Một số bài toán về tích phân chuyển động trong cơ lý thuyết

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
======

NGUYỄN THỊ THANH TÂM

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN CHUYỂN
ĐỘNG TRONG CƠ HỌC LÝ THUYẾT
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
======

NGUYỄN THỊ THANH TÂM

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN CHUYỂN
ĐỘNG TRONG CƠ HỌC LÝ THUYẾT
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Thị Hà Loan

HÀ NỘI, 2018

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô PGS.TS. Nguyễn Thị Hà Loan
đã tận tình hƣớng dẫn, chỉ bảo tạo mọi điều kiện thuận lợi và thƣờng xuyên
động viên để tôi hoàn thành khóa luận này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo của trƣờng Đại học Sƣ Phạm
Hà Nội 2 và các thầy cô trong khoa Vật Lý đã quan tâm và tạo điều kiện
thuận lợi giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn bên cạnh động
viên, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Hà nội, ngày 25 tháng 04 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Tâm


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng khóa luận tốt nghiệp này hòan tòan do sự nỗ lực của
bản thân cùng với sự hƣớng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Thị Hà Loan và NCS.
Đỗ Thị Thu Thủy, khóa luận này không hề sao chép từ các công trình nghiên
cứu của ngƣời khác. Các dữ liệu thông tin đƣợc sử dụng trong khóa luận là có
nguồn gốc và đƣợc trích dẫn rõ ràng.
Tôi xin chịu hoàn tòan trách nhiệm về lời cam đoan này!
Hà Nội, ngày 25 tháng 04 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Tâm

MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU ....................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu............................................................................... 2
4. Đối tƣợng nghiên cứu .............................................................................. 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ......................................................................... 2
PHẦN II: NỘI DUNG ................................................................................. 4
CHƢƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .................................................. 4
1.1. Phƣơng trình chuyển động ................................................................... 4
1.1.1.

Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm. ........................ 4

1.1.2.

Phƣơng trình chuyển động của hệ chất điểm. ................................ 5

1.2. Định luật bảo toàn xung lƣợng ............................................................. 6
1.3. Định luật bảo toàn moment xung lƣợng ............................................... 9
1.4. Định luật bảo toàn năng lƣợng ........................................................... 14
CHƢƠNG 2 : TÍCH PHÂN CỦA CHUYỂN ĐỘNG ................................ 16
2.1. Toạ độ suy rộng.................................................................................... 16
2.2. Xung lƣợng suy rộng............................................................................ 17
2.3. Hàm Hamilton ...................................................................................... 18
2.4. Các phƣơng trình Hamilton ................................................................. 20
2.5 Dấu ngoặc Poisson. Tích phân của chuyển động.................................. 21
CHƢƠNG 3. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN CỦA CHUYỂN ĐỘNG..... 30

3.1.Một số bài toán về tích phân chuyển động của chất điểm .................... 30
3.2. Một số bài toán về tích phân chuyển động của cơ hệ .......................... 33
PHẦN III: KẾT LUẬN ............................................................................... 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................... 37


PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Với sự phát triển hiện nay của nhiều ngành khoa học chúng ta có thể dần
khám phá ra những điều bí ẩn tồn tại trong thế giới tự nhiên. Một trong những
ngành khoa học ngày càng phát triển đó là vật lý. Trong ngành vật lý học có
rất nhiều kiến thức chuyên sâu giúp ta lý giải những vấn đề của thế giới mà
các ngành khoa học khác không thể giải thích rõ ràng đƣợc. Một trong những
công cụ chủ yếu của Vật lí học là Vật lí lý thuyết và Vật lí toán.
Sự ra đời của ngành vật lý lý thuyết này đã góp phần nâng cao và khái quát
hóa những định luật vật lý thành những quy luật, những học thuyết hết sức
tống quát, có ý nghĩa to lớn đối với sự phát triển của khoa học, đời sống
và kĩ thuật. Với sự kết hợp những phƣơng pháp toán học hiện đại, phát
triển cao, vật lý lý thuyết còn tìm ra đƣợc những quy luật mới chƣa tìm
đƣợc bằng thực nghiệm và tiên đoán trƣớc những mối quan hệ giữa các
hiện tƣợng vật lý.
Phƣơng pháp toán học giải tích nghiên cứu vật lý đặc biệt là nghiên cứu cơ
học đƣợc gọi là cơ lý thuyết. Cơ lý thuyết là môn khoa học nghiên cứu
quy luật chung nhất về chuyển động của vật thể mà không đề cập đến nguyên
nhân gây ra chuyển động, sự tƣơng tác giữa chúng trong không gian theo thời
gian.
Để học tập tốt hơn phần cơ học lý thuyết cần có hệ thống kiến thức cũng
nhƣ hệ thống bài tập cơ bản. Vì vậy, tôi xin chọn đề tài “Một số bài toán về
tích phân chuyển động trong cơ lý thuyết” làm đề tài nghiên cứu.

1


2. Mục đích nghiên cứu


Nghiên cứu về đại lƣợng bảo toàn trong cơ lý thuyết



Áp dụng để giải một số bài toán về tích phân chuyển động trong cơ học

lý thuyết
3. Nhiệm vụ nghiên cứu


Nghiên cứu các đại lƣợng động lực trong cơ học lý thuyết



Nghiên cứu quy luật bảo toàn trong cơ lý thuyết



Nghiên cứu một số bài tập về tích phân chuyển động trong cơ lý thuyết.

4. Đối tƣợng nghiên cứu


Nghiên cứu quy luật bảo toàn đối với chất điểm và hệ chất điểm trong

hệ toạ độ suy rộng


Áp dụng giải một số bài tập

5. Phƣơng pháp nghiên cứu


Phƣơng pháp nghiên cứu trong cơ học



Phƣơng pháp giải tích toán học

PHẦN II: NỘI DUNG
Chƣơng 1: Các khái niệm cơ bản
1.1 Phƣơng trình chuyển động
1.1.1.

Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm

1.1.2.

Phƣơng trình chuyển động của hệ chất điểm

1.2 Định luật bảo toàn xung lƣợng
1.3 Định luật bảo toàn Moment xung lƣợng
1.4 Định luật bảo toàn năng lƣợng

2


Chƣơng 2: Tích phân của chuyển động
2.1 Toạ độ suy rộng
2.2 Xung lƣợng suy rộng
2.3 Hàm Hamilton
2.4 Các phƣơng trình Hamilton
2.5 Dấu ngoặc Poisson. Tích phân của chuyển động
Chƣơng 3: Một số bài toán về tích phân của chuyển động
3.1 Một số bài toán về tích phân chuyển động của chất điểm
3.2

Một số bài toán về tích phân chuyển động của cơ hệ

PHẦN III: KẾT LUẬN

3


PHẦN II: NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Phƣơng trình chuyển động
1.1.1. Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm.
Khảo sát chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu quán tính

. Theo

tiên đề độc lập tác dụng, chất điểm có khối lƣợng m sẽ chuyển động với gia
tốc ⃗⃗ thỏa mãn phƣơng trình

⃗⃗
Trong đó

(1.1)
⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ . Tùy theo những điều kiện cụ thể của bài

toán, ta có thể chọn các hệ toạ độ khác nhau và viết phƣơng trình(1.1) trong
hệ toạ độ đã chọn để sao cho giải bài toán là đơn giản nhất.
Trong trƣờng hợp tổng quát ta chọn hệ toạ độ Descartess

và chiếu

phƣơng trình (1.1) lên các trục của hệ toạ độ đã chọn với chú ý rằng:
̈

̈

̈
z

Ta đƣợc phƣơng trình vô hƣớng:
̈

(1.2.a)
̈

̈

𝐹
M

O

(1.2.b)

y

(1.2.c)
x

Hình 1.1

gọi là hệ phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm trong hệ toạ độ
Descartes.
Trong nhiều trƣờng hợp ta biết trƣớc quỹ đạo chuyển động của chất điểm,
do đó ta có thể xây dựng đƣợc hệ toạ độ tự nhiên

⃗ ⃗ , tại mỗi điểm trên

đƣờng cong. Trong các trƣờng hợp đó ta thƣờng chọn các hệ toạ độ tự nhiên
để viết các phƣơng trình hình chiếu của phƣơng trình (1.1) với chú ý rằng:

4


⃗⃗

̈

⃗

ta đƣợc:

M

̈

(1.3.a)

𝑏⃗

(1.3.b)

𝜏
𝑛⃗

Hình 1.2

(1.3.c)
Hệ phƣơng trình vừa viết gọi là hệ phương trình vi phân chuyển động của
chất điểm dưới dạng tự nhiên.
Trong các chuyển động phẳng ta còn dùng các hệ toạ độ cực

để viết

các phƣơng tình hình chiếu. Chú ý rằng:

⃗⃗

̇

̇

̈

̇ ̇

Ta nhận đƣợc các phƣơng trình hình chiếu của(1.1)
̇
̈

̇

(1.4.a)
̇ ̇

,

𝑒𝜑

(1.4.b)

𝑒𝑟
O

𝜑

Hệ phƣơng trình vi phân vừa thu đƣợc
gọi là hệ phương trình vi phân chuyển
động của chất điểm dưới dạng toạ độ cực.
Nói chung, tuỳ theo các bài toán cụ thể ta còn có

Hình 1.3

thể sử dụng các hệ toạ độ khác để viết các phƣơng
trình vi phân chuyển động của chất điểm nhƣ hệ
toạ độ cầu, hệ toạ độ trụ, v.v…
1.1.2. Phƣơng trình chuyển động của hệ chất điểm.


Hệ chất điểm

-

Là tập hợp các vật thể mà mỗi vật thể đƣợc xem nhƣ là một chất điểm
5




Nội lực

-

Là lực do các chất điểm của hệ tƣơng tác với nhau

-

Kí hiệu:

là nội lực do chất điểm

tác dụng lên chất điểm

;

là nội lực do (N – 1)chất điểm còn lại trong hệ tác dụng lên chất điểm


Ngoại lực

-

Là lực do các vật thể bên ngoài tác dụng lên chất điểm của hệ

-

Kí hiệu:



Phƣơng trình chuyển động của hệ chất điểm

-

Xét chuyển động của hệ gồm N chất điểm đối với hệ quy chiếu quán

là ngoại lực tác dụng lên chất điểm

của hệ

tính, khi ấy chuyển động của hệ đối với hệ quy chiếu quán tính đó đƣợc xác
định bởi N phƣơng trình vi phân hạng hai sau đây:
(k =1, 2, 3, …, N)
Hay
⃗⃗
Trong đó:
⃗⃗

(k =1, 2, 3, …, N) (1.2)
là khối lƣợng của chất điểm thứ k

là gia tốc của chất điểm thứ k

1.2. Định luật bảo toàn xung lƣợng
Định luật bảo toàn xung lƣợng liên quan chặt chẽ với tính đồng nhất của
không gian.
Do tính đồng nhất của không gian, các tính chất cơ học của hệ kín không
thay đổi đối với sự dịch chuyển song song bất kì của cả hệ trong không gian.
Tƣơng ứng với nhận xét trên chúng ta sẽ xem xét một sự dịch chuyển song
song vô cùng nhỏ đi một đoạn và yêu cầu sao cho hàm Lagrange không thay
đổi

6


Sự dịch chuyển song song có nghĩa là pháp biến đổi trong đó tất cả các

điểm của hệ đã dịch chuyển đi cùng một đoạn, có nghĩa là các vector bán kính
của chúng

. Sự thay đổi của hàm Lagrange trong kết quả của sự

dịch chuyển song song đi một đoạn vô cùng nhỏ, khi vận tốc của các hạt
không đổi sẽ là:

∑

∑

(1.2.1)

Ở đây tổng đƣợc lấy theo tất cả số hạt của hệ.
Vì

đƣợc chọn tùy ý cho nên yêu cầu

∑

tƣơng đƣơng với yêu cầu

(1.2.2)
Từ phƣơng trình chuyển động Lagrange và điều kiện trên ta sẽ nhận đƣợc:
∑

∑

⃗

(1.2.3)

⃗

Nhƣ vậy chúng tá đi đến kết luận là đối với hệ cơ học kín đại lƣợng vector.
∑

(1.2.4)

⃗

Không thay đổi trong quá trình chuyển động. Vector ⃗ đƣợc gọi là xung
∑

lƣợng của hệ. Thay hàm Lagrange

vào

biểu thức (1.2.4) trên ta có:
∑

∑

(1.2.5)

Tính chất cộng tính của xung lƣợng đƣợc thể hiên qua công thức trên một
cách rõ rệt. Khác với năng lƣợng, xung lƣợng của hệ bằng tổng các xung
lƣợng của từng hạt của hệ.

7


Định luật bảo toàn tất cả ba thành phần của véc tơ xung lƣợng chỉ xảy ra
trong trƣờng hợp không có trƣờng ngoài. Tuy nhiên từng thành phần của
vector xung lƣợng có thể bảo toàn khi tồn tại trƣờng ngoài có thế năng không
phụ thuộc vào các toạ độ Descartes. Khi dịch chuyển dọc theo trục toạ độ
tƣơng ứng nào đó hiển nhiên là các tính chất cơ học của hệ sẽ không thay đổi
và cũng bằng lí luận nhƣ trên chúng ta sẽ thấy rằng hình chiếu của xung lƣợng
lên trục đó bảo toàn. Nhƣ vậy trong trƣờng đồng nhất hƣớng dọc theo trục z,
thì các thành phần xung lƣợng dọc theo trục x, y đƣợc bảo toàn.
Đẳng thức (1.2.2) có ý nghĩa vật lí đơn giản nhƣ sau:
∑

∑

∑

(1.2.6)

Tổng các lực tác động lên tất cả các hạt của hệ kín bằng không.
Trong trƣờng hợp riêng khi hệ kín tạo bởi hai hạt thì
∑

(1.2.7)

Từ (1.2.7) ta thấy lực tác động lên hạt thứ nhất từ phía hạt thứ hai bằng vền
giá trị nhƣng ngƣợc hƣớng với lực tác động lên hạt thứ hai từ phía hạt thứ
nhất. Đó chính là định luật cân bằng tác động lực và phản lực ( định luật thứ
ba Newton).

Nếu chuyển động của hệ đƣợc mô tả bởi các toạ độ suy rộng qi thì các đại
lƣợng :
̇

đƣợc gọi là các xung lƣợng suy rộng
đƣợc gọi là lực suy rộng

Trong kí hiệu đó thì phƣơng trình chuyển động Lagrange có dạng:

8


̇
1.3.

Định luật bảo toàn moment xung lƣợng

Bây giờ chúng ta xem xét định luật bảo toàn khác có nguồn gốc liên quan
với tính chất đẳng hƣớng của không gian.
Tính chất đẳng hƣớng của không gian có nghĩa là các tính chất cơ học của
hệ kín sẽ không đổi khi ta quay hệ nhƣ một thể thống nhất trong không gian.
Tƣơng ứng với điều vừa nêu ra, ta xem xét một phép quay vô cùng nhỏ của
cả hệ và yêu cầu hàm Lagrange của hệ không đổi (

.

Ta đƣa vào khái niệm vector yếu tố góc quay vô cùng nhỏ ⃗ , nó là vector
hƣớng theo trục quay và có giá trị bằng góc quay

( sao cho chiều quay ứng

với quy tắc đinh vít đối với chiều của ⃗ ).
Trƣớc hết ta tính xem trong phép quay đó số gia của bán kính bằng bao
nhiêu; vector bán kính này vẽ từ gốc toạ độ chung( nằm trên trục quay ) đến
một chất điểm nào đó thuộc hệ cơ học quay.
|

|

(1.3.1)

Hƣớng của vector

vuông góc với mặt phẳng chứa các vector

và

⃗,

do vậy ta có:
[ ⃗

]

(1.3.2)

Số gia vận tốc của chất điểm tƣơng đối với hệ toạ độ bất động sẽ là:
[ ⃗

]

(1.3.3)

Thay các biểu thức đó vào điều kiện bất biến của hàm Lagrange trong phép
quay ta có:
∑ (

⃗

)
𝛿𝜑

𝛿𝜑
⃗
𝜃
O
9

𝑟

𝛿𝑟


∑ (

[ ⃗

]

̇ và

Thay
∑ ( ̇ [ ⃗

⃗

])

(1.3.4)

vào biểu thức trên ta có:

⃗

]

[ ⃗

[ ⃗

])

(1.3.5)

Làm phép giao hoán đối với tích hỗn hợp ta sẽ thu đƣợc:
∑

̇ ]

⃗[

∑

⃗[

]

̇ ]

⃗ ∑ ([

[

])

(1.3.6)
⃗

∑ [

]

Vì vector yếu tố góc ⃗ đƣợc chọn tùy ý nên ta có:
∑ [

]

a

(1.3.7)

Nhƣ vậy, ta đi đến kết luận là trong quá trình chuyển động của một hệ kín,
đại lƣợng:
⃗⃗

∑ [

]

(1.3.8)

đƣợc bảo toàn. Đại lƣợng đó đƣợc gọi là moment xung lƣợng ( đơn giản
còn gọi là moment quay hay moment góc) của hệ cơ học. Từ công thức
(1.3.8) ta nhận thấy moment xung lƣợng có tính chất cộng tính và cũng nhƣ
xung lƣợng. tính chất đó không phụ thuộc và việc các hạt có tƣơng tác với
nhau hay không .
Nhƣ vậy đối với hệ cơ học độc lập kín có bảy tích phân chuyển động đó là
năng lƣợng , ba thành phần của vector xung lƣợng và ba thành phần của
moment xung lƣợng.

10


Vì trong định nghĩa của moment xung lƣợng có chứa vector bán kính của
hạt nên nói chung giá trị của moment xung lƣợng phụ thuộc vào sự lựa chọn
gốc toạ độ.
và

Nếu

là các vector bán kính của cùng một điểm tƣơng đối với các

gốc toạ độ, cách nhau một khoảng

thì các vector đó liên hệ với nhau bởi

biểu thức
và khi đó ta có :
⃗⃗

∑ [

]

∑ [

]

∑ [(
∑

[

)

]

]

(1.3.9)

Hay
⃗⃗

⃗⃗

[

Ở đó ⃗

∑

⃗]

(1.3.10)

.

Từ công thức (1.3.10) ta thấy chỉ trong trƣờng hợp hệ nhƣ một vât thể đứng
yên ( có nghĩa ⃗

) thì moment xung lƣợng của hệ mới không phụ thuộc

vào việc chọn gốc toạ độ.
Bây giờ chúng ta đi xét mối quan hệ của moment xung lƣợng đối với hai hệ
quy chiếu quán tính khác nhau K và K’. Giả sử K’ chuyển động tƣơng đối với
hệ quy chiếu quán tính K với vận tốc không đổi ⃗ và các gốc toạ độ của K và
K’ ở một thời điểm cho trƣớc nào đó trùng nhau. Ở thời điểm này các vector
bán kính của hạt ở trong hai hệ quy chiếu là nhƣ nhau , còn vận tốc của chúng
thì liên hệ với nhau theo biểu thức:

⃗

(1.3.11)

11


Nhƣ vậy ta có:
⃗⃗

∑

[

∑

[

∑

[

⃗⃗

∑

[

⃗⃗

[⃗

Hay ⃗⃗

]
⃗ )]

(
]

∑

⃗]

[

⃗]
⃗]

(1.3.12)

Ở đó ⃗ là vectơ bán kính của tâm quán tính của hệ.
Công thức trên xác định quy luật biến đổi của moment xung lƣợng khi
chuyển từ hệ quy chiếu quán tính này sang hệ quy chiếu quán tính khác.
Nếu hệ

là hệ quy chiếu quán tính mà tƣợng đối với nó hệ cơ học bất

động nhƣ một vật thể thống nhất thì khi đó ⃗

⃗ chính là xung lƣợng của

hệ cơ học nhƣ một vật thể thống nhất tƣơng đối với hệ quy chiếu quán tinh K
và:
⃗⃗

⃗⃗

[⃗

⃗]

(1.3.13)

Nói cách khác , moment xung lƣợng của hệ cơ học bằng tổng của moment
riêng của hệ cơ học ⃗⃗ tƣơng đối với hệ quy chiếu trong đó hệ cơ học bất
động tuyến tính và moment [ ⃗

⃗ ] liên quan với sự chuyển động của hệ nhƣ

một vật thể thống nhất.
Mặc dầu định luật bảo toàn ba thành phần của vector moment xung lƣợng (
đối với điểm gốc toạ độ tùy ý) chỉ đúng với hệ kín, nhƣng cả trƣờng hợp khi
hệ cơ học nằm ở trƣờng ngoài, định luật bảo toàn moment vẫn có thể dúng
trong một dạng hẹp hơn. Từ những suy luận ở trên ta thấy hình chiếu của

12


moment trên trục đối xứng của trƣờng ngoài luôn đƣợc bảo toàn. Vì rằng

những tính chất cơ học của hệ không thay đổi khi quay hệ với một góc tùy ý
xung quanh trục đó, dĩ nhiên moment ở đây phải đƣợc xác định đối với điểm
(gốc toạ độ) nằm trên trục đối xứng của trƣờng ngoài.
Trƣờng hợp quan trọng nhất về loại trƣờng đó là trƣơng đối xứng xuyên
tâm, có nghĩa là trƣờng có thế năng chỉ phụ thuộc vào khoảng cách đến một
điểm nào đó xác định trong không gian ( tâm của trƣờng). Dĩ nhiên nếu cơ
học chuyển động trong một trƣờng nhƣ vậy thì hình chiếu của momnen trên
mọi trục đi qua tâm của trƣờng đều đƣợc bảo toàn. Nói ⃗⃗ đƣợc bảo toàn
nhƣng ở đây, ⃗⃗ xác định không phải đối với bất kì điểm nào trong không
gian, mà phải đối với tâm của trƣờng.
Một ví dụ khác: trƣờng đồng nhất dọc theo trục z trong đó hình chiếu M
đƣợc bảo toàn, ở đây gốc toạ độ có thể lấy tùy ý.
Ta nhận thấy rằng hình chiếu của moment trên trên trục z có thể tính bằng
cách lấy đạo hàm hàm số Lagrange theo công thức :
∑
Với toạ độ

(1.3.14)
̇

là góc quay quanh trục z.

Đúng vậy, trong toạ độ trụ
∑
∑

̇

ta có

và

;

̇

̇

(1.3.15)

Mặt khác, hàm Lagrange trong toạ độ trụ của hệ có dạng
∑
̇

̇

13


Và nếu thay biểu thức này vào công thức (1.3.14) ta đƣợc ngay biểu thức
(1.3.15
1.4.

Định luật bảo toàn năng lƣợng

Khi chuyển động, các đại lƣợng qi, ̇ i(i = 1,2,….,s) xác định trạng thái của
hệ cơ học sẽ thay đổi theo thời gian. Tuy nhiên vẫn tồn tại các hàm của qi và
̇ i có giá trị không đổi khi hệ chuyển động và chỉ phụ thuộc vào điều kiện ban
đầu. các hàm đó đƣợc gọi là các tích phân chuyển động.
Tìm tất cả các tích phân chuyển động đối với một hệ cơ học tùy ý là rất phức

tạp và trong một số ít trƣờng hợp có thể đạt đƣợc dƣới dạng giải tích.
Mặt khác, không phải tất cả tích phân chuyển động có vai trò quan trọng nhƣ
nhau trong cơ học. Giữa chúng có vài đại lƣợng mà sự bảo toàn của chúng có
nguồn gốc sâu xa liên quan đến các tính chất cơ bản của không gian và thời
gian- tính chất đồng nhất và đẳng hƣớng của không gian và thời gian.
Chúng ta bắt đầu xem xét tích phân chuyển động thứ nhất, đó là năng lƣợng.
Định luật bảo toàn năng lƣợng liên quan mật thiết với tính đồng nhất của thời
gian.
Do tính chất đồng nhất của thời gian, hàm Lagrange của hệ kín không phụ
thuộc tƣờng minh vào thời gian ( có nghĩa là

= 0 ) và ta có thể viết đạo hàm

toàn phần theo thời gian của hàm Lagrange của hệ cơ học kín nhƣ sau:
∑
̇

∑
̇

̇

Từ các phƣơng trình Lagrange

(1.4.1)
=0
̇

Với i = 1,2,….s, ta suy ra:
̇

(1.4.2)

Thay (1.4.2) vào (1.4.1) ta có:

14


∑
Hay là

(
̇

*∑ ̇

đại lƣợng *∑ ̇

∑
̇

)

+
̇

̇

̈

∑

(
̇

̇)

, tức là :

+
̇

(1.4.3)

(1.4.4)

trong quá trình chuyển động của hệ cơ học kín.
Đại lƣợng E không đổi đó đƣợc gọi là năng lƣợng của hệ cơ học.
Tính chất cộng tính của năng lƣợng đƣợc trực tiếp suy ra từ tính chất cộng
tính của hàm Lagrange.
Định luật bảo toàn năng lƣợng đúng không chỉ riêng cho hệ kín mà còn đúng
cho các hệ nằm trong trƣờng ngoài không đổi ( trƣờng ngoài không phụ thuộc
vào thời gian).
Ta đã biết hàm Lagrange của hệ cơ học kín có các hạt tƣơng tác lẫn nhau
nhƣng không tƣơng tác với các hạt bên ngoài là
∑

(1.4.5)

Thay (1.4.5) vào (1.4.4) ta có :

∑

(1.4.6)

Số hạng đầu của (1.4.6) ∑
hai

đƣợc gọi là động năng còn số hạng thứ

đƣợc gọi là thế năng của hệ.

Năng lƣợng của hệ E bằng tổng của động năng T và thế năng U của hệ.

15


CHƢƠNG 2 : TÍCH PHÂN CỦA CHUYỂN ĐỘNG
2.1. Toạ độ suy rộng
Để đơn giản, ta khảo sát cơ hệ Hôlônôm gồm N chất điểm Mi(i=1,2,…,N)
với liên kết đƣợc đặt lên nó đƣợc biểu diễn bằng n phƣơng trình
(

)

(2.1.1)

Nếu n phƣơng trình liên kết này là độc lập thì trong số 3N toạ độ Descartes
có

toạ độ độc lập. Vậy muốn xác định

đơn giá vị trí cần phải xác định S thông số độc lập. Ta kí hiệu S thông số độc
lập là

. Những thông số độc lập cần thiết

để

xác định đơn giá vị trí của cơ hệ đƣợc gọi là những toạ độ suy rộng. Số toạ độ
suy rộng đủ để xác định vị trí của cơ hệ đúng bằng số bậc tự do của cơ hệ
Giữa toạ độ suy rộng

và các bán kính vectơ

có mối liên hệ đƣợc biểu diễn bới các phƣơng trình sau :
(2.1.2)

hay

Ví dụ : xét chuyển động của một chất điểm trên đƣờng tròn bán kính R.
Đƣờng tròn là liên kết đặt lên chất điểm

y

đƣợc biểu diễn bằng phƣơng trình liên kết :
M

R

O

Hình 2.1
16

𝜑

x


Số toạ độ độc lập là một ta có thể chọn x
hoặc y, hoặc góc làm toạ độ suy rộng thì ta
có :

Nói chung với một bài toán cơ học nhất định có nhiều cách chọn toạ độ suy
rộng khác nhau. Tùy theo tính chất của bài toán mà ta cần chọn hệ toạ độ suy
rộng thích hợp để giải bài toán đƣợc thuận lợi hơn. Ví dụ bài toán có đối xứng
cầu thì chọn hệ toạ độ suy rộng là hệ toạ độ cầu là đơn giản hơn cả.
2.2. Xung lƣợng suy rộng
Hàm Lagrange L có thể viết dƣới dạng :
( ̇)

∑
Đại lƣợng : ⃗

(2.2.1)
̇

̇

(2.2.2)

gọi là xung lƣợng của chất điểm Mi. Trƣờng hợp tổng quát thì
(2.2.3)
̇

đƣợc gọi là xung lƣợng suy rộng.
Thế năng U không phụ thuộc vào ̇

nên biểu thức của Pk

có thể viết :
̇

̇

∑
̇

(2.2.4)

17


2.3. Hàm Hamilton
Hàm Lagrange L là hàm của toạ độ suy rộng qk, vận tốc suy rộng ̇
và thời gian t. Vi phân toàn phần hà L cho ta :
∑
Vì

(

và

̇

̇ )
̇

̇
̇

Nên ta có thể viết biểu thức

∑
Hàm ∑

dƣới dạng :

̇
̇

(2.3.1)

∑

( ̇

̇ )

∑

[ ̇
̇

∑

( ̇

̇

̇

]

)

(2.3.2)

biểu diễn qua các biến số qk, Pk (k=1,2,..,S) và ta gọi

là hàm Hamilton H :
∑
̇

(2.3.3)

Chia hai vế của phƣơng trình (2.3.2) cho dt và chú ý rằng

̇

̇ ta thu đƣợc :

(2.3.4)
Nếu liên kết đặt lên cơ hệ là dừng thì

và do đó hàm Lagrange

không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian, nghĩa là
đƣợc định luật bảo toàn đại lƣợng H :

18

. Khi đó ta thu


∑

hay

̇

(2.3.5)

Ta hãy chứng minh hàm Hamilton H trong trƣờng hợp này trùng với năng
lƣợng toàn phần của hệ.
Đối với liên kết dừng ta có:

∑
∑
∑

̇ ̇

̇
∑
̇

Vậy:

∑

∑

∑

̇ ̇

̇

(2.3.6)

Động năng của cơ hệ có thể biểu diễn qua
⃗
∑

⃗⃗⃗⃗

∑

(2.3.7)
Hàm Hamilton hay còn gọi tắt là Hamiltonien của cơ hệ trƣờng hợp này có
dạng:

∑

⃗⃗⃗⃗⃗

(2.3.8)

19