Dáng điệu nghiệm của các bất đẳng thức vi biến phân (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————— * ———————

NGUYỄN THỊ VÂN ANH

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VI
BIẾN PHÂN
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 9 46 01 03

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2019


Luận án được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Trần Đình Kế

Phản biện 1: GS. TSKH. Nguyễn Minh Trí, Viện hàn lâm khoa học và công nghệ
Việt Nam, Viện toán học.
Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Phản biện 3: PGS. TS. Nguyễn Sinh Bảy, Trường Đại học Thương mại.

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi .... giờ .... ngày .... tháng .... năm .....

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: Thư viện Quốc Gia, Hà Nội
hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

1

MỞ ĐẦU

1. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu và lí do chọn đề tài
Lý thuyết định tính các phương trình vi phân (ODE) là một trong những lý
thuyết cơ bản của toán học được ra đời và phát triển từ rất sớm, cung cấp cho
chúng ta những mô hình diễn tả quá trình chuyển động của tự nhiên và kĩ thuật.
Trong vài thập kỉ cuối thế kỉ XX, phương trình vi phân được mở rộng lên phương
trình vi phân đại số và thu được rất nhiều đóng góp lớn của các nhà toán học.
Theo đó, các phương trình vi phân đại số (DAE) đã khái quát hóa toán học các
hiện tượng trong nghiên cứu bài toán về hệ thống mạng điện, hệ cơ học có ràng
buộc, các phản ứng hóa học,... mà ở đó tham số của phương trình vi phân thường
không đủ để mô tả. Tuy nhiên, khi nghiên cứu hệ động lực tiếp xúc có ma sát của
vật thể đa diện hay các hệ lai ghép cơ học, các ODE và DAE lại trở nên hạn chế,
do phát sinh điều kiện ràng buộc nằm ở dạng bất đẳng thức (ràng buộc một phía),
và điều kiện về ngắt quãng trong cơ học tiếp xúc hoặc trong các bài toán kĩ thuật
chuyển mạch. Chính vì vậy, việc nghiên cứu các mô hình vi phân với ràng buộc
thỏa mãn yêu cầu từ thực tiễn như trên đòi hỏi các nhà toán học khảo sát lớp bài
toán rộng hơn: Bất đẳng thức vi biến phân, trong đó bao gồm một lớp bài toán
quan trọng là các hệ bù vi phân.
Thuật ngữ Bất đẳng thức vi biến phân (Differential variational inequality DVI) được sử dụng lần đầu tiên bởi Aubin và Cellina năm 1984 trong cuốn sách
chuyên khảo về bao hàm thức vi phân. Trong đó các tác giả xét bài toán

 ∀t ≥ 0, x(t) ∈ K,
(1)
supy∈K x (t) − f (x(t)), x(t) − y = 0,

x(0) = x0 ,

với K là một tập lồi, compact khác rỗng trong Rn . Bằng việc sử dụng hàm nón
pháp tuyến của tập K , bài toán trên được đưa về bao hàm thức vi phân

f (t) ∈ F (x(t)),
x(0) = x0 .
Từ đó, các tác giả đã sử dụng công cụ của giải tích đa trị để nghiên cứu tính
giải được của bài toán (1). Đến năm 1997, bài toán bất đẳng thức vi biến phân
được mở rộng bởi Avgerinous và Papageorgiou. Hai nhà toán học đã nghiên cứu
về nghiệm tuần hoàn cho lớp DVI khi tập lồi, đóng, compact K biến thiên theo
thời gian t

−x (t) ∈ NK(t) (x(t)) + F (t, x(t)), h.k.n t ∈ [0, b],
x(0) = x(b).
ở đó NK(t) (x(t)) là nón pháp tuyến của tập lồi K(t) tại điểm x(t).


2

Một trong những công trình có ý nghĩa tiên phong trong nghiên cứu các DVIs
một cách có hệ thống là của nhóm tác giả J.S. Pang và D.E. Stewart năm 2008.
Bằng việc xem xét bất đẳng thức vi biến phân là mô hình kết hợp giữa phương
trình vi phân có ràng buộc thỏa mãn một bất đẳng thức biến phân, các DVIs đã
cho phép mô tả các quá trình có sự kết hợp của hai yếu tố: yếu tố động lực và yếu
tố ràng buộc dạng biến phân. Bài toán DVIs đã được phát biểu tổng quát với mô
hình cụ thể như sau: Tìm hàm liên tục tuyệt đối x(·) sao cho tồn tại hàm khả tích
u(·) thỏa mãn hệ:

x (t) = f (t, x(t), u(t)),
v − u(t), F (t, x(t), u(t) ≥ 0, h.k.n t ∈ [0, T ]; ∀v ∈ K.

(2)
(3)

Đặt SOL(K, φ) là tập nghiệm của bài toán biến phân v −u, φ(u) ≥ 0, ∀v ∈ K .
Khi đó ta chuyển (2.1)-(2.2) về dạng

x (t) = f (t, x(t), u(t)),
u(t) ∈ SOL(K, F (t, x(t), ·)).
Điều kiện biên được tổng quát hóa bởi phương trình đại số

Γ(x(0), x(T )) = 0,

(4)

cho phép chúng ta đo được mối liên hệ giữa các giá trị trên biên. Bài toán giá trị
ban đầu là một trường hợp riêng của bài toán có điều kiện biên tổng quát.
Một trong những lớp bài toán quan trọng được sinh ra từ các DVIs là bài toán
bù vi phân (DCP), trong đó K = C được xét là một nón với đối ngẫu C ∗ , khi đó
bất đẳng thức vi biến phân (2.1)-(2.2) được viết ở dạng

x (t) = f (t, x(t), u(t)),
C

u(t) ⊥ F (t, x(t), u(t)) ∈ C ∗ .

Với công trình này, các tác giả đã chỉ rõ được tầm quan trọng của các bất đẳng
thức vi biến phân trong rất nhiều lĩnh vực: động lực học tiếp xúc (Contact Dynamics), mạng điện (Electric Circuit), động lực học kinh tế (Economic Dynamics), bài
toán trò chơi vi phân Nash... Bằng việc khái quát DVI bởi (2.1)-(2.2), J.S. Pang
và D.E. Stewart đã đưa DVI trở thành mô hình tổng quát của nhiều bài toán quan
trọng được nghiên cứu trước đó như phương trình vi phân đại số, bài toán bù vi

phân, bất đẳng thức biến phân tiến hóa,...
Từ sau công trình của J.S. Pang và D.E. Stewart, có rất nhiều nghiên cứu sâu
về DVI. Các bất đẳng thức vi biến phân trở thành một vấn đề mở thu hút sự quan
tâm của nhiều nhà toán học cùng với các nghiên cứu ứng dụng. Công trình của
Liu và các cộng sự năm 2013 đã nghiên cứu về bài toán tồn tại và tính rẽ nhánh
toàn cục của nghiệm tuần hoàn cho một lớp các bất đẳng thức vi biến phân trong
không gian Euclide hữu hạn chiều bằng phương pháp bậc tô-pô cho ánh xạ đa trị.
Một số kết quả về tính giải được và điều kiện rẽ nhánh cho các DVIs có thể được
tham khảo trong các công trình. Cùng với đó là nghiên cứu áp dụng các kết quả
của lý thuyết hàm đã được Gwinner thu được (2013) về tính ổn định cho một lớp


3

mới các DVI, cụ thể là sử dụng phương pháp đánh giá đơn điệu và kĩ thuật hội tụ
Mosco.
Các ứng dụng cụ thể của các bài toán thực tế có mô hình ở dạng DVI cũng được
các nhà toán học quan tâm, trong đó có công trình của Chen và Wang (2014) sử
dụng mô hình DVI tổng quát để khảo sát bài toán cân bằng Nash động với ràng
buộc được chia sẻ. Liên quan đến ứng dụng này là mô hình trò chơi vi phân Nash,
mô hình được mở rộng từ bài toán cân bằng Nash. Chú ý rằng, đối với trường hợp
cân bằng Nash, chúng ta phải giải quyết bài toán điều khiển tối ưu được thiết lập
bởi hàm quan sát riêng lẻ (tương ứng cho một đối tượng đưa ra quyết định). Tuy
nhiên trên thực tế, có những tình huống đòi hỏi phải có nhiều hơn một đối tượng
tham gia quyết định, theo đó mỗi phương án quan sát đều cố gắng đạt được trạng
thái tối ưu thỏa mãn ràng buộc ở dạng phương trình vi phân. Từ đó, lý thuyết
trò chơi vi phân được ra đời mà mô hình hóa toán học của nó chính là các DVIs.
Ngoài ra có thể kể đến các ứng dụng của DVIs cho các hệ kỹ thuật lai ghép với cấu
trúc biến thiên, động lực học chất rắn với tiếp xúc ma sát, mạch điện có diode, ...
Bên cạnh những ứng dụng phong phú vừa được kể đến của các DVI hữu hạn

chiều, việc xét bài toán DVI trên không gian vô hạn chiều cũng giữ một vai trò
quan trọng (mà ứng dụng trong các mô hình đạo hàm riêng cụ thể). Điều này hoàn
toàn tự nhiên do các bài toán nảy sinh trong kĩ thuật, trong nghiên cứu giải phẫu,
hệ động lực kinh tế và khoa học vật lý ... được mô tả bởi phương trình/hệ phương
trình đạo hàm riêng.
Luận án đề cập đến một trong những vấn đề quan trọng liên quan đến hệ động
lực liên kết với các VIs, đó là nghiên cứu dáng điệu của các hàm trạng thái của hệ
khi biến thời gian đủ lớn. Các kết quả theo hướng này cho các DVIs chưa được biết
đến nhiều. Kết quả gần đây về dáng điệu nghiệm cho các DVIs trong không gian
hữu hạn chiều đã được công bố trong một số công trình, Liu (2013), Loi (2015)...
Còn rất nhiều câu hỏi mở được đặt ra trong những nghiên cứu định tính với các
DVIs, bao gồm: tính ổn định nghiệm theo nghĩa Lyapunov, sự tồn tại tập hút toàn
cục cho hệ động lực sinh bởi DVIs, các lớp nghiệm đặc biệt của DVIs như nghiệm
dao động, nghiệm phân rã,... Đặc biệt, DVIs trong các không gian vô hạn chiều
hiện đang là vấn đề mới, có tính thời sự. Khó khăn chính trong nghiên cứu các
DVIs vô hạn chiều nằm ở việc xác định tính giải được của bất đẳng thức biến phân
(VI) đi kèm, sau đó là việc xác định tính chất của ánh xạ nghiệm của nó. Nếu ánh
xạ nghiệm không có tính chính quy, việc nghiên cứu dáng điệu nghiệm cho hệ DVI
sẽ không khả thi.
2. Mục đích – Đối tượng – Phạm vi nghiên cứu của luận án
2.1. Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu các vấn đề định tính của một số lớp
DVIs, bao gồm tính giải được, dáng điệu nghiệm thông qua lý thuyết tập hút toàn
cục và các lớp nghiệm đặc biệt như nghiệm phân rã.
2.2. Đối tượng nghiên cứu: Trong luận án này, tác giả xét ba lớp bài toán:

∗ Lớp thứ nhất: Bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều.
∗ Lớp thứ hai: Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-elliptic trong
không gian vô hạn chiều.

4

∗ Lớp thứ ba: Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-parabolic trong
không gian vô hạn chiều.
2.3. Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của luận án được thể hiện thông
qua các nội dung sau

∗ Nội dung 1: Sự tồn tại nghiệm của các bất đẳng thức vi biến phân.
∗ Nội dung 2: Sự tồn tại nghiệm phân rã của các bất đẳng thức vi biến phân.
∗ Nội dung 3: Sự tồn tại tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị liên kết với
các bất đẳng thức vi biến phân.
3. Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng các công cụ của giải tích đa trị, lý thuyết nửa nhóm, lý thuyết
điểm bất động để thực hiện các nội dung nghiên cứu nêu trên. Ngoài ra đối với
các nội dung cụ thể chúng tôi sử dụng một số kỹ thuật tương ứng:

• Nghiên cứu tính giải được của các bài toán phi tuyến: Phương pháp ước lượng
theo độ đo không compact.
• Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm phân rã cho lớp các bất đẳng thức vi biến phân:
sử dụng định lý về điểm bất động cho ánh xạ nén.
• Nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn cục theo lược đồ của Melnik và Valero.
4. Cấu trúc và các kết quả của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình được công bố và danh
mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương:

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
• Chương 2: Bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều.
• Chương 3: Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-elliptic trong không
gian vô hạn chiều.
• Chương 4: Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-parabolic trong không

gian vô hạn chiều.


5

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các kết quả cơ bản đã biết được sử
dụng trong luận án.
1.1. NỬA NHÓM MỘT THAM SỐ
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và tính chất liên quan đến
nửa nhóm một tham số bao gồm nửa nhóm tuyến tính, nửa nhóm phi tuyến.
1.1.1.

Nửa nhóm tuyến tính

1.1.2.

Nửa nhóm phi tuyến

1.2. ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT (MNC) VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG
Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm độ đo không compact và một số
ước lượng liên quan đến độ đo không compact Hausdorff.
1.3. GIẢI TÍCH ĐA TRỊ, ÁNH XẠ NÉN VÀ CÁC ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT
ĐỘNG
1.3.1.

Một số vấn đề về giải tích đa trị

Trình bày về một số khái niệm và kết quả của giải tích đa trị. Trong đó có khái
niệm hàm chọn của hàm đa trị, sự tồn tại hàm chọn và một số kết quả then chốt.
1.3.2.

Ánh xạ nén và một số định lí điểm bất động

Trong mục này, chúng tôi trình bày về nguyên lí điểm bất động cho ánh xạ nén.
1.4. TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA NỬA DÒNG ĐA TRỊ
Trong mục này, ta nhắc lại các khái niệm về nửa dòng đa trị và tập hút toàn
cục cho nửa dòng đa trị theo lược đồ của Melnik và Valero (1998).
1.5. MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ
Trong mục này, chúng tôi đưa ra một số bất đẳng thức thường dùng như bất
đẳng thức Gronwall, bất đẳng thức Halanay, và các không gian hàm được sử dụng
trong luận án, bao gồm các không gian hàm liên tục, các không gian Sobolev, các
không gian hàm phụ thuộc thời gian, ...


6

Chương 2
BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN
CHIỀU

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu một lớp các bất đẳng thức vi biến phân
trong không gian hữu hạn chiều. Theo đó, mô hình bất đẳng thức vi biến phân
được thiết kế bởi bất đẳng thức biến phân liên kết với hệ động lực nửa tuyến tính
có trễ. Chúng tôi chỉ ra dáng điệu nghiệm thông qua việc chứng minh sự tồn tại
nghiệm phân rã cấp độ mũ và sự tồn tại một tập hút toàn cục của nửa dòng đa
trị sinh bởi hệ động lực liên kết với bất đẳng thức vi biến phân.
Nội dung của chương này dựa trên kết quả bài báo số [1] trong Danh mục công

trình khoa học của tác giả có liên quan đến luận án.
2.1. Đặt bài toán
Ta xét bất đẳng thức vi biến phân có dạng như sau:

x (t) = Ax(t) + h(x(t)) + B(x(t), xt )u(t), t ∈ J = [0, T ],
v − u(t), F (x(t)) + G(u(t)) ≥ 0, ∀v ∈ K, với hầu khắp t ∈ J,
x(s) = ϕ(s), s ∈ [−τ, 0],

(2.1)
(2.2)
(2.3)

ở đó x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ K với K là một tập con lồi đóng trong không gian Rm , xt
là hàm trễ của trạng thái; A, B, F, G và h là các ánh xạ cho trước.
2.2.

Sự tồn tại nghiệm

Kí hiệu

J = [0, T ], CT = C([0, T ]; Rn ), Cτ = C([−τ, 0]; Rn ), C = C([−τ, T ]; Rn ).
Chúng tôi đưa ra các giả thiết sau để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán.
(H1) Toán tử A là tuyến tính trên Rn .
(H2) Ánh xạ B : Rn × Cτ → Rn×m là liên tục sao cho tồn tại các hằng số dương
ηB , ζB thỏa mãn:

B(v, w) ≤ ηB ( v + w

Cτ )

+ ζB ,

với mọi v ∈ Rn , w ∈ Cτ .
(H3) Hàm F : Rn → Rm liên tục và tồn tại số ηF dương sao cho F (v) ≤ ηF với
mọi v ∈ Rn .
(H4) Hàm số G : K → Rm là liên tục thỏa mãn


7

1) G đơn điệu trên K , nghĩa là:

u − v, G(u) − G(v) ≥ 0, ∀u, v ∈ K;
2) tồn tại v0 ∈ K sao cho

lim

v∈K, v →∞

v − v0 , G(v)
> 0.
2
v

(H5) Hàm h : Rn → Rn là liên tục sao cho tồn tại các hằng số dương ηh , ζh thỏa
mãn
h(u) ≤ ηh u + ζh , ∀u ∈ Rn .
Định nghĩa nghiệm của bài toán (2.1)-(2.3) được cho dưới đây.
Định nghĩa 2.1. Cặp hàm (x, u) trong đó x : [−τ, T ] → Rn là hàm liên tục tuyệt
đối và u : [0, T ] → K là hàm khả tích được gọi là nghiệm của bất đẳng thức biến

phân (2.1)-(2.3) nếu
t

x(t) = etA ϕ(0) +

t

e(t−s)A B(x(s), xs )u(s)ds +
0

e(t−s)A h(x(s))ds, t ∈ J,
0

v − u(t), F (x(t)) + G(u(t)) ≥ 0, với hầu khắp t ∈ J và với mọi v ∈ K,
x(s) = ϕ(s), s ∈ [−τ, 0].
Ta sử dụng kí hiệu cho tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân:
SOL(K, Q) = {v ∈ K : w − v, Q(v) ≥ 0, ∀w ∈ K},

(2.4)

ở đó Q : Rm → Rm là một ánh xạ cho trước.
Bổ đề 2.1. Giả sử điều kiện (H4) được thỏa mãn. Khi đó với mọi z ∈ Rm , tập
nghiệm SOL(K, z + G(·)) là khác rỗng, lồi và compact. Hơn nữa, tồn tại số ηG > 0
sao cho
v ≤ ηG (1 + z ), ∀v ∈ SOL(K, z + G(·)).
(2.5)
Đặt

U (z) = SOL(K, z + G(·)), z ∈ Rm .
Khi đó theo bổ đề 2.1 toán tử U : Rm → P(Rm ) có giá trị lồi, đóng và có tính

chất nửa liên tục trên.
Bây giờ ta định nghĩa Φ : Rn × Cτ → P(Rn ) như sau:
Φ(v, w) = {B(v, w)y + h(v) : y ∈ U (F (v))}.

(2.6)

Khi đó ánh xạ đa trị hợp thành Φ có tính chất nửa liên tục trên.
Từ các thiết lập như trên, bất đẳng thức vi biến phân (2.1)-(2.3) được chuyển
về bao hàm thức vi phân sau

x (t) ∈ Ax(t) + Φ(x(t), xt ), t ∈ J,
x(t) = ϕ(t), t ∈ [−τ, 0],
u(t) ∈ U (x(t)).

(2.7)
(2.8)
(2.9)


8

Kí hiệu

PΦ (x) = {f ∈ L1 (J; Rn ) : f (t) ∈ Φ(x(t), xt )}, với x ∈ C.

(2.10)

Cho y ∈ CT và ϕ ∈ Cτ , ta định nghĩa hàm y[ϕ] ∈ C như sau

y[ϕ](t) =

y(t), nếu t ∈ [0, T ],
ϕ(t), nếu t ∈ [−τ, 0].

Xét toán tử trên các không gian hàm được xây dựng bởi nửa nhóm sinh bởi A

W : L1 (J; Rn ) → CT
t

e(t−s)A f (s)ds.

W(f )(t) =

(2.11)

0

Với mỗi ϕ ∈ Cτ cho trước, ta định nghĩa toán tử nghiệm F : CT → P(CT ) như
sau
F(y)(t) = {etA ϕ(0) + W(f )(t) : f ∈ PΦ (y[ϕ])}, t ∈ J.
Nhận xét rằng y ∈ CT là một điểm bất động của ánh xạ F nếu và chỉ nếu y[ϕ] là
một nghiệm của (2.1)-(2.3).
Bổ đề 2.2. Với các giả thiết (H2)-(H5), ánh xạ PΦ được xác định và có tính chất
nửa liên tục trên yếu.
Dựa trên kết quả của Bổ đề 2.1, ta có

Φ(v, w) ≤ ηG (1 + ηF )[ηB ( v + w

Cτ )

+ ζB ] + η h v + ζh .

(2.12)

Bổ đề 2.3. Toán tử W được xác định bởi (2.11) là một toán tử compact.
Bổ đề 2.4. Giả sử các điều kiện (H1)-(H5) được thỏa mãn. Khi đó toán tử nghiệm
F là compact và có đồ thị đóng.
Định lí 2.1. Giả sử rằng (H1)-(H5) được thỏa mãn. Khi đó bài toán (2.7)-(2.8)
có ít nhất một nghiệm trên [−τ, T ]. Hơn nữa, tập nghiệm của (2.7)-(2.8) là một
tập compact trong C . Từ đó suy ra tính giải được của bất đẳng thức vi biến phân
(2.1)-(2.3) trong C × L1 ([0, T ]; K).
2.3.

Sự tồn tại nghiệm phân rã

Trong phần này, chúng tôi chứng minh bài toán có một nghiệm phân rã với tốc
độ mũ. Với mỗi số dương γ và hàm ϕ ∈ Cτ , kí hiệu

Bϕγ (R) = {x ∈ C([0, ∞); Rn ) : x(0) = ϕ(0), eγt x(t) ≤ R với mọi t ≥ 0}.
Khi đó, Bϕγ (R) cùng với chuẩn supremum · BC là một không gian con đóng
của BC([0, ∞); Rn ) và Bϕγ (R) là không gian các hàm phân rã tốc độ mũ trong
BC([0, ∞); Rn ). Ta sẽ xét toán tử nghiệm F trên Bϕγ (R). Để đưa ra được sự tồn
tại nghiệm có tính phân rã, các giả thiết (H1), (H2) và (H5) được thay thế bởi
những giả thiết mạnh hơn:


9

(H1*) Toán tử A là tuyến tính trên Rn sao cho tồn tại a > 0 : −Az, z ≥ a z
với mọi z ∈ Rn .

2

(H2*) Ánh xạ B thỏa mãn (H2) với ζB = 0.
(H5*) Hàm h thỏa mãn (H5) với ζh = 0.
Bổ đề 2.5. Giả sử (H1*), (H2*), (H3)-(H4) và (H5*) được thỏa mãn. Khi đó
nếu
ηG (1 + ηF )ηB (1 + eγτ ) + ηh + γ < a
(2.13)
thì F(Bϕγ (R)) ⊂ Bϕγ (R) với số R > 0 nào đó.
Kí hiệu phép chiếu Π : BC([−τ, ∞]; Rn ) × L1loc (R+ ; R) → BC([−τ, ∞]; Rn ) xác
định bởi Π(x, u) := x.
Định lí 2.2. Giả sử rằng (H1*)-(H2*), (H3)-(H4), (H5*) thỏa mãn và tồn tại
một số γ > 0 sao cho

ηG (1 + ηF )ηB (1 + eγτ ) + ηh + γ < a.
Khi đó tập nghiệm S của DVI (2.1)-(2.3) là khác rỗng. Hơn nữa Π(S) là một tập
compact, khác rỗng trên BC([−τ, ∞]; Rn ) và

eγt x(t) = O(1) khi t → ∞,
với mọi x ∈ Π(S).
2.4.

Tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị sinh bởi DVI

Ta định nghĩa nửa dòng đa trị sinh bởi hệ động lực liên kết với (2.1) − (2.3) như
sau

G : R+ × Cτ → P(Cτ )
G(t, ϕ) = {xt : x[ϕ] là một nghiệm của (2.1) − (2.3) trên [−τ, T ] với mọi T > 0},

ta thấy rằng

G(t1 + t2 , ϕ) = G(t1 , G(t2 , ϕ)), với mọi t1 , t2 ∈ R+ , ϕ ∈ Cτ .
Với mỗi ϕ ∈ Cτ , ta kí hiệu

Σ(ϕ) = {x ∈ C([0, ∞); Rn ) : x[ϕ] là một nghiệm của (2.1)-(2.3)
trên [−τ, T ] với mọi T > 0}.
Khẳng định sau được suy ra từ Melnik-Valero (1998)

πt ◦ Σ(ϕ) ⊂ S(·)ϕ(0) + W ◦ PΦ (πt ◦ Σ(ϕ)[ϕ]).
Hơn nữa, ta có G(t, ϕ) = {x[ϕ]t : x ∈ Σ(ϕ)}. Mặt khác, do Định lý 2.1, πt ◦ Σ(ϕ)
là tập con compact trong không gian C([0, t]; Rn ) với mỗi t > 0. Từ đó suy ra
G(t, ϕ) cũng là tập compact trong Cτ , và vì thế G(t, ·) có giá trị compact. Ta thu
được kết quả tốt hơn cho ánh xạ G(t, ·) bởi bổ đề dưới đây.


10

Bổ đề 2.6. Giả sử (H1)-(H5) được thỏa mãn. Khi đó G(t, ·) là một ánh xạ đa trị
compact với mỗi t > τ .
Hệ quả 2.1. Giả sử (H1)-(H5) được thỏa mãn. Khi đó nửa dòng đa trị G là nửa
compact tiệm cận trên.
Bổ đề 2.7. Giả sử các (H1)-(H5) được thỏa mãn. Khi đó G(t, ·) là nửa liên tục
trên với mỗi t ≥ 0.
Bổ đề 2.8. Giả sử (H1*) và (H2)-(H5) được thỏa mãn. Nếu ta có ước lượng sau

2ηB ηG (1 + ηF ) + ηh < a,
thì tồn tại một tập hấp thụ cho nửa dòng đa trị G.
Định lí 2.3. Giả sử (H1*), (H2)-(H5) được thỏa mãn. Khi đó tồn tại một tập
hút toàn cục cho nửa dòng đa trị G sinh bởi (2.1)-(2.3) nếu ta có ước lượng dưới

đây
2ηB ηG (1 + ηF ) + ηh < a.


11

Chương 3
BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN DẠNG PARABOLIC-ELLIPTIC
TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU

Trong chương này, chúng tôi trình bày về bất đẳng thức vi biến phân dạng
parabolic-elliptic (DVI-PE) trong không gian vô hạn chiều. Kết quả thu được bao
gồm tính giải được và sự tồn tại một tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị sinh
bởi DVI-PE.
Nội dung chính của chương được trình bày dựa trên bài báo số [2] trong danh
mục các công trình khoa học liên quan đến luận án.
3.1.

ĐẶT BÀI TOÁN

Cho (X, · X ) là một không gian Banach và (U, · U ) và một không gian
Banach phản xạ với không gian đối ngẫu U ∗ , chúng tôi xét bài toán sau

x (t) − Ax(t) ∈ F (x(t), u(t)), x(t) ∈ X, t ≥ 0,
B(u(t)) + ∂φ(u(t)) g(x(t), u(t)), u(t) ∈ U, t ≥ 0,
x(0) = ξ,

(3.1)
(3.2)
(3.3)

ở đó x là hàm trạng thái lấy giá trị trong X , u là hàm điều khiển lấy giá trị trong
U , φ : U → R là một hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới.
3.2.

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM

Sau đây, chúng tôi đưa ra các giả thiết cho bài toán (3.1) - (3.3).
(A) Toán tử A là toán tử sinh của một C0 -nửa nhóm {S(t)}t≥0 .
(B) Toán tử B : U → U ∗ được xác định bởi

u, Bv = b(u, v), ∀u, v ∈ U,
ở đó b : U × U → R là hàm song tuyến tính trên U × U sao cho tồn tại số
dương ηB thỏa mãn
b(u, u) ≥ ηB u 2U , ∀u ∈ U.
(F) Ánh xạ đa trị F : X ×U → P(X) là nửa liên tục trên với giá trị lồi, compact.
Hơn nữa
(1) Nếu nửa nhóm S(·) không có tính compact, thì F thỏa mãn ước lượng
theo độ đo
χ(F (C, D)) ≤ pχ(C) + qU(D)
với mọi tập bị chặn C ⊂ X và D ⊂ U , ở đây p, q là các hằng số dương; χ
và U lần lượt là các độ đo không compact Hausdorff trên các không gian
X và U .


12

(2) Tồn tại các hằng số dương a, b, c sao cho

F (x, u) := sup{ ξ

X

: ξ ∈ F (x, u)} ≤ a x

X

+b u

U

+ c,

với mọi x ∈ X , y ∈ U .
(G) Hàm g : X × U → U ∗ là hàm liên tục Lipschitz, nghĩa là tồn tại hai số dương
η1 và η2 sao cho

g(y, v) − g(¯
y , v¯)

U∗

≤ η1 y − y¯

X

+ η2 v − v¯

U,

với mọi y, y¯ ∈ X và v, v¯ ∈ U .
Kí hiệu PF là một ánh xạ đa trị được xác định bởi

PF : C([0, T ]; X) × L1 (0, T ; U ) → P(L1 (0, T ; X)),
PF (x, u) = {f ∈ L1 (0, T ; X) : f (t) ∈ F (x(t), u(t)) với hầu khắp t ∈ J}. (3.4)
Rõ ràng ta thấy PF (x, u) là tập các hàm chọn khả tích của F (x(·), u(·)) với mỗi
(x, u) ∈ C([0, T ]; X) × L1 (0, T ; U ).
Chúng ta đưa ra định nghĩa cho nghiệm yếu của bài toán (3.1)-(3.3).
Định nghĩa 3.1. Một cặp hàm (x, u) trong đó x : [0, T ] → X liên tục và u :
[0, T ] → U khả tích được gọi là nghiệm yếu của bài toán (??)-(??) nếu tồn tại
hàm chọn f ∈ PF (x, u) sao cho:
t

S(t − s)f (s)ds, t ∈ [0, T ],

x(t) = S(t)ξ +
0

Bu(t) + ∂φ(u(t))

g(x(t), u(t)), t ∈ [0, T ].

Ta đưa ra kí hiệu cho tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân dạng elliptic bởi
S(z) = {u ∈ U : Bu + ∂φ(u)

z}.

Với mỗi y ∈ X cố định, bất đẳng thức biến phân (3.2) có dạng như sau:

Bu + ∂φ(u)

g(y, u).

(3.5)

Bổ đề 3.1. Giả sử (B) và (G) thỏa mãn. Hơn nữa giả sử rằng η2 < ηB . Khi đó,
với mỗi y ∈ X , tồn tại nghiệm duy nhất u ∈ U của (3.5). Ngoài ra, ánh xạ nghiệm
V:X→U
y → u,
là liên tục Lipschitz, cụ thể ta có ước lượng sau
η1
y1 − y2
V(y1 ) − V(y2 ) U ≤
ηB − η2

X , ∀y1 , y2

∈ X.

(3.6)

Để giải bài toán (3.1)-(3.3), ta đưa về dạng bao hàm thức vi phân. Xét ánh xạ
đa trị:
G(y) = F (y, V(y)), y ∈ X.


13

Từ quá trình thiết lập bài toán như trên, ta đưa về bao hàm thức vi phân như
sau:

x (t) − Ax(t) ∈ G(x(t)), t ∈ J,
x(0) = ξ.

(3.7)
(3.8)

Ta định nghĩa ánh xạ đa trị RG bởi

RG : C([0, T ]; X) → P(L1 (0, T ; X)),
RG (x) = {f ∈ L1 (0, T ; X) : f (t) ∈ G(x(t)), với hầu khắp t ∈ [0, T ]}.
Mệnh đề 3.1. Dưới các điều kiện (B), (F) và (G), ánh xạ RG là nửa liên tục
trên yếu với giá trị khác rỗng, lồi và compact yếu.
Xét toán tử Cauchy:

W : L1 (0, T ; X) → C(J; X)
t

W(f )(t) =

S(t − s)f (s)ds.
0

Với mỗi ξ ∈ X , ta đưa ra toán tử nghiệm được cho bởi

F : Cξ → P(Cξ )
F(x) = {S(·)ξ + W(f ) : f ∈ RG (x)}.
Mệnh đề 3.2. Giả sử (A) thỏa mãn. Nếu D ⊂ L1 (0, T ; X) là nửa compact thì
W(D) là tập compact tương đối trong C([0, T ]; X). Đặc biệt, nếu dãy {fn } là nửa
compact và fn

f ∗ trong L1 (0, T ; X) thì W(fn ) → W(f ∗ ) trong C([0, T ]; X).
Định lý sau đây là kết quả chính của mục này.
Định lí 3.1. Giả sử (A), (B), (F) và (G) thỏa mãn. Khi đó bài toán (3.1)-(3.3)
có ít nhất một nghiệm yếu với mỗi dữ kiện ban đầu ξ ∈ X .
Đặt πT , T > 0 là hàm cắt trên đoạn [0, T ] được lấy trên không gian C([0, +∞); X),
nghĩa là với mỗi z ∈ C([0, +∞); X), πT (z) là hạn chế của z trên [0, T ]. Kí hiệu:

Σ(ξ) = {x ∈ C([0, +∞); X) : x(0) = ξ, x là một nghiệm yếu
của (3.1)-(3.2) trên [0, T ] với mỗi T > 0}.
Ta có:

πT ◦ Σ(ξ) ⊂ S(·)ξ + W ◦ RG (πT ◦ Σ(ξ)),

(3.9)

với mọi T > 0 và πT ◦ Σ(ξ) =Fix(F ).
Bổ đề 3.2. Giả sử các giả thiết của Định lý 3.1 thỏa mãn. Khi đó πT ◦ Σ({ξn })
là compact tương đối trong C([0, T ]; X), nếu {ξn } ⊂ X là dãy hội tụ. Đặc biệt,
πT ◦ Σ(ξ) là tập compact với mỗi ξ ∈ X .


14

3.3.

SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TOÀN CỤC

Nửa dòng đa trị sinh bởi bài toán (3.7)-(3.8) là ngặt và được xác định như sau:

G : R+ × X → P(X),

G(t, ξ) = {x(t) : x là một nghiệm yếu của (3.7) − (3.8), x(0) = ξ}.
Ta có

G(t1 + t2 , ξ) = G(t1 , G(t2 , ξ)), với mọi t1 , t2 ∈ R+ , ξ ∈ X.

Bổ đề 3.3. Giả sử các giả thiết của Định lý 3.1 thỏa mãn, khi đó G(t, ·) là nửa
liên tục trên và có giá trị compact với mỗi t > 0.
Ta đưa thêm giả thiết sau.

(A∗ ) {S(t)}t≥0 ổn định tiệm cận với tốc độ mũ α, và χ-giảm với mũ β , tức là
S(t)

L(X)

ở đây α, β > 0, N, P ≥ 1,

≤ N e−αt , S(t)
·

χ

χ

≤ P e−βt , ∀t > 0,

là chuẩn toán tử theo độ đo χ.

Bổ đề 3.4. Giả sử (A∗ ), (B), (F) và (G) thỏa mãn. Nếu β − 4P (p +
thì tồn tại T0 > 0 và một số ζ ∈ [0, 1) sao cho với mọi T ≥ T0 ta có

qη1
ηB −η2 )

>0

χ(GT (B)) ≤ ζ · χ(B), với mọi tập bị chặn B ⊂ X.
Bổ đề 3.5. Giả sử các giả thiết trong Bổ đề 3.4 thỏa mãn. Khi đó G có một tập
1
hấp thụ nếu α > N (a + ηBbη−η
).
2
1
Bổ đề 3.6. Giả sử (A∗ ), (B), (F) và (G) được thỏa mãn. Nếu β−4P (p+ ηBqη−η
)>0
2
thì G là nửa compact tiệm cận trên.

Định lí 3.2. Giả sử (A∗ ), (B), (F) và (G) thỏa mãn. Khi đó tồn tại một tập hút
toàn cục của nửa dòng đa trị G sinh bởi hệ động lực liên kết với (3.1)-(3.3) nếu:

min{α − N (a +
3.4.

bη1
qη1
), β − 4P (p +
)} > 0.
ηB − η2
ηB − η2

ÁP DỤNG

Cho Ω là miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω trơn thuộc lớp C 2 . Xét bài toán
sau:
∂Z
(t, x) − ∆x Z(t, x) = f (t, x), t ≥ 0, x ∈ Ω,
(3.10)
∂t
f (t, x) ∈ [f1 (x, Z(t, x), u(t, x)), f2 (x, Z(t, x), u(t, x))], t > 0, x ∈ Ω,
(3.11)
∆x u(t, x) + β(u(t, x) − ψ(x)) g(x, Z(t, x), u(t, x)), t ≥ 0, x ∈ Ω,
(3.12)
Z(t, x) = u(t, x) = 0, t ≥ 0, x ∈ ∂Ω,
(3.13)
Z(0, x) = ϕ(x), x ∈ Ω,
(3.14)


15

trong đó f1 , f2 , g : Ω × R × R → R là các hàm liên tục, ψ ∈ H 2 (Ω), ψ(x) ≤ 0, ∀x ∈
Ω và β : R → 2R là ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại

nếu r > 0,
0
β(r) = R− nếu r = 0,

∅
nếu r < 0.
Cho X = L2 (Ω), V = H01 (Ω), H = L2 (Ω), V = H −1 (Ω). Chuẩn trong X và V

lần lượt được cho bởi

|u(y)|2 dy, ∀u ∈ L2 (Ω),

|u|2 =
Ω

|∇u(y)|2 dy, ∀u ∈ H01 (Ω),

u =
Ω

Ta định nghĩa hàm đa trị sau:

F : X × V → P(X),
¯ u¯)(x) = {λf1 (x, Z(x),
¯
¯
F (Z,
u¯(x)) + (1 − λ)f2 (x, Z(x),
u¯(x)) : λ ∈ [0, 1]}.
Khi đó bài toán (3.10) và (3.11) được viết lại thành

Z (t) − AZ(t) ∈ F (Z(t), u(t)), t ≥ 0,
ở đó A = ∆, D(A) = H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω), Z(t) ∈ X, u(t) ∈ V sao cho Z(t)(x) =
Z(t, x), u(t)(x) = u(t, x). Do Định lý 7.2.5 và Định lý 7.2.8 trong Vrabie, nửa
nhóm S(t) = etA được sinh bởi toán tử A là compact và ổn định mũ, cụ thể

S(t)
với λ1 := inf{ ∇u

α = λ1 .

2
X

: u ∈ H01 (Ω), u

L(X)
X

≤ e−λ1 t ,

= 1}. Điều kiện (A∗ ) được thỏa mãn với

Giả sử tồn tại các hàm không âm a1 , a2 , b1 , b2 ∈ L∞ (Ω), c1 , c2 ∈ L2 (Ω) sao cho

|f1 (x, p, q)| ≤ a1 (x)|p| + b1 (x)|q| + c1 (x),
|f2 (x, p, q)| ≤ a2 (x)|p| + b2 (x)|q| + c2 (x), ∀x ∈ Ω, p, q ∈ R.
Ta thấy rằng ánh xạ đa trị F có giá trị lồi, compact. Hơn nữa ta còn có
¯ u¯) ≤ max{ a1 ∞ , a2 ∞ } Z¯
F (Z,
+ max{ b1 ∞ , b2 ∞ }|¯
u| + max{|c1 |, |c2 |}
≤ max{ a1 ∞ , a2 ∞ } Z¯
max{ b1 ∞ , b2 ∞ }
√
+
u¯ + max{|c1 |, |c2 |}.
λ1
Ta có, vì f1 và f2 liên tục nên F có đồ thị đóng. Thêm vào đó, nếu {Z¯n } ⊂ X

và {¯
un } ⊂ V , ta có thể tìm được dãy fn ∈ F (Z¯n , u¯n ) hội tụ trong X do định lý


16

hội tụ trội Lebesgue. Theo Bổ đề về tính nửa liên tục trên, F là ánh xạ đa trị nửa
liên tục trên. Vậy điều kiện (F) được thỏa mãn.
Ta xét bất đẳng thức biến phân elliptic (3.12). Đặt B := −∆ : V → V , ở đây
−∆ là toán tử Laplace được xác định như sau

∇u∇vdy, với mỗi u, v ∈ H01 (Ω).

u, −∆v :=
Ω
2
H01 (Ω) .

Dễ thấy u, Bu = u

Từ đó, giả thiết (B) được thỏa mãn với ηB = 1.

Đối với g , giả sử tồn tại các hàm không âm η1 , η2 ∈ L∞ (Ω) sao cho:

|g(x, p, q) − g(x, p , q )| ≤ η1 (x)|p − p | + η2 (x)|q − q |, ∀x ∈ Ω, p, q, p , q ∈ R.
Ta viết lại g dưới dạng sau:

g : X × V → H,
¯ u¯)(x) = g(x, Z(x),
¯

g(Z,
u¯(x)),
Từ đó ta nhận được

g(Z¯1 , u¯1 ) − g(Z¯2 , u¯2 )

2

≤ η1

∞

Z¯1 − Z¯2

X

≤ η1

∞

Z¯1 − Z¯2

X

+ η2 ∞ u¯1 − u¯2
η2 ∞
u¯1 − u¯2
+ √
λ1

X,
V,

với mọi Z¯1 , Z¯2 ∈ X, u
¯1 , u¯2 ∈ V . Từ đó suy ra giả thiết (G) được thỏa mãn. Biến
đổi tương tự như Mệnh đề 2.11 trong V.Barbu, bất đẳng thức biến phân (3.12)
được viết lại thành

Bu(t) + ∂IK (u(t))

g(Z(t), u(t)),

trong đó

K = {u ∈ H01 (Ω); u(x) ≥ ψ(x) với hầu khắp x ∈ Ω}.
Chúng ta đi đến kết quả dưới đây nhờ áp dụng Định lý 3.2.
Định lí 3.3. Nếu η2

2
∞

λ1 > max{ a1

< λ1 và

∞ , a2

∞ } + max{ b1

∞ , b2

∞

}√

η1 ∞
λ1 − η2

∞

thì tồn tại một tập hút toàn cục compact trong L2 (Ω) cho nửa dòng đa trị sinh bởi
bài toán (3.10)-(3.14).


17

Chương 4
BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN DẠNG PARABOLIC-PARABOLIC
TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU

Mô hình parabolic-parabolic là một mô hình với rất nhiều ứng dụng trong hóa
sinh (các hệ Keller-Segel), trong các bài toán tương tác quần thể, các quá trình
hóa học có số hạng bình lưu,... Điểm mới trong mô hình parabolic-parabolic của
chúng tôi là tổng quát hóa được một lớp bài toán parabolic-parabolic trước đó
thông qua dạng hệ hai bao hàm thức vi phân. Trong đó, DVI-PP bao gồm bao
hàm thức parabolic theo nghĩa Fillipov liên kết với bao hàm thức parabolic phi
tuyến chứa toán tử tăng trưởng ở dạng dưới vi phân. Đây là lần đầu tiên mô hình
như vậy được thiết kế.
Mục đích của chương này nhằm đưa ra kết quả về tính giải được và sự tồn tại
một tập hút toàn cục của nửa dòng đa trị liên kết với bài toán. Các kết quả được

trình bày dựa trên công trình ở dạng tiền ấn phẩm [3] trong danh mục các công
trình khoa học liên quan đến luận án.
4.1.

ĐẶT BÀI TOÁN

Xét bài toán DVI dạng parabolic-parabolic như sau

x (t) ∈ Ax(t) + F (x(t), u(t)),
u (t) + Bu(t) + ∂φ(u(t)) h(x(t)),
x(0) = x0 và u(0) = u0 ,

(4.1)
(4.2)
(4.3)

trong đó φ : H → R là một hàm chính thường, lồi và nửa liên tục dưới.
Từ khái niệm của dưới vi phân ∂φ, bao hàm thức tiến hóa (4.2) có thể được
viết lại ở dạng bất đẳng thức như sau

u (t) + Bu(t) − h(x(t)), u(t) − v + φ(u(t)) − φ(v), ∀v ∈ H.
Kí hiệu BH là toán tử hạn chế của B sao cho tập giá trị của nó nằm trong H , tức
là

BH : D(BH ) ⊂ U → H,

Bh u = Bu, Bu ∈ H,

D(BH ) = {u ∈ U : Bu ∈ H}.

Ta xét các giả thiết cho bài toán (4.1)-(4.3) như sau:
(A) Toán tử A sinh ra một C0 -nửa nhóm {S(t)}t≥0 trên X .
(B) Toán tử B : U → U là một toán tử tuyến tính liên tục, đối xứng thỏa mãn
(B1) điều kiện cưỡng

Bu, u ≥ ω u
với số ω > 0 nào đó;

2
U


18

(B2) U ∩ D(φ) = ∅ và tồn tại h ∈ H sao cho

φ((I + λBH )−1 (x + λh)) ≤ φ(x) + Cλ(1 + φ(x)), ∀x ∈ D(φ), λ > 0.
(F ) Ánh xạ đa trị F : X × H → P(X) là nửa liên tục trên với giá trị lồi, compact
khác rỗng và thỏa mãn các điều kiện
(F 1) tồn tại hằng số η1F > 0, η2F > 0, a ≥ 0, sao cho đẳng thức sau được thỏa
mãn với mọi x ∈ X, u ∈ H

F (x, u) := sup{ ξ

X

: ξ ∈ F (x, u)} ≤ η1F x

X

+ η2F |u| + a;

(F 2) tồn tại hằng số p > 0, q > 0 sao cho

χ(F (B, D)) ≤ pχ(B) + qϑ(D), ∀B ∈ Pb (X), D ∈ Pb (H),
trong đó χ và ϑ lần lượt là kí hiệu các độ đo không compact Hausdorff
trên không gian X và H .
(H) Ánh xạ h : X → H là một ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện h(0) ∈ ∂φ(0)
và tồn tại số ηh > 0, b ≥ 0 sao cho

h(x)

H

≤ ηh x

X

+ b.

Nhận xét 4.1. (1) Trong trường hợp φ = IK , với K là một tập con lồi, đóng
khác rỗng của H , điều kiện (H) được thay thế bởi: Tồn tại phần tử h ∈ H
sao cho
(I + B)−1 (y + h) ∈ K, ∀ > 0, ∀y ∈ K.
(4.4)
(2) Giả thiết (H) đối với vế phải của bất đẳng thức biến phân parabolic chỉ
cần liên tục và tăng trưởng dưới tuyến tính. Ta giản lược được điều kiện
Lipschitz so với vế phải của bất đẳng thức biến phân elliptic ở Chương 3.
Xét ánh xạ PF được định nghĩa bởi

PF : C([0, T ]; X) × C([0, T ]; H) → P(L1 (0, T ; X)),
PF (x, u) = {f ∈ L1 (0, T ; X) : f (t) ∈ F (x(t), u(t)), h.k.n. t ∈ [0, T ]}.
(4.1)-(4.3):
Định nghĩa 4.1. Một cặp hàm (x, u) trong đó x ∈ C([0, T ]; X) và u ∈ L2 (0, T ; U )∩
W 1,2 (0, T, H) ∩ C([0, T ]; H), Bu(t) ∈ H hầu khắp t ∈ [0, T ] là một nghiệm yếu
của bài toán nếu tồn tại một hàm chọn f ∈ PF (x, u) sao cho
t

S(t − s)f (s)ds, t ∈ [0, T ],

x(t) = S(t)x0 +
0

u (t) + Bu(t) + ∂φ(u(t))
u(0) = u0 .

h(x(t)), ∀z ∈ U, h.k.n. t,

Ta gọi V I(u0 , f ) là bài toán sau với u0 , f cho trước

u (t) + Bu(t) + ∂φ(u(t))

f (t),

u(0) = u0 .


19

Kí hiệu toán tử φ0 : H → (−∞, ∞] xác định bởi

1
2

Bu, u , u ∈ U,
+∞, trong các trường hợp còn lại.

φ0 (u) =

Gọi ν là hệ số nhúng compact U ⊂ H , cụ thể ta có |u| ≤ ν u

U

với mọi u ∈ U .

Mệnh đề 4.1. Ta có các khẳng định sau
(a) BH là toán tử đơn điệu cực đại trên H × H (tương ứng là tăng trưởng cực đại
trên H × H ). Hơn nữa, BH là ων − m- tăng trưởng trên H × H và BH = ∂φ0 ;
(b) BH + ∂φ là toán tử đơn điệu cực đại trên H × H , từ đó suy ra BH + ∂φ là
ω
ν − m- tăng trưởng trên H × H với miền xác định

D(BH + ∂φ) = D(BH ) ∩ D(φ);
(c) BH + ∂φ = ∂ψ , với ψ = φ0 + φ1 , ψ : H → (−∞, ∞] và

ψ(u) =

1
2

Bu, u + φ(u), u ∈ U,

+∞, trong các trường hợp còn lại.

(d) −(BH + ∂φ) sinh ra nửa nhóm S1 (t) đồng liên tục trên D(BH + ∂φ).
(e) −(BH + ∂φ) sinh ra nửa nhóm S1 (t) compact trên D(BH + ∂φ).
(f) S1 (t) là nửa nhóm ων - ổn định mũ trên D(BH + ∂φ).
Mệnh đề 4.2. Giả sử điều kiện (B) được thỏa mãn. Cho u0 ∈ D(φ) ∩ U và
f ∈ L2 (0, T ; H).
Khi đó bài toán

u (t) + Bu(t) + ∂φ(u(t))

f (t),

có một nghiệm duy nhất u sao cho u(t) ∈ D(BH ) với hầu khắp t ∈ [0, T ] và
u ∈ L2 (0, T ; U ) ∩ W 1,2 (0, T ; H) ∩ C([0, T ]; H). Hơn nữa, ánh xạ (u0 , f ) → u là
Lipschitz từ H × L2 (0, T ; H) đến C([0, T ]; H) ∩ L2 (0, T ; H).
Bổ đề 4.1. Giả sử điều kiện (B), (H) được thỏa mãn. Khi đó với mỗi x(·) ∈
C([0, T ]; X) và u0 ∈ D(φ) ∩ U , bài toán

u (t) + Bu(t) + ∂φ(u(t))

h(x(t)),

u(0) = u0 ,
có nghiệm u(·) với u(t) ∈ D(BH ) hầu khắp t ∈ [0, T ] và u ∈ L2 (0, T ; U ) ∩
W 1,2 (0, T ; H) ∩ C([0, T ]; H).
Bổ đề 4.2. Xét bài toán sau
dy
dt (t)

+ Ay
y(0) = y0 ,

f (t), t ∈ [0, T ],

(4.5)


20

ở đó y0 ∈ D(A), f ∈ L2 (0, T ; H) và A := ∂φ : H → (−∞, ∞] là toán tử đơn
điệu cực đại (tương đương, là m-tăng trưởng) trên H × H . Khi đó bài toán (4.5)
có nghiệm y ∈ W 1,2 ([δ, T ]; H) với mọi δ > 0 và ngoài ra nếu A là w-tăng trưởng
và f (0) ∈ A(0) thì ta có ước lượng sau:

|y(t)| ≤ e

−ωt

t

|y0 | +

e−ω(t−s) |f (s)|ds.

(4.6)

0

4.2.

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM

Đặt

CxX0 = {x ∈ C([0, T ]; X) : x(0) = x0 };
CuH0 = {u ∈ C([0, T ]; H) : u(0) = u0 }.

Mệnh đề 4.3. Giả sử giả thiết (F) thỏa mãn. Khi đó PF (x, u) = ∅ với mỗi
x ∈ CxX0 , u ∈ CuH0 . Hơn nữa, ánh xạ đa trị PF là nửa liên tục trên yếu với giá trị lồi
và compact yếu.
Ta đưa vào kí hiệu toán tử nghiệm

Φ : C([0, T ]; X) × C([0, T ]; H) → P(C([0, T ]; X) × C([0, T ]; H)),
Φ(x, u) := S(·)x0 +

t
0 S(t

− s)f (s)ds, f ∈ PF (x, u)
W ◦ h(x(·))

trong đó

W : L1 (0, T, X) → C([0, T ]; X),
W (g)(t) = u(t, u0 , g), u là nghiệm duy nhất của bài toán V I(u0 , g).
Mệnh đề 4.4. (1) Nếu Ω ⊂ L1 (0, T ; H) là bị chặn tích phân thì W (Ω) là một
tập đồng liên tục trong C([0, T ]; H);
(2) W là một toán tử compact.
Xét toán tử Cauchy

Q : L1 (0, T, X) → C([0, T ]; X),
T

Q(f )(t) =

S(t − s)f (s)ds.
0

Toán tử nghiệm Φ được viết lại bởi

Φ(x, u) :=

S(·)x0 + Q ◦ PF (x, u)
W ◦ h(x(·))

Định lí 4.1. Giả sử các điều kiện (A), (B), (F ) và (H) được thỏa mãn. Khi đó
bài toán (4.1)-(4.3) có nghiệm yếu (x(·), u(·)) với mỗi x0 ∈ X, u0 ∈ D(φ) ∩ U .


21

x
x0
−A 0
g(x, u) + F (x)
,
Y
=
,

A=
,
F(Y ) =
0
u
u0
0 B
h(x) + ∂φ(u) ,
ta chuyển bài toán đang xét về dạng
Bằng cách đặt Y =

dY
+ AY ∈ F(Y )
dt
Y (0) = Y0 ,

(4.7)
(4.8)

Ta đưa ra không gian phổ quát (universal space) cho nghiên cứu dáng điệu
nghiệm của bài toán (4.7)-(4.8) như sau

X := X × D(φ) ∩ U .
Nửa dòng đa trị liên kết với (4.7)-(4.8) được cho bởi

G : R+ × X → X ,
G(t, x0 , u0 ) = {(x(t), u(t)) : Y là một nghiệm yếu của (4.7) − (4.8),
x(0) = x0 , u(0) = u0 }.
Giả sử Σ(x0 , u0 , T ) là tập tất cả các nghiệm yếu của bài toán trên [0, T ] với điều
kiện ban đầu (x0 , u0 ) và đặt

Σ(x0 , u0 ) = ∪T >0 Σ(x0 , u0 , T ).
Ta có

G(t, x0 , u0 ) = {(x(t), u(t)) : (x(·), u(·)) ∈ Σ(x0 , u0 ), t ≥ 0, x0 ∈ X,
u0 ∈ D(φ) ∩ U }.
Mệnh đề 4.5. Với mỗi {(ξn , ηn )} ⊂ X sao cho ξn → ξ, ηn → η lần lượt trong X
và H . Khi đó Σ({(ξn , ηn , T )}) là một tập compact tương đối trong C([0, T ]; X) ×
C([0, T ]; H). Nói riêng, Σ(ξ, η, T ) là một tập compact với mỗi (ξ, η) ∈ X .
Hệ quả 4.1. Ánh xạ đa trị G có giá trị compact trong X × H .
Bổ đề 4.3. G là nửa dòng đa trị ngặt.
4.3.

SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TOÀN CỤC

Chúng ta đưa thêm giả thiết sau:
(A∗ ) Nửa nhóm {S(t)}t≥0 ổn định tiệm cận với tốc độ mũ α, và χ-giảm với mũ β ,
tức là
S(t) L(X) ≤ N e−αt , S(t) χ ≤ P e−βt , ∀t > 0,
ở đây α, β > 0, N, P ≥ 1,

·

χ

là chuẩn toán tử theo độ đo χ.

Bổ đề 4.4. Giả sử các điều kiện (A∗ ), (B), (F ) và (H) được thỏa mãn. Khi đó
nếu
β > 4P p,

22

thì tồn tại số T0 > 0 và một số ζ ∈ [0, 1) sao cho với mọi T ≥ T0 , ta có

χ∗ (G(T, C, D)) ≤ ζχ(C),
với mọi tập bị chặn (C, D) ∈ X .
Bổ đề 4.5. Với các giả thiết của Bổ đề 4.4, G là nửa compact tiệm cận trên.
Bổ đề 4.6. Với mỗi t > 0, nửa dòng đa trị G(t, ·, ·) là nửa liên tục trên.
Bổ đề 4.7. Giả sử các điều kiện (A∗ ), (B), (F ) và (H) được thỏa mãn. Khi đó,
tồn tại tập hấp thụ cho nửa dòng đa trị G liên kết với (4.7)-(4.8) nếu các hệ số
dương α, η1F , η2F , ηh , ω thỏa mãn
ω
min{ , α} > max{η1F + ηh , η2F }.
ν
Định lí 4.2. Giả sử các điều kiện (A∗ ), (B), (F ) và (H) được thỏa mãn.. Khi
đó nếu
ω
β > 4P p và min{ , α} > max{η1F + ηh , η2F }
ν
thì tồn tại một tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị G trên X .
4.4.

ÁP DỤNG

Cho Ω ⊂ Rn là một miền có biên thuộc lớp C 2 . Kết quả chính của bài toán
được ứng dụng cho hệ parabolic-parabolic dưới đây

∂Z

(t, x) − ∆x Z(t, x) = f (t, x),
∂t
f (t, x) ∈ [f1 (x, Z(t, x), u(t, x)), f2 (x, Z(t, x), u(t, x))],
∂u
(t, x) − ∆x u(t, x) + β(u(t, x) − ψ(x)) h(x, Z(t, x)),
∂t
Z(t, x) = u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t ≥ 0,
Z(0, x) = Z0 (x), u(0, x) = u0 (x).

(4.9)
(4.10)
(4.11)
(4.12)
(4.13)

ở đó f1 , f2 , h : Ω × R → R là các hàm liên tục, hàm ψ ∈ H 2 (Ω), ψ ≤ 0 trên ∂Ω và
β : R → 2R là một hàm đơn điệu cực đại được cho bởi

nếu r > 0,
0
β(r) = R− nếu r = 0,

∅
nếu r < 0.
Chú ý rằng (4.11) có thể được viết lại bởi

∂u
(t, x) − ∆x u(t, x) = h(x, Z(t, x)) trong {(t, x) ∈ Q := (0, T ) × Ω : u(t, x) ≥ ψ(x)},
∂t
∂u

(t, x) − ∆x u(t, x) ≥ h(x, Z(t, x)) trong Q,
∂t
u(t, x) ≥ ψ(x), ∀(t, x) ∈ Q,


23

mà ở đó mô tả bài toán khuyếch tán với biên tự do hay dịch chuyển. Mô hình này
còn được gọi là bài toán parabolic có chướng ngại (Barbu-2010).
Giả sử tồn tại các hàm số không âm a1 , a2 ∈ L∞ (Ω) sao cho:

|f1 (x, p, q)| ≤ a1 (x)|p| + b1 (x)|q| + c1 (x),
|f2 (x, p, q)| ≤ a2 (x)|q| + b2 (x)|q| + c2 (x), ∀x ∈ Ω, p ∈ R.
Ánh xạ h : Ω × R → R được giả sử h(x, 0) = 0, ∀x ∈ Ω và

|h(x, p1 )| ≤ b(x)|p1 | + c(x), ∀x ∈ Ω, p ∈ R,
với b, c là hàm không âm thuộc L∞ (Ω).
Khi đó bất đẳng thức biến phân (4.11) được viết lại bởi

u (t) + Bu(t) + ∂IK (u(t))

h(Z(t)),

trong đó

K = {u ∈ L2 (Ω) : u(y) ≥ ψ(x), với hầu khắp x ∈ Ω},
∂IK (u) = u ∈ L2 (Ω) :

u(x)(v(x) − z(x))dx ≥ 0, ∀z ∈ K ,
Ω

= {u ∈ L2 (Ω) : u(x) ∈ β(v(x) − ψ(x)), với hầu khắp x ∈ Ω}.
Kết quả chính của phần này cho bởi định lý sau.
Định lí 4.3. Tồn tại một tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị sinh bởi hệ (4.9)(4.13) trong L2 (Ω) × K được cảm sinh từ topo trên L2 (Ω) × L2 (Ω), nếu ta có:

λ1 > max

b

∞

+ max{ a1

∞,

a2

∞ }; max{

b1

∞,

b2

∞}

.