Xây dựng hệ thống bài tập chủ đề hàm số lớp 12 nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

LÊ THỊ NGUYỆT

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CHỦ ĐỀ
HÀM SỐ LỚP 12 NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG
LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC
SINH

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

Hà Nội - 2019


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

LÊ THỊ NGUYỆT

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CHỦ ĐỀ
HÀM SỐ LỚP 12 NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG
LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC
SINH

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

Người hướng dẫn khoa học

ThS. PHẠM THẾ QUÂN

Hà Nội - 2019


LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành quá trình nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận này,
lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Toán,
các thầy cô trong tổ phƣơng pháp đã dạy dỗ em tận tình trong suốt thời
gian em học tập tại trƣờng ĐHSP Hà Nội 2.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo ThS. Phạm Thế
Quân, ngƣời đã trực tiếp dạy dỗ, hƣớng dẫn, chỉ bảo em tận tình trong
suốt thời gian em thực hiện khóa luận tốt nghiệp này. Một lần nữa em
xin chân thành cảm ơn thầy và chúc thầy dồi dào sức khỏe.
Tuy nhiên, do đây là lần đầu tiên em làm quen với công việc
nghiên cứu khoa học, hơn nữa do thời gian và năng lực của bản thân còn
hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em kính mong
nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến quý báu của các thầy cô và các bạn sinh
viên để khóa luận của em đƣợc hoàn thiện hơn.
Một lần nữa xin gửi đến thầy cô và bạn bè lời cảm ơn chân thành
và tốt đẹp nhất!
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày tháng năm 2019
Sinh viên

Lê Thị Nguyệt


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin khẳng định đây là kết quả nghiên cứu của riêng cá nhân tôi
với sự hƣớng dẫn của thầy giáo ThS. Phạm Thế Quân. Đề tài này chƣa
từng đƣợc công bố ở đâu và hoàn toàn không trùng với nghiên cứu của
tác giả khác.
Hà Nội, ngày tháng năm 2019
Sinh viên

Lê Thị Nguyệt


DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT

STT

Viết tắt

Viết đầy đủ

1

GV

Giáo viên

2

HS

Học sinh

3

THPT

Trung học phổ thông

4

TCCN

Trung
nghiệp

5

ĐH

Đại học

6

CĐ

Cao đẳng

7

BT

Bài toán

8

BBT

Bảng biến thiên

cấp

chuyên


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................... 4
1.1. Mục tiêu chung của dạy học môn Toán ..................................................... 4
1.2. Bài tập toán học .......................................................................................... 8
1.2.1. Khái niệm bài tập toán học ..................................................................... 8
1.2.2. Vai trò của bài tập toán học .................................................................... 9
1.2.3. Phân loại bài tập toán học ..................................................................... 11
1.2.4. Phƣơng pháp chung để giải bài tập toán học ........................................ 12
1.3. Năng lực mô hình hóa Toán học .............................................................. 14
1.3.1. Năng lực ................................................................................................ 14
1.3.2. Năng lực mô hình hóa Toán học ........................................................... 14
1.3.3. Quá trình mô hình hóa toán học ............................................................ 16
1.4. Nhu cầu bồi dƣỡng năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh.......... 19
TIỂU KẾT CHƢƠNG 1.................................................................................. 20
CHƢƠNG 2. HỆ THỐNG BÀI TẬP CHỦ ĐỀ HÀM SỐ NHẰM
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC ..................... 21

2.1. Nguyên tắc xây dựng hệ thống bài tập phát triển năng lực mô hình hóa
Toán học........................................................................................................... 21
2.1.1. Bám sát nội dung chƣơng trình hiện hành đảm bảo chuẩn kiến
thức kĩ năng ..................................................................................................... 21
2.1.2. Đảm bảo tính chính xác, khoa học, phù hợp với thực tiễn ................... 28
2.1.3. Phù hợp với trình độ kiến thức, khả năng giải toán của HS ................. 28
2.1.4. Đảm bảo tính sƣ phạm .......................................................................... 28
2.1.5. Đảm bảo tính hệ thống, tính kế thừa ..................................................... 28
2.1.6. Hệ thống bài tập phải giúp HS phát triển năng lực mô hình hóa .......... 28


2.2. Hệ thống bài tập phát triển năng lực mô hình hóa toán học .................... 35
2.2.1. Bài toán xác định hàm số và tính chất từ mô hình thực tế .................... 35
2.2.2. Bài toán thực tế liên quan đến hàm số lũy thừa, hàm số mũ,
hàm số logairt. ................................................................................................. 51
2.3. Một số cách thức sử dụng hệ thống bài tập .............................................. 72
2.3.1. Dùng BT trong việc củng cố, mở rộng đào sâu kiến thức .................... 72
2.3.2. Dùng BT để giao nhiệm vụ về nhà ....................................................... 72
2.3.3. Dùng BT trong giờ ôn tập, luyện tập .................................................... 73
2.3.4. Dùng BT để kiểm tra, đánh giá ............................................................. 74
TIỂU KẾT CHƢƠNG 2.................................................................................. 70
KẾT LUẬN .................................................................................................... 76
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 78


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay, Việt Nam đang hƣớng tới một nền giáo dục và tiến bộ,
hiện đại ngang tầm với các nƣớc trong khu vực và thế giới và trong đó
“học để làm” là một trong bốn trụ cột của giáo dục. Chƣơng I, điều 3,

khoản 2 của Luật Giáo dục năm 2005 nêu rõ: “hoạt động giáo dục phải
thực hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục nhà trƣờng kết
hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội.”
Và trong điều 28, mục 2, chƣơng II, Luật Giáo dục năm 2005 quy
định “Nội dung giáo dục phổ thông phải đảm bảo tính phổ thông, cơ bản,
toàn diện, hƣớng nghiệp và có hệ thống; gắn với thực tiễn cuộc sống,
phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi HS, đáp ứng mục tiêu giáo dục ở mỗi
cấp học.” “Phƣơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực,
tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với từng đặc điểm của
lớp học, môn học, bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, khả năng làm việc
theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tế; tác động
đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS”.
Những quy định trên đã khẳng định giáo dục Việt Nam đang
hƣớng tới mục tiêu đảm bảo học đi đôi với hành, nội dung dạy học gắn
liền với thực tiễn cuộc sống. Giáo dục cần chuyển từ giúp ngƣời học
“học đƣợc cái gì” sang học thì phải “làm đƣợc cái gì”. Nói cách khác quá
trình giáo dục phải tạo điều kiện cho ngƣời học không chỉ có kiến thức
khoa học mà còn vận dụng đƣợc chúng để giải quyết các vấn đề thực
tiễn, nhắc đến đây thì việc phát triển năng lực mô hình hóa cho HS cấp
THPT là điều cần thiết và quan trọng trong quá trình tƣ duy, cách tiếp
cận với kiến thức, cách giải quyết một bài toán cho HS, đòi hỏi HS cần
có sự hiểu biết về cuộc sống, thực tiễn, trang bị cho mình thêm nhiều
kiến thức để vận dụng vào giải toán.
Năng lực mô hình hóa của HS ở THPT vẫn còn hạn chế do vẫn
còn chú trọng vào giải các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập mà
không chú trọng tới các bài toán từ thực tiễn, cuộc sống. Chủ đề “Hàm

1

số” lớp 12 cũng là một chủ đề hay và khó ở THPT, và em thấy rằng việc
phát triển năng lực mô hình hóa thông qua dạy học về chủ đề này ở lớp
12 còn hạn chế, hệ thống bài tập có mô hình hóa chiếm rất ít.
Do đó, em muốn chọn đề tài: “Xây dựng hệ thống bài tập chủ đề
hàm số lớp 12 nhằm phát triển năng lực mô hình hóa Toán học cho
học sinh” làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng hệ thống bài tập hàm số lớp 12 góp phần phát triển năng
lực mô hình hóa cho HS.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu ý nghĩa, vai trò của việc dạy học giải bài tập qua việc
mô hình hóa bài toán về hàm số ở lớp 12.
- Phân tích nội dung chƣơng trình sách giáo khoa về dạy học hàm
số .
- Phân tích các tài liệu giáo dục để làm rõ bản chất năng lực mô
hình hóa Toán học ở ngƣời học.
- Hệ thống các bài tập về hàm số lớp 12 giúp phát triển năng lực
mô hình hóa cho học sinh.
4. Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu
- Đối tƣợng nghiên cứu: Năng lực ngƣời học, khả năng phát triển
mô hình hóa, các bài toán về hàm số ở lớp 12.
- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán về hàm số ở lớp 12.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về phát
triển năng lực mô hình hóa cho học sinh THP, lý luận dạy học môn toán,
sách, báo, tạp chí về khoa học toán học, tâm lý học và các công trình liên
quan đến đề tài.

2

- Phƣơng pháp điều tra, quan sát: Tìm hiểu việc giảng dạy hàm số
cho học sinh ở THPT.
6. Cấu trúc khóa luận
Khoá luận bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và
nội dung chính của khóa luận gồm 2 chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lí luận
Chƣơng 2: Hệ thống bài tập chủ đề hàm số nhằm phát triển năng
lực mô hình hóa toán học

3


CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Mục tiêu chung của dạy học môn Toán
Chƣơng trình giáo dục phổ thông môn Toán hiện hành nhằm giúp
học sinh đạt đƣợc các mục tiêu sau:
a) Trang bị tri thức, kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán
học
Môn toán cần cung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng,
phƣơng pháp toán học phổ thông cơ bản, thiết thực. Học sinh kiến tạo tri
thức, rèn luyện kĩ năng, đó là cơ sở để thực hiện các mục tiêu về các
phƣơng diện khác. Để đạt đƣợc mục tiêu quan trọng này, môn toán cần
trang bị cho HS một hệ thống vững chắc những tri thức, khái niệm,
phƣơng pháp toán học phổ thông cơ bản, hiện đại, sát thực tiễn Việt
Nam, theo tinh thần giáo dục kĩ thuật tổng hợp, đồng thời bồi dƣỡng cho
họ khả năng vận dụng những hiểu biết toán học vào việc học tập các
môn học khác, vào đời sống lao động sản xuất và tạo tiềm lực tiếp thu

khoa học kĩ thuật.
Thứ nhất, cần tạo cho HS kiến tạo những dạng tri thức khác
Tri thức sự vật: một khái niệm, một định lí, một ứng dụng toán
học…
Tri thức phƣơng pháp liên hệ với hai loại phƣơng pháp khác nhau về
bản chất: những phƣơng pháp là những thuật về làm tròn những giá trị gần
đúng.
Tri thức giá trị có nội dung là những mệnh đề đánh giá.
Trong dạy toán ngƣời thầy giáo cần coi trọng đúng mức các dạng
tri thức khác nhau, tạo cơ sở cho việc thực hiện giáo dục toàn diện. Đặc
biệt tri thức phƣơng pháp ảnh hƣởng quan trọng tới việc rèn luyện kĩ
năng, tri thức giá trị liên hệ mật thiết với giáo dục tƣ tƣởng chính trị.

4


Thứ hai, cần rèn luyện cho HS những kĩ năng trên bình diện khác
nhau:
Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán học, kĩ năng vận dụng
tri thức toán vào các môn khác, kĩ năng vận dụng toán vào đời sống.
Thứ ba, cần có ý thức để HS phối hợp giữa chiếm lĩnh tri thức và
rèn luyện kĩ năng thể hiện ở 6 chức năng trí tuệ từ thấp đến cao:
Biết ghi nhớ và tái hiện thông tin; thông hiểu giao tiếp sử dụng
thông tin đã có; vận dụng áp dụng các thông tin vào tình huống mới mà
không cần sự gợi ý; phân tích chia thông tin thành các bộ phận và thiết
lập sự phụ thuộc lẫn nhau giữa chúng; tổng hợp cải tổ các thông tin
thành các nguồn khác nhau, trên cơ sở đó tạo nên mâu thuẫn mới; đánh
giá: phán đoán về giá trị của một tƣ tƣởng, phƣơng pháp, tài liệu nào đó.
Thứ tư, cần làm nổi bật những mạch tri thức, khái niệm xuyên suốt
chương trình

Dạy học môn toán không chỉ dừng lại ở việc truyền thụ những tri
thức đơn lẻ, rèn luyện những kĩ năng riêng biệt cho HS, mà phải thƣờng
xuyên chú ý những hệ thống tri thức, kĩ năng tạo thành những mạch xuyên
suốt chƣơng trình.
b) Phát triển năng lực trí tuệ
Thứ nhất, rèn luyện tư duy logic và chính xác
Làm cho HS nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết
logic: và, hoặc, nếu, thì…
Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa.
Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc
lập tiến hành chứng minh.
Thứ hai là phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng
Làm cho HS quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán
nhƣ xét tƣơng tự, khái quát hóa…

5


Tập luyện cho HS khả năng hình dung đƣợc những đối tƣợng,
quan hệ không gian và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng
lời hay những hình phẳng, từ những biểu tƣợng của những đối tƣợng đã
biết có thể hình thành, sáng tạo ra hình ảnh của đối tƣợng chƣa biết hoặc
không có trong đời sống.
Thứ ba, rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản: phân tích, tổng
hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa
Phân tích là tách một hệ thống thành những vật, một vật thành
những bộ phận riêng lẻ.
Tổng hợp là liên kết những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều
vật thành một hệ thống.
Trừu tƣợng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc

điểm không bản chất.
Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tƣợng sang một tập
hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm
chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát.
Thứ tư, hình thành những phẩm chất trí tuệ
Tính linh hoạt: thể hiện ở khả năng chuyển hƣớng quá trình tƣ
duy.
Tính độc lập: thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tự
mình xây dựng phƣơng hƣớng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm
tra và hoàn thiện kết quả đạt đƣợc. Tính độc lập liên hệ mật thiết với
tính phê phán của tƣ duy.
c) Giáo dục chính trị tƣ tƣởng phẩm chất và phong cách lao
động khoa học
Thứ nhất, cần giáo dục lòng yêu nước, yêu CNXH
Đƣa những số liệu về công cuộc xây dựng và bảo vệ tổ quốc vào
những đề toán. Khai thác một số dự kiện về lịch sử toán học liên quan tới

6


truyền thống dân tộc. Giáo dục lòng tự hào về tiềm năng toán học của
dân tộc.
Thứ hai, cần bồi dưỡng cho HS thế giới quan duy vật biện chứng
Làm cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn, cụ thể
là thấy rõ toán học là một dạng phản ánh thực tế khách quan, thấy rõ
nguồn gốc, đối tƣợng và công cụ của toán học.
Làm cho HS ý thức đƣợc những yếu tố của phép biện chứng, sự
thống nhất và đấu tranh giữa các mặt độc lập, sự chuyển hóa từ thay đổi
số lƣợng sang chất lƣợng…
Thứ ba, cần rèn luyện phẩm chất đạo đức, phong cách lao động

khoa học cho HS: tính cẩn thận, chính xác, tính kế hoạch, kỉ luật, kiên trì
vƣợt khó, khả năng hợp tác lao động, thái độ phê phán, thói quen tự kiểm
tra..
Thứ tư, giáo dục thẩm mĩ qua môn toán
Môn toán có những cơ hội để HS cảm nhận và thể hiện cái đẹp
theo nghĩa thông thƣờng trong đời sống. Những hình vẽ đẹp trong SGK,
cách trình bày sáng sủa của thầy,…có tác dụng bồi dƣỡng óc thẩm mĩ,
làm cho HS biết thƣởng thức cái đẹp, sáng tạo cái đẹp.
d) Tạo cơ sở để HS tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao
động
Môn toán cần tạo cơ sở để HS tiếp tục học ĐH, CĐ,
TCCN,…hoặc đi vào cuộc sống lao động theo định hƣớng phân ban: ban
KHTN và ban KHXH và nhân văn. Tạo tiềm lực để ngƣời học có thể
thích ứng với những con đƣờng sự nghiệp khác nhau, với những hoàn
cảnh khác nhau và có thể thực hiện giáo dục suốt đời.
Học để biết là nắm đƣợc những công cụ để hiểu, học để làm là
phải có khả năng hoạt động sáng tạo tác động vào môi trƣờng của mình.
Học để chung sống là tham gia hợp tác với những ngƣời khác
trong mọi hoạt động của con ngƣời. Học để làm ngƣời là sự tiến triển
quan trọng nảy sinh từ ba loại hình học tập trên, nhằm phát huy tốt hơn

7


nhân cách của mình và sẵn sàng hành động với một khả năng ngày càng
gia tăng về các mặt tự chủ, suy xét và về trách nhiệm cá nhân.
Mục tiêu chung của dạy học môn toán trong chƣơng trình mới
2018
Theo chƣơng trình Giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018,
chƣơng trình môn Toán giúp học sinh đạt đƣợc các mục tiêu chủ yếu

sau:
Hình thành và phát triển năng lực Toán học bao gồm các thành tố
cốt lõi sau: năng lực tƣ duy và lập luận Toán học; năng lực mô hình hóa
Toán học; năng lực sử dụng công cụ, phƣơng tiện Toán học. Đồng thời
góp phần hình thành và phát triển năng lực chung cốt lõi.
Góp phần thực hiện các quy định về phẩm chất của chƣơng trình
tổng thế theo các mức độ phù hợp với môn Toán ở từng cấp học.
Có kiến thức, kỹ năng Toán học phổ thông, cơ bản, thiết yếu; phát
triển khả năng giải quyết vấn đề có tính tích hợp liên môn giữa môn
Toán và các môn học khác nhƣ Vật lý, Hóa học, Sinh học, Địa lý, Tin
học, Công nghệ, Lịch sử, Nghệ thuật,…; tạo cơ hội để học sinh đƣợc trải
nghiệm, áp dụng Toán học vào thực tiễn.
Có hiểu biết tƣơng đối tổng quát về sự hữu ích của Toán học đối
với từng ngành nghề liên quan để làm cơ sở định hƣớng nghề nghiệp,
cũng nhƣ có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề liên quan
đến Toán học trong suốt cuộc đời.
Nhƣ vậy, ở cả hai chƣơng trình môn toán đều góp phần giúp học
sinh đạt đƣợc 4 mục tiêu cơ bản. Tuy nhiên, theo chƣơng trình Giáo dục
phổ thông môn toán mới mục tiêu hình thành và phát triển năng lực Toán
học đƣợc quan tâm, chú trọng và đặt lên hàng đầu.
1.2. Bài tập toán học
1.2.1. Khái niệm bài tập toán học
Bài toán đƣợc hiểu là: “Tất cả những câu hỏi cần giải đáp về một
kết quả chƣa biết cần tìm bắt đầu từ một số dữ kiện, hoặc về một phƣơng

8


pháp cần khám phá, mà theo phƣơng pháp này sẽ đạt đƣợc kết quả đã
biết”. G.Pôlya lại viết: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm hiểu một

cách có ý thức phƣơng tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy
rõ ràng nhƣng không thể đạt đƣợc ngay”.
Từ các cách hiểu trên ta thấy rằng: Bài toán là yêu cầu cần có để
đạt đƣợc mục đích nào đó. Với cách hiểu này bài toán đồng nghĩa với đề
toán, bài tập, câu hỏi, vấn đề, nhiệm vụ,... Mục đích nêu trong bài toán
có thể là một tập hợp bất kỳ (của các số, các hình, các biểu thức,...) hoặc
sự đúng đắn của một hoặc nhiều kết luận...
Nhƣ vậy, bài tập toán học là bài toán trong đó có những yêu cầu
đặt ra cho ngƣời học nhằm đạt đƣợc mục đích dạy học nào đó.
1.2.2. Vai trò của bài tập toán học
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán. Thông qua
giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm
cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phƣơng pháp,
những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến
trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn
ngữ. Cụ thể, bài tập toán học có vai trò
a) Củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh
Khi giải một bài tập học sinh phải đi từ việc nghiên cứu đề bài đến
tìm đáp án. Để làm đƣợc điều này học sinh phải trải qua một quá trình
quan sát, tổng hợp, phán đoán...
Quá trình giải bài tập không phải bắt đầu từ con số “0” mà phải
dựa vào kinh nghiệm thực tiễn, những kiến thức mà học sinh đã tích lũy
từ trƣớc. Các em phải nhớ, hiểu và vận dụng đƣợc những kiến thức và
kinh nghiệm đó thì mới giải đƣợc bài tập.
Nhƣ vậy, khi giải một bài tập toán học không những chỉ các kiến
thức đã có trong bài tập, mà cả một hệ thống kiến thức liên quan tới bài
tập cũng đƣợc củng cố qua lại nhiều lần...Qua đó, ngƣời học hiểu sâu
hơn kiến thức, đồng thời giúp cho việc hoàn chỉnh hay bổ sung cho

9

những tri thức nào đó đã đƣợc trình bày trong phần lý thuyết và biết vận
dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết những tình huống cụ
thể.
Thông qua giải bài tập toán học, học sinh cũng đƣợc rèn luyện các
kĩ năng, kĩ xảo ở các khâu khác nhau của quá trình giải bài tập, kể cả kĩ
năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
b) Rèn luyện phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh
Bài tập toán học giúp phát triển năng lực tƣ duy, giúp học sinh
năng động, sáng tạo trong học tập, phát huy khả năng suy luận tích cực,
đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ và hình thành những phẩm
chất tƣ duy khoa học. Trong bất kì bài tập nào cũng có mâu thuẫn, những
điều đã biết và những điều chƣa biết. Khi giải bài tập, trí tuệ của học sinh
phải vận động đi từ những điều kiện đã biết để tìm ra câu trả lời. Hoạt
động trí tuệ của học sinh rất đa dạng: quan sát, vận dụng trí nhớ, các thao
tác tƣ duy nhƣ so sánh, tổng hợp, khái quát, suy luận... cho nên sau mỗi
lần giải bài tập thành công, niềm tin và năng lực của học sinh càng đƣợc
phát triển và củng cố. Đó là một trong những cơ sở quan trọng để các em
mạnh dạn bƣớc vào con đƣờng sáng tạo.
c) Rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức Toán học cho học
sinh
Một trong những yêu cầu của việc nắm vững kiến thức của bất cứ
bộ môn khoa học nào là hiểu, nhớ, vận dụng các kiến thức của bộ môn
khoa học đó vào giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết đƣợc
các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó.
Hơn nữa, mỗi bài tập toán học là giá mang hoạt động liên hệ với
những nội dung Toán học nhất định, là một phƣơng tiện cài đặt nội dung
để hoàn chỉnh hay bổ sung cho tri thức nào đó đã đƣợc trình bày trong
phần lý thuyết. Chính vì thế mà thông qua việc giải quyết các bài tập

toán học, học sinh sẽ đƣợc rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức
Toán học, đồng thời mở rộng sự hiểu biết một cách sinh động, phong
phú.

10


d) Bồi dƣỡng, phát triển nhân cách cho học sinh
Điểm cơ bản trong tính cách của con ngƣời là mọi hoạt động đều
có mục đích rất rõ ràng. Khi giải một bài toán ta luôn có định hƣớng mục
đích rõ rệt, vì vậy việc giải toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện
năng lực hoạt động của con ngƣời: rèn luyện đức tính chính xác, kiên
nhẫn, trung thực, lòng say mê học tập và niềm tin vào khoa học, sức
mạnh của bản thân. Niềm tin này có đƣợc là do trong quá trình độc lập
vận dụng kiến thức, độc lập tìm đƣợc đáp số đã giúp các em có những
phƣơng pháp giải quyết đúng đắn các vấn đề đặt ra, nhất là đối với bài
toán khó, các em phải vƣợt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn nại
và nhiều khi phải quyết tâm rất lớn mới giải đƣợc.
Nói theo cách của G.Pôlya là: Khát vọng và quyết tâm giải đƣợc
một bài toán là nhân tố chủ yếu của mọi quá trình giải toán. Do vậy, ta
thấy rằng: Hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu của quá trình
hình thành và phát triển nhân cách con ngƣời.
1.2.3. Phân loại bài tập toán học
Dựa theo nhiều cơ sở có thể chia bài tập toán học ra thành nhiều loại
nhỏ.
a) Phân loại theo hình thức bài tập
- Bài tập chứng minh: Là bài tập mà kết luận của nó đã đƣợc đƣa
ra một cách rõ ràng trong đề bài.
- Bài tập tìm tòi: Là bài tập trong đó kết luận của nó chƣa có sẵn
trong đề bài.

b) Phân loại theo phƣơng pháp giải bài tập
- Bài tập có algôrit giải: Là bài tập mà phƣơng pháp giải của nó
theo một algôrit nào đó hoặc mang tính chất algôrit nào đó.
- Bài tập không có algôrit giải: Là bài tập mà phƣơng pháp giải
của nó không theo một algôrit nào đó hoặc không mang tính chất algôrit
nào đó.

11


c) Phân loại theo nội dung bài tập
- Bài tập số học.
- Bài tập đại số.
- Bài tập hình học.
d) Phân loại theo ý nghĩa bài tập
- Bài tập củng cố kĩ năng: Là bài tập nhằm củng cố trực tiếp ngay
sau khi học hoặc một vài kiến thức hay kĩ năng nào đó.
- Bài tập phát triển tƣ duy: Là bài tập nhằm củng cố một hệ thống
các kiến thức cũng nhƣ kĩ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả
năng tƣ duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.
1.2.4. Phƣơng pháp chung để giải bài tập toán học
Trong môn toán ở trƣờng phổ thông có nhiều bài toán chƣa có
hoặc không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào
để giải tất cả các bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học
giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách
thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán.
Dạy học giải bài tập toán học không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho
học sinh lời giải bài toán. Biết lời giải của bài toán không quan trọng
bằng làm thế nào để giải đƣợc bài toán. Để làm tăng hứng thú học tập
của học sinh, phát triển tƣ duy, thầy giáo cần phải hình thành cho học

sinh một quy trình chung, phƣơng pháp tìm lời giải cho một bài toán.
Theo Pôlya, phƣơng pháp chung để giải một bài toán thƣờng đƣợc
tiến hành theo 4 bƣớc nhƣ sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
- Phát biểu đề bài dƣới những dạng hình thức khác nhau để hiểu rõ
nội dung bài toán.
- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả
đề bài.

12


Bước 2: Tìm cách giải
- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm
đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh,
liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài
toán cần giải với một bài toán cũ tƣơng tự, một trƣờng hợp riêng, một
bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng
những phƣơng pháp đặc thù với từng dạng toán nhƣ chứng minh phản
chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích...
- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bƣớc thực hiện hoặc
đặc biệt hoá kết quả tìm đƣợc hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức
có liên quan,...
- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn đƣợc cách
giải hợp lí nhất.
Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã đƣợc phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành
một chƣơng trình gồm các bƣớc theo một trình tự thích hợp và thực hiện các
bƣớc đó.

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải
- Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
- Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc
vấn đề.
Công việc kiểm tra lời giải của một bài toán có ý nghĩa vô cùng
quan trọng. Trong nhiều trƣờng hợp, sự kết thúc của bài toán này lại mở
đầu cho một bài toán khác. Vì vậy, cần phải luyện tập cho học sinh có
thói quen kiểm tra lại bài toán, xét xem có sai lầm hay thiếu sót gì
không, nhất là những bài toán có đặt điều kiện hoặc bài toán đòi hỏi phải
biện luận. Việc kiểm tra lại lời giải yêu cầu học sinh thực hiện một cách
thƣờng xuyên.

13


1.3. Năng lực mô hình hóa Toán học
1.3.1. Năng lực
Các nhà tâm lí học cho rằng, năng lực là sự kết hợp của các kiến
thức, kĩ năng và thái độ sẵn có hoặc ở dạng tiềm năng của một cá nhân,
là tổng hợp đặc điểm thuộc tính tâm lí của cá nhân phù hợp với yêu cầu
đặc trƣng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó
có hiệu quả cao. Hiện nay, quan niệm chung về năng lực đƣợc nhiều
ngƣời thừa nhận là: “Năng lực là thuộc tính cá nhân đƣợc hình thành,
phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép
con ngƣời huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá
nhân khác nhƣ hứng thú, niềm tin, ý chí,…thực hiện thành công một loại
hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ
thể” (Chương trình Giáo dục phổ thông tổng thể (tháng 7/2017)). Nhƣ
vậy:

- Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập,
rèn luyện của ngƣời học.
- Năng lực là sự tích hợp của kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính
cá nhân khác nhƣ hứng thú, niềm tin, ý chí,…
- Năng lực đƣợc hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể
hiện ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn.
Khái quát lại năng lực có thể hiểu là sự kết hợp của các kiến thức,
kĩ năng, phẩm chất, thái độ và hành vi của một cá nhân để thực hiện một
công việc có hiệu quả. Năng lực không chỉ bao hàm kiến thức, kĩ năng,
kĩ xảo mà còn cả giá trị, động cơ, đạo đức và hành vi xã hội.
1.3.2. Năng lực mô hình hóa Toán học
Mô hình hóa toán học: Một mô hình toán học là một cấu trúc toán
học mô tả gần đúng đặc trƣng của một hiện tƣợng nào đó, một mô hình
hóa toán học bao gồm các đối tƣợng toán học và mối quan hệ giữa các
đối tƣợng đó.
Mô hình hoá toán học cho phép HS kết nối toán học nhà trƣờng
với thế giới thực, chỉ ra khả năng áp dụng các ý tƣởng toán, đồng thời

14


cung cấp một bức tranh rộng hơn, phong phú hơn về toán học, giúp việc
học toán trở nên ý nghĩa hơn.
a) Năng lực mô hình hóa toán học
Thể hiện qua việc thực hiện đƣợc các hành động:
- Sử dụng các mô hình toán học (gồm công thức, phƣơng trình,
bảng biểu, đồ thị,…) để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán
thực tế.
- Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình đƣợc thiết lập.
- Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến

mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp.
b) Mô tả đƣờng phát triển năng lực mô hình hóa toán học qua
từng cấp học [1]
Năng lực mô
hình hóa
toán học

Cấp tiểu học

Cấp trung
học cơ sở

Cấp trung học
phổ thông

- Lựa chọn
đƣợc
các
phép toán,
công thức số
học, sơ đồ,
bảng biểu,
hình vẽ để
trình
bày,
diễn đạt (nói
hoặc
viết)
đƣợc các nội
dung,

ý

- Sử dụng
đƣợc các
mô
hình
hóa
toán
học (gồm
công thức
toán học,
sơ đồ, bảng
biểu, hình
vẽ, phƣơng
trình, hình
biểu

- Thiết lập
đƣợc mô hình
hóa toán học
(gồm
công
thức, phƣơng
trình, sơ đồ,
hình vẽ, bảng
biểu,
đồ
thị,…) để mô
tả tình huống
đặt ra trong

một số bài

Thể hiện qua
việc:
- Xác định
đƣợc
mô
hình
hóa
toán
học
(gồm công
thức,
phƣơng
trình, bảng
biểu,
đồ
thị,…) cho
tình huống
xuất
hiện
trong
bài

15


toán
tiễn.

thực

- Giải quyết
đƣợc những
vấn đề toán
học
trong
mô
hình
đƣợc
thiết
lập.
- Thể hiện và
đánh
giá
đƣợc lời giải
trong
ngữ
cảnh thực tế
và cải tiến
đƣợc
mô
hình
nếu
cách
giải
quyết không
phù hợp.

tƣởng

của
tình huống
xuất
hiện
trong
bài
toán
thực
tiễn
đơn
giản.

diễn,…) để
mô tả tình
huống xuất
hiện trong
một số bài
toán thực
tiễn không
quá phức
tạp.

- Giải quyết
đƣợc những
bài toán xuất
hiện từ sự
lựa
chọn
trên.

toán thực tiễn.

- Giải quyết
đƣợc những
vấn đề toán
học trong mô
hình
đƣợc
thiết lập.
- Lí giải đƣợc
tính đúng đắn
của lời giải
(những
kết
luận thu đƣợc
từ các tính
toán là có ý
nghĩa,
phù
hợp với thực
tiễn
hay
không). Đặc
biệt, nhận biết
đƣợc
cách
đơn giản hóa,
cách
điều
chỉnh những

yêu cầu thực
tiễn (xấp xỉ,
bổ sung thêm
giả thiết, tổng
quát hóa,…)
để đƣa đến
những
bài

- Nêu đƣợc
câu trả lời
cho
tình
huống xuất
hiện trong
bài toán thực
tiễn.

16


toán
đƣợc.

giải

1.3.3. Quá trình mô hình hóa toán học
- Để vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết tình huống
của thực tế, ngƣời ta phải toán học hóa tình huống đó, tức là xây dựng
một mô hình hóa toán học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình

huống. Quá trình này đƣợc gọi là mô hình hóa toán học.
- Quá trình mô hình hóa Toán học:
Bước 1: Hiểu tình huống thực tế, xác định các yếu tố có ý nghĩa
quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập các qui luật mà chúng ta phải
tuân theo, có thể đƣa vào các điều kiện và giả thiết phù hợp, có thể lý
tƣởng hóa, đơn giản hóa vấn đề từ đó tạo ra một mô hình thực tế của tình
huống (mô hình trung gian).
Bước 2: Mô hình thực tế đƣợc toán học hóa, tức là đƣợc thông
dịch sang ngôn ngữ toán học để dẫn đến một mô hình toán học của tình
huống ban đầu. Chúng ta nên lƣu ý rằng là ứng với vấn đề đang xem xét
có thể có nhiều mô hình hóa toán học khác nhau, việc xác định, đƣa ra
mô hình phụ thuộc vào việc chúng ta đánh giá yếu tố nào của hệ thống
và mối liên hệ nào giữa chúng là quan trọng.
Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết
bài toán hình thành ở bƣớc 2. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải
chọn hoặc xây dựng phƣơng pháp giải cho phù hợp.
Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu đƣợc trong
bƣớc 3. Ở đây ngƣời ta phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và
kết quả tính toán với vấn đề thực tế. Chúng ta lƣu ý rằng: đây là một
bƣớc quan trọng giúp cho ngƣời thực hiện nhận ra rằng giải pháp đó liên
quan chặt chẽ đến ngữ cảnh. Đây cũng là bƣớc quan trọng khi mà sự
mạnh yếu của mô hình đƣợc xem xét, thảo luận.
Bước 5: Báo cáo giải thích, dự đoán kết quả. Đây là một bƣớc đòi
hỏi ngƣời thực hiện cần có kinh nghiệm sử dụng ngôn ngữ để trình bày
những ý tƣởng toán học. Ở đây chúng ta sẽ phản ánh đƣợc chất lƣợng tƣ

17


duy của ngƣời thực hiện. Các báo cáo nên bao gồm các tài liệu về quá

trình tiến hành, cũng nhƣ các dự đoán và các câu trả lời cuối cùng.
Ta thể hiện bằng sơ đồ quy trình mô hình hóa toán học nhƣ sau:

Trên đây là năm bƣớc của quá trình mô hình hóa toán học, lƣu ý
rằng có nhiều biến thể của quy trình này. Ở bƣớc 4, có thể xảy ra một
trong hai khả năng:
Khả năng thứ nhất: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với
thực tế. Khi đó chỉ cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình hóa toán
học đã xây dựng, các thuật toán đã sử dụng, kết quả thu đƣợc.
Khả năng thứ hai: Mô hình và kết quả không phù hợp với thực tế.
Lúc này phải tìm nguyên nhân. Có thể đặt ra những câu hỏi sau:
Các kết quả tính ở bƣớc thứ ba có đủ độ chính xác không? Để trả
lời, ngƣời ta phải kiểm tra lại các thuật toán, các quy trình, các tính toán
đã sử dụng. Ở đây, ngƣời ta tạm chấp nhận rằng mô hình toán học (và
cũng có nghĩa là mô hình trung gian) xây dựng nhƣ vậy là thỏa đáng.
Mô hình toán học xây dựng nhƣ thế đã thỏa đáng chƣa? Nếu chƣa
thì phải xây dựng lại. Với loại câu hỏi này, ta tạm chấp nhận mô hình
trung gian đã xây dựng, nhƣng phải xem xét lại mô hình toán học đã lựa
chọn.
Mô hình trung gian xây dựng có phản ánh đƣợc đầy đủ hiện tƣợng
thực tế không? Nếu không thì cần phải rà soát lại bƣớc một có yếu tố,
qui luật nào bị bỏ sót không. [5-tr.23]

18