Dạy học khái niệm toán học phần giải tích ở lớp 11 trường THPT theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN


NGUYỄN THỊ PHƯƠNG ANH

DẠY HỌC KHÁI NIỆM TOÁN HỌC
PHẦN “GIẢI TÍCH” Ở LỚP 11 TRƯỜNG THPT
THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG
LỰC CHO HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán

Người hướng dẫn khoa học
ThS. Nguyễn Văn Hà

HÀ NỘI – 2015


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉ bảo
tận tình của thầy giáo – TS Nguyễn Văn Hà khoá luận của em đến nay
đã được hoàn thành.
Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn
Hà, người đã trực tiếp hướng dẫn em thực hiện khoá luận này. Em cũng
xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán đã

tạo điều kiện tốt nhất cho em trong thời gian em làm khoá luận.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn
nữa do thời gian và năng lực còn hạn chế nên mặc dù đã có nhiều cố
gắng song bản khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót.Em rất mong
nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và của các bạn sinh
viên để khoá luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Phương Anh

Nguyễn Thị Phương Anh

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận này là kết quả khách quan, trung thực và là kết quả của
em trong suốt quá trình học tập nghiên cứu vừa qua, dưới sự hướng dẫn
của Thầy giáo – TS Nguyễn Văn Hà.
Em xin cam đoan khoá luận với đề tài “Dạy học khái niệm Toán
học phần “giải tích” ở lớp 11 trường THPT theo định hướng phát
triển năng lực cho học sinh” không trùng với kết quả của các tác giả
khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Phương Anh

Nguyễn Thị Phương Anh

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................... 2
4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................. 2
5. Cấu trúc khoá luận .......................................................................... 2
Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ..................................... 3
1.1. Dạy học theo định hướng phát triển năng lực .............................. 3
1.1.1. Nguồn gốc của năng lực ......................................................... 3
1.1.2. Các khái niệm......................................................................... 3
1.1.3. Các quan điểm về cấu trúc năng lực toán học ........................ 7
1.1.4. Dạy học theo định hướng phát triển năng lực....................... 12
1.1.5. Nguyên nhân thay đổi phương pháp dạy học theo định hướng
phát triển năng lực ........................................................................ 13
1.1.6. Đặc trưng phân biệt dạy học theo định hướng nội dung và dạy

học theo định hướng phát triển năng lực ........................................ 16
1. 2. Dạy học khái niệm toán học ..................................................... 17
1.2.1. Đại cương về định ngĩa khái niệm ........................................ 17
1.2.2. Vị trí của khái niệm và yêu cầu của dạy học khái niệm......... 19
1.2.3. Một số hình thức định nghĩa khái niệm thường dùng ở
phổ thông ....................................................................................... 20
1.2.4. Các qui tắc định nghĩa khái niệm ......................................... 22
1.2.5. Những con đường tiếp cận khái niệm ................................... 23
1.2.6. Hoạt động củng cố khái niệm ............................................... 27
1.2.7. Dạy học phân chia khái niệm ............................................... 30

Nguyễn Thị Phương Anh

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1.3. Dạy học theo định hướng phát triển năng lực đối với chương trình
toán phổ thông .................................................................................. 32
1.3.1. Thực trạng dạy học theo định hướng phát triển năng lực trong
dạy học môn toán ở nhà trường phổ thông hiện nay....................... 32
1.3.2. Tác dụng của việc dạy học phát triển năng lực trong dạy học
môn toán ở trường phổ thông ......................................................... 32
1.4 Vị trí vai trò của các khái niệm giải tích trong chương trình toán
phổ thông .......................................................................................... 33
1.4.1. Vị trí đặc điểm của giới hạn trong chương trình toán phổ
thông .............................................................................................. 33

1.4.2. Vị trí đặc điểm của khái niệm đạo hàm trong chương trình
toán phổ thông ............................................................................... 33
Chương 2: DẠY HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG
LỰC MỘT SỐ KHÁI NIỆM GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 35
2.1. Các khái niệm giải tích trong chương trình sách giáo khoa Đại số
và giải tích lớp 11 nâng cao ............................................................... 35
2.2. Thiết kế tình huống dạy học một số khái niệm phần giải tích lớp
11 theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh......................... 36
2.2.1. Giới hạn dãy số .................................................................... 36
2.2.2. Giới hạn hàm số .................................................................. 47
2.2.3. Hàm số liên tục tại một điểm ............................................... 52
2.2.4. Đạo hàm .............................................................................. 57
KẾT LUẬN.......................................................................................... 62
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 63

Nguyễn Thị Phương Anh

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Thực tiễn cuộc sống đòi hỏi con người khả năng vận dụng thành
thạo tri thức đã biết để giải quyết vấn đề hơn là lý thuyết sáo rỗng. Nằm
trong lộ trình đổi mới đồng bộ phương pháp dạy học và kiểm tra đánh
giá ở các trường phổ thông theo định hướng phát triển năng lực học

sinh trên tinh thần nghị quyết 29-NQ/TƯ về đổi mới căn bản toàn diện
giáo dục đào tạo, việc thay đổi từ dạy học theo cách tiếp cận nội dung
sang dạy học theo hướng phát triển năng lực cho học sinh là một hệ quả
tất yếu.
Nếu như dạy học tiếp cận nội dung là dạy cho học sinh biết cái gì
thì dạy học phát triển năng lực là dạy các em làm được những gì trên cơ
sở các em đã biết. Như vậy dạy học theo định hướng phát triển năng lực
quy định mục tiêu, nội dung, phương pháp và hình thức tổ chức dạy học,
cuối cùng là thi, kiểm tra, đánh giá chất lượng giáo dục.
Các khái niệm giải tích khá mới mẻ với học sinh lớp 11 khi từ trước
đến nay các em chỉ quen thuộc với khái niệm đại số. Việc hiểu và vận
dụng được các khái niệm này lại càng khó khăn. Mặt khác các khái niệm
về giới hạn và đạo hàm là những khái niệm cơ bản của giải tích, có thể
nói không có giới hạn thì không có giải tích nên việc nắm vững các khái
niệm này vừa giúp các em tiếp cận thành công 1 khía cạnh mới của toán
học vừa là tiền đề giúp các em tìm hiểu các nội dung khác của giải tích.
Trên cơ sở đó tôi lựa chọn đề tài “DẠY HỌC KHÁI NIỆM
TOÁN HỌC PHẦN “GIẢI TÍCH” LỚP 11 TRƯỜNG THPT THEO
ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH” làm
đề tài khoá luận của mình.
Nguyễn Thị Phương Anh

1

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

2. Mục đích nghiên cứu
- Phát triển các năng lực của học sinh nói chung, năng lực toán học nói
riêng, hìn thành kĩ năng giải quyết vấn đề trên cơ sở kiến thức đã học.
- Củng cố niềm tin vào công cụ toán học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hoạt động dạy của giáo viên và hoạt động học của học sinh theo
định hướng phát triển năng lực cho học sinh.
- Thiết kế 1 số tình huống dạy học các khái niệm giải tích trong
chương 4, 5.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về dạy học theo định hướng phát triển năng lực.
- Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo định
hướng này.
- Nghiên cứu chương 4,5 đại số và giải tích 11 nâng cao.
5. Cấu trúc khoá luận
Khoá luận gồm hai chương:
- Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
- Chương 2: Dạy học theo định hướng phát triển năng lực một số
khái niệm giải tích ở trường phổ thông

Nguyễn Thị Phương Anh

2

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Dạy học theo định hướng phát triển năng lực
1.1.1. Nguồn gốc của năng lực
Từ cuối thế kỉ XIX đến nay đã có nhiều ý kiến khác nhau về bản
chất và nguồn gốc của năng lực. Hiện nay đã có xu hướng thống nhất
trên một số quan điểm cơ bản, quan trọng về lí luận cũng như thực tiễn.
Một là,những yếu tố bẩm sinh, di truyền là điều kiện cần thiết ban
đầu cho sự phát triển năng lực. Đó là điều kiện cần nhưng chưa đủ .
Hai là, năng lực của con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử. Con
người từ khi sinh ra đã có sẵn những tố chất nhất định cho sự phát triển
các năng lực tương ứng, nhưng nếu không có môi trường xã hội thì cũng
không phát triển được. Xã hội đã được các thế hệ trước cải tạo, xây dựng
và để lại các dấu ấn đó cho các thế hệ sau trong môi trường Văn hóa –
Xã hội.
Ba là, năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của
hoạt động. Sống trong môi trường xã hội tự nhiên do các thế hệ trước tạo
ra và chịu sự tác động của nó, con người ở thế hệ sau không chỉ đơn giản
sủ dụng hay thích ứng với các thành tựu của các thế hệ trước để lại, mà
còn cải tạo chúng và tạo ra các kết quả “vật chất” mới hoàn thiện hơn
cho các hoạt động tiếp theo.
Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực là hiện tượng có
bản chất, nguồn gốc phức tạp. Các tố chất và hoạt động của con người
tương tác qua lại với nhau để tạo ra các năng lực.
1.1.2. Các khái niệm
a) Khái niệm năng lực
Theo tâm lí học: Năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính
tâm lý của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trưng của một hoạt động
Nguyễn Thị Phương Anh

3

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao. Các năng
lực hình thành trên cơ sở của các tư chất tự nhiên của cá nhân, nó đóng
vai trò quan trọng. Năng lực của con người không phải hoàn toàn do tự
nhiên mà có, phần lớn do công tác, tập luyện hình thành.
Kết quả nghiên cứu các công trình tâm lí học và giáo dục học cho
thấy, từ nền tảng là các tư chất ban đầu học sinh bước vào hoạt động.
Qua quá trình hoạt động mà dần hình thành cho mình những tri thức, kỹ
năng, kỹ xảo cần thiết và ngày càng phong phú, rồi từ đó nảy sinh những
khả năng mới với mức độ cao hơn.Đến một lúc nào đó, học sinh đủ khả
năng để giải quyết những yêu cầu khác xuất hiện trong học tập và cuộc
sống thì khi đó học sinh đã có được một năng lực nhất định. Dưới đây là
một số cách hiểu về năng lực:
Định nghĩa 1 : năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người khả
năng hoàn thành 1 loại hoạt động nào đó với chất lượng cao.
Định nghĩa 2: năng lực là 1 tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con
người đáp ứng được yêu cầu của 1hoạt động nhất định và là điều kiện
cần thiết để hoàn thành có kết quả 1 hoạt động nào đó.(theo tác giả Phạm
Minh Hạc)
Định nghĩa 3: năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người đáp
ứng yêu cầu của 1 loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để

hoàn thành xuất sắc 1 loại hoạt động nào đó.(theo tác giả Trần Đình Châu)
Cả ba định nghĩa đều có điểm chung là năng lực chỉ nảy sinh và
quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẻ và do
đó nó gắn liền với tính sáng tạo, tuy có khác nhau về mức độ.
Phần lớn các công trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục học đều
thừa nhận rằng con người có những năng lực khác nhau vì có những tố
chất riêng. Tức là thừa nhận sự tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá

Nguyễn Thị Phương Anh

4

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

nhân thuận lợi cho sự hình thành và phát triển những năng lực
khác nhau.
Như vậy, nói đến năng lực là nói đến một cái gì đó tiềm ẩn trong một
cá thể, một thứ phi vật thể. Song nó thể hiện qua hành động và đánh giá
được nó qua kết quả của hoạt động.
Thông thường, một người được gọi là có năng lực nếu người đó
nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt
được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những
người khác cùng tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện và hoàn
cảnh tương đương. Người ta thường phân biệt ba trình độ năng lực:
♦ Năng lực là tổng hòa các kỹ năng, kỹ xảo.

♦ Tài năng là một tổ hợp các năng lực tạo nên tiền đề thuận lợi cho
hoạt động có kết quả cao, những thành tích đạt được này vẫn nằm trong
khuôn khổ của những thành tựu đạt được của xã hội loài người.
♦ Thiên tài là một tổ hợp đặc biệt các năng lực, nó cho phép đạt
được những thành tựu sáng tạo mà có ý nghĩa lịch sử.
Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong hoạt động nhất
định của con người. Năng lực này chỉ nảy sinh và quan sát được trong
hoạt động giải quyết những yêu cầu đặt ra.
b) khái niêm năng lực Toán học
Theo V.A.Krutecxki năng lực toán học được hiểu theo hai ý nghĩa, hai
mức độ:
Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) , tức là năng lực đối
với việc học toán, đối với việc nắm giáo trình Toán học ở trường phổ
thông, nắm một cách nhanh chóng và tốt các kiến thức, kĩ năng, kỹ xảo
tương ứng.
Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực

Nguyễn Thị Phương Anh

5

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

hoạt động sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có
giá trị lớn đối với xã hội loài người.

Giữa hai mức độ toán học đó không có sự ngăn cách tuyệt đối.
Nói đến năng lực học tập toán không có nghĩa là không đề cập đến năng
lực sáng tạo. Nhiều học sinh có năng lực đã nắm giáo trình một cách độc
lập và sáng tạo, đã tự đặt ra và giải những bài tập không phức tạp lắm, đã
tự tìm ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh các
định lý, độc lập suy ra các công thức. Sau đây là một số định nghĩa về
năng lực toán học:
Định nghĩa 1: Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lý cá
nhân (trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt
động toán học và giúp cho việc nắm giáo trình toán,kiến thức, hình thành
kĩ năng , kĩ xảo tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc.
Định nghĩa 2: Năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm
tâm lý cá nhân(trước hết là những đặc diểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng
yêu cầu của hoạt động toán học và trong những điều kiện vững chắc như
nhau là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách
sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương
đối nhanh, vững vàng sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực
toán học.
Nói đến học sinh có năng lực toán học là nói đến học sinh có trí
thông minh trong việc học toán. Tất cả học sinh đều có khả năng và phải
nắm được chương trình toán trung học, nhưng các khả năng này khác
nhau tuỳ vào từng học sinh. Các khả năng này không phải cố định,
không thay đổi: các năng lực này không phải nhất thành, bất biến mà
hình thành và phát triển trong quá trình học tập, rèn luyện để nắm được
hoạt động tương ứng. Vì vậy cần nghiên cứu để nắm được bản chất của

Nguyễn Thị Phương Anh

6

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

năng lực và con đường hình thành, phát triển, hoàn thiện của năng lực.
1.1.3. Các quan điểm về cấu trúc năng lực toán học
a) Quan điểm của V.A.Krutecxki
V.A.Krutecxki- nguyên Phó Viện trưởng Viện nghiên cứu Tâm lý
học thuộc Viện Hàn lâm khoa học giáo dục Liên Xô trước đây, đã
nghiên cứu tâm lí năng lực toán học với công trình độ sộ “Tâm lý năng
lực toán” Luận án tiến sĩ của ông được Hội đồng bác học Liên Xô đánh
giá rất cao. Công trình là kết quả của việc nghiên cứu lý luận và thực
tiễn, có tiến hành thực nghiệm hết sức công phu được tiến hành từ năm
1955 đến 1968.
Kết quả chủ yếu và quan trọng nhất là ông đã chỉ ra cấu trúc năng
lực toán học của học sinh bao gồm những thành phần sau (dựa trên quan
điểm lý thuyết thông tin):
● Về mặt thu nhận thông tin toán học
Đó là năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu toán học, năng lực nắm cấu
trúc hình thức của bài toán.
● Về mặt chế biến thông tin toán học
1) Năng lực tư duy logic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và
không gian, hệ thống kí hiệu dố và dấu, năng lực tư duy bằng các kí hiệu
toán học.
2) Năng lực khái quát hoá nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ
toán học và các phép toán.
3) Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các

phép toán tương ứng. Năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn.
4) Tính linh hoạt của quá trình tư duy trong hoạt động toán học.
5) Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng , đơn giản, tiết kiệm, hợp
lý của lời giải.

Nguyễn Thị Phương Anh

7

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

6)Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của
quá trình tư duy, năng lực chuyển từ tiến trình tư duy thuận sang tiến
trình tư duy đảo (trong suy luận toán học).
● Về mặt lưu trữ thông tin toán học
Trí nhớ toán học (trí nhớ khái quát về các: quan hệ toán học, đặc điểm về
loại, sơ đồ suy luận và chứng minh, phương pháp giải toán,nguyên tắc,
đường lối giải toán).
● Về thành phần tổng hợp khái quát
Khuynh hướng toán học của trí tuệ
Các thành phần nêu trên có quan hệ mật thiết với nhau, ảnh hưởng lẫn
nhau và hợp thành hệ thống định nghĩa một cấu trúc toàn vẹn của năng
lực toán học.
Sơ đồ triển khai của cấu trúc năng lực toán học có thể được biểu thị bằng
một công thức khác, cô đọng hơn: năng lực toán học được đặc trưng bởi

tư duy khái quát, gọn, tắt và linh hoạt trong lĩnh vực quan hệ toán học,
hệ thống kí hiệu số và dấu, và bởi khuynh hướng toán học của trí tuệ.
Cùng với cấu trúc nói trên, V.A.Krutecxki cũng đưa ra những gợi
ý về phương pháp bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh.
Nghiên cứu quan diểm của V.A.Krutecxi về năng lực toán học có thể
thấy một số vấn đề quan trọng sau:
* Về mặt lý luận:
1) Theo V.A.Krutecxki thì nói đến học sinh có năng lực toán học là
nói đến học sinh có trí thông minh trong việc học toán.
2) Vấn đề năng lực chính là vấn đề khác biệt cá nhân. Khi nói về
năng lực tức là giả định rằng: có sự khác biệt về những mặt nào đó giữa
các cá nhân, chẳng hạn về năng lực toán học.Điều quan trọng năng lực
không chỉ là bẩm sinh mà còn được phát sinh phát triển trong hoạt động,

Nguyễn Thị Phương Anh

8

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

trong đời sống của mỗi cá nhân.
3) Khi nói đến năng lực tức là nói đến năng lực trong một loại hoạt
động nhất định của con người.Năng lực toán học cũng vậy, nó chỉ tồn tại
trong hoạt động toán học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động toán học
mới thấy được biểu hiện của năng lực toán học;

4) Hiệu quả hoạt động trong một lĩnh vực nào đó của con người
thường phụ thuộc vào một tổ hợp năng lực. Kết quả học tập toán cũng
không nằm ngoài quy luật đó, ngoài ra còn phụ thuộc vào một số yếu tố
khác, chẳng hạn niềm say mê, thái độ học tập, sự khuyến khích hỗ trợ
của giáo viên, của gia đình và xã hội.
* Về mặt thực tiễn
1) Trong lĩnh vực đào tạo con người phải nghiên cứu năng lực của
mỗi người trong lĩnh vực đào tạo, phải biết những phương pháp tốt nhất
để bồi dưỡng năng lực đó;
2) Năng lực toán học là năng lực tạo thành các mối liên tưởng khái
quát, tắt, linh hoạt, ngược và hệ thống chúng dựa trên tài liệu toán học.
Các năng lực đã nêu biểu hiện với các mức độ khác nhau ở các em học
sinh giỏi, trung bình, kém. Ở các em năng khiếu và giỏi thì các mối liên
tưởng đó được tạo thành ngay tức khắc sau một số ít bài tập, ở các em
trung bình thì muốn hình thành các mối liên tưởng cần cả một hệ thống
bài tập và phải có sự rèn luyện.
b) Quan điểm của A.N.Kôlmôgôrôv
Trong cuốn sách Về nghề nghiệp của nhà Toán học,
A.N.Kôlmôgôrôv đã chỉ ra rằng, năng lực ghi nhớ máy móc một số
lượng lớn các sự kiện, công thức, cộng và nhân nhẩm hàng dãy dài các
số có nhiều chữ số không quan hệ đến năng lực toán học. Trong thành
phần các quan hệ toán học ông nêu ra:

Nguyễn Thị Phương Anh

9

K37A Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1) Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng
lực tìm kiếm các cách hay để giải các phương trình không phù hợp với
qui tắc giải thông thường, hoặc như các nhà toán học gọi là năng lực tính
toán hay năng lực “angôrit”;
2) Trí tưởng tượng hình học hoặc “trực giác hình học”;
3) Nghệ thuật suy luận lôgic, được phân nhỏ hợp lý, tuần tự. Có thể
nói rằng tiêu chuẩn của sự trưởng thành logic cần thiết cho nhà toán học
là hiểu nguyên nhân quy nạp toán học và có kỹ năng vận dụng nó một
cách đúng đắn.
Ông còn nhấn mạnh rằng: các khía cạnh khác nhau của năng lực
toán học thường gặp trong các tổ hợp khác nhau và năng lực này thường
bộc lộ rất sớm và đòi hỏi phải luyện tập liên tục.
c) Quan điểm của A.I.Marcusevich
Viện sĩ A.I.Marcusevich đã chỉ ra 6 phẩm chất sau đây của trí tuệ
và tính cách cần được giáo dục cùng với việc dạy toán:
1) Có kỹ năng biết tách ra cái bản chất của vấn đề và loại bỏ các chi
tiết không cơ bản( kỹ năng trừu tượng hoá);
2) Kỹ năng xây dựng được sơ đồ của hiện tượng sao cho trong đó
chỉ giữ lại những gì cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt Toán học,
đó chính là các quan hệ thuộc, thứ tự, số lượng và độ đo, phân bố không
gian (kỹ năng sơ đồ hoá);
3) Kỹ năng rút ra các hệ quả logic từ các tiên đề đã cho(tư duy
suy diễn);
4) Kỹ năng phân tích vấn đề đã cho thành các trường hợp riêng, kỹ
năng phân biệt được khi nào chúng bao quát được mọi khả năng, khi nào
chúng chỉ là các ví dụ chứ không bao quát hết mọi khả năng;

5) Kỹ năng vận dụng các kết quả rút ra từ những suy luận lý thuyết

Nguyễn Thị Phương Anh

10

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

cho những vấn đề cụ thể và đối chiếu các kết quả đó với các kết quả dự
kiến, kỹ năng đánh giá ảnh hưởng của việc thay đổi các điều kiện đến độ
tin cậy của các kết quả;
6) Khái quát các kết quả nhận được và đặt ra những vấn đề mới ở
dạng khái quát;
d) Quan điểm của X.L.Svacxbuốc
X.L.Svacxbuốc sau khi khái quát hoá ý kiến của các nhà toán học,
đã nghiên cứu các yếu tố sau đây trong sự phát triển toán học:
1) Các biểu tượng không gian;
2) Tư duy trừu tượng;
3) Chuyển thành sơ đồ toán học;
4) Tư duy suy diễn;
5) Phân tích, xem xét các trường hợp riêng;
6) Áp dụng các kết luận:
7) Tính phê phán;
8) Ngôn ngữ toán học;
9) Kiên trì khi giải toán;

e) Quan điểm của B.V.Gơnhedenco
Viện sỹ B.V.Gơnhedencô trong một loạt bài báo đăng trên Tạp chí
“Toán học trong nhà trường” trong các năm từ 1962 đến 1965 đã đưa ra
các tính chất sau đây của tư duy toán học:
1) Năng lực nhìn thấy được tính không rõ ràng của suy luận, thấy
được sự thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh;
2) Có thói quen lý giải logic một cách đầy đủ;
3) Chia nhỏ một cách rõ ràng tiến trình suy luận;
4) Sự cô đọng;
5) Sự chính xác của ký hiệu.

Nguyễn Thị Phương Anh

11

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

f) Quan điểm của UNESCO
Theo quan điểm của Tổ chức UNESCO thì 10 yếu tố cơ bản của
NLTH đó là:
1) Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, kí hiệu, các phép toán
và các khái niệm;
2) Năng lực tính nhanh, cẩn thận, và sử dụng các kí hiệu;
3) Năng lực dịch chuyển dữ kiện kí hiệu;
4) Năng lực biểu diễn dữ kiện bằng các kí hiệu;

5) Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh;
6) Năng lực xây dựng một chứng minh;
7) Năng lực áp dụng quan niệm cho bài toán toán học;
8) Năng lực áp dụng cho bài toán không toán học;
9) Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể
áp dụng;
10) Năng lực tìm cách khái quát hoá toán học.
1.1.4. Dạy học theo định hướng phát triển năng lực
Dạy học theo định hướng phát triển năng lực : nay còn gọi là
dạy học định hướng kết quả đầu ra được bàn đến nhiều từ những năm 90
của thế kỷ 20 và ngày nay đã trở thành xu hướng giáo dục quốc tế. Giáo
dục định hướng phát triển năng lực nhằm mục tiêu phát triển năng lực
người học. Dạy học định hướng phát triển năng lực không quy định
những nội dung dạy học chi tiết mà quy định những kết quả đầu ra mong
muốn của quá trình giáo dục, trên cở sở đó đưa ra những hướng dẫn
chung về việc lựa chọn nội dung, phương pháp, tổ chức và đánh giá kết
quả dạy học nhằm đảm bảo thực hiện được mục tiêu dạy học tức là đạt
được kết quả đầu ra mong muốn.

Nguyễn Thị Phương Anh

12

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp
1.1.5.

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Nguyên nhân thay đổi phương pháp dạy học theo định

hướng phát triển năng lực
Chương trình dạy học truyền thống có thể gọi là chương trình giáo
dục “định hướng nội dung” (điều khiển đầu vào) . Đặc điểm của chương
trình giáo dục định hướng nội dung là chú trọng truyền thụ hệ thống tri
thức khoa học theo các môn học đã được qui định trong chương trình
dạy học. Những nội dung của các môn học này dựa trên các khoa học
chuyên ngành tương ứng. Người ta chú trọng trang bị cho người học hệ
thống tri thức khoa học khách quan về nhiều lĩnh vực khác nhau.
Tuy nhiên chương trình giáo dục định hướng nội dung chưa chú
trọng đầy đủ đến chủ thể người học cũng như đến khả năng ứng dụng tri
thức đã học trong nhiều tình huống thực tiễn. Mục tiêu dạy học chương
trình định hướng nội dung được đưa ra một cách chung chung, không chi
tiết và không nhất thiết phải quan sát , đánh giá được một cách cụ thể
nên không đảm bảo rõ ràng về việc đạt được chất lượng dạy học theo
mục tiêu đã đề ra. Việc quản lí chất lượng giáo dục ở đây tập trung vào
“điều khiển đầu vào” là nội dung dạy học.
Ưu điểm của chương trình giáo dục định hướng nội dung là việc
truyền thụ cho người học một hệ thống tri thức khoa học. Tuy nhiên,
ngày nay chương trình dạy hoc định hướng nội dung không còn thích
hợp,trong đó có những nguyên nhân sau:
● Ngày nay, tri thức thay đổi và bị lạc hậu nhanh chóng, việc qui
định cứng nhắc những nội dung chi tiết trong chương trình dạy học dẫn
đến nội dung chương trình dạy học nhanh bị lạc hậu so với tri thức hiện
đại. Do đó việc rèn luyện phương pháp học tập ngày càng có ý nghĩa quan
trọng trong việc chuẩn bị cho con người có khả năng học tập suốt đời.
● Chương trình dạy học định hướng nội dung dẫn đến xu hướng

Nguyễn Thị Phương Anh

13

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

việc kiểm tra, đánh giá chủ yếu dựa trên việc kiểm tra khả năng tái hiện
tri thức mà không định hướng vào khả năng vận dụng tri thức trong
những tình huống thực tiễn.
● Do phương pháp dạy học mang tính thụ động và ít chú ý đến
khả năng ứng dụng nên sản phẩm giáo dục là những con người mang
tính thụ động, hạn chế khả năng sáng tạo và năng động. Do đó chương
trình giáo dục định hướng nội dung này không đáp ứng được yêu cầu
ngày càng cao của xã hội và thị trường lao động đối với người lao động
về năng lực hành động , khả năng sáng tạo và tính năng động.
Cấu trúc chung của năng lực hành động được mô tả là sự kết hợp
của 4 năng lực thành phần: Năng lực chuyên môn, năng lực phương
pháp, năng lực xã hội, năng lực cá thể.
(i) Năng lực chuyên môn (Professional competency): Là khả năng
thực hiện các nhiệm vụ chuyên môn cũng như khả năng đánh giá kết quả
chuyên môn một cách độc lập, có phương pháp và chính xác về mặt
chuyên môn. Nó được tiếp nhận qua việc học nội dung – chuyên môn và
chủ yếu gắn với khả năng nhận thức và tâm lý vận động.
(ii) Năng lực phương pháp (Methodical competency): Là khả năng
đối với những hành động có kế hoạch, định hướng mục đích trong việc

giải quyết các nhiệm vụ và vấn đề. Năng lực phương pháp bao gồm năng
lực phương pháp chung và phương pháp chuyên môn. Trung tâm của
phương pháp nhận thức là những khả năng tiếp nhận, xử lý, đánh giá,
truyền thụ và trình bày tri thức. Nó được tiếp nhận qua việc học phương
pháp luận – giải quyết vấn đề.
(iii) Năng lực xã hội (Social competency): Là khả năng đạt được
mục đích trong những tình huống giao tiếp ứng xử xã hội cũng như trong
những nhiệm vụ khác nhau trong sự phối hợp chặt chẽ với những thành

Nguyễn Thị Phương Anh

14

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

viên khác. Nó được tiếp nhận qua việc học giao tiếp.
(iv) Năng lực cá thể (Induvidual competency): Là khả năng xác
định, đánh giá được những cơ hội phát triển cũng như những giới hạn
của cá nhân, phát triển năng khiếu, xây dựng và thực hiện kế hoạch phát
triển cá nhân, những quan điểm, chuẩn giá trị đạo đức và động cơ chi
phối các thái độ và hành vi ứng xử. Nó được tiếp nhận qua việc học cảm
xúc – đạo đức và liên quan đến tư duy và hành động tự chịu trách nhiệm.
Mô hình cấu trúc năng lực trên đây có thể cụ thể hoá trong từng
lĩnh vực chuyên môn, nghề nghiệp khác nhau. Mặt khác, trong mỗi lĩnh
vực nghề nghiệp người ta cũng mô tả các loại năng lực khác nhau. Ví dụ

năng lực của GV bao gồm những nhóm cơ bản sau: Năng lực dạy học,
năng lực giáo dục, năng lực chẩn đoán và tư vấn, năng lực phát triển
nghề nghiệp và phát triển trường học.
Mô hình bốn thành phần năng lực trên phù hợp với bốn trụ cốt giáo dục
theo UNESCO:

Nguyễn Thị Phương Anh

15

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Từ cấu trúc của khái niệm năng lực cho thấy giáo dục định hướng
phát triển năng lực không chỉ nhằm mục tiêu phát triển năng lực chuyên
môn bao gồm tri thức, kỹ năng chuyên môn mà còn phát triển năng lực
phương pháp, năng lực xã hội và năng lực cá thể.
1.1.6. Đặc trưng phân biệt dạy học theo định hướng nội dung và dạy
học theo định hướng phát triển năng lực
Sau đây là bảng so sánh một số đặc trưng cơ bản của chương trình
định hướng nội dung và chương trình định hướng phát triển năng lực:

Mục

Chương trình định

Chương trình định hướng

hướng nội dung

phát triển năng lực

tiêu Mục tiêu dạy học được mô Kết quả học tập cần đạt được mô

giáo dục

tả không chi tiết và không tả chi tiết và có thể quan sát,
nhất thiết phải quan sát, đánh giá được; thể hiện được
đánh giá được

mức độ tiến bộ của HS một cách
liên tục

Nội dung Việc lựa chọn nội dung Lựa chọn những nội dung nhằm
giáo dục

dựa vào các khoa học đạt được kết quả đầu ra đã quy
chuyên môn, không gắn định, gắn với các tình huống
với các tình huống thực thực tiễn. Chương trình chỉ quy
tiễn. Nội dung được quy định những nội dung chính,
định chi tiết trong chương không quy định chi tiết.
trình.

Phương
pháp
học

GV là người truyền thụ tri - GV chủ yếu là người tổ chức,

dạy thức, là trung tâm của quá hỗ trợ HS tự lực và tích cực lĩnh
trình dạy học. HS tiếp thu hội tri thức. Chú trọng sự phát
thụ động những tri thức triển khả năng giải quyết vấn đề,

Nguyễn Thị Phương Anh

16

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

được quy định sẵn.

khả năng giao tiếp,…;
- Chú trọng sử dụng các quan
điểm, phương pháp và kỹ thuật
dạy học tích cực; các phương
pháp dạy học thí nghiệm, thực
hành

Hình thức Chủ yếu dạy học lý thuyết Tổ chức hình thức học tập đa
dạy học

trên lớp học

dạng; chú ý các hoạt động xã
hội, ngoại khóa, nghiên cứu
khoa học, trải nghiệm sáng tạo;
đẩy mạnh ứng dụng công nghệ
thông tin và truyền thông trong
dạy và học

Đánh

giá Tiêu chí đánh giá được xây Tiêu chí đánh giá dựa vào năng

kết

quả dựng chủ yếu dựa trên sự lực đầu ra, có tính đến sự tiến bộ

học

tập ghi nhớ và tái hiện nội trong quá trình học tập, chú

của HS

dung đã học.

trọng khả năng vận dụng trong
các tình huống thực tiễn.

1. 2. Dạy học khái niệm toán học

1.2.1. Đại cương về định ngĩa khái niệm
a) Khái niệm
Khái niệm là hình thức tư duy phản ánh 1lớp đối tượng do đó
1khái niệm có thể được xem xét theo hai phương diện: bản thân lớp đối
tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên còn toàn bộ thuộc tính
chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của khái niệm.

Nguyễn Thị Phương Anh

17

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 Giữa nội hàm và ngoại diên có mối quan hệ mang tính qui luật,
nội hàm càng được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại.
 Nếu ngoại diên của khái niệm A là 1 bộ phận của khái niệm B thì
khái niệm A được gọi là khái niệm chủng của khái niệm B, còn khái
niệm B được gọi là khái niệm loại của khái niệm A.
b) Định nghĩa khái niệm
Định nghĩa 1 khái niệm là 1 thao tác logic nhằm phân biệt lớp đối
tượng xác định khái niệm này với các đối tượng khác thường bằng cách
vạch ra nội hàm của khái niệm đó.
Các định nghĩa thường có cấu trúc sau:
Từ mới ( biểu thị khái
niệm mới)

(Những ) từ chỉ miền
đối tượng đã biết

Tân từ

( loại)

Ví dụ: “Hình vuông là một hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp
bằng nhau”. Trong định nghĩa này, từ mới là hình vuông, loại hay miền
đối tượng là hình chữ nhật òn sự khác biệt về chủng là hai cạnh liên tiếp
bằng nhau.
Miền đối tượng (loại) và các thuộc tính về chủng tạo thành đặc
trưng của khái niệm. Đặc trưng của khái niệm là điều kiện cần và đủ để
xác định khái niệm đó. Cố nhiều cách nêu đặc trưng của cùng 1 khái
niệm tức là có thể định nghĩa cùng 1 khái niệm theo nhiều cách khác
nhau. . Chẳng hạn, hình vuông ngoài định nghĩa đã nêu trong ví dụ trên,
còn có thể được định nghĩa theo một cách khác, ví dụ như “Hình vuông
là hình thoi có một góc vuông”.
Trong định nghĩa theo cấu trúc đã nêu từ chỉ miền đối tượng hay
loại phải tương ứng với 1 khái niệm đã biết
Nguyễn Thị Phương Anh

18

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

c) Khái niệm không định nghĩa
Định nghĩa một khái niệm mới thường dựa vào một hay nhiều khái
niệm đã biết. Ví dụ để định nghĩa hình vuông ta cần định nghĩa hình chữ
nhật; để định nghĩa hình chữ nhật ta cần định nghĩa hình bình hành; để
định nghĩa hình bình hành ta cần định nghĩa tứ giác… Tuy nhiên quá
trình nay không thể kéo dài vô hạn. Tức là phải có khái niệm không định
nghĩa, được thừa nhận làm điểm xuất phát, gọi là những khái niệm
nguyên thuỷ, chẳng hạn người ta thừa nhận điểm, đường thẳng, mặt
phẳng là những khái niệm nguyên thuỷ.
Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông, cần
mô tả giảo thích thông qua các ví dụ cụ thể để học sinh hình dung được
những khái niệm này, hiểu được chúng 1 cách trực giác.
1.2.2. Vị trí của khái niệm và yêu cầu của dạy học khái niệm
a) Vị trí của dạy học khái niệm
Trong việc dạy học toán, cũng như việc dạy học bất cứ khoa học
nào ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành 1 cách
vững chắc cho học sinh 1 hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở của toàn bộ
kiến thức toán học cho học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho
họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học.
b) Yêu cầu của dạy học khái niệm
Việc dạy học khái niệm ở trường THPT phải làm cho học sinh dần
đạt được những yêu cầu sau:
- Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm.
- Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối
tượng cho trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không,
đồng thời biết thể hiện khái niệm.
- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm.

Nguyễn Thị Phương Anh

19

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong
hoại động giải toán và ứng dụng vào thực tế.
- Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái
niệm với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm.
Ví dụ đối với những khái niệm như “Hình bình hành”, “đạo
hàm”,…học sinh phải hiểu được định nghĩa một cách chính xác và vận
dụng được các định nghĩa đó trong khi giải bài tập, còn đối với khái
niệm “chiều” của vectơ, chương trình lại không đòi hỏi học sinh phải
nêu định nghĩa tường minhmà chỉ cần hình dung định nghĩa này một
cách trực giác dựa vào kinh nghiệm sống của bản thân mình.
1.2.3. Một số hình thức định nghĩa khái niệm thường dùng ở
phổ thông
a) Định nghĩa khái niệm theo hình thức loài- chủng
Nội dung: Định nghĩa theo phương pháp loài- chủng là một hình thức
định nghĩa nêu lên khái niệm loài và đặc tính của chủng.
Khái niệm được định nghĩa = Khái niệm loài + Đặc tính của chủng
♦ Ví dụ 1: “Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau”.
Trong định nghĩa này:
- Hình bình hành là khái niệm loài;

- Hai cạnh liên tiếp bằng nhau là đặc tính của chủng.
♦ Ví dụ 2: “Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là
1 và chính nó”. Ở đây:
-Số tự nhiên là khái niệm loài;
-Chỉ có hai ước số chung là 1 và chính nó là đặc tính của chủng.
b) Định nghĩa bằng quy ước
Nội dung: Định nghĩa bằng quy ước là hình thức định nghĩa gán cho đối
tượng cần định nghĩa 1 đối tượng cụ thể nào đó.
♦ Ví dụ:

a 0  1 ( Đối tượng cần định nghĩa là a 0  1 )

Nguyễn Thị Phương Anh

20

K37A Toán