Nghiên cứu dao dộng ngẫu nhiên phi tuyến bằng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương tổng thế tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Nguyễn Cao Thắng

NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN
BẰNG TIÊU CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH
ĐỊA PHƯƠNG – TỔNG THỂ

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 9 52 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ
KỸ THUẬT

Hà Nội – 2019


Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lưu Xuân Hùng
GS. TSKH. Nguyễn Đông Anh

Phản biện 1: …
Phản biện 2: …
Phản biện 3: ….

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp
Học viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm
Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi … giờ ..’, ngày … tháng
… năm 2019.

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ
- Thư viện Quốc gia Việt Nam


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do lựa chọn đề tài
Việc tính toán, thiết kế dao động và điều khiển dao động có vai
trò quan trọng nhằm duy trì hiệu năng, hiệu quả, cũng như tuổi thọ
của các công trình, máy móc. Hiện nay, hệ nhiều bậc tự do được sử
dụng trong hầu hết các hệ thống kỹ thuật. Như vậy, cần thiết phải
nghiên cứu phát triển phương pháp tuyến tính hóa tương đương
(TTHTĐ) cho hệ nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên.
2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án
Áp dụng cách tiếp cận đối ngẫu để giải quyết việc xác định miền
hữu hạn [-rx , + rx] trong tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình
địa phương (LOMSEC). Qua đó đề xuất tiêu chuẩn sai số bình
phương trung bình địa phương - tổng thể (GLOMSEC) của phương
pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự do phi tuyến
chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng hoặc ồn màu. Đánh giá sai số
của tiêu chuẩn thông qua việc so sánh các mô men đáp ứng bậc hai
gần đúng với các giá trị chính xác hoặc thu được bằng các phương
pháp tin cậy khác.

3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp giải tích, phương pháp số, mô phỏng
Monte - Carlo. Phương pháp giải tích được sử dụng để xây dựng tiêu
chuẩn sai số: dựa trên quan điểm đối ngẫu trong phân tích đáp ứng
các hệ phi tuyến (xem xét đồng thời hai chiều khác nhau của một
vấn đề) cho phép khép kín về mặt giải tích để xác định giá trị trung
bình các hệ số tuyến tính hóa. Phương pháp số được sử dụng để lập
trình bằng phần mềm Matlab để tính toán, phân tích dao động ngẫu
nhiên phi tuyến nhiều bậc tự do. Mô phỏng Monte – Carlo để tìm


2

nghiệm mô phỏng đánh giá độ chính xác của lời giải tuyến tính hóa.
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
- Đã phát triển phương pháp tuyến tính hóa tương đương - một
trong những phương pháp được sử dụng phổ biến nhất của Dao động
ngẫu nhiên. Cụ thể đã đề xuất tiêu chuẩn sai số bình phương trung
bình địa phương - tổng thể (Global Local Mean Square Error
Criterion - GLOMSEC) cho hệ ngẫu nhiên phi tuyến nhiều bậc tự do.
- Đã xây dựng hệ phương trình khép kín để xác định các mô men
đáp ứng bậc hai. Khảo sát và đánh giá hiệu quả của tiêu chuẩn nói
trên cho nhiều hệ phi tuyến chịu kích động ồn trắng hoặc ồn màu.
- Kết quả của luận án có khả năng sử dụng trong việc tính toán
các hệ kỹ thuật phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên.
5. Cấu trúc của luận án
Cấu trúc của luận án gồm: phần mở đầu, 4 chương nội dung,
phần kết luận, danh mục công trình công bố, tài liệu tham khảo và
phụ lục.
CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT

XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH DAO
ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN
1.1. Đại lượng ngẫu nhiên và các đặc trưng xác suất
Định nghĩa Xác suất của một biến cố ngẫu nhiên [29],[69]: Thực
hiện n phép thử, biến cố M xuất hiện m lần, thì xác suất xuất hiện
biến cố M, ký hiệu là P(M) là giới hạn của tần suất f(M) = m/n khi số
phép thử n tăng vô hạn.
lim f ( M )  P ( M )
n 

(1.1)


3

Đại lượng ngẫu nhiên X là đại lượng mà đối với mỗi kết cục r
của phép thử, ta liên kết nó với một số thực X(r) sao cho:
a) tập hợp X  x thể hiện một biến cố M đối với mỗi số thực x,
b) xác suất của biến cố X =   bằng không:
PX =  = 0

(1.2)

Với x là số thực bất kỳ, hàm phân phối xác suất F(x) của X là
xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x:
F(x) = P[X  x]

(1.3)

1.2 Quá trình ngẫu nhiên

Trong mục này trình bày các nội dung sau: Hàm mật độ xác suất;
Mô men bậc cao; Kỳ vọng toán; Trung bình bình phương; Phương
sai; Hàm tự tương quan và hiệp phương sai.
1.3 Một số quá trình ngẫu nhiên đặc biệt
Trong mục này trình bày các nội dung sau: Quá trình ngẫu nhiên
dừng và Ergodic; Quá trình ngẫu nhiên chuẩn hay Gauss; Quá trình
ồn trắng; Quá trình ồn màu; Quá trình Wiener và quá trình Markov.
1.4 Một số phương pháp giải tích gần đúng phân tích dao động
ngẫu nhiên
Cùng với phương pháp số, các phương pháp giải tích gần đúng là
các phương pháp rất có hiệu quả. Trong luận án đã lựa chọn một số
phương pháp liên quan để trình bày chi tiết [29-31]:
- Phương pháp nhiễu (hay phương pháp tham số bé).
- Phương pháp phương trình Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK).


4

- Phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên.
- Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên.
1.5 Phương pháp phương trình Fokker – Planck - Kolmogorov
(FPK) và phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên
1.6. Tổng quan một số nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên
Vấn đề dao động ngẫu nhiên đã được nghiên cứu và được trình
bày trong nhiều sách giáo khoa [26–33]. Việc phân tích dao động
dựa trên các mô hình toán phi tuyến đòi hỏi phải có các phương pháp
thích hợp. Trong lý thuyết dao động ngẫu nhiên, phương pháp
TTHTĐ ngẫu nhiên thay thế hệ phi tuyến bởi một hệ tuyến tính
tương đương là một phương pháp phổ biến vì phương pháp này bảo
tồn một số tính chất thiết yếu của hệ phi tuyến gốc. Phương pháp này

đã được mô tả trong nhiều bài báo tổng quan [42, 43] và được tóm
tắt trong các chuyên khảo [29] và [44]. Mặc dù độ chính xác của của
phương pháp TTHTĐ có thể không cao, nhưng điều này được khắc
phục bằng các kỹ thuật cải tiến [43]. Canor et al. [45] cũng đã viết:
Nhờ có kỹ thuật thực hiện dễ dàng và nhanh chóng, phương pháp
tuyến tính hóa tương đương đã trở thành một cách tiếp cận xác suất
chung phổ quát để phân tích các cấu trúc phi tuyến kích thước lớn.
Phương pháp TTHTĐ đã được sử dụng trong nhiều tài liệu nghiên
cứu. Một cách TTHTĐ dựa trên phương pháp giải tích được phát
triển trong [46, 47] để phân tích các hệ khai thác năng lượng phi
tuyến. Hệ dao động phi tuyến của thiết diện cánh được nghiên cứu
trong [48, 49] bằng cách sử dụng phương pháp TTHTĐ. Silva Gonzlez và cs. [52] đã sử dụng phương pháp TTHTĐ ngẫu nhiên để
nghiên cứu hệ kết cấu phi tuyến tính đàn dẻo chịu tải địa chấn.
Tại Việt Nam luận án của Nguyễn Ngọc Linh [4] đã phân tích
dao động ngẫu nhiên phi tuyến của hệ một bậc tự do bằng phương


5

pháp TTHTĐ ngẫu nhiên theo tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số.
Trong Luận án của Nguyễn Như Hiếu [5] đã phát triển tiêu chuẩn đối
ngẫu trong phương pháp TTHTĐ cho hệ phi tuyến nhiều bậc tự do
chịu kích động ngẫu nhiên. Nguyễn Minh Triết đã thực hiện luận án
tiến sĩ về vấn đề phân tích đáp ứng của Profile cánh máy bay theo
cách tiếp cận đối ngẫu, trong đó nghiên cứu dao động tuần hoàn phi
tuyến bằng phương pháp TTHTĐ [6]. Trong luận án tiến sĩ năm
2002 [7] Lưu Xuân Hùng đã phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương
trung bình địa phương (Local Mean Square Error Criterion LOMSEC) dựa trên ý tưởng thay thế tích phân trên miền vô hạn (-∞,
+∞) bằng tích phân trên một miền hữu hạn [-rx , + rx] nơi tập
trung đáp ứng của hệ. Phát triển tiếp tục hướng nghiên cứu này,

trong luận án do NCS thực hiện sẽ nghiên cứu phát triển tiêu chuẩn
sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (Global-Local
Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) của phương pháp tuyến
tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự do phi tuyến chịu kích
động ngẫu nhiên. Trong việc phát triển này sẽ áp dụng cách tiếp cận
đối ngẫu để giải quyết việc xác định miền hữu hạn [-rx , + rx].

Kết luận chương 1
Chương 1 đã giới thiệu một số khái niệm và công thức cơ bản
của lý xác suất và quá trình ngẫu nhiên, một số phương pháp phân
tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Một số kết quả nghiên cứu về
dao động ngẫu nhiên phi tuyến liên quan đến luận án cũng đã được
tổng quan và phân tích làm cơ sở cho các chương tiếp theo.


6

CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG
ĐƯƠNG VÀ TIÊU CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG
BÌNH ĐỊA PHƯƠNG – TỔNG THỂ
2.1. Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương kinh điển
Ta trình bày phương pháp TTHTĐ cho hệ dao động ngẫu nhiên
phi tuyến một bậc tự do dạng [9, 29, 44]:


x  2hx  02 x  g ( x , x)  (t )

(2.10)

trong đó x , x và x là dịch chuyển, vận tốc và gia tốc; h là hệ

số giảm chấn, g ( x, x ) là hàm phi tuyến, (t ) là kích động ồn trắng
dừng Gauss có cường độ  2 ; 0 là tần số dao động riêng ứng với
h  0 , g ( x, x )  0 . Phương trình TTHTĐ của (2.10) như sau:


x  2hx  02 x  bx  kx  (t )

(2.11)

trong đó b, k là các hệ số tuyến tính hóa. Sai số phương trình
giữa (2.10) và (2.11) phải thỏa mãn tiêu chuẩn cực tiểu hóa trung
bình bình phương sai số phương trình do Caughey [10] đề nghị:
2
(2.14)
S   g ( x, x )  bx  kx   min
kd

b, k

Từ đó:
Skd
S
 0; kd  0
b
k

(2.15)

Giả thiết nghiệm là quá trình ngẫu nhiên dừng nên đáp ứng x , x
là độc lập, nghĩa là xx  0 , giải hệ phương trình (2.15) thu được:

b

  x, x 
xg
x 2

,k 

xg  x, x 

(2.17)

x2

Phương trình (2.11) và (2.17) lập thành hệ phương trình xác định
3 ẩn số x(t), b, k. Thuật toán lặp thường được áp dụng được


7

đề xuất bởi Atalik và Utku [59] như sau:
a) Gán giá trị ban đầu cho các mô men bậc hai

x 2 , x 2 .

b) Dùng (2.17) để xác định các hệ số tuyến tính.
c) Giải phương trình (2.11) để tìm mô men bậc hai tức thời mới
x 2 , x 2 .
d) Lặp lại b) và c) cho tới khi đạt được độ chính xác đã định.

Ta xét hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên:
 + Cx + Kx + Φ  x, x , 
Mx
x  = Q t  ,

(2.20)

trong đó x - véc tơ gia tốc, x - véc tơ vận tốc và x - véc tơ
chuyển dịch M   mij  , C   cij  , K   kij 
là các ma
n n
n n
n n
trận khối lượng, ma trận cản và ma trận độ cứng; Φ  x, x , x  - véc tơ
hàm phi tuyến, Q  t  là véc tơ quá trình ồn trắng có trung bình
không và ma trận mật độ phổ S  Sij  trong đó Sij  là hàm
nn
mật độ phổ chéo của hai phần tử Qi và Q j . Ta có hệ TTHTĐ như
sau:

 M + M  q   C + C  q   K + K  q  Q  t  ,
e

e

e

(2.21)

trong đó M e , Ce , K e là các ma trận khối lượng, cản và độ cứng

tương đương. Trong phương trình (2.21) ta sử dụng ký hiệu q  t  để
chỉ ra rằng đây chỉ là một nghiệm xấp xỉ của x  t  trong phương
trình phi tuyến gốc (2.20). Sai số giữa hệ (2.20) và hệ (2.21) là
 q
    M e q
 + Ce q + K e q  .
e  Φ  q, q,

(2.22)

Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình đòi hỏi cực tiểu hóa
của trung bình bình phương sai số e theo M e , Ce , K e :
E  e T e   emin
.
e
e
M ,C , K

(2.24)


8

Trong đó kỳ vọng trong vế trái của (2.24) được tính theo hàm
mật độ xác suất đồng thời của (2.21). Atalik và Utku (1976) [59] cho
thấy tiêu chuẩn (2.24) dẫn tới phương trình sau:
E  zz T   M e

Ce

T

K e   E  zΦT  z   ,

(2.25)

2.2. Một số tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương cải tiến
Trong nhiều thập kỷ, nhiều nghiên cứu về các tiêu chuẩn tuyến
tính hóa tương đương đã được đề xuất để nâng cao độ chính xác của
phương pháp tuyến tính hóa tương đương [11-24, 20-24, 67, 68].
2.3 Tiêu chuẩn sai số trung bình bình phương địa phương-tổng thể
Trong mục này ta sẽ đề xuất tiêu chuẩn TTH tương đương mới
gọi là Tiêu chuẩn sai số trung bình bình phương địa phương-tổng
thể. Ta xét dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do dạng:

x  2hx  02 x  g ( x , x)  (t )

(2.47)

trong đó các ký hiệu được dùng như đã trình bày ở trên. Phương
trình tuyến tính hóa tương đương của (2.47) có dạng:

x  2hx  02 x   x   x  (t )

(2.48)

trong đó λ, μ là các hệ số tuyến tính hóa. Sai số phương trình
giữa (2.47) và (2.48) sẽ là:
e x , x   g  x , x    x  x

(2.49)

Tiêu chuẩn kinh điển sẽ cho [29, 44]




 e





2

( x , x )P ( x , x ) dxdx  min

(2.51)

 ,

Trong đó P( x, x ) là hàm mật độ xác suất (PDF) của x và x :


9

g ( x , x ) x

 

x

, 

2

g ( x , x ) x
.
x 2

(2.53)

Do khoảng tích phân trong (2.51) là (   , ), tiêu chuẩn
(2.51) được gọi là tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình tổng thể.
Với giả thiết rằng phép lấy tích phân cần tập trung để cho nghiệm
chính xác hơn, Anh và Di Paola đề nghị tiêu chuẩn sai số bình
phương trung bình địa phương (LOMSEC) [15]:
 x0

 x 0

 x0

(2.54)

e 2 ( x , x )P ( x , x ) dxdx  min

 

 ,

 x0

trong đó x0 , x0 là hai giá trị dương. Tích phân (2.54) có thể biến
đổi cho các biến không thứ nguyên x0  r x , x0  r x với r là một
số dương nào đó,  x và  x là độ lệch chuẩn của x và x :
 r x

[ e ( x , x )] 
2



 r x

 r x

e 2 ( x , x ) P ( x , x ) dxdx  m in



(2.55)

 ,

 r  x

trong đó [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương:
 r

[.] 



r

x

 r

x



r

x

( . ) P ( x , x ) d x d x

(2.56)

x

Tương tự ta có:
 (r ) 

 g ( x , x ) x  ,  ( r )   g ( x , x ) x  .
 x 2 

 x 2 

(2.57)

Ta thấy từ (2.57) các hệ số TTH địa phương (LOMSEC) sẽ là
hàm số của r,    (r ),    (r ) .
Sử dụng quan điểm đối ngẫu ta có thể đề nghị cho r thay đổi trên
toàn miền giá trị không âm và các hệ số TTH  ,  có thể chọn bằng
giá trị trung bình toàn thể như sau [24]:


10
1

s

   ( r )  Lim 
s

0

1

s

   ( r )  Lim 
s 



  ( r ) dr  ,
s

(2.60)



  ( r ) dr  .
s
0

Ta thu được từ LOMSEC một tiêu chuẩn TTH mới gọi là tiêu
chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể
(GLOMSEC).
Tiếp theo, ta sẽ phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung
bình địa phương - tổng thể (GLOMSEC) cho hệ nhiều bậc tự do:
(2.61)
z  g z   f t 
T

z   z1 , z2 ,..., z n  là vec tơ các biến trạng thái, n là số tự nhiên, g
là hàm phi tuyến của biến vec tơ z, f(t) là quá trình ngẫu nhiên chuẩn
có giá trị trung bình bằng không.
Ký hiệu:
e z   z  g z   f t 

(2.62)

Đưa vào các phần tử tuyến tính mới trong (2.62) như sau:
ez   z  Az  Az  g  z   f t 

(2.64)

Trong đó A  a ij  là ma trận n×n. Gọi vector y là một lời giải
dừng của phương trình tuyến tính sau:

y  Ay  f t   0

(2.65)

Từ (2.64) và (2.65) ta có:

e y   Ay  g  y 

(2.66)

Ký hiệu p(y) hàm mật độ PDF của véctơ đáp ứng y của phương
trình (2.65). Theo tiêu chuẩn LOMSEC ta có:

e

2
i

 y 01 y 1

 y n0 yn

 y    y  n  y 

Ta có:

0
1

y1

0
n

yn

ei2  y  p y dy  min , i,j = 1,…,n
aij


11



A  g  y yT

 yy 

T 1

(2.72)

Thuật toán lặp được áp dụng tương tự với thuật toán được đề
xuất bởi Atalik và Utku [59]. Theo tiêu chuẩn sai số bình phương

trung bình địa phương - tổng thể (GLOMSEC), các hệ số TTH aij có
thể chọn bằng giá trị trung bình toàn thể như sau:
aij  aij ( y10 , y 20 ,..... y n0 ) 
0

0

yn
y1


1
0 0
0
0 0
0

 0 0 Lim 0
....
a
(
y
,
y
,.....
y
)
dy
dy
.....

dy
n
1
2
n
  ij 1 2

y1 , y 2 ,..... y n   y10 y 20 ..... y n0
0
0


Kết luận chương 2

Chương hai đi sâu vào việc xây dựng tiêu chuẩn sai số bình
phương trung bình địa phương - tổng thể (GLOMSEC) cho hệ một
và nhiều bậc tự do. Các kết quả trong chương 2 được trình bày trong
các bài báo [1,6] trong Danh sách các công bố của luận án.
CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG TIÊU CHUẨN GLOMSEC TRONG
PHÂN TÍCH CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI
TUYẾN MỘT BẬC TỰ DO
3.1. Phân tích miền tập trung đáp ứng của hệ phi tuyến
3.1.1. Hệ dao dộng Duffing chịu kích động ồn trắng
3.1.2 Hệ dao dộng có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng
Ta xét hệ dao dộng có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng:

x     1  x 2  x 2  x  x  d   t 

(3.6)

Hàm mật độ xác suất hai chiều chính xác PDF của hệ [29, 44]:


12
2 

p  x, x   C exp   x 2  x 2   0.5  x 2  x 2   

 
d 

(3.7)

trong đó C là hằng số chuẩn. Nếu Proba  x  a được chọn
trước khi đó vùng  a, a sẽ được xác định theo công thức:
Prob a  x  a  

a

a









p  x, x  dx dx

(3.8)

Giả sử ta chọn Proba  x  a  0.98 và xét tham số d = 2 trong
khi tham số phi tuyến  thay đổi. Khi đó sẽ thu được các giá trị a
(Bảng 3.2). Từ Bảng 3.2 ta cũng nhận thấy rằng miền hữu hạn [-a, a]
trong đó các đáp ứng tập trung với xác suất 0.98. Các quan sát cho
thấy miền đáp ứng co lại khi tham số phi tuyến  tăng thể hiện trên
Bảng 3.2. và Hình 3.2 như sau.
Bảng 3.2. Các giá trị của a phụ thuộc theo 



0.1

0.5

1

5

10

30

50

80

100

a

2.92

2.04

1.78

1.36

1.26

1.15

1.11

1.08

1.07

0.04
p
0.02

4
2
0
0

-4
-2

x

0.4
0.3
p
0.2
0.1
0

1

0
-1

-2
0
x

0
2

-4
4

a.  =0.1

-1

x
1

b.  =100

Hình 3.2. Đồ thị hàm PDF của hệ cản phi tuyến, (  =0.1; 100)

x


13

3.2. Các ví dụ ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung
bình địa phương-tổng thể (GLOMSEC)
3.2.1 Dao động có cản phi tuyến bậc ba
Xét hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên có dạng:


x  2 h  x   x 3    o2 x    t 

(3.11)

trong đó h ,  ,  o ,  là các số thực dương,   t  là ồn trắng.
Hệ phi tuyến sẽ thay bằng phương trình tuyến tính tương đương

x   2h  b  x  o2 x    t 

(3.12)

với b là hệ số tuyến tính hóa.
Đáp ứng dịch chuyển bình phương trung bình của (3.12) là

x2 

2
2  2h  b  o2

(3.13)

Hệ số TTH b tính theo tiêu chuẩn kinh điển:

b  6 h  x 2 

(3.15)

Hệ số TTH b tính theo tiêu chuẩn GLOMSEC sẽ bằng:

1 s T

b  b(r )  2h  x 2  Lim   2, r dr   2.4119 * 2h  x 2  (3.22)


s  s T
 0 1,r 
Thay hệ số tuyến tính hóa (3.22) vào công thức nghiệm (3.13) ta có:

x2

GL



h  h 2  2.4119h 2
2 * 2.4119ho2

(3.23)

Để đánh giá các nghiệm xấp xỉ, ta sử dụng nghiệm xác định bằng


14

phương pháp phi tuyến hóa tương đương x 2

ENL

[29]. Sai số tương

đối giữa tính theo phần trăm giữa các nghiệm xấp xỉ x 2
so với nghiệm chính xác x
x2
Err( C ) 

kd

x

 x2
2

cx

2
ENL

, x2

kd

tính theo công thức (3.24):
x2

*100%, Err( GL ) 

cx

GL

x

 x2

cx

2

x2

kd

*100%

(3.24)

cx

Trong Bảng 3.4, kết quả cho thấy nghiệm x 2
xác tốt hơn so với nghiệm

GL

GL

có độ chính

, cụ thể sai số lớn nhất của

GLOMSEC chỉ là 1.93%.
Bảng 3.4. Momen bậc hai của đáp ứng của hệ dao động cản phi
tuyến với h  0.05, o  1,   4h , và γ thay đổi

1

0.4603

0.4342

5.61

0.4692

1.93

3

0.3058

0.2824

7.65

0.3090

1.05

5

0.2479

0.2270

8.32

0.2495

0.77

8

0.2025

0.1844

8.99

0.2032

0.35

10

0.1835

0.1667

9.16

0.1839

0.22

kd

x2

Err(GL )

x2

ENL

x2

Err( C )

γ

%

GL

%

3.2.2. Dao động trong hệ Van der Pol với kích động ồn trắng
Xét dao động Van der Pol được mô tả bởi phương trình

x      x 2  x  o2 x    t 

(3.25)


15

trong đó  ,  , o ,  là các số thực dương,   t  là kích động ồn
trắng Gauss cường độ đơn vị. Ta thay hàm phi tuyến của lực cản
g  x , x    x 2 x bằng hàm tuyến tính bx , trong đó b là hệ số TTH.

x     b  x  o2 x    t 

(3.26)

Hệ số TTH b tính theo tiêu chuẩn kinh điển sẽ bằng
b    x 2 

(3.29)

Hệ số TTH b tính theo tiêu chuẩn GLOMSEC sẽ bằng:
1 s T

b  b(r )    x 2  Lim   1, r dr   0.8371  x 2 

s   s T
 0 0, r 

Dịch chuyển bình phương trung bình x 2

GL

(3.34)

của hệ Van der Pol

(3.25) tính theo tiêu chuẩn GLOMSEC:

x2

GL



1
1,6742


 2 2 1,6742 2  
     

o2


 

(3.36)

Để đánh giá các nghiệm xấp xỉ, ta sử dụng nghiệm mô phỏng
Monte Carlo, [29]. Sai số tương đối giữa các nghiệm xấp xỉ x 2 ,
GL

x

2
kd

so với nghiệm mô phỏng x

2
MC

tính theo công thức (3.24).

Bảng 3.5 Đáp ứng bình phương trung bình của dao động Van
der Pol với α*ε=0.2;  0 =1;  *  =2; σ2 thay đổi.

2

x2

MC

x2

Err( C )
kd

%

x2

Err(GL )
GL

%

0.02

0.2081

0.1366

34.33

0.1574

24.32

0.20

0.3608

0.2791

22.46

0.3113

13.52


16

1.00

0.7325

0.5525

24.58

0.6095

16.79

2.00

1.0310

0.7589

26.40

0.8349

19.02

4.00

1.4540

1.0513

27.70

1.1544

20.61

Trong bảng 3.5, kết quả x 2
x2

có độ chính xác tốt hơn so với
GL

, trong đó các giá trị sai số lớn nhất tương ứng là 24.32% so
kd

với 34.33%.
3.2.3 Dao động trong hệ Duffing với kích động ngẫu nhiên
Ta xét hệ dao động Duffing chịu kích động ngẫu nhiên có dạng:

x  2hx  o2 x   x 3    t 

(3.37)

Các ký hiệu giống như ví dụ trước. Nghiệm chính xác [29, 44]


x2

 4h  1
1

exp  2  o2 x 2   x 4   dx
4

  2
 
 4h  1 2 2 1 4  
 exp   2  2 o x  4  x  dx


x

cx

2

(3.39)

Phương trình tuyến tính hóa tương đương sẽ là:

x  2hx  o2 x  kx    t 

(3.40)

Hệ số TTH k tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình
địa phương – tổng thể (GLOMSEC) sẽ bằng:
1 s T

1 s

k  k ( r )  Lim   k ( r ) dr   Lim    2, r  x 2  dr  


s
s 0
 s    s 0 T1, r

1 s T


   x 2  Lim   2, r dr   2.4119  x 2 

s  s
 0 T1, r


(3.48)


17

Dịch chuyển bình phương trung bình

x2

GL

của hệ Duffing

(3.37) tính theo tiêu chuẩn GLOMSEC::

x2

GL



1
2 * 2.4119

 2
 2
 o  o4  2.4119

h


Sai số tương đối giữa nghiệm xấp xỉ x 2
chính xác x

2
cx

GL

, x2

kd






(3.49)

với nghiệm

được tính theo (3.24) và trình bày trong Bảng 3.6.

Bảng 3.6 Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động
Duffing với o  1, h  0.25,   1 ;theo hệ số đàn hồi phi tuyến



x2

cx

x2

Err( C )
kd

%

x2



Err(GL )
GL

%

0.1

0.8176

0.8054

1.49

0.8327

1.857

1.0

0.4680

0.4343

7.194

0.4692

0.263

10

0.1889

0.1667

11.768

0.1839

2.626

100

0.0650

0.0561

13.704

0.0624

4.076

Kết quả cho thấy nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn kinh
điển có độ chính xác tốt với hệ số đàn hồi phi tuyến



nhỏ, sai số

tăng lên trên 13% khi hệ số đàn hồi phi tuyến tăng lên. Độ chính xác
của tiêu chuẩn GLOMSEC là tốt hơn với sai số lớn nhất là 4.1%.
3.2. 4. Hệ Duffing với cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng
3.2.5. Dao động của tàu thủy
Chuyển động lăn của tàu trong sóng ngẫu nhiên đã được xét bởi
[55], [56], [57]. Phương trình chuyển động của tàu có dạng [56-57]
(3.63)
      2  2 D  ( t )

18

Áp dụng TTH tương đương hệ (3.63) thay bằng hệ tuyến tính
(3.66)
  c e    2 D  ( t )
Hệ số tuyến tính hóa c e theo tiêu chuẩn GLOMSEC:
 1 s Tt 3 , r 
1 s

c e  c e (r )  Lim   c e (r )dr    E{ 2 }1/ 2 Lim  
dr   1.49705 E{ 2 }1/ 2

s 
s   s
s
T
 0

 0 1, r


Mô men bậc 2 của đáp ứng theo tiêu chuẩn GLOMSEC là:
E  2 

GL

 E  2 



GL

D
D
D

 0.76415  
e
2 1/ 2
c 1.49705 E{ }
 

2/3

Mô men bậc 2 của đáp ứng theo tiêu chuẩn kinh điển là:
E  2   E  2  
C

C

D
D
D

 0.7323  
e
2 1/2

c 1.5958 E{ }
 

2/3

Mô men bậc 2 theo tiêu chuẩn phi tuyến hóa tương đương là:
E  2 

ENL

 E  2 

ENL

D
 0.765  
 

2/3

Sai số tương đối của nghiệm tính theo tiêu chuẩn kinh điển và
tiêu chuẩn GLOMSEC so với nghiệm tính theo tiêu chuẩn phi tuyến
hóa tương đương theo công thức (3.24), ta có:

Err(C )  4.314%; Err(GL )  0.130%
Kết quả cho thấy rằng lời giải của GLOMSEC phù hợp với lời
giải của ENL. Như vậy GLOMSEC mang lại một sự cải thiện đáng
kể về tính chính xác của lời giải so với tiêu chuẩn kinh điển.
Kết luận chương 3
Trong chương 3 đã ứng dụng Tiêu chuẩn GLOMSEC để phân
tích mô men đáp ứng bậc hai cho một số hệ dao động phi tuyến ngẫu
nhiên một bậc tự do. Các ví dụ áp dụng đã khẳng định ưu điểm nổi

19

bật của kỹ thuật được đề xuất trong tiêu chuẩn GLOMSEC. Các kết
quả được trình bày trong [1,3,5], Danh sách các công bố của luận án.
CHƯƠNG 4. ỨNG DỤNG TIÊU CHUẨN GLOMSEC TRONG
PHÂN TÍCH CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI
TUYẾN NHIỀU BẬC TỰ DO
4.1. Hệ dao động phi tuyến hai bậc tự do
Ta xét hệ dao động phi tuyến hai bậc tự do được mô tả bởi hệ
phương trình sau [77]
3
x1   1
0   x1  12 a   x1   1x13  b  x1  x2    w1 (t ) 
1 0  



   


0 1  
2
3

  x2   0 1  2   x2   a 2   x2   2 x 32  b  x2  x1    w2 (t ) 

(4.1)
trong đó: i , a, b, i , i (i=1, 2) là các hằng số. w1 (t ), w2 (t ) là

các quá trình ồn trắng, trung bình bằng không và
E wi (t ) wi (t   )  2 Si ( ) (i=1, 2),  ( ) là hàm Delta Dirac, S1 , S2 =
const. Hệ phương trình tuyến tính hóa tương đương sẽ là
x1   1  c11e
1 0   

0 1   
e

  x2   c21

  x1  12  k11e
a  k12e   x1   w1 (t ) 



 


e
e
2
e 
1  2  c22
  x2   a  k21 2  k22   x2   w2 (t ) 
c12e

(4.4)
trong đó c , k ; (i, j  1,2) là các hệ số tuyến tính hóa. Sai số
e

ij

e
ij

giữa hệ phi tuyến gốc và hệ tuyến tính hóa tương đương sẽ là
   ( x , x )  C e X  K e X

(4.5)

3
3
    1 x1  b  x1  x2  

( x, x )   1   
3
 2   2 x 32  b  x2  x1  

ce
Ce   11e
 c21

e

c12e 
   x1  ; K e   k11
;
X

 x 

e
e
c22
 2

 k21

k12e 
;
k22e 

x 
X   1 ;
 x2 

(4.6)


20

Để đơn giản hóa việc tính toán, ta giả thiết

x1 , x2 là độc lập với

nhau. Sử dụng phụ lục và lưu ý E  xi2 n 1 x 2j m 1   0 (i  j ) . Áp dụng
Tiêu chuẩn GLOMSEC ta xác định:
1 s T

c11e  c11e ( r )  1E  x12  Lim   2,r dr  ,


s   s
 0 T1,r 
1 s T

e
e
c22
 c22
( r )   2 E  x22  Lim   2,r dr 

s   s
 0 T1, r 

1 s T

1 s T

k11e  k11e ( r )  b  E  x12  Lim   2,r dr   3E  x22  Lim   1,r dr   .




s   s
s

 0 T1,r 
 s 0 T0,r  


1 s T


1 s T

k12e  k12e (r )  b  E  x22  Lim   2,r dr   3E  x12  Lim   1,r dr   .



s   s T
s   s T
 0 1,r 
 0 0,r  


1 s T

1 s T

e
e
k 21
 k 21
(r )  b  E  x12  Lim   2, r dr   3E  x22  Lim   1, r dr   .




s   s
s

 0 T1,r 

 s 0 T0,r  



1 s T

1 s T

e
k22e  k22
( r )  b  E  x22  Lim   2,r dr   3E  x12  Lim   1,r dr   .




s   s
s

 0 T1,r 
 s 0 T0,r  


(4.11)
Các giới hạn trong (4.11) sẽ bằng:
1 s T

 1 s T1,r 
dr   0.83706
lim   2,r dr   2.41189 lim  


s  s T
s   s T
 0 0r 
 0 1,r 
,

(4.12)

Để đánh giá lời giải gần đúng trong khi hệ phi tuyến gốc không
có lời giải chính xác, ta sử dụng hàm mật độ xác suất gần đúng theo
phương pháp phi tuyến hóa tương đương (ENL) [77]. Bảng 4.1 trình
bày các mô men đáp ứng bậc hai gần đúng cũng như các sai số tương
đối của chúng so với các lời giải theo phương pháp ENL


21

Bảng 4.1. Các mô men bậc hai của đáp ứng của x1 , x2 theo
1  2 với 1  2 12  a b  S0 1.
1 ,
2

E  x12 

0.1 1.573

Err( C )
ENL

E x



2
1 C

%

E  x12 

GL

Err(GL)

E  x22 

ENL

%

E  x22 

C

Err( C )
%

E  x22 

Err(GL )

GL

%

1.216

22.68 1.407

10.54

1.573

1.151 26.83 1.327

15.64

1

0.496

0.422

15.07 0.488

1.59

0.496

0.370 25.51 0.419

15.50

5

0.253

0.220

13.19 0.254

0.268

0.253

0.205 19.19 0.234

7.573

10

0.194

0.171

12.07 0.197

1.533

0.194

0.162 16.48 0.186

4.178

Ta thấy rằng GLOMSEC mang lại sự cải thiện tốt về độ chính
xác của lời giải, đặc biệt khi tính phi tuyến vừa và mạnh.
4.2. Hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu
Việc đưa hệ 1 bậc tự do chịu kích động ồn màu vào Chương 4 là
vì quá trình ngẫu nhiên ồn màu được mô tả là một quá trình ồn trắng
đi qua bộ lọc vi phân bậc hai. Phương trình dao động được giải cùng
với phương trình bộ lọc do vậy có thể xem như hệ nhiều bậc tự do.
4.2.1. Mở rộng GLOMSEC cho trường hợp chịu kích động ngẫu
nhiên ồn màu
4.2.2. Hệ Duffing chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu
Ta xét hệ Duffing chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu như sau

z   z  2 ( z   z 3 )  f
(4.41)
với f là kích động ngẫu nhiên ồn màu

f   f   2f f   2f w .

(4.22)

Phương trình phi tuyến dược thay thế bằng phương trình TTHTĐ

(4.27)
x  cx  kx  f

22

Ta có hệ số TTH theo tiêu chuẩn GLOMSEC:

k  2  2.411892 x2 , c   .

(4.45)

Ta có hệ số TTH theo tiêu chuẩn kinh điển:
k   2  3 2 x2 , c  

(4.46)

Ta có hệ số TTH theo tiêu chuẩn cân bằng năng lượng:
k  2  2.52 x2 , c  

(4.50)

Sai số tương đối giữa các nghiệm xấp xỉ  x2,GL ,  x2,C so với  x2, E
và trình bày trong bảng 4.3. Kết quả cho thấy nghiệm  x2,GL có độ
chính xác tốt hơn nhiều so với nghiệm  x2,C , cụ thể đối với sai số lớn
nhất tương ứng là 2.392% so với 11.398%.
Bảng 4.3. Mô men bậc hai của đáp ứng với , 2 ,S, , f2  1 
,
thay đổi.



 x2, E

 x2, C

ErrC %

 x2,GL

ErrGL %

0.1

1.86038

1.75024

5.920

1.88195

1.159

1

0.66376

0.60015

9.583

0.67688

1.977

10

0.16687

0.14855

10.979

0.17072

2.307

100

0.03720

0.03296

11.398

0.03809

2.392

4.2.3. Hệ Duffing có cản phi tuyến chịu kích động ồn màu
Ta xét hệ Duffing có cản phi tuyến bậc 3 chịu kích động ngẫu
nhiên ồn màu như sau


z   z   z3   z 3  f

(4.51)

với f là kích động ngẫu nhiên ồn màu xác định bởi (4.22).
Phương trình phi tuyến được thay thế bằng phương trình TTHTĐ
(4.27).


23

Ta có hệ số TTH theo tiêu chuẩn GLOMSEC:

k  2  2.41189 x2 , c    2.41189 x2 .

(4.54)

Ta có hệ số TTH theo tiêu chuẩn kinh điển:

k  2  3 x2 , c    3 x2 .

(4.55)

Sai số tương đối giữa các nghiệm xấp xỉ  x2,GL ,  x2,C so với
2
nghiệm mô phỏng Monte Carlo  x , MC và trình bày trong Bảng 4.4.

Kết quả cho thấy nghiệm  x2,GL có độ chính xác tốt hơn so với

nghiệm  x2,C thu được bằng phương pháp kinh điển.
2
Bảng 4.4. Mô men bậc hai của đáp ứng với , ,S, , f  1 ,



thay đổi.


0.1
1
10
100

 x2, MC

 x2, C

ErrC %

 x2,GL

ErrGL %

2.62060
0.82554
0.22073
0.05138

2.14097

0.65974
0.16413
0.03502

18.302
20.084
25.642
30.841

2.46218
0.76111
0.19043
0.04067

6.045
7.805
13.727
20.845

Kết luận chương 4
Trong chương 4 đã ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương
trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) để phân tích mô men
đáp ứng bậc hai cho một số hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên nhiều
bậc tự do và hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên một bậc tự do chịu
kích động ngẫu nhiên ồn màu dải hẹp. Các kết quả trong chương 4
được trình bày trong [1,2,4,6] trong Danh sách các công bố của luận
án.