Ngân hàng đề thi học kỳ 1 môn Toán lớp 8 năm 2019

NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I MÔN: TOÁN 8
(Thời gian làm bài: 90 phút)
ĐỀ SỐ: 01
Câu 1. (2,0 điểm)
a) Thực hiện phép tính : 2xy.( x – y ) + y.( xy - 2x2)
b) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 7x2 + 7xy - x - y.
x 2 − 10 x + 25
Câu 2. (2,0 điểm) Cho phân thức P =
x 2 − 25
a) Rút gọn phân thức P.
b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức P ≥ 2.
Câu 3. (2,0 điểm)

a) Tìm x biết: 3x(12x − 4) −9.(3x −1) = 0
b) Tìm a sao cho đa thức : f(x) = x2 + 6x + 2027 – a chia hết cho đa thức x + 3.

Câu 4. (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Điểm M tùy ý trên đường chéo BD, kẻ ME ⊥
AB (E ∈ AB); MF ⊥ AD (F ∈ AD).
a) Tứ giác AEMF là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh DE = CF và DE ⊥ CF.
c) Xác định vị trí điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất? Tìm
diện tích đó.
Câu 5. (1,0 điểm).
Cho a,b,c,d > 0. Chứng tỏ rằng giá trị của:
N=

a
b

c
d
+
+
+
không phải là số nguyên.
a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b

-------------------------Hết----------------------

Gmail:

1


NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

Câu
Câu 1
2,0đ
Câu 2
2,0đ

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 01
Nội dung
a) 2xy . ( x – y ) + y . ( xy - 2x2 )= 2x2y – 2xy2 + xy2 -2x2y = - xy2
b) 7x2 + 7xy - x – y = (7x2 + 7xy) – (x + y) = 7x( x+ y) – ( x + y)
= ( 7x - 1)( x + y )
a) ĐKXĐ : x ≠ 5; x ≠ −5
x − 10 x + 25

( x − 5)
x −5
=
=
2
x − 25
( x − 5).( x + 5) x + 5
2

P=

Điểm
1
1
0,5

2

1,0

x−5
x − 5 − 2 x − 10 − x − 15
−2=
=
x+5
x+5
x+5
− x − 15
Do đó P ≥ 2 thì
≥0

x+5

b) Xét hiệu P – 2 =

Xét 2 trường hợp tử và mẫu cùng dấu :
- TH1 : nếu –x – 15 ≥ 0 thì x + 5 > 0 ……..(không có giá trị thỏa
mãn)
- TH2 : nếu –x – 15 ≤ 0 thì x + 5 < 0 tìm được −15 ≤ x < −5
Kết hợp với ĐK ta được −15 ≤ x < −5

Câu 3
2,0đ

0,25

0,25

a) Ta có 3x(12x − 4) −9.(3x −1) = 0 ⇔
12 x.(3 x − 1) − 9.(3 x − 1) = 0 ⇔ 3.(3 x − 1).(4 x − 3) = 0

1
3

Tìm được x = ; x =

3
và kết luận
4

0,5

b) Thực hiện phép chia f(x) cho x + 3 được dư là 2018 – a
Để f(x) chia hết cho x + 3 thì 2018 – a = 0 ⇒ a = 2018
( HS làm các khác đúng vẫn cho điểm)
A

Câu 4
3đ

0,5

0,5
0,5

B

E

M
F

D

C

a)Ta có ME ⊥ AB (GT) ⇒ ·AEM = 900
MF ⊥ AD ( GT) ⇒ ·AFM = 900
0
Và µ
A = 90 ( Do ABCD là hình vuông )

· M = 900 nên AEMF là hình chữ
Xét tứ giác AEMF có ·AEM = µ
A = AF
nhật

Gmail:

1

2


NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

b) AEMF là hình chữ nhật nên AE = MF
Tam giác MDF vuông cân tại F, MF = MD Suy ra AE = FD
Chứng minh được ∆AED = ∆DFC (c-g-c) ⇒ DE = CF
·
·
mà ·ADE + EDC
Và ·ADE = DCF
=·
ADC = 900 nên CF ⊥ ED
c) Ta có SAEMF = ME. MF
Ma chu vi tứ giác AEMF bằng 2a không đổi nên ME + MF = a
không đổi. Do đó ME.MF lớn nhất khi và chỉ khi ME = MF khi đó
AEMF là hình vuông.
Suy ra M trùng với O là giao điểm của hai đường chéo hình vuông
ABCD.
va ta có SAEMF =

1

1

a2
4

Do a, b, c > 0 nên ta có
Ta có

a
a
b
b
>
;
>
;
a+b+c a +b+c+d b+c+d a+b+c+d
c
c
d
d
;
>
>
c+d +a a+b+c+d d +a+b a+b+c+d

a

b
c
d
+
+
+
>
a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b
a
b
c
d
a+b+c+d
+
+
+
=
a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d

Suy ra N =

Câu
5 (1đ)

a
a
c
c
Lại do
<

;
<
;
a+b+c a+c c+d +a a+c
b
b
d
d
<
;
<
b+c+d b+d d +a+b b+d

1

N
a
b
c
d
a
c
b
d
<
+
+
+
+
+

+
a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b a+c a+c b+d b+d
a+c b+d
=
+
= 1+1 = 2
a+c b+d

=

Do đó 1 < N < 2 Suy ra giá trị của N không phải là số nguyên
Học sinh trình bày cách khác đúng vẫn cho điểm tương đương
-------------------------Hết----------------------

Gmail:

3


NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I MÔN: TOÁN 8
(Thời gian làm bài: 90 phút)
ĐỀ SỐ: 02
Bài 1 (3,0 điểm): Thực hiện các phép tính sau:
2) ( x 2 − 2 x + 1) : ( x − 1) ;
1) 5 x.( x 2 + 2 ) ;
x3
3x 2
4

x −8
−
;
4) 2
+
.
x −3 x −3
x − 4 x 4 x − 16
Bài 2 (2,5 điểm):
1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 5 x − 5 y ;
b) x 2 + y 2 − 4 + 2 xy.

3)

2) Tìm x, biết: 2 x ( 5 − x ) + 2 x 2 − 10 = 0 .
3) Chứng minh rằng giá trị của biểu thức ( x − 2 ) − ( x − 1)( x + 1) + 4 ( x + 2 ) không
2

phụ thuộc vào giá trị của biến x.
Bài 3 (1,0 điểm):
Tính diện tích của hình vuông MNPQ và độ dài đường chéo MP của nó, biết
độ dài cạnh MN bằng 2cm.
Bài 4 (3,0 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Từ M kẻ
MD vuông góc với AB (D thuộc AB) và ME vuông góc với AC (E thuộc AC).
a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật.
b) Kẻ đường cao AH. Chứng minh DM = HE.
c) Qua A vẽ đường thẳng song song với DH cắt DE ở K. Chứng minh AK
vuông góc với HE.

Bài 5 (0,5 điểm):
a+b
Cho 2 số a và b thỏa mãn
= 1.
2
2018
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2
.
2a + 2b 2 + 2014
-------------------------Hết----------------------

Gmail:

4


NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 02
Bài 1: (3 điểm)
Bài 1
1
(0,75đ)
2
(0,75 đ)
3
(0,75 đ)

(x

3

− 2 x + 1) : ( x − 1) = ( x − 1) : ( x − 1)

0,5

2

= x −1
x3
3x 2 x 3 − 3 x 2
−
=
x −3 x −3
x−3

=
4
(0,75 đ)

2

Điểm
0,75

Hướng dẫn

5 x.( x + 2 ) = 5 x + 10 x
2

0,25
0,25

x 2 ( x − 3)
= x2
x −3
4

x2 − 4 x

x ( x − 8)
( x − 4)
x −8
4.4
x−4
=
+
=
=
4 x − 16 4 x ( x − 4 ) 4 x ( x − 4 ) 4 x ( x − 4 )
4x
2

+

Bài 2 (2,5 điểm):
Bài 2
a)

Hướng dẫn

5x − 5 y = 5 ( x − y )

0,25x2
0,25x3

Điểm
0,5

1
0,25x
b)
(1,25đ)
2
x 2 + y 2 – 4 + 2 xy = ( x 2 + 2 xy + y 2 ) – 4 = ( x + y ) – 4 = ( x + y – 2 )( x + y + 2 ) 3
2 x ( 5 − x ) + 2 x 2 − 10 = 0

2
(0,75đ)

10 x − 2 x 2 + 2 x 2 − 10 = 0
10 x = 10

0,25x
3

x =1

3
(0,5đ)

2
( x − 2 ) − ( x − 1)( x + 1) + 4 ( x + 2 )

= x 2 − 4 x + 4 − x 2 + 1 + 4 x + 8 = 13.
Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Bài 3 (1,0 điểm):
Bài 3
Hướng dẫn
Viết đúng công thức SMNPQ = MN2 và tính được SMNPQ = 4(cm2).
1
2
2
2
2
(1,0đ) Viết đúng công thức MP = MN + NP = 2.MN (do MN = NP)
tính được MP = 8(= 2 2 ≈ 2,8)cm .

Gmail:

0,25x
2

Điểm
0,25x2
0,25
0,25

5

NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

Bài 4 (3,0 điểm):
Bài 4

Điểm

Hướng dẫn

B
H

Hình
vẽ
(0,5đ)

M

D
O
K
A

a
(1,0đ)

E

C

Vẽ hình hết câu b

·
·
·
Chỉ được: tứ giác ADME có EAD
= ADM
= AEM
= 90
Suy được tứ giác ADME là hình chữ nhật.

0

tứ giác ADME là hình chữ nhật
Suy ra MD = AE(1)
Chứng minh được E là trung điểm của AC
Tam giác AHC vuông tại H có HE là trung tuyến ứng với cạnh huyền
b
AC
(0,75đ) AC ⇒ HE =AE(=
) (2)
2
Từ (1) và (2) suy được đpcm.
Chỉ ra được EK ⊥ AH (1)
Gọi O là giao điểm của DK và AH.
Chứng minh được tứ giác ADHK là hình bình hành.
Từ đó chứng minh được HK ⊥ AE(2)
Từ (1) và (2) suy được K là trưc tâm của tam giác AHE.

Từ đó suy được AK ⊥ HE(đpcm).
c
*Cách khác: C/m được tứ giác DHME là hình thang cân
(0,75đ)

0,5
0,75
0,25

0,25
0,25

0,25
0,25

0,25
0,25
0,25

từ đó c/m được ∆DHE = ∆DME(c.c.c) .
·
·
Suy được DHE
= DME
= 900

0,25

Mà DH//AK
Suy được đpcm

0,25

Bài 5 (0,5 điểm):
Gmail:

6


NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

Bài 5

(0,5đ)

Nội dung hướng dẫn
a+b
= 1⇒ b = 2 – a
2
Thay vào 2a2 + 2b2 + 2014 được
2a2 + 2b2 + 2014 = 2a2 + 2(2 – a)2 + 2014
= 2a2 + 8 – 8a + 2a2 + 2014 = 4a2 – 8a + 4 + 2018
= 4(a – 1)2 + 2018 ≥ 2018 với mọi a
2018
2018
⇒P= 2
≤
=1
2
2a + 2b + 2014 2018

Max(P) = 1 khi a = b = 1

Điểm
0,25

0,25

Lưu ý: HS có thể trình bày cách giải khác khi chấm giám khảo căn cứ hướng dẫn trên
để cân đối cho điểm phù hợp.
-------------------------Hết----------------------

Gmail:

7


NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I MÔN: TOÁN 8
(Thời gian làm bài: 90 phút)
ĐỀ SỐ: 03
Bài 1. (1,5 điểm)
1
1. Tính: x 2 y(15 xy 2 − 5 y + 3 xy )
5
2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 5x3 - 5x
b) 3x2 + 5y - 3xy - 5x
 x+2

x−2

−8 

4

+
+ 2
Bài 2. (2,0 điểm) Cho P = 
:
 2x − 4 2x + 4 x − 4  x − 2
a) Tìm điều kiện của x để P xác định ?
b) Rút gọn biểu thức P.
1
c) Tính giá trị của biểu thức P khi x = −1 .
3
3
2
Bài 3. (2,0 điểm) Cho hai đa thức A = 2x + 5x - 2x + a và B = 2x2 - x + 1
a) Tính giá trị đa thức B tại x = - 1
b) Tìm a để đa thức A chia hết cho đa thức B
c) Tìm x để giá trị đa thức B = 1
µ = 900 và AH là đường cao. Gọi D là điểm đối xứng
Bài 4. (3,5điểm) Cho ∆ABC có A
với H qua AB, E là điểm đối xứng với H qua AC. Gọi I là giao điểm của AB và DH,
K là giao điểm của AC và HE.
a) Tứ giác AIHK là hình gì? Vì sao ?
b) Chứng minh 3 điểm D, A, E thẳng hàng.
c) Chứng minh CB = BD + CE.
d) Biết diện tích tứ giác AIHK là a(đvdt). Tính diện tích ∆DHE theo a.

Bài 5. (1,0 điểm)
a) Tìm các số x, y thoả mãn đẳng thức: 3x 2 + 3y 2 + 4xy + 2x − 2y + 2 = 0 .

b) Với a,b,c,d dương, chứng minh rằng: F =

a
b
c
d
+
+
+
≥ 2
b+c c+d d +a a+b

-------------------------Hết----------------------

Gmail:

8


NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 03
Nội dung - đáp án

Bài

1

(0,5đ)

1

2a
(0,5đ)
2b
(0,5đ)
a
(0,5đ)

1 2
x y(15 xy 2 − 5 y + 3 xy )
5
1
1
1
= x 2 y.15 xy 2 + x 2 y ( −5 y ) + x 2 y.3 xy
5
5
5
3
= 3x 3y3 − x 2 y2 + x 3y3
5
18
= x3y3 − x2 y2
5
3
5x - 5x = 5x.( x2 - 1)
= 5x.( x - 1)(x + 1)

3x2 + 5y - 3xy - 5x = ( 3x 2 − 3xy ) + ( 5y − 5x )

= 3x ( x − y ) − 5 ( x − y ) = ( x − y )( 3x − 5 )

P xác định khi 2 x − 4 ≠ 0 ; 2 x + 4 ≠ 0 ; x 2 − 4 ≠ 0 ; x − 2 ≠ 0
=> …Điều kiện của x là: x ≠ 2 và x ≠ − 2
 x+2
 4
x −2
−8
+
+
 :
 2( x − 2) 2( x + 2) ( x − 2)( x + 2)  x − 2

Điểm

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25x2

P = 

( x + 2) + ( x − 2)

=
2

(

2 x2 − 4

)

2

− 16 x − 2
.
4

2x2 − 8 x − 2
b
x 2 + 4 x + 4 + x 2 − 4 x + 4 − 16 x − 2
=
.
.
=
(0,75đ)
4
2 ( x2 − 4) 4
2 ( x2 − 4)

(
(

)
)

2 x2 − 4 x − 2
=
.
4
2 x2 − 4

2

x−2
=
4

c
(0,5đ)

3

a
(0,5đ)

1
Với x = −1 thỏa mãn điều kiện bài toán.
3
1
x−2
Thay x = −1 vào biểu thức P =
ta được:

3
4

0,25

0,25

0,25

0.25

1
4
−1 − 2 − − 2
−10
−5
P= 3
= 3
=
:4 =
4
4
3
6

0,25x2

Tại x = - 1 ta có B = 2.(-1)2 - (-1) + 1 = 2 + 1 + 1 = 4

0,25x2

Gmail:

9


NGN HNG THI HC Kè I MễN TON LP 8

b
(1,0)

c
(0,5)

Xột: 2x3+5x2- 2x+a
2x2- x+1
2x3- x2+ x
x+3
2
6x - 3x + a
6x2 - 3x + 3
a-3
3
2
a thc 2x + 5x - 2x + a chia ht cho a thc 2x2- x +1 thỡ a thc
d phi bng 0 nờn => a - 3 = 0 => a = 3
Ta cú: 2x2 - x + 1 = 1
<=> x(2x - 1) = 0
cú x = 0 hoc x = 1/2

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25

E
A

(0,5)

K

0,5

D
I
B

a
(1,0)

4

H

C

V hỡnh ỳng cho cõu a

Xột t giỏc AIHK cú
ã
IAK = 90 0 (gt)
ã
AKH = 90 0 (D đối xứng với H qua AC)
ã
AIH = 90 0 (E đối xứng với H qua AB)









Tứ giác AIHK là hình chữ nhật
Cú ADH cõn ti A (Vỡ AB l ng cao ng thi l ng trung
tuyn)
ã
ã
ã
hay DAB
=> AB l phõn giỏc ca DAH
= HAB
b
Cú AEH cõn ti A(AC l ng cao ng thi l ng trung tuyn)
(0,75)

ã
ã
ã
=> AC l phõn giỏc ca EAH
hay DAC
= HAC
.
0
0
ã
ã
ã
ã
ã
M BAH + HAC = 90 nờn BAD + EAC = 90 => DAE = 1800
=> 3 im D, A, E thng hng (pcm).
Cú BC = BH + HC (H thuc BC).
c
M BDH cõn ti B => BD = BH; CEH cõn ti C => CE = CH.
(0,75)
Vy BH + CH = BD + CE => BC = BH + HC = BD + CE. (pcm)
d
(0,5)

1
SADH
2
1
Cú: AHK = AEK (c. c. c) suy ra SAHK = SAEK SAHK = SAEH
2

Cú: AHI = ADI (c. c. c) suy ra SAHI = SADI SAHI =

Gmail:

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

10


NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8
1
1
1
=> S∆AHI + S∆AHK = S∆ADH + S∆AEH = S∆DHE
2
2

2

hay S∆DHE = 2 SAIHK = 2a (đvdt)
Biến đổi:

3x 2 + 3y 2 + 4xy + 2x − 2y + 2 = 0

(

) (

) (

)

⇔ 2 x 2 + 2xy + y2 + x2 + 2x + 1 + y2 − 2y + 1 = 0

a
(0,25đ)

5

b
(0,75đ)

⇔ 2 ( x + y ) + ( x + 1) + ( y − 1) = 0
2

2

2

0,25

x = −y

Đẳng thức chỉ có khi: x = −1
y = 1

F=

a
b
c
d
+
+
+
b+c c+d d +a a+b
c   b
d  a (d + a ) + c(b + c) b( a + b) + d (c + d )
 a
=
+
+
+
≥
+
=
(b + c)( d + a)

(c + d )( a + b)
 b+c d +a   c+d a +b 

0,25

a 2 + c 2 + ad + bc b 2 + d 2 + ab + cd 4(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ab + ad + bc + cd
+
=
1
1
(a + b + c + d ) 2
(b + c + d + a) 2
(c + d + a + b ) 2
4
4
1
(Theo bất đẳng thức xy ≤ ( x + y )2 )
4

0,25

Mặt khác: 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ab + ad + bc + cd) – (a + b + c + d)2
= a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd = (a - c)2 + (b - d)2 ≥ 0
Suy ra F ≥ 2 và đẳng thức xảy ra
a = c; b = d.
Tổng

0,25

10đ

Chú ý:
- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa;
- Vẽ hình sai không chấm, không vẽ hình làm đúng phần nào cho nửa số điểm phần đó;
- Trong một câu nếu phần trên sai thì không chấm phần dưới, đúng đến đâu cho điểm đến đó;
- Trong một bài có nhiều câu, nếu HS công nhận KQ câu trên làm câu dưới mà đúng vẫn chấm điểm./.
-------------------------Hết----------------------

Gmail:

11


NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I MÔN: TOÁN 8
(Thời gian làm bài: 90 phút)
ĐỀ SỐ: 04
Bài 1. (1,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử :
a) 5x2 - 10x
b) x2 – y2 – 2x + 2y
c) 4x2 – 4xy – 8y2
Bài 2: (2,0 điểm)
1. Thực hiện phép tính:
a) 5x(3x – 2 )
b) (8x4 y3 – 4x3y2 + x2y2) : 2x2y2
2. Tìm x biết
a) x2 – 16 = 0
b) (2x – 3)2 – 4x2 = - 15
Bài 3: (2,5 điểm)

2a 2
a
a
Cho biểu thức: P = 2
+
−
a −1 a +1 a −1
a) Tìm a để biểu thức P có nghĩa.
b) Rút gọn P.
c) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên .
Bài 4. (3,0 điểm).
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD.
Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn AH và DH.
a) Chứng minh MN//AD.
b) Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh tứ giác BMNI là hình bình
hành.
c) Chứng minh tam giác ANI vuông tại N.
Bài 5. (1,0 điểm)
Cho các số x, y thoả mãn đẳng thức 5x2 + 5y2 + 8xy − 2x + 2y + 2 = 0 . Tính giá trị
của biểu thức M = ( x + y )

2015

+ ( x − 2)

2016

+ ( y + 1)

2017

-------------------------Hết----------------------

Gmail:

12


NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 04
BÀI
NỘI DUNG
2
a) 5x - 10x = 5x(x – 2)
b) x2 – y2 – 2x + 2y = (x2 – y2) – (2x - 2y)
= (x – y) (x + y) – 2(x – y)
= (x - y) (x + y – 2)
2
c) 4x – 4xy – 8y2 = (4x2 – 4xy + y2) – 9y2
1
= (2x – y)2 – (3y)2
= (2x - y - 3y) (2x – y + 3y)
= (2x - 4y) (2x + 2y)
= 4(x- 2y) (x + y)
1. a) 5x(3x – 2) = 15x2 - 10x
b) (8x4 y3 – 4x3y2 + x2y2 ) : 2x2y2 = 4x2y – 2x +

2

3

1
2

ĐIỂM
0,5
0,25
0,25

0,25
0,25
0,5
0,5

2. a) x2 – 16 = 0 ⇔ x = 4 (0,25 đ) hoặc x = -4 (0,25 đ)
b) (2x – 3)2 – 4x2 = - 15 ⇔ 4x2 – 12x + 9 – 4x2 = - 15
⇔ -12x = -24 ⇔ x = 2

0,5
0,25
0,25

2a 2
a
a
P= 2
+
−
a −1 a +1 a −1

a) ĐKXĐ của P là: a ≠ ±1
2a 2
a(a − 1)
a(a + 1)
b) P =
+
−
(a − 1)(a + 1) (a + 1)(a − 1) (a − 1)( a + 1)

0,5

2a 2 + a 2 − a − a 2 − a
=
a2 − 1
=

2a
2 a − 2a
2a (a − 1)
=
=
(a − 1)(a + 1) ( a − 1)(a + 1) a + 1

0,25
0,25

2

2a
a +1

c) Với điều kiện a ≠ ±1
2a
2( a + 1) − 2
2
P=
=
=2−
a +1
a +1
a +1
2
P nguyên khi và chỉ khi
có giá trị nguyên hay
a +1
a + 1 là ước của 2
Tìm được a = 0, -2 , -3
Vập P =

Gmail:

0,75

0,25
0,5

13


NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

A

B

0,5
M

I

H

4
N
D

C

a) Xét tam giác AHD có:
M là trung điểm của AH (gt)
N là trung điểm của DH (gt)
Do đó MN là đường trung bình của tam giác AHD
Suy ra MN//AD (tính chất) (đpcm)
b) Ta có MN//AD, mà AD//BC (2 cạnh đối hình chữ nhật)
nên MN//BC hay MN//BI
1
AD (tính chất đường trung bình của tam giác)
2
1
và BI = IC = BC (do gt),
2

0,5

0,25
0,25

Vì MN =

mà AD = BC (2 cạnh đối hình chữ nhật)
MN = BI BC hay MN//BI
Xét tứ giác BMNI có MN//BI, MN = BI (c/m trên)
Suy ra tứ giác BMNI là hình bình hành (đpcm)
c) Ta có MN// AD và AD ⊥ AB nên MN ⊥ AB
Tam giác ABN có 2 đường cao là AH và NM cắt nhau tại M nên
M là trực tâm của tam giác ABN. Suy ra BM ⊥ AN
mà BM//IN nên AN ⊥ NI hay ANI vuông tại N (đpcm)
5 Ta có 5x2 + 5y2 + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0
2
2
2
2
⇔ (4x + 8xy + 4y ) + ( x - 2x + 1) + (y + 2y + 1) = 0
2
2
2
⇔ 4(x + y) + (x – 1) + (y + 1) = 0 (*)
Vì 4(x + y)2 ≥ 0; (x – 1)2 ≥ 0; (y + 1)2 ≥ 0 với mọi x, y
Nên (*) xẩy ra khi x = 1 và y = -1
Từ đó tính được M = 1
-------------------------Hết----------------------

V

Gmail:

0,5

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

14


NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I MÔN: TOÁN 8
(Thời gian làm bài: 90 phút)
ĐỀ SỐ: 05
Câu 1:( 1,5 điểm )
a.Thực hiện phép tính sau 3(4x - 4)
b. Tìm thương của phép chia đa thức x2 + 4x + 5 cho x + 2.
Câu 2:( 2,0điểm )
Phân tích thành nhân tử

a. 8x - 4
b. x2 + 6x + 9 - y2
Câu 3:( 2,5điểm )
Cho biểu thức sau: A =

2x 2
x
x
+
−
2
2
x+ y x− y
x −y

a. Tìm điều kiện của x và y để biểu thức A xác định . Rút gọn A
b. Tính giá trị của A biết x = 2; y = -1
Câu 4:( 3,0điểm )
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 9cm; BC = 12cm. Kẻ DH vuông góc với AC
(H thuộc AC)
a. Tinh diện tích của hình chữ nhật ABCD.
b. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AH; DH; BC. Chứng minh tứ giác
MNCP là hình bình hành
c. Tính góc DMP.
Câu 5( 1 điểm )
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =

2x 2 − 6x + 5
.
x 2 − 2x + 1

-------------------------Hết----------------------

Gmail:

15


NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 05

Câu
1

2

Nội dung

ý
a
b

a.
b.

Điểm
0,5

3(4x - 4) = 12x - 12

Khi chia x2 + 4x + 5 cho x + 2.
- Chia đúng
- Kết quả : Thương x + 2 và dư 1
8x - 4 = 4(2x - 1)
x2 + 6x + 9 - y2 =
= (x2 + 6x + 9) - y2
= (x + 3)2 - y2
= (x + 3 - y)(x + 3 + y)

0.5
0.5
0,5
0.5
0.5
0,5

3

a

2

A=

2x
x
x
+
−
2

x+ y x− y
x −y
2

*. Đkxđ : x ≠ ± y
* Rút A.

0.5

A=

0.5

2 x 2 + x(x − y ) − x( x + y )
2x 2
x
x
=
+
−
( x − y )( x + y )
x2 − y2 x + y x − y

=
Vậy A =

2x
x+ y

2x

x+ y

0.5

với x ≠ ± y
0,5

b

Thay x = 2; y = -1 vào biểu thức A ta có A =

2x
2.2
=
=4
x+ y
2 −1

Vậy x = 2; y = -1 thì A = 4.
4

0.5
C

P

B

H

M
N
N
A

Gmail:

D
16


NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

a
b

c

5

Diện tích hình chữ nhật ABCD: S = AB.BC
= 9.12 = 108 cm2
-Ta có MN Là đường trung bình của tam giác AHD
=> MN //AD và MN = 1/2AD, Mà AD = CB và AD//CB
=> MN = 1/2CB .
Hay MN // CP và MN = CP
=> MNCP là hình bình hành
Ta có DH ⊥ AC
MN ⊥ DC => N trực tâm của tam giác MDC
Vậy CN ⊥ DM mà CN//MP

=> DM ⊥ MP hay góc DMP = 900
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
A=

y=

1
x −1

0,5
0,5

0,5
0,5

2x 2 − 6x + 5
.
x 2 − 2x + 1

2x 2 − 6x + 5
2
1
=2+
2
x − 1 ( x − 1) 2
x − 2x + 1

Đặt

0,5

0,5

0.5

( x ≠ 1, y ≠ 0 )

A = 2 - 2y + y2 = (y - 1)2 + 1 ≥ 1
MinA = 1 <=> y = 1 <=> x = 2

0.5

-------------------------Hết----------------------

Gmail:

17


NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I MÔN: TOÁN 8
(Thời gian làm bài: 90 phút)
ĐỀ SỐ: 06
Câu 1: (2.0 điểm)
Thực hiện các phép tính sau:
a) 2x2y : xy
b) (2x – 1)(x + 1)
Câu 2: (1.0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 2xy – 10xy2

b) x2 + 6x + 9
Câu 3: (1.0 điểm)
Thực hiện phép nhân, phép chia các phân thức sau:
15x 2y 2
.
a)
7y3 x 2
 20x   4x 3 
b)  − 2  :  −

 3y   5y 
Câu 4: (2.5 điểm)
x 2 + 4x + 4
Cho phân thức
x+2
a) Tìm phân thức đối và phân thức nghịch đảo của phân thức trên.
A
B
b) Rút gọn phân thức trên.
c) Tính giá trị của phân thức trên khi x = -2.
1150
950
Câu 5: (1.0 điểm)
Cho tứ giác ABCD như hình vẽ.
x
800
D
Hãy tìm số đo x trong hình vẽ.
C
Câu 6: (2.5 điểm).

Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo. Vẽ xx’ qua B và
song song với AC, vẽ yy’ qua C và song song với BD.Hai đường thẳng đó cắt nhau tại
K.
a) Tứ giác OBKC là hình gì? Tại sao?
b) Tính diện tích tứ giác OBKC biết AC = 6 cm và BD = 10 cm.
-------------------------Hết----------------------

Gmail:

18


NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 06
Đáp án

Câu

Điểm
0.5
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5

2

1

2

3

4

5

2x y : xy = 2x
(2x – 1)(x + 1) = 2x. x + 2x – x – 1
= 2x2 + x - 1
2xy – 10xy2 = 2xy(1 – 5y)
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
15x 2y 2 15x. 2y 2
30
.
=
=
7y3 x 2
7y3 .x 2
7xy
 20x   4x 3  20x 5y 20x. 5y
25
 − 3y 2  :  − 5y  = 3y 2 . 4x 3 = 3y 2 .4x 3 = 3x 2 y

 


0.5

x 2 + 4x + 4
a, Phân thức đối: −
x+2
x+2
Phân thức nghịch đảo: 2
x + 4x + 4
2
x + 4x + 4 (x + 2) 2
b)
=
=x+2
x+2
x+2
c) Thay x = -2 vào biểu thức ta được -2 + 2 = 0
x = 3600 – (1150 + 950 + 800) = 700

0.5

Vẽ hình, ghi GT, KL.

0.5
1.0
0.5
1.0

B

A

K

0.5

O
C
D

6

a) Có xx’ // AC hay BK // OC (1)
yy’ // BD hay CK // OB (2)
Suy ra tứ giác OBKC là hình bình hành.
Mà AC ⊥ BD tại O (Tính chất 2 đường chéo của hình thoi).
Vậy tứ giác OBKC là hình chữ nhật. (Dấu hiệu nhận biết)
b) O là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABCD
1
1
AC = .6 = 3 (cm)
2
2
1
1
OB = OD = BD = .10 = 5 (cm)
2
2

Ta có: OA = OC =

Vậy diện tích của hình chữ nhật OBKC là:
S = OB.OC = 5.3 = 15 (cm2)

-------------------------Hết----------------------

Gmail:

0.25
0.25
0.25
0.25

0.5
0.5

19


NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I MÔN: TOÁN 8
(Thời gian làm bài: 90 phút)
ĐỀ SỐ: 07
Câu 1 (2,0 điểm) Thực hiện phép tính:
a) 2xy.3x2y3
b) x.(x2 – 2x + 5)
c) (3x2 - 6x) : 3x
d) (x2 – 2x + 1) : (x – 1)
Câu 2 (2,0 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 5x2y - 10xy2
b) 3(x + 3) – x2 + 9
c) x2 – y 2 + xz - yz
x2

x
2
Câu 3 (2,0 điểm). Cho biểu thức: A = 2
−
+
x − 4 x − 2 x+ 2
a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của biểu thức A được xác định?
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Tìm giá trị của biểu thức A tại x = 1.
Câu 4 (3,5 điểm). Cho tam giác MNP vuông tại M, đường cao MH. Gọi D, E lần lượt
là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống MN và MP.
a) Chứng minh tứ giác MDHE là hình chữ nhật.
b) Gọi A là trung điểm của HP. Chứng minh tam giác DEA vuông.
c) Tam giác MNP cần có thêm điều kiện gì để DE=2EA.
Câu 5 (0,5 điểm). Cho a + b = 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:
M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b).
-------------------------Hết----------------------

Gmail:

20


NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

Câu
1

2

Ý
a
b
c
d
a
b

c

a

3

b

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 07
Nội dung
2 3
2
2xy.3x y = (2.3).(x.x ).(y.y3) = 6x3y4
x.(x2 – 2x + 5) = x.x2 – 2x .x + 5.x = x3 – 2x2 + 5x
(3x2 - 6x) : 3x = 3x2 : 3x – 6x : 3x = x - 2
(x2 – 2x + 1) : (x – 1) = (x – 1)2 : (x – 1) = x - 1
5x2y - 10xy2 = 5xy.x – 5xy.2y = 5xy(x – 2y)
3(x + 3) – x2 + 9 = 3(x + 3) – (x2 – 9)
= 3(x + 3) – (x + 3)(x – 3)
= (x + 3)(3 – x + 3)
= (x + 3)(6 – x)
x2 – y 2 + xz – yz = (x2 – y2) + (xz – yz)

= (x – y)(x + y) + z(x – y)
= (x – y)(x + y – z)
x – 2 ≠ 0 x ≠ 2
Điều kiện xác định: 
⇔
x + 2 ≠ 0
x ≠ − 2
Rút gọn
x2
x
2
−
+
A= 2
x − 4 x − 2 x+ 2
x ( x+ 2 )
2( x− 2)
x2
A=
−
+
(x − 2)(x+ 2) (x − 2)(x+ 2) (x+ 2)(x − 2)

x 2 − x 2 − 2 x+ 2 x − 4
A=
(x − 2)(x+ 2)
−4
A=
(x − 2)(x+ 2)
c

Thay x = 1 vào A ta có A =

−4
4
=
(1 − 2)(1 + 2) 3

Điểm
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5

0,5

0,5

0,5
0,5

N

H

D

12

4

A
O
1 2
M

a
b

E

P

Tứ giác MDHE có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
MDHE là hình chữ nhật nên hai đường chéo bằng nhau
và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Gmail:

1,0
0,25
21

NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

Câu

Ý

c

5

Nội dung
Gọi O là giao điểm của MH và DE.
Ta có: OH = OE.=> góc H1= góc E1
∆EHP vuông tại E có A là trung điểm PH suy ra: AE =
AH.
⇒ góc H2 = góc E2
⇒ góc AEO và AHO bằng nhau mà góc AHO= 900.
Từ đó góc AEO = 900 hay tam giác DEA vuông tại E.
DE=2EA ⇔ OE=EA ⇔ tam giác OEA vuông cân
⇔ góc EOA = 450 ⇔ góc HEO = 900
⇔ MDHE là hình vuông
⇔ MH là phân giác của góc M mà MH là đường cao
nên tam giác MNP vuông cân tại M.
M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b)
= (a + b)(a2 - ab + b2) + 3ab((a + b)2 - 2ab) + 6a2b2(a +
b)
= (a + b)((a + b)2 - 3ab) + 3ab((a + b)2 - 2ab) + 6a2b2(a +
b)
= 1 - ab + 3ab(1 - 2ab) + 6a2b2

= 1 - 3ab + 3ab - 6a2b2 + 6a2b2 = 1

Điểm
0,25
0,25
0,25

0,5
0,5

0,25

0,25

-------------------------Hết----------------------

Gmail:

22


NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I MÔN: TOÁN 8
(Thời gian làm bài: 90 phút)
ĐỀ SỐ: 08
Bài 1: ( 2 điểm ). Rút gọn các biểu thức sau:
a) x(2x - y) + y(x - 2y)
b) (x + 3)(2x - 5)
c) (x-y)2 + (x + y)2

d) (2x - 1)3 - (2x + 1)3
Bài 2: ( 1 điểm ). Thực hiện các phép chia sau:
a) 15x3y4 : 3x2y2
b) ( 6x4 + 9x3 - 12x2) : 3x2
Bài 3: ( 1 điểm ). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 2x3 - 4x2 + 6x
b) x2 - 2y + xy - 2x
4 
8
 x −1 x +1
−
+ 2
: 2
Bài 4: ( 2 điểm ). Cho phân thức: A = 
 x + 1 x − 1 x − 1  3x − 3
a) Tìm ĐKXĐ của phân thức A.
b) Rút gọn phân thức A.
c) Tìm các giá trị của x để A = 3.
Bài 5:( 3,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M là trung điểm của BC.
Gọi I là điểm đối xứng của M qua AB, E là giao điểm của IM và AB. Gọi K là điểm
đối ứng của M qua AC, F là giao điểm của MK và AC.
a) Chứng minh rằng tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
b) Các tứ giác AIBM và AKCM là hình gì? Vì sao?
c) Cho biết AB = 6cm; AC = 8cm. Tính diện tích của tứ giác AEMF và tính độ dài
đoạn thẳng EF.
d) Chứng minh rằng I và K đối xứng nhau qua điểm A.
Bài 6: ( 0,5 điểm ). Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng:

ab

bc
ca
+
+
= −1
(b − c)(c − a ) (c − a)(a − b) ( a − b)(b − c)
-------------------------Hết----------------------

Gmail:

23


NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 08
Đáp án
a) x(2x - y) + y(x - 2y) = 2x2 - xy + xy - 2y2
= 2x2 - 2y2
b) (x + 3)(2x - 5) = 2x2 - 5x + 6x - 15
= 2x2 + x - 15
c) (x - y)2 + (x + y)2 = x2 - 2xy + y2 + x2 + 2xy + y2
= 2x2 + 2y2
d) (2x - 1)3 - (2x + 1)3 = 8x3 - 12x2 + 6x - 1 - 8x3 - 12x2 - 6x - 1
= -24x2 - 2

Câu
1

Điểm

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

2

a) 15x3y4 : 3x2y2 = 5xy2
b) ( 6x4 + 9x3 - 12x2) : 3x2 = 2x2 + 3x - 4

0,5
0,5

3

a) 2x3 - 4x2 + 6x = 2x(x2 - 2x + 3)
b) x2 - 2y + xy - 2x = ( x2 + xy ) - ( 2y + 2x )
= x(x + y) - 2(x + y) = (x+ y)(x - 2)

0,5
0,25
0,25

4

2 

8
 x −1 x +1
A=
−
+ 2
: 2
 x + 1 x − 1 x − 1  3x − 3
a) ĐKXĐ: x ≠ 1 và x ≠ −1

0,5

b)

 ( x − 1) 2 ( x + 1) 2
4  3x 2 − 3
.
A =  2
− 2
+ 2
8
x
−
x
−
x
−
1
1
1



 ( x − 1) 2 − ( x + 1) 2 + 4  3( x 2 − 1)
.
= 
2
8
x
−
1


x 2 − 2 x + 1 − x 2 − 2 x − 1 + 4 3( x 2 − 1)
=
.
8
x2 −1
2
− 4 x + 4 3( x − 1)
= 2
.
8
x −1
− 4( x − 1).3( x 2 − 1) − 3( x − 1)
=
=
2
( x 2 − 1).8
− 3( x − 1)
= 3 ⇔ −3( x − 1) = 6 ⇔ x − 1 = −2 ⇔ x = −1
2

( Không TMĐKXĐ)
Vậy không có giá trị nào của x để A = 3.

c) A = 3 ⇒

Gmail:

0,25

0,25
0,25
0,25

0,5

24


NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8

5

Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M là trung điểm của BC. Gọi I
là điểm đối xứng của M qua AB, E là giao điểm của IM và AB. Gọi K
là điểm đối ứng của M qua AC, F là giao điểm của MK và AC.
a) Chứng minh rằng tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
b) Các tứ giác AIBM và AKCM là hình gì? Vì sao?
c) Cho biết AB = 6cm; AC = 8cm. Tính diện tích của tứ giác
AEMF và tính độ dài đoạn thẳng EF.
d) Chứng minh rằng I và K đối xứng nhau qua điểm A.

A
I

K

F

E

B

M

C

a) Xét tứ giác AEMF có:
∠A = 90 0 (gt)
∠E = 90 0 ( Vì I đối xứng với M qua AB )
∠F = 90 0 ( Vì K đối xứng với M qua AC )
Do đó tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
b) Tứ giác AIBM có: Hai đường chéo AB và IM cắt nhau tại trung
điểm mỗi đường và hai đường chéo vuông góc với nhau nên tứ giác
AEMF là hình thoi.
Tương tự tứ giác AKCM cũng có hai đường chéo cắt nhau tại trung
điểm mỗi đường và hai đường chéo vuông góc nhau nên tứ giác
AKCM là hình thoi.
c) Vì AB = 6cm ⇒ AE = 3cm ( vì E là trung điểm của AB )
Vì AC = 8cm ⇒ AF = 4cm
Mà tứ giác AEMF là hình chữ nhật nên S AEMF = 3.4 = 12cm 2
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông AEF ta có:

EF 2 = AE 2 + AF 2 = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 ⇒ EF = 5cm

d) AF//EM ( Vì tứ giác AEMF là hình chữ nhật )
⇒ IM // AC ⇒ ∠EIA = ∠FAK (1)
Mà ∠EIA + ∠IAE = 90 0
(2)
Từ (1) và (2) suy ra ∠FAK + ∠IAE = 90 0
Vì ∠EAF = 90 0 , nên ∠IAK = ∠FAK + ∠EAF + ∠IAE = 900 + 900 =
1800.

Gmail:

0,5
0,5

0,5
0,5

0,25
0,25
0,5

0,25

0,25

25