(trường chuyên) 135 câu tích phân nguyên hàm năm 2018

Câu 1(Chuyên Đại Học Vinh)
Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường x  0, x  1, y  0 và y  2x  1 . Thể
tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục OX được tính theo
công thức
1

1

 2x  1 dx
B. V  �

A. V   �2x  1dx
0

0

1

C. V  �2x  1dx

D.

0

1

V�
 2x  1 dx
0

B. y  x 2  3x  1

C. y  x 3  3x 2  1
D. y   x 4  3x  1
Đáp án B
Phương pháp: Quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  f  x  ; y  g  x 
và các đườn thẳng x  a; x  b  a  b  quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích
b

f 2  x   g 2  x  dx
được tính theo công thức: V   �
a

1





2

1

 2x  1 dx 
Cách giải: Ta có V   � 2x  1 dx  �
0

0

1

Câu 2: (Chuyên Đại Học Vinh)Tích phân

dx

�3x  1 dx

bằng

0

A.

3
2

B.

2
3

C.

1
3

Đáp án B
Phương pháp:
+) Đổi biến và đổi cận để đơn giản biểu thức cần tính tích phân.
+) Sử dụng công thức tính tích phân của các hàm cơ bản để tính.
Cách giải:

D.

4
3


3x  1  t � t 2  3x  1 � 2tdt  3dx

Đặt

2

2
2
�x  0 � t  1 1 dx
1 2t
2
2
2
��
 �. dt �dt  t 
Đổi cận: �
3 1 3
�x  1 � t  2 0 3x  1 1 t 3 1 3

1

f  2x  dx  2.
Câu 3 (Chuyên Đại Học Vinh)Cho f  x  liên tục trên � và f  2   16, �
0

2

Tích phân

xf '  x  dx bằng
�
0

A. 28

B. 30

C. 16

D. 36

Đáp án A
Phương pháp:
2

f  x  dx
+) Đặt ẩn phụ t  2x tính �
0

2

+) Sử dụng phương pháp tích phân từng phần tính

x.f '  x  dx.

�
0

Cách giải:
1

f  2x   2, đặt 2x  t � 2dx  dt � dx 
Xét �
0

2

�2

dt
. Đổi cận
2

�x  0 � t  0
�
�x  1 � t  2

2

1
f  t  dt ��
f  x  dx  4
2�
0
0

Đặt
2
2
ux
du  dx
�
�
2
�
�
x.f
x
dx

x.f
x

f  x  dx  2f  2   4  2.16  4  28
 
 0 �
�
�
�
dv  f '  x  dx
v  f  x
�
�
0
0

Câu 4: (Chuyên Đại Học Vinh)Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn
1

1

1

1

f 2  x  dx  , �
f '  x  cosdx  . Tính �
f  x  dx
 0;1 và f  0   f  1  0 . Biết �
2
2
0
0
0


3
2

A.

B.

2


C. 

D.

1


Đáp án B
Phương pháp:
1

f '  x  .cosxdx.
+) Sử dụng phương pháp từng phần đối với tích phân �
0

1

�
f  x   k.sin x �
+) Sử dụng kết quả �
�
�dx  0 tính f  x 
2

0

1

f  x  dx

+) Lấy tích phân từ 0 đến 1 cả 2 vế tính �
0

Cách giải:
u  cosx
du   sin xdx
�
�
��
Đặt �
dv  f '  x  dx �
v  f  x
�
1

1

0

0

f '  x  .cosxdx  f  x  .cosx 01  �
f  x  .sin xdx
Ta có �
1

 �
f  1  f  0  �
f  x  .sin xdx 
�

�  �
0

1

1


1
��
f  x  .sin dx 
2
2
0

1

1

1

0

0

0

�
f  x   k.sin x �
f 2  x  dx  2k.�

f  x  .sin xdx  k 2 .�
sin 2  x  dx  0
Xét �
�
�dx  0 � �
2

0

2

1
1
1 1
2
� k 2  2k.   0 �  k  1  0 � k  1. Suy ra �
�
f  x   sin x �
�
�dx  0
2
2 2
0
1

1

1

cosx

1 1 2
f  x  dx  �
sin xdx  
  
Vậy f  x   sin x � �
x 0   
0
0
Câu 5: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Cho hàm số f  x  liên tục trên �và thỏa
1

2

5

0

f  x  dx  9. Tính �
�
f  1  3x   9 �
mãn �
�
�dx .
A. 27
Đáp án B

B. 21

C. 15

D. 75


2

2

2

0

0

0

�
f  1  3x   9 �
dx  �
f  1  3x  dx  9 �
dx
Ta có �
�
�
Đặt
2
5
1
�x  0 � t  1
1
1

t  1  3x � dt  3dx, �
��
f  1  3x  dx   �
f  t  dt  �
f  x  dx  3
31
3 5
�x  2 � t  5 0
2

2

0

0

�
f  1  3x   9 �
dx  3  9 �
dx  3  9x 20  21
Suy ra �
�
�

Câu 6:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi Parabol
y

x2
x2
và đường cong có phương trình y  4 

(hình vẽ). Diện tích của hình phẳng
12
4

(H) bằng

A.



2 4  3



3

B.

4  3
6

C.

4 3
6

D.

4  3
3

Đáp án A
PT hoành độ giao điểm là



2 4  3
�
x2 x2 �
4


dx

�
�
�� 4 12 �
3
2 3 �
�
2 3

Suy ra S 

x2
x2
x4
x2
 4
�

 4  � x 2  12 � x  �2 3
12
4
144
4




2

2x ln  x  1 dx  a ln b, với
Câu 7: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Biết �
0

a, b ��* và b là số nguyên tố. Tính 6x  7b

A. 33

B. 25

D. 39

C. 42

Đáp án D
1
�
2
2

�
u  ln  x  1
du 
x2
�
2
2
�
��
2x ln  x  1 dx  �
x
ln
x

1

dx
x 1 � �


Đặt �
�
�0 �
x 1
dv  2xdx
�
0
0
�v  x 2
�

2

a 3
�
�
1 �
x2
�
2
2 �
�
�
�
�
x
ln
x

1

x

1

dx

x
ln
x


1


x

ln
x

1

3ln
3
�






�
0
�
�
�
�
�
� �
�
�
b3

x 1 �
�
�2
�0
0�
2

2

2
0

� 6a  7b  39
1

dx

dx bằng
�
2x  5

Câu 8 (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Tích phân

0

A.

1
7
log

2
5

B.

1 7
ln
2 5

C.

1 5
ln
2 7

D. 

4
35

Đáp án B
ln 2x  5
dx

Ta có �
2x  5
2
0
1

1


0

ln 7 ln 5 1 7

 ln
2
2
2 5

Câu 9: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Cho hàm số f  x  có đạo hàm dương, liên
tục

trên

đoạn

 0;1

1

thỏa

mãn

1

điều

kiện

f  0  1

1

2
3
1�
�
3�
f ' x  . �
f  x �
�
f  x �
�
� 9 �dx �2 �f '  x  .f  x  dx. Tính �
�
�dx.
�
�
0 �
0
0

A.

3
2

B.

5
4

C.

5
6

Đáp án D
1

2
� f '  x  .f  x  �dx 1
Giả thiết ۣ 3�
�
� 3
0

1

2�f '  x  .f  x  dx
0

D.

7
6

và


2

1

1

1

1

0

0

0

2

�
�
��
3 f ' x .f x �dx  2�
3 f '  x  .f  x  dx  �
dx �0 � �
3 f ' x .f x  1�dx �0
�    �

�     �
0

2
9f '  x  .f 2  x  dx  �
dx  x  C
Khi đó 3 f '  x  .f  x   1  0 � 9f '  x  .f  x   1 � �

1
��
9f 2  x  d  f  x    x  C � 3f 3  x   x  C mà f  0   1 � C  3 � f 3  x   x  1
3
1

1

1

2
� 7
�1
� �x
�
f
x
�
dx

x


1
dx


x
Vậy �
�
�
�
�
�  �
�
3
6
�
�
�
�0 6
0
0
3

x cos 2xdx.
Câu 10:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam Tìm �
1
1
x.sin 2x  cos2x  C.
2
4
1

1
C. x.sin 2x  cos2x  C.
2
2
Đáp án D.

B. x.sin 2x  cos2x  C.

A.

D.

1
1
x.sin 2x  cos2x  C.
2
4

du  dx
�
ux
�
1
1
�
�� 1
��
x cos 2xdx  x sin x2x  �
sin 2xdx
Đặt �

dv  cos2xdx �v  sin 2x
2
2
�
� 2
1
1
 x sin 2x  cos2x  C.
2
4
Câu 11:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  . Diện
tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng
x  a, x  b được tình theo công thức.
b

b

�
f  x �
f  x  dx.
A. S   �
�
�dx. B. S  �
2

a

b

f  x  dx.

C. S   �
a

a

b

f  x  dx.
D. S  �
a

Đáp án D.

2

cos xdx  a  b 3, với a, b là các số hữu tỉ.
Câu 12:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)Biết �
Tính T  2a  6b.
A. T  3.
B. T  1.
Đáp án B.


3

C. T  4. D. T  2.



2


2


3


3

cos xdx  s inx
Ta có �

a 1
�
1
�
 1
3��
1 � T  1.
2
b


�
�
2
1

e3x .dx.

Câu 13: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Tính I  �
0

B. I  e  1.

A. I  e3  1.

C. I 

e3  1
.
3

1
3
D. I  e  .
2

Đáp án C.
1

e3x
e .dx 
Ta có: I  �
3
0

1

3x

0

e3  1

.
3

Câu 14: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam )Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm
trên R thỏa mãn f  2   2;

4

0

0

 

f  x  dx  1. Tính tích phân I  �
f ' x dx.
�

B. I  5.

A. I  10.
Đáp án A.

C. I  0.

D. I=-18.

dx
�x  0 � t  0
� dx  2tdt và �
.
2 x
�x  4 � t  2

Đặt t  x � dt 
4

2

 

2

2

0

0

f ' x dx  �
2t.f '  t  dt  2�
t.f '  t  dt
Khi đó I  �
0

2
ut
du  dt
�
�
t.f '  t  dt  t.f  t 
��
, suy ra �
Đặt �
dv  f '  t  dt
0
�
�v  f  t  '

2

2
0

�
f  t  dt  2f  2   1  5.

Vậy tích phân I  2.  5   10.

3

3

0

2

f  x  dx  a, �
f  x  dx  b. Khi đó
Câu 15: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Cho �
2

f  x  dx
�

bằng:

0

A a  b.
Đáp án D.

B. b  a

2

3

3

0

0

2

C. a  b.

D. a  b.

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx  a  b.
Ta có: �
2

5

1

2

f  x 2  1 x dx  2. Khi đó I  �
f  x  dx
Câu 16: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Cho �
bằng
A. 2.

B. 1.

C. -1.

D. 4.

Đáp án D.
�x  1 � t  2
Đặt t  x 2  1 � dt  2xdx, �
�x  2 � t  5
2
5
5
1
1
I
��
f  x x  1 xdx  �
f  t  dt  �
f  x  dx  � I  4.
22
22
2
1
b

Câu 17: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Biết

 2x  1 dx  1. Khẳng định nào sau đây
�
a

đúng?
A. b  a  1.

C. b 2  a 2  b  a  1. D. a  b  1.

B. a 2  b 2  a  b  1.

Đáp án C.
Ta có

b

b

a

a

 2x  1 dx   x 2  x 
�

  b 2  a 2    b  a   1 � b 2  a 2  b  a  1.

Câu 18:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Xét hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;1 và
1

f  x  dx.
thỏa mãn 2f  x   3f  1  x   1  x . Tính I  �
2

0


.

4
Đáp án C.
A.

B.

1


.
6

C.

1


.
20

D.

1


.
16

1

�1  x 2  3f  1  x  �
2f  x  dx  �
dx  �1  x 2 dx  3�
f  1  x  dx.
Ta có 2I  �
�
�
0
0
0
0
1

1

1




f  x  dx  �
f  1  x  dx � 2I   3I � I  .
Mà �1  x dx  (casio) và �
4
4
20
0
0
0
Câu 19: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3)Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi

2

quay hình phẳng (H) được giới hạn bởi các đường y  f  x  , trục Ox và hai đường thẳng
x  a, x  b xung quanh trục Ox.
b

f  x  dx
A.  �
2

a

b

f  x  dx
B. �
2

a

b

f  x  dx
C. �
a

b

f 2  x  dx
D. 2�

a


4

Câu 20:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Tính tích phân I  tan 2 x dx .
�
0

A. I  1 


4

B. I  2

C. I  ln 2

D. I 


12


Đáp án A

4


4

1
�
Ta có I  tan 2 xdx  �
dx   tanx-x 
� 2  1�
�
�
cos x �
0�


4
0

 1
2

Câu 21:(Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Tích phân


4
2

dx
�
2x  1

bằng

0

A. 2 ln 5

B.

1
ln 5
2

C. ln 5

D. 4 ln 5

Đáp án C
2

2

2
2
2
dx  � d  2x  1  ln 2x  1 |  ln 5
�
0
2x  1
2x  1
0
0

3

x
a
dx   b ln 2  c ln 3, với
Câu 22: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Cho I  �
3
0 4  2 x 1
a, b, c là các số nguyên. Gía trị của a  b  c bằng
A. 1
B. 2
C. 7
D. 9
Đáp án A
2 2
2 3
�x  0 � t  1
t 1
t t
2
t

x

1
�
t

x


1
�
2tdt

dx;
�
I

2tdt

dt
Đặt
�
�
�
4

2t
t

2
�x  3 � t  2
1
1

a 7
2
�
� 7
6 � �t 3 2

�
�2
dt  �  t  3t  6 ln x  2 �   12 ln 2  6 ln 3 � �
b  12 � a  b  c  1
�t  2t  3 
�
�
t  2 � �3
3
�
1�
�
1
c6
�
Câu 23: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên)
e
ln x
dx trở thành
Với cách biến đổi u  1  3ln x thì tích phân �
1 x 1  3ln x
2

2

2
u 2  1 du
A. �

31

Đáp án B

2

2
u 2  1 du
B. �

91

2
Ta có u  1  3ln x � u  1  3ln x � 2udu 

2

C. 2 �
 u  1 du
2

1

2

9 u 2 1
D. � du
21 u

�x  1 � u  1
3
dx, �

x
�x  e � u  2

u2 1
2
ln x
Suy ra
3 2 udu  2 u 2  1 du
dx



�
�
u 3
9�
1 x 1  3ln x
1
1
e

e

Câu 24: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Cho hàm số y  ax 4  bx 2  c có đồ thị  C  ,


biết rằng  C  đi qua điểm A  1;0  tiếp tuyến d tại A của  C  cắt  C  tại 2 điểm có

hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị  C  và 2 đường
28

thẳng x  0; x  2 có diện tích bằng
(phần gạch chéo trong hình vẽ)
5

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị  C  và 2 đường thẳng x  1; x  0 có diện
tích bằng
2
1
2
1
A.
B.
C.
D.
5
9
9
5
Đáp án D
Điểm A  1;0  thuộc đồ thị hàm số  C  � a  b  c  0

Phương trình tiếp tuyến tại A  1;0  là  d  : y  y '  1  x  1   4a  2b   x  1

4
2
Phương trình hoành độ giao điểm của (*) suy ra  4a  2b   x  1  ax  bx  c  *
�4a  2b  c
 1
Mà x  0, x  2 là nghiệm của (*) suy ra �
�12a  6b  16a  4b  c

2

28
32
8
28
�
�
dx  4  4a  2b   a  b  2c   2 
 4a  2b   x  1  ax 4  bx 2  c �
Và
�
�
5 0
3
3
5
� y  x 4  3x 2  2
Từ  1 ,  2  suy ra a  1, b  3, c  2 ��
2

2x  2  x 4  3x 2  2dx 
Vậy diện tích cần tính là S  �
0

1
5

Câu 25: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định)Cho I 
Mệnh đề nào dưới đây sai?

3
1 2 2
x x  1 dx
A. I  �
21





4

1
x 1 2xdx và u  2x  1.
2�
0
3





u2 u2  1 du
B. I  �
1


3

1 �u5 u3 �

C. I  �  �
2 �5 3 �1

D. I 

3





1 2 2
u u  1 du
2�
1

Đáp án B
u= 2x+1 � u du=x dx
Cận
u=1 khi x=0

u=3 khi x=4
3
u 2  1
1 �u 5 u 3 �
2 
I �
u
du= �  �13
2

2 �5 3 �
1
3

x2  x  1
b
 a ln , với a, b là
Câu 26: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Biết �
x1
2
1
các số nguyên. Tính S  a  2b.
A. S  2
B. S  5
C. S  2
D. S  10
Đáp án C
5
5
x 2  x+1
� 1 �
dx= �
dx
�x+
�
�
x+1
x+1 �
3
3�

1
= x2
2

5
3

 ln  x+1

5
3

 8  ln

3
2

Câu 27: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Kết quả của tích phân

2

�

1�

 � 1. Khẳng định nào sau đây là sai?
 2x  1 sinx dx được viết ở dạng  �
�
�a b �
0

A. a 2b  8
Đáp án B

B. a  b  5 C. 2a 3b  2


2



 2 x  1  sin x  dx   x 2  x  cos x  02
�
0



D. a  b  2

2 
 1�
�
  1   �  � 1
4 2
�4 2 �

� a  4; b  2 � a  b  6 � khẳng định B sai.
e

Câu 28: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định): Biết

e  b với a,b��.

1

Tính P  a.b
A. P  4
Đáp án B

B. P  8
e

Cách 1: Bấm MT tính

lnx

�x dx  a

ln x

C. P  4

D. P  8

�x dx  0, 7025574586... rồi lưu vào A. Xét hàm F(X) = A –
1

XError: Reference source not found

(Do A  a e  b ) bằng cách nhập hàm trên vào Mode 7, lấy star: - 4, end: 4, step: 1. Ta
a  2 �Z
�X '  2
�
sẽ thấy tại �
tức là �
thoả mãn ycbt nên P = - 8.
b  4 �Z
�F ( X )  4
�
e
a  2 �Z
�
ln x
Cách 2: Tính tích phân từng phần � dx  2 e  4  �
nên P = - 8.
b  4 �Z
x
�
1
5

Câu 29: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Cho

f  x dx  4. Tính
�

1
2

I�
f  2x  1 dx
1

B. I 

A. I  2

5
2

D. I 

C. I  4

3
2

Đáp án A
5

1
1
f  u du  .4  2
Đặt 2x  1 u � 2dx  du � I  �
2 1
2

Câu 30: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

 a; b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
đường thẳng x  a, x  b  a  b  là
a

A.

�f  x  dx
b

b

B.

y  f  x  , trục hoành và hai

b

f  x  dx
�

C.

a

a

�f  x  dx

D.

a

f  x  dx
�
b

Đáp án C
Phương pháp: Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
Cách giải: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành
b

f  x  dx
và hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  là S  �
a

1

dx
Câu 31: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) tích phân I  � bằng
x 1
0
3
A. 0
B. 1
C. ln 2
D. ln
2
Đáp án C
Phương pháp: Sử dụng bảng nguyên hàm mở rộng:

1

1

dx  ln ax  b  C
�
ax  b
a

1

1
dx
Cách giải: I  �  ln x  1  ln 2  ln1  ln 2
2
x 1
0
Câu 32: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Cho biết


2

ln  9  x  dx  a ln 5  b ln 2  c , với a, b, c là các số nguyên. Tính S  a  b  c
�
2

1

A. S  34
Đáp án B

B. S  13

C. S  18

được:

D. S  26

Phương pháp: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
2x
�
�
u  ln  9  x 2 
du 
�
�
��
9  x2
Cách giải: Đặt �
dv  dx
�
�
�v  x
2

�I�
ln  9  x  dx  x ln  9  x
2

1

2

2



2

1

x2
 2 � 2 dx  2ln 5  3ln 2  2I1
9x
1

2

2

2

2

2

x
9 �
dx

�
I1  � 2 dx  �
1 
dx   �
dx  9�
�
2 �
9x
9x �
3 x  3 x
1
1�
1
1 
2

9 �1
1 �
3
3 3 x
 x  �

dx  1    ln 3  x  ln 3  x  21  1  ln
�
�
6 1 �3  x 3  x �
2
2 3x

2

2
1

1

3
3
 ln 5  ln 2   1  ln 5  3ln 2  5ln 5  6 ln 2  2
2
2
a 5
�
�
��
b  6 � S  a  b  c  13
�
c  2
�
 1 

Câu 33: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Cho hàm số f  x  
. Tìm a và b biết rằng f '  0   22 và

a

 x  1

3

 bxe x

1

f  x  dx  5
�
0

A. a  2, b  8
Đáp án C

B. a  2, b  8

C. a  8, b  2

D. a  8, b  2

Phương pháp:
+) Tính f '  0  và sử dụng giả thiết f '  0   22 suy ra 1 phương trình chứa a,b.
1

1

0

0

f  x  dx và sử dụng giả thiết �
f  x  dx  5 suy ra 1 phương trình nữa chứa a, b.
+) Tính �

+) Giải hệ gồm 2 phương trình trên, tìm a và b.
Cách giải:


f '  x   3.

a

 x  1

4

 be x  be x

� f '  0   3a  b  22

 1

1�
1
1
�
a
3
x
f
x
dx



bxe
dx

a
x

1
dx

b
xe x dx  aI1  bI 2
�
�




3
�
�
�
�
�
�
 x  1
0
0�
0
0
�

1

1

I1  �
 x  1

3

 x  1
dx 
2

0

2 1


0

1 �1 � 3
�  1�
2 �4 � 8

1
ux
du  dx
�
�
x 0

�
�
I

xe

e x dx  e  e x
Đặt �
� x
2
1 �
x
dv

e
dx
v

e
�
�
0
1
3
��
f  x  dx  a  b  5  2 
8
0

1

0

 e   e  1  1

a 8
�
Từ (1) và (2) � �
b2
�
Câu 34: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho số dương a và hàm số y  f  x  liên tục
trên � thỏa mãn f  x   f   x   a x ��. Giá trị của biểu thức
A. 2a 2

a

f  x  dx bằng
�

a

C. a

B. a 2

D. 2a

Đáp án B
a

Phương pháp: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ tính

f   x  dx
�

a
a

a

a

a

f  x  dx  �
f   x  dx 
�

Sử dụng công thức :

a

�
f  x   f  x  �
dx
�
�
�

a

�x  a � t  a
Cách giải: Đặt t   x � dt  dx . Đổi cận �
�x  a � t  a
Khi đó ta có:
I

a

a

a

a

f  x  dx   �
f   t  dt 
�
a

a

a

f   x  dx
�

a

a

a

� 2I 

f  x  dx  �
f   x  dx  �
�
f  x   f  x  �
dx  �
adx  a x
�
�
�

�Ia

2

a

a

a

a

a
a

 2a 2

Câu 35: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên �và có
đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng được đánh dấu trong hình bên có diện
tích là
b

c

a

b

f  x  dx  �
f  x  dx
A. �
b

c

a

b

b

c

a

b

b

b

a

c

f  x  dx  �
f  x  dx
B. �

f  x  dx  �
f  x  dx
C.  �

f  x  dx  �
f  x  dx
D. �

Đáp án A
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  f  x  , y  0, x  a, x  b
Lời giải:
b
c
�
f  x   0 khi x � a; b 

�
f  x  dx  �
f  x  dx. Mà �
Ta có S  S1  S2  �
f  x   0 khi x � b;c 
a
b
�
b

c

b

c

a

b

a

b

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx
Khi đó S  �
Câu 36 :(Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1): Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

đoạn  a; b  ; và f  x   0, x � a; b  . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y  f  x  , trục hoành và 2 đường thẳng x  a, x  b  a  b  . Thể tích của vật thể tròn
xoay khi quay D quanh Ox được tính theo công thức
b

b

f  x  dx
A. �

f  x  dx
B. �

2

2

a

a

b

�
f  x �
C. �
�
�dx
a

2

b

�
f  x �
D. �
�
�dx
a

Đáp án C
Phương pháp: Dựa vào công thức ứng dụng tích phân để tính thể tích vật tròn xoay.
b

�
f  x �
Cách giải: V  �
�
�dx
2

a

Câu 37:(Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1): Biết rằng
e

x ln xdx  ae
�
1

2

 b, a, b ��. Tính a  b

2


A. 0

B. 10

C.

1
4

D.

1
2

: Đáp án D
b

b

b

udv  uv a  �

vdu
Phương pháp: Công thức từng phần: �
a

a

dx
�
du 
�
u

ln
x
�
�
x
��
Cách giải: Đặt �
2
dv  xdx
�
�v  x
� 2
e

e
x2
1
e 2 �e 2 1 � e 2  1

� I  .ln x  �
xdx   �  �
2
21
2 �4 4 � 4
1
1
1
�a  b  �ab 
4
2

Câu 38: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên
1
f  x
f  x  dx
� và là hàm số chẵn, biết � x dx  1. Tính �
1 e
1
1
1

A. 1

B. 2

Đáp án
Phương pháp: Đặt t   x
1
f  x

I

dx  1
Cách giải:
�
1  ex
1

C. 4

D.

1
2

 1

Đặt t   x � dt  dx.
�x  1 � t  1
Đổi cận �
�x  1 � t  1

1
1
f  x
f  t 
f  t
dx



dt


dt
t
x
t
�
�
�
(do f  x  là hàm chẵn)
1

e
1

e
1

e
1
1
1
t
e
1

Khi đó:

I

1 x
1 x
et f  t 
e f  x
e f  x
  � t dt  � x dt � � x dt  1
1 e
1 e
1 e
1
1
1
1

 2

1 x
1
1
e x  1 f  x 
ex f  x 
e f  x

Từ (1), (2), suy ra � x dt+ � x dt  2 � �
dx=2 � �
f  x  dx=2
1 e
1 e
1  ex

1
1
1
1
1

Câu 39: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1)Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn


bởi 2 đồ thị của 2 hàm số y  x 2 và y  x  2. Diện tích của hình (H) bằng
7
9
3
B. 
C.
6
2
2
Đáp án D
Phương pháp:
A.

D.

9
2

Diện tích hình phẳng tạo bởi hai đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  và các đường thẳng
x  a, x  b, a  b
b

S�
f  x   g  x  dx
a

Cách giải: Phương trình hoành độ giao điểm của y  x 2 và y  x  2
x  1
�
x2  x  2 � x2  x  2  0 � �
x2
�
Diện tích hình (H):
2

2

2

2

1 3 1 2
�
S �
x   x  2  dx  �
x  x  2dx   �
 x  x  2 dx  �
� x  x  2x �
2
�3
�1

1
1
1
2

2

2

1
1
3
2
�1
� �1
� 9
 � 23  22  2.2 � �  1   1  2  1 �
2
2
�3
� �3
� 2
Câu 40: ( Chuyên Tiền Giang-2018)Cho hàm số y  f  x  liên tục trên �. Biết
2

4

0

0

x.f  x 2  dx  2, hãy tính I  �
f  x  dx.
�
A. I  2.

B. I  1.

1
C. I  .
2

D. I  4.

Đáp án D.
2
4
4
�x  0 � t  0
1
2
2
t

x
�
dt

2xdx,
�

x.f
x
dx

f
t
dt
�
f  x  dx  4 � I  4.
 
Đặt
�
� 
�
2�
�x  2 � t  4 0
0
0
Câu 41: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
1
4
y  x 2 , y   x  và trục hoành.
3
3
11
61
343
39
A.
B.

C.
D.
6
3
162
2
Đáp án A.

Vì diện tích của 3 đường nên ta cần vẽ hình:
1
4
2
PT hoành độ giao điểm giữa 2 đường y  x , y   x  là
3
3


x 1
�
1
4
�
x  x �
4.
�
3
3
x
3
�

2

1

4

� x 4 � 11
x dx  �
  �
dx  .
Dựa vào hình vẽ ta có: S  �
�
3 3�
6
0
1�
2

Câu 42: (Cụm 5 trường chuyên)Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  . Giả sử hàm
số u  u  x  có đạo hàm liên tục trên  a; b  và u  x  � ;  x � a; b  , hơn nữa f  u 
liên tục trên đoạn  a; b  . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
b

u b

a

u a 

f  u  x   u 'dx 

A. �
u b

b

u a 

a

b

b

a

a

f  u  x   u 'dx  �
f  u  du
B. �

�f  u  du

f  u  x   u '  x  dx  �
f  u  du
C. �

b

b

a

a

f  u  x   u '  x  dx  �
f  x  du
D. �

Đáp án A
Phương pháp: Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt t  u  x 
Cách giải:
�
�x  a � t  u  a 
Đặt t  u  x  � dt  u '  x  dx. Đổi cận �
�x  b � t  u  b 
b

u b

u b

a

u a 

u a 

I�
f  u  x   u '  x  dx 

�f  t  dt 

�f  u  du

2


�
Câu 43: (Cụm 5 trường chuyên) Tính tích phân I  sin �
dx
� x�
�
4
�
�
0
A. I  1

B. I  1

C. I  0

Đáp án C
1
sin  a x  b  dx   cos  a x  b   C
Phương pháp: �
a

D. I 


4



2




2
2
�
� �2
Cách giải: I  sin �

x
dx

cos

0
�
�
� x� 
�
2
2
�4

�
�4 �0
0

e  nx dx
I

Câu 44: (Cụm 5 trường chuyên) Cho n �  x , n ��. Đặt
1 e
0
1

u n  1 I1  I 2   2  I 2  I3   3  I 3  I 4   ...  n  I n  I n1   n . Biết lim u n  L. Mệnh đề nào sau
đây là đúng?
A. L � 2; 1
Đáp án B

B. L � 1;0 

C. L � 1; 2 

D. L � 0;1

Phương pháp: Tính tổng quát n  I n  I n 1  bằng bao nhiêu, sau đó thay vào tính u n và sử
dụng công thức tổng của cấp số nhân để rút gọn u n .
Cách giải:
1  n 1
1  nx
e  1  e x  dx 1  nx
e nx dx

e
dx
e  nx
Ta có: I n  In 1  �  x  �  x  �

e
dx

�
1 e
1 e
1  ex
n
0
0
0
0
1

1


0

e  n  1
n

� n  I n  I n 1   1  e  n

� u n  1  I1  I 2   2  I 2  I3   3  I3  I 4   ...  n  I n  I n 1   n

1� 1
1 n
1 � e�
e
�1 1
�
1
2
n
u n  1  e  1  e  ...  1  e  n   �  2  ...  n � 
1
e �
�e e
1
e
1
� L  lim u n 
�0,58 � 1;0 
e 1

� 1
� n 1
� e
e 1

Câu 45: (Cụm 5 trường chuyên) Cho số thực a  0 . Giả sử hàm số f  x  liên tục và
luôn dương trên đoạn

 0;a  thỏa

mãn f  x  .f  a  x   1, x � 0;a  . Tính tích phân

a

1
I�
dx.
1

f
x


0
A. I 

a
2

B. I  a

C. I 

2a
3

D. I 

a
3

Đáp án A
Phương pháp : Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt x  a  t .
�x  0 � t  a
Cách giải : Đặt x  a  t � dx  dt. Đổi cận �
�x  a � t  0
0
a
a
a
f  x
1
1
1
� I  �
dt  �
dx  �
dx  �
dx
1
1 f  a  t 
1 f  a  x 
1 f  x 
a
0
0 1
0
f  x
a

a

1
x
a
� f  x   1 � I  �dx 

2
20 2
0
Câu 46: (Chuyên Chu Văn An-2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và

cắt trục hoành tại điểm x  c  a  c  b  (như hình vẽ bên). Gọi S là diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  trục hoành và hai đường thẳng x  a; x  b. Mệnh
đề nào dưới đây đúng ?
c

b

f  x  dx  �
f  x  dx
A. S  �
a

c

c

b

f  x  dx  �
f  x  dx
B. S   �
a

c

c

b

a

c

f  x  dx  �
f  x  dx
C. S  �
b

f  x  dx
D. S  �
a

Đáp án B.
Phương pháp : Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
b

c

b

c

b

a

a

c

a

c

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx   �
f  x  dx  �
f  x  dx
Cách giải: S  �
1

Câu 47: (Chuyên Chu Văn An-2018) Biết
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
9
9
A. a  b 

B. ab 
30
8
Đáp án C.
Phương pháp: Chia tử cho mẫu.

x 5

dx  a  ln b với a, b là các số thực.
�
2x  2
1
2

C. ab 

8
81

D. a  b 

7
24


1

1

1

3

3

3

1

x 5
x 1 6
3 � �1
�1
�
dx  �
dx  �
dx  � x  3ln x  1 �
Cách giải: �
�
�
2 x  1 � �2
�1
1 2x  2
1 2x  2
1�

3

� 1
a

�
1
1
4 1
2 1
8
8
� 3
  3ln 2   3ln   3ln   ln
��
� ab 
8
2
6
3 3
3 3
27
81
�
b
� 27
Câu 48: (Chuyên Chu Văn An-2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  1; � và
3





2

f x  1 dx  8. Tích phân I  �
xf  x  dx bằng:
�
0

1

A. I  8
Đáp án B.

B. I  4

C. I  16

D. I  2

Phương pháp: Đặt t  x  1

�x  0 � t  1
Cách giải: Đặt t  x  1 � t 2  x  1 � dx  2tdt, đổi cận �
�x  3 � t  2
3





2

2

2

1

1

1

��
f x  1 dx  �
f  t  2tdt  2 �
xf  x  dx  8 � �
xf  x  dx  4
0

3

Câu 49: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1)Cho

e
�

x 1

dx
 a.e 2  b.e  c,
x 1

.

0

với a, b, c là các số nguyên. Tính S  a  b  c
A. S  4
B. S  1
C. S  0
D. S  2
Đáp án C
Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ, đưa về phương pháp đổi biến số tính tích phân
Lời giải:
�x  0 � t  e
e x 1
x 1
� 2dt 
dx và đổi cận �
Đặt t  e
2
x 1
�x  3 � t  e
3

e
Khi đó �
0

Vậy S  2

x 1

a2
�
e2
dx
e2
�
2
2
.
 2�
dt  2t e  2e  2e  a.e  b.e  c � �
b  2
x 1
e
�
c0
�

7

Câu 50: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1)Cho tích phân

�1  x
0

m
là một phân số tối giản. Tính m  7n.
n
A. 2
B. 1

C. 0

x 3dx

3

2



D. 91

m
, với
n


Đáp án B
Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ t  3 1  x 2 , đưa về tích phân hàm đa thức.
Lời giải:
�x  0 � t  1
3t 2
Đặt t  3 1  x 2 � t 3  1  x 2 � 2xdx  3t 2dt � xdx 
dt và �
2
�x  7 � t  2
7

Khi đó

�1  x
0

7

3

x 3dx

�1  x

Vậy

0

3

7

x 3dx

2

2


=



2

2

t 3  1 3t 2
3
141
.xdx

.
dt  �
t 4  t  dt 

�
�
3
2
t
2
21
20
1 x
0
1
x2

m  141
�
m

 �

n  20
n
�

m 7n 141 7.20 1

Câu 51: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đồ thị y  x 2  2x và y   x 2  x .
9
10
A. 6
B. 12
C.
D.
8
3
Đáp án C
Phương pháp giải:
Tìm hoành độ giao điểm, áp dụng công thức tính diện tích giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
Lời giải:
 P1  ,  P2  là nghiệm của phương trình:
Hoành độ giao điểm của
x0
�
2
2
�
x  2x   x  x �

3
�
x
� 2
Vậy diện tích cần tính là
3
2

3
2

3
2

0

0

0

S�
x 2  2x    x 2  x  dx  �
2x 2  3x dx  �
 3x  2x 2  dx 

9
8

Câu 52: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn


2


2

0

0

s inx.f  x   f  0   1. Tính I  �
cos x.f '  x  dx
�
A. I  2
B. I  1
C. I  1
Đáp án D
Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp từng phần tính tích phân

D. I  0


du   sin xdx
�u  cos x
�
2

��
, Khi đó I  cos x.f  x  2  s inx.f  x  dx
Lời giải: Đặt �
�

dv  f '  x  dx
0
�
�v  f  x 
0


2


2

 � �
 cos .f � � cos0.f  0   �
s inx.f  x  dx  f  0   �
s inx.f  x  dx  1  1  0
2 �2 �
0
0


Câu 53: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1)Cho f  x  là hàm số liên tục trên �và
1

3

0

0

1

f  x  dx  4, �
f  x  dx  6. Tính I  �
f  2x  1  dx
thỏa mãn điều kiện �
A. I  6

1

B. I  3

D. I  5

C. I  4

Đáp án D
Phương pháp giải:
Chia trường hợp để phá trị tuyệt đối, sử dụng đổi biến số để đưa về tích phân đề bài cho
Lời giải:
Ta có
1

I �
f  2x  1  dx 
1



1

2

f  2x  1  dx 
�

1

1

f  2x  1  dx 
�


1
2



1
2

1

f  2x  1 dx  �
f  2x  1 dx
�
1
1
1
4 4 2 4 43  2

I1
1 44 2 4 43
I2

�x  1 � t  1
dt
�
�Đặt t  2x  1 � dx  
và �
. Khi đó
1
x  �t 0
2
�
�
2
0
1
1
1
I1   �
f  t  dt  �
f  x  dx  2
21
20
1
�
dt
�x   � t  0
�Đặt t  2x  1 � dx 

2
và �
. Khi đó
2
�
�x  1 � t  3
3
3
1
1
I2  �
f  t  dt  �
f  x  dx  3
20
20
1

f  2x  1  dx  I1  I 2  2  3  5
Vậy I  �
1

Câu 54: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị các hàm số y  x và y  e x , trục tung và đường thẳng x  1 được tính theo công
thức
1

e  1 dx
A. S  �
x

0

1

1

B. S 

�e  1 dx
x

1

x  e dx
C. S  �
x

0

Đáp án B
x
Xét hàm số f  x   e  x , hàm số liên tục trên đoạn  0;1
x
Ta có f '  x   e  1 � f '  x   0, x � 0;1 � f  x  đồng biến trên  0;1

1

D. S 

e  x dx

�
x

1


1

 e x  1 dx
Suy ra f  x  �f  0   1  0 � e  x, x � 0;1 � S  �
x

0

1

e 2x dx bằng
Câu 55: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An)Tích phân I  �
0

e2  1
C.
2

B. e  1

A. e  1
2

D. e 

1
2

Đáp án C
1

1

1 2x
e 2x
e dx  �
e d  2x  
Ta có I  �
20
2
0

1

2x

0

e2  1

2
2

fx

�

Câu 56: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An)Cho

1

2

 1 dx  2. Khi đó

5

I�
f  x  dx bằng
2

A. 2

C. 1

B. 1

D. 4

Đáp án D
2

5

1

2

2
f  x 2  1 xdx  �
f  t .
Đặt t  x  1 � dt  2xdx � �

5

dt 1

f  x  dx  2
2 2�
2

5

f  x  dx  4
Do đó I  �
2

Câu 57: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Xét hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;1
1

f  x  dx bằng
và thỏa mãn 2f  x   3f  1  x   1  x. Tích phân �
0

A.

2
3

B.

1
6

C.

2
15

D.

3
5

Đáp án C
1

1

1

1

2
�

2f  x   3f  1  x  �
f  x  dx  3�
f  1  x  dx 
Ta có �
�
�dx  �1  xdx � 2 �
3
0
0
0
0

 1


1
0
1
�x  0 � t  1
� �
f  1  x  dx   �
f  t  dt  �
f  x  dx
Đặt t  1  x � dx  dt �
�x  1 � t  0
0
1
0
1

f  x  dx 
Từ (1) và (2) suy ra 5 x �
0

 2

1

2
2
��
f  x  dx 
3
15
0

Câu 58: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Hàm số f  x 

7 cos x  4s inx
có một
cos x  s inx

� � 3
� �
nguyên hàm F  x  thỏa mãn F � � . Giá trị của F � �bằng
�4 � 8
�2 �
A.

3  11ln 2

4

B.

3
4

C.

3
8

D.

3  ln 2
4

Đáp án D
Tách 7 cos x  4sin x  a  cos x  s inx   b  cos x  s inx    a  b  .cos x   a  b  .s inx
ab7
�
3
11
3
11
��
� a  ; b  � 7 cos x  4s inx   cos x  s inx    cos x  s inx 
a  b  4
2
2

2
2
�

2


2





4

4

4

4

2
2
3  cos x  s inx   11 cos x  s inx 
d  cos x  s inx 
f  x  dx  �
dx  �
3dx  11�
Khi đó 2 �
cos x  s inx

cos x  s inx







3
 11.ln cos x  s inx
4


2

4




2

3 11.ln 2
3 11.ln 2

��
f  x  dx 

4
2

8
4

4


2

� � � �
� � � � 3 11.ln 2 3  11.ln 2
f  x  dx  F � � F � �suy ra F � � F � � 

Mà �
4
4
�2 � �4 �
�2 � �4 � 8

4
1

Câu 59: ( Chuyên Sơn La- Lần 1)Tích phân

dx

bằng
�
x 1
0

A. log 2

B. 1

D.  ln 2

C. ln 2

Đáp án C
Phương pháp: Sử dụng bảng nguyên hàm mở rộng:

1

1

dx  ln a x  b  C
�
axb
a