BÀI TẬP TOÁN 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (518.88 KB, 32 trang )

Tr

ng THPT Ngơ Th i Nhi m

Bài t p tốn 11

O DI N: TRUNG

www.MATHVN.com

64

p trai ---hehe

www.MATHVN.com

Tr

ng THPT Ngơ Th i Nhi m

Bài t p tốn 11

Tr

ng THPT Ngơ Th i Nhi m

Bài t p tốn 11

®Ị 2
Bài 1: Tìm

x 3 2
3x 2 9 x 2
b) lim
3
x 1
x 2
x2 1
x x 6
Bài 2: Xét tính liên t c c a hàm s sau trên t p xác
a) lim

x3

nh c a nó:

2

3x 2
, khi x
2
f (x)
x 2
3
, khi x = -2
3
Bài 3: Cho hàm s y = f(x) = 2x – 6x +1 (1)
a) Tìm o hàm c p hai c a hàm s (1) r i suy ra f ( 5) .
b) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a
th hàm s (1) t i

i m Mo(0; 1).
c) Ch ng minh PT f(x) = 0 có ít nh t m t nghi m n m
trong kho ng (-1; 1).
Bài 4: Cho hình chóp S. ABCD có áy ABCD là hình thoi c nh
a có góc BAD = 600 và SA=SB = SD = a.
a) Ch ng minh (SAC) vng góc v i (ABCD).
b) Ch ng minh tam giác SAC vng.
c) Tính kho ng cách t S n (ABCD).
x

www.MATHVN.com

2

63

www.MATHVN.com

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

M TS

Bài t p tốn 11

Tr

ng THPT Ngơ Th i Nhi m

THI THAM KH O
HÀM S

Bài t p toán 11

Ch ng I:
NG GIÁC – PH
L
NG GIÁC

L

NG TRÌNH

®Ị 1

PH N 1. HÀM S

L

NG GIÁC

Câu 1: Tính gi i h n c a hàm s

2 x2 9x 9
a) lim
x 3
x 3

2 x2 4 x 1
b) lim
x
3x 2

Câu 2: Xét tính liên t c c a hàm s trên t p xác

nh c a nó:

2

2 x x 10
f(x) =
2x 4
4 x 17

Bài 1. Tìm t p xác
x 1
1. y sin
x 1

nÕu

x

2

3. y

cot(2 x

nÕu

x

2

5. y

2 x2 5x 1
b) y =
3x 4

7. y

3sin2x
2cos3x
2
4. y tan(
5 x)
3
sin x 2
6. y
cos 1
3 tan x
8. y
cos 2 x sin 2 x
2. y

cos

Câu 3: Tính o hàm c a các hàm s :
a) y = 3x3 - 4x2 + 8

4

)

1 x
1 x
1
sin x cos x

1
sin x
cos x
10. y
2 sin x
2
tan x 1
cos x 1 1 sin x
Bài 2. Xác nh tính ch n, l c a các hàm s :
cos3x
1. y
2. y 2 x 2sin x
x
1
tan 2 x 1
3. y sin x x 2
4. y

2
2
6. y tan x 2 cos x
5. y 3sin x cos x
Bài 3. Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a các hàm s :
1
2sin(x
) 3
2. y=3- cos2x
1. y
2
3
2
1 3cos x
3. y=
4. y 2 4sin x cos x
2
9. y

2

c) y = 3sin3x - 3cos 4x
Câu 4:
a) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a th hàm s (C)
y = - 2x4 + x2 – 3 t i i m thu c (C) có hồnh x0 = 1.
b) Cho hàm s y = x.cosx.
Ch ng minh r ng: x.y – 2(y’ - cosx) + x.y” = 0
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có áy là tam giác cân B và

ABC =1200, SA

(ABC) và SA = AB = 2a. G i O là trung
i m c a o n AC, H là hình chi u c a O trên SC.
a) Ch ng minh: OB SC.
b) Ch ng minh: (HBO) (SBC).
c) G i D là i m i x ng v i B qua O. Tính kho ng
cách gi a hai
ng th ng AD và SB.

5. y

www.MATHVN.com

nh c a các hàm s sau:

62

4 sin 2 x cos 2 x

6. y
3

3 cos 2 x 1

www.MATHVN.com

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

7. y

Bài t p tốn 11

7 3 s in3x

8. y

Tr

ng THPT Ngơ Th i Nhi m
3. D ng và tính

5 2sin 2 x cos2 x

Bài t p tốn 11

dài o n vng góc chung c a AB và

SD
Bài 4. Hãy xét s bi n thiên và v
th các hàm s sau:
1. y
sin x
2. y 2 sin x
3. y

sin( x

3

)

4. y

PH N 2. PH

NG TRÌNH L

Bài 1. Gi i các ph
1. s in3x

Bài 6. Cho hình l ng tr ABC.A B C có AA

cos x 1

NG TRÌNH L

D NG 1. PH

4. Tính : d CM , ( SA)

NG GIÁC

NG GIÁC C

B N

1
2

2
2

2. cos 2 x

3. tan( x

)
3
4
5. s in3x cos 2 x 0
7. 2 cos( x

8. tan(2 x

9. cos x 2sin 2

x
11. sin cos
2
3

x
2

0

sin

3

3

0

) t an3x

10. cos4 x sin 4 x

cos

x
2

n m t ph ng (ABC ).
ng ABCD.A’B’C’D’.
(BA’C’); B’D

(ACD’)

2. Tính d (BA 'C'),(ACD')

6. t an4x cot 2 x 1

) 1 0

t A

1. Ch ng minh: B’D

4. s in2x s in2x cos x

6

= a, áy ABC là tam giác vng t i A có BC = 2a, AB = a 3 .
1. Tính kho ng cách t AA n m t ph ng (BCC B ).
2. Tính kho ng cách t A n (A BC).
3. Ch ng minh r ng AB (ACC A ) và tính kho ng cách

Bài 7. Cho hình l p ph

ng trình sau:

(ABC) và AA

3. Tính d (BC'),(CD')

0

2
2

1
2

2
8
2
2

2
13. cos x cos 2 x cos 3 x 1
2
17
10 x )
14. s in 2x cos2 8 x sin(
2
15. cos4 x sin 6 x cos 2 x

12. sin3 x cos x cos3 x sin x

www.MATHVN.com

4

61

www.MATHVN.com

Tr

ng THPT Ngơ Th i Nhi m

Bài t p tốn 11

1. OA và BC
2. AI và OC.
Bài 2. Cho hình chóp SABCD, áy ABCD là hình vng tâm O,
c nh a, SA (ABCD) và SA = a. Tính kho ng cách gi a hai

ng th ng:
1. SC và BD.
2. AC và SD.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vng
canh a, SA

(ABCD) và SA = a 3 . Tính:

1. Gi a SC và BD ; gi a AC và SD.
2. d A, ( ABCD)
3. d O, ( SBC ) v i O là tâm c a hình vuông.
4. d I , ( ABCD ) v i I là trung i m c a SC.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thang
vng t i A và D AB = DC = a , SA

(ABCD) và SA = 2a

Tính :
1. d A, ( SCD ) ; d A, ( SBC )

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m
16.

1 cos 4 x
s in4x
2s in2x 1 cos 4 x

0

2 1
2
x
(2
3) cos x 2sin 2 (
)
2 4 1
18.
2 cos x 1
Bài 2. Gi i và bi n lu n ph ng trình:
1. sin x 2m 1
2. (4m 1) cos x m cos x 8
3. 4 tan x m (m 1) tan x

17. sin x cos x cos2 x

4. (3m 2) cos 2 x 4m sin 2 x m
Bài 3. Tìm m ph ng trình:

2 sin( x

0

) m có nghi m x (0; )
2
7
2. (2 m)sin( x
) (3m 2) cos(2
x) m 2

2
nghi m.
1.

4

D NG 2. PH

2. d AB, ( SCD )

Bài t p tốn 11

NG TRÌNH B C HAI
HÀM S L
NG GIÁC

0 có

IV IM T

3. d AB, ( SCD )
Bài 1. Gi i các ph
4. d DE , ( SBC ) , E là trung i m c a AB
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình vng c nh a ,tam
giac SAD
va K =CM

u và (SAD)

(ABCD) .g i I là trung i m c a Sb

BI

1. Ch ng minh (CMF)

(SIB)

2. Ch ng minh : tam giac BKF cân t i K

www.MATHVN.com

60

ng trình sau:

1. 4 cos2 x 2( 3 1) cos x

3

2. 2cos x 5sinx – 4
0
3. 2cos2x – 8cosx 5
0
4. 2cosx.cos2x
1 cos2x

0

2

5.

3
cos 2 x

cos3x

3 2 tan 2 x

6. 5tan x 2cotx 3
0
2 3 x cos12 x 4
7. 6sin
5

www.MATHVN.com

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m
8. cos 2 x 3 cos x
9. cot x
10.
11.
12.
13.
14.

tan x

4 cos2

Bài t p toán 11

ph

2 cos 4 x
s in2x

3. G i H, I l n l

ng trình sau có nghi m:

2. 4 cos2 2 x 4 cos 2 x 3 3m

0
0

Bài 3. Cho ph ng trình: cos 2 x (a 2)sin x a 1 0
1. Gi i ph ng trình ã cho khi a = 1.
2. V i giá tr nào c a a thì ph ng trình ã cho có
nghi m?
NG TRÌNH B C NH T THEO
SINu VÀ COSu

Bài 1. Gi i các ph ng trình sau:
2
1. 3 cos x sin x

2. cos x

3 sin x

www.MATHVN.com

Bài t p tốn 11

(SAD), (SAB)

(SBC).

2. Tính góc gi a hai mp (SAD), (SBC).

1. cos2 x (1 m) cos x 2m 6

D NG 3. PH

ng THPT Ngô Th i Nhi m

1. Ch ng minh: (SAB)

x
2

cos x (2 sin x 3 2) 2 sin 2 x 3
1
1 s in2x
3 tan 4 x 2 tan 4 x 1 0
1

1
cos x sin x
sin x cos x
1
1
cos2 x
2(cos x
) 1
2
cos x
cos x
1
1
4
2
2
sin x cos x sin x cos x

Bài 2. Tìm m

Tr

1
6

t là trung i m c a AB và BC. Ch ng

minh: (SHC)

(SDI).

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông t i A. G i O, I, J l n l
trung
OS

i m c a BC và AB, AC. T

O k

t là

o n th ng

(ABC).

1. Ch ng minh: (SBC)

(ABC).

2. Ch ng minh: (SOI)

(SAB).

3. Ch ng minh: (SOI)

(SOJ).

Bài 11. Cho tam di n ba góc vng Oxyz (3 tia Ox, Oy, Oz ơi
m t vng góc). L n l

t l y trên Ox, Oy, Oz các i m B, C, A

sao cho OA = a, OB = b, OC = c. Các

ng cao CH va BK c a

tam giác ABC c t nhau t i I.
1. Ch ng minh: (ABC)

(OHC).

2. Ch ng minh: (ABC)

(OKB).

3. Ch ng minh: OI
4. G i , , l n l
2

Ch ng minh: cos

(ABC).
t là góc t o b i OA, OB, OC v i OI.

+ cos2

+ cos2 = 1.

KHO NG CÁCH

Bài 1. Cho hình t di n OABC, trong ó OA, OB, OC = a. G i I
là trung i m c a BC. Hãy d ng và tính
dài o n vng góc
chung c a các c p
ng th ng:
59 www.MATHVN.com

Tr

ng THPT Ngơ Th i Nhi m

Bài t p tốn 11

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

1. Ch ng minh: (SBC)

(ABC).

3. s in3x

2. Ch ng minh: (SOI)

(ABC).

4. 2 cos2 x

3 cos3 x

5. 2 s in2x cos 2 x

giác SAB

6. cos 7 x

l nl

u n m trong m t ph ng vng góc v i áy. I, J, K

t là trung i m c a AB, CD, BC.

1. Ch ng minh: SI

(ABCD).

2. Ch ng minh: trên m t ph ng SAD và SBC là nh ng tam

3. Ch ng minh: (SAD)

(SAB), (SBC)

4. Ch ng minh: (SDK)

(SAB).

(SIC).

Bài 7. Cho t di n ABCD có c nh AD
là hai

ng cao c a tam giác ABC, H và K l n l

t là tr c tâm

c a tam giác ABC và tam giác BCD.
1. Ch ng minh: (ADE)

(ABC).

2. Ch ng minh: (BFK)

(ABC).

3. Ch ng minh: HK

(ABC).

Bài 8. Trong mp (P) cho hình thoi ABCD v i AB = a, AC =

2a 6
. Trên
3
c a hai

ng th ng vng góc v i mp (P) t i giao i m O

ng chéo hình thoi ta l y S sao cho SB = a.

1. Ch ng minh:

SAC vng.

2. Ch ng minh: (SAB)

Bài 9. Cho hình vng ABCD. G i S là i m trong không gian

sao cho SAB là tam giác

www.MATHVN.com

u và (SAB)
58

10. 3sin 3 x

(ABCD).

2

0

1
2

3 cos 9 x 1 4sin3 3 x

3(1 cos 2 x)

2sin x

cos x

cos x sin x
sin x cos x
Bài 2. nh m ph ng trình sau ây có nghi m:
1. m sin x 2 cos x 3
2. s in2x m cos 2 x 2m 0
3. m cos3 x (m 2)s in3x 2
4. (sin x 2 cos x 3)m 1 cos x
5. m(cos x sin x 1) sin x
6. (3 4m) cos 2 x (4m 3)s in2x 13m 0
Bài 3. Cho ph ng trình: sin x m cos x 1
12. cot x tan x

1. Gi i ph
2. nh m

3.
ng trình khi m
ph ng trình trên vơ nghi m.

D NG 4. PH

(SAD).

3 cos 4 x

3 (cos 5 x sin 7 x )

1
4
4
)
7. sin x cos ( x
4
4
3 cos x)
8. tan x 3cot x 4(sin x

11.
(BCD). G i AE, BF

2

sin 5 x

9. sin 2 x sin 2 x

giác vng.

2

3 s in2x

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD, áy là hình vng c nh a. Tam

Bài t p tốn 11

NG TRÌNH THU N NH T B C HAI

THEO SINu VÀ COSu

Bài 1. Gi i các ph ng trình sau:
1. sin 2 x 3sinxcosx – 4cos2 x

7

0

www.MATHVN.com

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m
2. 3sin 2 x

8sinxcosx

Bài t p toán 11

9)cos2 x

(8 3

3. 4sin 2 x 3sin2x – 2cos2 x
4
2
2
4. 2sin x – 5sinx.cosx – cos x

x
x
3 3 sin x 2 cos2
4
5. 4sin2
2
2
6. 2sin 2 x 6sin x cos x 2(1

2

góc v i m t BCD. G i DE ,BK là

5

3

BF là

cosx

2sin2x

3. sin2x –12 sinx – cosx
4. 2 cosx sinx

(BCD)

1. Ch ng minh : AD
2. Ch ng minh : (ADE)

(ABC)

3. Ch ng minh : (BKF)

(ABC)

4. Ch ng minh : (ACD)

(BKF)

5. G i O và H l n l

t là tr c tâm c a hai tam giác BCD và

ABC ch ng minh : OH

(ABC)

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thoi c nh

a. SA= SB= SC=a. Ch ng minh :
(SBD)

Bài 4. Cho tam giác

0

12

BC, D là i m

u ABC c nh a, I là trung i m c a c nh

i x ng c a A qua I. D ng o n SD =

4sinxcosx 1

5. cosx –sinx – 2sin2x –1
6. (1

ng cao tam giác BCD và

2. Tam giác SBD là tam giác vuông.

0

3

(SAC).

ng cao tam giác ABC

1. (ABCD)

2. 3 sinx

(SBC), (AEF)

Bài 2. Cho t di n ABCD có các m t ABD và ACD cùng vuông

I X NG – PH N X NG

Bài 1. Gi i các ph ng trình sau:
1. 2(sin x cos x ) 3sin x cos x 2

Bài t p toán 11

ng cao c a tam giác SBD. Ch ng

minh r ng: (ACF)

3) cos2 x

NG TRÌNH

ng THPT Ngơ Th i Nhi m

3. G i BE, DF là hai

0

7. sin 3 x 2 sin 2 x cos x 3cos3 x 0
8. 4 sin 3 x 3sin 2 x cos x sin x cos3 x 0
9. sin 3 x
3 cos3 x sin x cos 2 x
3 sin 2 x cos x
2
10. 2 tan x cot x
3

s in2x
Bài 2. Tìm m ph ng trình sau có nghi m:
1. m sin 2 x 2 s in2x 3m cos2 x 2
2. sin 2 x m s in2x (m 1) cos2 x 0
D NG 5. PH

Tr

vuông góc v i (ABC). Ch ng minh:

0

2)(sin x cos x ) 2sin x cos x 1

a 6
2

2

0

1. (SAB)

(SAC).

2. (SBC)

(SAD).

7. sin 3 x cos3 x 1 sin x cos x

8. sin 3 x cos3 x 2(sin x cos x ) 1

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABC là tam giác là tam

9. tan x cot x

giác vuông t i A, AB = 2a, AC = a, SA = SB = SC = a 2 . G i

2(sin x cos x )

O là trung i m c a BC, I là trung i m c a AB.

www.MATHVN.com

8

57

www.MATHVN.com

Tr

ng THPT Ngơ Th i Nhi m

Bài t p tốn 11

3. Tính góc [(SMC), (ABC)].
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thang

vng t i A và D v i AB = 2a, AD = DC = a, SA = a 2 . SA
(ABCD). Tính góc gi a các m t ph ng.

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m
10. sin x cos x

2. (SAB) và (SCB).

Bài 2. nh m ph ng trình sau có nghi m:
1. sin x cos x 1 m s in2x

D NG 6. PH

3. (SCB) và (SCD).
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình thoi ABCD tâm

(ABCD) và SO =

3a
. Tính s
4

o

nh di n c nh AB.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vng

c nh a, tâm O, SA

1. Tính s [S, BC, A] theo a và x. Tính x theo a

NG TRÌNH L
NG GIÁC KHƠNG M U
M C

3. sin x cos x

2(2 s in3x )

4. sin 3 x cos3 x

2 s in 4 x

M TS
s

0

Bài t p. Gi i các ph ng trình sau:
1. sin x.s in2x
1
2
100
2. 7 cos x 8sin x 8

(ABCD) và SA = x (x>0).

THI

IH C

o nh
1. (1 2sin x) 2 cos x 1 sin x cos x

di n trên b ng 600.
2. Tính s [B, BC, D] theo a và x. Tính x theo a

s

o nh

2.

3 cos 5 x 2sin 3 x cos 2 x sin x

3. sin x cos x sin 2 x
3 cos 3 x
(1 2sin x)cosx
3
4.
(1 2sin x)(1 s inx)

di n trên b ng 1200

HAI M T PH NG VUÔNG GĨC

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, áy ABCD là hình vuông, SA

(ABCD).
1. Ch ng minh: (SAC)

(SBD).

2. Ch ng minh: (SAD)

(SCD), (SAB)

www.MATHVN.com

cos 2 x
1 s in2x

2. s in2x 2 2m(sin x cos x ) 1 6m 2

1. (SBC) và (ABC).

O, c nh a ABC = 600, SO

Bài t p toán 11

56

0

2(cos 4 x sin 3 x)

3 cos 3x 2sin 2 x
5. sin 3 x

6. 2sin x(1 cos 2 x) sin 2 x 1 2 cos x
7. sin 3 x
3 cos3 x sin x cos 2 x
3 sin 2 x cos x
1
1
7
x)
4sin(
8.
sin x sin( x 3 )
4
2

(SBC).
9

www.MATHVN.com

Tr

ng THPT Ngơ Th i Nhi m

Bài t p tốn 11

x
x
cos ) 2
3 cos x 2

2
2
10. 2sin 2 2 x sin 7 x 1 sin x
11. (1 sin 2 x) cos x (1 cos 2 x) sin x 1 sin 2 x
12. cos 3 x cos 2 x cos x 1 0
x
13. cot x sin x(1 tan x tan ) 4
2
6
6
2(cos x sin x) sin x cos x
0
14.
2 2sin x
3
15. cos 4 x sin 4 x cos( x
) sin(3 x
)
0
4
4 2
16. 1 sin x cos x sin 2 x cos 2 x 0
17. cos 2 3 x cos 2 x cos 2 x 0
18. 5sin x 2 3(1 sin x) tan 2 x
19. (2 cos x 1)(2sin x cos x) sin 2 x sin x
2
20. cot x tan x 4sin 2 x
sin 2 x
9. (sin

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

Bài t p tốn 11

Bài 4. Cho hình vng ABCD và tam giác

u SAB c nh a n m

trong hai m t ph ng vng góc nhau. G i I là trung i m c a
AB.
1. Ch ng minh: SI

(ABCD) và tính góc gi a SC và

(ABCD).
2. G i J là trung i m CD. Ch ng t : (SIJ)

(ABCD) . Tính

góc h p b i SI và (SDC).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vng tâm

O, c nh a, SA

(ABCD) và SA = a. Tính:

1. [SAB, (SCD)].
2. [SAB, (SBC)].

3. [SAB, (SAC)].
4. [SCD, (ABCD)].
5. [SBC, (SCD)].
6. s [S, BC, A].
7. s [C, SA, D].
8. s [A, SB, D].
9. s [B, SC, A].
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABC là tam giác vng

t i B, AB = 2a, BC = a 3 , SA

(ABC) và SA = 2a. G i M là

trung i m c a AB.
1. Tính góc [(SBC), (ABC)].
2. Tính

www.MATHVN.com

10

ng cao AK c a

AMC.
55

www.MATHVN.com

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

4. G i d là

Bài t p tốn 11

Tr

ng THPT Ngơ Th i Nhi m

Bài t p tốn 11

ng th ng vng góc v i (ABC) t i trung i m

K c a BC tìm d

(

Ch

).

ng II. TƠ H P – XÁC SU T

PH N 1. HOÁN VN - CH NH H P - T
- GÓC GI A

NG TH NG VÀ M T PH NG

- GÓC GI A HAI M T PH NG

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vng

c nh a, tâm O, SO

(ABCD), M, N l n l

t là trung i m c a

SA và BC, bi t ( MN ,( ABCD )) 600 .
1. Tính MN và SO.
2. Tính góc gi a MN và mp(BCD).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vng

c nh a. SA

(ABCD) và

SA = a 6 . Tính góc gi a:

1. SC và (ABCD)
2. SC và (SAB)
3. SC và (SBD)
4. SB và (SAC)
Bài 3. Cho t di n ABCD có AB

BCD là tam giác

H P

(BCD) và AB = a 3 ,

u c nh a. Tính góc gi a:

1. AC và (BCD).
2. AD và (BCD).
3. AD và (ABC).

www.MATHVN.com

54

Bài 1. Có 25 i bóng tham gia thi u, c 2 i thì á v i nhau
2 tr n ( i và v ). H i có t t c bao nhiêu tr n u?
Bài 2.
1. T các ch s 1, 2, 3, 4, 5 có th l p
c bao nhiêu s
t nhiên có 5 ch s ?
2. T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có th l p
c bao
nhiêu s t nhiên có 3 ch s và là s ch n?
3. Có bao nhiêu s t nhiên có 6 ch s ôi m t khác nhau
và chia h t cho 5?
Bài 3. M t h i ng nhân dân có 15 ng i, c n b u ra 1 ch
t ch, 1 phó ch t ch, 1 th kí. H i có m y cách n u khơng ai
c kiêm nhi m?
Bài 4. Trong m t tu n, An nh m i t i i th m 1 ng i b n
trong s 10 ng i b n c a mình. H i An có th l p
c bao

nhiêu k ho ch th m b n n u:
1. Có th th m 1 b n nhi u l n?
2. Không n th m 1 b n quá 1 l n?
Bài 5. Có bao nhiêu cách x p 10 h c sinh thành m t hàng d c?
Bài 6. Có bao nhiêu cách x p 5 b n A, B,C,D,E vào m t gh dài
5 ch n u:
1. B n C ng i chính gi a.
2. Hai b n A và E ng i hai u gh .
Bài 7. T các ch s 1,2,3,4,5,6 có th thi t l p
c bao nhiêu
s có 6 ch s khác nhau mà hai ch s 1 và 6 không ng c nh
nhau?
Bài 8. Có 2 sách Tốn khác nhau, 3 sách Lý khác nhau và 4
sách Hóa khác nhau.C n s p x p các sách thành m t hàng sao
cho các sách cùng mơn k nhau. H i có bao nhiêu cách?
Bài 9. Gi i :
1. P2.x2 – P3.x = 8

11

www.MATHVN.com

Tr

ng THPT Ngơ Th i Nhi m
2.

Px

Px
Px

1

1

Bài t p tốn 11

1
6

m y s t nhiên có 4 ch s khác nhau.
Bài 12. Có 10 quy n sách khác nhau và 7 cây bút khác nhau.
C n ch n ra 3 quy n sách và 3 cây bút t ng cho 3 h c sinh,
m i em
c t ng 1 quy n sách và 1 cây bút. Có m y cách?
Bài 13. Gi i:
1. 2A 2 +50=A 2 , x N
x
2x
3
2
2. An 5 An = 2(n + 15)

42

6.

4

An

Pn

9
Ax

2

2
4
An 4

Bài 12. Cho tam giác

u ABC có

trung i m c a AH. Trên

ng th ng vng góc v i (ABC) t i

AI = x (a1. Xác

t

) là m t ph ng qua I và vng góc v i OH

nh ( )

2. Tìm thi t di n c a t di n SABC và
3. Tính di n tích cua thi t diên theo a và x
Bài 14. Cho t di n SABC có hai m t ABC và SBC là 2 tam

u c nh a và SA =

a 3
. L y i m M thu c AB và AM =
2

x (0
12

là trung i m c a BC
1. Ch ng minh: ( ) // (SAD)

0

2. Tìm thi t di n c a t di n SABC và ( )

15
7.
(n 2)! (n 1)!
Bài 14. Có 10 cu n sách toán khác nhau. Ch n ra 4 cu n, h i có
bao nhiêu cách?
Bài 15. M t nhóm có 5 nam và 3 n . Ch n ra 3 ng i sao cho
trong ó có ít nh t 1 n . H i có bao nhiêu cách?
Bài 16. T 20 câu h i tr c nghi m g m 9 câu d , 7 câu trung
bình và 4 câu khó ng i ta ch n ra 10 câu làm ki m tra

sao cho ph i có c 3 lo i d , trung bình và khó. H i có th
l p
c bao nhiêu ki m tra ?

www.MATHVN.com

ng cao AH = 2a. G i O là

O, l y i m S sao cho OS = 2a. G i I là m t i m trên OH,

giác

8
9 Ax .

143
4 Pn 1

nh m t ph ng

0.

2
2
4. 2 Pn 6 An Pn An

5. A10
x

Bài t p tốn 11

2. Tính di n tích c a thi t di n c a t giác v i m t ph ng

Pn 4
15
Pn .Pn 2 Pn 1
Bài 10. S p x p 5 ng i vào m t b ng gh có 7 ch . H i có bao
nhiêu cách?
0; 1; 2; 3; 4; 5 có th l p
c
Bài 11. T t p h p X

2
A2 n

ng THPT Ngơ Th i Nhi m
1. Xác

3.

2
3. 3 An

Tr

12

3. Tính di n tích c a thi t di n theo a và x
Bài 15. Cho hình chóp S.ABC áy là tam giác vuông cân t i B,

AB = BC =2a. C nh SA

(ABC) và SA =a 2

1. Ch ng minh các m t c a hình chóp là các tam giac vuông
2. G i (

) là m t ph ng trung tr c c a c nh SB. Tìm thi t

di n c a hình chóp v i ( )
3. Tính di n tích c a thi t di n
53

www.MATHVN.com

Tr

ng THPT Ngơ Th i Nhi m

Bài t p tốn 11

5. Tam giác ABC là tam giác nh n các góc c a tam giác

u

nh n.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD áy là tam giác

u c nh a, SA

(ABC). G i O là tr c tâm tam giác ABC, H là tr c tâm tam
giác SBC, I là trung i m c a BC .
1. Ch ng minh: BC

(SAI) và CO

(SAB).

2. Ch ng minh: H = h/c O/(SBC).
3. G i N = OH

SA. Ch ng minh : SB

CN và SC

BN
Bài 9. Cho t di n S.ABC có SA

(ABC). G i H, K l n l

t

là tr c tâm c a các tam giác ABC và SBC. Ch ng minh:
1. AH, SK, BC
2. SC

(BHK)

3. HK

ng quy

(SBC)

Bài 10. Cho t di n S.ABC có tam giác ABC vng cân

AB =a,SA

nh B,

(ABC) và SA =a 3 . L y i m M tùy ý thu c

c nh AB v i AM =x (0
là m t ph ng qua M và

vng góc v i AB
1. Tìm thi t di n c a t di n và
2. Tính di n tích c a thi t di n theo a và x
Bài 11. Cho t di n S.ABC có tam giác ABC vng cân

AB =a, SA

(ABC) SA =a. G i

i m M c a AB và vng góc vói SB

www.MATHVN.com

52

nh B,

là m t ph ng qua trung

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

Bài t p toán 11

Bài 17. H i ng qu n tr c a m t công ty g m 12 ng i, trong
ó có 5 n . T h i ng qu n tr ó ng i ta b u ra 1 ch t ch
h i ng qu n tr , 1 phó ch t ch h i ng qu n tr và 2 y viên.
H i có m y cách b u sao cho trong 4 ng i
c b u ph i có
n ?
Bài 18.
i thanh niên xung kích c a m t tr ng ph thơng có
12 h c sinh g m 5 h c sinh l p A, 4 h c sinh l p B và 3 h c
sinh l p C. Tính s cách ch n 4 h c sinh i làm nhi m v sao
cho 4 h c sinh này thu c không quá 2 trong 3 l p trên.
Bài 19. M t h p ng 15 viên bi khác nhau g m 4 bi , 5 bi
tr ng và 6 bi vàng. Tính s cách ch n 4 viên bi t h p ó sao
cho khơng có
3 màu.
Bài 20. M t l p h c có 30 h c sinh nam và 15 h c sinh n . Có 6
h c sinh
c ch n ra l p m t t p ca. H i có bao nhiêu cách

ch n khác nhau.
1. N u ph i có ít nh t là 2 n .
2. N u ph i ch n tu ý.
Bài 21. Có 5 tem th khác nhau và 6 bì th khác nhau. Ng i ta
mu n ch n ra 3 tem th và 3 bì th r i dán 3 tem th vào 3 bì
th ó. Có bao nhiêu cách ?
Bài 22. M t i thanh niên tình nguy n có 15 ng i, g m 12
nam, 3 n . H i có bao nhiêu cách phân cơng i ó v 3 t nh
mi n núi sao cho m i t nh u có 4 nam, 1 n ?
Bài 23. Gi i :
7
1.
C1 +C 2 +C3 = x
x
x
x
2
2
2.
C3 C 2 = A 2
x-1
x-1
x-2
3
1
1
7
= 1
3.
1

2
C x C x+1 6C x+4

2C x2 1 3 Ax2 30
1 x
6 3
5.
A2 x Ax2
C x 10
2
x
Bài 24. Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n c a nh th c:
4.

13

www.MATHVN.com

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m
1

1. x
3. x

10

3

x

x
2.
3

x4
3

4.

x2

3

x

Bài 25. Tìm s h ng th 31 trong khai tri n x
Bài 26. Tìm s h ng

ng gi a trong khai tri n

6. Tìm m t ph ng trung tr c c a o n BD và HK. Gi i thích.

x

1
x2

40

1
5

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD áy là hình vng tâm O c nh a

SA
3

vng góc v i SC, c t SB, SC, SD l n l

x

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thoi tâm O.

2
là 97. Tìm s h ng ch a x4.
3
Bài 29. Tính t ng:

Bi t r ng SA=SC SB=SD. Ch ng minh:
1. SO

0
1
2
n
Cn Cn Cn ... Cn .

2. S2

0
2
4
Cn Cn Cn ...

3. S3

1
3
5
Cn Cn Cn ...

4. S4

0
1
2
k
n
Cn 2Cn 22 Cn ... 2k Cn ... 2n Cn .

5. S5

0
Cn

2

Bài 6. Cho t di n ABCD. Ch ng minh r ng n u AB

14

BC.

G i H là hình chi u vng góc c a i m O trên (ABC). Ch ng
minh:
CA, OC

1. OA

2n

0
1
2
n
3. Cn 6Cn 62 Cn ... 6 n Cn

BD thì AD

BD và

Bài 7. Cho t di n có OA, OB, OC ơi m t vng góc v i nhau.

...

4
2n
C2 n ... C2 n

www.MATHVN.com

SD

AC

Bài 30. Ch ng minh:
n
0
1
2
1. C n C n C n ....... C n
0
2
2. C2 n C2 n

(ABCD).

2. AC

1. S1

2 C

SD.

3. Ch ng minh: HK qua tr ng tâm c a tam giác SAC.

n

4
Cn

t H, M, K.

2. Ch ng minh: BD // ( ) suy ra BD // HK.

n

4

SB, AK

1. Ch ng minh: AH

1
1
n
Niu-t n 3
x5 , bi t r ng Cnn 4 Cn 3 7 n 3 .
x
Bài 28. Cho bi t t ng 3 h s c a 3 s h ng u tiên trong khai

n2

(ABCD) và SA=a 2 . G i ( ) là m t ph ng qua A và

10

x
Bài 27. Tìm h s c a s h ng ch a x trong khai tri n nh th c

2

HK.

5. Ch ng minh: AI

7

1
4

Bài t p toán 11

(SAC).

4. Ch ng minh: HK

8

tri n x 2

ng THPT Ngô Th i Nhi m

3. Ch ng minh: HK// BD OH=OK.

12

5

1

Tr

Bài t p toán 11

1
C2 n

7n

3
C2 n

5
2n
C2 n ... C2 n

1

BC, OB

2. BC

(OAH), AB

AB.

(OCH)

3. H là tr c tâm c a tam giác ABC
4.

1
OH 2

1
OA2

1
OB 2

1
OC 2
51

www.MATHVN.com

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

1. Xác

Bài t p tốn 11

nh góc gi a các c p vect :

AB và A ' C ' ;

Tr

ng THPT Ngơ Th i Nhi m

Bài t p toán 11

0
1
17
4. 317 C17 41.316.C17 ... 417 C17

717

AB vaø A ' D ' ; AC ' vaø BD .

ng c a các c p vect : AB và A ' C ' ;

2. Tính các tích vơ h

AB và A ' D ' ; AC ' và BD .

-

NG TH NG VNG GĨC V I M T PH NG
- HAI
NG TH NG VNG GĨC

Bài 1. Cho t

SA

di n SABC có tam giác ABC vng t i B và

(ABC).

1. Ch ng minh: BC

(SAB).

2. G i M và N là hình chi u c a A trên SB và SC, MN c t BC
t i I. Ch ng minh: AM
3. Ch ng minh AI

(SBC) , SC

(AMN).

SC

Bài 2. Cho t di n ABCD có AB=AC , DB=DC . G i I là trung

i m c a BC.
1. Ch ng minh BC
2. V

d

AH

(AID).

ng cao AH c a tam giác AID. Ch ng minh
(BCD).

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vng tâm

O, SA

(ABCD). G i H,I,K l n l

t là hình chi u vng góc

c a i m A trên SB, SC, SD.
1. Ch ng minh: BC

(SAB) CD

2. Ch ng minh: AH

SC AK

ng ph ng .

www.MATHVN.com

50

(SAD) BD

(SAC).

SC suy ra AH, AI, AK

PH N 2. XÁC SU T
Bài 1. Gieo hai con xúc x c cân i ng ch t. G i A là bi n c
“ t ng s ch m trên m t c a hai con xúc x c b ng 4 “
1. Li t kê các k t qu thu n l i c a bi n c A
2. Tính xác su t c a bi n c A
Bài 2. Ch n ng u nhiên 5 con bài trong b bài tú –l –kh :
1. Tính xác su t sao cho trong 5 quân bài ó có úng 3 quân
bài ó thu c 1 b ( ví d : có 3 con 4)
2. Tính xác su t sao cho trong 5 quân bài ó có 4 quân bài
thu c m t b
Bài 3. Gieo m t con xúc x c 2 l n . Tính xác su t :
1. M t 4 ch m xu t hi n l n u tiên
2. M t 4 ch m xu t hi n ít nh t 1 l n
Bài 4. Trong m t bình có 3 qu c u en khác nhau và 4 qu c u
khác nhau. L y ra 2 qu c u. Tính xác su t :
1. Hai qu c u l y ra màu en
2. Hai qu c u l y ra cùng màu
Bài 5. Gieo 3 con ng xu. Tính xác su t
1. Có ng xu l t ng a
2. Khơng có ng xu nào s p
Bài 6. Cho m t h p ng 12 viên bi, trong ó có 7 viên bi màu
, 5 viên bi màu xanh. L y ng u nhiên m i l n 3 viên bi. Tính
xác su t trong hai tr ng h p sau:
1. L y

c 3 viên bi màu
2. L y
c ít nh t hai viên bi màu
Bài 7. Gieo ng th i hai con súc s c. Tính xác su t
1. T ng s ch m xu t hi n trên hai con là 9
2. T ng s ch m xu t hi n trên hai con là 5
3. S ch m xu t hi n trên hai con h n kém nhau 3
Bài 8. Gieo ng th i 3 con súc s c. Tính xác su t
1. T ng s ch m xu t hi n c a ba con là 10
2. T ng s ch m xu t hi n c a 3 con là 7

15

www.MATHVN.com

Tr

ng THPT Ngơ Th i Nhi m

Bài t p tốn 11

Bài 9. M t t x s phát hành 20.000 vé trong ó có 1 gi i
nh t, 100 gi i nhì, 200 gi i ba, 1000 gi i t và 5000 gi i khuy n

khích. Tính xác su t m t ng i mua 3 vé trúng m t gi i nhì
và hai gi i khuy n khích.
Bài 10. Trong 100 vé x s có 1 vé trúng 100.000 , 5 vé trúng
50.000 và 10 vé trúng 10.000. M t ng i mua ng u nhiên 3
vé.Tính xác su t

1. Ng i mua trúng th ng úng 30.000
2. Ng i mua trúng th ng 20.000
Bài 11. M t khách s n có 6 phịng n. Có 10 khách n th
phịng, trong ó có 6 nam và 4 n . Ng i qu n lí ch n ng u
nhiên 6 ng i. Tính xác su t
1. Có 6 khách là nam
2. Có 4 khách nam, 2 khách n
3. Có ít nh t 2 khách là n
Bài 12. Có 9 t m th ánh s t 1 n 9. Ch n ng u nhiên ra hai
t m th . Tính xác su t tích c a hai s trên t m th là m t s
ch n
Bài 13. M t lô hàng g m 100 s n phNm , trong ó có 30 s n
phNm x u. L y ngNu nhiên 1 s n phNm t lơ hàng.
1. Tìm xác su t s n phNm l y ra là s n phNm t t
2. L y ra ng u nhiên (1 l n) 10 s n phNm t lơ hàng. Tìm
xác su t 10 s n phNm l y ra có úng 8 s n phNm t t
Bài 14. K t qu (b,c) c a vi c gieo hai con xúc x c cân i hai
l n,
c thay vào ph ng trình x2+ bx+ c =0. Tính xác su t :
1. Ph ng trình vơ nghi m
2. Ph ng trình có ngh êm kép
3. Ph ng trình có hai nghi m phân bi t
Bài 15. M t h p ch a 30 bi tr ng, 7 bi và 15 bi xanh. M t
h p khác ch a 10 bi tr ng , 6 bi và 9 bi xanh. L y ng u nhiên
t m i h p bi. Tìm xác su t 2 bi l y ra cùng màu.

www.MATHVN.com

16

Tr

ng THPT N gơ Th i N hi m

CH

Bài t p tốn 11

NG III. QUAN H VNG GĨC
VECT

TRONG KHƠNG GIAN

Bài 1. Ch ng minh r ng G là tr ng tâm t di n ABCD khi và
ch khi nó th a mãn m t trong hai i u ki n sau:
1. GA GB GC GD 0
2. OA OB OC OD

4OG v i O là m t i m tùy ý.

Bài 2. Trong không gian cho 4 i m tùy ý A, B, C, D. Ch ng
minh r ng: AB.DC BC.DA CA.DB 0 .
Bài 3. Cho hình h p ABCD.A’B’C’D’. G i P, R th t là trung
i m AB, A’D’. G i P’, Q, Q’, R’ th t là giao i m c a các
ng chéo trong các m t ABCD, CDD’C’, A’B’C’D’,
ADD’A’. Ch ng minh r ng:
1. PP ' QQ ' RR ' 0 .
2. Hai tam giác PQR, P’Q’R’ có cùng tr ng tâm.
Bài 4. Cho t di n ABCD. G i G, G’ l n l t là tr ng tâm t
di n ABCD và tam giác BCD. Ch ng minh r ng: A, G, G’

th ng hàng.
Bài 5. Cho hình l ng tr tam giác ABC.A’B’C’. G i I, J l n l t
là trung i m BB’, A’C’. K là i m trên B’C’ sao cho
KC'
2KB . Ch ng minh b n i m A, I, J, K th ng hàng.
Bài
6.
Cho
hình
h p
ABCD.A’B’C’D’
có
BA a, BB ' b, BC c . G i M, N l n l t là hai i m n m trên

AC, DC’ sao cho MC

n. AC , C ' N

mC ' D .

1. Hãy phân tích BD ' theo các véct a, b, c .
2. Ch ng minh r ng: MN (m n)a (1 m)b nc .
3. Tìm m, n MN //BD’.
Bài 7. Cho hình l p ph ng ABCD.A’B’C’D’.
49 www.MATHVN.com

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p tốn 11

Bài 1. Cho hình l ng tr ABC.A’B’C’.G i I và I’ l n l t là
trung i m c a các c nh BC và B’C’
1. Ch ng minh r ng AI // A’I’.
2. Tìm giao i m IA’ (AB’C’).
3. Tìm giao tuy n c a (AB’C’) (BA’C’).
Bài 2. Cho l ng tr tam giác ABC.A’B’C’. G i I , K , G l n l t
là tr ng tâm c a các tam giác ABC, A’B’C’ và ACC’ . Ch ng
minh r ng:
1. (IKG) // (BB’C’C)
2. (A’KG) // (AIB’)
Bài 3. Cho hình l ng tr ABC.A’B’C’. G i H là trung i m
A’B’
1. Ch ng minh r ng CB’ // (AHC’)
2. Tìm giao tuy n d = (AB’C’) (A’BC) .
Ch ng minh r ng: d // (BB’C’C)
Bài 4. Cho l ng tr tam giác ABC.A’B’C’.
1. Tìm giao tuy n c a (AB’C’) và (BA’C’).
2. G i M, N l n l t là hai i m b t kì trên AA’ và BC. Tìm
giao i m c a B’C’ v i mp(AA’N ) và giao i m c a MN
v i mp(AB’C’).
Bài 5. Cho hình h p ABCD.A’B’C’D’
1. Ch ng minh r ng (BA’C’) // (ACD’)
2. Tìm các giao i m I = B’D
(BA’C’); J = B’D (ACD’).
Ch ng minh r ng 2 i m I, J chia o n B’D thành 3 ph n
b ng nhau.
3. G i M, N là trung i m c a C’B’ và D’D. D ng thi t di n

c a hình h p v i m t ph ng (BMN ).

www.MATHVN.com

48

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

DÃY S

CH
NG III.
- C P S C NG – C P S
PH

Bài t p toán 11

NHÂN

NG PHÁP QUY N P

Bài 1. Ch ng minh r ng v i m i n n , ta có ng th c:
n(3n 1)
.
1. 2 5 8 ... 3n 1
2
n(n 1)(2n 1)
2. 12 2 2 3 2 ... n 2

.
6
n(4n 2 1)
.
3. 12 3 2 ... (2n 1) 2
3
2n(n 1)(2n 1)
4. 2 2 4 2 ... (2n) 2
3
2
n (n 1) 2
.
5. 13 2 3 33 ... n 3
4
(n 1)n(n 1)
6. 1.2 2.3 3.4 ... (n 1)n
.
3
7. 1.2 2.5 ... n(3n 1) n 2 (n 1).
1
1
1
n
...
8.
1.2 2.3
n(n 1) n 1
1
1
1

n
...
9.
1.5 5.9
(4n 3)(4n 1) 4n 1
1
1
n 1
1
)
)(1 )...(1
.
10. (1
2
4
2n
9
n
Bài 2. Ch ng minh r ng v i n n , ta có:
1. n 3 3n 2 5n chia h t cho 3.
2. n(2n 2 3n 1) chia h t cho 6.
3. 4 n 15n 1 chia h t cho 9.
4. n 5 n chia h t cho 30.
5. 5 n 3 113n 1 chia h t cho 17.
17 www.MATHVN.com

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p toán 11

Bài 3. Cho n là m t s nguyên l n h n 1.Hãy ch ng minh b t
ng th c
1 13
1
1
...
2n 24
n 1 n 2
Bài 4. Ch ng minh v i m i s t nhiên n 2 , ta có các b t
ng th c sau:
1. 3 n 3n 1
3
2. 2 n n
2
n 1
3. 2
2n 3
Bài 5. Ch ng minh v i m i s t nhiên n 3 , ta có:
2 n 2n 1
DÃY S

Bài 1. Xét tính n i u các dãy s sau :
3n
1
2. u n
1. un
n2 1

2n 1
n
1
n 1
4. u n
3. un
2

5. un

2n 1
2n

6. u n

n 2
2n

7. u n 3 n n
8. u n n
Bài 2. Xét tính b ch n các dãy s sau :
1. u n

3n 2

2. un

3. un

3.2n

4. u n

5. u n

4n 3
4n 3

1

www.MATHVN.com

6. un

18

n.

n2 1 .

1
n(n 1)
( 3) n

n 1
n2 1

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p tốn 11

2. Gi s AB CD thì MN QG là hình gì? Tính SMN PQ bi t
AM = x, AB = AC = CD = a. Tính x di n tích này l n
nh t.

HAI M T PH NG SONG SONG
Bài 1. Cho hai hình bình hành ABCD , ABEF có chung c nh
AB và khơng ng ph ng . I, J, K l n l t là trung i m c a các
c nh AB, CD, EF. Ch ng minh:
1. (ADF) // (BCE).
2. (DIK) // (JBE).
Bài 2. Cho t di n ABCD.G i H, K, L là tr ng tâm c a các tam
giác ABC, ABD, ACD. Ch ng minh r ng (HKL)//(BCD).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD áy là hình bình hành tâm O.
Tam giác SBD là tam giác u. M t mp ( ) di ng song song
v i (SBD) qua i m I trên o n AC. Xác nh thi t di n c a
hình chóp c t b i ( ).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vng
t i A và D; AD = CD = a ; AB = 2a, tam giác SAB vuông cân
t iA.Trên c nh AD l y i m M. t AM =x. M t ph ng ( ) qua
M và //(SAB).
1. D ng thi t di n c a hình chóp v i ( ).
2. Tính di n tích và chu vi thi t di n theo a và x.
Bài 5. Cho hai mp (P) và (Q) song song v i nhau và ABCD là
m t hình bình hành n m trong mp (P). các
ng th ng song
song i qua A, B, C, D l n l t c t mp (Q) t i các i m A', B',
C', D'.

1. T giác A'B'C'D' là hình gì?
2. Ch ng minh (AB'D') // (C'BD).
3. Ch ng minh r ng o n th ng A'C i qua tr ng tâm c a hai
tam giác AB'D' và C'BD. Hai mp (AB’D’), (C’BD) chia
o n A'C làm ba ph n b ng nhau.

HÌNH L NG TR
47

www.MATHVN.com

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p toán 11

Ch ng minh : MN // (BCD) và MN // (ABC).
Bài 2. Cho t di n ABCD .G i I, J là trung i m c a BC và CD
1. Ch ng minh r ng BD//(AIJ)
2. G i H, K là tr ng tâm c a các tam giác ABC và ACD.
Ch ng minh r ng HK//(ABD)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .G
là tr ng tâm c a tam giác SAB và E là i m trên c nh AD sao
cho DE = 2EA. Ch ng minh r ng GE // (SCD).
Bài 4. Hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình bình hành.
G i M , N theo th t là trung i m c a các c nh AB, CD .
1. Ch ng minh MN // (SBC) và MN // (SAD)
2. G i P là trung i m c a c nh SA. Ch ng minh SB //

(MN P) và SC // (MN P).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai i m b t kì trên
SB và CD. ( ) là m t ph ng qua MN và song song v i SC.
1. Tìm các giao tuy n c a ( ) v i các m t ph ng (SBC),
(SCD) và (SAC).
2. Xác nh thi t di n c a S.ABCD v i m t ph ng ( ) .
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .G i
M,N là trung i m SA,SB. i m P thay i trên c nh BC
1. Ch ng minh r ng CD//(MN P)
2. D ng thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (MN P) .
Ch ng minh r ng thi t di n là 1 hình thang.
3. G i I là giao i m 2 c nh bên c a thi t di n ,tìm qu tích
i mI
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai i m trên AB,
CD, ( ) là m t ph ng qua MN và song song v i SA.
1. Xác nh thi t di n c a hình chóp và m t ph ng ( ).
2. Tìm i u ki n c a MN thi t di n là hình thang.
Bài 8. Cho t di n ABCD. T i m M trên AC ta d ng m t mp
( ) song song AB và CD. Mp này l n l t c t BC, BD, AD t i
N , P, Q.
1. T giác MN QG là hình gì?

www.MATHVN.com

46

Tr

ng THPT N gơ Th i N hi m

Bài t p toán 11
1

u1
Bài 3. Cho dãy s (un ) xác

nh b i:

un

un 2 ; n 1.
un 1

1

3
và b ch n d i b i 1.
2
u1 2
Bài 4. Cho dãy s (un ) xác nh b i:
un 1 ; n 1.
un 1
2
Ch ng minh r ng u n là dãy gi m và b ch n.
Ch ng minh r ng u n b ch n trên b i

Bài 5. Cho dãy s (un ) xác

nh b i:

u1
un

1
(n 1).2 n

un

1

; n 1.
Ch ng minh r ng :
1. (un ) là dãy t ng.
2. u n

1 (n 1).2 n , n 1 .
C PS

C NG

Bài 1. Tìm s h ng u và công sai c a các c p s c ng, bi t :
u1 u 3 u 5 10
u7 u3 8
2.
1.
u1 u 6 17
u 2 u15 75

3.
5.

u3

u5

s12

129

u1

u4

u2

u8

14

u5

4.

25

6.

24

u7

u15

60

2
u4

2
u12

1170

u7

u3

u 2 .u 7

8
75

Bài 2.
1. Cho c p s c ng có a1 =10, d = -4 .Tính a10 và S10 .

19

www.MATHVN.com

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p toán 11

2. M t c p s c ng h u h n có s h ng u b ng 2, công sai
b ng -5 và t ng các s h ng b ng -205. H i c p s c ng ó có
bao nhiêu só h ng?
3. Cho c p s c ng có s h ng u b ng -2, công sai b ng 3.
H i 55 là s h ng th bao nhiêu c a CSC. Tính t ng c a 20 s
h ng liên ti p k t s h ng th 15.
4. Tính t ng t t c các nghi m c a ph ng trình:
sin23x-5sin3x +4=0 trên kho ng (0; 50 ).
Bài 3. Hãy tìm s h ng t ng quát c a c p s c ng ( u n ), bi t
r ng:

u 23

u17

(u17 ) 2

30
(u 23 ) 2

450

.

Bài 4. Hãy tìm t ng 16 s h ng u tiên c a c p s c ng ( u n )
có u 2 u15 30 .
Bài 5. Tính các t ng sau:
1. S1 1 3 5 ... 999
2. S 2 2 4 6 ... 2010
3. S 3 3 6 9 ... 3003
Bài 6. góc c a m t tam giác vng l p thành m t c p s c ng.
Tìm ba góc c a tam giác ó.
Bài 7. M t c p s c ng có 11 s h ng. T ng các s h ng là 176.
Hi u gi a s h ng cu i và s h ng u là 30. Tìm c p s c ng
ó.
Bài 8. B n s l p thành m t c p s c ng. T ng c a chúng b ng
22. T ng các bình ph ng c a chúng b ng 166. Tìm b n s ó.
Bài 9. N g i ta tr ng 3003 cây theo hình m t tam giác nh sau:
hàng th nh t có 1 cây, hàng th hai có 2 cây, hàng th ba có 3
cây,…. H i có t t c bao nhiêu hàng?
Bài 10. Tìm x 3 s sau l p thành c p s c ng theo th t ó:
1. 10 3 x ; 2 x 2 3 ; 7-4x
2. 3 x 2 ; x 2 5 x 4 ; x 3 8 x 6

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p toán 11

2. Xác nh thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (IJG).
Thi t di n là hình gì? Tìm i u ki n i v i AB và CD
thi t di n là hình bình hành.
Bài 6. Hình chóp S.ABCD, áy ABCD là hình bình hành. L y

m t i m M thu c c nh SC .M t ph ng (ABM) c t c nh SD t i
i m N . Ch ng minh N M// CD.
Bài 7. Hai hình bình hành ABCD và ABEF khơng cùng n m
trong m t mp. Trên AC l y m t i m M và trên BF l y m t
AM BN
i m N sao cho
k . M t mp( ) qua MN và song
AC BF
song v i AB, c t c nh AD t i M' và c nh AF t i N '.
1. Ch ng minh : M'N ' // DF.
1
2. Cho k
, ch ng minh MN // DE.
3
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD áy ABCD là hình thang v i các
c nh áy AB và CD (AB > CD). G i M, N l n l t là trung
i m c a SA và SB.
1. Ch ng minh: MN // CD
2. Tìm giao i m P c a SC và m t ph ng (ADN )
3. Kéo dài AN và DP c t nhau t i . Ch ng minh SI // AB //
CD, t giác SABI là hình gì?
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD áy ABCD là hình bình hành.
G i M, N , P, Q là các i m n m trên BC, SC, SD, AD sao cho
MN // BS, N P // CD, MQ // CD
1. Ch ng minh: PQ // SA.
2. G i K là giao i m c a MN và PQ, ch ng minh SK // AD
// BC.
ng th ng Qx // SC và Qy // SB. Tìm
3. Qua Q d ng các
giao i m c a Qx v i (SAB) và c a Qy v i (SCD).

NG TH NG SONG SONG V I M T PH NG
Bài 1. Cho t di n ABCD. G i M, N l n l
tam giác ABD và ACD.

www.MATHVN.com

20

45

t là tr ng tâm c a

www.MATHVN.com

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p tốn 11

2. Tìm giao i m c a SD v i m t ph ng (AMN ) ?
3. Tìm ti t di n t o b i m t ph ng (AMN ) v i hình chóp
Bài 18: Hình chóp SABCD có áy ABCD là hình bình hành .
M là trung i m SC
1. Tìm giao i m I c a AM v i (SBD) ? Ch ng minh IA
= 2IM .
2. Tìm giao i m F c a SD v i (AMB) ? Ch ng minh F là
trung i m SD ?

3. Xác nh hình d ng ti t di n t o b i (AMB) v i hình
chóp.
4. G i N là m t i m trên c nh AB .Tìm giao i m c a
MN v i (SBD) ?
HAI

NG TH NG SONG SONG

Bài 1. Cho t di n ABCD. G i I, J, K, L theo th t là trung
i m c a các c nh AB, BC ,CD ,DA Ch ng minh : IJ//KL và
JK//IL .
Bài 2. Cho t di n ABCD .G i H, K là tr ng tâm c a các tam
giác BCD và ACD .Ch ng minh r ng HK//AB.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có áy là m t t giác l i. G i M
,N ,E ,F l n l t là trung i m c a các c nh bên SC, SB, SC và
SD.
1. Ch ng minh r ng ME//AC , N F//BD
ng th ng ME ,N F ,và SO(O là
2. Ch ng minh r ng ba
giao i m c a AC và BD) ng qui
3. Ch ng minh r ng 4 i m M,N ,E,F ng ph ng
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. G i
H, K là trung i m SA, SB.
1. Ch ng minh r ng HK//CD
2. Trên c nh SC l y i m M. D ng thi t di n c a hình chóp
v i m t ph ng (MKH).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD áy là hình thang v i các c nh
áy là AB và CD. G i I, J l m l t là trung i m c a DA và BC
và G là tr ng tâm tam giác SAB.
1. Tìm giao tuy n c a (SAB) và (IJG)

www.MATHVN.com 44

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p toán 11

Bài 11. Ch ng minh r ng ba s d ng a, b, c l p thành c p s
1
1
1
c ng khi và ch khi các s :
,
,
l p
b
c c
a a
b
thành c p s c ng.
Bài 12. Tìm b n s h ng liên ti p c a m t c p s c ng bi t t ng
c a chúng là 20 và tích c a chúng là 348.
C PS

NHÂN

Bài 1. Trong các c p s nhân d i ây, hãy tính s h ng u n ã
ch ra:
1 1

1. 2; 1; ; ;…
u7 ?
2 4
2. -3; 6; -12; 24;…
u10 ?
1 1 1
u8 ?
3. 1; ; ;
;…
3 9 27
Bài 2. Tìm s h ng u, công b i c a các c p s nhân, bi t :

1.
3.
5.

u5

96

u6

192

u3

u5

90

u2

u6

240

u1

u3

u5

u1

u7

325

2.
4.
65

6.

Bài 3. Tìm c p s nhân ( u n ) bi t:

u1

u3

u5

21

u2

u4

10

u4

u2

72

u5

u3

144

u2

u4

u5

10

u3

u5

u6

20

u1 u2 u3 u4
2
2
2
u12 u2 u3 u4

.
15
85

Bài 4. Hãy tìm s h ng c a c p s nhân, bi t c p s nhân ó:
1.Có 5 s h ng v i công b i d ng, s h ng th hai b ng 3
và s h ng th t b ng 6.

21

www.MATHVN.com

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p toán 11

1
s h ng th nh t và
4
t ng c a hai s h ng d u b ng 24.

2. Có 5 s h ng v i cơng b i b ng

Bài 5. Cho m t c p s nhân có 7 s h ng, s
và s h ng th b y g p 243 l n s h
các s h ng còn l i c a c p s nhân
Bài 6. Hãy tìm s h ng t ng quát c a c p s
6u 2

u5

3u 3

1

2u 4

1

h ng th t b ng 6
ng th hai. Hãy tìm
ó.
nhân ( u n ) có

.

Bài 7. Tính t ng:

1. S
2. S

2
1
3

1 a2

4
2
... ( 1) n 1 .
9
3

a3

... v i a

n

...

1
1

2

Bài 8. Tính t ng t t c các s h ng c a c p s nhân (un) bi t:
u1

2

u2

2

un

64 2

Bài 9. M t c p s c ng và m t c p s nhân u là các dãy t ng.
Các s h ng th nh t u b ng 3, các s h ng th hai b ng
nhau. T s gi a các s h ng th ba c a c p s nhân và c p s
c ng là 9/5 .Tìm hai c p s y.
Bài 10. Tìm hai s a, b bi t r ng 1,a,b là c p s c ng và 1,a2,b2
là c p s nhân.

www.MATHVN.com

22

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p tốn 11

Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD áy là hình thang, c nh áy l n
AB. G i I, J, K l n l t là các i m n m trên SA, AB, CD
1. Tìm giao i m c a IK và (SBD).
2. Tìm giao i m c a SD và (IJK).
3. Tìm giao i m c a SC và (IJK) .

THI T DI N
Bài 1: Cho t di n ABCD. G i M, N l n l t là trung i m các
c nh AB và CD. P là i m n m trên c nh AD nh ng khơng là
trung i m. Tìm thi t di n c a t di n c t b i m t ph ng(MN P).
Bài 2: Cho t di n ABCD. Trên các o n AC, BC, BD l y các
i m M, N , P sao cho MN không song song v i AB, N P không
song song v i CD. Xác nh thi t di n t o b i m t ph ng
(MN P) và t di n ABCD.
Bài 6: Cho hình chóp SABCD. G i M là 1 i m thu c mi n
trong c a tam giác SCD.
1. Tìm giao tuy n c a hai m t ph ng (SBM) và (SAC).
2. Tìm giao i m c a BM và m t ph ng (SAC).
3. Tìm thi t di n c a hình chóp c t b i m t ph ng (ABM).
Bài 9: Cho hình chóp SABCD áy là hình bình hành tâm O.
M t i m M trên c nh SD sao cho SD = 3SM.
1. Tìm giao tuy n c a (SAC) và (SBD).
2. Xác nh giao i m I c a BM và (SAC). Ch ng t I là
trung i m c a SO.
nh thi t di n c a hình chóp SABCD và (MAB).
3.
Bài 14: Cho t di n ABCD ; i m I n m trên BD và ngoài

BD sao cho ID = 3IB; M; N là hai i m thu c c nh AD; DC sao
1
2

cho MA= MD; N D =

1
2

NC

1. Tìm giao tuy n PQ c a (IMN ) v i (ABC) ?
2. Xác d nh thi t di n t o b i (IMN ) v i t di n ?
3. Ch ng minh MN ; PQ ; AC ng qui ?
Bài 17: Hình chóp SABCD có áy ABCD là hình thang v i AB
là áy . G i M ; N là trung i m SB ; SC .
1. Tìm giao tuy n c a (SAD) và (SBC) ?
43 www.MATHVN.com

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p tốn 11

Bài 6: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang v i áy
l n là AB. G i I, J l n l t là trung i m c a SA, SB. M là i m
tu ý trên c nh SD.
1. Tìm giao tuy n c a(SAD) và (SBC).

2. Tìm giao i m K c a IM v i m t ph ng (SBC).
3. Tìm giao i m N c a SC v i m t ph ng (IJM).
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có áy là hình bình hành. G i M
là trung i m c a SC.
ng th ng AM v i m t ph ng
1. Tìm giao i m I c a
(SBD).
2. Ch ng minh IA= 2IM.
3. Tìm giao i m F c a SD và (ABM).
4. i m N thu c AB. Tìm giao i m c a MN và (SBD).
Bài 8: Cho t giác ABCD n m trong m t ph ng (P) có hai c nh
AB và CD khơng song song. G i S là i m n m ngoài (P) và M
là trung i m c a o n SC.
1. Tìm giao i m N c a SD và (MAB)
2. G i O là giao i m c a AC và BD . CMR: SO, AM, BN
ng qui
Bài 9: Cho t di n ABCD. Hai i m M, N l n l t n m trong
tam giác ABC và tam giác ABD. I là i m tu ý trên CD. Tìm
giao c a (ABI) và
ng th ng MN .
Bài 10: Cho hình chóp SABCD. G i I, J là hai i m trên c nh
AD, SB
1. Tìm các giao i m K, L c a IJ và DJ v i (SAC)
2. AD c t BC t i O; OJ c t SC t i M. Ch ng minh A, K, L,
M th ng hàng
Bài 11: Cho t di n ABCD. G i M, N l n l t là trung i m c a
AC, BC. K là i m trên c nh BD và không trùng v i trung i m
c a BD.
1. Tìm giao i m c a CD và (MN K).
2. Tìm giao i m c a AD và (MN K)

Bài 12: Cho t di n ABCD. M, N là 2 i m trên c nh AC, AD.
O là 1 i m bên trong BCD. Tìm giao i m c a:
1. MN và (ABO).
2. AO và (BMN ).
www.MATHVN.com 42

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

CH

Bài t p toán 11

NG IV. GI I H N

GI I H N C A DÃY S
Bài 1. Tính các gi i h n sau:
4n 2 n 1
1. lim
2n 2 9
n 2
3. lim 5
8n 10n
3n 4 7n 33
5. lim
100n 3 11n 2

7n 2 n 5 n 6
n 6 7n 3

4
n 3n 4
4.
6n 5 n 2 3
(1 3n 2 ) 2 n
6. lim
3n 3 (2 3n 2 )

2. lim

(3n 2 2) 3 ( 2n)
( 2 4n 3 ) 2
Bài 2. Tính các gi i h n sau:
7. lim

7. lim

3

2n 4
2n 2
n2

3

3n 2
n 3
n6 1

6n 4

n2
4

n3

3

n

n3 n
n 2

4. lim

n 1

3. lim

(1 5n 3 ) 2 (n 5) 3
2n 3 4n 7

2. lim

n 1

1. lim

5. lim

8. lim

n 2 1 2n
2n 1

6. lim

n

n

n

8. lim

n

Bài 3. Tính các gi i h n sau:
3n 1
1. lim n
2 1
( 3) n 5 n
3. lim
( 3) n 1 5 n 1

n

4

n

2n 1

5n 7

1

3

n2

1
n 1
3n 2

3 n 2.5 n
2. lim
7 3.5 n
3n 2 4 n 1
4. lim
5.4 n 2 2 n 5
23

www.MATHVN.com

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p tốn 11

Tr

ng THPT N gơ Th i N hi m

Bài t p tốn 11

Bài 4. Tính các gi i h n sau:

2. lim( n 3

n2 1 n

1. lim

3. lim n 2
5. lim n n
3

7. lim n

n 1 n
2

1

4. lim

2

n
3

2

6. lim n

1 n

1 n3

8. lim

n 1

n

n

3

n

n
n

GI I H N C A HÀM S
Bài 1. Tính các gi i h n sau:
2
1. lim x 3

x

1

3
2

x

2. lim
x

x 1

2

x2
2x

3

5x 3
2x 2 x 6

4
4. lim 3 2 x2 3x 2

5x 1
2x 7

3. lim

x

x

2

x 2

Bài 2. Tính các gi i h n sau:
2

x2

2 x 15
x 5

2 x 15
x 3

2. lim

1

3
3. lim
x 1 1
x 1 x3
x 2 3x 4

5. lim
x
4
x 2 4x

x 2 3x 10
4. lim 2
x 2 3x
5x 2
3
x 1
6. lim
x 1 x( x
5) 6

3
2
7. lim x 2 4 x

8. lim

1. lim x
x

x

3

x

2

9. lim x
x 2

3

x

4x
x 6

x

3x 2 9 x 2
x3 x 6

5

x 3 3x 2 2 x
2
x2 x 6

10. lim
x 1

x4
x

2

1
2x 3

Bài 3. Tính các gi i h n sau:

1. lim
x

2

3. lim
x

0

x2 5 3
.
x 2
x

2. lim
x

www.MATHVN.com

2

3. lim
x

1 x 1
24

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD áy ABCD là hình bình hành ; O
là giao i m hai
ng chéo; M ; N l n l t là trung i m SA;
SD. Ch ng minh ba
ng th ng SO; BN ; CM ng quy.

n)

5

3x 5 1
x 2
5 x
5

n

GIAO I M C A

NG TH NG VÀ M T PH NG

Bài 1: Cho t di n ABCD. G i M, N l n l t là trung i m c a
AC và BC. G i K là m t i m trên c nh BD không ph i là trung
i m. Tìm giao i m c a:
1. CD và m t ph ng (MN K)
2. AD và m t ph ng (MN K)

Bài 2: Cho t di n ABCD. Trên các c nh AB và Ac l n l t l y
các i m M, N sao cho MN không song song v i BC. G i O là
m t i m n m trong tam giác BCD.
1. Tìm giao i m c a MN và (BCD)
2. Tìm giao tuy n c a (OMN ) và (BCD)
ng th ng BD và CD t i H
3. M t ph ng (OMN ) c t các
và K. Xác nh các i m H và K.
Bài 3: Cho hình chóp SABCD. G i I, J, K l n l t là các i m
trên các c nh SA, AB, BC. Gi s
ng th ng JK c t các
ng th ng AD, CD t i M, N . Tìm giao i m c a các
ng
th ng SD và SC v i m t ph ng (IJK).
Bài 4: Cho t di n ABCD. G i M, N , P là các i m l n l t trên
các c nh AC, BC, BD.
1. Tìm giao i m c a CP và (MN D).
2. Tìm giao i m c a AP và (MN D).
Bài 5: Cho 4 i m A, B, C, D không ng ph ng. G i M, N l n
l t là trung i m c a AC và BC. Trên BD l y i m P sao cho
BP=2PD.
ng th ng CD v i m t
1. Tìm giao i m c a các
ph ng(MN P)
2. Tìm giao i m c a hai m t ph ng (MN P) và (ACD).

x
41

www.MATHVN.com

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p toán 11

SE, SB l n l t t i M, N . M t m t ph ng (Q) qua BC c t SD và
SA l n l t t i H và R.
1. G i I là giao i m c a AM và DN , J là giao i m c a
BH và ER. CMR b n i m S, I, J, G th ng hàng.
2. Gi s K là giao i m c a AN và DM, L là giao i m
c a BR và EH. CMR ba i m S, K, L th ng hàng.
Bài 9: Cho A; B; C khơng th ng hàng

ngồi m t ph ng

.

G i M; N ; P l n l t là giao i m AB; BC; AC v i . Ch ng
minh M; N ; P th ng hàng ?
Bài 10: Hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thang hai áy
là AD; BC. G i M; N là trung i m AB; CD và G là tr ng tâm
SAD. Tìm giao tuy n c a :
1. (GMN ) và (SAB)
2. (GMN ) và (SCD)
3. G i giao i m c a AB và CD là I; J là giao i m c a hai
giao tuy n câu a và câu b. Ch ng minh S; I; J th ng hàng .
4.

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m
5. lim
x

NG TH NG

x

9. lim 2 x
x 1

www.MATHVN.com

40

2

x

1 x

8. lim

0

3 3x
3x

x

Bài 4. Tính các gi i h n sau:
5 x
5 x
1. lim
x 0
x
3
1 4x 1
3. lim
x 0
x
x
5. lim 3
x 0
x 1 1
2
x
x
7. lim
x 1
x 1
3

6x 2

1

2
10. lim 3x 2 4 x x 2
2
x 1

3x 1
2
x 1

9. lim 2 1 x

1

x
x 1

0

x

x2

1 x

6. lim

x

0

NG QUI

Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB// CD) i m S n m ngoài m t
ph ng ch a ABCD. G i M, N l n l t là trung i m c a SC,
SD. G i I là giao i m c a AD và BC, J là giao i m c a AN và
BM.
1. CMR : S, I, J th ng hàng.
2. G i O là giao i m c a AC và BD. CMR : SO, AM, BN
ng quy.
Bài 2. Cho t di n ABCD. M, N l n l t là trung i m BC, BD.
1
Các i m P và S l n l t thu c AD, AC sao cho AR
AD ;
3
1
AS
AC . CMR : ba
ng th ng AB, MS, N R ng quy.
3

x 4 3
x 2 25

7. lim 1 2 x x

x

CH NG MINH BA

5