Xây dựng hệ thống bài tập toán học dạy học chủ đề “quan hệ vuông góc trong không gian” ở lớp 11 trường THPT theo định hướng phát triển năng lực học sinh

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

======

NGÔ THỊ HƢỚNG

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC
CHỦ ĐỀ “QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG
GIAN” Ở LỚP 11 TRƢỜNG THPT THEO ĐỊNH HƢỚNG
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

HÀ NỘI - 5/2019


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

======

NGÔ THỊ HƢỚNG

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC
CHỦ ĐỀ “QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG
GIAN” Ở LỚP 11 TRƢỜNG THPT THEO ĐỊNH HƢỚNG
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

ThS. NGUYỄN VĂN HÀ

HÀ NỘI - 5/2019


LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận đƣợc
sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phƣơng pháp dạy học và các
bạn sinh viên trong khoa. Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các
thầy, cô trong tổ phƣơng pháp dạy học và đặc biệt là thầy giáo Nguyễn Văn
Hà- ngƣời đã định hƣớng, chọn đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn
thiện khóa luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn, khóa luận không tránh khỏi có những
hạn chế và thiếu sót nhất định. Em kính mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến
của quý thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em đƣợc hoàn thiện
hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2019
Sinh viên

Ngô Thị Hƣớng


LỜI CAM ĐOAN
Sinh viên lớp: K41D- Sƣ phạm Toán
Trƣờng: ĐHSP Hà Nội 2
Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng em dƣới sự

chỉ đạo của giáo viên hƣớng dẫn. Và nó không trùng với kết quả của bất cứ
tác giả nào khác.
Hà Nội, tháng 5 năm 2019
Sinh viên

Ngô Thị Hƣớng


MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU ..................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài ...........................................................................................1
2.Mục đích nghiên cứu .....................................................................................1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................1
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ...............................................................2
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN..........................................3
1.1 Năng lực và năng lực Toán học .................................................................3
1.1.1 Năng lực ..................................................................................................3
1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh .............................................................5
1.2. Dạy học bài tập Toán học ở trƣờng phổ thông .........................................6
1.2.1 Bài toán và lời giải của bài toán .............................................................6
1.2.2. Ý nghĩa của việc giải toán ................................................................... 10
1.2.3. Phân loại bài toán ............................................................................... 14
1.2.4. Phƣơng pháp tìm lời giải bài toán (Bốn bƣớc giải toán của G.POLIA)17
1.3 Định hƣớng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trƣờng
phổ thông ....................................................................................................... 23
1.3.1. Dạy học theo hƣớng tiếp cận nội dung và hƣớng tiếp cận năng lực ... 23
1.3.2. Dạy học môn toán theo định hƣớng phát triển năng lực học sinh ...... 24
Tiểu kết chƣơng 1.......................................................................................... 27
CHƢƠNG 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC

CHỦ ĐỀ “QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN” Ở LỚP 11
TRƢỜNG THPT THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC
SINH.............................................................................................................. 28


2.1. Phân tích nội dung dạy học chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian ở
lớp 11 trƣờng THPT. ..................................................................................... 28
2.1.1. Nội dung chƣơng trình dạy học quan hệ vuông góc trong không gian.28
2.1.2 Nhiệm vụ dạy học nội dung quan hệ vuông góc trong không gian ..... 28
2.2 Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề quan hệ
vuông góc trong không gian theo định hƣớng phát triển năng lực học sinh 29
2.2.1. Vectơ trong không gian, sự đồng phẳng của các vecto ...................... 29
2.2.2. Hai đƣờng thẳng vuông góc ................................................................ 34
2.2.3. Đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng .............................................. 38
2.2.4. Hai mặt phẳng vuông góc ................................................................... 47
2.2.5. Khoảng cách ........................................................................................ 53
Tiểu kết chƣơng 2.......................................................................................... 59
KẾT LUẬN ................................................................................................... 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 62


LỜI MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Hình học là một phần không thể thiếu trong Toán học nhƣng đó cũng là
học phần mà học sinh gặp khó khăn nhiều nhất trong việc tiếp nhận kiến thức
và giải các bài tập. Đặc biệt là hình học không gian. Chính vì vậy đòi hỏi giáo
viên phải có phƣơng pháp dạy học phù hợp, phƣơng pháp dạy học theo hƣớng
phát triển năng lực học sinh đang là lựa chọn số một của nhiều nƣớc trên thế
giới. Phƣơng pháp này giúp phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo
tự tìm ra kiến thức của học sinh. Qua quá trình đi tìm hiểu một số học sinh

của từng vùng thì tôi nhận thấy kiến thức và bài tập về quan hệ vuông góc ở
lớp 11 đang là trở ngại lớn của học sinh.
Chính vì vậy, tôi đã chọn đề tài: Xây dựng hệ thống bài tập Toán học
dạy học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” ở lớp 11 trường
THPT theo định hướng phát triển năng lực học sinh. Với mong muốn hệ
thống bài tập này có thể giúp giáo viên trong giảng dạy và học sinh trong việc
củng cố kiến thức về phần này.
2.Mục đích nghiên cứu
Định hƣớng chung phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán
ở trƣờng phổ thông.
Xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề “Quan hệ vuông
góc trong không gian” ở lớp 11 trƣờng THPT theo hƣớng phát triển năng lực
học sinh, góp phần nâng cao chất lƣợng và hiệu quả của việc dạy học môn
toán ở phổ thông hiện nay.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về cơ sở lí luận và thực tiễn:
+ Năng lực và năng lực toán học của học sinh.
+ Định hƣớng phát triển năng lƣc của học sinh trong dạy học toán ở
trƣờng phổ thông.

1


+ Dạy học bài tập Toán học và nội dung dạy học bài tập Toán học
trong chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” ở lớp 11 trƣờng THPT.
- Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề
“Quan hệ vuông góc trong không gian” ở lớp 11 trƣờng THPT theo hƣớng
phát triển năng lực học sinh.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Các bài tập Toán học theo hƣớng phát triển năng lực học sinh Toán

học thuộc chủ đề của chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” ở lớp 11
trƣờng THPT.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận về năng lực, năng lực toán học của học sinh, về
phƣơng pháp dạy học khái niệm môn toán.
Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo phƣơng
pháp dạy học theo định hƣớng phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán
học và năng lực vận dụng Toán học của học sinh.
Nghiên cứu nội dung chƣơng trình, sách giáo khoa môn Toán thuộc
chủ đề của chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” ở lớp 11 trƣờng
THPT.

2


CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 Năng lực và năng lực Toán học
1.1.1 Năng lực
Theo quan điểm của những nhà tâm lý học năng lực là tổng hợp các
đặc điểm, thuộc tính tâm lý của cá nhân phù hợp với yêu cầu, đặc trƣng của
một hoạt động, nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao.
Năng lực của con ngƣời có đặc điểm sau:
+ Năng lực luôn gắn với một hoạt động cụ thể.
+ Năng lực đƣợc hình thành và bộc lộ trong hoạt động.
+ Năng lực chịu sự chi phối của các yếu tố bẩm sinh di truyền, môi
trƣờng và hoạt động của bản thân.
Nhƣ vậy, năng lực của con ngƣời hình thành trên cơ sở chi phối nhiều
bởi các yếu tố tƣ chất của cá nhân, nhƣng năng lực của con ngƣời không phải
hoàn toàn do tự nhiên mà có, phần lớn do công tác, do tập luyện mà hình

thành phát triển năng lực.
Tâm lý học chia năng lực thành các dạng khác nhau nhƣ năng lực
chung và năng lực chuyên môn.
+ Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác
nhau nhƣ năng lực phán xét tƣ duy lao động, năng lực khái quát hoá, năng lực
luyện tập, năng lực tƣởng tƣởng.
+ Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trƣng trong lĩnh vực nhất định
của xã hội nhƣ năng lực tổ chức, năng lực âm nhạc, năng lực kinh doanh, hội
hoạ, năng lực toán học,...
Năng lực chung và năng lực chuyên môn có quan hệ qua lại hữu cơ với
nhau, năng lực chung là cơ sở của năng lực chuyên môn, nếu chúng càng phát
triển thì càng dễ thành đạt đƣợc năng lực chuyên môn. Ngƣợc lại sự phát triển
của năng lực chuyên môn trong những điều kiện nhất định lại có ảnh hƣởng
đối với sự phát triển của năng lực chung. Trong thực tế mọi hoạt động có kết
3


quả và hiệu quả cao thì mỗi ngƣời đều phải có năng lực chung phát triển ở
trình độ cần thiết và có một vài năng lực chuyên môn tƣơng ứng với lĩnh vực
công việc của mình.
Năng lực còn đƣợc hiểu theo một cách khác, năng lực là tính chất tâm
sinh lý của con ngƣời chi phối quá trình tiếp thu kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo
tối thiểu là cái mà ngƣời đó có thể dùng khi hoạt động.
Để nắm đƣợc cơ bản các dấu hiệu khi nghiên cứu bản chất của năng lực
ta cần phải xem xét trên một số khía cạnh sau:
- Năng lực là sự khác biệt tâm lý của cá nhân ngƣời này khác ngƣời kia,
nếu một sự việc thể hiện rõ tính chất mà ai cũng nhƣ ai thì không thể nói về
năng lực.
- Năng lực chỉ là những khác biệt có liên quan đến hiệu quả việc thực
hiện một hoạt động nào đó chứ không phải bất kỳ những sự khác nhau cá biệt

chung chung nào.
- Năng lực con ngƣời bao giờ cũng có mầm mống bẩm sinh tuỳ thuộc
vào sự tổ chức của hệ thống thần kinh trung ƣơng, nhƣng nó chỉ đƣợc phát
triển trong quá trình hoạt động, phát triển của con ngƣời. Trong xã hội có bao
nhiêu hình thức hoạt động của con ngƣời thì cũng có bấy nhiêu loại năng lực,
có ngƣời có năng lực về quản lý kinh tế, có ngƣời có năng lực về Toán học,
có ngƣời có năng lực về kỹ thuật, có ngƣời có năng lực về thể thao, ...
- Cần phân biệt năng lực với tri thức, kỹ năng, kỹ xảo: Tri thức là
những hiểu biết thu nhân đƣợc từ sách vở, từ học hỏi và từ kinh nghiệm cuộc
sống của mình. Kỹ năng là sự vận dụng bƣớc đầu những kiến thức thu lƣợm
vào thực tế để tiến hành một hoạt động nào đó. Kỹ xảo là những kỹ năng
đƣợc lắp đi lặp lại nhiều lần đến mức thuần thục cho phép con ngƣời không
phải tập trung nhiều ý thức vào việc mình đang làm. Còn năng lực là một tổ
hợp phầm chất tƣơng đối ổn đinh, cơ bản của cá nhân, cho phép nó thực hiện
có kết quả một hoạt động. Nhƣ vậy năng lực chỉ làm cho việc tiếp thu các
kiến thức kỹ năng, kỹ xảo trở nên dễ dàng hơn.

4


1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh
Theo V.A.Krutetxki thì khái niệm năng lực toán học đƣợc hiểu dƣới hai
bình diện sau:
Năng lực nghiên cứu Toán học là năng lực sáng tạo, các năng lực hoạt
động Toán học tạo ra đƣợc các kết quả, thành tựu mới, khách quan và có ý
nghĩa với nhân loại.
Năng lực Toán học của học sinh là năng lực học tập giáo trình Toán
học ở trƣờng phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến
thức, kỹ năng, kỹ xảo tƣơng ứng.
- Năng lực Toán học của học sinh:

Từ khái niệm về năng lực ta có thể đi đến khái niệm về năng lực Toán
học của học sinh: “Năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lí đáp ứng đƣợc
yêu cầu hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng
trong lĩnh vực Toán học tƣơng đối nhanh chóng, dễ dàng, sâu sắc trong những
điều kiện nhƣ nhau”.
- Trong quá trình tiếp thu tri thức, học sinh tham gia nhiều hình thức
hoạt động Toán học. Mỗi hoạt động Toán học phức hợp đặc trƣng cho một
dạng năng lực thành phần. Các năng lực thành phần này có quan hệ chặt chẽ
với nhau tạo thành một cấu trúc năng lực Toán học. Cấu trúc năng lực Toán
học bao gồm các dạng năng lực thành phần sau:
+ Năng lực tính toán, giải toán
+ Năng lực tƣ duy Toán học
+ Năng lực giao tiếp Toán học (Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học)
+ Năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn
+ Năng lực giải quyết vấn đề
+ Năng lực sáng tạo Toán học

5


1.2. Dạy học bài tập Toán học ở trƣờng phổ thông
1.2.1 Bài toán và lời giải của bài toán
a) Bài toán
Theo G.POLYA. Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách
có ý thức các phƣơng tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông
thấy rõ ràng, nhƣng không thể đạt đƣợc ngay.
Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng. Bài
toán là sự đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó. Nhƣ vậy, bài toán có thể đồng
nhất với một số quan niệm khác nhau về bài toán nhƣ đề toán, bài tập,...
Trong định nghĩa về bài toán ở trên ta thấy có hai yếu tố chính hợp

thành của một bài toán:
- Bài toán luôn có mục đích xác định.
- Sự đòi hỏi ngƣời khác thực hiện mục đích của bài toán (giao nhiệm vụ
hoặc yêu cầu ngƣời khác thực hiện mục đích của bài toán).
Ví dụ 1:
“Cho đƣờng tròn
Từ một điểm

bất kỳ trên

và
đƣờng thẳng

và đƣờng thẳng

cắt đƣờng tròn tại hai điểm

.

và nằm ở ngoài đƣờng tròn, kẻ các tiếp tuyến

là các tiếp điểm). Chứng minh rằng khi
thì đƣờng tròn ngoại tiếp

di động trên

luôn đi qua hai điểm cố

định.”
Đây là bài toán vì trong đó bao gồm hai yếu tố cơ bản hợp thành sau

đây:
- Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ "Chứng minh rằng".
- Mục đích của bài toán thể hiện. “Đƣờng tròn ngoại tiếp
qua hai điểm cố định.”
Ví dụ 2:
“Số tự nhiên

và

.”

6

luôn đi


+ Đây không phải là bài toán vì thiếu sự đòi hỏi ngƣời khác thực hiện
mục đích.
+ Đây không phải là mệnh đề toán học vì không có giá trị chân lý đúng
hay sai.
+ Đây là một hàm mệnh đề vì đó là câu có chứa biến số n và khi thay
biến bởi hằng số ta đƣợc mệnh đề.
Ví dụ 3
“Tìm
tố cơ bản sau:

và

.” Đây là bài toán vì trong đó bao gồm hai yếu

- Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ “tìm”.
- Mục đích của bài toán thể hiện. “

và

.”

b) Lời giải bài toán
- Lời giải của bài toán đƣợc hiểu là tập hợp hữu hạn, sắp thứ tự các
thao tác cần thực hiện để đạt tới mục đích đã đặt ra trong bài toán.
- Nhƣ vậy ta thống nhất các thuật ngữ bài giải, cách giải và đáp án của
bài toán đều theo nghĩa lời giải ở trên.
- Một bài toán có thể có lời giải nhƣ sau:
+ Một lời giải.
+ Nhiều lời giải.
+ Không có lời giải.
- Giải đƣợc một bài toán đƣợc hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất
một lời giải của bài toán trong trƣờng hợp bài toán có lời giải, hoặc lý giải
đƣợc bài toán là không giải đƣợc trong trƣờng hợp nó không có lời giải.
Ví dụ 4: Tìm các lời giải số học của bài toán cổ sau:
“Vừa gà vừa chó,
Bó lại cho tròn,
Ba mƣơi sáu con,

7


Một trăm chân chẵn.
Tính số gà, số chó?”
Cách 1. Giả thiết tạm

Giả sử tất cả 36 con vật đều là gà.
Vậy số chân của 36 con vật là:
2  36 = 72 (chân)
Tổng số chân hụt đi so với điều kiện thực tế của bài toán là:
100 – 72 = 28 (chân)
Ta thấy 28 chân thiếu hụt so với điều kiện thực của bài toán là do ta giả
sử tất cả 36 con vật đều là gà cả. Nhƣ vậy, ta đã bỏ đi ở mỗi con chó là 2
chân.
Vậy số con chó là:
28 : 2 = 14 (con chó)
Số con gà là:
36 – 14 = 22 (con gà)
Trả lời. Số gà là 22 con ; số chó là 14 con.
Cách 2. Giả thiết tạm
Giả sử tất cả 36 con vật đều là chó.
Vậy số chân của 36 con vật là:
4  36 = 144 (chân)
Số chân dƣ ra so với điều kiện thực tế của bài toán là:
144 – 100 = 44 (chân)
Ta thấy 44 chân dƣ ra so với điều kiện thực tế của bài toán là do ta giả
sử 36 con vật đều là chó cả. Nhƣ vậy, ta đã thêm vào cho mỗi con gà 2
chân.Vậy số con gà là:
44 : 2 = 22 (con gà)

8


Số con chó là:
36 – 22 = 14 (con chó)
Trả lời. Số gà là 22 con ; số chó là 14 con.

Cách 3. Giả thiết tạm
Giả sử tất cả 36 con vật đều có 3 chân. Vậy số chân của 36 con vật sẽ
là:
3  36 = 108 (chân)
Số chân dƣ ra so với điều kiện thực tế của bài toán là:
108 – 100 = 8 (chân)
Ta thấy 8 chân dƣ so với điều kiện thực tế của bài toán là do ta giả sử
mỗi con vật gà và chó đều 3 chân. Nhƣ vậy, ta đã thêm cho mỗi con gà 1 chân
và đồng thời bớt đi mỗi con chó 1 chân.
Nếu số gà và chó bằng nhau thì số chân vừa đủ. Nếu số chó nhiều hơn số
gà thì số chân phải thiếu hụt. Ở đây số chân dƣ ra 8 chân, vậy số gà nhiều hơn
số chó. Mà mỗi con gà ta thêm cho nó 1 chân, vậy số con gà nhiều hơn số con
chó là:
8 : 1 = 8 (con)
Số con chó là
(36 – 8) : 2 = 14 (con chó)
Số con gà là:
14 + 8 = 22 (con gà)
Trả lời. Số gà là 22 con, số chó là 14 con.
Cách 4. Giả thiết tạm
Giả sử số gà bằng số chó và đều bằng 18 con.
Do đó tổng số chân của 36 con vật là:
(2  18) + (4  18) = 108 (chân).
Số chân dƣ ra so với điều kiện thực tế của bài toán là:
9


108 – 100 = 8 (chân).
Ta thấy 8 chân dƣ ra là do điều giả sử số gà bằng số chó và bằng 18
con. Nhƣ vậy, ta đã chuyển một số con chó thành bằng ấy con gà hoặc ngƣợc

lại.
Nếu chuyển một số con chó thành một số con gà thì tổng số chân phải
thiếu hụt. Ở đây tổng số chân tăng thêm 8 chân, nghĩa là ta đã chuyển một số
con gà thành con chó. Mà ta biết rằng khi chuyển một con gà thành một con
chó thì số chân tăng thêm là 2 chân.Vậy số con gà đƣợc chuyển thành số con
chó là:
8: 2  4 (con) .

Số gà nhiều hơn số chó là:
4  2  8 (con)

Số con chó là:
(36  8) : 2  14 (con)

Số con gà là:
14  8  22 (con)

Trả lời: 22 con gà, số chó là 14 con chó.
1.2.2. Ý nghĩa của việc giải toán
a) Kiến thức
Trong thực tế một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm
toán học và các tính chất toán học. Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân
tích dữ kiện đã cho của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán
và các kiến thức đã biết khác có liên quan tới bài toán, tổng hợp lại để đề ra
kiến thức mới. Và cứ nhƣ vậy các kiến thức mới tìm ra lại cùng các kiến thức
đã biết trƣớc đƣợc phân tích, tổng hợp lại để đề ra các kiến thức mới nữa, ...
Cuối cùng chúng ta đi đến đƣợc lời giải của bài toán.

10

Nhƣ vậy khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có
trong bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán cũng
đƣợc củng cố qua lại nhiều lần.
Ví dụ 5. Hãy tìm các cách giải của bài toán sau:
“Cho ba hình vuông có cạnh bằng nhau và bằng một đƣợc dựng liên tiếp
nhau (Hình 1.1). Chứng minh rằng  +  = 45o ”.
Hướng dẫn
A

O

D

C




Hình 1.1

B

Cách 1. Lớp 10
1
2

1
3

Từ giả thiết ta thấy tan   , tan   .
Dễ thấy tan     

tan  tan
 1 . Do đó suy ra     45o .
1  tan .tan

Với cách giải này củng cố cho học sinh những kiến thức sau.
- Định nghĩa hàm số lƣợng giác của một góc, cách xác định giá trị một
hàm số lƣợng giác của một góc.
- Công thức biến đổi lƣợng giác của một tổng.
Cách 2. Lớp 7

E

A

O



C




D

Hình 1.2

B

Để tính tổng của hai góc  và , ta dịch chuyển góc  đến vị trí kề với
 tạo ra một góc tổng của chúng (Hình 1.2).
Bằng cách xét một cặp tam giác vuông bằng nhau, ta dễ dàng chứng
minh đƣợc rằng ̂

11


Với cách giải này củng cố cho học sinh các kiến thức sau:
- Hai góc kề nhau
- Cách chứng minh hai tam giác bằng nhau, các tính chất của hai tam
giác bằng nhau. Cách chứng minh một tam giác là tam giác vuông cân.
Cách 3. Lớp 8, 9
C

O

A







D

Hình 1.3

B

đồng dạng vì chung nhau góc ̂ và hai cạnh kề góc
̂ và dễ dàng có điều cần chứng
đó tỉ lệ với nhau. Từ đây suy ra
minh.
Ta có

(Hình 1.3)
Với cách giải này củng cố cho học sinh các kiến thức sau:
- Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng.
- Tính chất của hai tam giác đồng dạng.
- Tính chất của hai đƣờng thẳng song song.
- Hình vuông và các tính chất của nó.
b) Tƣ duy
Đặc điểm nổi bật của Toán học cũng nhƣ của môn toán là một khoa học
suy diễn, nó là môn khoa học đƣợc xây dựng bằng phƣơng pháp tiên đề. Do
vậy, lời giải của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác, có thứ tự chặt
chẽ để đi đến một mục đích rõ rệt. Vì vậy khi giải một bài toán nó có tác
dụng trực tiếp rèn luyện cho học sinh năng lực sử dụng các phép suy luận hợp
logic: Suy luận có căn cứ đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn logic, ...
Chúng ta biết rằng không thể có một phƣơng pháp chung nào để giải
đƣợc mọi bài toán. Mỗi bài toán có một hình vẻ khác nhau, muốn tìm ra đƣợc
lời giải của bài toán chúng ta phải biết phân tích, biết cách dự đoán kết quả,
biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới các vấn đề tƣơng tự gần giống
12


nhau, biết cách suy luận tổng hợp, khái quát hoá ..... , biết cách suy đoán. Nhƣ

vậy qua việc giải bài toán năng lực tƣ duy logic và tƣ duy sáng tạo của học
sinh đƣợc rèn luyện và phát triển.
c) Kỹ năng
Một trong những yêu cầu của việc thông hiểu các kiến thức của bất cứ
của bộ môn khoa học nào là biết, thông hiểu và vận dụng các kiến thức của bộ
môn khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết
đƣợc các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó.
Trong việc giảng dạy toán ta thấy rằng bài toán tham gia vào tất cả các
tình huống điển hình của quá trình dạy học môn toán:
- Trong giảng dạy khái niệm Toán học
Bài toán có thể đƣợc sử dụng để tổ chức gây tình huống, để dẫn dắt cho
học sinh tiếp cạn đến định nghĩa khái niệm; bài toán đƣợc sử dụng làm các ví
dụ hoặc phản ví dụ minh hoạ cho khái niệm (hoạt động nhận dạng và thể hiện
khái niệm); bài toán đƣợc sử dụng để luyện tập củng cố và vận dụng khái
niệm.
- Trong giảng dạy định lý Toán học
Bài toán có thể đƣợc sử dụng để tổ chức gây tình huống dẫn dắt học sinh
phát hiện ra nội dung định lý toán học; bài toán có thể đƣợc sử dụng trong
hoạt động nhận dạng và thể hiện định lý ; bài toán có thể đƣợc sử dụng để cho
học sinh tập vận dụng định lý; đặc biệt là việc tổ chức hƣớng dẫn học sinh tìm
ra đƣờng lối chứng minh định lý chính là việc dạy cho học sinh cách phân
tích tìm ra chứng minh toán học của bài toán không có thuật toán giải.
- Trong luyện tập Toán học
Bài toán là phƣơng tiện chủ yếu trong các tiết luyện tập Toán học. Trong
đó ngƣời giáo viên phải xây dựng đƣợc một hệ thống các bài tập có liên quan
chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng cố vững chắc các kiến thức cơ
bản và hình thành một số kỹ năng cơ bản nào đó.
d) Tƣ tƣởng

13

Đặc điểm cơ bản trong tính cách của con ngƣời là mọi hoạt động đều
có mục đích rõ ràng. Khi giải một bài toán ta luôn có định hƣớng mục đích cụ
thể, rõ ràng. Vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện
năng lực hoạt động của con ngƣời.
Để giải một bài toán, nhất là đối với các bài toán khó ngƣời giải phải
vƣợt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại, và nhiều khi ngƣời ta phải
có quyết tâm, khát vọng lớn để giải bài toán đó. Nói theo cách của G.POLIA
là “Khát vọng và quyết tâm giải đƣợc bài toán là nhân tố chủ yếu của quá
trình giải mọi bài toán ”. Do vậy ta thấy rằng hoạt động giải toán chính là
nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát triển nhân cách của con
ngƣời.
1.2.3. Phân loại bài toán
Ngƣời ta có nhiều cách để phân loại các bài toán và ngƣời ta phân loại
bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt đƣợc mục đích nhất định, thƣờng là
để sử dụng các bài toán một cách thuận lợi.
a) Phân loại theo hình thức bài toán
Ngƣời ta căn cứ vào kết luận của bài toán để phân chia bài toán ra
thành hai loại nhƣ sau:
- Bài toán chứng minh.
Những bài toán mà trong kết luận của nó đã thể hiện rõ kết quả cuối
cùng của mục đích bài toán.
Ví dụ 6:
“Cho tam giác

, hai điểm

lần lƣợt là trung điểm các cạnh

Chứng minh rằng diện tích của tam giác
giác

.”

14

bằng

1
diện tích tam
4


Hướng dẫn
A

M

N
C Hình 1.4

B

Ta ký hiệu diện tích của các tam

lần lƣợt là

SABC, SAMN và SABN. (Hình 1.4)
Ta thấy. SABC  2  SABN (Hai tam giác này chung chiều cao hạ từ

và đáy

=2×

);

SABN  2  SAMN (Hai tam giác này chung chiều cao hạ từ

và đáy

tới

=2×

tới

)

Do đó suy ra SABC  4  SAMN . Vậy ta có điều cần chứng minh.
- Bài toán tìm tòi.
Những bài toán mà trong kết luận của nó chƣa thể hiện rõ ràng kết quả
cuối cùng của mục đích bài toán.
Ví dụ 7:
Cho tứ giác lồi
các cạnh

và các điểm
và

. Tính diện tích của tứ giác

biết rằng diện

2

tích của

là 100 cm ?

Hướng dẫn

A

Q

D

Nối

lần lƣợt là trung điểm của

với

M

100 cm2

P

B

N

C

Hình 1.5

và áp dụng kết quả bài toán ở ví dụ 1 ta có (Hình 1.5)

1
1
SBMN   SBAC và SDPQ   SDAC
4
4
15


1
4

1
4

Do vậy suy ra SBMN  SDPQ   SBAC  SDAC    SABCD
1
4

1
4

Tƣơng tự ta có SAMQ  SCNP   SABD  SCBD    SABCD
Do đó suy ra SBMN  SDPQ  SAMQ  SCNP  1  SABCD
2

Theo hình vẽ ta có SBMN  SDPQ  SAMQ  SCNP  SABCD  SMNPQ nên ta suy ra
1
2

đẳng thức sau. SABCD  SMNPQ   SABCD
Thay số vào đẳng thức trên ta có SABCD  100 

1
 SABCD .
2

Vậy ta suy ra SABCD = 200 cm2.
b) Phân loại theo phƣơng pháp giải toán
Ngƣời ta căn cứ vào phƣơng pháp giải bài toán để phân loại bài toán: Bài toán
này có thuật toán chung giải hay chƣa để chia các bài toán thành hai loại.
- Bài toán có thuật toán giải: Những bài toán mà phƣơng pháp giải của nó
theo một thuật toán chung nào đó cho một lớp các bài toán chứa nó.
Ví dụ 8:
+ Giải phƣơng trình bậc nhất, bậc hai một ẩn số.
+ Giải hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn số.
+ Thuật toán kiểm tra một số tự nhiên n có phải là nguyên tố hay không ?
+ Thuật toán liệt kê tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn số tự nhiên n cho trƣớc.
+ Thuật toán tìm ƣớc số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của hai hay
nhiều số cho trƣớc.
+ Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số; tìm hai số khi biết
hiệu và tỷ số của hai số; tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số; dạng toán

rút về đơn vị ; dạng toán tìm số trung bình cộng; …
- Bài toán không có thuật toán giải: Những bài toán mà phƣơng pháp giải của
nó không theo một thuật toán chung nào đó cho một lớp các bài toán chứa nó.
16


Chú ý : Các bài toán không có thuật toán giải có số lƣợng là vô cùng
lớn hơn rất nhiều so với các bài toán có thuật toán giải.
c) Phân loại theo nội dung bài toán
Ngƣời ta căn cứ vào nội dung của bài toán đƣợc phát biểu theo thuật
ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành
các loại khác nhau nhƣ sau:
+ Bài toán số học. Toán trồng cây ở hai đầu đƣờng ; toán về tuổi ; toán
chuyển động đều ; toán về phân số ; …
+ Bài toán đại số.
+ Bài toán hình học.
d) Phân loại theo ý nghĩa giải toán
Ngƣời ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán.
Bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kỹ năng nào
đó, hay là bài toán nhằm phát triển tƣ duy. Ta có hai loại bài toán nhƣ sau:
Bài toán cơ bản: Những bài bài toán sử dụng trực tiếp, đơn giản từng
kiến thức, kỹ năng mới vào việc giải quyết các tình huống phổ biến điển hình
trong thực tiễn.
Bài toán nâng cao: Những bài toán sử dụng nhiều kiến thức, kỹ năng
nào đó vào việc giải quyết các tình huống mới lạ hoặc đòi hỏi phải có một khả
năng tƣ duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.
1.2.4. Phƣơng pháp tìm lời giải bài toán (Bốn bƣớc giải toán của G.POLIA)

Bƣớc1.Tìm hiểu đề
Trƣớc khi giải một bài toán ta phải phân tích nội dung của bài toán, rồi

tìm hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau:
Những cái gì đã biết? Cái gì chƣa biết của bài toán?
Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố thay
đổi và biến thiên của bài toán.
Xác định các ẩn và các giá trị hằng của bài toán.

17


Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chƣa biết hay không?
Bƣớc 2. Xây dựng chƣơng trình giải
Để tìm đƣợc lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì bƣớc xây
dựng chƣơng trình giải là bƣớc quyết định, đồng thời đây cũng là bƣớc khó
khăn nhất.
Bƣớc xây dựng chƣơng trình giải đòi hỏi chúng ta biết huy động các
kiến thức đã biết để xem xét, phân tích, so sánh, bác bỏ, tổng hợp. Từ đó mới
có thể thiết lập đƣợc mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm.
Đối với những bài toán không có angorit giải, chúng ta sẽ phải tiến
hành xây dựng chƣơng trình giải theo phƣơng pháp sau:
a) Phƣơng pháp đi xuôi
Xuất phát từ cái đã cho (giả thiết) của bài toán đƣợc lấy làm tiền đề và
bằng suy luận hợp logic chúng ta tìm ra các hệ quả logic mới. Tiếp tục chọn
lọc trong các hệ quả logic để làm tiền đề mới và bằng suy luận hợp logic
chúng ta rút ra các hệ quả logic mới tiếp theo.... Cứ tiếp tục quá trình nhƣ thế
cho đến khi chúng ta tìm ra đƣợc hệ quả logic trùng với kết luận của bài toán
thì dừng. Khi đó ta đã tìm đƣợc lời giải bài toán.
Phƣơng pháp này đƣợc mô tả theo sơ đồ sau:
{

(Trong đó

là các giả thiết còn

là kết luận).

b) Phƣơng pháp đi ngƣợc
Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài toán. Bằng suy luận hợp
logic chúng ta đi ngƣợc lên để tìm các tiền đề logic của kết luận này.
Tiếp tục quá trình đó, chúng ta chọn lọc để lấy ra tiền đề gần gũi với
giả thiết của bài toán để làm kết luận mới, từ đó rút ra các tiền đề logíc mới
của các kết luận mới này ... Quá trình ấy lại đƣợc tiếp diễn ta tìm đƣợc các
tiền đề logic trùng với giả thiết của bài toán, ta có đƣợc lời giải của bài toán.
Phƣơng pháp này đƣợc mô tả theo sơ đồ sau:
{

(trong đó

là giả thiết còn
18

là kết luận)


Chú ý: Thông thƣờng trong nhiều trƣờng hợp để tìm đƣợc lời giải của
bài toán ta thƣờng kết hợp cả hai phƣơng pháp đi xuôi và phƣơng pháp đi
ngƣợc.
c) Phƣơng pháp sử dụng các phép suy đoán
Trong Toán học để đi tới lời giải của bài toán thì có rất nhiều phƣơng
pháp. Tuy nhiên không phải phƣơng pháp nào cũng có thể đi tới lời giải của
bài toán.

Thực tế có những bài toán mà ta đã sử dụng nhiều phƣơng pháp. Phƣơng
pháp đi xuôi, phƣơng pháp đi ngƣợc, thậm chí kết hợp cả hai phƣơng pháp đó
mà vẫn chƣa tìm đƣợc lời giải của bài toán đó. Lúc này ta cần chuyển hƣớng
suy nghĩ theo một hƣớng khác, tạm gọi hƣớng suy nghĩ này là phƣơng pháp
sử dụng các phép suy đoán. Nghĩa là suy nghĩ đến bài toán liên quan, bài toán
có gần giống với bài toán ta cần giải - Có thể là bài toán con, bài toán tƣơng
tự, bài toán đặc biệt, đôi khi là bài toán khái quát.
Từ sự phân tích lời giải của các bài toán có liên quan với bài toán cần
giải hoặc sử dụng kết quả của nó, chúng ta có nhiều cơ hội thuận lợi để tìm ra
lời giải của bài toán đã cho.
Theo G.POLIA chúng ta thƣờng phải đặt ra các câu hỏi gợi ý sau: “Anh
có biết một bài toán nào gần giống bài toán của anh không?”; “Đây là một bài
toán gần giống với bài toán của anh đã giải đƣợc rồi. Anh có thể dùng đƣợc
nó làm gì không?”; “Nếu anh không giải đƣợc bài toán đã cho, thì trƣớc hết
hãy giải bài toán gần giống với nó.”
Bƣớc 3. Thực hiện chƣơng trình giải
Đây là quá trình tổng hợp lại của bƣớc xây dựng chƣơng trình giải, ta
dùng các phép suy luận hợp logic xuất phát từ giả thiết của bài toán hay các
mệnh đề Toán học đã biết ta suy dần ra đi tới kết luận của bài toán.
Trong bƣớc thực hiện chƣơng trình giải một bài toán cần chú ý phân biệt
sự khác nhau giữa những điều đã thấy đƣợc và những điều suy ra đƣợc chính là điều chứng minh đƣợc.
Bƣớc 4. Kiểm tra lời giải và khai thác bài toán
19