de thi HSG toan 9 (10-11)

Tr ờng THCS Đoàn Th ợng
1 Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9
Năm học 2010-2011 Môn : Toán
Câu 1:(1,5 điểm)
Cho a

Z , chứng minh rằng a
5
- a chia hết cho 30.
Câu 2 : (2 điểm) Cho P =
( )
1
122
1
2


+
+

++

x
x
x
xx
xx
xx
a. Rút gọn P
b.Tìm giá trị lớn nhất của P.
c. Tìm x để biểu thức Q =

P
x2
nhận giá trị là số nguyên
Câu 3:(2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có các cạnh là a , b , c .Kẻ đờng cao AD . Kẻ DE ,
DF tơng ứng vuông góc với AB và AC .Đặt BE = m; CF = n ; AD = h. Chứng minh rằng :
a)
3
m c
n b

=
ữ

b) 3h
2
+ m
2
+ n
2
= a
2

Câu 4(3 điểm): Giải các phơng trình :
a.
721
=++++
xxx
b.
381257
2

+=+
xxxx
c.
( )
191611441
=+++
xxxx
Câu 5(2 điểm) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn một trong các đẳng thức sau :
a.
723
+
yxxy
= 0 b.
xyyxyxxy
++=+++
222
212
Câu 6:(1,5 điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng :
1
a b c a c b
b c a c b a
+ + <
Câu 7 (1,5 điểm) Cho 3 đờng thẳng
(d
1
): y =
( ) ( )
51
22

+
mxm
với
1

m
(d
2
): y =
1
+
x
(d
3
): y =
3
+
x
a. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì d
1
luôn đi qua một điểm cố định .
b. Chứng minh rằng (d
1
) // (d
3
) thì (d
1
) (d
2
)

c. Xác định m để 3 đ ờng thẳng (d
1
), (d
2
), (d
3
) đồng quy.
Câu 8(3 điểm) Cho hai đờng tròn (O) (O
,
) tiếp xúc ngoài tại A . Gọi AB là đờng kính của đờng
tròn (O), AC là đờng kính của đờng tròn (O
,
) , DE là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn D thuộc
(O), E thuộc (O
,
), K là giao điểm của BD và CE
a) Tứ giác ADKE là hình gì ? vì sao ?
b) CMR: AK là tiếp tuyến chung của hai đ ờng tròn (O) và (O
,
).
c) Gọi M là trung điểm của BC
CMR: MK DE
Câu 9 (2 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

9124441
22
++++
xxxx
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

4
24
2
++
xx
x
Câu 11 (1,5 điểm) Cho đờng tròn tâm I bán kính r nội tiếp tam giác ABC . CMR: IA+IB+IC

6r
.............................................................** *.....................................................
Đáp án đề 1
Câu 1: (1,5 điểm)
a
5
-a = a(a
4
-1) = a(a
2
-1)(a
2
+1) = a(a-1)(a+1)(a
2
-4+5)
= a(a-1)(a+1)
( )( )
[ ]
522
++
aa
= a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1) (0.5đ)

Hạng tử thứ nhất chia hết cho 5 vì là tích của năm số nguyên liên tiếp . Hạng tử thứ hai cũng chia
hết cho 5 do đó : a
5
-a

5 (0.25đ)
Ta thấy: a
5
-a = a(a-1)(a+1)(a
2
+1)
Do (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho 2 và 3 , tức là chia hết cho 6 vì
(2,3) = 1 (0.5đ)
a
5
-a vừa chia hết cho 5 , vừa chia hết cho 6 mà (5,6) =1 nên a
5
-a

30 (0.25đ)
Câu 2 (2 điểm) Câu a ,c mỗi câu 0,75 điểm, câu b 0,5 điểm
a) Điều kiện để P có nghĩa là x > 0, x

1 (0,25đ)
P =
( )( ) ( ) ( )( )
1
11212
1
11

+
+
+

++
++
x
xx
x
xx
xx
xxxx
(0,25đ)
=
( )
122121
+=++
xxxxxx
(0,25đ)
b) P = x-
x
+1=
4
3
4
3
2
1
2

+







x

P đạt GTNN là
4
3
khi x=
4
1
(0,5đ)
c)Q =
M
x
x
xx
x
P
x 2
1
1
2
1
22

=
+
=
+
=
(0,25đ)
Với x > 0 và x

1 . á p dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số d ơng
M =
2011
1
<<>+
Q
x
x
(0,25đ)
Tìm đ ợc Q nguyên khi và chỉ khi Q = 1
2
537

=
x
(0,25đ)
Câu 3 (2 điểm) Mỗi câu 1 điểm
a)
3
2
2
6 3

2 2 2
2 2 2
3
.
.
.
.
c c c BD a c BD c
b b b DC a b DC b
c BD c m c c m c
b DC b n b b n b
c m
b n

= ì = ì = ì
ữ


= ì = ì = ì
ữ ữ


=
ữ


b) a
2
= (BD + DC)
2

= BD
2
+ 2 BD.DC + DC
2
= m.c +2h
2
+ n.b
= m(EA + m) + n(AF + n) +2h
2
= m
2
+ n
2
+2h
2
+ m.EA +n.AF
= m
2
+ n
2
+ 2h
2
+ ED
2
+ FD
2
=

m
2

+ n
2
+2h
2
+ AF
2
+ FD
2

= m
2
+ n
2
+ 2h
2
+ h
2
= m
2
+ n
2
+ 3h
2
(đpcm)
Câu 4 (3 điểm) mỗi câu 1 điểm
a) Đặt
721
=++++
xxx
(1) Xét 4 tr ờng hợp :

x > 0 : (1)

x =
3
4

-1

x

0: (1)

x = 4 Loại (0,25đ)
B
A
F
C
D
E
m
n
h
-2

x < -1: (1)

x=-6 Loại (0,25đ)
x < - 2: (1)

x=

3
10

(0,25đ)
Vậy nghiệm của ph ơng trình là : x =
3
4
; x=
3
10

(0,25đ)
b) Điều kiện 5

x

7 (0,25đ)
á p dụng BĐT CôSi cho hai số không âm ta có
( ) ( )
2
2
15
2
17
1517 =
+
+
+
+
xx

xx
Đẳng thức xảy ra



=
=
15
17
x
x


x= 6 (0,25đ)
Mặt khác : x
2
-12x +38 =
( )
226
2
+
x
.Đẳng thức xảy ra

x= 6 (0,25đ)
Vậy ph ơng trình có nghiệm x= 6 (0,25đ)
c)
( ) ( )
13121
22

=+
xx


21

x
+
31

x
= 1 (1) (0,25đ)
Nếu 1

x < 5 thì x = 5 loại (0,25đ)
5

x

10 từ (1)

0x=0 ph ơng trình vô số nghiệm
x >10 từ (1)

x = 10 loại (0,25đ)
Vậy ph ơng trình có nghiệm 5

x

10 (0,25đ)

Câu 5 (2 điểm) mỗi câu 1 điểm
a) xy+3x-2y-7= 0

(x-2)(y+3)= 1 (0,25đ)




=+
=
13
12
y
x
hoặc



=+
=
13
12
y
x
(0,25đ)
Do đó :



=

=
2
3
y
x
hoặc



=
=
4
1
y
x
(0.25đ)
Hai cặp số cần tìm là : (1;-4) và (3;-2) (0,25đ)
b) 2y
2
x +x+y+1 = x
2
+2y
2
+xy (1)

2y
2
(x-1) - x(x-1) - y(x-1) +1=0
( )

(0,25đ)
Vì x= 1 không phải là nghiệm nên chia cả hai vế cho x-1 ta có
( )



2y
2
- x-y+
1
1

x
= 0 (2) (0,25đ)
Để (1) nguyên thì
1
1

x
phải nguyên . Nên x-1 =

1



=
=

0
2

x
x
(0,25đ)
Thay x = 2 và x= 0 vào (2) ta có y nguyên khi y= 1
Vậy ph ơng trình đã cho có hai nghiệm nguyên (2;1) và (0;1) (0,25đ)
Câu 6 (1,5 điểm) Đặt

( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
1
a b c a c b a b b c c a
M
b c a c b a b a c b a c
a b b c c a
c a b a b c b c a
ab bc ac abc
a c b c b a
abc
= + + = + +

= + + = + +
=
(0,5đ)
Vì a ,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên
a c b
b c a
b a c
<

<


<



1
1M abc
abc
< ì =
(0,75đ)
Vậy M < 1 (đpcm) (0,25đ)
Câu 7 (1,5 điểm) Mỗi câu 0.5 điểm
a) y= (m
2
-1)x+(m
2
-5) = m
2
(x+1)-x-5 (0,25đ)
Với mọi m khi x=-1 thì y = -4
Vậy (d
1
) luôn đi qua điểm cố định là (-1;-4) (0,25đ)
b) Vì (d
1
) // (d
3

)







=
35
11
2
2
m
m


m = 0

(d
1
): y = -x+5 (0,25đ)
Hai đ ờng thẳng (d
1
) và (d
2
) có (-1).1 = -1 nên (d
1
) (d
2

) (0,25đ)
c) Hai đ ờng thẳng (d
2
),(d
3
) có hệ số góc khác nhau nên chúng cắt nhau tại M . Tìm toạ độ M : x+1 =
-x +3

x = 1 . Vậy M(1;2) (0,25đ)
Để (d
1
),(d
2
),(d
3
) đồng quy tại M thì d
1
phải đi qua M

m =

2 (0,25đ)
Câu 8(2,5 điểm) mỗi câu 0.5 điểm
a)Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có

0
1
= 2

B

'
1
O
= 2

C
Mà

0
1
+
1
0

= 180
o




B +

C = 90
o




K = 90

o
Trong

BDA có OD =
2
1
AB



BDA vuông



D = 90
o

T ơng tự :

E = 90
o

Tứ giác ADKE có

K =

D =

E =

90
o


ADKE là hình chữ nhật
b) Có

A
1
+

A
2
=

D
1
+

D
2
= 90
o


AK BC
Vậy AK là tiếp tuyến chung của hai đ ờng tròn
c)

MKC cân tại M

K
1
=

C


EKD =

KEA



E
1
=

EKA
Mà

C +

EKA = 90
o
Từ đó :

K

1
+

E
1
= 90
o


MK DE
Câu 9(2 điểm ) mỗi câu 1 điểm
a)
32219124441
22
++=++++
xxxxxx

xx 2321
++=

xx 2321
++
= 4 (0,25đ)
(0,5đ)
Vậy GTNN là 4




+

032
021
x
x

2
3
2
1



x
(0,25đ)
b) P=
5
2
1
4
1
1
4
2
2
2
24
2
+

=
++
=
++
x
x
x
x
xx
x
(0,5đ)
GTLN của P là
5
1
khi x =


2
(0,5đ)
Câu 11(1,5 điểm)
Học sinh không vẽ hình không chấm điểm
C
A
M

B

C

I
r
B
C
K
D
O A M O

E
O
A

1
2
1
1
1
2
1
1
§Æt BC = a , AC = b, AB = c
KÎ BB
’
,CC
’
vu«ng gãc víi AI

Ta cã :
∆
IMA
:

∆
BB
’
A

'
AI IM
AB BB
= ⇒
c.r = IA.BB
’

T ¬ng tù b.r = IA.CC
’

Nªn: (b+c)r = IA(BB
’
+ CC
’
)
≤
IA . a
⇒

c

ba
r
IC
b
ca
r
IB
a
cb
r
IA
+
≥
+
≥
+
≥
;;
⇒
6
≥






++







++






+≥
++
a
c
c
a
b
c
c
b
b
a
a
b
r
ICIBIA

⇒
IA+IB+IC

≥
6r
B