Dáng điệu nghiệm của các bất đẳng thức vi biến phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
------  ------

NGUYỄN THỊ VÂN ANH

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC
BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
------  ------

NGUYỄN THỊ VÂN ANH

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC
BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN

Chuyên ngành : Phương trình vi phân và tích phân
Mã số :

9.46.01.03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. Trần Đình Kế

Hà Nội - 2019


MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

5

LỜI CẢM ƠN

6

DANH SÁCH KÝ HIỆU

7

MỞ ĐẦU

8

Chương 1
1.1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

20

NỬA NHÓM MỘT THAM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.1.1

Nửa nhóm tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.1.2

Nửa nhóm phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2

ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT (MNC) VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG .

27

1.3

GIẢI TÍCH ĐA TRỊ, ÁNH XẠ NÉN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM
BẤT ĐỘNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.3.1

Một số vấn đề về giải tích đa trị . . . . . . . . . . . . . .

33

1.3.2

Ánh xạ nén và một số định lý điểm bất động . . . . . . .

35

1.4

TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA NỬA DÒNG ĐA TRỊ . . . . . . .

36

1.5

MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

1.5.1

Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . .

37

1.5.2

Một số bổ đề và định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1.5.3

Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Chương 2

BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN

HỮU HẠN CHIỀU

41

2.1

ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.2

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3


4
2.3

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM PHÂN RÃ . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4

TẬP HÚT TOÀN CỤC CHO NỬA DÒNG ĐA TRỊ SINH BỞI
DVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 3

48
51

BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN DẠNG PARABOLIC-

ELLIPTIC TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU

57

3.1

ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.2

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.3

SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TOÀN CỤC . . . . . . . . . . . . . .

69

3.4

ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

Chương 4

BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN DẠNG PARABOLIC-

PARABOLIC TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU

78

4.1

ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

4.2

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

4.3

SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TOÀN CỤC . . . . . . . . . . . . . .

94

4.4

ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

103

1 Những kết quả đã đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . .

103

TÀI LIỆU THAM KHẢO

106


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận án Dáng điệu nghiệm
của các bất đẳng thức vi biến phân là công trình nghiên cứu của riêng tôi, hoàn
thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Trần Đình Kế. Các kết quả trong luận
án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công
trình nghiên cứu nào khác mà tôi biết.
Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2019
Nghiên cứu sinh

Nguyễn Thị Vân Anh

5


LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo
của PGS.TS. Trần Đình Kế. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu
sắc tới Thầy vì sự tận tâm hướng dẫn mà Thầy dành cho tác giả trong suốt quá
trình học tập. Thầy đã luôn sẵn sàng đón nhận những ý kiến, luôn sát sao giải
thích và chỉ dẫn cho tác giả. Tác giả xin cảm ơn Thầy mỗi chiều thứ tư hàng

tuần đã dành thời gian của mình, không ngần ngại chỉ bảo, chia sẻ, trao đổi
các vấn đề mới, các phương pháp, đường hướng cho tác giả và cho nhóm nghiên
cứu. Ngoài những hành trang quý báu về mặt khoa học, sự động viên của Thầy
dành cho tác giả là nguồn động lực lớn giúp tác giả say mê trong nghiên cứu.
Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại
học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin và các thầy cô Bộ môn Giải tích, khoa
Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, nơi tác giả học tập và công tác,
đã luôn giúp đỡ, động viên, tạo môi trường thuận lợi cho tác giả. Tác giả xin
đặc biệt cảm ơn TS. Trần Thị Loan, PGS.TS. Cung Thế Anh, TS. Nguyễn Như
Thắng, TS. Dương Anh Tuấn vì sự khích lệ và sự tận tình góp ý luận án.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến các thầy cô trong các Hội đồng, đã
dành nhiều thời gian, công sức và tâm huyết để đóng góp những ý kiến quý báu
giúp cho luận án của tác giả được hoàn thành tốt nhất.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các bạn bè, những người cùng
chung chí hướng, luôn giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu.
Sau cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn từ tận đáy lòng đến gia đình, nơi luôn
dành cho tác giả tình yêu thương vô hạn. Nếu không có sự gánh vác và san sẻ
từ gia đình, tác giả không thể có được những kết quả này.
Nguyễn Thị Vân Anh

6


DANH SÁCH KÝ HIỆU

R

tập hợp các số thực

R+

tập hợp các số thực không âm

J

= [0, T ] với T>0

(E, ·

E)

không gian Banach với chuẩn

·

E

2E

họ các tập con của E

P(E)

= {A ∈ 2E : A = ∅}

Pb (E)

= {A ∈ P(E) : A là tập bị chặn}

Pc (E)

= {A ∈ P(E) : A là tập đóng}

K(E)

= {A ∈ P(E) : A là compact}

Kv(E)

= {A ∈ P(E) : A là tập lồi và compact}

L(E)

không gian các toán tử tuyến tính, bị chặn trên
không gian Banach E

C(X; Y )

không gian các hàm liên tục từ X vào Y

Cτ

= C([−τ, 0]; E)

BE [a, r]

= {x ∈ E : x − a ≤ r}

I

ánh xạ đồng nhất

→

hội tụ mạnh
hội tụ yếu

h. k. n.

hầu khắp nơi

DI

bao hàm thức vi phân

DVI

bất đẳng thức vi biến phân

VI

bất đẳng thức biến phân

DVI-PE

bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolicelliptic

DVI-PP

bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolicparabolic

7


MỞ ĐẦU
1

Lý do chọn đề tài
Lý thuyết định tính của phương trình vi phân (ODE) trải qua hơn một

thế kỷ phát triển, đã chứng tỏ vai trò quan trọng của nó trong việc mô hình
hóa và giải quyết nhiều bài toán của tự nhiên và kĩ thuật. Trong những thập
kỉ cuối thế kỉ XX, phương trình vi phân đại số được quan tâm nghiên cứu và
nhiều kết quả quan trọng đã được thiết lập (xem [12, 47]). Theo đó, các phương
trình vi phân đại số (DAE) đã được sử dụng trong nghiên cứu bài toán về hệ
thống mạng điện, hệ cơ học có ràng buộc, các phản ứng hóa học,... ở đó việc sử
dụng phương trình vi phân thường không thể mô tả được hết các yếu tố ràng
buộc. Tuy nhiên, khi nghiên cứu hệ động lực tiếp xúc có ma sát của vật thể đa
diện hay các hệ lai ghép cơ học, các ODE và DAE lại trở nên hạn chế, do phát
sinh điều kiện ràng buộc nằm ở dạng bất đẳng thức (ràng buộc một phía), và
điều kiện về ngắt quãng trong cơ học tiếp xúc hoặc trong các bài toán kĩ thuật
chuyển mạch (xem [4, 22]). Chính vì vậy, để nghiên cứu các hệ vi phân với ràng
buộc thỏa mãn yêu cầu từ thực tiễn như trên đòi hỏi các nhà toán học phải
khảo sát lớp bài toán rộng hơn, đó là các bất đẳng thức vi biến phân, trong đó
bao gồm một lớp bài toán quan trọng là các hệ bù vi phân.
Thuật ngữ bất đẳng thức vi biến phân (Differential variational inequality DVI) được sử dụng lần đầu tiên bởi Aubin và Cellina [5] năm 1984 trong cuốn
sách chuyên khảo về bao hàm thức vi phân. Trong đó các tác giả xét bài toán



∀t ≥ 0, x(t) ∈ K,




(1)
supy∈K x (t) − f (x(t)), x(t) − y = 0,




 x(0) = x0 ,
với K là một tập lồi, compact khác rỗng trong Rn . Bằng việc sử dụng hàm nón
8


9
pháp tuyến của tập K, bài toán trên được đưa về bao hàm thức vi phân

 f (t) ∈ F (x(t)),
 x(0) = x .
0

Từ đó, các tác giả đã sử dụng công cụ của giải tích đa trị để nghiên cứu tính
giải được của bài toán (1). Đến năm 1997, bài toán bất đẳng thức vi biến phân
được mở rộng bởi Avgerinous và Papageorgiou trong bài báo [6]. Hai nhà toán
học đã nghiên cứu về nghiệm tuần hoàn cho lớp DVI khi tập lồi, đóng, compact
K biến thiên theo thời gian t

 −x (t) ∈ NK(t) (x(t)) + F (t, x(t)), h.k.n t ∈ [0, b],
 x(0) = x(b).
ở đó NK(t) (x(t)) là nón pháp tuyến của tập lồi K(t) tại điểm x(t).

Một trong những công trình có ý nghĩa tiên phong trong nghiên cứu các DVI
một cách có hệ thống là của nhóm tác giả J.S. Pang và D.E. Stewart năm 2008
(xem [49]). Bằng việc xem xét bất đẳng thức vi biến phân là mô hình kết hợp
giữa phương trình vi phân có ràng buộc thỏa mãn một bất đẳng thức biến phân,
các DVI đã cho phép mô tả các quá trình có sự kết hợp của hai yếu tố: yếu tố
động lực và yếu tố ràng buộc dạng biến phân. Bài toán DVI [49] đã được phát
biểu tổng quát với mô hình cụ thể như sau: Tìm cặp hàm (x, u), trong đó x là
hàm liên tục tuyệt đối và u là hàm khả tích thỏa mãn hệ:
x (t) = f (t, x(t), u(t)),
v − u(t), F (t, x(t), u(t) ≥ 0, h.k.n t ∈ [0, T ]; ∀v ∈ K.

(2)
(3)

Đặt SOL(K, φ) là tập nghiệm của bài toán biến phân v − u, φ(u) ≥ 0,
∀v ∈ K. Khi đó ta chuyển (2)-(3) về dạng
x (t) = f (t, x(t), u(t)),
u(t) ∈ SOL(K, F (t, x(t), ·)).


10
Từ đó dẫn đến hệ vi phân đối với x(·) liên kết với bất đẳng thức vi biến phân
(2)-(3)
x (t) ∈ f (t, x(t), SOL(K, F (t, x(t), ·)).
Điều kiện cho bởi phương trình đại số
Γ(x(0), x(T )) = 0,

(4)

cho phép chúng ta xác định được điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên.

Một trong những lớp bài toán đặc biệt của các bất đẳng thức vi biến phân
là bài toán bù vi phân, khi K = C là một nón. Trong trường hợp này, bất đẳng
thức vi biến phân (2)-(3) được viết dưới dạng
x (t) = f (t, x(t), u(t)),
C

u(t) ⊥ F (t, x(t), u(t)) ∈ C ∗ ,

với C ∗ là nón đối ngẫu của C.
Công trình [49] của J.S. Pang và D.E. Stewart đã chỉ rõ được tầm quan trọng
của các DVI trong rất nhiều lĩnh vực: động lực học tiếp xúc (Contact Dynamics),
mạng điện (Electric Circuit), động lực học kinh tế (Economic Dynamics), bài
toán trò chơi vi phân Nash... Bằng việc đề xuất mô hình (2)-(3), J.S. Pang và
D.E. Stewart đã đưa DVI trở thành mô hình tổng quát của nhiều bài toán quan
trọng được nghiên cứu trước đó như phương trình vi phân đại số, bài toán bù
vi phân, bất đẳng thức biến phân tiến hóa,...
Sau công trình của J.S. Pang và D.E. Stewart, đã có khá nhiều nghiên cứu
sâu sắc về DVI. Các DVI cùng với những ứng dụng của chúng trở thành một vấn
đề mở thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Công trình của Z. Liu và
các cộng sự năm 2013 đã nghiên cứu về bài toán tồn tại và tính rẽ nhánh toàn
cục của nghiệm tuần hoàn cho một lớp các bất đẳng thức vi biến phân trong
không gian Euclid hữu hạn chiều bằng phương pháp bậc tô-pô cho ánh xạ đa
trị (xem [37]). Một số kết quả về tính giải được và điều kiện rẽ nhánh cho các
DVI có thể được tham khảo trong các công trình [26, 35, 37, 41]. Cùng với đó,
Gwinner thu được các kết quả về tính ổn định cho một lớp mới các DVI (xem


11
[27]). Tính ổn định cấu trúc của một số lớp DVI cũng được nghiên cứu trong
[25, 50] và các tài liệu tham khảo trong đó.

Các ứng dụng cụ thể của mô hình DVI cũng được các nhà toán học quan
tâm. Công trình của Chen và Wang năm 2014 sử dụng mô hình DVI tổng quát
để khảo sát bài toán cân bằng Nash động với ràng buộc chia sẻ (xem [19]). Liên
quan đến ứng dụng này là mô hình trò chơi vi phân Nash, mô hình được mở
rộng từ bài toán cân bằng Nash (xem [10, 19, 52]). Chú ý rằng, đối với trường
hợp bài toán cân bằng Nash, người ta phải giải quyết bài toán điều khiển tối ưu
được thiết lập bởi hàm quan sát riêng lẻ (tương ứng cho một đối tượng đưa ra
quyết định). Tuy nhiên trên thực tế, có những tình huống đòi hỏi phải có nhiều
hơn một đối tượng tham gia quyết định, theo đó mỗi phương án quan sát đều
cố gắng đạt được trạng thái tối ưu thỏa mãn ràng buộc ở dạng phương trình vi
phân. Từ đó, lý thuyết trò chơi vi phân được ra đời mà mô hình hóa toán học
của nó chính là các DVI (có thể xem chi tiết trong [52]). Ngoài ra có thể kể đến
các ứng dụng của DVI mô tả các hệ lai ghép trong kỹ thuật với cấu trúc biến
thiên (xem [17, 20, 30]), động lực học chất rắn với tiếp xúc ma sát (xem [4, 49]),
mạch điện có diode,...
Bên cạnh những ứng dụng phong phú vừa được kể đến của các DVI hữu
hạn chiều, việc xét bài toán DVI trên không gian vô hạn chiều cũng giữ một vai
trò quan trọng. Điều này hoàn toàn tự nhiên do các bài toán nảy sinh trong kĩ
thuật, trong nghiên cứu giải phẫu, hệ động lực kinh tế, cơ học tiếp xúc,... được
mô tả bởi các hệ phương trình đạo hàm riêng. Có hai mô hình DVI vô hạn chiều
được quan tâm nghiên cứu gần đây. Mô hình thứ nhất là DVI với ràng buộc
dạng elliptic, được mô tả bởi hệ
x (t) − Ax(t) = f (t, x(t), u(t)),
Bu(t) + ∂φ(u(t))

g(x(t), u(t)),

(5)
(6)

trong đó A và B là các toán tử trên các không gian vô hạn chiều, ∂φ là ký hiệu
dưới vi phân của phiếm hàm φ. Chú ý rằng (6) có thể viết dưới dạng bất đẳng
thức biến phân suy rộng
Bu(t) − g(x(t), u(t)), v − u(t) + φ(v) − φ(u(t)) ≥ 0, với mọi v ∈ D(φ). (7)


12
Khi B là toán tử đạo hàm riêng loại elliptic, bất đẳng thức biến phân (7) đã
được nghiên cứu trong [9]. Trong trường hợp A và B là các toán tử đạo hàm
riêng elliptic và φ là hàm trơn, (5)-(6) là một hệ phương trình đạo hàm riêng
kiểu parabolic-elliptic, được sử dụng trong mô hình hóa các bài toán sinh-hóa
[31], bài toán khôi phục hình ảnh [32],...
Khác với mô hình DVI thứ nhất, mô hình DVI thứ hai chứa ràng buộc động
lực dạng parabolic, được xác định như sau
x (t) − Ax(t) = f (t, x(t), u(t)),
u (t) + Bu(t) + ∂φ(u(t))

g(x(t), u(t)),

(8)
(9)

với A, B và φ được giả thiết như trong mô hình thứ nhất. Trong mô hình này,
(9) chính là một bất đẳng thức biến phân tiến hóa mà trường hợp tiêu biểu khi
B = −∆, g = g(t) và đã được nghiên cứu trong [8, 9]. Cũng như đối với mô
hình parabolic-elliptic, khi φ là hàm trơn và A, B là các toán tử đạo hàm riêng
elliptic, (8)-(9) là một hệ phương trình đạo hàm riêng dạng parabolic-parabolic.
Gần đây, một số kết quả về tính giải được của các DVI vô hạn chiều đã được
thiết lập trong các công trình [42, 40, 38, 39, 44, 55]. Nhìn chung, những kết quả
nghiên cứu định tính cho các DVI vô hạn chiều chưa được biết đến nhiều.

Một trong những vấn đề quan trọng liên quan đến hệ động lực liên kết với
các DVI, đó là nghiên cứu dáng điệu của các hàm trạng thái của hệ khi biến
thời gian đủ lớn. Theo hiểu biết của chúng tôi, các kết quả theo hướng này cho
các DVI còn khá hạn chế. Kết quả gần đây về dáng điệu nghiệm cho các DVI
trong không gian hữu hạn chiều đã được công bố trong công trình [34]. Còn rất
nhiều câu hỏi mở được đặt ra trong những nghiên cứu định tính với các DVI,
bao gồm: tính ổn định nghiệm theo nghĩa Lyapunov, sự tồn tại tập hút toàn cục
cho hệ động lực liên kết với DVI, sự tồn tại các lớp nghiệm đặc biệt của DVI
như nghiệm dao động, nghiệm phân rã,... Đặc biệt, bài toán DVI trong không
gian vô hạn chiều hiện đang là vấn đề mới, có tính thời sự. Khó khăn chính
trong nghiên cứu các DVI vô hạn chiều nằm ở việc xác định tính giải được của
bất đẳng thức biến phân (VI) đi kèm, sau đó là việc xác định tính chất của ánh
xạ nghiệm của nó. Nếu ánh xạ nghiệm này không có tính chính quy, việc nghiên


13
cứu dáng điệu nghiệm cho hệ DVI sẽ không khả thi.
Từ những phân tích trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu dáng điệu nghiệm
cho các bất đẳng thức vi biến phân, bao gồm một số lớp tiêu biểu trong cả không
gian hữu hạn và vô hạn chiều.
Trong nội dung luận án này, chúng tôi xét ba lớp bài toán DVI:
• Bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều,
• Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-elliptic trong không gian vô
hạn chiều, và
• Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-parabolic trong không gian vô
hạn chiều.
Mục tiêu chính của chúng tôi là nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các lớp
bài toán nói trên thông qua sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa dòng đa trị sinh
bởi hệ động lực liên kết với các DVI. Ngoài ra chúng tôi cũng chỉ ra điều kiện
đủ cho sự tồn tại nghiệm phân rã của hệ động lực sinh bởi một lớp các DVI.

2

Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Mục đích luận án: Nghiên cứu các vấn đề định tính của một số lớp DVI,
bao gồm tính ổn định nghiệm theo nghĩa Lyapunov, dáng điệu nghiệm
thông qua lý thuyết tập hút toàn cục và các lớp nghiệm đặc biệt như
nghiệm phân rã.
• Đối tượng nghiên cứu: Bài toán bất đẳng thức vi biến phân trong trường
hợp được đưa về bao hàm thức vi phân. Chúng tôi nghiên cứu một số lớp
DVI hữu hạn chiều và hai lớp DVI vô hạn chiều dạng parabolic-elliptic,
dạng parabolic-parabolic.
• Phạm vi nghiên cứu:
Nội dung 1: Bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều.


14
Đối với vấn đề nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các bất đẳng thức vi biến
phân hữu hạn chiều, chúng tôi xét bài toán cụ thể như sau:
x (t) = Ax(t) + h(x(t)) + B(x(t), xt )u(t), t ∈ [0, T ],
v − u(t), F (x(t)) + G(u(t)) ≥ 0, ∀v ∈ K, với hầu khắp t ∈ J,
x(s) = ϕ(s), s ∈ [−τ, 0],

(10)
(11)
(12)

ở đây x là hàm nhận giá trị trong không gian Rn , ràng buộc biến phân u(t) ∈ K
với K là một tập con đóng lồi trong Rm , xt kí hiệu là hàm quá khứ của trạng
thái tính đến thời điểm t. Trong bài toán này, A : Rn → Rn là một toán tử

tuyến tính. Các hàm B : Rn × Cτ → Rn×m , F : Rn → Rm , G : K → Rm là các
hàm liên tục với giả thiết F bị chặn đều và G là hàm đơn điệu trên K.
Trong lý thuyết phương trình vi phân, hệ (10)-(12) được gọi là một hệ vi
phân với ràng buộc một phía (unilateral constrain). Bất đẳng thức vi biến phân
(10)-(12) được mở rộng khi xét thêm điều kiện trễ lên hàm trạng thái x(·). Trong
trường hợp bài toán không có trễ, J.S. Pang và các cộng sự đã giải quyết nhiều
lớp bài toán liên quan đến vấn đề tồn tại nghiệm, tính duy nhất của nghiệm và
sự phụ thuộc nghiệm vào các dữ kiện ban đầu (xem [49, 18]). Những kết quả về
tính chính quy và ổn định cho lớp bài toán bù vi phân cũng được nghiên cứu bởi
J.S. Pang và các cộng sự, tương ứng với trường hợp đặc biệt K = Rm
+ , được ứng
dụng rộng rãi trong kĩ thuật mạch điện (xem [15, 16, 20, 22, 30]). Trong những
công trình này, công cụ chính được sử dụng là giải tích biến phân, phương pháp
lặp Euler, phương pháp lặp Newton, nhằm rời rạc hóa bài toán để vượt qua
các điều kiện khi mà tính chính quy của ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến
phân bị phá vỡ.
Trong bài toán (10) - (12), chúng tôi chứng minh được sự tồn tại nghiệm, sự
tồn tại nghiệm phân rã tốc độ mũ, và sự tồn tại tập hút của nửa dòng đa trị
cho hệ động lực sinh bởi (10) - (12).
Nội dung 2: Bài toán bất đẳng thức vi biến phân trong không gian vô
hạn chiều dạng parabolic-elliptic.
Cho X là một không gian Banach và U là một không gian Banach phản xạ.


15
Chúng tôi xét bài toán sau:
x (t) − Ax(t) ∈ F (x(t), u(t)), t > 0,
Bu(t) + ∂φ(u(t))

g(x(t), u(t)), t ≥ 0,

x(0) = ξ,

(13)
(14)
(15)

ở đó (x(·), u(·)) nhận giá trị trong X × U ; hàm φ : U → R là hàm chính thường,
lồi và nửa liên tục dưới trên U ; F : X × U → P(X) là một ánh xạ đa trị; A là
toán tử tuyến tính đóng sinh ra C0 -nửa nhóm trên X; B : U → U ∗ là một toán
tử tuyến tính liên tục được xác định thông qua phiếm hàm song tuyến tính,
trong đó U ∗ là không gian đối ngẫu của U .
Trong trường hợp K là một tập lồi đóng trong U , φ = IK là hàm chỉ trên
tập K, các không gian X = Rn , U = Rm và F là hàm đơn trị thì bài toán (13) (15) có dạng bất đẳng thức vi biến phân được nghiên cứu trong [49]. Gần đây,
bài toán trên không gian vô hạn chiều với mô hình tương tự cũng được xem
xét bởi Liu, Zeng, và Motreanu trong [39]. Các tác giả đã nghiên cứu một lớp
phương trình tiến hóa với ràng buộc ở dạng bất đẳng thức biến phân tổng quát
x (t) = Ax(t) + f (t, x(t), u(t)),
g(t, x(t), u(t)), v − u(t) + φ(v) − φ(u(t)) ≥ 0, ∀v ∈ K, t ∈ [0, T ],
x(0) = x0 ,
trong đó x(t) ∈ E và u(t) ∈ K ⊂ E1 với E, E1 là các không gian Banach, K là
một tập lồi khác rỗng. Trong công trình này, các kết quả về tính giải được và
tính chất của tập nghiệm với giả thiết tập K là compact được chứng minh. Ở
đây, điều kiện về tính compact của tập K đảm bảo rằng ánh xạ nghiệm của bất
đẳng thức biến phân có tính nửa liên tục trên. Chúng ta biết rằng khi sử dụng
những phương pháp giải tích nhằm đưa DVI về một phương trình vi phân hoặc
bao hàm thức vi phân, tính chính quy của ánh xạ nghiệm như tính đo được,
tính nén, tính liên tục là các điều kiện cần thiết.
Liên quan đến bài toán của chúng tôi, có thể chỉ ra nhiều mô hình được sinh
bởi các phương trình đạo hàm riêng khi X và U là các không gian vô hạn chiều.

16
Cho X = U = L2 (Ω) với Ω là một miền trong Rn . Xét hệ phương trình kiểu
parabolic-elliptic:
Zt = ∆Z + F (Z, u), trên Ω × (0, ∞),

(16)

− ∆u + h(u) = g(Z, u), trên Ω × (0, ∞),

(17)

Z(x, 0) = Z0 , x ∈ Ω,

(18)

ở đó Z = Z(x, t) và u = u(x, t) là các hàm được xác định trên Ω × R+ thỏa mãn
điều kiện biên Dirichlet thuần nhất hoặc điều kiện biên Neumann thuần nhất.
Bài toán này xuất hiện trong nghiên cứu về sự di chuyển của vi khuẩn dưới tác
động của hóa chất (xem [31]), hoặc trong xử lý khôi phục hình ảnh kỹ thuật số
(xem [32]). Dưới những điều kiện thích hợp, hàm h trong (17) được viết ở dạng
h(u) = ∂j(u)

j(u) =




Ω H(u(x))dx,

nếu H(u) ∈ L1 (Ω),

 +∞, trong các trường hợp còn lại
ở đó H(u) =

u
0 h(s)ds.

Có thể thấy rằng (16)- (18) là một trường hợp riêng của

bài toán (13)-(15).
Kết quả thu được đối với bài toán (13)-(15) bao gồm sự tồn tại nghiệm, các
tính chất của tập nghiệm và sự tồn tại một tập hút toàn cục cho hệ động lực
sinh bởi bài toán này.
Nội dung 3: Bài toán bất đẳng thức vi biến phân trong không gian vô
hạn chiều dạng parabolic-parabolic.
Trong phần này chúng tôi nghiên cứu một lớp bất đẳng thức vi biến phân
khi ràng buộc dạng biến phân có tính chất của một hệ động lực dạng parabolic.
Bài toán DVI dạng parabolic-parabolic được mô tả như sau
x (t) − Ax(t) ∈ F (x(t), u(t)),

(19)

u (t) + Bu(t) + ∂φ(u(t))

(20)

x(0) = x0

và u(0) = u0 ,

h(x(t)),

(21)


17
trong đó x(t) ∈ X với X là một không gian Banach và u(t) được xét trên các
không gian Hilbert của bộ ba tiến hóa U ⊂ H = H ⊂ U . Do sự xuất hiện
của dưới vi phân ∂φ, bao hàm thức (20) được hiểu như một bất đẳng thức biến
phân tiến hóa. Bài toán (19)-(21) được viết lại như sau
x (t) − Ax(t) ∈ F (x(t), u(t)),
u (t) + Bu(t) − h(x(t)), v − u(t) + φ(v) − φ(u(t)) ≥ 0, ∀v ∈ H,
x(0) = x0

và u(0) = u0 .

Một trong những ứng dụng của bài toán parabolic-parabolic là mô hình hóa các
hiện tượng trong sinh học (xem [51]). Ta xét hệ diễn tả quá trình phân cực tế
bào như sau:
yt − σ1 ∆y = −f (y) + u,

(22)

ut − σ2 ∆u + u = f (y).

(23)

Hệ (22)-(23) được Morita và Ogawa nghiên cứu trong [45]. Bằng cách đặt X =

1
H = L2 (Ω), A = σ1 ∆, F (y, u) = −f (y) + u, B = −σ2 ∆, φ(u) =
u 2H và
2
h(y) = f (y) ta thấy hệ (22)-(23) là một trường hợp đặc biệt của bài toán (19)(20). Trường hợp riêng này tương ứng với φ là hàm trơn và A, B là các toán tử
đạo hàm riêng elliptic.
Kết quả gần đây về tính giải được của bài toán (19)-(21) được trình bày
trong công trình [44]. Ngoài ra, theo khảo sát của chúng tôi, chưa có kết quả
nào đề cập đến tính chất định tính của nghiệm đối với hệ (19)-(21). Trong luận
án này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả về tính giải được và sự tồn tại một tập
hút toàn cục của một nửa dòng đa trị sinh bởi hệ động lực liên kết với (19)-(21).

3

Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng các công cụ của giải tích đa trị, lý thuyết nửa nhóm (xem

[46]), lý thuyết điểm bất động, lý thuyết ổn định để thực hiện các nội dung
nghiên cứu nêu trên. Ngoài ra đối với các nội dung cụ thể chúng tôi sử dụng
một số kỹ thuật tương ứng:


18
• Nghiên cứu tính giải được của các bài toán phi tuyến: Phương pháp ước
lượng theo độ đo không compact [3] và các định lý điểm bất động.
• Nghiên cứu dáng điệu nghiệm của bất đẳng thức vi biến phân thông qua
nghiên cứu sự tồn tại nghiệm phân rã, sử dụng các định lý điểm bất động
cho ánh xạ nén.
• Nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn cục theo lược đồ của Melnik và Valero
[43].

4

Cấu trúc và các kết quả của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình được công bố và

danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương:
• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các
kết quả về lý thuyết nửa nhóm, lý thuyết độ đo không compact, ánh xạ
nén và các định lý điểm bất động, một số kiến thức về giải tích đa trị, lý
thuyết ổn định của các hệ vi phân.
• Chương 2: Bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều.
Trong chương này, chúng tôi chứng minh tính ổn định của nghiệm cho một
lớp các bất đẳng thức vi biến phân với trễ hữu hạn. Chúng tôi chỉ ra sự
tồn tại một tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị liên kết với bất đẳng
thức vi biến phân và sự tồn tại nghiệm phân rã.
• Chương 3: Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-elliptic trong không
gian vô hạn chiều. Trong chương này, chúng tôi đưa ra lớp bất đẳng thức
vi biến phân dạng parabolic-elliptic và chứng minh kết quả về sự tồn tại
nghiệm, sự tồn tại một tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị sinh bởi
nghiệm của lớp bài toán này.
• Chương 4: Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-parabolic trong không
gian vô hạn chiều. Trong chương này, chúng tôi xét một lớp bất đẳng thức
vi biến phân dạng parabolic-parabolic và chứng minh kết quả về tính giải


19
được, sự tồn tại một tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị sinh bởi nghiệm
của lớp hệ này.

5

Ý nghĩa của các kết quả trong luận án
Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, và góp phần vào

việc hoàn thiện lý thuyết về dáng điệu nghiệm cho các bất đẳng thức vi biến
phân, trong cả trường hợp hữu hạn chiều và vô hạn chiều.
Các kết quả chính đạt được đã được công bố trong 02 bài báo trên các tạp
chí khoa học quốc tế uy tín (trong danh mục ISI), 1 bài báo ở dạng tiền ấn
phẩm và đã được báo cáo tại:
• Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội;
• Hội thảo cho Nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội, năm 2017;
• Hội nghị khoa học khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, năm
2019.
• Mini-workshop "PDE 2019 Analysis and Numerics", VIASM, Hanoi 09/2019.


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, E là một không gian Banach và L(E) là không gian các
toán tử tuyến tính bị chặn trên E.

1.1

NỬA NHÓM MỘT THAM SỐ

Trong mục này, ta trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản của lý
thuyết nửa nhóm một tham số. Nội dung trong mục này có thể xem trong các

tài liệu chuyên khảo [7, 23, 36, 46, 54].

1.1.1

Nửa nhóm tuyến tính

Định nghĩa 1.1.1. Một họ các ánh xạ S(t) ∈ L(E), 0 ≤ t < ∞, được gọi là nửa
nhóm tuyến tính trên E nếu nó thỏa mãn
(i) S(0) = I,
(ii) S(t + s) = S(t)S(s) với mọi t, s ≥ 0.
Định nghĩa dưới đây cho phép ta xác định toán tử sinh của một nửa nhóm
cho trước.
Định nghĩa 1.1.2. Cho nửa nhóm tuyến tính một tham số {S(t)}t≥0 . Khi đó
toán tử tuyến tính A được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm {S(t)}t≥0 nếu
S(t)x − x
,
t→0
t

Ax = lim

với mọi x ∈ D(A), trong đó D(A) là miền xác định của toán tử A
D(A) =

S(t)x − x
tồn tại
t→0
t

x ∈ E : lim

20

.


21
Định nghĩa 1.1.3. Nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh
(C0 -nửa nhóm) nếu
lim S(t)x = x, với mọi x ∈ E.
t→0

Định lý sau đây cho ta một điều kiện cần để toán tử tuyến tính A sinh ra
một C0 -nửa nhóm.
Định lý 1.1.4. [23, Định lý 1.4] Nếu A là một toán tử sinh của một C0 -nửa nhóm
thì A là một toán tử tuyến tính đóng và D(A) trù mật trong E.
Mệnh đề dưới đây đưa ra ước lượng về chuẩn toán tử của một C0 -nửa nhóm.
Mệnh đề 1.1.5. [23, Mệnh đề 5.5] Giả sử {S(t)}t≥0 là một C0 -nửa nhóm. Khi
đó tồn tại các hằng số ω ≥ 0 và M ≥ 1 sao cho
S(t) ≤ M eωt , với mọi t ≥ 0.
Đặc biệt, nếu ω < 0 thì nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm ổn định
mũ ; nếu ω ≤ 0, M = 1 thì nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm co.
Định nghĩa 1.1.6. Cho {S(t)}t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên E. Nửa nhóm {S(t)}t≥0
được gọi là:
(a) nửa nhóm liên tục theo chuẩn nếu ánh xạ (0, ∞)

t → S(t) ∈ L(E) liên

tục theo chuẩn trong L(E);
(b) nửa nhóm khả vi nếu với mỗi x ∈ E thì ánh xạ t → S(t)x khả vi tại mọi

t > 0;
(c) nửa nhóm compact nếu S(t) là toán tử compact với mọi t > 0.
Nếu toán tử sinh của một nửa nhóm tuyến tính là toán tử bị chặn, nghĩa là
A ∈ L(E), nửa nhóm {S(t)}t≥0 sinh bởi A được định nghĩa bởi
∞
tA

S(t) = e

=
n=0

Khi đó

tn A n
, với mỗi t ≥ 0.
n!


22
(i) D(A) = E và {etA }t≥0 là nửa nhóm compact.
(ii) {etA } là nửa nhóm khả vi.
Đặc biệt, nếu E = Rn , do mọi toán tử tuyến tính trên E đều bị chặn nên A
được biểu diễn thông qua ma trận cấp n × n. Khi đó ta cũng có dạng biểu diễn
của nửa nhóm sinh bởi A theo biểu diễn chuỗi lũy thừa như trên. Trường hợp
này được xem xét trong chương đầu tiên của luận án.
Ví dụ 1.1.7.

(1) Nửa nhóm tịnh tiến: Xét họ các toán tử tuyến tính.
S(t) : E → E

(S(t)f )(s) = f (t + s), s ∈ R+ .

Khi đó {S(t)}t≥0 là một C0 -nửa nhóm và có toán tử sinh là
Af := f ,
với miền xác định
(i) D(A) = {f ∈ Cub (R+ ) : f khả vi và f ∈ Cub (R+ )} nếu E := Cub (R+ )
và
(ii) D(A) = {f ∈ Lp (R+ ) : f liên tục tuyệt đối và f ∈ Lp (R+ )} nếu
E := Lp (R+ ), 1 ≤ p < +∞.
(2) Nửa nhóm sinh bởi toán tử Laplace: Cho Ω là miền bị chặn trong Rn với
biên ∂Ω thuộc lớp C 2 . Xét toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet
A := ∆;

D(A) = H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω).

Khi đó nửa nhóm {etA }t≥0 trên E := L2 (Ω) là compact và ổn định mũ.
Thật vậy, khẳng định được suy ra từ Định lý 7.2.5 và Định lý 7.2.8
trong [54]. Cụ thể, tính compact của {S(t)} := {etA } nhận được bởi định lý
Sobolev-Rellich-Kondrachov. Tính ổn định mũ được chứng minh trực tiếp
bởi công thức Green. Với ξ ∈ D(A), đặt u(t) = S(t)ξ. Gọi f : R+ → R+


23
sao cho f (t) = (eλt S(t)ξ

2
L2 (Ω) ) ,

trong đó λ là giá trị riêng đầu tiên của

toán tử −∆ với điều kiện biên Dirichlet. Ta có
e−2λt f (t) = 2λ

u(t)2 dx + 2
u(t)2 dx + 2

= 2λ

∇u(t) 2 dx ≤ 0.

u(t)2 dx − 2

= 2λ

Ω

Ω
L2 (Ω)

u(t)∆u(t)dx
Ω

Ω

Từ đó dẫn đến S(t)ξ

u(t)u (t)dt
Ω

Ω

−λt

≤e

ξ

L2 (Ω)

với mỗi ξ ∈ D(A) và t ≥ 0.

Vậy {S(t)}t≥0 là ổn định mũ.

1.1.2

Nửa nhóm phi tuyến

Cho tập hợp D sao cho ∅ = D ⊂ E. Dưới đây ta trình bày các khái niệm
về nửa nhóm phi tuyến không giãn, toán tử sinh của một nửa nhóm phi tuyến.
Chú ý rằng một nửa nhóm là phi tuyến khi mỗi thành phần của nó không còn
thuộc lớp các ánh xạ tuyến tính trên E.
Định nghĩa 1.1.8. Một họ {S(t)}t≥0 các hàm S(t) : D → D được gọi là một nửa
nhóm các ánh xạ không giãn trên D nếu
S(t + s) = S(t)S(s), ∀t, s ≥ 0,
S(0) = I,
lim S(t)x = x, ∀x ∈ D,

t→0+

S(t)x − S(t)¯

x ≤ x − x¯ , ∀t ≥ 0, x, x¯ ∈ D.
Nếu bất đẳng thức cuối cùng được thay bởi
S(t)x − S(t)¯
x ≤ eωt x − x¯ , ∀t ≥ 0, x, x¯ ∈ D,
ta gọi {S(t)}t≥0 là nửa nhóm không giãn kiểu ω.
Tương tự như trong trường hợp nửa nhóm tuyến tính, ta cũng có khái niệm
về toán tử sinh của một nửa nhóm phi tuyến. Toán tử A0 được gọi là toán tử
sinh của nửa nhóm {S(t)}t≥0 nếu nó xác định bởi
A0 x = lim+
h→0

S(h)x − x
,
h


24
với những x ∈ D sao cho giới hạn trên tồn tại.
Ta nêu ra định nghĩa về toán tử tăng trưởng và ω-tăng trưởng trên không
gian Banach E. Trước hết, với X, Y là hai không gian tuyến tính, kí hiệu X × Y
là tích Cartesian của chúng. Nếu T là một ánh xạ đa trị từ X vào Y , ta có
thể đồng nhất T với đồ thị của nó {(x, y) : x ∈ D(A), y ∈ T x}. Ngược lại
nếu T ⊂ X × Y thì ta xác định được ánh xạ đa trị T trên D(T ) ⊂ X bởi
T x = {y ∈ Y : (x, y) ∈ T }.
Gọi E ∗ là không gian đối ngẫu của E với chuẩn

·

∗,

và ·, · là tích vô hướng

của cặp đối ngẫu E, E ∗ . Ta kí hiệu J : E → P(E ∗ ) là ánh xạ đối ngẫu của E,
tức là
J(x) = {x∗ ∈ E ∗ : x, x∗ = x

2

= x∗ 2∗ }.

Định nghĩa 1.1.9. Toán tử A : D(A) ⊂ E → P(E) (hay tập A ⊂ E × E) được
gọi là
(i) tăng trưởng nếu với mọi (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ A, tồn tại w ∈ J(x1 − x2 ) sao
cho
y1 − y2 , w ≥ 0.
Khi đó nếu A là toán tử tăng trưởng thì ta gọi −A là toán tử tiêu hao;
(ii) ω-tăng trưởng (với ω ∈ R) nếu A + ωI là toán tử tăng trưởng;
(iii) m-tăng trưởng nếu nó tăng trưởng và R(A + I) = E;
(iv) ω-m-tăng trưởng nếu nó là ω-tăng trưởng và m-tăng trưởng.
Về mặt thuật ngữ, ta có thể gọi toán tử A tăng trưởng (ω-tăng trưởng,
m-tăng trưởng, ω-m-tăng trưởng) trên E × E.
Định nghĩa 1.1.10. Toán tử A : D(A) ⊂ E → P(E ∗ ) (hay tập A ⊂ E × E ∗ )
được gọi là
(i) đơn điệu nếu x1 − x2 , y1 − y2 ≥ 0, ∀(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ A;
(ii) đơn điệu cực đại nếu nó không bị chứa trong bất kì một tập đơn điệu nào
của E × E ∗ .


25
Trong trường hợp E = H là một không gian Hilbert ta có mệnh đề nói lên

mối liên hệ giữa toán tử m-tăng trưởng và toán tử đơn điệu cực đại.
Mệnh đề 1.1.11 (Định lý Minty). Cho H là một không gian Hilbert và A là một
toán tử (đa trị) tăng trưởng trên H. Khi đó A là m-tăng trưởng nếu và chỉ nếu
nó là toán tử đơn điệu cực đại.
Ta thấy rằng nếu nửa nhóm không giãn {S(t)}t≥0 nhận A làm một toán tử
sinh thì A có tính chất tiêu hao (xem [7]). Bây giờ để nói lên mối quan hệ giữa
nửa nhóm phi tuyến không giãn {S(t)}t≥0 và toán tử m-tăng trưởng, ta xét bài
toán Cauchy thuần nhất sau:
x (t) + Ax(t)

0,

x(0) = x0 .

(1.1)
(1.2)

Với mỗi x, y ∈ E, ta định nghĩa
[x, y]+ = lim
h↓0

x + hy − x
.
h

Theo [9, trang 102], giới hạn vế phải tồn tại và ta gọi [x, y]+ là tích của hai
phần tử x và y. Sau đây ta đưa ra định nghĩa nghiệm tích phân của bài toán
(1.1)-(1.2).
Định nghĩa 1.1.12. [9, trang 132] Một hàm x ∈ C([0, T ]; E) với x(0) = x0 được
gọi là nghiệm tích phân của bài toán (1.1)-(1.2) nếu

t

x(t) − u ≤ x(s) − u +

[x(τ ) − u, v]+ dτ, 0 ≤ s ≤ t ≤ T, ∀(u, v) ∈ A.
s

Mệnh đề sau được suy ra từ [9, Định lý 4.1].
Mệnh đề 1.1.13. Giả sử A là một toán tử ω-m-tăng trưởng. Với mỗi x0 ∈ D(A),
tồn tại nghiệm tích phân duy nhất của bài toán (1.1)-(1.2).
Khi đó ta định nghĩa họ các ánh xạ {SA (t)}t≥0 bởi
SA (t) : D(A) → D(A);
SA (t)x0 = {x(t, x0 ), với x là nghiệm tích phân của (1.1) − (1.2).}