Trắc nghiệm nguyên hàm có lời giải

Chủ đề 4.1. NGUYÊN HÀM
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1. Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F ( x )
được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K nếu F ' ( x ) = f ( x ) với mọi x ∈ K .
Định lí:

1) Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số

G ( x ) = F ( x ) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x ) trên K .
2) Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì mọi nguyên hàm của f ( x ) trên K đều
có dạng F ( x ) + C , với C là một hằng số.
Do đó F ( x ) + C , C ∈ ¡ là họ tất cả các nguyên hàm của f ( x ) trên K . Ký hiệu

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C .

2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1:

( ∫ f ( x ) dx ) ′ = f ( x ) và ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C

Tính chất 2: ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với k là hằng số khác 0 .

Tính chất 3: ∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f ( x ) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số hợp ( u = u ( x ) )

∫ dx = x + C

∫ du = u + C

∫x

∫u

α

dx =

1 α+1
x + C ( α ≠ −1)
α +1

1

∫ x dx = ln x + C
∫ e dx = e + C
x

x

ax
+ C ( a > 0, a ≠ 1)
ln a
∫ sin xdx = − cos x + C

α

du =

1 α+1
u + C ( α ≠ −1)
α +1

1

∫ u du = ln u + C
∫ e du = e + C
u

u

au
+ C ( a > 0, a ≠ 1)
ln a
∫ sin udu = − cos u + C

x
∫ a dx =

u
∫ a du =

∫ cos xdx = sin x + C

∫ cos udu = sin u + C

1

∫ cos

2

x

1

∫ sin

2

x

1

dx = tan x + C

∫ cos

dx = − cot x + C

∫ sin

2

u

1
2

u

du = tan u + C
du = − cot u + C

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến số
Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm

1|THBTN


Định lí 1: Nếu

∫ f ( u ) du = F ( u ) + C

và u = u ( x ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

∫ f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx = F ( u ( x ) ) + C
Hệ quả: Nếu u = ax + b ( a ≠ 0 ) thì ta có ∫ f ( ax + b ) dx =

1
F ( ax + b ) + C
a

2. Phương pháp nguyên hàm từng phần

Định lí 2: Nếu hai hàm số u = u ( x ) và v = v ( x ) có đạo hàm liên tục trên K thì

∫ u ( x ) v ' ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) − ∫ u ' ( x ) v ( x ) dx
Hay

∫ udv = uv − ∫ vdu
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp.
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.

3
Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x + 3 x + 2 là hàm số nào trong các hàm số sau?

A. F ( x ) =

x 4 3x 2
+
+ 2x + C .
4
2

B. F ( x ) =

x4
+ 3x 2 + 2 x + C .
3

C. F ( x ) =

x4 x2
+ + 2x + C .
4 2

2
D. F ( x ) = 3 x + 3 x + C .

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.
Câu 2.

3
2
Hàm số F ( x ) = 5 x + 4 x − 7 x + 120 + C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
2
A. f ( x ) = 15 x + 8 x − 7 .

C. f ( x ) =

2
B. f ( x ) = 5 x + 4 x + 7 .

5 x 2 4 x3 7 x 2
.
+
−
4
3

2

2
D. f ( x ) = 5 x + 4 x − 7 .

Hướng dẫn giải: Lấy đạo hàm của hàm số F ( x ) ta được kết quả.
Câu 3.

2
Họ nguyên hàm của hàm số: y = x − 3x +

x3 3 2
− x + ln x + C .
3 2
x3 3
C. F ( x ) = + x 2 + ln x + C .
3 2
A. F ( x ) =

2|THBTN

1
là
x
x3 3 2
− x + ln x + C .
3 2
1
D. F ( x ) = 2 x − 3 − 2 + C .
x

B. F ( x ) =

Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm


Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.
Câu 4.

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x + 1) ( x + 2 )
x3 2 2
+ x + 2x + C .
3 3
x3 2
C. F ( x ) = 2 x + 3 + C .
D. F ( x ) = − x 2 + 2 x + C .
3 3
2
f
x
=
x
+
1
x
+
2
=
x
+
3

x
+
2
)(
)
Hướng dẫn giải: ( ) (
. Sử dụng bảng nguyên hàm.
A. F ( x ) =

Câu 5.

x3 3 2
+ x + 2x + C .
3 2

B. F ( x ) =

Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =

2
2 3
+ + 2 là hàm số nào?
5 − 2x x x

3
A. F ( x ) = − ln 5 − 2 x + 2 ln x − + C .
x
C. F ( x ) = ln 5 − 2 x + 2 ln x −

3

+C .
x

B. F ( x ) = − ln 5 − 2 x + 2 ln x +

3
+C .
x

D. F ( x ) = − ln 5 − 2 x − 2 ln x +

3
+C .
x

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.
4.1.2. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
Câu 6.

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 2 x
1
A. ∫ sin 2 xdx = − cos 2 x + C .
2

1
B. ∫ sin 2 xdx = cos 2 x + C .
2

C. ∫ sin 2 xdx = cos 2 x + C .

D. ∫ sin 2 xdx = − cos 2 x + C .

Hướng dẫn giải ∫ sin 2 xdx =
Câu 7.

π

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos  3x + ÷.
6


π



1

A.

∫ f ( x)dx = 3 sin  3x + 6 ÷ + C .

C.

∫ f ( x)dx = − 3 sin  3x + 6 ÷ + C .



1

Hướng dẫn giải:

Câu 8.

1
1
sin 2 xd (2 x) = − cos 2 x + C .
∫
2
2

π

1



∫ f ( x).dx = sin  3x + 6 ÷ + C .

D.

∫ f ( x)dx = 6 sin  3x + 6 ÷ + C .

π 

π 1

π

1





π

∫ f ( x)dx = 3 ∫ cos  3x + 6 ÷ d  3x + 6 ÷ = 3 sin  3x + 6 ÷+ C .

2
Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 + tan

x

A.

∫ f ( x)dx = 2 tan 2 + C .

C.

∫ f ( x)dx = 2 tan 2 + C .

1

π



B.

x

Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm

x
.
2
x

B.

∫ f ( x)dx = tan 2 + C .

D.

∫ f ( x)dx = −2 tan 2 + C .

x

3|THBTN


 x
d ÷
dx
x
2
∫ 2 x = 2∫ 2 x = 2 tan 2 + C .
cos
cos
2
2

x
1
f ( x) = 1 + tan =
Hướng dẫn giải:
2 cos 2 x nên
2
2

Câu 9.

Tìm nguyên hàm của hàm số

f ( x) =

1

π.

sin 2  x + ÷
3


π



A.

∫ f ( x)dx = − cot  x + 3 ÷ + C .

C.

∫ f ( x)dx = cot  x + 3 ÷ + C .

π





1

π

B.

∫ f ( x)dx = − 3 cot  x + 3 ÷ + C .

D.

∫ f ( x)dx = 3 cot  x + 3 ÷ + C .



1

π

π


dx+ ÷
dx
π
3

=∫ 
= − cot  x + ÷+ C .
Hướng dẫn giải: ∫
π
π
3



sin 2  x + ÷
sin 2  x + ÷
3
3


Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 3 x.cos x .
A.
C.

sin 4 x
+C .
4

∫

f ( x )dx =

∫

sin 2 x
f ( x )dx =
+C .
2

B.
D.

Hướng dẫn giải ∫ sin 3 x.cos x.dx = ∫ sin 3 x.d (sin x ) =

sin 4 x
+C .
4

∫

f ( x)dx = −

∫

sin 2 x
f ( x)dx = −
+C .
2

sin 4 x
+C .
4

4.1.3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT.
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x − e − x .

∫ f ( x ) dx = e
C. ∫ f ( x ) dx = e
A.

x

+ e− x + C .

x

− e− x + C .

Hướng dẫn giải:

∫( e

x

∫ f ( x ) dx = −e
D. ∫ f ( x ) dx = −e
B.

− e − x ) dx = e x + e − x + C .

x

+ e− x + C .

x

− e− x + C .

Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x.3−2 x .
A.
C.

x

∫

1
2
f ( x ) dx =  ÷ .
+C .
 9  ln 2 − ln 9

∫

1
2
f ( x ) dx =  ÷ .
+C .
 3  ln 2 − ln 9

B.

x

Hướng dẫn giải: ∫ 2 .3
x

−2 x

D.
x

x

∫

1
9
f ( x ) dx =  ÷ .
+C .
 2  ln 2 − ln 9

∫

1
2
f ( x ) dx =  ÷ .
+C .
 9  ln 2 + ln 9

x

x

1
2
2
dx = ∫  ÷ dx =  ÷ .
+C
9
 9  ln 2 − ln 9

Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x (3 + e − x ) là
A. F ( x) = 3e x + x + C .
4|THBTN

B. F ( x) = 3e x + e x ln e x + C .
Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm


x
C. F ( x ) = 3e −

1
+C .
ex

D. F ( x) = 3e x − x + C .

x
−x
x
x
Hướng dẫn giải: F( x ) = ∫ e (3 + e )dx = ∫ (3e + 1)dx = 3e + x + C

x
Câu 14. Hàm số F ( x ) = 7e − tan x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

e− x 
x
f
x
=
e
7
−
A. ( )

÷.
cos 2 x 


x
B. f ( x ) = 7e +

x
2
C. f ( x ) = 7e + tan x − 1 .

1 
 x
D. f ( x ) = 7  e −
÷.
cos 2 x 


Hướng dẫn giải: Ta có g '( x) = 7e x −

1
.
cos 2 x

1
e− x
x
=
e
(7
−
) = f ( x)
cos 2 x
cos 2 x

Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e 4 x − 2 .
1

2 x −1

+C .

B.

∫ f ( x ) dx = e

1

4 x −2

+C .

D.

∫ f ( x ) dx = 2

A.

∫ f ( x ) dx = 2 e

C.

∫ f ( x ) dx = 2 e

2 x −1

+C .

1

e 2 x −1 + C .

2x −1 + C .

1
e 4 x − 2 dx = ∫ e 2 x−1dx = e 2 x −1 + C .
2
4.1.4. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.
1
Câu 16. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
là
2x −1
Hướng dẫn giải:

∫

A.

∫ f ( x ) dx =

2x −1 + C .

B.

∫ f ( x ) dx = 2

C.

∫ f ( x ) dx =

2x −1

+C .
2

D.

∫ f ( x ) dx = −2

2x −1 + C .

1
1 d ( 2 x − 1)
dx = ∫
= 2x −1 + C .
2
2x −1
2x −1
1
Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
.
3− x
Hướng dẫn giải:

∫

∫ f ( x ) dx = −2 3 − x + C .
C. ∫ f ( x ) dx = 2 3 − x + C .
A.

Hướng dẫn giải:

∫

∫ f ( x ) dx = − 3 − x + C .
D. ∫ f ( x ) dx = −3 3 − x + C .
B.

d ( 3 − x)
1
dx = − ∫
= −2 3 − x + C .
3− x
3− x

Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x + 1 .
1

A.

∫ f ( x ) dx = 3 ( 2 x + 1)

C.

∫ f ( x ) dx = − 3

1

2x +1 + C .

2x +1 + C .

2

B.

∫ f ( x ) dx = 3 ( 2 x + 1)

D.

∫ f ( x ) dx = 2

1

2x + 1 + C .

2x + 1 + C .

Hướng dẫn giải: Đặt t = 2 x + 1 ⇒ dx = tdt
⇒ ∫ 2 x + 1dx= ∫ t 2 dt =

t3
1
+ C = ( 2 x + 1) 2 x + 1 + C .
3
3

Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm

5|THBTN

Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 5 − 3x .
2

A.

∫ f ( x ) dx = − 9 ( 5 − 3x )

C.

∫ f ( x ) dx = 9 ( 5 − 3x )

2

5 − 3x + C .
5 − 3x .

Hướng dẫn giải: Đặt t = 5 − 3x ⇒ dx = −

∫

5 − 3 xdx = −

2

B.

∫ f ( x ) dx = − 3 ( 5 − 3x )

D.

∫ f ( x ) dx = − 3

2

5 − 3x .

5 − 3x + C .

2tdt
3

2
( 5 − 3x ) 5 − 3x + C .
9

Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x − 2 .
A.
C.

3

∫ f ( x ) dx = 4 ( x − 2 )
∫

f ( x ) dx =

3

x−2 +C .

B.

2
( x − 2) x − 2 .
3

D.

3

∫ f ( x ) dx = − 4 ( x − 2 )
∫

x−2 +C .

3

2
1
−
( x − 2) 3 + C .
3
3
x − 2dx = ( x − 2 ) 3 x − 2 + C
4

f ( x ) dx =

Hướng dẫn giải: Đặt t = 3 x − 2 ⇒ dx = 3t 2 dt . Khi đó

∫

3

Câu 21. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 1 − 3x .
A.
C.

1

∫ f ( x ) dx = − 4 ( 1 − 3x )
∫

f ( x ) dx =

3

1 − 3x + C .

1
( 1 − 3x ) 3 1 − 3x + C .
4

3

B.

∫ f ( x ) dx = − 4 ( 1 − 3x )

D.

f ( x ) dx = − ( 1 − 3 x )

∫

Hướng dẫn giải: Đặt t = 3 1 − 3x ⇒ dx = −t 2 dt . Khi đó

∫

3

1 − 3 xdx = −

−

2
3

3

1 − 3x + C .

+C .

1
( 1 − 3x ) 3 1 − 3 x + C
4

Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e3 x .
A.

C.

∫

2 e3 x
f ( x ) dx =
+C
3

∫

3 e3 x
f ( x ) dx =
+C
2

Hướng dẫn giải:

∫

B.

∫ f ( x ) dx = 2

3
e3 x

+C

3x+2

D.

∫

2e 2
f ( x ) dx =
+C
3x + 2

2 32x  3 x  2 32x
2 e3 x
e dx = ∫ e .d  ÷ = .e + C =
+C
3
3
 2  3
3x

Câu 23. Hàm số F ( x ) = ( x + 1)

2

x + 1 + 2016 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

5
( x + 1) x + 1
2
2
C. f ( x ) = ( x + 1) x + 1

5
A. f ( x ) =

Hướng dẫn giải: F ' ( x ) =

B. f ( x ) =

5
( x + 1) x + 1 + C
2

D. f ( x ) = ( x + 1) x + 1 + C
5
( x + 1) x + 1
2

Câu 24. Biết một nguyên hàm của hàm số

f ( x) =

1
2
+ 1 là hàm số F ( x ) thỏa mãn F ( −1) = .
1 − 3x
3

Khi đó F ( x ) là hàm số nào sau đây?
6|THBTN

Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm

2
2
1 − 3x + 3
1 − 3x − 3
B. F ( x ) = x −
3
3
2
2
1 − 3x + 1
1 − 3x
C. F ( x ) = x −
D. F ( x ) = 4 −
3
3
Hướng dẫn giải
1 d ( 1 − 3x )
2
 1

F ( x) = ∫ 
+ 1÷dx = − ∫
+ x = x−
1 − 3x + C
3
3
1 − 3x
 1 − 3x 

A. F ( x ) = x −

F ( −1) =

2
2
⇒ C = 3 ⇒ F ( x) = x −
1 − 3x + 3
3
3

Câu 25. Biết F ( x) = 6 1 − x là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. −3 .

B. 3 .

C. 6 .

a
. Khi đó giá trị của a bằng
1− x
1
D. .
6

−3
⇒ a = −3
1− x
4.1.5. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

(

Hướng dẫn giải: F '( x) = 6 1 − x

)′ =

Câu 26. Tính F ( x) = ∫ x sin xdx bằng

A. F ( x) = sin x − x cos x + C .
B. F ( x) = x sin x − cos x + C .
C. F ( x) = sin x + x cos x + C .
D. F ( x) = x sin x + cos x + C .
Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần
Phương pháp trắc nghiệm:
d
Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập
( F ( x) ) − f ( x) , CALC ngẫu nhiên tại một
dx
số điểm x0 thuộc tập xác định, kết quả xấp xỉ bằng 0 chọn.

Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng
u và đạo hàm của u
dv và nguyên hàm của v
x
++
sin x
− cos x
-+
1

− sin x
0
Vậy F ( x ) = sin x − x cos x + C .
Câu 27. Tính

∫ x ln

2

xdx . Chọn kết quả đúng:

1 2
1 2
2
x 2 ln 2 x − 2 ln x + 1 + C .
B. x 2 ln x − 2 ln x + 1 + C .
4
2
1 2
1 2
2
2
C. x 2 ln x + 2 ln x + 1 + C .
D. x 2 ln x + 2 ln x + 1 + C .
4
2
Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần.
Phương pháp trắc nghiệm
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0 .

d
Nhập máy tính
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
A.

(

)

(

)

(

)

(

)

Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm

7|THBTN


Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng:
u và đạo hàm của u

+
ln 2 x
2 ln x
x
2
ln x (chuyển
qua dv )
x
1
x
1
1 (chuyển qua dv )
+
x
0

dv và nguyên hàm của v
x

x2
2
2
x (nhận
từ u )
x
x2
2
x
1
(nhận

từ u )
2
x
x2
4
1 2 2
1 2
1 2
1 2
2
2
Do đó ∫ x ln xdx = x ln x − x ln x + x + C = x 2 ln x − 2 ln x + 1 + C .
2
2
4
4

(

)

Câu 28. Tính F ( x) = ∫ x sin x cos xdx . Chọn kết quả đúng:
1
x
A. F ( x) = sin 2 x − cos 2 x + C .
8
4
1
x
C. F ( x) = sin 2 x + cos 2 x + C .

4
8
Hướng dẫn giải:

1
x
cos 2 x − sin 2 x + C .
4
2
−1
x
D. F ( x) = sin 2 x − cos 2 x + C .
4
8
B. F ( x) =

1
Phương pháp tự luận: Biến đổi sin x cos x = sin 2 x rồi sử dụng phương pháp nguyên hàm
2
từng phần.
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0
d
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
Nhập máy tính

x

Câu 29. Tính F ( x) = xe 3 dx . Chọn kết quả đúng
∫
x

x

A. F ( x) = 3( x − 3)e 3 + C

B. F ( x) = ( x + 3)e 3 + C

x − 3 3x
C. F ( x) =
e +C
3
Hướng dẫn giải:

x + 3 3x
D. F ( x) =
e +C
3
x

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với u = x, dv = e 3 dx .
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0 .
d
Nhập máy tính
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx

nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
8|THBTN

Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm


x
dx . Chọn kết quả đúng
cos 2 x
A. F ( x) = x tan x + ln | cos x | +C .

Câu 30. Tính F ( x) = ∫

C. F ( x) = − x tan x + ln | cos x | +C .
Hướng dẫn giải:

B. F ( x) = − x cot x + ln | cos x | +C .
D. F ( x) = − x cot x − ln | cos x | +C .

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với u = x, dv =

1
dx
cos 2 x

Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0 .
d
Nhập máy tính

( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
2
Câu 31. Tính F ( x) = ∫ x cos xdx . Chọn kết quả đúng

A. F ( x) = ( x 2 − 2)sin x + 2 x cos x + C .

B. F ( x) = 2 x 2 sin x − x cos x + sin x + C .

C. F ( x) = x 2 sin x − 2 x cos x + 2sin x + C .

D. F ( x) = (2 x + x 2 ) cos x − x sin x + C .

Hướng dẫn giải:
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần với
u = x 2 ; dv = cos xdx , sau đó u1 = x; dv1 = sin xdx .
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0
d
Nhập máy tính
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
Câu 32. Tính F ( x) = ∫ x sin 2 xdx . Chọn kết quả đúng
1
1
A. F ( x) = − (2 x cos 2 x − sin 2 x) + C .

B. F ( x) = (2 x cos 2 x − sin 2 x) + C .
4
4
1
1
C. F ( x) = − (2 x cos 2 x + sin 2 x) + C .
D. F ( x) = (2 x cos 2 x + sin 2 x) + C .
4
4
Hướng dẫn giải: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với u = x; dv = sin 2 xdx
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng hoặc sử dụng máy tính: Nhập
d
( F ( x )) − f ( x ) , CALC ngẫu nhiên tại một số điểm x0 bất kỳ, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì
dx
chọn đáp án đó.
Câu 33. Hàm số F ( x) = x sin x + cos x + 2017 là một nguyên hàm của hàm số nào?
A. f ( x ) = x cos x .
B. f ( x ) = x sin x .
C. f ( x ) = − x cos x .
D. f ( x) = − x sin x .
Hướng dẫn giải:
Phương pháp tự luận: Tính F '( x) có kết quả trùng với đáp án chọn.
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0

Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm

9|THBTN


d

( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 chọn.
1 + ln( x + 1)
dx . Khẳng định nào sau đây là sai?
Câu 34. Tính ∫
x2
−1 + ln( x + 1)
x
1 + ln( x + 1)
x
+ ln
+C
+ ln
+C
A.
B. −
x
x +1
x
x +1
x +1
1 + ln( x + 1)
− ln x + 1 + ln x + C
C. −
D. −
( 1 + ln( x + 1) ) + ln | x | +C
x
x
Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với
Nhập máy tính

1
1
dx hoặc biến đổi rồi đặt u = ln( x + 1); dv == − 2 dx .
2
x
x
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra bằng định nghĩa.
4.1.6. ÔN TẬP
Câu 35. Hãy chọn mệnh đề đúng
u = 1 + ln( x + 1); dv = −

A. ∫ a x dx =

ax
+ C ( 0 < a ≠ 1) .
ln a

B. ∫ xα dx =

C. ∫ f ( x).g ( x) dx = ∫ f ( x) dx.∫ g( x)dx .

D. ∫

xα +1
+ C , ∀α ∈ R .
α +1

f ( x)
∫ f ( x)dx .
dx =
g ( x)
∫ g( x)dx

Hướng dẫn giải: A đúng. B sai vì thiếu điều kiện α =/ −1 ; C, D sai vì không có tính chất.
Câu 36. Mệnh đề nào sau đây sai?
1
A. ∫ sin xdx = cos x + C .
B. ∫ dx = ln x + C , x ≠ 0 .
x
x
a
x
x
D. ∫ a x dx =
C. ∫ e dx = e + C .
+ C , (0 < a ≠ 1) .
ln a
Hướng dẫn giải: ∫ sin xdx = − cos x + C
3
2
Câu 37. Hàm số f ( x ) = x − x + 3 +

1
có nguyên hàm là
x

x 4 x3

− + 3 x + ln x + C .
4 3
1
2
C. F ( x) = 3 x − 2 x − 2 + C .
x
A. F ( x) =

B. F ( x) = x 4 −

x3
+ 3x + ln x + C .
3

4
3
D. F ( x) = x − x + 3x + ln x + C .

1
x 4 x3
Hướng dẫn giải: F ( x) = ∫ ( x3 − x 2 + 3 + )dx = − + 3 x + ln x + C
x
4 3
2
Câu 38. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = tan x là
A. F ( x ) = tan x − x + C .

B. F ( x ) = − tan x + x + C .

C. F ( x ) = tan x + x + C .

D. F ( x ) = − tan x − x + C .


− 1÷dx = tan x − x + C
x 
Câu 39. Hàm số F ( x) = 7 sin x − cos x + 1 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Hướng dẫn giải:

10 | T H B T N



1

∫ f ( x)dx = ∫  cos

2

Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm


A. f ( x ) = sin x + 7 cos x .

B. f ( x ) = − sin x + 7 cos x .

C. f ( x ) = sin x − 7 cos x .

D. f ( x ) = − sin x − 7 cos x .

Hướng dẫn giải: F '( x) = 7 cos x + sin x
1
dx là
Câu 40. Kết quả tính ∫ 2
sin x cos 2 x
A. tan x − cot x + C .
B. cot 2x + C .
C. tan 2x − x + C .
D. − tan x + cot x + C .
1
1 
 1
dx = ∫ 
+ 2 ÷dx = tan x − cot x + C
Hướng dẫn giải: ∫ 2
2
2
sin x cos x
 cos x sin x 
1
1
2
+ 2 − 1 có một nguyên hàm là
Câu 41. Hàm số F ( x) = 3 x −
x x
1
−x.
x
1
3

C. f ( x ) = x − 2 x + .
x

1
−x.
x
1
1
3
x − −x.
D. f ( x) = x −
2
x

3
A. f ( x ) = x − 2 x −

Hướng dẫn giải: Ta có

3
B. f ( x) = x − x −



∫ F ( x)dx = ∫  3x

2

−

1
1
1

+ 2 − 1÷dx = x 3 − 2 x − 2 − x + C
x
x x


cos x
có một nguyên hàm F ( x) bằng
sin 5 x
1
1
4
−4
A. −
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
4
4
4sin x
4sin x
sin x

sin 4 x
cos x
1
1
+C
Hướng dẫn giải: ∫ f ( x)dx = ∫ 5 dx = ∫ 5 d (sin x ) = −
sin x
sin x
4sin 4 x

Câu 42. Hàm số f ( x ) =

Câu 43. Kết quả tính ∫ 2 x 5 − 4 x 2 dx bằng
A. −
C.

1
6

1
6

( 5 − 4x )

2 3

( 5 − 4x )

2 3

3
5 − 4 x2 ) + C .
(
8
3
1
5 − 4 x2 ) + C .
D. −
(
12

+C .

B. −

+C .

Hướng dẫn giải: Đặt t = 5 − 4 x 2 ⇒ tdt = −4 xdx
1 2
1 3
1
2
Ta có ∫ 2 x 5 − 4 x dx = − ∫ t dt = − t + C = −
2
6
6
Câu 44. Kết quả ∫ e

sin x

( 5 − 4x )

2 3

+C

cos xdx bằng

A. esin x + C .

B. cos x.esin x + C .

Hướng dẫn giải: Ta có ∫ e

sin x

C. ecos x + C .

D. e − sin x + C .

cos xdx = ∫ esin x d (sin x) =esin x + C

Câu 45. Tính ∫ tan xdx bằng
A. − ln cos x + C .

B. ln cos x + C .

Hướng dẫn giải: Ta có ∫ tan xdx = − ∫

C.

1
+C .
cos 2 x

D.

−1
+C .
cos 2 x

1
d (cos x) = − ln cos x + C
cos x

Câu 46. Tính ∫ cot xdx bằng
Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm

11 | T H B T N


A. ln sin x + C .

B. − ln sin x + C .

Hướng dẫn giải: Ta có ∫ cot xdx = ∫
Câu 47. Nguyên hàm của hàm số y =

C.

−1
+C .
sin 2 x

D.

1
−C .
sin 2 x

1
d (sin x) = ln sin x + C
sin x

x3
là
x −1

A.

1 3 1 2
x + x + x + ln x − 1 + C .
3
2

B.

1 3 1 2
x + x + x + ln x + 1 + C .
3

2

C.

1 3 1 2
x + x + x + ln x − 1 + C .
6
2

D.

1 3 1 2
x + x + x + ln x − 1 + C .
3
4

Hướng dẫn giải: Ta có

x3
1
. Sử dụng bảng nguyên hàm suy ra đáp án.
= x2 + x + 1 +
x −1
x −1

Câu 48. Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

x2 − 2 x + 3
là
x +1

A.

x2
− 3 x + 6 ln x + 1 .
2

B.

x2
+ 3 x + 6 ln x + 1 .
2

C.

x2
+ 3 x − 6 ln x + 1 .
2

D.

x2
− 3 x + 6 ln ( x + 1) .
2

x2 − 2 x + 3
6
Hướng dẫn giải: f ( x ) =
. Sử dụng bảng nguyên hàm.
= x −3+

x +1
x +1
Câu 49.

Kết quả tính

1

∫ x ( x + 3) dx

bằng

A.

1
x
ln
+C .
3 x+3

1
x
+C .
B. − ln
3 x+3

C.

2 x+3
ln

+C .
3
x

D.

Hướng dẫn giải:

Câu 50. Kết quả tính

1

2
x
ln
+C .
3 x+3

1
1 1
1 
=  −
÷ . Sử dụng bảng nguyên hàm.
x ( x + 3) 3  x x + 3 

∫ x ( x − 3) dx

bằng

A.

1 x−3
ln
+C .
3
x

B.

1 x+3
ln
+C .
3
x

C.

1
x
ln
+C .
3 x+3

D.

1
x
ln
+C .
3 x−3

Hướng dẫn giải:
12 | T H B T N

1
1 1
1
= 
− ÷. Sử dụng bảng nguyên hàm.
x ( x + 3) 3  x − 3 x 
Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm


Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1
là
x + x−2
2

1 x −1
+C .
A. F ( x ) = ln
3 x+2
C. F ( x ) = ln

1 x+2
+C .
B. F ( x ) = ln
3 x −1

x −1
+C .
x+2

Hướng dẫn giải: f ( x ) =

2
D. F ( x ) = ln x + x − 2 + C .

1
1 1
1 
= 
−
÷ . Sử dụng bảng nguyên hàm.
x + x − 2 3  x −1 x + 2 
2

2

1− x 
Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 
÷ là
 x 
1
A. F ( x ) = − − 2 ln x + x + C .
x
1
C. F ( x ) = − 2 ln x + x + C .

x

1
B. F ( x ) = − − 2 ln x + x + C .
x
1
D. F ( x ) = − − 2 ln x − x + C .
x
2

2
1 2
 1 − x  1− 2x + x
Hướng dẫn giải: f ( x ) = 
=
= 2 − + 1 . Sử dụng bảng nguyên hàm.
÷
2
x
x
x
 x 

Câu 53. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1
với a ≠ 0 là
x − a2
2

A.

1
x−a
ln
+C .
2a x + a

B.

1
x+a
ln
+C .
2a x − a

C.

1 x−a
ln
+C .
a x+a

D.

1 x+a
ln
+C .
a x−a

Hướng dẫn giải:

1
1  1
1 
=
−

÷. Sử dụng bảng nguyên hàm.
2
x −a
2a  x − a x + a 
2

Câu 54. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
trình F ( x ) = x có nghiệm là
B. x = 1 .

A. x = 1 − 3 .

x
8 − x2

thoả mãn F ( 2 ) = 0 . Khi đó phương

C. x = −1 .

D. x = 0 .

Hướng dẫn giải: Đặt t = 8 − x 2 ⇒ t 2 = 8 − x 2 ⇒ −tdt = xdx

∫

x
8 − x2

dx = − ∫

tdt
= −t + C = − 8 − x 2 + C .
t

Vì F ( 2 ) = 0 nên C = 2 . Ta có phương trình − 8 − x 2 + 2 = x ⇔ x = 1 − 3
Câu 55. Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm

1
và F ( 2 ) = 1 thì F ( 3) bằng
x −1
13 | T H B T N


A. ln 2 + 1 .

B. ln

Hướng dẫn giải:

3

.
2

C. ln 2 .

1

∫ x − 1 dx = ln x − 1 + C ,

D.

1
.
2

vì F ( 2 ) = 1 nên C = 1 . F ( x ) = ln x − 1 + 1 , thay

x = 3 ta có đáp án.
2
Câu 56. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ln x + 1.
2
của F ( e ) là

A.

8
.
9

B.

1
.
9

C.

2
Hướng dẫn giải: Đặt t = ln x + 1 ⇒ tdt =

∫

ln 2 x + 1.

3

ln x
t
dx = ∫ t 2 dt = + C =
x
3

2
Vậy F ( e ) =

(

ln x
1
thoả mãn F ( 1) = . Giá trị

x
3

8
.
3

D.

1
.
3

ln x
dx
x

ln 2 x + 1

)

3

3

+ C . Vì

F ( 1) =

1

nên C = 0
3

8
.
9

Câu 57. Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 2 x +
A. − cot x + x 2 −

1
π 
thỏa mãn F  ÷ = −1 là
2
sin x
4

π2
.
16

C. − cot x + x 2 .

B. cot x − x 2 +

π2
.
16

D. cot x − x 2 −

π2
.
16

1 

π 
π2
2
Hướng dẫn giải: ∫  2 x + 2 ÷dx = x − cot x + C . F  ÷ = −1 nên C = −
.
sin x 

4
16
4.1.2. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
Câu 58. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 2 x.sin x .
A.

∫

cos3 x
f ( x )dx = −
+C .
3

B.

∫

cos3 x
f ( x)dx =
+C .
3

C.

∫

f ( x)dx = −

sin 2 x
+C .
2

D.

∫

f ( x)dx =

Hướng dẫn giải: ∫ cos 2 x sin xdx = − ∫ cos 2 xd (cos x) = −
Câu 59. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A.

∫ f ( x)dx = − ln sin x + C .

14 | T H B T N

sin 2 x
+C .
2

cos3 x
+C
3

sin 2 x
.
cos 2 x − 1
B.

∫ f ( x)dx = ln cos 2 x − 1 + C .
Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm


C.

∫ f ( x)dx = ln sin 2 x + C .

D.

∫ f ( x)dx = ln sin x + C .

Hướng dẫn giải
d ( sin x )
2sin x cos x
cos x
dx = − ∫

dx = − ∫
= − ln sin x + C
2
x +1
sin x
sin x

sin 2 xdx

∫ cos 2 x − 1 = ∫ 1 − 2sin

Câu 60. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin x.cos 2 x.dx .
A.
C.

∫

f ( x)dx =

−2 cos3 x
+ cos x + C .
3

B.

∫ f ( x)dx = 6 cos 3x + 2 sin x + C .

∫

f ( x)dx =

cos3 x
+ cos x + C .
3

D.

∫ f ( x)dx = 6 cos 3x − 2 sin x + C .

1

1

1

1

Hướng dẫn giải
2
2
∫ sin x.cos 2 xdx = ∫ ( 2 cos x − 1) sin xdx = − ∫ ( 2 cos x − 1) d ( cos x ) =

−2 cos3 x
+ cos x + C
3

Câu 61. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2sin x.cos 3 x .
1

1

1

1

A.

∫ f ( x)dx = 2 cos 2 x − 4 cos 4 x + C .

B.

∫ f ( x)dx = 2 cos 2 x + 4 cos 4 x + C .

C.

∫ f ( x)dx = 2 cos

D.

∫ f ( x)dx = 3cos

4

x + 3cos 2 x + C .

4

x − 3cos 2 x + C .

1

1
Hướng dẫn giải: ∫ 2sin x.cos 3 xdx = ∫ ( sin 4 x − sin 2 x ) dx = cos 2 x − cos 4 x + C .
2
4
Câu 62. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 3 x.sin 3x .
3  sin 2 x sin 4 x  1 
sin 6 x 
−
÷−  x −
÷+ C .
2
4  8
6 

A.

∫ f ( x)dx = 8 

B.

∫ f ( x)dx = 8 

C.

∫ f ( x)dx = 8 

D.

∫ f ( x)dx = 8 

3  sin 2 x sin 4 x  1 
sin 6 x 
−
÷+  x −
÷+ C .
2
4  8
6 
1  sin 2 x sin 4 x  3 
sin 6 x 
−
÷−  x −
÷+ C .
2
4  8
6 
3  sin 2 x sin 4 x  1 
sin 6 x 
+
÷−  x +
÷+ C .
2
4  8
6 

Hướng dẫn giải
3sin x − sin 3x
.sin 3 xdx
4
3

1
3
1
= ∫ 2sin x.sin 3 xdx − ∫ 2sin 2 3 xdx = ∫ ( cos 2 x − cos 4 x ) dx − ∫ ( 1 − cos 6 x ) dx
8
8
8
8
3  sin 2 x sin 4 x  1 
sin 6 x 
= 
−
÷−  x −
÷+ C
8 2
4  8
6 

∫ sin

3

x.sin 3 xdx = ∫

Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm

15 | T H B T N


Câu 63. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 3 x.cos 3x + cos3 x.sin 3 x .

−3

A.

∫ f ( x)dx = 16 cos 4 x + C .

C.

∫ f ( x)dx = 16 sin 4 x + C .

−3

3

B.

∫ f ( x)dx = 16 cos 4 x + C .

D.

∫ f ( x)dx = 16 sin 4 x + C .

3

Hướng dẫn giải:

∫ ( sin

3

cos 3 x + 3cos x
 3sin x − sin 3 x

x.cos 3 x + cos3 x.sin 3 x ) .dx = ∫ 
.cos 3 x +
.sin 3 x ÷dx
4
4



3
3

= ∫  sin x.cos 3 x − sin 3 x.cos 3 x + sin 3 x.cos x + sin 3 x.cos 3 x ÷dx
4
4

=

3
3
−3
( sin x.cos 3x + sin 3x.cos x ) dx = ∫ sin 4 xdx = cos 4 x + C
∫
4
4
16

2

Câu 64. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x ) = sin

x
π  π
biết F  ÷ = .
2
2 4

A. F ( x ) =

x sin x 1
−
+ .
2
2
2

B. F ( x ) =

x sin x 3
+
+ .
2
2
2

C. F ( x ) =

x sin x 1
+

+ .
2
2
2

D. F ( x ) =

x sin x 5
+
+ .
2
2
2

Hướng dẫn giải
x
1
x 1
• F ( x) = ∫ sin 2 dx = ∫ ( 1 − cos x ) dx = − sin x + C
2
2
2 2
π 1 π
π
1
π  π
• F  ÷ = ⇔ − sin + C = ⇔ C =
4 2
2
4

2
2 4
4.1.3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT.
e− x 
x
Câu 65. Hàm số f ( x ) = e  ln 2 + 2 ÷ có họ nguyên hàm là
sin x 

x
A. F ( x ) = e ln 2 − cot x + C .

x
B. F ( x ) = e ln 2 + cot x + C .

1
1
x
+C .
+C .
D. F ( x ) = e ln 2 −
2
cos x
cos 2 x
1 
 x
x
Hướng dẫn giải: ∫ f ( x)dx = ∫  e ln 2 + 2 ÷dx = e ln 2 − cot x + C
sin x 

x

C. F ( x ) = e ln 2 +

Câu 66. Hàm số f ( x ) = 3x − 2 x.3x có nguyên hàm bằng
3x
6x
−
+C .
ln 3 ln 6
3x 3x.2 x
C.
+
+C .
ln 3 ln 6

B. 3x ln 3(1 + 2 x ln 2) + C .

A.

Hướng dẫn giải:
16 | T H B T N

∫

D.
f ( x)dx = ∫ ( 3x + 6 x ) dx =

3x
6x
+
+C .

ln 3 ln 3.ln 2

3x
6x
+
+C
ln 3 ln 6
Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm


Câu 67. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x ) = (e − x + e x )2 thỏa mãn điều kiện F (0) = 1 là
1 −2 x 1 2 x
A. F ( x) = − e + e + 2 x + 1 .
B. F ( x) = −2e −2 x + 2e 2 x + 2 x + 1 .
2
2
1 −2 x 1 2 x
1 −2 x 1 2 x
C. F ( x) = − e + e + 2 x .
D. F ( x) = − e + e + 2 x − 1 .
2
2
2
2
1 −2 x 1 2 x
Hướng dẫn giải: Ta có F ( x) = − e + e + 2 x + C , F (0) = 1 ⇔ C = 1
2
2
Câu 68. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

2x −1
.
x +1

A. F ( x ) = 2 x − 3ln x + 1 + C .

B. F ( x ) = 2 x + 3ln x + 1 + C .

C. F ( x ) = 2 x − ln x + 1 + C .

D. F ( x ) = 2 x+ ln x + 1 + C .

Hướng dẫn giải:

∫

2x −1
3 

dx = ∫  2 −
÷dx = 2 x − 3ln x + 1 + C
x +1
x +1 


Câu 69. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
A. F ( x ) =

2x2 + 2x + 3
.

2x + 1

1
5
2
( 2 x + 1) + ln 2 x + 1 + C .
8
4

B. F ( x ) =

C. F ( x ) = ( 2 x + 1) + ln 2 x + 1 + C .

1
2
( 2 x + 1) + 5ln 2 x + 1 + C .
8

D. F ( x ) = ( 2 x + 1) − ln 2 x + 1 + C .

2

2

Hướng dẫn giải:
 2x +1
2x2 + 2 x + 3
5
dx
=

∫ 2x +1
∫  2 + 2 ( 2 x + 1)

Câu 70. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
A. F ( x ) =


1
5
2
÷
÷dx = 8 ( 2 x + 1) + 4 ln 2 x + 1 + C


x3 − x
.
x2 + 1

x2
− ln ( x 2 + 1) + C .
2

B. F ( x ) =

2
2
C. F ( x ) = x − ln ( x + 1) + C .

Hướng dẫn giải:

x2
+ ln ( x 2 + 1) + C .
2

2
2
D. F ( x ) = x + ln ( x + 1) + C .

d ( x 2 + 1) x 2
x3 − x
2x 
x2

dx
=
x
−
dx
=
−
= − ln ( x 2 + 1) + C
2
∫ x 2 + 1 ∫  x 2 + 1 ÷
∫
2
x +1
2

Câu 71. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1
.
x ln x + x

A. F ( x ) = ln ln x + 1 + C .

B. F ( x ) = ln ln x − 1 + C .

C. F ( x ) = ln x + 1 + C .

D. F ( x ) = ln x + 1 + C .

Hướng dẫn giải:

d ( ln x + 1)
1
dx
=
∫ x ( ln x + 1)
∫ ( ln x + 1) = ln ln x + 1 + C

Câu 72. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm

e2 x
.
ex + 1
17 | T H B T N

x
x
A. F ( x ) = e − ln ( e + 1) + C .

x
x
B. F ( x ) = e + ln ( e + 1) + C .

x
C. F ( x ) = ln ( e + 1) + C .

2x
x
D. F ( x ) = e − e + C .

d ( e x + 1)
 x
e2 x
ex 
x
dx = ∫  e − x
= e x − ln ( e x + 1) + C
Hướng dẫn giải: ∫ x
÷dx = e − ∫ x
e +1
e +1 
e +1

4.1.4. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.

1
.
x +1

Câu 73. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

∫ f ( x ) dx = 2 x − 2 ln ( 1 + x ) + C .
C. ∫ f ( x ) dx = ln ( 1 + x ) + C .

∫ f ( x ) dx = 2 x + 2 ln ( 1 + x ) + C .
D. ∫ f ( x ) dx = 2 + 2 ln ( 1 + x ) + C .

A.

B.

Hướng dẫn giải
Đặt t = 1 + x ⇒ x = ( t − 1) ⇒ dx = 2 ( t − 1) dt .
2

Khi đó
=2

(

1

∫ 1+

x

dx = ∫

2 ( t − 1) dt
 1
= 2∫ 1 − ÷dt = 2 ( t − ln t ) + C1
t
 t

)

(

)

x + 1 − ln 1 + x + C1 = 2 x − 2 ln 1 + x + C . (Với C = 2 + C1 và 1 + x > 0 )
x+2
.
x +1

Câu 74. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
2

A.

∫ f ( x ) dx = 3 ( x + 4 )

C.

∫ f ( x ) dx = 2 ( x + 1)

x +1 + C .

B.

∫ f ( x ) dx = ( x + 4 )

+C .

D.

∫ f ( x ) dx =

x

Hướng dẫn giải:

∫

x +1

x +1 +

1
+C .
x +1

x+2
1 
2


dx = ∫  x + 1 +
÷d ( x + 1) = 3 ( x + 4 ) x + 1 + C
x +1
x +1 


Câu 75. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
2

A.

∫ f ( x ) dx = − 3 ( 2 x + 1)

C.

∫ f ( x ) dx = − 3 ( 2 x − 1)

2

x +1 + C .

2x −1
.
1− x
2

1− x + C .

B.

∫ f ( x ) dx = 3 ( 2 x + 1)

1− x + C .

D.

∫ f ( x ) dx = −2

1− x +

1− x + C .
1
+C .
1− x

Hướng dẫn giải
2x −1
1 

∫ 1 − x dx = − ∫  −2 1 − x + 1 − x ÷ d ( 1 − x )
3
1
2
2
= ( 1 − x ) 2 − 2 ( 1 − x ) 2 + C = − ( 2 x + 1) 1 − x + C
3
3
x
Câu 76. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

.
3x 2 + 2
1
1
3x 2 + 2 + C .
3x 2 + 2 + C .
A. ∫ f ( x ) dx =
B. ∫ f ( x ) dx = −
3
3
1
2
3x 2 + 2 + C .
3x 2 + 2 + C .
C. ∫ f ( x ) dx =
D. ∫ f ( x ) dx =
6
3
18 | T H B T N
Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm


Hướng dẫn giải:

2
1 d ( 3x + 2 ) 1
dx = ∫
=
3x 2 + 2 + C
2

2
6
3
3x + 2
3x + 2

x

∫

Câu 77. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
1

A.

∫ f ( x ) dx = − 3 ( x

C.

∫ f ( x ) dx = − 3

1

2

x3
4 − x2

.

+ 8) 4 − x2 + C .

4 − x2 + C .

1

B.

∫ f ( x ) dx = 3 ( x

D.

∫ f ( x ) dx = − 3 ( x

2

+ 8) 4 − x 2 + C .

2

2

+ 8) 4 − x 2 + C .

Hướng dẫn giải: Đặt t = 4 − x 2 ⇒ x 2 = 4 − t 2 ⇒ xdx = −tdt . Khi đó
x3

∫

4 − x2

(

( 4 − t ) ( −tdt ) =
2

dx = ∫

4 − x2

)

t

∫( t

2

− 4 ) dt =

t3
− 4t + C
3

3

1 2
x + 8) 4 − x 2 + C
(
3

3
4.1.5. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
=

− 4 4 − x2 + C = −

1− x
1− x
Câu 78. Tính F ( x ) = ∫ (2 x − 1)e dx = e ( Ax + B ) + C . Giá trị của biểu thức A + B bằng:

A. −3 .
B. 3 .
C. 0 .
Hướng dẫn giải:
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng.
u và đạo hàm của u
dv và nguyên hàm của v
++
2x −1
e1− x
-+
2
−e1− x
0
e1− x
Do đó F ( x) = −(2 x − 1)e1− x − 2e1− x + C = e1− x (−2 x − 1) + C .
Vậy A + B = −3 .

D. 5 .

x
x
Câu 79. Tính F ( x) = ∫ e cos xdx = e ( A cos x + B sin x ) + C . Giá trị của biểu thức A + B bằng

A. 1.
B. −1 .
C. 2 .
Hướng dẫn giải:
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng bảng
u và đạo hàm của u
dv và nguyên hàm của v
x
cos x
++
e
-+
sin x
ex
++
− cos x
ex
x
x
Do đó F ( x) = e sin x + e cos x − F ( x) + C1 hay F ( x) =

D. −2 .

1 x
e sin x + e x cos x + C .
2

(

)

Vậy A + B = 1 .
6
8
7
Câu 80. Tính F ( x) = ∫ 2 x(3 x − 2) dx = A(3 x − 2) + Bx(3x − 2) + C . Giá trị của biểu thức 12 A + 11B là

A. 1.

B. −1 .

C.

12
.
11

D. −

12
.
11

Hướng dẫn giải:
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng bảng
u và đạo hàm của u

dv và nguyên hàm của v
Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm

19 | T H B T N


2x

++

2
-+
0
Do đó F ( x) =

(3x − 2)6
1
(3 x − 2)7
21
1
(3 x − 2)8
504

2
1
x (3 x − 2) 7 −
(3x − 2)8 + C . Vậy 12 A + 11B = 1 .
21
252

2
2
2
3
Câu 81. Tính F ( x) = ∫ x x − 1dx = ax ( x − 1) x − 1 + bx( x − 1) x − 1 + c( x − 1) x − 1 + C . Giá trị của

biểu thức a + b + c bằng:
2
A.
7
Hướng dẫn giải:
Phương pháp tự luận:

B.

−2
7

C.

142
105

D.

−142
105

Đặt u = x 2 , dv = x − 1dx ta được
F ( x) = ∫ x 2 x − 1dx =

2 2
8
16
x ( x − 1) x − 1 − x( x − 1) 2 x − 1 +
( x − 1)3 x − 1 + C
3
15
105

−82
.
105
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng
u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v
1
x2
+
( x − 1) 2
3
2x
2
2
(
x
−
1)
3
5
2

4
2
(
x
−
1)
+
15
7
0
8
( x − 1) 2
105
2
8
16
F ( x) = ∫ x 2 x − 1dx = x 2 ( x − 1) x − 1 − x( x − 1) 2 x − 1 +
( x − 1)3 x − 1 + C
3
15
105
2
Vậy a + b + c = .
7
Vậy a + b + c =

)

(

2
Câu 82. Tính F ( x ) = ∫ ln x + 1 + x dx . Chọn kết quả đúng:

(
C. F ( x) = x ln ( x +

)
1+ x ) +

2
2
A. F ( x) = x ln x + 1 + x − 1 + x + C .

2

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận:

(

)

1+ x2 + C .

B. F ( x) =

1
1 + x2

+C .

(

)

2
2
D. F ( x) = ln x + 1 + x − x 1 + x + C .

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với

u = ln x + 1 + x 2 ; dv = dx
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng
u và đạo hàm của u
dv và nguyên hàm của v
20 | T H B T N

Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm


(

ln x + 1 + x 2

)

1

+

1

(Chuyển

1 + x2
1
1 + x2

x
qua dv )
x
1 + x2

1

(Nhận

0

-

Câu 83. Hàm số f ( x) có đạo hàm f '( x ) = x 3e x

2

1
1+ x2

từ u )

1 + x2
và đồ thị hàm số f ( x ) đi qua gốc tọa độ O . Chọn kết

quả đúng:
1 2 x2 1 x2 1
xe − e + .
2
2
2
2
2
1 2 x 1 x 1
C. f ( x) = x e − e − .
2
2
2
Hướng dẫn giải:

1 2 x2 1 x2 1
xe + e − .
2
2
2
2
2
1 2 x 1 x 1
D. f ( x) = x e + e + .
2
2
2

A. f ( x) =

Phương pháp tự luận:

B. f ( x) =

Đặt

u = x 2 , dv = xe x

2

chọn

du = 2 xdx, v =

1 x2
e
2

ta được

1 2 x2 1 x2
1
x e − e + C . Đồ thị đi qua O(0;0) nên C = .
2
2
2
Phương pháp trắc nghiệm:

u và đạo hàm của u
dv và nguyên hàm của v
2
2
+
x
xe x
2 x (chuyển 2 x qua dv )
1 x2
e
2
2
1
xe x (nhận 2 x từ u )
0
1 x2
e
2
2
1
1 2
1
f ( x ) = x 2 e x − e x + C . Đồ thị đi qua O(0;0) nên C = .
2
2
2
f ( x) =

Câu 84. Tính F ( x) = ∫ x 2 − 1dx bằng:
1

1
1
1
2
2
x x 2 − 1 − ln x + x 2 − 1 + C .
B. F ( x ) = x x − 1 + ln x + x − 1 + C .
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
C. F ( x ) = x x − 1 − ln x − x − 1 + C .
D. F ( x ) = x x − 1 + ln x − x − 1 + C .
2
2
2
2
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0
d
Nhập máy tính
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên trong tập xác định,

dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
A. F ( x ) =

Cách 2: Đặt u = x 2 − 1, dv = dx ta được F ( x) = x x 2 − 1 − F ( x) − J ( x)
Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm

21 | T H B T N


với J ( x) = ∫
Vậy F ( x) =

dx
x −1

2
, bằng cách đặt u = x + x 2 − 1 ta được J ( x) = ln x + x − 1 + C

1

1
1
x x 2 − 1 − ln x + x 2 − 1 + C .
2
2

4.1.6. ÔN TẬP
2
Câu 85. Kết quả của ∫ sin x cos xdx bằng

1 3
A. sin x + C .
3

1 3
C. − sin x + C .
D. − sin 3 x + C .
3
1 3
2
2
Hướng dẫn giải: Ta có ∫ sin x cos xdx = ∫ sin xd (sin x) = − sin x + C .
3
B. sin 3 x + C .

2
Câu 86. Tính ∫ cos x sin xdx bằng

1
3
A. − cos x + C .
3

1
cos3 x + C .
D. cos3 x + C .
3
1
2

2
3
Hướng dẫn giải: Ta có ∫ cos x sin xdx = − ∫ cos xd (cos x) = − cos x + C .
3
B. − cos3 x + C .

C.

3
Câu 87. Kết quả của ∫ sin xdx bằng

A.

co s3 x
− cos x + C .
3

B. −

co s3 x
− cos x + C .
3

co s3 x
D.
− cos x + C .
6

C. 3sin x.cos x + C .
2

1
3
2
2
3
Hướng dẫn giải: ∫ sin xdx = ∫ (1 − cos x)sin xdx = − ∫ (1 − cos x) d (cos x) = cos x − cos x + C .
3
3
Câu 88. Kết quả của ∫ cos xdx bằng

A. sin x −

sin 3 x
+C .
3

B. sin x +

sin 3 x
+C .
3

D. − sin x −

C. 3sin 2 x.cos x + C .

sin 3 x
+C .
3

1 3
3
2
2
Hướng dẫn giải: ∫ cos xdx = ∫ (1 − sin x) cos xdx = ∫ (1 − sin x) d (sin x) = sin x − sin x + C .
3
4
Câu 89. Kết quả của ∫ sin x cos xdx bằng

1 5
A. sin x + C .
5

1 5
B. − sin x + C .
5

C. sin 5 x + C .

D. − sin 5 x + C .

1 5
4
4
Hướng dẫn giải: Ta có ∫ sin x cos xdx = ∫ sin xd (sin x) = sin x + C .
5
tan x
e
Câu 90. Tính ∫

dx bằng
cos 2 x
A. e tan x + C .
B. tan x.e tan x + C .
C. e − tan x + C .
D. −e tan x + C .
Hướng dẫn giải:

22 | T H B T N

e tan x
tan x
tan x
∫ cos2 xdx = ∫ e d (tan x) = e + C .

Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm


Câu 91. Tính

∫

1
dx bằng:
x cos 2 x

A. 2 tan x + C .
Hướng dẫn giải:
Câu 92. Tính

B. tan x + C .

C. tan 2 x + C .

1
1
dx = 2 ∫
d ( x ) = 2 tan x + C .
2
x cos x
cos 2 x

∫

3x 2
∫ x3 + 1dx bằng

4 x3
C. ln( x 3 + 1) + C .
+C .
4
x + 4x
2
3x
1
Hướng dẫn giải: ∫ 3 dx = ∫ 3
d ( x3 + 1) = ln x3 + 1 + C .
x +1
x +1
3

A. ln x + 1 + C .

Câu 93. Tính

1
D. tan x + C .
2

B.

D.

x3
+C .
x4 + x

6 x 2 − 12 x
∫ x3 − 3x 2 + 6dx bằng

3
2
A. 2 ln x − 3 x + 6 + C .

3
2
B. ln x − 3 x + 6 + C .

1
3
2

C. ln x − 3x + 6 + C .
D. 2 ln( x 3 − 3 x 2 + 6) + C .
2
6 x 2 − 12 x
1
Hướng dẫn giải: ∫ 3
dx = 2∫ 3
d ( x3 − 3x 2 + 6) = 2 ln x 3 − 3 x 2 + 6 + C .
2
2
x − 3x + 6
x − 3x + 6
Câu 94. Tính

4 x3 + 2 x
∫ x 4 + x 2 + 3dx bằng

4
2
A.. ln x + x + 3 + C .

4
2
B. 2 ln x + x + 3 + C .

1
4
2
C. ln x + x + 3 + C .
D. −2 ln( x 4 + x 2 + 3) + C .

2
4 x3 + 2 x
1
Hướng dẫn giải: ∫ 4
dx = ∫ 4
d ( x 4 + x 2 + 3) = ln x 4 + x 2 + 3 + C .
2
2
x + x +3
x + x +3
Câu 95. Tính

x2 + 1
∫ x3 + 3x − 1dx bằng

1
3
A. ln x + 3x − 1 + C .
3

3
B. ln x + 3x − 1 + C .

1
3
D. ln( x + 3 x − 1) + C .
3
2
x +1
1

1
1
Hướng dẫn giải: ∫ 3
dx = ∫ 3
d ( x 3 + 3x − 1) = ln x 3 + 3 x − 1 + C .
x + 3x − 1
3 x + 3x − 1
3
3
C. ln x + 3x − 1 + C .

6 x −5
Câu 96. Tính ∫ e dx bằng

A.

1 6 x −5
e
+C .
6

B. e 6 x −5 + C .

6 x −5
Hướng dẫn giải: ∫ e dx =

C. 6e6 x −5 + C .

D. e 6 x +5 − C .

1 6 x −5
1
e d (6 x − 5) = e6 x−5 + C .
∫
6
6

− x −5
Câu 97. Tính ∫ e dx bằng

A. −e − x −5 + C .

B. e − x −5 + C .

Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm

C. e x +5 + C .

D. −e x +5 + C .
23 | T H B T N


− x −5
− x −5
− x −5
+C .
Hướng dẫn giải: ∫ e dx = − ∫ e d ( − x − 5) = −e

Câu 98. Tính

∫ ( 5 − 9x )

12

dx bằng

(5 − 9 x)13
A. −
+C .
117

(5 − 9 x)13
(5 − 9 x)13
(5 − 9 x)13
B.
C.
D.
+C .
+C .
+C .
117
13
9
1
(5 − 9 x)13
12
12
Hướng dẫn giải: ∫ ( 5 − 9 x ) dx = − ∫ ( 5 − 9 x ) d (5 − 9 x) = −
+C .
9

117
π

Câu 99. Tính ∫ cos  5 x + ÷dx bằng
4

A.

1 
π
sin  5 x + ÷+ C .
5 
4

π

B. sin  5 x + ÷+ C .
4

1 
π
D. − sin  5 x + ÷+ C .
5 
4

π

C. −5sin  5 x + ÷+ C .
4


π
1
π 
π 1 
π


Hướng dẫn giải: ∫ cos  5 x + ÷dx = ∫ cos  5 x + ÷d  5 x + ÷ = sin  5 x + ÷+ C .
4
5
4 
4 5 
4


1
dx
∫
π  bằng
Câu 100. Tính
2
cos  x + ÷
4

π
π


A. tan  x + ÷+ C .

B. 4 tan  x + ÷+ C .
4
4


π

C. − tan  x + ÷+ C .
4

Hướng dẫn giải: ∫

Câu 101. Tính

D.
1

dx = ∫

π

cos 2  x + ÷
4


1

∫ (cos x + sin x)

2

π
π


d  x + ÷ = tan  x + ÷+ C
π
.
4
4


cos 2  x + ÷ 
4

1

dx bằng

1
π

A. − cot  x + ÷+ C .
2
4


π

C. − cot  x + ÷+ C .

4

Hướng dẫn giải
1
1
∫ (cos x + sin x)2 dx = 2 ∫
12 x + 5
dx bằng
3x + 1
1
A. 4 x + ln 3 x + 1 + C .
3

Câu 102. Tính

B.

1
π

cot  x + ÷+ C .
2
4


1
π

D. − cot  x + ÷+ C .
4

4

1

π

sin 2  x + ÷
4


dx =

1
2∫

π
1
π


d  x + ÷ = − cot  x + ÷+ C
π
4
2
4


sin 2  x + ÷ 
4


1

∫

C. 4 x + ln 3 x + 1 + C .

24 | T H B T N

1
π

tan  x + ÷+ C .
4
4


6x2 + 5x
+C .
x3 + x
1
D. 4 x + ln(3 x + 1) + C .
3
B.

Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm


Hướng dẫn giải:
Câu 103. Tính

∫

12 x + 5
1 
1

dx = ∫  4 +
÷dx = 4 x + ln 3 x + 1 + C .
3x + 1
3x + 1 
3


2x2 + x
∫ 2 x − 1 dx bằng

x2
1
+ x + ln 2 x − 1 + C .
2
2
2
x
1
C.
+ x + ln(2 x − 1) + C .
2
2
A.

x2
+ x + ln 2 x − 1 + C .
2
x2
D.
+ x + 2 ln(2 x − 1) + C .
2
B.

2x2 + x
1 
x2
1

dx = ∫  x + 1 +
Hướng dẫn giải: ∫
÷dx = + x + 2 x − 1 + C .
2x −1
2x −1 
2
2

−x
dx bằng
Câu 104. Tính ∫
( x + 1) 2
1
− ln x + 1 + C .
x +1
1

+ ln x + 1 + C .
C. −
x +1

1
− ln x + 1 + C .
x +1
1
− ln( x + 1) + C .
D. −
x +1
 1
−x
1 
1
dx = ∫ 
−
− ln x + 1 + C .
Hướng dẫn giải: ∫
÷dx = −
2
2
( x + 1)
x +1 
x +1
 ( x + 1)
A. −

B.

Câu 105. Tính ∫ sin x(2 + cos x)dx bằng
1
A. −2 cos x − cos 2 x + C
4
1
C. 2 cos x + cos 2 x + C
4

1
B. 2 cos x − cos 2 x + C
4
1
D. 2 cos x + cos 2 x + C
2
1
1
Hướng dẫn giải: ∫ sin x(2 + cos x)dx = ∫ (2sin x + sin 2 x) dx = − 2 cos x − cos 2 x + C .
2
4
Câu 106. Tính

∫ x.2 dx bằng:
x

x.2 x
2x
A.
−
+C .
ln 2 ln 2 2

C. 2 x ( x + 1) + C .
Hướng dẫn giải

2 x ( x − 1)
B.
+C .
ln 2
D. 2 x ( x − 1) + C .

 du = dx
u = x

x.2 x
2x
x.2 x
2x
x
x
⇒
Đặt 
.
Ta
có
x
2
dx
=
−
dx
=

−
+C .

2
x
∫
ln 2 ∫ ln 2
ln 2 ln 2 2
 dv = 2 dx v =

ln 2
Câu 107. Tính ∫ ln xdx bằng:
A. x ln x − x + C .
1
ln x − x + C .
x
Hướng dẫn giải
C.

Chuyên đề 4.1. Nguyên hàm

x2
ln x + C .
2
1
D. x ln x − + C .
x
B. x ln x −

25 | T H B T N