BAI TAP TOAN 11 HKII

Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

Trường THP

Phần 1- ĐẠI SỐ V

À GIẢI TÍCH

CHƯƠNG IV GIỚI HẠN
§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A- KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Giới hạn hữu hạn của dãy số:
1. Các giới hạn đặc biệt:
•
•
•
•

nếu

•
2. Định lí :
a) Nếu

thì

•
•
•
•
b)

II.

(nếu
Nếu

và

Giới hạn vô cực của dãy số:
1. Các giới hạn đặc biệt:
•
Trang 1

)
thì

và


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

Trường THP

•
•
•
2. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực:
a) Giới hạn của tích:
Quy tắc 1:

Quy tắc 2:

Dấu
của L
+
+
b) Giới hạn của thương:
Quy tắc 1:

: Nếu

và

Quy tắc 2:
Dấu của
L

Dấu của

Trang 2

thì


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

+
+
-

Trường THP

+
+
-

* Khi tính giới hạn gặp một trong các dạng vô định:
– ∞, 0.∞ thì phải tìm cách khử dạng vô định.
B- BÀI TẬP :
1. Tính các giới hạn sau :
b)
a)
c)

d)
f)

e)
g)

h)
j)

i)
2. Tính các giới hạn sau:
b)
a)
d)
c)

Trang 3

,

,∞


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

Trường THP

f)
e)
3. Tính các giới hạn sau:
b)

a)

d)

c)

f)

e)

h)

g)

j)
i)

l)
k)
4. Tính các giới hạn sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

§2.GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A- KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Các giới hạn đặc biệt:
•
Trang 4


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

•

Trường THP

(c là hằng số)

•

với k nguyên dương

•

nếu k là số lẻ

•
•
•

nếu k là số chẵn
1
lim = 0
x →±∞ x
1
lim k = 0
x →±∞ x
với k nguyên dương.

II. Giới hạn hữu hạn:
Dạng

1:

:

Phải đơn giản cho được lượng
Chú ý:

của phương trình
III. Giới hạn tại vô cực:

với

là 2 nghiệm

.

Dạng 2 :
: chia tử và mẫu cho
số mũ cao nhất của tử và mẫu.
Dạng 3:
lượng liên hợp sau đó đưa về dạng 2.
IV. Giới hạn vô cực:
Khi
Dạng 4:
Trang 5

với n là

(có chứa căn): dùng


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

Trường THP

Dạng 5:
Dạng 6:

Giới hạn một bên:
lim f ( x ) = L ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L
x → x0

x → x0

x → x0

B- BÀI TẬP
1 Tính các giới hạn sau:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)
Trang 6


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

Trường THP

q)
5. Tính các giới hạn sau:

a)

b)

c)

d)

e)

f)
h)

g)
6. Tính các giới hạn sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

Trang 7


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

Trường THP

m)

n)

o)

p)

7. Tính các giới hạn sau:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

8. Tìm giới hạn một bên và giới hạn nếu có của các hàm số sau:

a)

b)

c)

khi

khi

khi

Trang 8

và khi


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

Trường THP

d)

khi

e)(*)

khi

§3.HÀM SỐ LIÊN TỤC
A- KIẾN THỨC CƠ BẢN
I.
Hàm số liên tục tại một điểm:
liên tục tại
Xét tính liên tục tại một điểm:
Dạng 1:
Dạng
II.

2:

,

Các định lý cơ bản:
Định lý 1:
 Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực
.
 Hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên
từng khoảng xác định của chúng.
Định lý 2: Nếu hàm số

liên tục trên đoạn

, thì tồn tại ít nhất một điểm

và
sao cho

.
Ý nghĩa: Nếu hàm số

liên tục trên đoạn

, thì phương trình
Trang 9

và

có ít nhất một


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

Trường THP

nghiệm nằm trong khoảng
.
B- BÀI TẬP:
1 Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x 0 :
 x2 − 9
khi x ≠ 3

 x −3

khi x = 3

a)f(x) = 6
tại x0=3
 x 2 − 25
khi x ≠ 5

 x −5

khi x = 5 tại x =5
b)f(x) = 9
0
 2 − 7 x + 5 x 2 − x3
khi x ≠ 2

f ( x ) =  x 2 − 3x + 2
1
khi x = 2


c)

x + x+2
khi x ≠ −1
 3
f ( x) =  x +1
4
khi x = −1
 3
d)

tại x0 = 2

3

tại x0 = -1

e)

tại x0 = 2

f)

tại x0 = 4

g)

tại x0 = 2

 x + x − 1 khi x ≤ −1
f ( x) = 
khi x > −1 tại x = -1
3 x + 2
h)
0
4

2

Trang 10

Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II
2

khi x < 0
x
f ( x) = 

1 − x khi x ≥ 0
i)

Trường THP

tại x0 = 0
x
−
5

khi x > 5

 2x −1 − 3
f ( x) = 
3
khi x ≤ 5

2
j)
tại x0=5
3
 3x + 2 − 2
khi x ≠ 2



f ( x) =  x − 2
3
khi x = 2

4
k)(*)
tại x0 = 2

9. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x 0

 x+3−2
khi x ≠ 1

f ( x) =  x −1
 a+1
khi x = 1

a)
tại x0=1
 x+2 −2
khi x ≠ 2

 x2 − 4
a
khi x = 2
b)f(x) = 
tại x0=2

c)

tại x0=1

 3 3x + 2 − 2
khi x > 2


f ( x) =  2 − x
ax + 1
khi x ≤ 2


4
d)(*)
tại x0 = 2

10. a) Chứng minh rằng phương trình
một nghiệm trong khoảng (0;1).
Trang 11

có ít nhất


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

Trường THP

b) Chứng minh phương trình
biệt.

có 3 nghiệm phân

c) Chứng minh phương trình
phân biệt.

có 3 nghiệm

d) Chứng minh phương trình
nghiệm phân biệt trong khoảng
e) Chứng minh rằng phương trình
nghiệm.
f) Chứng minh phương trình
nghiệm.
g) Chứng minh phương trình
phân biệt.

Trang 12

có ít nhất 3
.
có ít nhất hai
có
có năm nghiệm


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

Trường THP

CHƯƠNG V- ĐẠO HÀM
A- KIẾN THỨC CƠ BẢN:

Các công thức tính đạo hàm:



Phương trình tiếp tuyến:
 Hàm số

có đồ thị là đường cong (C). Tiếp tuyến với

(C) tại
 Phương

có hệ số góc
trình

tiếp

tuyến

.
tại

Lưu ý: Ta phải tìm được 3 đại lượng:
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hoành độ tiếp điểm


Tính đạo hàm

Trang 13

:


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

Trường THP



Thay

vào

tính



Thay

vào

tính



Phương trình tiếp tuyến:

Dạng 2: Viết phương tiếp tuyến khi biết tung độ tiếp điểm



Giải phương trình



Thay

vào

tìm

.

.

tính

Phương trình tiếp tuyến:
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc




Giả sử tiếp điểm là



Giải phương trình



Thay



Phương trình tiếp tuyến:

vào

tìm
ta tìm được

.

.
.

Lưu ý:


Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng

thì

.


Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

.
B- BÀI TẬP:
1 Tính đạo hàm các hàm số sau bằng định nghĩa
a.

tại

b.

tại

c.

tại

d.
e.

tại
tại
Trang 14

thì


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

f.

Trường THP

tại

g.
tại
11. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a)

b)

c)
d)
f)

e)
g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

12. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

Trang 15


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

Trường THP

k)

l)

m)

n)

o)
13. (*)

p)

a) Cho hàm số
b) Cho hàm số

. CMR:
. CMR:

c) Cho hàm số

. CMR:

Trong đó:
14. Áp dụng các kết quả bài 4, tính đạo hàm các hàm số sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)
Trang 16


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

Trường THP

15. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)
16. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)
Trang 17


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

Trường THP

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y)

z)

aa)
17. (*)Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc
vào x:
a
a).

18. Cho Parabol (P) có phương trình
tuyến Parabol(P).
a

. Tìm hệ số góc của tiếp

Tại điểm

b). Tại giao điểm của (P) với đường thẳng
19. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

a Tiếp điểm có hoành độ bằng -1.
c). Tiếp điểm có tung độ bằng 8.
d). Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
20. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong
a Tại điểm
e). Tại điểm có hoành độ bằng 2
21. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hyperbol
Trang 18

.
, biết:


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

Trường THP

a Tại điểm
f). Tại điểm có hoành độ bằng -1
g). Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
22. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số :
a
h).

, biết hoành độ tiếp điểm là
, biết tung độ tiếp điểm là

.

23. Cho hàm số

có đồ thị là (C). Viết phương trình
tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó:
a

Song song với đường thẳng

i). Vuông góc với đường thẳng
j). (*) Đi qua điểm A(0;2)
24. Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)
h)
i)
25. Cho hàm số, chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm:

Trang 19


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

Trường THP

a
k).

CMR:
CMR:

l).

CMR:

m).

CMR:

n).
o).

CMR:
CMR:

p).

CMR:

q).

CMR:

r).

CMR:

s).
CMR:
26. Tính đạo hàm của các hàm số sau đến cấp đã chỉ ra:
a)

b)

c)

d)

ÔN TẬP CHƯƠNG V
1

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)

b)

27. Cho hàm số

Trang 20


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

a
b

Trường THP

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành
độ
.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hm số biết tiếp tuyến song
song với d:

.

28. Cho

. Giải bất phương trình

29. Cho
. Giải bất phương trình
30. Tìm đạo hàm của các hàm số:
a)

.

b)

31. Cho hàm số
(C):
a

.

.

(C). Viết phương trình tiếp tuyến của

Tại điểm có tung độ bằng 3 .

t). Vuông góc với đường thẳng có phương trình
32. Cho

.

. Giải phương trình

33. Cho

.

. Chứng minh rằng:

34. Cho hàm số

.

. Giải phương trình
.

35. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

a

:

Tại điểm M (–1;–2)

u). Vuông góc với đường thẳng d:
36. Cho hàm số:

.

. Chứng minh rằng:

.
37. Tính đạo hàm của các hm số sau:
Trang 21


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

Trường THP

a)

b)

c)

d)

38. Cho
trình

. Giải phương
.

39. Cho hàm số

(C).

a

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với

b

đường thẳng d:
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc
đường thẳng ∆:

40. Cho hàm số:

(C)

a

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
.
v). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc
41. Cho

. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d: y = 9x + 2011.
42. Cho
. Với giá trị nào của x thì
43. Tính đạo hàm các hm số sau:
a)
44. Cho hm số

b)
có đồ thị (H).

Trang 22

.


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

Trường THP

a Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại A(2; 3).
w). Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng

.

45. Cho đường cong (C):
tuyến của (C):
a

. Viết phương trình tiếp

Tại điểm có hoành độ bằng 2.

x). Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng
46. Cho hàm số

.

có đồ thị (C).

a Giải phương trình:
.
y). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
bằng 1.
47. a) Cho hàm số

. Tính

.

b) Cho hàm số
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) tại điểm I(1;–2).
48. a) Cho hàm số

. Chứng minh rằng:

.

b) Cho hàm số
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) tại điểm A(2; –7).
49. a) Cho hàm số

. Tính

.

b)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số
tại giao điểm của (C) với trục hoành.
50. a) Cho hàm số

. Tính

.

b) Cho hàm số
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Trang 23


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

Trường THP

51. a) Cho hàm số

. Tính

.

b) Cho hàm số
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
.
52. a) Cho hàm số

. Tính

b) Cho hàm số

.

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến

của (C) biết tiếp tuyến song song với d:
53. a) Cho hàm số

. Tính giá trị của biểu thức:
.

b) Cho hàm số

(C). Viết phương trình tiếp tuyến

với (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:
.
54. a) Cho hàm số

. Chứng minh:

.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm M (–1;–2).
55. a) Cho hàm số

. Chứng minh rằng:
.

b) Cho (C):

. Viết phương trình tiếp tuyến của (C),

biết tiếp tuyến vuơng góc với đường thẳng d:
Trang 24

.


Bài Tập Toán 11 Học Kỳ II

Trường THP

Phần 2- HÌNH HỌC
CHƯƠNG III – QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG
KHÔNG GIAN
§1. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG
GÓC VỚI MẶT PHẲNG

A-KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Hai đường thẳng vuông góc:
1. Góc giữa hai đường thẳng:
Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian là góc giữa
hai đường thẳng cắt nhau a’, b’ lần lượt song song hoặc
trùng với a và b. Ký hiệu là (a,b)
Chú ý:
Nếu a // b hoặc a ≡ b thì
2. Hai đường thẳng vuông góc: Nếu góc giữa hai đường
thẳng bằng 90 0 người ta nói hai đường thẳng đó vuông góc
với nhau.
Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau
hoặc chéo nhau.
II. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Định nghĩa: Đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng
nếu

vuông góc với mọi đường thẳng nằm

trong mặt phẳng
.
2. Định lý (Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng): Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
nếu
vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm
trong mặt phẳng

.

Trang 25