De thi HSG Toan 11 Nguyen Gia Thieu 2012

Đề thi chọn học sinh giỏi năm 2012

Sở giáo dục và đào tạo hà nội

Tr-ờng THPT Nguyễn Gia Thiều

Môn Toán lớp 11

Thời gian làm bài 120 phút

đề chính thức

Bài 1 (5,0 điểm).
3x
x

3
1. Giải ph-ơng trình sin 3.sin

2
10
10 2
2. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có
A
B
C
1
AB
B C
C A
thì ABC là một tam

cos 2 cos 2 2 cos
cos
cos
2
2
2
4
2
2
2
giác đều.
Bài 2 (4,0 điểm).
1. Trong mt gii c vua gm nam v n vn ng viờn. Mi vn ng viờn phi
chi hai vỏn vi mi vn ng viờn cũn li. Cho bit cú 2 vn ng viờn n v cho
bit s vỏn cỏc vn ng viờn nam chi vi nhau hn s vỏn h chi vi 2 vn ng
viờn n l 66. Hi cú bao nhiờu vn ng viờn tham gia gii v s vỏn tt c cỏc vn
ng viờn ó chi
cos2

1 1 1 2 1 3
(1)n n
1
2. Chứng minh rằng C Cn Cn Cn ...
, n N .
Cn
2
3
4
n 1
n 1

0
n

Bài 3 (4,0 điểm). Cho dãy số un đ-ợc xác định bởi công thức

u1 1, u2 2
với n 2

u

2
u

u

3

n

1
n
n

1


Tìm công thức của số hạng tổng quát un theo n .

Bài 4 (5,0 điểm). Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có ba mặt bên đều là hình vuông cạnh
a , gọi M là trung điểm của CC, gọi O là tâm hình vuông ABBA; phẳng (P) qua

O và song song với cả hai đường thẳng AC, BM. Xác định thiết diện tạo bởi (P)
cắt lăng trụ đã cho. Tính chu vi thiết diện theo a .
Bài 5 (2,0 điểm).
1. Tìm giới hạn lim
x 1

3x 1. 3 2 x 2
x 1

2. Chứng minh ph-ơng trình x4 x3 2 x2 3x 1 0 có đúng hai nghiệm trong



đó có một nghiệm thuộc khoảng 0 ;



1
.
5
27

Hết

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên học sinh:



Số báo danh: