
Phương pháp


+) Tìm z1 bằng cách giải phương trình z 2 − 2z + 5 = 0.
+) Thay z1 vừa tìm được tính

7 − 4i
z1

+) Số phức z = a + bi có điểm biểu diễn là M ( a; b )
Cách giải
 z = 1 + 2i
7 − 4i 7 − 4i
z 2 − 2z + 5 = 0 ⇔ 
⇒ z1 = 1 − 2i ⇒
=
= 3 + 2i
z1
1 − 2i
 z = 1 − 2i
Câu 13: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số
phức z.

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Phần thực là 3, phần ảo là 2

B. Phần thực là 3, phần ảo là 2i
C. Phần thực là -3, phần ảo là 2i
D. Phần thực là -3, phần ảo là 2
Đáp án A
Phương pháp
Điểm M ( a; b ) là điểm biểu diễn cho số phức z = a + bi, có phần thực là a và phần ảo là
b.
Cách giải
A(3; 2) là điểm biểu diễn cho số phức z = 3 + 2i, có phần thực là 3, phần ảo là 2.
Câu 14: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Cho số phức thỏa mãn
( 1 + i ) z + 2 + ( 1 + i ) z − 2 = 4 2. Gọi m = max z ; n = min z và số phức w = m + ni.
Tính w

2018

A. 41009
Đáp án C

B. 51009

C. 61009

D. 21009


Phương pháp
Chia cả 2 vế cho 1 + i và suy ra đường biểu diễn của số phức z
Cách giải
2
2

4 2
+ z−
=
⇔ z + 1 − i + z −1 + i = 4
1+ i
1+ i 1+ i
⇒ Tập hợp các điểm z là elip có độ dài trục lớn là 2a = 4 ⇒ a = 2 và hai tiêu điểm

( 1+ i) z + 2 + ( 1+ i) z − 2 = 4

2 ⇔ z+

F1 ( 1; −1) ; F2 ( −1;1) ⇒ c = 2 ⇒ b = a 2 − c 2 = 2
m = max z = 2; n = min z = 2
⇒ w = 2 + 2i ⇒ w = 6 ⇒ w

2018

= 61009

Câu 15: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho số phức z = a + bi với a, b là các
số thực bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Phần ảo của z là bi.
B. Môđun của z 2 bằng a 2 + b 2 .
C. z − z không phải là số thưc.
D. Số z và z có môdun khác nhau
Đáp án B
Đáp án A. Phần ảo của số phức z là b nên A sai.
2

Đáp án B. Ta có z 2 = z =

(

a2 + b2

)

2

= a 2 + b 2 nên B đúng.

Đáp án C. Ta có z = a + bi ⇒ z = a − bi ⇒ z − z = 2bi là số thực khi b = 0 nên C sai.
Đáp án D. Ta có z = a + bi ⇒ z = a − bi ⇒ z = z = a 2 + b 2 nên D sai.
Câu 16: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho các số phức z1 = 3 + 2i, z2 = 3 − 2i
. Phương trình bậc hai có hai nghiệm z1 và z2 là:
A. z 2 − 6 z + 13 = 0
B. z 2 + 6 z + 13 = 0
2
C. z + 6 z − 13 = 0
D. z 2 − 6 z − 13 = 0
Đáp án A
 z1 + z2 = 6
⇒ z 2 − 6z + 13 = 0.
Ta có 
 z1z2 = 13
Câu 17: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Cho số phức z. Gọi A, B lần lượt là các
điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn các số phức z và ( 1 + i ) z . Tính z biết diện tích tam
giác OAB bằng 8.
A. z = 2 2.

B. z = 4 2
C. z = 2
D. z = 4
Đáp án D
HD: Ta có OB = ( 1 + i ) z = 2 z ; AB = ( 1 + i ) z − z = z
2

Suy ra ∆OAB vuông cân tại A ⇒ SOAB

AB 2 z
=
=
= 8 ⇒ z = 4 . Chọn D.
2
2


Câu 18: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho các số phức w, z thỏa mãn
3 5
và 5w = ( 2 + i ) ( z − 4 ) . Giá trị lớn nhất của biểu thức
w+i =
5
P = z − 1 − 2i + z − 5 − 2i bằng
A. 6 7 B. 4 + 2 13 C. 2 53
D. 4 13
Đáp án C
HD: Ta có 5w = ( 2 + i ) ( z − 4 ) ⇔ 5w + 5i = ( 2 + i ) z − 8 + i ⇔ 5 w + i = ( 2 + i ) z − 8 + i

⇔ ( 2 + i) z − 8 + i = 3 5 ⇔ 2 + i . z −

8−i
8−i
=3 5 ⇔ z−
= 3 ⇔ z − 3 + 2i = 3
2+i
2+i

⇒ Tập hợp điểm M ( z ) là đường tròn ( C ) : ( x − 3) + ( y + 2 ) = 9, tâm I ( 3; −2 ) , R = 3.
2

2

Gọi A ( 1; 2 ) , B ( 5; 2 ) và E ( 3; 2 ) là trung điểm của AB suy ra P = MA + MB.

2
2
2
2
Lại có ( MA + MB ) ≤ 2 ( MA + MB ) = 4.ME + AB ⇒ P lớn nhất ⇔ ME lớn nhất.
2

→ MEmax = IE + R = 7. Vậy Pmax = 4.ME 2 + AB 2 = 2 53.
Mà IE = 4 > R = 3 
Câu 19: (Chuyên Hạ Long – Lần 3)Cho số phức z = 2 + 4i . Tính hiệu phần thực và
phần ảo của z .
A. 2 .
B. 2 5 .
C. −2 .
D. 6 .
Đáp án C

Câu 20: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Cho biết có hai số phức z thỏa mãn
2
z 2 = 119 − 120i , kí hiệu là z1 và z2 . Tính z1 − z2 .
A. 169 .
B. 114244 .
C. 338 .
D. 676 .
Đáp án D
Đặt: z = x + yi
⇒ z 2 = x 2 − y 2 + 2 xyi = 119 − 120i
 60  2
 − ÷ − y 2 = 119
2
2
 x − y = 119  y 
⇒
⇒
2 xy = −120
 x = − 60

y

Câu 21: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Cho w là số phức thay đổi thỏa mãn w = 2 .
Trong mặt phẳng phức, các điểm biểu diễn số phức z = 3w + 1 − 2i chạy trên đường nào?
A. Đường tròn tâm I ( 1; −2 ) , bán kính R = 6 . B. Đường tròn tâm I ( −1; 2 ) , bán kính
R =2.
C. Đường tròn tâm I ( 1; −2 ) , bán kính R = 2 . D. Đường tròn tâm I ( −1; 2 ) , bán kính
R=6.
Đáp án A

Ta có: w = 2; z = x + yi
Xét: z = 3w + 1 − 2i ⇔ z − 1 + 2i = 3w ⇒ z − 1 + 2i = 3 w = 6
⇔ ( x − 1) + ( y + 2 ) = 36 ⇒ I ( 1; −2 ) ; R = 6 .
2

2

Câu 22: (Chuyên Hạ Long – Lần 3)Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn

 z1 = z 2 = z3 = 1
 2
. Tính giá trị của biểu thức M= z2 − z3 − z3 − z1 .
 z1 = z2 .z3

z −z = 6+ 2
 1 2
2
6 + 2 −2
− 6− 2+2
A. − 6 − 2 − 3 .
B. − 6 − 2 + 3 .
C.
.
D.
.
2
2
Đáp án D


 z1 = z2 = z3 = 1
 2
. Tính M = z2 − z3 − z3 − z1
 z1 = z2 .z3

z −z = 6+ 2
 1 2
2
Cách 1: Đại số
2
Ta có: z1 − z2 = z1 z1 − z2 = z1 − z1 z2 = z2 .z3 − z1.z2
6+ 2
6+ 2
(1)
⇒ z3 − z1 =
2
2
2
2
2
Ta lại có: z1 = z2 .z3 ⇔ z1 − z3 = z3 ( z2 − z3 )
= z2 z3 − z1 =

⇒ z12 − z32 = z3 z2 − z3 ⇔ z1 + z3 z1 − z3 = z2 − z3 (2)

(

2

Tính chất: 2 z1 + z3

Từ (1) ⇒ z1 + z3 =

2

) = z +z
1

2
3

+ z1 − z3

2

6− 2
. Thế vào (2) ta được: z − z =
2
3
2

(

6+ 2

)(

6− 2

4

(3)
Từ (1) và (3): M = 1 −

6 + 2 − 6 − 2 −2
.
=
2
2

Cách 2: Hình học
Ta có: z1 − z2 = z1 z1 − z2 = ... = z2 z3 − z1 ⇒ z3 − z1 =

6+ 2
= M 1M 3 (1)
2

) =1


Gọi M 1 , M 2 , M 3 là 3 điểm biểu diễn z1 , z2 , z3
· M O = 150
Dễ dàng có: M
2

1

· M M = 300
⇒M
2
1

2
·
⇒ M OM = 600
2

3

⇒ ∆OM 2 M 3 đều
M 2 M 3 = z2 − z3 = 1 (2)
6 + 2 − 6 − 2 −2
.
=
2
2
Cách 3: Chuẩn hóa chọn z1 = 1 .
Từ (1) và (2): M = 1 −

Câu 23: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3)Cho số phức z = 3 + i. Tính z
A. z = 2 2

B. z = 2

C. z = 4

D. z = 10

Đáp án D
z = 3 + i ⇒ z = 3 − i ⇒ z = 10

Câu 24: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Điểm M trong hình vẽ dưới đây biểu thị cho

số phức


A. 3 − 2i
C. 2 − 3i
Đáp án B

B. −2 + 3i
D. 3 + 2i

Dựa vào hình vẽ ta thấy M biểu thị cho số phức −2 + 3i
Câu 25: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Cho z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương
trình 2z 2 + 1 = 0 (trong đó số phức z1 có phần ảo âm). Tính z1 + 3z 2
A. z1 + 3z 2 = 2.i
Đáp án A

B. z1 + 3z 2 = − 2

Hai nghiệm của phương trình 2z 2 + 1 = 0 là z1 =

C. z1 + 3z 2 = − 2.i

D. z1 + 3z 2 = 2

− 2
2
i, z 2 =
i (do z1 có phần ảo âm).
2
2

Vậy z1 + 3z 2 = 2.i
Câu 26: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Có bao nhiêu số phức thỏa mãn
3
2
z + z .i − 1 − i = 0
4
A. 1
B. 3
C. 2
D. 0
Đáp án A
Đăt z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) . Thay vào biểu thức của bài toán ta có:
3
1
−1
2
÷i = 0 ⇒ a = 1; b + b + = 0 ⇒ a = 1, b =
4
4
2

Vậy chỉ có đúng một số phức thỏa mãn bài toán

( a − 1) +  a 2 + b 2 + b −

Câu 27: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Cho số phức z = 1 + i. Biết rằng tồn tại các số
phức z1 = a + 5i, z 2 = b (trong đó a, b ∈ ¡ , b > 1) thỏa mãn 3 z − z1 = 3 z − z 2 = z1 − z 2 . Tính
b−a
A. b − a = 5 3

B. b − a = 2 3
C. b − a = 4 3
D. b − a = 3 3
Đáp án D
Đặt M ( 1;1) , N ( a;5 ) , P ( b;0 ) ( b > 1) lần lượt là các điểm biểu thị cho các số phức z, z1 , z 2
uuuu
r
uuur
Vậy MN = ( a − 1; 4 ) , MP = ( b − 1; −1)
·
Từ giả thiết cho ta tam giác MNP cân tại M có NMP
= 120°
Vậy
uuuu
r uuur
 MN = MP
( a − 1) 2 + 16 = ( b − 1) 2 + 1
2
2

uuuu
r uuur

( a − 1) − ( b − 1) = −15
( 1)

MN.MP ⇒  −1 ( a − 1) ( b − 1) − 4 ⇔ 
2
=
cos120

°
=
u
u
u
u
r
u
u
u
r
a
−
1
+
2
a
−
1
b
−
1
=
−
8
)
( )(
)

2

(
2
MN . MP
( a − 1) + 16




 x 2 − y 2 = −15 ( 1)
⇒ 7x 2 + 30xy + 8y 2 = 0 (nhân chéo
Đặt x = a − 1, y = b − 1( y > 0 ) ⇒  2
 x + 2xy = −8 ( 2 )
vế với vế của hai phương trình).
−2

y
−2
x =
y thỏa mãn. Lúc này do
7 . Thay vào (1) thì thấy chỉ có x =
Tìm được 
7
 x = −4y
49
y2 = .
3
7
−2
,x =
. Vậy b − a = y − x = 3 3

Do y > 0 ⇒ y =
3
3
1
Câu 28: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Phần ảo của số phức
là
1+ i
1
1
1
A. .
B. − .
C. − i.
D. −1.
2
2
2
Đáp án B
Câu 29: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Cho phức z thỏa z − z = −2 − 4i .
Môđun của z là
A. 3.
B. 25.
C. 5.
D. 4.
Đáp án C
Câu 30: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng
thời hai điều kiện sau: z − 10 + 2i = z + 2 − 14i và z − 1 − 10i = 5 ?
A. Vô số.
B. Một
C. Không.

D. Hai.
Đáp án B
Gọi M ( x; y ) biểu diễn cho z, ta có hệ
3 x − 4 y + 12 = 0

2
2
( x − 1) + ( y − 10) = 25
Để ý đường thẳng 3 x − 4 y + 12 = 0 tiếp xúc với đường tròn ( x − 1) 2 + ( y − 10) 2 = 25 , nên
chỉ có một số phức.
Câu 31: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Cho số phức z thỏa điều kiện
z + 2 = z + 2i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = z − 1 − 2i + z − 3 − 4i + z − 5 − 6i
được viết dưới dạng (a + b 17) / 2 với a, b là các hữu tỉ. Giá trị của a + b là
A. 4.
B. 2.
C. 7.
D. 3.
Đáp án D


Cách 1
• Đặt E (−2;0), F (0; −2), A(1; 2), B (3; 4), C (5;6), M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z.
• Từ giả thiết, ta có M thuộc đường trung trực ∆ : y = x của đoạn EF và
P = AM + BM + CM
• Ta chứng minh điểm M chính là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng ∆ .
- Với M’ tùy ý thuộc ∆ , M’ khác M. Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua ∆ .
Nhận thấy rằng ba điểm A’, M, C thẳng hàng.
- Ta có AM '+ BM '+ CM ' = A ' M '+ BM '+ CM '
Mà A ' M '+ CM ' > A ' C = A ' M + CM = AM + CM

Lại có B ' M > BM . Do đó AM '+ BM '+ CM ' > AM + BM + CM
Cách 2
• Gọi z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ). Từ giả thiết z + 2 = z + 2i , dẫn đến y = x . Khi đó
z = x + xi
•

P = ( x − 1)2 + ( x − 2) 2 + ( x − 3) 2 + ( x − 4)2 + ( x − 5) 2 + ( x − 6) 2

•

Sử dụng bất đẳng thức

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ (a + c) 2 + (b + d ) 2
a b
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = . Ta có
c d
( x − 1) 2 + ( x − 2) 2 + ( x − 5) 2 + ( x − 6) 2 = ( x − 1) 2 + ( x − 2) 2 + (5 − x) 2 + (6 − x) 2
≥ ( x − 1 + 6 − x) 2 + ( x − 2 + 5 − x) 2
≥ 34.
x −1 x − 2
7
=
⇔x=
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
6− x 5− x
2

•

•

2

7 1
1

( x − 3) 2 + ( x − 4) 2 = 2 x 2 − 14 x + 25 = 2  x − ÷ + ≥
2 4
2

7
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x =
2
1 + 2 17
Từ hai trường hợp trên, ta thấy, giá trị nhỏ nhất của P là
. Khi đó
2
Mặt khác


a + b = 3.
Câu 32: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Gọi z1 , z 2 , z 3 , z 4 là bốn nghiệm phân biệt của
phương trình z 4 + 3z 2 + 4 = 0 trên tập số phức. Tính giá trị của biểu thức
2

2

2

2

T = z1 + z 2 + z 3 + z 4
A. T = 8
B. T = 6
Đáp án A

3
t = − +
2
2
2
Đặt t = z ⇒ t + 3t − 4 = 0 ⇔ 

3
t = − −

2

C. T = 4

D. T = 2

7
i
2
7
i
2

3

7
3
7
2
2
2
2
i +2 − −
i =8
Vật T = z1 + z 2 + z 3 + z 4 = 2 − +
2 2
2 2
Câu 33: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Cho số phức z = ( 1 + i ) ( 1 + 2i ) . Số phức z có phần
ảo là
A. 2
B. 4
C. −2
D. 2i
Đáp án A
2

z = ( 1 + i ) ( 1 + 2i ) = −4 + 2i ⇒ z có phần ảo là 2.
2

Câu 34: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Cho các số phức z, w thỏa mãn
z − 5 + 3i = 3, iw + 4 + 2i = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 3iz + 2w
A. 554 + 5
Đáp án D

B.

578 + 13

C.

578 + 5

D.

554 + 13

3iz − 9 − 15i
= 3 ⇔ 3iz − 9 − 15i = 3 3i = 9
3i
−i
−i
iw + 4 + 2i = 2 ⇔
( −2w − 4 + 8i ) = 2 ⇔ . −2w − 4 + 8i = 2 ⇔ −2w − 4 + 8i = 4
2
2
Gọi A và B lần lượt là điểm biểu diễn của 3iz và −2w ⇒ A, B lần lượt thuộc các đường
tròn tâm O(9;15) bán kính bằng 9 và đường tròn tâm I(4; −8) bán kính bằng
4 ⇒ OI = 554
Khi đó T = 3iz + 2w = 3iz − ( −2w ) = AB
z − 5 + 3i = 3 ⇔

Yêu cầu bài toán trở thành tìm
ABmax
Vì OI = 554 > 4 + 9

⇒ ABmax = AO + OI + IB = 554 + 13

Câu 35: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Cho số phức z thỏa mãn z − 1 = 5. Biết tập hợp
các điểm biểu diễn số phức w xác định bởi w = ( 2 + 3i ) .z + 3 + 4i là một đường tròn bán
kính R. Tính R
A. R = 5 17
B. R = 5 10
C. R = 5 5
D. R = 5 13
Đáp án D
z − 1 = 5 ⇔ z − 1 = 5. Ta có:
w − 3 − 4i
w − 5 − 7i
w − 5 − 7i
⇔ z −1 =
⇔ z −1 =
=5
2 + 3i
2 + 3i
2 + 3i
w − 5 − 7i
w − 5 − 7i
⇔
=5⇔
= 5 ⇔ w − 5 − 7i = 5 13
2 + 3i
13
Dễ thấy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm (5;7), bán kính 5 13
w = ( 2 + 3i ) .z + 3 + 4i ⇔ z =

Câu 36: (Chuyên Đại Học Vinh)
Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A, B như hình vẽ bên. Trung điểm của đoạn thẳng
AB biểu diễn số phức
A. −1 + 2i

1
B. − + 2i
2

C. 2 − i

1
D. 2 − i
2

Đáp án B
Phương pháp:
+ Số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¢ ) được biểu diễn bởi điểm M ( a; b ) trên mặt phẳng xOy.
xA + xB

x
=
1

2
+ Tọa độ trung điểm I của AB là: 
y
x = A + yB
 2

2
Cách giải:
1
 1 
Dựa vào hình vẽ ta thấy: A ( −2;1) , B ( 1;3 ) ⇒ M  − ; 2 ÷⇒ z = − + 2i
2
 2 


Câu 37:(Chuyên Đại Học Vinh)
Gọi z1 , z 2 là các nghiệm phức của phương trình z 2 − 8x + 25 = 0. Giá trị của z1 − z 2 bằng
A. 6

B. 5

C. 8

D. 3

Đáp án A
Phương pháp:
+) Giải phương trình bậc hai ẩn z trên tập số phức.
+) Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) ⇒ z = a 2 + b 2
Cách giải:
Ta có z 2 − 8z + 25 = 0 ⇔ ( z − 4 ) = −9 = 9i 2
2

 z = 4 + 3i
⇔ z − 4 = 3i ⇔  1
⇒ z1 − z 2 = 6i = 6

 z 2 = 4 − 3i
Câu 38: (Chuyên Đại Học Vinh) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện
2

z2 = z + z ?

A. 4

C. 3

B. 2

D. 1

Đáp án C
Phương pháp:
a = a '
Gọi z = x + yi, thay vào giải thiết và so sánh hai số phức a + bi = a '+ bi ' ⇔ 
b = b '
Cách giải:
2
2
Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ ( x + yi ) = ( x + y ) + ( x − yi )
2

2xy = − y
⇔ x 2 − y 2 + 2xyi = x 2 + y 2 + x − yi ⇔  2
2
2
2

x − y = x + y + x
 y = 0
x = y = 0

 y = 0
x
=
0




x = − 1
1


⇔  x = −
⇔ x = − 1
⇔  
2
2

2



1

2y 2 + x = 0
 y = ±

 2 1
2
 
  2y − = 0
2



Do đó có 3 số phức z thỏa mãn bài toán.
Câu 39: (Chuyên Đại Học Vinh) Giả sử z1 , z 2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn
iz + 2 − i = 1 và z1 − z 2 = 2. Giá trị lớn nhất của z1 + z 2 bằng
A. 3

B. 2 3

C. 3 2

D. 4

Đáp án D
Phương pháp:
+) Từ giả thiết iz + 2 − i = 1 , tìm ra đường biểu diễn ( C ) của các số phức z.
+) Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của z1 ; z 2 ⇒ z1 − z 2 = AB ⇒ vị trí của AB đối với
đường tròn ( C ) .
⇒ z1 + z 2 = OA + OB
+) Sử dụng công thức trung tuyến tính OA 2 + OB2
+) Sử dụng BĐT Bunhiascopsky tìm GTLN của OA + OB
Cách giải:
Ta có: iz + 2 − i = 1 ⇔ i ( x + yi ) + 2 − i = 1 với ( z = x + yi ( x; y ∈ ¡ ) )

(

⇔ ( x − 1) + y − 2
2

)

2

(

)

= 1 ⇒ M ( x; y ) biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I 1; 2 bán kính

R = 1.

Lại có: z1 + z 2 = OA + OB
Mặt khác theo công thức trung tuyến ta có: OI 2 =

OA 2 + OB2 AB2
−
⇒ OA 2 + OB2 = 8
2
4

2
2
Theo BĐT Bunhiascopsky ta có: 2 ( OA + OB ) ≥ ( OA + OB ) ⇒ OA + OB ≤ 4
2

Câu 40:(Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biễu
diễn của số phức z = ( 1 + i ) ( 2 − i ) ?


A. P
B. M
Đáp án D

C. N

D. O

Ta có z = 2 − i + 2i − i 2 = 3 + i ⇒ số phức z biểu diễn Q ( 3;1)
Câu 41: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Cho số phức z, biết rằng các điểm biễu diễn
hình học của các số phức z, iz và z + iz tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18.
Modun của số phức bằng
A. 2 3
B. 3 2
C. 6
D. 9
Đáp án C
Câu 42: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Tập hợp tất cả các điểm biễu diễn các số phức z
thõa mãn z + 2 − i = 4 là đường tròn có tâm I và bán kính R lần lượt là
A. I ( −2; −1) , R = 4

B. I ( −2; −1) , R = 2

C. I ( 2; −1) , R = 4

D. I ( 2; −1) , R = 2

Đáp án A
Đặt z = x + yi; x, y ∈ ¡ ⇒ x − yi + 2 − i = 4 ⇔ ( x + 2 ) − ( y + 1) i = 4
⇔ ( x + 2 ) + ( y + 1) = 16
2

2

Tập hợp tất cả các điểm biễu diễn các số phức z thỏa mãn z + 2 − i = 4 là đường tròn có
tâm I và bán kính R lần lượt là I ( −2; −1) , R = 4
Câu 43: (Chuyên Quang Trung -2018) Cho số phức thỏa mãn z − 2i ≤ z − 4i và
z − 3 − 3i = 1. Giá trị lớn nhất của P = z − 2 là
A. 13 + 1 B. 10 + 1
Đáp án C

C. 13 D. 10

Phương pháp: Gọi z = a + bi,( a,b∈ ¡ ) là số phức cần tìm. Sử dụng giả thiết để đưa ra
một hệ điều kiện đẳng thức, bất đẳng thức cho a,b. Sử dụng điều kiện trên để đánh giá và
tìm giá trị lớn nhất của P.
Lời giải chi tiết.


Giả sử số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán có dạng z = a + bi,( a,b∈ ¡

)

Khi đó ta có

2

2
 z − 2i = ( a + bi ) − 2i = a + ( b − 2)

2
 z − 4i = ( a + bi ) − 4i = a2 + ( b − 4)

 z − 3− 3i = ( a+ bi ) − 3− 3i = ( a− 3) 2 + ( b − 3) 2

2

2
 z − 2 = ( a + bi ) − 2 = ( a− 2) + b
Từ giả thiết ta suy ra

  b − 2 ≤ b − 4( VN )
2
2
 2
2
( b − 2) 2 ≤ ( b − 4) 2
 b ≤ 3
a
+
b
−
2
≤
a

+
b
−
4
( )
( ) ⇔

 
b− 2 ≤ − b+ 4
⇔
⇔






2
2
2
2
2
2
( a− 3) + ( b − 3) = 1
( a− 3) + ( b − 3) = 1 
( a− 3) + ( b − 3) = 1
2
2

( a− 3) + ( b − 3) = 1

Từ ( a− 3) + ( b − 3) = 1⇒ ( a− 3) ≤ 1⇒ 2 ≤ a ≤ 4 ⇒ 0 ≤ a− 2 ≤ 2
2

Do đó P = z − 2 =

2

2

( a− 2)

2

+ b2 ≤ 22 + 32 = 13. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

( a− 2) 2 = 22

a = 4

⇔
b = 3
b = 3

2
2
a
−
3
+

b
−
3
=
1
) ( )
(
Chú ý. Đối với bài toán liên quan tới cực trị học sinh thường mắc phải sai lầm là quên
tìm giá trị để cực trị xảy ra. Điều này có thể dẫn tới việc tìm sai giá trị lớn nhất nhỏ nhất.
Câu 44: (Chuyên Quang Trung -2018) Trong tập các số phức, cho phương trình
z 2 − 6z + m = 1, m ∈ ¡ ( 1) . Gọi m 0 là một giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm
phân biệt z1 , z 2 thỏa mãn z1 z1 = z 2 z 2 . Hỏi trong khoảng (0; 20) có bao nhiêu giá trị m ?
A. 13
B. 11
C. 12
D. 10
Đáp án D
Phương pháp
Biện luận để tìm trực tiếp nghiệm z1 , z 2 . Sử dụng giả thiết để tìm ra giá trị m 0
Lời giải chi tiết.
2
Viết lại phương trình đã cho thành ( z − 3) = 9 − m 0
Nếu m 0 = 9 ⇒ z = 3 Hay phương trình chỉ có một nghiệm. (Loại)
Nếu m 0 < 9 thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực
z1 = 3 − 9 − m 0 , z 2 = 3 + 9 − m 0 . Do


(

z1 z1 = z 2 z 2 ⇔ z1 = z 2 ⇔ 3 − 9 − m 0

) = ( 3+
2

9 − m0

)

2

3 − 9 − m 0 = 3 + 9 − m 0
⇔
⇔ 9 − m 0 = 0 ⇔ m 0 = 9 ( ktm )
3 − 9 − m 0 = −3 − 9 − m 0 ( VN )
Nếu m 0 > 9 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phức liên hợp là
z1 = 3 − i m 0 − 9, z 2 = 3 + i m 0 − 9.
2
Khi đó z1 z1 = z 2 z 2 = 3 + m 0 − 9

Do đó m 0 > 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do bài toán đòi hỏi m 0 ∈ (0; 20) nên
m 0 ∈ { 10;11;12;...;19} . Vậy có 10 giá trị thỏa mãn.
Câu 45: (Chuyên Quang Trung -2018)Gọi số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡

(

)

)

thỏa mãn

z − 1 = 1 và ( 1 + i ) z − 1 có phần thực bằng 1 đồng thời z không là số thực. Khi đó a.b
bằng
A. ab = −2
Đáp án C

B. ab = 2

C. ab = 1

D. ab = −1

Phương pháp
Gọi số phức đã cho có dạng z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) . Sử dụng giả thiết để đưa ra một hệ cho
a, b giải trực tiếp hệ này để tìm a, b
Lời giải chi tiết.
2
2
2
Ta có: 12 = z − 1 = a + bi − 1 = ( a − 1) + b 2 ( 1)
Do z không là số thực nên ta phải có b ≠ 0 ( 2 )
Ta lại có
1 = Re ( 1 + i ) z − 1  = Re ( 1 + i ) ( ( a − bi ) − 1)  = Re ( a + b − 1) ( a − b − 1)  = a + b − 1 ( 3 )


Từ ( 1) , ( 2 ) , ( 3) ta có hệ

(

)

( a − 1) 2 + b 2 = 1 ( a − 1) 2 + b 2 = 1 ( 1 − b ) 2 + b 2 = 1 2b 2 − 2b = 0
a = 1




⇔ a − 1 = 1 − b
⇒ a − 1 = 1 − b
⇔ a = 2 − b
⇔
⇒ ab = 1
a + b − 1 = 1
b
=
1

b ≠ 0
b ≠ 0
b ≠ 0
b ≠ 0




Câu 46: (Chuyên Quang Trung -2018) Cho số phức z thỏa mãn z ( 2 − i ) + 13i = 1. Tính
mô đun của số phức z.
34
5 34
A. z = 34

B. z = 34
C. z =
D. z =
3
3
Đáp án B
Phương pháp
Từ giả thiết ta biến đổi để tìm được công thức của z. Dùng định nghĩa để tìm z


Lời giải chi tiết.
Ta có z ( 2 − i ) + 13i = 1. ⇒ x =

1 − 13i ( 1 − 13i ) ( 2 + i ) ( 2 + 13 ) ( 1 − 26 ) i
=
=
= 3 − 5i
2−i
5
( 2 − i) ( 2 + i)

Do đó z = 32 + 52 = 34
1+ i
là số thực và
z
z − 2 = m với m ∈ ¡ . Gọi m 0 là một giá trị của m để có đúng một số phức thỏa mãn bài
toán. Khi đó
 1
1 
3 

 3
A. m 0 ∈  0; ÷
B. m 0 ∈  ;1÷
C. m 0 ∈  ; 2 ÷
D. m 0 ∈  1; ÷
 2
2 
2 
 2
Đáp án D
Phương pháp.Sử dụng giả thiết để tìm được z = a + ai ( a ∈ ¡ ) Thay vào z − 2 = m 0 và
sử dụng yêu cầu bài toán để biện luận và tìm giá trị của m 0
Lời giải chi tiết.
2
2
Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ¡ , a + b > 0 ) Khi đó ta có
Câu 47: (Chuyên Quang Trung -2018)Cho số phức z thỏa mãn

( 1 + i ) ( a − bi ) = ( a + b ) + i ( a − b ) ∈ ¡ ⇒ a − b = 0 ⇒ a = b ⇒ z = a + ai
1+ i
=
a + bi ( a + bi ) ( a − bi )
a 2 + b2
a 2 + b2

Thay vào z − 2 = m 0 Ta nhận được
m 0 = ( a + ai ) − 2 =

( a − 2)

2

+ a 2 = 2 ( a 2 − 2a + 2 )

m 0 > 0
⇔ 2
2
2a − 4a + 4 − m 0 = 0 ( 1)
Để có đúng một nghiệm phức thỏa mãn bài toán thì phương trình (1) phải có duy nhất
một nghiệm a. Khi đó phương trình (1) phải thỏa mãn
∆ ' = 22 − 2 ( 4 − m 02 ) = 0 ⇔ 2m 02 − 4 = 0 ⇔ m 0 = ± 2 Kết hợp với điều kiện m 0 > 0 ta
 3
suy ra giá trị cần tìm là m 0 = 2 ∈ 1; ÷
 2
Sai lầm.Một bộ phận nhỏ học sinh vẫn có thể quên đưa ra điều kiện m 0 > 0 nên hai
nghiệm là m 0 = ± 2
Câu 48: (Chuyên Quang Trung -2018) Trong mặt phẳng phức, gọi M là điểm biểu diễn

(

cho số phức z − z

)

2

với z = a + bi ( a, b ∈ ¡ , b ≠ 0 ) . Chọn kết luận đúng

A. M thuộc tia Ox.
C. M thuộc tia đối của tia Ox.

Đáp án C
Phương pháp.

B. M thuộc tia Oy
D. M thuộc tia đối của tia Oy.


(

Tính trực tiếp z − z

)

2

Lời giải chi tiết.

(

Ta có z − z

)

2

2

2
= ( a + bi ) − a + bi  = ( 2bi ) = −4b 2 . Do b ≠ 0 ⇒ −b 2 < 0. Do đó M có

phần thực âm, phần ảo bằng 0, nên thuộc tia đối của tia Ox.
Câu 49: (Chuyên Quang Trung -2018)Trong tập các số phức, gọi z1 , z 2 là hai nghiệm
2017
2
= 0 với z 2 có thành phần ảo dương. Cho số phức z thỏa
của phương trình z − z +
4
mãn z − z1 = 1 Giá trị nhỏ nhất của P = z − z 2 là
2016 − 1

A.

B.

2017 − 1
2

2016 − 1
2

C.

D.

2017 − 1

Đáp án A
Phương pháp.
Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ¡

)

Giả phương trình ban đầu để tìm được nghiệm z1 , z 2 Sử dụng
2

giả thiết để đánh giá cho cho b. Đưa z − z 2 về một hàm cho b và sử dụng ước lượng cho
b ở phần trước để tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Lời giải chi tiết.
1 − i 2016
1 + i 2016
Tính toán ta tìm được hai nghiệm z1 =
, z2 =
2
2
Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) Từ z − z1 = 1 ta suy ra
2

2

2

1 − i 2016
1 
2016 
2016 

a
+
bi
−

=
1
⇔
a
−
⇒
b
+
(
)
÷

÷

÷ +  b +

÷ ≤1
2
2 
2 ÷
2





2016
2016
≤ b ≤ 1−
( 1)

2
2
Áp dụng ( 1) ta nhận được
⇒ −1 −

2

z − z2

2

2

2
1 + i 2016
1 
2016 

= ( a + bi ) −
=  a − ÷ +  b −
÷
2
2 
2 ÷


2

2


1 
2016 
2016
2016 

=  a − ÷ +  b +
− 4b
= −1 − 2b 2016 ≥ 1 − 2 1 −
÷
÷ 2016 = 1 − 2 2016 + 2016 =
÷
2 
2 
2
2 ÷



Do đó giá trị nhỏ nhất của P = z − z 2 là 2016 − 1

Đạt được khi và chỉ khi b = 1 −

2016
1
,a =
2
2

Câu 50: (Chuyên Quang Trung -2018) .Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi
z

m ∈ S có đúng một số phức thỏa mãn z − m = 6 và
là số thuần ảo. Tính tổng của
z−4

(


các phần tử của tập S.
A. 10
Đáp án B

B. 0

C. 16

D. 8

Phương pháp.
Gọi z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) Sử dụng giả thiết để tìm a, bsuy ra giá trị của z. Sử dụng kết quả
này để tìm giá trị của m và kết luận.
Lời giải chi tiết.
Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) , z ≠ 4. Khi đó ta có
a ( a − 4 ) + b 2 + i ( b ( a − 4 ) − ab )
a + bi ) ( a − 4 − bi )
(
z
a + bi
=
=
=

2
z − 4 ( a + bi ) − 4 ( a − 4 + bi ) ( a − 4 − bi )
( a − 4 ) + b2

z
2
2
2
là số thuần ảo thì ta phải có a ( a − 4 ) + b = 0 ⇔ a − 4a + b ( 1)
z−4
2
2
Từ z − m = 6 ⇔ ( a + bi ) − m = 6 ⇔ ( a − m ) + b = 36 ( 2 )
Để

Từ ( 1) suy ra b 2 = 4a − a 2 thay vào ( 2 ) ta nhận được

36 = ( a − m ) + ( 4a − a 2 ) ⇔ 36 = a 2 − 2am + m 2 + 4a − a 2
2

⇔ 36 = ( 4 − 2m ) a + m 2 ⇔ 2a ( m − 2 ) = m 2 − 36 ( 3 )

Nếu m = 2 thì ( 3) vô nghiệm

m 2 − 36
2m − 4
2
2
Vì b = 4a − a nên để có duy nhất một số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho thì b = 0 Ta
nhận được a = 0 hoặc a = 4

z
với a = 4 thì z = a + bi = 4. Loại vì
là số thuần ảo
z−4
m 2 − 36
vậy a = b = 0 ⇒ z = 0. Khi đó
= 0 ⇔ m = ±6
2m − 4
Tổng các phần tử của S là 6 + ( −6 ) = 0
Nếu m ≠ 2 thì từ ( 3) suy ra a =

Câu 51: (Chuyên Quang Trung -2018) Tìm số phức z thỏa mãn z − 2 = z và

( z + 1) ( z − i )

là số thực

A. z = 1 + 2i
Đáp án D

B. = −1 − 2i

C. z = 2 − i

Phương pháp.
Gọi z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) Sử dụng giả thiết để tìm a, bsuy ra giá trị của z.
Lời giải chi tiết.
Giả sử z = a + bi Khi đó ta có

D. z = 1 − 2i

2
2

z−2 = z

z−2 = z
⇔
 

Im
z
+
1
z
−
i
=
0
(
)
 
Im ( z + 1) z − i  = 0


(

)

(

)

2
2
 ( a + bi ) − 2 2 = a + bi 2


 ( a + bi ) − 2 = a + bi
⇔
⇔
Im ( a + bi + 1) a + bi − i  = 0
Im ( a + 1 + bi ) ( a − ( b + 1) i )  = 0

( a − 2 ) 2 + b 2 = a 2 + b 2
a 2 − 4a + 4 = a 2
a = 1

⇔
⇔
⇔


2
2
 b = −2
a + b + 1 = 0
Im ( a + b + a + b ) − i ( a + b + 1)  = 0
Vậy z = a + bi = 1 − 2i.

Sai lầm.Một số học sinh có thể nhớ nhầm i 2 = −1 thành i 2 = 1 do đó quá trình tính toán
kết quả sẽ bị sai.
Câu 52: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Cho hai số phức z1 = 2 + 3i và

(

)

z2 = −3− 5i. Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức w = z1 + z2
A. 3
B. 0
C. −1− 2i
Đáp án D

D. -3

Ta có w = z1 + z2 = 2 + 3i − 3− 5i = −1− 2i ⇒ a+ b = −3
Câu 53: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Cho số phức z thỏa mãn
z + 4z = 7 + i ( z − 7) . Khi đó, môđun của z bằng bao nhiêu
A. z = 5

B. z = 3

C. z = 5

D. z = 3

Đáp án C
Đặt z = a+ bi ( a,b∈ ¡

)
Ta có a+ bi + 4( a− bi ) = 7+ i ( a+ bi − 7)
5a = 7− b
a = 1
⇔ 5a− 3bi = ( 7− b) + ( a− 7) i ⇔ 
⇔
⇒z= 5
−3b = a− 7  b = 2
Câu 54: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Cho số phức z thỏa mãn
( 1+ 3i ) z − 5 = 7i. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. z = −

13 4
+ i
5 5

B. z =

13 4
− i
5 5

C. z = −

13 4
− i
5 5

D. z =

Đáp án D
5+ 7i 13 4
13 4
= − i⇒ z= + i
1+ 3i 5 5
5 5
Câu 55: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định)Cho số phức z và w thỏa mãn
z + w = 3+ 4i và z − w = 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = z + w
z=

13 4
+ i
5 5


B. maxT = 14

A. maxT = 176
Đáp án D

C. maxT = 4

D. maxT = 106

uuur uuur
uuur uuur
Đặt A ( z1 ) ;B ( z2 ) theo giả thiết ta có: OA + OB = ( 3;4) ; OA − OB = 9;P = OA + OB
uuur uuur 2 uuur uuur 2
2
106 = OA + OB + OA − OB = 2 OA 2 + OB2 ≥ ( OA + OB) = P2 ⇒ P ≤ 106

(

) (

)

(

)

Tổng quát: Với 2 số thwucj z1,z2 thõa mãn z1 + z2 = a + bi và z1 − z2 = c

(

Khi đó P = z1 + z2

)

max

= a2 + b2 + c2

Câu 56: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định)Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C, D
lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1 = −1+ i,z2 = 1+ 2i,z3 = 2 − i,z4 = −3i. Gọi S
diện tích tứ giác .ABCD Tính S
A. S =

17
2

B. S =

19
2

C. S =

23
2

Đáp án A

uuur
A
−
1
;1
;B
1
;2
;C
2;
−
1
;D
0;
−
3
⇒

AC
= ( 3; −2) ⇒ AC :2x + 3y − 1 = 0
Ta có (
) ( ) ( ) ( )
 7
−10  17
1
1
AC d( B;AC) + d( D;AC )  = . 13 
+
=
2
2
13  2
 13
Câu 57: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Cho số phức z = 2 − 3i . Số phức
liên hợp của z là:
A. z = −2 − 3i
B. z = −2 + 3i
C. z = 2 + 3i
D. z = 2 − 3i
Đáp án C
SABCD = SBAC + SDAC =

Phương pháp: Số phức z = a + bi có số phức liên hợp z = a − bi
Cách giải: Số phức liên hợp của z = 2 − 3i là z = 2 + 3i
1
Câu 58: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế)Cho số phức z = 1 − i . Tìm số
3
phức w = iz + 3 z được

8
10
8
10
A. w =
B. w =
C. w = + i
D. w = + i
3
3
3
3
Đáp án A
Phương pháp: Sử dụng công thức cộng, nhân các số phức.
1
8
 1   1 
Cách giải: w = iz + 3 z = i 1 + i ÷ + 3 1 − i ÷ = i − − i =
3
3
 3   3 
Câu 59: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế)Cho số phức z thỏa mãn