Tổ hợp và nhị thức newton

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷
❑❍❖❆ ❚❖⑩◆
✖✖✖✖✖✖✖♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

◆●➷ ❚❍➚ ❑❍❆◆❍
❚✃ ❍ÑP ❱⑨ ◆❍➚ ❚❍Ù❈ ◆❊❲❚❖◆

❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ✣↕✐ sè

❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✾


❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷
❑❍❖❆ ❚❖⑩◆
✖✖✖✖✖✖✖♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

◆●➷ ❚❍➚ ❑❍❆◆❍
❚✃ ❍ÑP ❱⑨ ◆❍➚ ❚❍Ù❈ ◆❊❲❚❖◆

❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ✣↕✐ sè
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
❚❤❙✳ ❉÷ì♥❣ ❚❤à ▲✉②➳♥

❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✾


ớ ỡ
ởt tớ tú t ự ũ ợ sỹ ú
ù t t ừ t ổ s õ

ừ t tọ ỏ ỡ t s s tợ
t ổ tr t ổ tr tờ ố t
ổ ữỡ ữớ trỹ t ữợ t ồ
t t ú ù tr sốt tớ ự t
õ
ũ rt ố tớ ụ ữ
tự ừ t õ ừ ổ t tr ọ ỳ
t sõt ữủ sỹ õ õ ỵ tứ t ổ
õ ừ ữủ t ỡ
t ỡ

ở t


ổ




▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✏❚ê ❤ñ♣ ✈➔ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥✑ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤
❞♦ sü ❝è ❣➢♥❣ ♥é ❧ü❝ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝ò♥❣ sü ❣✐ó♣ ✤ï t➟♥ t➻♥❤ ❝õ❛
❝æ ✕ ❚❤❙✳ ❉÷ì♥❣ ❚❤à ▲✉②➳♥✳
❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❡♠ ✤➣ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ♠ët sè t➔✐ ❧✐➺✉ ♥❤÷ ✤➣
✈✐➳t tr♦♥❣ ♣❤➛♥ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ❱➻ ✈➟② ❡♠ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥
♥➔② ❧➔ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ r✐➯♥❣ ❡♠✱ ❦❤æ♥❣ trò♥❣ ❧➦♣ ✈î✐ ❜➜t
❦➻ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ♥➔♦ ❦❤→❝✳

❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✾
❙✐♥❤ ✈✐➯♥

◆❣æ ❚❤à ❑❤❛♥❤

✐✐


▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ♠ð ✤➛✉
✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥
✶✳✶

✶
✸

❍❛✐ q✉② t➢❝ ✤➳♠ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶✳✶✳✶

◗✉② t➢❝ ❝ë♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶✳✶✳✷

◗✉② t➢❝ ♥❤➙♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹

✶✳✷

❈❤➾♥❤ ❤ñ♣ ❦❤æ♥❣ ❧➦♣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✶✳✸

❈❤➾♥❤ ❤ñ♣ ❧➦♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✶✳✹

❍♦→♥ ✈à

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

✶✳✺

❚ê ❤ñ♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

✶✳✻

◆❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥ ✈➔ t❛♠ ❣✐→❝ P❛s❝❛❧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✶✳✻✳✶

◆❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✶✳✻✳✷

❚❛♠ ❣✐→❝ P❛s❝❛❧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✵

✶✳✻✳✸

◆❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥ ✈î✐ ❝→❝ ❤➔♠ sè s✐♥ ✈➔ ❝♦s

✷✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ✤↕✐ sè tê ❤ñ♣
✷✳✶

✷✳✷

✷✳✸

✷✳✹

✷✹

❘ót ❣å♥ ✈➔ t➼♥❤ ❣✐→ trà ❜✐➸✉ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✷✳✶✳✶

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✉♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✷✳✶✳✷

▼ët sè ✈➼ ❞ö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✷✳✶✳✸

❇➔✐ t➟♣ ✈➟♥ ❞ö♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

●✐↔✐ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

✷✺

✷✳✷✳✶

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✉♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

✷✳✷✳✷

▼ët sè ✈➼ ❞ö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✻

✷✳✷✳✸

❇➔✐ t➟♣ ✈➟♥ ❞ö♥❣

✷✽

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❚➻♠ sè ❤↕♥❣ ✈➔ ❤➺ sè ❝õ❛ ♠ët ❧ô② t❤ø❛

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✵

✷✳✸✳✶

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✉♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✵

✷✳✸✳✷

▼ët sè ✈➼ ❞ö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✵

✷✳✸✳✸

❇➔✐ t➟♣ ✈➟♥ ❞ö♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✹

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✺

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✉♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✺

❳➨t t➼♥❤ ❝❤✐❛ ❤➳t
✷✳✹✳✶

✐✐✐


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✤↕✐ ❤å❝
✷✳✹✳✷
✷✳✺

✷✳✻

●❱❍❉✿ ❚❤❙✳ ❉÷ì♥❣ ❚❤à ▲✉②➳♥

▼ët sè ✈➼ ❞ö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❚➼♥❤ tê♥❣ tê ❤ñ♣

✸✺

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✻

✷✳✺✳✶

⑩♣ ❞ö♥❣ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥ ✈➔ ❝❤å♥ ❣✐→ trà t❤➼❝❤ ❤ñ♣ ✳

✸✻

✷✳✺✳✷

❙û ❞ö♥❣ ✤↕♦ ❤➔♠

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✽

✷✳✺✳✸

❙û ❞ö♥❣ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✶

✷✳✺✳✹

❙û ❞ö♥❣ sè ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✹

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✻

✷✳✻✳✶

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✉♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✻

✷✳✻✳✷

▼ët sè ✈➼ ❞ö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✼

✸ ●✐↔✐ ♥❤❛♥❤ ♠ët sè ❜➔✐ t➟♣ tr➢❝ ♥❣❤✐➺♠ ✤↕✐ sè tê ❤ñ♣ ❜➡♥❣
♠→② t➼♥❤ ❝➛♠ t❛②
✺✼
✸✳✶

●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕✐ sè tê ❤ñ♣

✸✳✷

❇➔✐ t➟♣ ✈➲ ❤➺ sè tr♦♥❣ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✾

✸✳✸

❙û ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝♦ ❜✐➳♥ ✤➸ t➼♥❤ tê♥❣ tê ❤ñ♣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✷

✸✳✹

❇➔✐ t➟♣ ✈➟♥ ❞ö♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✸

❑➳t ❧✉➟♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

◆❣æ ❚❤à ❑❤❛♥❤

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✼

✻✻
✻✼

✐✈

❑✹✶❇ ❚♦→♥ ✣❍❙P❍◆ ✷


▲❮■ ▼Ð ✣❺❯
❈â t❤➸ ♥â✐ tê ❤ñ♣✱ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥ ✈➔ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ❧➔
♥❤ú♥❣ ♣❤➛♥ ❦✐➳♥ t❤ù❝ r➜t ❤❛②✱ ♥â ❣➛♥ ❣ô✐ ✈î✐ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ t❤ü❝
t✐➵♥✳ ❚ê ❤ñ♣ ✈➔ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥ ♥➡♠ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❣✐↔♥❣ ❞↕② tr✉♥❣
❤å❝ ♣❤ê t❤æ♥❣ ð ❧î♣ ✶✶✱ ✈î✐ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❤❛②✱ ✤❛ ❞↕♥❣ ✈➔ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó✳

❇ð✐ ✈➟② ❝â ❦❤æ♥❣ ➼t ❝→❝ ❡♠ ❤å❝ s✐♥❤ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ ❜➟❝ ♣❤ö ❤✉②♥❤ ✈➔ ❝→❝
t❤➛② ❝æ ✤æ✐ ❦❤✐ ✈➝♥ ❝á♥ ❧ó♥❣ tó♥❣ ✈➔ ♥❤➛♠ ❧➝♥ tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ tê
❤ñ♣ ✈➔ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ tê ❤ñ♣ ✈➔ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥ ❧➔ ♥❤ú♥❣
❜➔✐ t♦→♥ ❦❤æ♥❣ t❤➸ t❤✐➳✉ tr♦♥❣ ❝→❝ ❦➻ t❤✐✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❝→❝ ❦➻ t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤
❣✐ä✐ ✈➔ ❦➻ t❤✐ tr✉♥❣ ❤å❝ ♣❤ê t❤æ♥❣ ◗✉è❝ ❣✐❛✳
❇ð✐ ✈➟②✱ ✈î✐ ♥✐➲♠ ✤❛♠ ♠➯ ✈➔ ❤ù♥❣ t❤ó ✈î✐ tê ❤ñ♣ ✈➔ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥✱
❦❤æ♥❣ ❝❤➾ t❤ä❛ ♥✐➲♠ ✤❛♠ ♠➯ ♠➔ ❝á♥ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ ❝â ♠ët ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝ ❜➔✐
t♦→♥ ✈➲ tê ❤ñ♣ ✈➔ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥✱ ❧➔ ♠ët ♥❣✉ç♥ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❝❤♦
❝→❝ ❡♠ ❤å❝ s✐♥❤✱ ❝→❝ ❜➟❝ ♣❤ö ❤✉②♥❤ ✈➔ ❝→❝ t❤➛② ❝æ✱ ❤✐ ✈å♥❣ ❝→❝ ❡♠ ❤å❝
s✐♥❤✱ ❝→❝ ❜➟❝ ♣❤ö ❤✉②♥❤ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ t❤➛② ❝æ s➩ ❝â ❝→✐ ♥❤➻♥ s➙✉ s➢❝ ❤ì♥
✈➲ tê ❤ñ♣ ✈➔ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥✱ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✤÷ñ❝ rã r➔♥❣ ❝→❝ ❞↕♥❣ t♦→♥ ❝â
❧✐➯♥ q✉❛♥ tî✐ tê ❤ñ♣ ✈➔ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥✱ ❜✐➳t ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❝õ❛ ♥â
tr♦♥❣ t❤ü❝ t✐➵♥✱ tr→♥❤ ♥❤➛♠ ❧➝♥ tr♦♥❣ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ❡♠ ✤➣ ❝❤å♥
✏ ❚ê ❤ñ♣ ✈➔ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥✑ ❧➔ ✤➲ t➔✐ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❝❤✐❛ ❧➔♠ ✸ ❝❤÷ì♥❣✿
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët ❝→❝❤ sì ❧÷ñ❝ ✈➲ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ✤↕✐
sè tê ❤ñ♣ ❣ç♠ q✉② t➢❝ ❝ë♥❣✱ q✉② t➢❝ ♥❤➙♥✱ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ ❝→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝✱
✈➼ ❞ö ✈➲ ❝❤➾♥❤ ❤ñ♣✱ ❤♦→♥ ✈à ✈➔ tê ❤ñ♣✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥ ❝ô♥❣
✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔②✳
❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ✤↕✐ sè tê ❤ñ♣✳
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷❛ r❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ✤↕✐ sè tê ❤ñ♣ ❜❛♦ ❣ç♠ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ❣✐↔✐ ✈➔ ♠ët sè ✈➼ ❞ö✳
❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ●✐↔✐ ♥❤❛♥❤ ♠ët sè ❜➔✐ t➟♣ tr➢❝ ♥❣❤✐➺♠ ✤↕✐ sè tê ❤ñ♣ ❜➡♥❣
♠→② t➼♥❤ ❝➛♠ t❛②✳

✶


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✤↕✐ ❤å❝

●❱❍❉✿ ❚❤❙✳ ❉÷ì♥❣ ❚❤à ▲✉②➳♥

❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ❞↕♥❣ ❜➔✐ t➟♣ ✈➲ ✤↕✐ sè tê ❤ñ♣ ð ❞÷î✐ ❞↕♥❣
tr➢❝ ♥❣❤✐➺♠ ♠➔ ❝â sû ❞ö♥❣ ✤÷ñ❝ ♠→② t➼♥❤ ❝➛♠ t❛②✱ ❝→❝ t❤❛♦ t→❝ ❜➜♠ ♠→②
t➼♥❤ ✈➔ ♠ët sè ✈➼ ❞ö✳
❉♦ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝â ❤↕♥ ✈➔ ♥➠♥❣ ❧ü❝ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❦❤â❛
❧✉➟♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✳ ❊♠ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ sü ✤â♥❣
❣â♣ þ ❦✐➳♥ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥ ✤➸ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳
❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦

◆❣æ ❚❤à ❑❤❛♥❤

✷

❑✹✶❇ ❚♦→♥ ✣❍❙P❍◆ ✷


❈❤÷ì♥❣ ✶

❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥
✶✳✶ ❍❛✐ q✉② t➢❝ ✤➳♠ ❝ì ❜↔♥
✶✳✶✳✶ ◗✉② t➢❝ ❝ë♥❣
◆➳✉ ♠ët ❝æ♥❣ ✈✐➺❝ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❜ð✐

❝æ♥❣ ✤♦↕♥ ❦❤æ♥❣ ♣❤ö

n2 ❝→❝❤
t❤ü❝ ❤✐➺♥✱✳✳✳✱ ❝æ♥❣ ✤♦↕♥ k ❝â nk ❝→❝❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥✳ ❑❤✐ ✤â ❝â n1 + n2 + ... + nk

t❤✉ë❝ ✈➔♦ ♥❤❛✉✱ ❝æ♥❣ ✤♦↕♥ ✶ ❝â

n1

k

❝→❝❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥✱ ❝æ♥❣ ✤♦↕♥ ✷ ❝â

❝→❝❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ①♦♥❣ ❝æ♥❣ ✈✐➺❝✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

A ❧➔ |A|✳
❚r÷î❝ t✐➯♥ t❛ ✤✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥➳✉ A✱ B ❧➔ ❤❛✐ t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥✱ A
♥❤❛✉✱ ♥â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝ A ∩ B = ∅ t❤➻ |A ∪ B| = |A| + |B|✳
❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû |A| = m✱ |A| = n✳
✣➦t A = {a1 , a2 , ..., am }✱B = {b1 , b2 , ..., bn } t❤➻
❈❤♦ t➟♣ ❤ñ♣

A✱

❦➼ ❤✐➺✉ sè ♣❤➛♥ tû ❝õ❛

✈➔

B

rí✐

A ∪ B = {a1 , a2 , ..., am , b1 , b2 , ..., bn } .

❱➟②

|A ∪ B| = m + n = |A| + |B|✳

✭✯✮

Ai ❧➔ t➟♣ ♠➔ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû ❧➔ ✶ ❝→❝❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝æ♥❣ ✈✐➺❝ ð ❝æ♥❣
✤♦↕♥ t❤ù i (i = 1, 2, ..., k)✳ ❑❤✐ ✤â ❝→❝ t➟♣ ❤ñ♣ Ai ✤æ✐ ♠ët rí✐ ♥❤❛✉✱ tù❝
❧➔ Ai ∩ Aj = ∅✱ ∀i = j (i = 1, 2, ..., k; j = 1, 2, ..., k) ✈➔ |Ai | = ni ✳
❑❤✐ ✤â →♣ ❞ö♥❣ ✭✯✮ (n − 1) ❧➛♥ t❛ ❝â

❑➼ ❤✐➺✉

|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ak | = |A1 | + |A2 | + ... |Ak |
❤❛②

m

Ai = |A1 | + |A2 | + ... |Ak | = n1 + n2 + ... + nk .
i=1

✸


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✤↕✐ ❤å❝

❱➼ ❞ö ✶✳

●❱❍❉✿ ❚❤❙✳ ❉÷ì♥❣ ❚❤à ▲✉②➳♥

▲î♣ ✶✶❆ ❝â ✷✵ ✤♦➔♥ ✈✐➯♥ ♥ú ✈➔ ✷✺ ✤♦➔♥ ✈✐➯♥ ♥❛♠✳ ❚❤➛② ❣✐→♦

❝❤õ ♥❤✐➺♠ ❝➛♥ ♣❤↔✐ ❝û ✶ ❜↕♥ ✤♦➔♥ ✈✐➯♥ ✤✐ ❞ü ✤↕✐ ❤ë✐ ✤♦➔♥ tr÷í♥❣✳ ❍ä✐
t❤➛② ❣✐→♦ ❝❤õ ♥❤✐➺♠ s➩ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝→❝❤ ❝❤å♥❄

▲í✐ ❣✐↔✐✳
❚❤➛② ❣✐→♦ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ✶ ❜↕♥ ✤♦➔♥ ✈✐➯♥ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝❤å♥ ✶ ✤♦➔♥ ✈✐➯♥ ♥❛♠
❤♦➦❝ ✶ ✤♦➔♥ ✈✐➯♥ ♥ú✳
✰ ❈❤å♥ ✶ ✤♦➔♥ ✈✐➯♥ ♥ú tr♦♥❣ ✷✵ ❜↕♥ ♥ú ❝â ✷✵ ❝→❝❤ ❝❤å♥✳
✰ ❍♦➦❝ ❝❤å♥ ✶ ✤♦➔♥ ✈✐➯♥ ♥❛♠ tr♦♥❣ ✷✺ ❜↕♥ ♥❛♠ ❝â ✷✺ ❝→❝❤ ❝❤å♥✳
❱➟② t❤❡♦ q✉② t➢❝ ❝ë♥❣ t❤➻ ❝â

20 + 25 = 45

❝→❝❤ ❝❤å♥ ✶ ✤♦➔♥ ✈✐➯♥ ❝õ❛ ❧î♣

✶✶❆ ✤✐ ❞ü ✤↕✐ ❤ë✐ ✤♦➔♥ tr÷í♥❣✳

❱➼ ❞ö ✷✳

❚➟♣ ❤ñ♣

A

❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t➟♣ ❤ñ♣ ❝♦♥❄ ❇✐➳t

A = {a, b, c}✳

▲í✐ ❣✐↔✐✳
✣➸ ✤➳♠ sè t➟♣ ❤ñ♣ ❝♦♥ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣

A

t❛ ❝â t❤➸ ♣❤➙♥ ❝❤✐❛ t❤❡♦ sè ♣❤➛♥

tû ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ ❝♦♥✳ ❑❤✐ ✤â ❝â ✹ tr÷í♥❣ ❤ñ♣✿
✰ ❙è ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣ ❝♦♥ ❧➔ ✵✳ ❑❤✐ ✤â t➟♣ ❝♦♥ ❧➔ t➟♣ ré♥❣✱ t❛ ❝â ✶ ❝→❝❤
❝❤å♥✳
✰ ❙è ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣ ❝♦♥ ❧➔ ✶✱ t❛ ❝â ✸ ❝→❝❤ ❝❤å♥✳ ❑❤✐ ✤â ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝â
✶ ♣❤➛♥ tû ❧➔✿

A1 = {a} , A2 = {b} , A3 = {c}

✳

✰ ❙è ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣ ❝♦♥ ❧➔ ✷✱ t❛ ❝â ✸ ❝→❝❤ ❝❤å♥✳ ❑❤✐ ✤â ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝â
✷ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣

A

❧➔✿

A1 = {a, b} , A2 = {b, c} , A3 = {a, c}

✳

✰ ❙è ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣ ❝♦♥ ❧➔ ✸✱ t❛ ❝â ✶ ❝→❝❤ ❝❤å♥✳ ❑❤✐ ✤â t➟♣ ❝♦♥ ✤â ❧➔

A1 = {a, b, c}✳
❱➟② t❤❡♦ q✉② t➢❝ ❝ë♥❣ sè t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣

A ❧➔ ✶✰✸✰✸✰✶❂✽ ✭t➟♣ ❝♦♥✮✳

✶✳✶✳✷ ◗✉② t➢❝ ♥❤➙♥✳
◆➳✉ ♠ët ❝æ♥❣ ✈✐➺❝ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❜ð✐
✶ ❝â

n1

❝→❝❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥✱ ❝æ♥❣ ✤♦↕♥ ✷ ❝â

n2

k

❝→❝❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥✱✳✳✳✱ ❝æ♥❣ ✤♦↕♥

nk ❝→❝❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥✱❝æ♥❣ ✤♦↕♥ s❛✉ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦
n1 .n2 ...nk ❝→❝❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ①♦♥❣ t♦➔♥ ❜ë ❝æ♥❣ ✈✐➺❝✳

❝â

❝æ♥❣ ✤♦↕♥ ✱ ❝æ♥❣ ✤♦↕♥

k

❝æ♥❣ ✤♦↕♥ tr÷î❝ t❤➻ ❝â

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

A ✈➔ B t❛ ❝â |A × B| = |A| . |B|✳
❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû |A| = m, |B| = n ✈➔ A = {a1 , a2 , ..., am } , B = {b1 , b2 , ..., bn }✳

❚r÷î❝ t✐➯♥ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✱ ✈î✐ ♠å✐ t➟♣

◆❣æ ❚❤à ❑❤❛♥❤

✹

❑✹✶❇ ❚♦→♥ ✣❍❙P❍◆ ✷


õ tốt ồ
ợ ộ

ai A

ữỡ

t õ

{ai } ì B = {(ai ì b1 ) , (ai ì b2 ) , ..., (ai ì bn )} .


|{ai ì B}| = n
m



({ai } ì B)

AìB =

t

{a1 } ì B {a2 } ì B



{am } ì B

i=1
ổ rớ t õ

|A ì B| = |{a1 } ì B| + |{a2 } ì B| + ... + |{am } ì B| = m.n = |A| |B|
(1) (n 1) t õ |A1 ì A2 ì ... ì An | = |A1 |ì|A2 |ì...ì|An |
ợ Ai (1 = 1, 2, ..., n) t tũ ỵ (2)
é ổ tr Ai t õ tỷ tỹ ổ
ổ i (i = 1, 2, ..., k) ởt tỹ ổ
ử

k

Ai

ởt tỷ ừ t



i=1

õ t số tỹ ổ

k

Ai = |A1 | . |A2 | ... |Ak | = n1 .n2 ...nk .
i=1

ử

r ở ừ trữớ tr ồ ờ tổ õ

ỳ ọ õ ồ r s
ỳ

ớ
ồ r s ỳ t ồ r s õ
ồ r ỳ
ố ồ r
ợ ộ ồ õ ồ r ỳ
ử q t t õ số ồ r s ỳ


ử

õ t ữủ số tỹ ỗ ỳ số ổ ởt



ớ
ộ số tỹ ữủ t ỳ số

ổ



0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

P


õ tốt ồ

ữỡ

a1 a2 a3 a4 a5 (a1 = 0) số tỹ
õ ồ a1 a1 = 0
ợ ộ ồ a1 õ ồ a2
ợ ộ ồ a1 , a2 õ ồ a3
ợ ộ ồ a1 , a2 , a3 õ ồ a4
ợ ộ ồ a1 , a2 , a3 , a4 õ ồ a5

ồ






t q t số số tỹ ỗ ỳ số ổ
số

ú ỵ

r t t ú ỵ ồ ử q t

q t ở ũ ủ ổ ụ ố ủ ỳ
q t ở q t ợ ữợ ởt số ử
t sỹ t ủ õ

ử

õ t ữủ số tỹ ỗ ỳ số ổ

t

ớ
ộ số tỹ ữủ t ỳ số

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

n = a1 a2 a3 a4 a5 a6 (a1 = 0) số tỹ
n t a6 {0, 5}
a6 = 0 t õ ồ a1
ợ ộ ồ a1 õ ồ a2
ợ ộ ồ a1 , a2 õ ồ a3
ợ ộ ồ a1 , a2 , a3 õ ồ a4
ợ ộ ồ a1 , a2 , a3 , a4 õ ồ a5
ồ

õ t q t t õ số

a6 = 5

t õ ồ

ợ ộ ồ
ợ ộ ồ
ợ ộ ồ
ợ ộ ồ

a1



a1 = 0

a1 õ ồ a2
a1 , a2 õ ồ a3
a1 , a2 , a3 õ ồ a4
a1 , a2 , a3 , a4 õ ồ a5

õ t q t t õ số
t q t ở õ t ữủ số

ử t t s ồ ở

õ

t ữủ số ỗ ỳ số ổ tứ

số

ổ



P


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✤↕✐ ❤å❝

●❱❍❉✿ ❚❤❙✳ ❉÷ì♥❣ ❚❤à ▲✉②➳♥

▲í✐ ❣✐↔✐✳
a1 a2 a3 a4 a5 (a1 = 0)✳
❱➻ sè ❝➛♥ ❧➟♣ ❧➔ sè ❝❤➤♥ ⇒ a5 ∈ {0, 2, 6}✳
✰ ◆➳✉ a5 = 0 t❤➻ ❝â ✶ ❝→❝❤ ❝❤å♥ a5 ✳
❱î✐ ♠é✐ ❝→❝❤ ❝❤å♥ a5 ❝â ✹ ❝→❝❤ ❝❤å♥ a1 ✳
❱î✐ ♠é✐ ❝→❝❤ ❝❤å♥ a5 , a1 ❝â ✸ ❝→❝❤ ❝❤å♥ a2 ✳
❱î✐ ♠é✐ ❝→❝❤ ❝❤å♥ a5 , a1 , a2 ❝â ✷ ❝→❝❤ ❝❤å♥ a3 ✳
❱î✐ ♠é✐ ❝→❝❤ ❝❤å♥ a5 , a1 , a2 , a3 ❝â ✶ ❝→❝❤ ❝❤å♥ a4 ✳
●å✐ sè ❝➛♥ ❧➟♣ ❧➔

❑❤✐ ✤â t❤❡♦ q✉② t➢❝ ♥❤➙♥ t❛ ❝â ✶✳✹✳✸✳✷✳✶❂✷✹ ✭sè✮✳
✰ ◆➳✉

a5 = 0

t❤➻ ❝â ✷ ❝→❝❤ ❝❤å♥

❱î✐ ♠é✐ ❝→❝❤ ❝❤å♥
❱î✐ ♠é✐ ❝→❝❤ ❝❤å♥
❱î✐ ♠é✐ ❝→❝❤ ❝❤å♥
❱î✐ ♠é✐ ❝→❝❤ ❝❤å♥

a5 ✳

a5 ❝â ✸ ❝→❝❤ ❝❤å♥ a1 ✳
a5 , a1 ❝â ✸ ❝→❝❤ ❝❤å♥ a2 ✳
a5 , a1 , a2 ❝â ✷ ❝→❝❤ ❝❤å♥ a3 ✳
a5 , a1 , a2 , a3 ❝â ✶ ❝→❝❤ ❝❤å♥ a4 ✳

❑❤✐ ✤â t❤❡♦ q✉② t➢❝ ♥❤➙♥ t❛ ❝â ✷✳✸✳✸✳✷✳✶❂✸✻ ✭sè✮✳
❱➟② tø ✷ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ tr➯♥✱ →♣ ❞ö♥❣ q✉② t➢❝ ❝ë♥❣ t❛ ✤÷ñ❝ ✷✹✰✸✻❂✻✵ ✭sè✮
❝➛♥ ❧➟♣✳

❱➼ ❞ö ✻✳

❈❤♦ t➟♣ ❤ñ♣

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}✳

❈â t❤➸ ❧➟♣ ✤÷ñ❝

❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè tü ♥❤✐➯♥ ❝â ✸ ❝❤ú sè ✤æ✐ ✶ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✈➔ ♥❤ä ❤ì♥ ✸✹✺ tø ❝→❝
♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣

A

♥â✐ tr➯♥✳

▲í✐ ❣✐↔✐✳
a1 a2 a3 ❧➔
a1 ∈ {1, 2, 3}✳
●å✐

sè ❝➛♥ ❧➟♣✱ tr♦♥❣ ✤â ✭a1

= 0✮

a1 a2 a3 < 345

✈➔

♥➯♥ t❛ ❝â

❑❤✐ ✤â t❛ ①➨t ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ s❛✉✿

✰ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ✶✿ ◆➳✉
❱î✐ ♠é✐ ❝→❝❤ ❝❤å♥
❱î✐ ♠é✐ ❝→❝❤ ❝❤å♥

a1 ∈ {1, 2}

t❤➻ ❝â ✷ ❝→❝❤ ❝❤å♥

a1 ✳

a1 ❝â ✾ ❝→❝❤ ❝❤å♥ a2 ✳
a1 , a2 ❝â ✽ ❝→❝❤ ❝❤å♥ a3 ✳

❚❤❡♦ q✉② t➢❝ ♥❤➙♥ ❝â ✷✳✾✳✽❂✶✹✹ ✭sè✮✳

a1 = 3 t❤➻ ❝â ✶
a2 ∈ {0, 1, 2, 4}✳

✰ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ✷✿ ◆➳✉
❉♦

3a2 a3 < 345

♥➯♥

❝→❝❤ ❝❤å♥

a1 ✳

❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔② t❛ ❝â ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ s❛✉✿
◆➳✉

a2 ∈ {0, 1, 2}

t❤➻ ❝â ✸ ❝→❝❤ ❝❤å♥

a2 ✱

❝â ✽ ❝→❝❤ ❝❤å♥

a3 ✳

❚❤❡♦ q✉② t➢❝ ♥❤➙♥ ❝â ✶✳✸✳✽❂✷✹ ✭sè✮✳

a2 = 4 t❤➻ ❝â ✶ ❝→❝❤ ❝❤å♥ a2 ✳
34a3 < 345 ⇒ a3 ∈ {0, 1, 2} ⇒

◆➳✉
✣➸

❝â ✸ ❝→❝❤ ❝❤å♥

a3 ✳

❚❤❡♦ q✉② t➢❝ ♥❤➙♥ ❝â ✶✳✶✳✸❂✸ ✭sè✮✳

◆❣æ ❚❤à ❑❤❛♥❤

✼

❑✹✶❇ ❚♦→♥ ✣❍❙P❍◆ ✷


õ tốt ồ

ữỡ

tứ trữớ ủ tr t q t ở t õ t ữủ

144 + 24 + 3 = 171số
tọ t

ủ ổ
ởt ủ ổ ỏ ồ ủ
tỷ ở õ tự tỹ ỗ

k

tỷ tứ

n

k

ừ

n

tỷ



Akn
n!
Akn = n. (n 1) ... (n k + 1) =

(n k)!

ố ủ
ổ tự t

k

ừ

n

tỷ

ự
n tỷ t r k ổ
t õ n ồ
tỷ tự t õ (n 1) ồ

õ ủ
ồ tỷ tự
ợ ộ ồ

k

ừ

tỷ tự



ợ ộ ồ tỷ tự t tự tự
ồ tỷ tự

k

t q t õ

ử

(k 1) õ (n k + 1)

n. (n 1) ... (n k + 1)

ồ tự õ

Akn = n. (n 1) ... (n k + 1) .
õ số õ ỳ số ỗ t ỳ số

ớ
ởt số õ ỳ số tữỡ ự ợ ở õ tự tỹ ỗ
ỳ số tứ ỳ số
ứ õ số tọ t

ử

A35 = 60

số

ởt ợ ồ ỗ ồ s ọ õ r

sỹ ợ tr õ õ ợ trữ
ợ õ ồ t ợ õ t t r ộ ổ
q ởt ử

ớ

ố ồ r sỹ ợ tr õ ợ trữ

ổ



P


õ tốt ồ

ữỡ

ợ õ ồ t ợ õ t ủ
ừ
õ

A345 = 85140

ử

ồ

õ t ữủ số tỹ ỗ ỳ số ổ ởt

s
ố ữủ số ỳ số t số
ố ữủ t

ớ

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
ồ số tỹ ỗ ỳ số a1 a2 a3 a4 a5 a6
ố số a6 {0, 2, 4, 6, 8} õ ồ a6
ố õ ỳ số t số a1 {1, 3, 5, 7, 9} õ
ồ a1
4
ỳ số ổ ởt s ồ a1 , a6 t õ A8
ồ a2 a3 a4 a5
4
t q t số số 5.5.A8 = 42000 số
ồ số a1 a2 a3 a4 a5 a6
số t a6 = 0 õ õ ồ a6
5
r số ỏ t õ A9 ồ a1 a2 a3 a4 a5
5
t q t số số 1.A9 = 15120số
ộ số tỹ ữủ t ỳ số





ử

t ủ

t ủ

õ t ữủ số tỹ ỗ ỳ số ổ

A

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

ứ tỷ ừ

s
ừ ỳ số õ số
ừ ỳ số õ số

ớ
ừ số số số õ số õ tr t
ủ

A

A

õ số ữ số số ỗ ỳ số ổ tứ

t ừ ú số

A35 = 60số

ừ số số tr õ õ t t số
õ số số ỗ ỳ số ổ ữủ tứ tỷ ừ

A

A39 = 504số

ố số ỗ ỳ số ổ số số
số số

ổ

A39 A35 = 504 60 = 444


A35 = 60số

số

P


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✤↕✐ ❤å❝

●❱❍❉✿ ❚❤❙✳ ❉÷ì♥❣ ❚❤à ▲✉②➳♥

❱➼ ❞ö ✺✳
❛✳ ❈â t❤➸ ❧➟♣ ✤÷ñ❝ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè tü ♥❤✐➯♥ ❣ç♠ ✹ ❝❤ú sè ✤æ✐ ♠ët ❦❤→❝ ♥❤❛✉❄
❜✳ ❚➼♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ sè ✈ø❛ ❧➟♣ ✤÷ñ❝ ð ❝➙✉ ❛✳

▲í✐ ❣✐↔✐✳
❛✳ ▼é✐ sè tü ♥❤✐➯♥ ✤÷ñ❝ t↕♦ ❜ð✐ ❝→❝ ❝❤ú sè✿

a1 a2 a3 a4 ❧➔ sè ❝➛♥ ❧➟♣✳

a1 = 0 ♥➯♥ ❝â ✾ ❝→❝❤ ❝❤å♥ a1 ✳
❑❤✐ ❝❤å♥ a1 ①♦♥❣✱ ❝á♥ ✾ sè✱ ❝❤å♥

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9✳

●å✐

✸ tr♦♥❣ ✾ sè ✤â ✤➸ ①➳♣ ✈➔♦

a2 a3 a4

❝â

A39

❝→❝❤ ❝❤å♥✳
❱➟② t❤❡♦ q✉② t➢❝ ♥❤➙♥ ❝â

9.A39 = 4536

sè ❝â ✹ ❝❤ú sè ✤æ✐ ♠ët ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳

❜✳ ●å✐ t➟♣ ❤ñ♣ ❣ç♠ ✹✺✸✻ sè ✈ø❛ ❧➟♣ ✤÷ñ❝ ð tr➯♥ ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣
✲ ❚r♦♥❣ t➟♣

A39

sè

A

A✳

t❛ ❝â

a1 a2 a3 0 ∈ A

8.A28

sè

a1 a2 a3 1 ∈ A

8.A28

sè

a1 a2 a3 2 ∈ A

✳✳✳

✈➔ t÷ì♥❣ tü ❝â

8.A28

sè

a1 a2 a3 9 ∈ A

❱➟② tê♥❣ ❝→❝ ❝❤ú sè ð ❤➔♥❣ ✤ì♥ ✈à ❧➔

A39 .0 + 8.A28 (1 + 2 + 3 + ... + 9) = 20160.
✲ ❚r♦♥❣ t➟♣

A39

sè

A

t❛ ❝â

a1 a2 0a4 ∈ A✳

8.A28

sè

a1 a2 1a4 ∈ A✳

8.A28

sè

a1 a2 2a4 ∈ A✳

sè

a1 a2 9a4 ∈ A✳

✳✳✳

8.A28

◆❣æ ❚❤à ❑❤❛♥❤

✶✵

❑✹✶❇ ❚♦→♥ ✣❍❙P❍◆ ✷


õ tốt ồ

ữỡ

tờ ỳ số ử

A39 .0 + 8.A28 (1 + 2 + 3 + ... + 9) = 20160.
20160
r t A
1a2 a3 a4 , 2a2 a3 a4 , ..., 9a2 a3 a4 A a1 = 0
ờ ỳ số (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 9) A39 = 22680
tờ ừ tt số tr t ủ A
ữỡ tỹ t ụ t ữủ tờ ỳ số tr

3
t õ A9 số

(1 + 10 + 100) 20160 + 1000.22680 = 24917760.

ủ
ởt ủ

k

k

ừ

n

tỷ ở õ tự tỹ ỗ

tỷ ổ t tt tứ

ố ủ
ổ tự t

k

ừ

n

n

tỷ

tỷ

Akn = nk

Akn

ự
k t r k ổ ổ i ồ
tỷ tự i (i = 1, 2, 3, ..., k) ộ ổ õ n tỹ
k
õ t q t õ n ủ k tứ n tỷ
õ ủ

ử

ởt số t ừ tt ỗ ỳ số t

r số ừ
ọ õ số t tt õ số
õ tt số t tt

ớ
ộ ởt số t tt ữủ t t ỳ số

ởt số t ừ tt ỗ ỳ số ợ số
t õ số ồ r số t t t õ t ồ số t
õ tự tỹ õ t trũ tứ số tứ
õ số t tt õ số ủ
ừ
số số t tt õ số
ữỡ tỹ ợ số ỏ t ụ õ

107

A710 = 107

số

số số t

ộ số
tt õ tt số õ tt số t

ổ



P


õ tốt ồ
tt

ú ỵ

12.107

ữỡ

số

r ủ ởt tỷ õ t

k > n ỏ
k n

õ t r trữớ ủ
tỷ ổ ởt

tr ủ ổ


ởt ừ

n tỷ ở õ tự tỹ ỗ n tỷ



n tỷ Pn
Pn = n. (n 1) (n 2) ...2.1 = n!

ố tứ
ổ tự t

ú ỵ

trữớ ủ t ừ ủ

õ ủ

Ann

n

ừ

n

tỷ ừ

n

n = k



tỷ õ

= Pn = n!

ử

ởt tờ õ ồ s ọ õ tờ ự

t

ớ
ởt ự t tữỡ ự ợ ừ
tỷ
õ số tờ ự t

ử

P10 = 10! = 3628800

õ q ọ õ

q

ớ

ố q ộ ừ t
õ

P5 = 5! = 120

ử



é tờ ừ ợ õ ồ s tr õ õ

ỳ ọ õ s ồ s tr t
s
ự
ự ỳ ự

ớ
ổ

P


õ tốt ồ

ữỡ

ự õ
ỳ t õ

9!



r õ t õ
t q t t õ

9!.6!

s ồ s tr t

s ự
õ ỳ õ
õ

2!



6!

8!

r õ t õ
r õ ỳ t õ
t q t t õ

ử

t ủ

2!.6!.8!

s

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

ọ õ t

số tỹ õ ỳ số ổ ởt t tứ số
r tứ t

A



ớ
ồ số tỹ

a1 a2 a3

ởt số t tờ ỳ số ừ õ t

(a1 + a2 + a3 ) 3
t ỗ số tứ số tứ t

A



tờ ừ õ t



{1, 2, 3} {1, 2, 6} {1, 3, 5} {2, 3, 4} {2, 4, 6} {3, 4, 5} {4, 5, 6}
ộ t tr t ữủ 3! số õ ỳ số
ữ t ữủ 3!.7 = 42 số tọ t

ú ỵ

t

ỏ õ ỏ

ỏ ồ ỏ q ỏ
õ t ỏ õ tỷ t t ú
ỏ ợ số tỷ

k>1

ổ tự t ỏ

ử

k số
Qn = (n 1)!

õ ữớ ỗ ộ ỗ ọ õ

s
ữớ ộ
ữớ trỏ ộ

ớ
ộ s ữớ ộ ừ

ổ



P


õ tốt ồ

ữỡ

ữớ õ số s ữớ ộ

P10 = 10!


t số s ữớ ởt trỏ ộ
ỏ ừ tỷ
số s ữớ trỏ ộ ỗ

(10 1)! = 9! = 362880.

ờ ủ
ởt tờ ủ
tứ

n

k

ừ

n

tỷ t ỗ

k

tỷ

tỷ

ởt t ỗ

k

tỷ ỏ ồ ở ổ tự tỹ ỗ

k

tỷ
ố tờ ủ

k

ổ tự t

Cnk =

ừ

n

tỷ

Cnk

n (n 1) ... (n k + 1)
n!
=

k!
k! (n k)!

ự
k = 0 õ t t õ tỷ t ổ tự ú
k 1 t t ủ k ừ n tỷ ữủ t ữ


s

k tỷ ừ t ủ ỗ n tỷ õ Cnk ồ
tự tỹ k tỷ ồ ữủ õ k!
t q t t õ số ủ k ừ n tỷ
Akn = Cnk .k!

ồ t

ứ õ t ữủ

Cnk =

Akn
n!
=
.
k!
k! (n k)!

ờ ủ õ t t q trồ s

t

Cnk = Cnnk

t

k1
k
Cnk = Cn1
+ Cn1

ự
t

ổ

Cnk =

ợ

k = 0, 1, 2, ..., n
ợ

k = 0, 1, 2, ..., n

n!
n!
=
= Cnnk
k! (n k)! (n k)! [n (n k)]!

P


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✤↕✐ ❤å❝

✲ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✷✳

=

❱➼ ❞ö ✶✳

●❱❍❉✿ ❚❤❙✳ ❉÷ì♥❣ ❚❤à ▲✉②➳♥

k−1
k
+ Cn−1
=
Cn−1

(n − 1)!
(n − 1)!
+
(k − 1)! (n − k)! k! (n − k − 1)!

n!
(n − 1)!k + (n − 1)! (n − k)
=
= Cnk .
k! (n − k)!
k! (n − k)!

▼ët tê ❝â ✶✵ ♥❣÷í✐ ❣ç♠ ✻ ♥❛♠ ✈➔ ✹ ♥ú✳ ❈➛♥ ❧➟♣ ✶ ✤♦➔♥ ✤↕✐ ❜✐➸✉

❣ç♠ ✺ ♥❣÷í✐✳ ❍ä✐✿
❛✳ ❈â t➜t ❝↔ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝→❝❤ ❧➟♣❄
❜✳ ❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝→❝❤ ❧➟♣ ✤♦➔♥ ✤↕✐ ❜✐➸✉✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ✸ ♥❛♠ ✈➔ ✷ ♥ú❄

▲í✐ ❣✐↔✐✳
❛✳ ▼é✐ ✤♦➔♥ ✤÷ñ❝ ❧➟♣ ❧➔ ✶ tê ❤ñ♣ ❝❤➟♣ ✺ ❝õ❛ ✶✵ ♥❣÷í✐✳ ❱➻ ✈➟② sè ✤♦➔♥ ✤↕✐

10!
= 252 ✭❝→❝❤✮✳
5!5!
3
❜✳ ❈❤å♥ ✸ ♥❣÷í✐ tø ✻ ♥❛♠✱ ❝â C6 ✭❝→❝❤ ❝❤å♥✮✳
2
❱î✐ ♠é✐ ❝→❝❤ ❝❤å♥ ✸ ♥❣÷í✐ ♥❛♠✱ ❝â C4 ✭❝→❝❤ ❝❤å♥✮ ✷ ♥❣÷í✐
3 2
❚❤❡♦ q✉② t➢❝ ♥❤➙♥ ❝â t➜t ❝↔ C6 C4 = 20.6 = 120 ❝→❝❤ ❧➟♣
❜✐➸✉ ❝â t❤➸ ❝â ❧➔

Cnk =

tø ✹ ♥ú✳
✤♦➔♥ ✤↕✐ ❜✐➸✉

❣ç♠ ✸ ♥❛♠ ✈➔ ✷ ♥ú✳

❱➼ ❞ö ✷✳

❇↕♥ ▲❛♥ ❝â ✶✵ ❜æ♥❣ ❤♦❛✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ✻ ❜æ♥❣ ♠➔✉ ✤ä✱ ✹ ❜æ♥❣

♠➔✉ ✈➔♥❣✳ ❍ä✐ ❜↕♥ ▲❛♥ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛
❛✳ ✺ ❜æ♥❣ ❤♦❛ ❜➜t ❦➻❄
❜✳ ✺ ❜æ♥❣ ❤♦❛✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ✷ ❜æ♥❣ ♠➔✉ ✤ä✱ ✸ ❜æ♥❣ ♠➔✉ ✈➔♥❣❄
❝✳ ✺ ❜æ♥❣ ❤♦❛✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ➼t ♥❤➜t ✶ ❜æ♥❣ ♠➔✉ ✈➔♥❣❄

▲í✐ ❣✐↔✐✳
❛✳ ❙è ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✺ ❜æ♥❣ ❤♦❛ ❜➜t ❦➻ ❝❤➼♥❤ ❧➔ tê ❤ñ♣ ❝❤➟♣ ✺ ❝õ❛ ✶✵✳

5
C10
= 252 ✭❝→❝❤✮✳
2
❧➔ C6 = 15 ✭❝→❝❤✮✳

❱➟② sè ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✺ ❜æ♥❣ ❤♦❛ ❜➜t ❦➻ ❧➔
❜✳ ❙è ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✷ ❜æ♥❣ ❤♦❛ ♠➔✉ ✤ä

❱î✐ ♠é✐ ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✷ ❜æ♥❣ ❤♦❛ ♠➔✉ ✤ä✱ sè ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✸ ❜æ♥❣ ❤♦❛ ♠➔✉
✈➔♥❣ ❧➔✿

C43 = 4

✭❝→❝❤✮✳

❚❤❡♦ q✉② t➢❝ ♥❤➙♥✱ sè ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✺ ❜æ♥❣ ❤♦❛✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ✷ ❜æ♥❣ ♠➔✉
✤ä✱ ✸ ❜æ♥❣ ♠➔✉ ✈➔♥❣ ❧➔

C62 .C43 = 15.4 = 60

✭❝→❝❤✮✳

❝✳

❈→❝❤ ✶
❙è ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✶ ❜æ♥❣ ✈➔♥❣ ✈➔ ✹ ❜æ♥❣ ✤ä ❝â
❙è ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✷ ❜æ♥❣ ✈➔♥❣ ✈➔ ✸ ❜æ♥❣ ✤ä ❝â
❙è ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✸ ❜æ♥❣ ✈➔♥❣ ✈➔ ✷ ❜æ♥❣ ✤ä ❝â

◆❣æ ❚❤à ❑❤❛♥❤

✶✺

C64 .C41 = 60 ✭❝→❝❤✮✳
C63 .C42 = 120 ✭❝→❝❤✮✳
C62 .C43 = 60 ✭❝→❝❤✮✳

❑✹✶❇ ❚♦→♥ ✣❍❙P❍◆ ✷


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✤↕✐ ❤å❝

●❱❍❉✿ ❚❤❙✳ ❉÷ì♥❣ ❚❤à ▲✉②➳♥

❙è ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✹ ❜æ♥❣ ✈➔♥❣ ✈➔ ✶ ❜æ♥❣ ✤ä ❝â

C61 .C44 = 6

✭❝→❝❤✮✳

❱➟② t❤❡♦ q✉② t➢❝ ❝ë♥❣✱ sè ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✺ ❜æ♥❣ ❤♦❛✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ➼t ♥❤➜t ✶
❜æ♥❣ ♠➔✉ ✈➔♥❣ ❧➔

60 + 120 + 60 + 6 = 246✭❝→❝❤✮.

❈→❝❤ ✷
❙è ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✺ ❜æ♥❣ ❤♦❛ ❜➜t ❦➻ ❝â

5
= 252
C10

✭❝→❝❤✮✳

❙è ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✺ ❜æ♥❣ ❤♦❛ tr♦♥❣ ✤â ❦❤æ♥❣ ❝â ❜æ♥❣ ♠➔✉ ✈➔♥❣ ❝â

C65 = 6

✭❝→❝❤✮✳
❱➟② sè ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✺ ❜æ♥❣ ❤♦❛✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ➼t ♥❤➜t ✶ ❜æ♥❣ ♠➔✉ ✈➔♥❣ ❧➔

5
C10
− C65 = 252 − 6 = 246✭❝→❝❤✮.

❱➼ ❞ö ✸✳✭✣➲ t❤✐ ✤↕✐ ❤å❝ ❦❤è✐ ❉ ✲ ✷✵✵✻✮

▼ët ✤ë✐ t❤❛♥❤ ♥✐➯♥ ①✉♥❣ ❦➼❝❤

❝õ❛ ♠ët tr÷í♥❣ ♣❤ê t❤æ♥❣ ❝â ✶✷ ❤å❝ s✐♥❤✱ ❣ç♠ ✺ ❤å❝ s✐♥❤ ❧î♣ ❆✱ ✹ ❤å❝
s✐♥❤ ❧î♣ ❇✱ ✸ ❤å❝ s✐♥❤ ❧î♣ ❈✳ ❈➛♥ ❝❤å♥ ✹ ❡♠ ❤å❝ s✐♥❤ ✤✐ ❧➔♠ ♥❤✐➺♠ ✈ö✱
s❛♦ ❝❤♦ ✹ ❡♠ ❤å❝ s✐♥❤ ♥➔② t❤✉ë❝ ❦❤æ♥❣ q✉→ ✷ tr♦♥❣ ✸ ❧î♣ tr➯♥✳ ❍ä✐ ❝â ❜❛♦
♥❤✐➯✉ ❝→❝❤ ❝❤å♥ ♥❤÷ ✈➟②❄

▲í✐ ❣✐↔✐✳
❙è ❝→❝❤ ❝❤å♥ ✹ ❤å❝ s✐♥❤ tø ✸ ❧î♣ tr➯♥ ❧➔✿

4
C12
= 495

✭❝→❝❤✮✳

❙è ❝→❝❤ ❝❤å♥ ✹ ❤å❝ s✐♥❤ tø ✸ ❧î♣ s❛♦ ❝❤♦ ♠é✐ ❧î♣ ❝â ➼t ♥❤➜t ✶ ❤å❝ s✐♥❤ ❧➔✿
✲ ▲î♣ ❆ ❝❤å♥ ✷ ❜↕♥✱ ❧î♣ ❇ ❝❤å♥ ✶ ❜↕♥✱ ❧î♣ ❈ ❝❤å♥ ✶ ❜↕♥ ❝â

C52 C41 C31 = 120✭❝→❝❤✮.
✲ ▲î♣ ❆ ❝❤å♥ ✶ ❜↕♥✱ ❧î♣ ❇ ❝❤å♥ ✷ ❜↕♥✱ ❧î♣ ❈ ❝❤å♥ ✶ ❜↕♥ ❝â

C51 C42 C31 = 90✭❝→❝❤✮.
✲ ▲î♣ ❆ ❝❤å♥ ✶ ❜↕♥✱ ❧î♣ ❇ ❝❤å♥ ✶ ❜↕♥✱ ❧î♣ ❈ ❝❤å♥ ✷ ❜↕♥ ❝â

C51 C41 C32 = 60✭❝→❝❤✮.
❚❤❡♦ q✉② t➢❝ ❝ë♥❣✱ sè ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✹ ❤å❝ s✐♥❤ tø ✸ ❧î♣ s❛♦ ❝❤♦ ♠é✐ ❧î♣ ❝â
➼t ♥❤➜t ✶ ❤å❝ s✐♥❤ ❝â

120 + 90 + 60 = 270✭❝→❝❤✮.
❱➟② sè ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✹ ❤å❝ s✐♥❤ t❤✉ë❝ ❦❤æ♥❣ q✉→ ✷ tr♦♥❣ ✸ ❧î♣ ❧➔

495 − 270 = 225✭❝→❝❤✮.

❱➼ ❞ö ✹✳✭✣➲ t❤✐ t✉②➸♥ s✐♥❤ ✣❍ ❦✐♥❤ t➳ ❚P ❍ç ❈❤➼ ▼✐♥❤ ✲ ✷✵✵✶✮
▼ët t➟♣ t❤➸ ❣ç♠ ✶✹ ♥❣÷í✐ ❣ç♠ ✻ ♥❛♠ ✈➔ ✽ ♥ú✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ❆♥ ✈➔ ❇➻♥❤✳

◆❣æ ❚❤à ❑❤❛♥❤

✶✻

❑✹✶❇ ❚♦→♥ ✣❍❙P❍◆ ✷


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✤↕✐ ❤å❝

●❱❍❉✿ ❚❤❙✳ ❉÷ì♥❣ ❚❤à ▲✉②➳♥

◆❣÷í✐ t❛ ♠✉è♥ ❝❤å♥ ✶ tê ❝æ♥❣ t→❝ ❣ç♠ ✻ ♥❣÷í✐✳ ❚➻♠ sè ❝→❝❤ ❝❤å♥ tr♦♥❣
♠é✐ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ s❛✉✿
❛✳ ❚r♦♥❣ tê ♣❤↔✐ ❝â ♠➦t ❝↔ ♥❛♠ ✈➔ ♥ú✳
❜✳ ❚r♦♥❣ tê ♣❤↔✐ ❝â ♠ët tê tr÷ð♥❣✱ ✺ tê ✈✐➯♥✱ ❤ì♥ ♥ú❛ ❆♥ ✈➔ ❇➻♥❤ ❦❤æ♥❣
✤ç♥❣ t❤í✐ ❝â ♠➦t tr♦♥❣ tê✳

▲í✐ ❣✐↔✐✳
❛✳ ❙è ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✻ ♥❣÷í✐ ❜➜t ❦➻ tr♦♥❣ ✶✹ ♥❣÷í✐ ❝â

6
C14
= 3003

✭❝→❝❤✮✳

6
❙è ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✻ ♥❣÷í✐ ✤➲✉ ❧➔ ♥ú ❝â C8
❙è ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✻ ♥❣÷í✐ ✤➲✉ ❧➔ ♥❛♠ ❝â

= 28 ✭❝→❝❤✮✳
C66 = 1 ✭❝→❝❤✮✳

❱➟② ✤➸ tr♦♥❣ tê ❝â ♠➦t ❝↔ ♥❛♠ ❝↔ ♥ú t❤➻ sè ❝→❝❤ ❝❤å♥ ❧➔

3003 − (28 + 1) = 2974✭❝→❝❤✮.
❜✳ ❙è ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✻ ♥❣÷í✐ ❜➜t ❦➻ tr♦♥❣ ✶✹ ♥❣÷í✐ ❝â

6
C14
= 3003

✭❝→❝❤✮✳

❈❤å♥ ❆♥ ✈➔ ❇➻♥❤✱ s❛✉ ✤â ❝❤å♥ ✹ ♥❣÷í✐ tr♦♥❣ sè ✶✷ ♥❣÷í✐ ❝á♥ ❧↕✐ ❝â

4
C12

✭❝→❝❤✮✳
❱➟② sè ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✻ ♥❣÷í✐ tr♦♥❣ ✤â ❆♥ ✈➔ ❇➻♥❤ ❝ò♥❣ ❝â ♠➦t ❧➔

4
C12

✭❝→❝❤✮✳

⇒
❧➔

❙è ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✻ ♥❣÷í✐ tr♦♥❣ ✤â ❆♥ ✈➔ ❇➻♥❤ ❦❤æ♥❣ ✤ç♥❣ t❤í✐ ❝â ♠➦t

4
6
= 2508
− C12
C14

✭❝→❝❤✮✳

❱î✐ ✻ ♥❣÷í✐ ✤➣ ❝❤å♥✱ t❛ ❝â ✻ ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✶ tê tr÷ð♥❣ ✈➔ ✺ tê ✈✐➯♥✳
❱➟② sè ❝→❝❤ ❝❤å♥ r❛ ✻ ♥❣÷í✐✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ✶ tê tr÷ð♥❣✱ ✺ tê ✈✐➯♥✱ ❆♥ ✈➔
❇➻♥❤ ❦❤æ♥❣ ✤ç♥❣ t❤í✐ ❝â ♠➦t ❧➔

❱➼ ❞ö ✺✳

4
6
= 15048
− C12
6 C14

✭ ❝→❝❤✮✳

❈❤♦ ✷ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❛ ✈➔ ❜ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ ♥❤❛✉✳ ❚r➯♥ ✤÷í♥❣

t❤➥♥❣ ❛ ❝â ✶✺ ✤✐➸♠✱ tr➯♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❜ ❝â ✽ ✤✐➸♠✳ ❈â t❤➸ ❧➟♣ ✤÷ñ❝ ❜❛♦
♥❤✐➯✉ t❛♠ ❣✐→❝ ♠➔ ❝→❝ ✤➾♥❤ ❝õ❛ ♥â ❧➔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ✤➣ ❝❤♦❄

▲í✐ ❣✐↔✐✳
❚❛♠ ❣✐→❝ ❝â ✷ ✤➾♥❤ t❤✉ë❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❛✱ ✶ ✤➾♥❤ t❤✉ë❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❜ ❝â

2
C15
.C81 = 840

✭❝→❝❤✮✳

❚❛♠ ❣✐→❝ ❝â ✶ ✤➾♥❤ t❤✉ë❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❛✱ ✷ ✤➾♥❤ t❤✉ë❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❜ ❝â

1
C15
.C82 = 420

✭❝→❝❤✮✳

❱➟② t❤❡♦ q✉② t➢❝ ❝ë♥❣ ❝â t❤➸ ❧➟♣ ✤÷ñ❝

840 + 420 = 1260

t❛♠ ❣✐→❝ tø ❝→❝

✤✐➸♠ ✤➣ ❝❤♦✳

❱➼ ❞ö ✻✳

❚r♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝❤♦ ✶ ✤❛ ❣✐→❝ ❧ç✐ ❝â ✷✵ ❝↕♥❤ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳

❛✳ ❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t❛♠ ❣✐→❝ ♠➔ ❝→❝ ✤➾♥❤ ❝õ❛ ♥â trò♥❣ ✈î✐ ✤➾♥❤ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝
tr➯♥❄

◆❣æ ❚❤à ❑❤❛♥❤

✶✼

❑✹✶❇ ❚♦→♥ ✣❍❙P❍◆ ✷


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✤↕✐ ❤å❝

●❱❍❉✿ ❚❤❙✳ ❉÷ì♥❣ ❚❤à ▲✉②➳♥

❜✳ ❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t❛♠ ❣✐→❝ ♠➔ ❝→❝ ✤➾♥❤ ❝õ❛ ♥â trò♥❣ ✈î✐ ✤➾♥❤ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝
tr➯♥ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❝â ❝↕♥❤ ♥➔♦ ❧➔ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝❄
❝✳ ❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ tr♦♥❣ ✤❛ ❣✐→❝ ❧ç✐ ✤â❄

▲í✐ ❣✐↔✐✳
❛✳ ❙è t❛♠ ❣✐→❝ ♠➔ ❝→❝ ✤➾♥❤ ❝õ❛ ♥â trò♥❣ ✈î✐ ✤➾♥❤ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝ ❧➔

3
= 1140✳
C20

❜✳ ❙è t❛♠ ❣✐→❝ ❝â ✷ ❝↕♥❤ ❧➔ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝ ❧➔ ✷✵✳
✭ ❱➻ ✶ t❛♠ ❣✐→❝ ❝â ✷ ❝↕♥❤ ❧➔ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝ s➩ ❝â ✸ ✤➾♥❤ ❧➔ ✸ ✤➾♥❤ ❧✐➯♥

t✐➳♣ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝ ✤â✳✮
❚❛ ✤✐ t➻♠ sè t❛♠ ❣✐→❝ ❝â ✶ ❝↕♥❤ ❧➔ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝✳ ❈❤å♥ ✶ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ✤❛
❣✐→❝ ✈➔ ❜ä ✤✐ ✷ ❝↕♥❤ ❜➯♥✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝á♥ ❧↕✐ ✶✻ ✤➾♥❤✳
❚ø ✶ ❝↕♥❤ ✈➔ ✶✻ ✤➾♥❤ t❛ s➩ ✤÷ñ❝ ✶✻ t❛♠ ❣✐→❝ ❝â ✶ ❝↕♥❤ ❧➔ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ✤❛
❣✐→❝✳ ❚r♦♥❣ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✷✵ ❝↕♥❤ t❛ s➩ ❝â

20.16

t❛♠ ❣✐→❝ ♥❤÷ ✈➟②✳

❱➟② sè t❛♠ ❣✐→❝ ♠➔ ❦❤æ♥❣ ❝â ❝↕♥❤ ♥➔♦ ❧➔ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝ ❧➔

3
C20
− 20 − 20.16 = 1140 − 20 − 320 = 800✭❝→❝❤✮.
❝✳ ❈ù ✷ ✤➾♥❤ ♥è✐ ✈î✐ ♥❤❛✉ s➩ ❝❤♦ t❛ ✶ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣✳

2
C20
✳
2
C20 − 20 = 170

❱➟② tê♥❣ sè ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ✈➔ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝ ❧➔

⇒

❙è ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➣ ❝❤♦ ❧➔

✭✤÷í♥❣ ❝❤➨♦✮✳

✶✳✻ ◆❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥ ✈➔ t❛♠ ❣✐→❝ P❛s❝❛❧
✶✳✻✳✶ ◆❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥
❇✐➸✉ t❤ù❝

(a + b)n

❣å✐ ❧➔ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥✱ ✈î✐

n ∈ N✳

❈æ♥❣ t❤ù❝ s❛✉ ✤➙② ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥

n

n

(a + b) =

Cnk an−k bk ✱

✈î✐

n ∈ N✳

k=0

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❛ ✤✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝æ♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ♥↕♣✳

❚❛ ❝â

(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b✱
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = C20 a2 + C21 ab + C22 b2
●✐↔ sû ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✤ó♥❣ ✈î✐

n = m (m > 2)✱

✭ ❧✉æ♥ ✤ó♥❣✮✳

tù❝ ❧➔

m
m

k m−k k
Cm
a
b .

(a + b) =
k=0

◆❣æ ❚❤à ❑❤❛♥❤

✶✽

❑✹✶❇ ❚♦→♥ ✣❍❙P❍◆ ✷

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✤↕✐ ❤å❝

●❱❍❉✿ ❚❤❙✳ ❉÷ì♥❣ ❚❤à ▲✉②➳♥

❚❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✤ó♥❣ ✈î✐

❚❤➟t ✈➟②

m

n = m + 1✳

(a + b)m+1 = (a + b)m (a + b)

k m−k k
Cm
a
b (a + b)

=
k=0
m

=

m

k m−k+1 k
Cm

a
b +

k=0

k m−k k+1
Cm
a
b

k=0

= am+1 +

m

k m−k+1 k
Cm
a
b +

k=1

= am+1 +

m

m

k−1 m−k+1 k

Cm
a
b + bm+1

k=1

k
k−1
Cm
+ Cm
am−k+1 bk + bm+1

k=1

0
am+1 +
= Cm+1

m

m+1 m+1
k
am−k+1 bk + Cm+1
b
Cm+1

k=1
m+1

=

k
am+1−k bk ✳
Cm+1

k=0
❱➟② ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✤ó♥❣ ✈î✐

n = m + 1✳

❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ♣❤➨♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ q✉② ♥↕♣ t❤➻ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐

❍➺ q✉↔✳

❚ø ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥✿

•

◆➳✉

a=b=1

•

◆➳✉

a = 1, b = −1

❈❤ó þ✳

n ∈ N✳

t❛ ❝â

2n = Cn0 + Cn1 + ... + Cnn ✳

t❛ ❝â

0 = Cn0 − Cn1 + ... + (−1)k Cnk + ... + (−1)n Cnn ✳

❚r♦♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥ ❝â✿

• (n + 1) sè ❤↕♥❣✳
• ❍➺ sè ❝õ❛ ♠é✐ ❤↕♥❣ tû ❝→❝❤ ✤➲✉ ✷ ❤↕♥❣
Cnk = Cnn−k ✳
• ❉♦ ❤➺ sè ❝õ❛ ♠é✐ ❤↕♥❣ tû ❝→❝❤ ✤➲✉ ❤❛✐

tû ✤➛✉ ✈➔ ❝✉è✐ ❧➔ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉

❤↕♥❣ tû ✤➛✉ ✈➔ ❝✉è✐ ❧➔ ❜➡♥❣

♥❤❛✉✱ ♥➯♥ t❛ ❝â t❤➸ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❝→❝ ❤↕♥❣ tû ❝â sè ♠ô ❝õ❛
✈➲ ✵ ✈➔ sè ♠ô ❝õ❛

◆❣æ ❚❤à ❑❤❛♥❤

b

t➠♥❣ ❞➛♥ tø ✵ ✤➳♥

✶✾

n✱

a

❣✐↔♠ ❞➛♥ tø

n

❤♦➦❝ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ✈➔ tê♥❣ sè ♠ô

❑✹✶❇ ❚♦→♥ ✣❍❙P❍◆ ✷