CD7 Phương trinh bậc 2 I DHV10

1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9

G. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN. HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG

Mục Lục
G. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN.....................................................................1
Dạng 1: Giải phương trình và phương trình quy về phương trình bậc hai..........................2
1.1 Giải phương trình bậc hai cơ bản.......................................................2

Chủ đề

1.2. Giải phương trình quy về phương trình bậc hai......................................4

7

1.2.1. Phương trình trùng phương..........................................................4

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG

1.2.3. Giải phương trình đưa về phương trình tích.........................................9
1.2.4. Giải phương trình chứa căn bậc hai................................................11
a) Phương trình chứa căn bậc hai đơn giản (quy được về phương trình bậc hai).........11
b) Phương trình vô tỉ........................................................................................................12
1.2.5. Giải phương trình chứa dấu GTTĐ................................................13

Dạng 2: Hệ thức Vi-et và ứng dụng........................................................................................14
Dạng 3: Phương trình chứa tham số......................................................................................19
. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.....................................................................................................50

Dạng 1: Giải phương trình và phương trình quy về phương trình bậc hai
1.1 Giải phương trình bậc hai cơ bản.
Đối với đề toán là giải phương trình với phương trình là phương trình bậc hai đơn giản
2
(có dạng tổng quát ax  bx  c  0 ), học sinh có thể sử dụng phương pháp đưa về giải
Website: tailieumontoan.com


1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9

phương trình tích, hoặc sử dụng công thức nghiệm (hoặc công thức nghiệm thu gọn) và
sử dụng cách nhẩm nghiệm để giải bài toán.
1. Định nghĩa
2
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax  bx  c  0, trong đó x là
ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a �0.

2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
2
2
Đối với phương trình bậc hai ax  bx  c  0 (a �0) và biệt thức   b  4ac :

 Nếu  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
 Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép

x1 

x1  x2  

b  
b  
; x2 
2a
2a .

b
2a .

 Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Chú ý: Nếu phương trình có a và c trái dấu thì  > 0. Khi đó phương trình có 2
nghiệm phân biệt.
3. Công thức nghiệm thu gọn
2
2
Đối với phương trình bậc hai ax  bx  c  0 (a �0) và b  2b�
, � b� ac :

 Nếu  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
 Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép

x1  x2  

 Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Bài 1:

`Giải phương trình:

2
a) 3x  5 x  2  0

Website: tailieumontoan.com

x1 

2
b) 5x  6 x  1  0

b�
 �
b�
 �
; x2 
a
a

b�
a.


1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
Hướng dẫn giải

a) Cách 1: Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử.
3x 2  5 x  2  0 � 3 x 2  6 x  x  2  0 � 3 x( x  2)  ( x  2)  0

� 1
3x  1  0
x
�
� (3x  1)( x  2)  0 � �
�� 3
�
x20
�
x  2
�

� 1�
S  �2; �
� 3
Vậy tập nghiệm của phương trình là

Cách 2: Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai.
2
2
Ta có a  3; b = 5; c = -2 ;   b  4ac  5  4.3.(2)  25  24  49  0

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:
x1 

b   5  49 5  7 2 1


 
2a

2.3
6
6 3

x2 

b   5  49 5  7 12



 2
2a
2.3
6
6

� 1�
S  �2; �
� 3
Vậy tập nghiệm của phương trình là

b) Phương pháp 1: Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử:
5 x 2  6 x  1  0 � 5 x 2  5 x  x  1  0 � 5 x( x  1)  ( x  1)  0
� 1
5x 1  0
x
�
� (5 x  1)( x  1)  0 � �
�� 5

�
x 1  0
�
x 1
�

� 1�
S �
1; �
5
�
Vậy tập nghiệm của phương trình là

Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn ( hoặc công thức nghiệm tổng quát)
để giải:

Website: tailieumontoan.com


1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9

Ta có

a  5; b =  6 � b' =

b
6
=

= -3; c = 1
2
2

2
 '  b�
 ac  (3) 2  5.1  9  5  4  0

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:
x1 

b '  ' ( 3)  4 3  2


1
a
5
5
;

x2 

b '  ' (3)  4 3  2 1



a
5
5
5

Phương pháp 3: Giải bằng cách nhẩm nghiệm.
Ta có a  5; b =  6; c = 1 và a  b  c  5  ( 6)  1  0 . Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
phân biệt là x1  1 và

x2 

c 1

a 5.

1.2. Giải phương trình quy về phương trình bậc hai
1.2.1. Phương trình trùng phương
4
2
Cho phương trình: ax  bx  c  0 ( a �0 ) (1)
Phương pháp 1: Đặt ẩn phụ:
2
2
Đặt t  x   (t �0) Ta được phương trình: at  bt  c  0 (2)

Nếu phương trình (2) (phương trình trung gian) có 2 nghiệm dương thì phương trình
trùng phương có 4 nghiệm.
Nếu phương trình trung gian có một nghiệm dương, một nghiệm âm hoặc có nghiệm kép
dương thì phương trình trùng phương có 2 nghiệm
Nếu phương trình trung gian có 2 nghiệm âm hoặc vô nghiệm thì phương trình trùng
phương vô nghiệm.
Cụ thể:
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt � phương trình (2) có hai nghiệm dương phân

biệt

�  0
�
� �P  0
�S  0
�

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt � phương trình (2) có một nghiệm dương và

một nghiệm bằng 0

�  0
�
� �P  0
�S  0
�

Website: tailieumontoan.com


1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt � phương trình (2) có một một nghiệm kép

dương hoặc có hai nghiệm trái dấu

�

�  0
�
�
�  0
�
�S  0
�
�
�
�
��
�S  0
�
�  0
�
�
a.c  0
�
�
�
�P  0

Phương trình (1) có 1 nghiệm � phương trình (2) có một nghiệm kép bằng 0 hoặc có
một nghiệm bằng không và nghiệm còn lại âm
�
�  0
�
�
�S  0
�

�P  0
�
�
��
0
�
�
�
�
�P  0
�
�S  0
�
�
�

Phương trình (1) có vô nghiệm � phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm
0
�
�
�  0
��
�
�
�P  0
�
�S  0
�
�

Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm luôn
c
bằng a .

Phương pháp 2: Giải trực tiếp phương trình trùng phương bằng cách đưa về giải
phương trình tích:
A0
�
A.B  0 � �
B0
�
Biến đổi đưa về dạng phương trình tích :
4
2
Giải phương trình: x  13 x  36  0 (1)

Bài 1:

Hướng dẫn giải

Cách 1:

2
Đặt t  x ( điều kiện:  t �0 ) phương trình (1) có dạng :

t 2  13t  36  0 . Ta

có a  1; b  13; c  36

Website: tailieumontoan.com

1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
  b 2  4ac  (13) 2  4.1.36  25  0 . �   5
� t1 
t2 

Với

b   (13)  5

9
2a
2
(thỏa mãn điều kiện  t �0 )

b   ( 13)  5

4
2a
2
(thỏa mãn điều kiện  t �0 )

t1  9 � x 2  9 � x  � 9 � x  �3

2
Với t2  4 � x  4 � x  � 4 � x  �2

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm : x1  2 ; x2  3; x3  2; x4  3 .
4
2
Cách 2: x  13 x  36  0 (1)

� ( x 4  12 x 2  36)  x 2  0
� ( x 2  6) 2  x 2  0
� ( x 2  6  x)( x 2  6  x)  0
�
x2  6  x  0
� �2
x 6 x  0
�
2
Giải phương trình: x – x – 6  0 ta được 2 nghiệm: x1  2; x2  3 .
2
Giải phương trình: x  x – 6  0 ta được 2 nghiệm: x3  2; x4  3 .

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm: x1  3; x2  2; x3  2; x4  3
Bài 2:

4
2
Giải phương trình: 5 x  3 x – 2  0 (1)

Hướng dẫn giải
2
Đặt t  x ( điều kiện:  t �0 ) phương trình (1) có dạng :

5t 2  3t  2  0 . Ta

có a  5; b  3; c  2

  b 2  4ac  (3) 2  4.5.(2)  49  0 �   7
� t1 

b   3  7 2


2a
2.5
5 (thỏa mãn điều kiện  t �0 )

Website: tailieumontoan.com


1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
t2 

Với

b   3  7

 1
2a
2.5
(không thỏa mãn điều kiện  t �0 )

t1 

2
2
2
� x2  � x  �
5
5
5

Với t2  1 (loại)
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm :
Bài 3:

x1 

2
2
 ; x2    
5
5 .

4
2
Giải phương trình: x  5 x  6  0 (1)

Hướng dẫn giải
2
Đặt t  x (điều kiện:  t �0 ) phương trình (1) có dạng :

t 2  5t  6  0 . Ta

có a  1; b  5; c  6

  b 2  4ac  52  4.1.6  1  0 �   1

� t1 
t2 

b   5  1

 2
2a
2.1
(loại vì không thỏa mãn điều kiện  t �0 )

b   5  1

 3
2a
2.1
(loại vì không thỏa mãn điều kiện  t �0 )

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
1.2.2. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Cách giải: Thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn điều

kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã
cho.
Bài 1:

Giải phương trình:
14
1
 1
2
3 x
a. x  9

Website: tailieumontoan.com

2x
x2  x  8

b. x  1 (x  1)(x  4)


1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
Hướng dẫn giải
14
1
 1
3 x
a. x  9
2

ĐKXĐ : x ��3
14
1
 1
x3
� ( x  3)( x  3)
14
( x  3)( x  3)  ( x  3)

( x  3)( x  3)
� ( x  3)( x  3)
� 14   x – 3  x  3   x  3
� x 2 – 9  x  3 –14  0

� x 2  x – 20  0

Ta có: a  1; b  1; c  20
2
   b 2 – 4ac  1 – 4.1.  –20   81  0 �   81  9

� Phương trình có 2 nghiệm có 2 nghiệm phân biệt :
x1 

b   1  9

4
2a
2.1
(thỏa mãn điều kiện)

x2 

 b   1  9

 5
2.a
2.1
(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x1  4 ; x2  –5
2x
x2  x  8

b. x  1 (x  1)(x  4)

ĐKXĐ: x  �–1 và x � 4
2x
x2  x  8

x  1 (x  1)(x  4)
2 x( x  4)
x2  x  8

� ( x  1)( x  4) ( x  1)( x  4)
2
� 2 x  x – 4  x – x  8

� 2 x 2 – 8x – x 2  x – 8  0

Website: tailieumontoan.com


1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
� x2 – 7 x – 8  0

Ta có: a  1; b  7; c  8
a – b  c  1–  –7    –8   0
� Phương trình có 2 nghiệm :
x1   –1 (loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ)

c
x2     8
a
(thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm: x  8

1.2.3. Giải phương trình đưa về phương trình tích.
Phương pháp: Biến đổi phương trình ban đầu về dạng phương trình tích sau đó giải các
phương trình
A0
�
A.B  0 � �
B  0.
�
Tổng quát:

Bài 1:

Giải phương trình
2
a) ( x  3)( x  3x  1)  0

3
2
b) x  3 x – 2 x  6  0

2x
c) 

4
2
d) x  13 x  36  0

2

 3 –10 x3 –15 x  0
2

Hướng dẫn giải
2
a) ( x  3)( x  3x  4)  0

� x  3  0 hoặc x 2  3 x  4  0

+) x  3  0 � x1  3
2

+) x  3x  4  0 (1)

Ta có a  1; b  3, c  4 . và a  b  c  1  3  (4)  0 . Phương trình (1) có hai nghiệm:
x2  1;

x3 

c
 4
a

Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x1  3; x 2  1; x3  4
Website: tailieumontoan.com


1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
3
2
b) x  3x – 2 x – 6  0

� x 2  x  3 – 2  x  3  0
�  x  3  x 2 – 2   0

� x  3  0 hoặc x 2 – 2  0

+) x  3  0 � x1  3
2
2

+) x – 2  0 � x  2 � x2  2 hoặc x3   2

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1  3 ; x2  2; x3   2
2x
c. 

2

 3 –10 x 3 –15 x  0
2

�  2 x 2  3  – 5 x  2 x 2  3  0
2

 2x

2

 3  2 x 2  3 – 5 x   0

2 x2  3  0

2
hoặc 2 x – 5 x  3  0

2
2
2
+) 2 x  3  0 � 2 x  –3 � x  1,5 (vô nghiệm)
2

+) 2 x – 5 x  3  0 . Có a  2; b  5; c  3 và a  b  c  2 – 5  3  0

Phương trình có 2 nghiệm:
x1  1  ;

x2 

c 3

a 2

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm:
x1  1  ;

x2 

3
2

4
2
d) x  13x  36  0 (1)

� ( x 4  12 x 2  36)  x 2  0 � ( x 2  6) 2  x 2  0 � ( x 2  6  x)( x 2  6  x)  0
�
x2  x  6  0
� �2
x  x6 0
�
2

Giải phương trình: x – x – 6  0 ta được 2 nghiệm: x1  2; x2  3 .

Website: tailieumontoan.com


1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
2
Giải phương trình: x  x – 6  0 ta được 2 nghiệm: x3  2; x4  3 .

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm: x1  3; x2  2; x3  2; x4  3

1.2.4. Giải phương trình chứa căn bậc hai.
a) Phương trình chứa căn bậc hai đơn giản (quy được về phương trình bậc hai)
Phương pháp: Đặt ẩn phụ và biến đổi phương trình ban đầu trở thành phương trình có
2
dạng ax  bx  c  0

Bài 1:

Giải phương trình:
a) 4x  29 x  52  0

b) x  x  1  8  0
Hướng dẫn giải

a) 4x  29 x  52  0. Điều kiện x �0
Đặt

x  t (điều kiện: t �0 ), Khi đó phương trình đã cho trở thành:

4t2  29t  52  0 (1)

  b2  4ac   29  4.4.52  9  0
có a  4; b  29; c  52 và
;
2

 3

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
t1 

b   29  3

4
2a
2.4
(thỏa mãn điều kiện t �0);

t2 

b   29  3 13


2a
2.4
4 (thỏa mãn điều kiện t �0);

Với t1  4 � x  4 � x  16 (t/m)
Với

t2 

13
13
169
� x
� x
4
4
16 (t/m)

169
x1  16 x2  16
KL: Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là
;

1 0

b) x  2 x  1 7  0. Điều kiện: x �۳

Website: tailieumontoan.com

x

1

1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
x  2 x  1 7  0 �  x  1  2 x  1  8  0 . Đặt t  x  1 , điều kiện: t �0 .
2
Phương trình đã cho trở thành: t  2t  8  0 (1) có a  1; b  2; c  8 ;

 '  b'2  ac  1 9  9  0 ;

 '  3 . Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

(thỏa mãn điều kiện t �0)
t2 

 b'  1 3

 2
a
1
(loại vì không thỏa mãn điều kiện t �0)

Với t  4 � x  1  4 � x  1 16 � x  15 (t/m)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  15 .
b) Phương trình vô tỉ.
Phương pháp chung là bình phương hai vế để khử dấu căn. Cần thử lại để loại trừ
nghiệm ngoại lai. (ngoài ra có thể dùng cách đặt ẩn phụ đưa về phương trình không có
dấu căn giống phần a – dạng ý b bài toán 1)

Đặc biệt phương trình:

�
B(x) �0
�
A(x)  B(x) � �
2
B(x)�
�A(x)  �
�
�
�

Ta chỉ có thể đem bình phương hai vế để giải bài toán tương đương khi cả hai vế cùng
dương.

Bài 1:

Giải phương trình:
a) x  2 x  3  0

2
c) 25  x  x  1

2
b) 4  2 x  x  x  2

d) x  4  1  x  1  2 x
Hướng dẫn giải

�x �0
�x �0

x  2x  3  0 � 2x  3  x � �
� �2
2
2x  3  x
�
�x  2 x  3  0
a)

�x �0
��
� x 3
cx 3
�x  1 ho�
. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  3
2
b) 4  2 x  x  x  2

Website: tailieumontoan.com


1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
�x  2 �0
�x �2
�x �2
��
� �2
��
� x 3

2
2
4  2 x  x  ( x  2)
c x 3
�
�x  3x  0
�x  0 ho�

c)

25  x 2  x  1

�x  1�0
�x �1
�x �1
��
�� 2
��
� x 4
2
2
c x  3
25 x  (x  1)
2x  2x  24  0 �x  4 ho�
�
�

d) x  4  1  x  1  2 x � x  4  1  2 x  1  x
1
1

�
�
4 �x �
4 �x �
�
�
2
2
��
��
�x  4  1  x  2 (1  x)(1  2 x)  1  2 x
� (1  x)(1  2 x)  2 x  1
�
�
1
�
4 �x �
�
2
�
1
�
۳��
�x 
2
�
�
(1  x )(1  2 x)  4 x 2  4 x  1
�
�

1
�1
 �x �
�
�2
2
�
�x  0 �x   7
2
�

x

0

1.2.5. Giải phương trình chứa dấu GTTĐ
- Ta thường xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối
trên mỗi khoảng. Giải phương trình trên mỗi khoảng đó.
- Có thể đặt ẩn phụ
Bài 1:

Giải phương trình
a)

b)
Hướng dẫn giải

a)
� x  1  1 x2

1�x �1
�
1�x �1
�
1 x2 �0
x1
�
�
�
�
2
�
��
�
�
�
x

1

1

x
x

0
ho�
cx

1

�
�
�
�
2
x 0
�x  1 �(1 x ) ��
�
��
x  1 ho�
c x  2
x  1 1 x2
��
��

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1  1; x2  0
Website: tailieumontoan.com


1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9

b)
�
x  6  x2  5x  9
��
�
x  6   x2  5x  9
�

�
x2  6x  15  0 �
x1
��
�2
x 3
x  4x  3  0
�
�

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1  1; x2  3

Dạng 2: Hệ thức Vi-et và ứng dụng
a) Nếu
x1.x2 

x1; x2

là hai nghiệm của phương trình

ax2  bx  c  0 a �0

thì

x1  x2 

b
a và

c
a

2
b) Muốn tìm hai số u và v , biết u  v  S; uv  P , ta giải phương trình: x  Sx  P  0
2
(Điều kiện để có u và vlà S  4 P �0 )

c) Nếu a  b c  0 thì phương trình

ax2  bx  c  0 a �0

có hai nghiệm

x1  1; x2 

ax  bx  c  0 a �0
Nếu a  b c  0 thì phương trình
có hai nghiệm
2

c
a

x1  1; x2 

c
a

Sử dụng hệ thức Vi-et, biến đổi biểu thức đã cho suất hiện tổng và tích các nghiệm từ đó

tính được giá trị biểu thức.

Các hệ thức thường gặp:
x12  x2 2   x12  2 x1.x2  x2 2   2 x1.x2   x1  x2   2 x1. x2  S 2  2 P
2

x1  x2  �  x1  x2   4 x1 x2  � S 2  4 P

.

x2  x1  �  x1  x2   4 x1 x2  � S 2  4 P

.

.

2

2

x12  x2 2   x1  x2   x1  x2   � x1  x2 

 x1  x2 

2

 4 x1 x2  �S . S 2  4 P

.

2
x13  x23   x1  x2   x12  x1 .x2  x2 2    x1  x2  �
 S . S 2  3P 
 x1  x2   3x1.x2 �
�
� 
.

Website: tailieumontoan.com


1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
2
x14  x2 4   x12    x2 2    x12  x2 2   2 x12 .x2 2  �
 2 x12 x22
�x1  x2   2 x1 x2 �
�
.
2

2

2

2

  S 2  2P   2P 2
2

.

1 1 x1  x2 S
 

x1 x2
x1 x2
P.

 x1  x2   4 x1 x2
1 1 x2  x1
S 2  4P
 
�
�
x1 x2
x1 x2
x1 x2
P
.
2

 x1  x2 
x1 x2 x12  x22  x1  x2   x1  x2 
 

�
x2 x1
x1 x2

x1 x2

 x1  x2 

2

 4 x1 x2

x1 x2

S. S 2  4P
�
P

2
x13  x23   x1  x2   x12  x1.x2  x2 2    x1  x2  �
 x1  x2   x1.x2 �
�
�.









2
2

 �  x1  x2   4 x1 x2 �
 � S 2  4P �
S 2  P�
�x1  x2   x1.x2 �
�
�
�



x14  x2 4   x12    x2 2    x12  x2 2   x12  x2 2   � S 2  2 P  S . S 2  4 P
2

2



….
2
Bài 1:
Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: x + x - 2 + 2 = 0 . Không giải
phương trình, tính các giá trị của các biểu thức sau:

A=

1
1
+
x1 x2 ;

C = x1 - x2

B = x12 + x2 2 ;

D = x13 + x23 .

;

Hướng dẫn giải

Ta có

Theo Vi-et có:
A=





a  1;c   2  2 .

.  0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Và ac

�
-b
�
S = x1 + x2 =
=- 1
�

a
�
�
�
c
�
P = x1 x2 = = - 2 + 2
�
�
a
�

x + x1
1
1
- 1
+ = 2
=
x1 x2
x1 x2
- 2+ 2 .

(

)

2
B = x12 + x2 2 = ( x1 + x2 ) - x1 x2 = 1 - - 2 + 2 = 3 -

Website: tailieumontoan.com

2

.


1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
2

2

C = x1 - x2 = ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - 4 x1 x2

(

)

= 1- 4 - 2 + 2 = 9 - 4 2 =

( 2 2)

2

(2

- 2 2 +1 =

)

2

2- 1 =2 2- 1

(

)

3
D = x13 + x23 = ( x1 + x2 ) - 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = - 1 + 3 - 2 + 2 = - 7 + 3 2

.

.

2
Bài 2:
Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: x - 3 x - 7 = 0 . Không giải
phương trình

a) Tính các giá trị của các biểu thức sau:
A=

1
1
+
2
2
x1 - 1 x2 - 1 . B = x1 + x2 .

C = x1 - x2

3
3
. D = x1 + x2 .

E = x14 + x2 4

F = ( 3 x1 + x2 ) ( 3x2 + x1 )

.

.

1
1
b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là x1 - 1 và x2 - 1 .

Hướng dẫn giải
.  0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
a) Ta có a  1;c  7. Và ac

Theo hệ thức Vi-et ta có:
A=

�
-b
�
S = x1 + x2 =

=3
�
�
a
�
�
c
�
P = x1 x2 = =- 7
�
�
a
�

x2 + x1 - 2
1
1
1
+
=
=
x1 - 1 x2 - 1 x1 x2 - ( x1 + x ) 2 +1 - 9

.

2

B = x12 + x2 2 = ( x1 + x2 ) - x1 x2 = 23

.

2

2

C = x1 - x2 = ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - 4 x1 x2 = 37
3

D = x13 + x23 = ( x1 + x2 ) - 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = 72 .
2

E = x14 + x24 = ( S 2 - 2 P) - 2 P 2 = 527

Website: tailieumontoan.com

.


1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
F = ( 3 x1 + x2 ) ( 3 x2 + x1 ) = 10 x1 x2 + 3( x12 + x22 ) = - 1

.

�
x2 + x1 - 2
1
1
1

�
S=
+
=
=
�
�
� x1 - 1 x2 - 1 x1 x2 - ( x1 + x ) 2 +1 - 9
�
�
1
1
1
�
P=
.
=
�
�
x1 - 1 x2 - 1 - 9
�
b) Ta có: �
1
1
1
1
X2 + X - =0
9
9
Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm là x1 - 1 và x2 - 1 là:

2
Bài 3:
Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: 3 x + 5 x - 6 = 0 . Không giải
phương trình, tính các giá trị của các biểu thức sau:

A = ( 3 x1 - 2 x2 ) ( 3 x2 - 2 x1 )

.

C = x1 - x2

B=

x2
x
+ 1
x1 - 1 x2 - 1 .

D=

x1 + 2 x2 + 2
+
x1
x2 .

Hướng dẫn giải
.  0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Ta có a  3;c  6. Và ac
-b - 5

�
�
S = x1 + x2 =
=
�
�
a
3
�
�
c
�
P = x1 x2 = = - 2
�
a
�
Theo Vi-et có: �

A = ( 3x1 - 2 x2 ) ( 3x2 - 2 x1 ) = 13x1 x2 - 6 ( x12 + x22 ) = 13P - 6 ( S 2 - 2 P) =
2

B=

( x + x1 ) - 2 x1 x2 - ( x2 + x1 ) - 2 38
x2
x
+ 1 = 2
=
x1 - 1 x2 - 1
x1 x2 - ( x1 + x ) 2 +1

3

97
2
2
C = x1 - x2 = ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - 4 x1 x2 = 3
.
D=

x1 + 2 x2 + 2 2 x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) 11
+
=
=
x1
x2
x1 x2
3 .

Website: tailieumontoan.com

.

- 200
3


1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
2

Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: 3 x + 5 x - 6 = 0 . Không giải

Bài 4:

phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thỏa mãn:
y1 = 2 x1 - x2

và y2 = 2 x2 - x1 .
Hướng dẫn giải

2
Xét phương trình 3x + 5 x - 6 = 0 có a.c  3.(6)  0 nên phương trình đã cho có hai
nghiệm phân biệt.

-b - 5
�
�
x1 + x2 =
=
�
�
a
3
�
�
c
�
x1 x2 = =- 2
�
a

�
Theo Vi-et ta có: �
�
- 5
�
S = y1 + y2 = 2 x1 - x2 + 2 x2 - x1 = x1 + x2 =
�
3
�
�
�
212
2
�
P = y1 y2 = ( 2 x1 - x2 ) ( 2 x2 - x1 ) = 5 x1 x2 - 2 �
=( x1 + x2 ) - 2 x1 x2 �
�
�
�
�
�
�
9
�

5
212
Y2 + Y =0
y
y

3
9
Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 ; 2 là :
.

Bài 5.

2
Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: 2 x - 3x - 1 = 0 . Không giải

phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thỏa mãn:

�
y1 = x1 + 2
�
�
�
a) �y2 = x2 + 2 .

�
x12
�
y
=
�
1
�
x2
�
�

�
x2 2
�
�
y2 =
�
x1
�
�
b)
.

Hướng dẫn giải
2
Xét phương trình 2 x - 3x - 1 = 0 có a.c  3.(6)  0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm

-b 3
�
�
x1 + x2 =
=
�
�
a
2
�
�
c - 1
�
x1 x2 = =

�
a
2
�
phân biệt. Theo hệ thức Vi-et ta có: �

Website: tailieumontoan.com


1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9

a) Ta có:

�
11
�
S = y1 + y2 =
�
�
2
�
�
13
�
P = y1 y2 =
�
�
2

�

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y1 ; y2 là :

b) Ta có:

Y2-

11
13
Y + =0
2
2
.

Y2-

9
1
Y - =0
8
2
.

�
9
�
S = y1 + y2 =
�
�

8
�
�
- 1
�
P = y1 y2 =
�
�
2
�

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm

y1 y2

;

là :

Dạng 3: Phương trình chứa tham số
Các điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:
a) Tìm điều kiện tổng quát để phương trình

ax2  bx  c  0 a �0

có:

1. Có nghiệm (có hai nghiệm) �  �0
2. Vô nghiệm �   0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) �   0

thì b�0 )
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) �   0
5. Hai nghiệm cùng dấu �  �0 và P  0
.  0)
6. Hai nghiệm trái dấu �   0 và P  0 (hoặc ac

7. Hai nghiệm dương (lớn hơn 0) �  �0; S 0 và P  0
8. Hai nghiệm âm (nhỏ hơn 0) �  �0; S 0 và P  0
9. Hai nghiệm đối nhau �  �0 và S  0
10. Hai nghiệm nghịch đảo của nhau �  �0và P  1

Website: tailieumontoan.com

(Nếu a  0


1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
.  0 và
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn � ac
S 0

.  0 và
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn � ac
S 0

b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho
số thực)

x1  px2  3

(với p là một

1- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt .
2- Áp dụng định lý Vi – ét tìm:

x1  x2 

b
c
x1.x2 
a (1) và
a (2)

b
�
�x1  x2 
a � x1; x2
�
�x1  px2
3- Kết hợp (1) và (3) giải hệ phương trình: �

4- Thay x1 và x2 vào (2) � Tìm giá trị tham số.
c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện:

x1  x2  k k �R

2
2

- Bình phương trình hai vế:  x1  x2   k � ... �  x1  x2   4x1x2  k
2

2

- Áp dụng định lý Vi-ét tính x1  x2 và x1.x2 thay vào biểu thức � kết luận.
d) Hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m;
- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
- Áp dụng định lý Vi-ét tìm

x1  x2 

b
c
x1.x2 
a (1) và
a (2)

- Biến đổi kết quả không chứa tham số nữa.
4) So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ:
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (  �0 )
Bước 2: Áp dụng Vi-ét tính x1  x2 và x1.x2

(*)

+/ Với bài toán: Tìm mđể phương trình có hai nghiệm  
�
 x1      x2     0
�
��

 x1    . x2     0
�

Website: tailieumontoan.com

Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m


1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9

+/ Với bài toán: Tìm mđể phương trình có hai nghiệm  
�
 x1      x2     0
�
��
 x1    . x2     0
�

Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m

+/ Với bài toán: Tìm mđể phương trình có hai nghiệm, trong đó có 1 nghiệm x1   ,
�  x1    . x2     0
nghiệm kia x2  
Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m

Bài 1:

Cho phương trình

x 2   2m  1 x  m 2  1  0 x
( là ẩn số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 của phương trình đã cho thỏa mãn:  x1  x2   x1  3x2 .
2

Hướng dẫn giải
   2m  1  4.  m2  1  5  4m
2

a)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi   0 � 5  4m  0
b) Phương trình có hai nghiệm

ۣ m

�m

5
4

5
4

�x1  x2  2m  1 (*)
�
2

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: �x1 x2  m  1

Theo đề bài:  x1  x2 

2

 x1  3 x2

�  x1  x2   4 x1 x2  x1  3 x2
2

�  2m  1  4  m 2  1  x1  3x2
2

� x1  3x2  5  4m

(**)

� m 1
x 
�
x

x

2
m

1
�1 2

�1
2
��
�
�x1  3 x2  5  4m
�x  3( m  1)
�2
2
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Website: tailieumontoan.com


1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
2
Mặt khác ta có: x1 x2  m  1

�

m  1 3(m  1)
�
 m2  1
2
2

� 3  m2  1  4  m 2  1
� m 2  1  0 � m  �1

Kết hợp với điều kiện

m

5
4 � m  �1 (thỏa mãn) là các giá trị cần tìm.

Vậy với m  1 hoặc m  1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn:

 x1  x2 

2

 x1  3 x2

.

Phân tích: Đối với yêu cầu đề toán, sau khi ta thế từ hệ thức Vi-et ta được một phương
trình liên hệ giữa x1 , x2 thì ta sẽ lập được một hệ phương trình từ đó giải hệ phương trình
với ẩn x1; x2 ta sẽ tìm được ra x1; và x2 . Thay vào phương trình
tham số cần tìm.

x1.x2 

c
a ta sẽ giải được ra

2
Tìm m để phương trình x  5 x  3m  1  0 ( x là ẩn số, m là tham số) có hai

Bài 2:

3
3
nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  3x1 x2  75

Hướng dẫn giải
  52  4.1.  3m  1  29  12m

Để phương trình có hai nghiệm
Áp dụng hệ thức Vi-ét

-���0  29 12m

�x1  x2  5
�
�x1 x2  3m  1

x13  x23  3 x1 x2  75

Ta có:
�  x1  x2 

 x x 
1

2

2



 x1 x2  3x1 x2  75

Website: tailieumontoan.com

m

29
12


1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
�  x1  x2   25  x1 x2   3 x1 x2  75
�  x1  x2  

75  3 x1 x2
 25  x1 x2 

�  x1  x2  

75  3(3m  1)
78  9m
�
x

x




1
2
 25  (3m  1)
26  3m

�  x1  x2  

3(26  3m)
26  3m � x1  x2  3

x1  x2  5

Kết hợp

suy ra

x1  1; x2  4

Thay vào

x1 x2  3m  1

suy ra

m

5
3 (thỏa mãn

29
m�
12 )

Vậy

m

Bài 3:

5
3 là giá trị cần tìm.
2
Cho phương trình x  10mx  9m  0 ( m là tham số)

a) Giải phương trình đã cho với m  1 .
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
thỏa điều kiện x1  9 x2  0
Hướng dẫn giải

2
a) Với m  1 phương trình đã cho trở thành x  10 x  9  0

Ta có a  b  c  0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

x1  1
�
�
x2  9

�

 '   5m   1.9m  25m 2  9m
2

b)

2
Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là  '  0 � 25m  9m  0 (*)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Website: tailieumontoan.com


1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
�x1  x2  10m (*)
�
(**)
�x1 x2  9m

từ

(*)

và

giả

x1  9 x2  0

thiết

ta

có

hệ

phương

trình:

10 x  10m
�x1  x2  10m
�
�x  m
�� 2
� �2
�
�x1  9 x2  0
�x1  9 x2
�x1  9m

m0
�
9m 2  9m � 9m( m  1)  0 � �
m 1

�
Thay vào phương trình (**) ta có: x1 x2  9m
2
Với m  0 ta có  '  25m  9m  0 không thỏa mãn điều kiện phương trình có 2 nghiệm
phân biệt.
2
Với m  1 ta có  '  25m  9m  16  0 thỏa mãn điều kiện để phương trình có 2 nghiệm
phân biệt.

Kết luận: Vậy với m  1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa điều
kiện x1  9 x2  0 .
Bài 4:

2
2
Cho phương trình x  2(m  1) x  m  m  1  0 ( m là tham số)

a) Giải phương trình đã cho với m  0 .
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1 x2

,

1 1
 4
x
x2
1
thỏa mãn điều kiện

Hướng dẫn giải
2
a) Với m  0 , phương trình đã cho trở thành: x  2 x  1  0

 '  2 ; x1,2  1 � 2
x  1� 2
Vậy với m  0 thì nghiệm của phương trình đã cho là 1,2
.

b)  '  m  2
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt �   0 � m  2  0 � m  2
�x1  x2  2(m  1)
�
2
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: �x1 x2  m  m  1

Do đó:
Website: tailieumontoan.com


1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
x x
1 1
2( m  1)
 4� 1 2 4� 2
4
x1 x2

x1 x2
m  m 1

m 1
�
�
�
m 2  m  1 �0
m 2  m  1 �0
�
��
�� 2
�
3
�
m
m  1  2( m2  m  1)
2m  m  3  0
�
�
�
2
� 3�
� m ��
1;  �
� 2 là các giá trị cần tìm.
Kết hợp với điều kiện

Bài 5:

1 2
1
x  mx  m 2  4m  1  0
2
Cho phương trình 2
( m là tham số).

a) Giải phương trình đã cho với m  1 .
1 1
  x1  x2
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn x1 x2

Hướng dẫn giải
1 2
9
x  x   0 � x2  2x  9  0
2
a) Với m  1 phương trình trở thành 2
 '  10  0 .

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1  1  10; x2  1  10

b) Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì   0
1 �1
1
2
�
�  m   4. . � m 2  4m  1� 0 � 8m  2  0 � m 
2 �2
4

�

Để phương trình có nghiệm khác 0

�

1 2
m  4m  1 �0
2

�
m �4  3 2
�
� �1
m2 �4  3 2
�

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có
Theo bài ra có

�x1  x2  2m
�
2
�x1.x2  m  8m  2

�x  x  0
1 1
  x1  x2 �  x1  x2   x1 x2  1  0 � �1 2
x1 x2
�x1 x2  1  0

Website: tailieumontoan.com