Nghiên cứu dao dộng ngẫu nhiên phi tuyến bằng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương tổng thế

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Nguyễn Cao Thắng

NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN
BẰNG TIÊU CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH
ĐỊA PHƯƠNG – TỔNG THỂ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội – 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Nguyễn Cao Thắng

NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN
BẰNG TIÊU CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH

ĐỊA PHƯƠNG – TỔNG THỂ

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 9 52 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SỸ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. TS. Lưu Xuân Hùng
2. GS. TSKH. Nguyễn Đông Anh

Hà Nội – 2019


I

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu
được trình bày trong luận án là trung thực, khách quan và chưa từng được bảo vệ ở
bất kỳ học vị nào.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận án đã được cảm ơn,
các thông tin trích dẫn trong luận án này đều được chỉ rõ nguồn gốc.

Tác giả luận án

Nguyễn Cao Thắng


II

LỜI CÁM ƠN

Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy hướng dẫn khoa học, TS.
Lưu Xuân Hùng và GS.TSKH. Nguyễn Đông Anh, đã tận tâm hướng dẫn khoa học,
chỉ bảo tôi nghiên cứu và giúp đỡ tôi hoàn thành luận án.
Tôi xin bày tỏ sự cám ơn tới Phòng Cơ học Công Trình, Viện Cơ học, Học Viện
Khoa học và Công nghệ, các thầy cô đã tạo điều kiện đã giúp đỡ tôi ngay từ những
ngày đầu làm luận án.
Tôi xin cám ơn các đồng nghiệp, TS. Nguyễn Như Hiếu, TS. Nguyễn Văn Hải và
nhiều người khác đã hỗ trợ, động viên tôi trong nhiều lúc khó khăn.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ sự biết ơn đến gia đình đã giúp đỡ, ủng hộ tôi trong suốt
thời gian làm luận án.


III

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................................. I
LỜI CÁM ƠN ................................................................................................................... II
MỤC LỤC ......................................................................................................................... III
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT.................................................... VI
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ .......................................................................... IX
DANH MỤC CÁC BẢNG................................................................................................ X
MỞ ĐẦU

..................................................................................................................... 1

CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU TỔNG QUAN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN
TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN .......................................................... 6

1.1. Đại lượng ngẫu nhiên và các đặc trưng xác suất ....................................................... 6
1.2 Quá trình ngẫu nhiên ................................................................................................... 8
1.3 Một số quá trình ngẫu nhiên đặc biệt .......................................................................... 11
1.4 Một số phương pháp giải tích gần đúng phân tích dao động ngẫu nhiên ................... 16
1.5 Phương pháp phương trình Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) và phương pháp
trung bình hóa ngẫu nhiên ................................................................................................. 19
1.6. Tổng quan một số nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên ............................................ 25
Kết luận chương 1 ............................................................................................................. 28
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ TIÊU
CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH ĐỊA PHƯƠNG – TỔNG THỂ....... 29
2.1. Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương kinh điển .................................................... 29
2.2. Một số tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương cải tiến............................................ 36
2.2.1 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa dựa trên sai số thế năng ................................................. 37
2.2.2 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương có điều chỉnh............................................ 38
2.2.3 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương đối ngẫu ................................................... 39


IV
2.3 Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương-tổng thể (GLOMSEC) ......... 40
Kết luận chương 2 ............................................................................................................. 49
CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG TIÊU CHUẨN GLOMSEC TRONG PHÂN TÍCH
CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN MỘT BẬC TỰ DO .................... 50
3.1. Phân tích miền tập trung đáp ứng của hệ dao động phi tuyến ................................... 50
3.1.1. Hệ dao dộng Duffing chịu kích động ồn trắng ....................................................... 50
3.1.2.Hệ dao dộng có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng ........................................... 52
3.1.3. Hệ dao dộng có lực cản và đàn hồi phi tuyến chịu kích động ồn trắng .................. 54
3.2. Các ví dụ ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương-tổng
thể (GLOMSEC) ............................................................................................................... 57
3.2.1 Dao động có cản phi tuyến bậc ba ........................................................................... 57
3.2.2. Dao động trong hệ Van der Pol với kích động ngẫu nhiên ..................................... 60

3.2.3 Dao động trong hệ Duffing với kích động ngẫu nhiên ........................................... 63
3.2.4. Hệ dao động Duffing với cản phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ...................... 66
3.2.5. Dao động của tàu thủy ............................................................................................ 70
Kết luận chương 3 ............................................................................................................. 72
CHƯƠNG 4. ỨNG DỤNG TIÊU CHUẨN GLOMSEC TRONG PHÂN TÍCH
CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN NHIỀU BẬC TỰ DO ................. 73
4.1. Hệ dao động phi tuyến hai bậc tự do ......................................................................... 73
4.2. Hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu ....................................... 80
4.2.1. Mở rộng GLOMSEC cho trường hợp chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu ............ 80
4.2.2. Hệ dao động Duffing chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu ...................................... 83
4.2.3. Hệ dao động Duffing có cản phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu ........... 86
Kết luận Chương 4 ............................................................................................................ 88
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .......................................................................................... 90
DANH SÁCH CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN........................... 92


V
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................................. 93
PHỤ LỤC .......................................................................................................................... 100


VI

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

GLOMSEC (GL)

tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa
phương tổng thể (Global-Local Mean Square Error
Criterion)

LOMSEC (L)

tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa
phương (Local Mean Square Error Criterion)

TTH

tuyến tính hóa

FPK

phương trình Fokker-Planck-Kolgomorov

ENL

phi tuyến hóa tương đương (Equivalent Non –
Linearization)

kd

kinh điển

MC

mô phỏng Monte Carlo

PDF

hàm mật độ xác xuất (Probability Density

Function)

SDOF

hệ một bậc tự do

MDOF

hệ nhiều bậc tự do

NL

năng lượng

M

ma trận khối lượng

K

ma trận hệ số độ cứng

C

ma trận hệ số cản

α ( )

ma trận đáp ứng tần số

Sw ( )

ma trận mật độ phổ của véc-tơ w(t)

a, r

biến không thứ nguyên dương


VII
 ,  , , , 

hệ số dương

b, k, c

hệ số tuyến tính hóa tương đương

bi , k j

hệ số tuyến tính hóa thành phần thứ i, thứ j

h

hệ số cản tuyến tính

C

hệ số chuẩn hóa

c1 , k tt

hệ số độ cứng tuyến tính

Dxx  t1 , t2  , D12

hiệp phương sai

  x

hàm Delta Dirac

E 
 ,  

kỳ vọng toán

e  x, x 

sai số phương trình

F  x

hàm phân phối xác suất

f t  , u t 

kích động ngoài

g  x, x 

hàm phi tuyến của dịch chuyển và vận tốc

H  x, x 

hàm tổng năng lượng

K  x, t 

ma trận hệ số khuyếch tán

R  t1 , t2 

hàm tương quan

m

khối lượng

mx

trung bình xác suất

minS

giá trị cực tiểu của tiêu chuẩn tuyến tính hóa

n

mô men trung tâm

 nm

mô men liên kết trung tâm

P 


xác suất của một sự kiện


VIII

p  x  , p  x, x 

hàm mật độ xác suất một chiều, hai chiều

p  x, t x0 , t0 

mật độ xác suất chuyển tiếp

S x  

hàm mật độ phổ

S0

mật độ phổ hằng số

T

chu kỳ dao động

t , t 0 , t1 , t 2

thời gian



độ trễ

U  x

hàm thế năng

u, v

véc tơ

v  t  , x  t 

vận tốc

X, Y

biến ngẫu nhiên

x t 

dịch chuyển


x t 

gia tốc

 t 

quá trình Wiener

  t 

quá trình ồn trắng



cường độ của ồn trắng

x

độ lệch chuẩn

 x2

phương sai



tần số của kích động

0

tần số dao động tự do


IX

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1. Các hàm mẫu theo thời gian của quá trình ngẫu nhiên .................................... 9
Hình 1.2. Các hàm mật độ xác suất chuẩn ...................................................................... 14
Hình 3.1. Đồ thị hàm PDF p(x) của hệ Duffing, (  =0.1, 1, 10, 100) ............................ 52
Hình 3.2. Đồ thị hàm PDF p  x, x  của hệ cản phi tuyến, (  =0.1, 1, 10, 100) ............... 54
Hình 3.3. Đồ thị hàm PDF p  x, x  của hệ cản và đàn hồi phi tuyến, (  =0.1, 1, 10,
100) ................................................................................................................................. 56


X

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Các giá trị của a phụ thuộc theo  ......................................................... 51
Bảng 3.2. Các giá trị của a phụ thuộc theo  ......................................................... 53
Bảng 3.3. Các giá trị của a phụ thuộc theo  ......................................................... 55
Bảng 3.4. Momen bậc hai của đáp ứng của hệ dao động cản phi tuyến với
h  0.05,o  1,  4h , và γ thay đổi..................................................................... 60

Bảng 3.5

Đáp ứng bình phương trung bình của dao động Van der Pol với

α*ε=0.2; 0 =1;  *  =2; σ2 thay đổi ................................................................ 63

Bảng 3.6 Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động Duffing với

o  1, h  0.25,   1 ; hệ số đàn hồi phi tuyến  thay đổi .................................... 65
Bảng 3.7. Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động Duffing với cản phi
tuyến (   1.0,   0.1,   2 ;  thay đổi) ........................................................ 69
Bảng 4.1. Các mô men bậc hai của đáp ứng của x1 , x2 theo 1  2 với
1  2  1  2  a  b  S0  1 . .................................................................................. 79

Bảng 4.2. Các mô men bậc hai của đáp ứng của x1 , x2 theo b với
1  2  1  2  a  1   2  S0  1 .......................................................................... 79

Bảng 4.3. Mô men bậc hai của đáp ứng với  , 2 , S , ,  2f  1 và  thay đổi ......... 85
Bảng 4.4. Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động Duffing có cản với

 ,  , S , , 2f  1, hệ số đàn hồi phi tuyến  thay đổi ............................................. 87
Bảng 4.5. Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động Duffing có cản với
 ,  , S ,  ,  2f  1 hệ số cản phi tuyến  thay đổi ..................................................... 88


1
MỞ ĐẦU
1.

Tính cấp thiết, ý nghĩa lý luận và thực tiễn của đề tài:
Việc tính toán, thiết kế dao động và điều khiển dao động có vai trò rất quan

trọng nhằm duy trì hiệu năng, hiệu quả, cũng như kéo dài tuổi thọ của các công
trình, máy móc. Hạn chế hay loại bỏ những dao động không mong muốn, hoặc tạo
ra một mức độ dao động mong muốn là những mục tiêu chung của kỹ thuật dao
động. Để nghiên cứu các hiện tượng dao động, cần phải mô tả chúng bằng các

phương trình toán học, theo đó, các hệ dao động được gọi là tuyến tính hay phi
tuyến tùy theo phương trình vi phân mô tả dao động ấy là tuyến tính hay phi tuyến.
Hầu hết các bài toán dao động đều liên quan đến việc xác định chuyển động
của một hệ gây ra bởi tải trọng kích động. Nếu tải trọng thay đổi điều hòa hay chu
kỳ, hoặc theo một cách nào đó mà được mô tả đầy đủ như là một hàm của thời gian
(và vị trí) và nếu vị trí hay chuyển động ban đầu của hệ được biết thì đáp ứng của hệ
ở một thời điểm tùy ý sẽ hoàn toàn được xác định. Loại dao động như vậy được gọi
là dao động tiền định.
Trong dao động ngẫu nhiên, kích động thay đổi có tính chất ngẫu nhiên (bất
thường) và gây ra các đáp ứng cũng thay đổi bất thường làm cho các công trình,
thiết bị máy móc làm việc không hiệu quả, chóng hư hỏng, hoặc bị phá hủy đột
ngột. Chẳng hạn như: nhiễu động của gió lên máy bay, tên lửa; tải trọng gió lên
công trình cao tầng, tháp, cầu; tác động của sóng biển lên tầu biển, công trình biển;
lực do nhấp nhô của mặt đường tác động lên ô tô; tác động của động đất đến các
công trình, v.v. là các dạng kích động ngẫu nhiên. Về bản chất, giá trị của đại lượng
ngẫu nhiên ở một thời điểm bất kỳ là không thể dự báo được, thậm chí nếu có mối
liên hệ nào đó giữa cường độ của đại lượng ngẫu nhiên và thời gian mà đo được
trong một khoảng thời gian nhất định thì nó cũng không bao giờ lặp lại một cách
chính xác ở khoảng thời gian khác. Do đó, các công cụ quen thuộc trong phân tích
dao động tiền định sẽ không thể áp dụng được cho dao động ngẫu nhiên. Bởi vậy,
việc nghiên cứu dao động ngẫu nhiên bằng các phương pháp của cơ học ngẫu nhiên
có ý nghĩa khoa học và ứng dụng quan trọng trong kỹ thuật.
Trong hơn nửa thế kỷ qua, đã có những phát triển quan trọng về cơ học ngẫu
nhiên và dao động ngẫu nhiên, đặc biệt cùng với sự phát triển và đóng góp quan


2
trọng của kỹ thuật máy tính. Việc xây dựng mô hình cho các bài toán nêu trên
thường dẫn tới việc thiết lập và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến.
Đối với dao động ngẫu nhiên mà tính chất động lực của cấu trúc được mô hình hóa

bằng các phương trình tuyến tính thì các thống kê đáp ứng có thể được phân tích
một cách thỏa đáng. Tuy nhiên, trong thực tế, những trường hợp như vậy chỉ là
thiểu số, phổ biến hơn cả là các cấu trúc phi tuyến. Việc phân tích dao động ngẫu
nhiên phi tuyến là rất khó khăn, phức tạp và chỉ một số trường hợp đặc biệt cho
phép nhận được lời giải chính xác. Bởi vậy, cần xây dựng những phương pháp phân
tích xấp xỉ dễ ứng dụng hơn và cho phép nhận được kết quả có độ chính xác hợp lý.
Về cơ bản, có thể phân loại bốn nhóm phương pháp xấp xỉ như sau: i) Nhóm các
phương pháp giải tích (tuyến tính hóa tương đương, phi tuyến hóa tương đương,
trung bình ngẫu nhiên, đóng Gauss và đóng không Gauss, hàm mật độ xác suất xấp
xỉ, phương pháp nhiễu, khai triển chuỗi); ii) Nhóm các phương pháp số (Runge
Kutta, phần tử hữu hạn,..); iii) Mô phỏng Monte Carlo; iv) Các phương pháp thực
nghiệm.
Trong số các phương pháp giải tích xấp xỉ, phương pháp tuyến tính hóa
tương đương là một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến nhất vì tính
đơn giản, có thể áp dụng được cho hệ một hoặc nhiều bậc tự do. Phương pháp tuyến
tính hóa tương đương ngẫu nhiên được Caughey đề xuất (1959) [9] , [10] để phân
tích các hệ dao động ngẫu nhiên. Nội dung của phương pháp dựa trên sự thay thế
phương trình phi tuyến của hệ bởi phương trình tuyến tính tương đương chịu cùng
một kích động ngẫu nhiên. Các hệ số tuyến tính hóa tương đương nhận được theo
tiêu chuẩn cực tiểu hóa sai số bình phương trung bình giữa phương trình phi tuyến
gốc và phương trình tuyến tính tương đương. Đây là một phương pháp hữu hiệu đối
với các hệ phi tuyến có hệ số phi tuyến yếu. Với các hệ phi tuyến có hệ số phi tuyến
lớn hơn, độ chính xác của phương pháp này giảm đáng kể và cần thiết phải phát
triển những tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương khác để cải thiện sai số. Trong
nhiều thập kỷ, nhiều nghiên cứu về các tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương đã
được đề xuất để nâng cao độ chính xác của phương pháp tuyến tính hóa tương
đương [11-24]. Năm 1995, N. Đ. Anh và Di Paola đã đề xuất tiêu chuẩn sai số bình
phương trung bình địa phương (Local Mean Square Error Criterion - LOMSEC)

3
[15] dựa trên ý tưởng thay thế tích phân trên miền vô hạn (-∞, +∞) bằng tích phân
trên một miền hữu hạn [-rx , + rx] nơi mức độ tập trung của đáp ứng của hệ xuất
hiện nhiều nhất. (r là số dương, x là độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên x). Tiêu
chuẩn này đã được Tiến sĩ Lưu Xuân Hùng phát triển trong luận án tiến sĩ [7]. Độ
chính xác của phương pháp này được cải thiện đáng kể so với phương pháp truyền
thống của Caughey. Có thể thấy được ưu điểm của LOMSEC là: Trước hết, bằng
cách thay đổi miền lấy tích phân tiêu chuẩn LOMSEC tạo ra hàng loạt lời giải xấp
xỉ; trong đó, lời giải theo tiêu chuẩn kinh điển chỉ là một trường hợp đặc biệt khi
miền tích phân là vô cùng; thứ hai LOMSEC cũng chứa đựng sự tồn tại của một
miền tích phân mà về nguyên tắc cho phép nhận được lời giải chính xác, trong khi
điều này là không thể đối với tiêu chuẩn kinh điển. Tuy nhiên, nhược điểm chính
của LOMSEC là: đối với một hệ phi tuyến bất kỳ, miền tích phân khu vực phù hợp
(giá trị r) lại là một ẩn số, vấn đề đặt ra là làm thế nào để tìm ra ẩn số này. Gần đây,
quan điểm đối ngẫu đã được đề xuất để nghiên cứu đáp ứng của các hệ phi tuyến
[20] và đã được phát triển trong [21-24]. Một ưu điểm quan trọng của quan điểm
đối ngẫu là sự xem xét hai khía cạnh khác nhau của một vấn đề, điều này cho phép
nghiên cứu trở nên phù hợp hơn. Năm 2012, dựa trên quan điểm đối ngẫu, N. Đ.
Anh, L.X. Hùng và L. Đ. Việt [24] đã phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung
bình địa phương – tổng thể (Global Local Mean Square Error Criterion GLOMSEC) cho các hệ ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do (SDOF) bằng cách kết
hợp hai phạm vi địa phương và tổng thể. Những giá trị mới thu được của các hệ số
tuyến tính hóa là giá trị trung bình trên tổng thể của tất cả các hệ số tuyến tính hóa
địa phương.
Trước đây, hệ SDOF có thể được sử dụng làm mô hình toán học khi khảo sát
một số hệ, nhưng hiện nay, hệ nhiều bậc tự do (MDOF) phải được sử dụng trong
hầu hết các hệ thống kỹ thuật. Như vậy, cần thiết phải nghiên cứu phát triển phương
pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên.
Đây chính là cơ sở hình thành ý tưởng của luận án, đó là: áp dụng quan niệm đối
ngẫu để khắc phục nhược điểm đã nêu của LOMSEC, phát triển tiêu chuẩn sai số
bình phương trung bình địa phương – tổng thể (Global Local Mean Square Error

4
Criterion - GLOMSEC) cho hệ ngẫu nhiên phi tuyến một và nhiều bậc tự do
(MDOF).
2.

Mục đích nghiên cứu của luận án: Nghiên cứu phát triển tiêu chuẩn sai số

bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) của phương pháp
tuyến tính hóa tương đương cho hệ một và nhiều bậc tự do phi tuyến chịu kích động
ngẫu nhiên.
3.

Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu là các hệ dao động phi tuyến

thường gặp trong các lĩnh vực kỹ thuật với mức độ phi tuyến thay đổi khác nhau,
một bậc tự do và nhiều bậc tự do chịu kích động ồn trắng và ồn màu. Đại lượng
được quan tâm chủ yếu là mô men bậc hai của đáp ứng.
4.

Phương pháp nghiên cứu: sử dụng phương pháp giải tích, phương pháp số,

mô phỏng Monte - Carlo. Phương pháp giải tích được sử dụng để xây dựng tiêu
chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể. Cụ thể là: dựa trên
nhược điểm còn tồn tại của tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương
(chưa khép kín về mặt giải tích khi xác định giá trị các hệ số tuyến tính hóa khu
vực), kết hợp với quan điểm đối ngẫu trong phân tích đáp ứng các hệ phi tuyến
(xem xét đồng thời hai chiều khác nhau của một vấn đề) cho phép khép kín về mặt
giải tích để xác định giá trị trung bình các hệ số tuyến tính hóa, làm cơ sở để xây

dựng tiêu chuẩn mới. Phương pháp số được sử dụng để lập trình bằng phần mềm
Matlab để tính toán, phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến một và nhiều bậc tự
do. Mô phỏng Monte – Carlo để tìm nghiệm mô phỏng các dao động phi tuyến làm
cơ sở để đánh giá độ chính xác của lời giải tuyến tính hóa.
5.

Bố cục của luận án
Luận án có bố cục gồm phần Mở đầu và 4 chương, phần Kết luận; Danh mục

các công bố của luận án; Tài liệu tham khảo; Phụ lục.
Chương 1. Trong chương này các vấn đề cơ bản của lý thuyết xác suất và
quá trình ngẫu nhiên liên quan tới dao động ngẫu nhiên được giới thiệu. Một số
phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến được trình bày và phân tích
chi tiết.
Chương 2. Chương hai trình bày phương pháp tuyến tính hóa tương đương
sử dụng trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Các phát triển của phương


5
pháp bao gồm các tiêu chuẩn tương đương sẽ được giới thiệu. Đặc biệt, trong luận
án sẽ tập trung vào việc xây dựng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa
phương – tổng thể (Global-Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) của
phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ một và nhiều bậc tự do.
Chương 3. Áp dụng tiêu chuẩn GLOMSEC của phương pháp GEL cho hệ
một bậc tự do. Đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn này được
so sánh với nghiệm chính xác và nghiệm theo tiêu chuẩn kinh điển khi phân tích mô
men bậc hai của một số dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do.
Chương 4. Áp dụng tiêu chuẩn GLOMSEC của phương pháp GEL cho hệ
nhiều bậc tự do. Đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn này
được so sánh với nghiệm chính xác, nghiệm mô phỏng và nghiệm theo tiêu chuẩn

kinh điển khi phân tích mô men bậc hai của một số dao động ngẫu nhiên phi tuyến
nhiều bậc tự do.
Kết luận chung: Trình bày các kết quả chính và mới đã thu được trong luận
án và các vấn đề cần nghiên cứu tiếp.
Danh sách công trình đã được công bố thuộc luận án bao gồm 6 bài báo,
trong đó có 1 bài trên Tạp chí quốc tế, 1 bài trên Tạp chí ISI, 1 bài trên Tạp chí
Vietnam Journal of Mechanics, và trong các hội nghị khoa học quốc tế và quốc gia.


6

CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU
NHIÊN PHI TUYẾN
Trong chương này các vấn đề cơ bản của lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu
nhiên liên quan tới dao động ngẫu nhiên được giới thiệu. Một số phương pháp phân
tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến được trình bày và phân tích chi tiết. Một số kết
quả nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên phi tuyến liên quan đến luận án cũng được
trình bày.
1.1

Đại lượng ngẫu nhiên và các đặc trưng xác suất
Lý thuyết xác suất nghiên cứu tính quy luật chung của những hiện tượng

ngẫu nhiên. Một biến cố có thể xảy ra, hoặc có thể không xảy ra gọi là biến cố ngẫu
nhiên. Một biến cố chắc chắn sẽ xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử
được gọi là biến cố tiền định. Nếu mọi điều kiện thử nghiệm được giữ nguyên mà
các kết quả thu được lại khác nhau, thì biến cố như vậy được gọi là biến cố ngẫu
nhiên.
Định nghĩa Xác suất của một biến cố ngẫu nhiên [29],[69]:

Thực hiện n phép thử, biến cố M xuất hiện m lần, thì xác suất xuất hiện biến cố M,
ký hiệu là P(M) là giới hạn của tần suất f(M) = m/n khi số phép thử n tăng vô hạn
lim f (M)  P(M)

n 

(1.1)

Đại lượng ngẫu nhiên X là đại lượng mà đối với mỗi kết cục r của phép thử, ta liên
kết nó với một số thực X(r) sao cho
a) tập hợp X  x thể hiện một biến cố M đối với mỗi số thực x,
b) xác suất của biến cố X =   bằng không
PX =  = 0

(1.2)

Với x là số thực bất kỳ, hàm phân phối xác suất F(x) của đại lượng ngẫu nhiên X là
xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x,
F(x) = P[X  x]

(1.3)


7
Hàm phân phối xác suất F(x) có các tính chất sau [29,69]:

0  F  x  1
x1  x2 thì F  x1   F  x2 

(1.4)

F ()  lim F ( x)  0
x 

F ()  lim F ( x)  1
x

P[ x1  X  x2 ]  F ( x2 )  F ( x1 )
Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu hàm phân phối xác suất F(x) của nó
liên tục. Đạo hàm bậc nhất của hàm phân phối xác suất gọi là hàm mật độ xác suất,
ký hiệu p(x) xác định theo công thức [29,69]:
P[ x  X  x   x ]
 F '( x )
x  0
x

p ( x )  lim

(1.5)

Ta có
x

F ( x)  P[ X  x] 

 p( x)dx


b

P[a  X  b]   p( x)dx

(1.6)

a



 p( x)dx  F ()  1



Khi xét đồng thời hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y, ta có đại lượng ngẫu nhiên hai
chiều và hàm phân phối xác suất kết hợp được định nghĩa như sau:
F ( x , y )  P[ X  x , Y  y ]

(1.7)

còn hàm mật độ xác suất kết hợp là

P[ x  X  x  x, y  Y  y  y ]  2 F ( x, y )

x 0

x

y
xy
y 0

p( x, y )  lim

(1.8)

Hai hàm này có mối quan hệ sau:
x

F ( x, y) 

y

  p( x, y)dxdy

 

(1.9)


8
và chúng có các tính chất sau:
0  F ( x, y )  1
x2  x1 , y F ( x2 , y )  F ( x1 , y ),
y2  y1 , x F ( x, y2 )  F ( x, y1 ).
F ( , y )  0 y , F ( x,  )  0 x
F ( ,  )  0,

F ( x,  )  F1 ( x ),

F ( , y )  F2 ( y ),

F ( ,  )  1.

P[ X  x, y1  Y  y2 ]  F ( x, y2 )  F ( x, y1 )
P[ x1  X  x2 , Y  y ]  F ( x2 , y )  F ( x1 , y )
P[( x, y )  D ]   p ( x, y ) dxdy
D

 

  p( x, y )dxdy  1

(1.10)

 

Hàm mật độ xác suất của từng thành phần (đại lượng ngẫu nhiên) X và Y tương ứng
được ký hiệu là p1(x) và p2(y) và thu được bằng phép tích phân:


p1 ( x) 



 p( x, y)dy,

p2 ( y ) 



 p( x, y)dx

(1.11)



Nếu hai thành phần X và Y độc lập nhau, thì
p(x,y) = p1(x)p2(y)

và

F(x,y) = F1(x)F2(y)

(1.12)

Tương tự ta có thể mở rộng các khái niệm này cho đại lượng ngẫu nhiên n chiều.
1.2

Quá trình ngẫu nhiên
Khi đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc thời gian ta có khái niệm về quá trình

ngẫu nhiên. Quá trình ngẫu nhiên là một hàm số mà giá trị của hàm tại mỗi giá trị
cho trước của đối số (thời gian t) là một đại lượng ngẫu nhiên. Để mô tả một quá
trình ngẫu nhiên ta dùng các thể hiện. Mọi thể hiện đơn lẻ x(j)(t) thuộc tổng thể này
được gọi là một hàm mẫu (xem Hình 1.1). Các đặc trưng xác suất của quá trình
ngẫu nhiên là năm hàm không ngẫu nhiên sau đây: hàm mật độ xác suất, kỳ vọng
toán, phương sai, hàm tương quan, và mật độ phổ.


9
t1

t2

Hình 1.1. Các hàm mẫu theo thời gian của quá trình ngẫu nhiên

Hàm mật độ xác suất
Tại mỗi giá trị t=t1 cố định thì quá trình ngẫu nhiên là một đại lượng ngẫu nhiên
x(t1). Ký hiệu mật độ xác suất hay phân phối xác suất bậc một là p[x(t1)] hoặc đơn
giản là p(x), thì xác suất để mẫu nằm giữa a và b theo (1.13) sẽ là
b

 p( x)dx

(1.13)

a

Tương tự, đối với hai giá trị t1 và t2, thì cặp giá trị x(t1) và x(t2) có thể được coi như
biến ngẫu nhiên hai chiều. Nếu gọi p(x1,x2) là hàm mật độ xác suất kết hợp ta có


p ( x1 ) 



 p( x , x )dx ,
1

2

2

p ( x2 ) 



 p ( x , x )dx
1

2

1

(1.14)



Nhiều thông tin quan trọng của quá trình ngẫu nhiên có thể được biết thông qua các
đại lượng mô men bậc 1 và bậc 2. Mô men bậc 1 hay kỳ vọng toán học của quá
trình ngẫu nhiên (dừng) X(t) với hàm mật độ xác suất dừng một chiều p(x) được
định nghĩa như sau [3,29,30]
Mô men bậc nhất (hay Kỳ vọng toán)


mx  E[ x]   x  

 xp( x)dx

(1.15)



Mô men bậc 2 (hay đại lượng trung bình bình phương) của quá trình ngẫu nhiên
(dừng) X(t) được định nghĩa như sau [3,29,30]


10
Mô men bậc 2


E[ x 2 ]   x 2  

x

2

(1.16)

p ( x) dx



Mô men bậc 2 quy tâm hay còn được gọi là phương sai của quá trình ngẫu nhiên
(dừng) X(t) được định nghĩa như sau [3,29,30]
Mô men bậc 2 quy tâm (hay Phương sai)

2
x

2

D( x)    E[( x  x ) ] 

 ( x  x )

2

p( x)dx   x2    x 2

(1.17)



Đại lượng  x  D( x) phản ánh mức độ phân tán của quá trình ngẫu nhiên X(t) so
với giá trị trung bình của nó, gọi là độ lệch chuẩn.
Một cách tổng quát mô men bậc n của quá trình ngẫu nhiên véc tơ m chiều (dừng)
X(t) với hàm mật độ xác suất dừng m chiều p(x1, x2, …. xm) được định nghĩa như
sau [3,29,30]

m1 m2
1
2

mm
m

m1 m2
1
2

mm
m

E[ x x ..x ]   x x ..x





x ..xmmm p( x1 , x2 ,...xm )dx1dx2 ...dxm ,

m1 m2
1
2

 ...  x





m1  m2  ...  mm  n, mi  0, i  1,..., m

(1.18)
Hàm tự tương quan và hiệp phương sai
Gọi t1 và t2 là hai giá trị của t với t2 = t1 +  và ký hiệu x1 và x2 là các tổng thể của
các mẫu x(t1) và x(t2) mà chúng có mật độ xác suất bậc hai là p(x1, x2). Khi đó kỳ
vọng toán của tích x1x2 sẽ là [29,69]:
 

R( x1 , x2 )   x1 x2  

  x x p( x , x )dx dx
1 2

1

2

1

2

 

gọi là hàm tự tương quan (hay hàm tương quan). Ta có
R(x1,x2) = R(t1,)
với  = t2 - t1 là độ trễ.

(1.19)


11
Xét hàm số bằng trung bình tích độ lệch giữa x(t) và trung bình của nó tại hai thời
điểm
K x (t1 , t2 )  K x1x2  K12  E[( x1   x1 )( x2   x2 )] 
 



  (x   x
1

1

)( x2   x2 ) p ( x1 , x2 )dx1dx2

(1.20)

 

  x1 x2    x1  x2 

gọi là hiệp phương sai hay hàm tương quan của quá trình x(t).
Khi x1 và x2 có trung bình zero thì hiệp phương sai trùng với hàm tự tương quan.
Khi t1 = t2 thì hiệp phương sai trùng với phương sai và hàm tự tương quan trùng với
trung bình bình phương.
Khi hai đại lượng ngẫu nhiên x1 và x2 độc lập nhau: p(x1,x2) =p1(x1)p2(x2) ta có

Kx1x2   x1x2    x1  x2    x1  x2    x1  x2   0

(1.21)

Khi đó hai đại lượng ngẫu nhiên x1 và x2 không tương quan. Như vậy, mô men
tương quan (hiệp phương sai) đặc trưng cho mối liên hệ giữa hai đại lượng ngẫu
nhiên hay giữa các giá trị x1 và x2 của một quá trình ngẫu nhiên tại hai thời điểm
khác nhau. Các mô men bậc hai của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều x1, x2 có thể mô
tả bằng ma trận hiệp phương sai sau đây:

 Dx1 K x1x2   K x1x1 K x1x2 




 K x2 x1 Dx2   K x2 x1 K x2 x2 
1.3

(1.22)

Một số quá trình ngẫu nhiên đặc biệt

Quá trình ngẫu nhiên dừng
Quá trình ngẫu nhiên gọi là dừng theo nghĩa rộng nếu tổng thể các thống kê của nó
không đổi theo thời gian [27-29]

pn ( x1 ,..., xn , t1 ,...tn )  pn ( x1 ,..., xn , t1   ,..., tn   )
Từ đó suy ra

n

(1.23)


12
 p1 ( x, t )  p1 ( x)
 x(t )   m  const

x

 p2 ( x1 , x2 , t1 , t2 )  p2 ( x1 , x2 , )
 K12   x(t   ) x(t )    x1 x2   Rx ( )

(1.24)

Nếu (1.23) đúng với n  k thì quá trình ngẫu nhiên được gọi là dừng bậc k. Quá
trình dừng bậc hai còn gọi là quá trình dừng theo nghĩa hẹp.
Quá trình ngẫu nhiên Ergodic
Xét một mẫu x(j) là hàm f(t) trong khoảng thời gian T của quá trình x(t). Lấy trung
bình theo thời gian dọc theo mẫu này [29-31]
T

x

( j)

T

1
1
   x( J ) dt   f (t )dt
T0
T0

(1.25)

được gọi là trung bình theo thời gian. Quá trình dừng có trung bình tổng thể bằng
trung bình theo thời gian lấy dọc theo một hàm mẫu bất kỳ, được gọi là quá trình
Ergodic. Như vậy trung bình <x> và hàm tương quan Rx() chỉ dựa vào một thể
hiện của quá trình
T


1
( j)

x



x

lim
f (t )dt

T  T 

0

T
 R ( )   ( )  lim 1 f (t ) f (t   )dt
 x
T  T 
0


(1.26)

Tóm lại, đối với quá trình Ergodic, thì một mẫu (một thể hiện) bất kỳ cũng đại diện
hoàn toàn được cho cả quá trình. Điều kiện cần và đủ để một quá trình là Ergodic là
T

1


lim
(1  )R x ()d  0
T  T
T
0



(1.27)

Xét quá trình ngẫu nhiên dừng x(t) với hàm tự tương quan Rx(t,t+) = Rx(). Đối với
quá trình thực x(t), thì S() là hàm chẵn, không âm của  và đạt cực đại tại gốc toạ
độ, lấy tích phân Fourier cho hàm Rx() được


Rx ( ) 



 S ()exp{i }d  2  S ()cos d
x



x

0

(1.28)

13
trong đó Sx() là biến đổi ngược Fourier của hàm Rx()

1
S x ( ) 
2



1



 R ( )exp{i }d    R ( )cos  d
x

x



(1.29)

0

Khi đó Sx() được gọi là mật độ phổ của quá trình ngẫu nhiên. Để hiểu ý nghĩa vật
lý của Sx(), ta xét trường hợp tới hạn với  = 0


Rx (0)   x 2  

 S ( )d
x

(1.30)



Nghĩa là, trung bình bình phương của quá trình ngẫu nhiên bằng tổng tất cả các tần
số Sx()d. Do vậy, Sx() chính là mật độ phân phối của trung bình bình phương
dọc theo trục tần số.
Quá trình ngẫu nhiên chuẩn hay Gauss
Trong hầu hết các bài toán ứng dụng nhiều quá trình ngẫu nhiên là lực kích động lên
hệ dao động được coi một cách gần đúng là quá trình ngẫu nhiên chuẩn hay Gauss.
Đó là quá trình mà hàm tương quan (hay mật độ phổ) cho đủ thông tin để xây dựng
tập hợp vô hạn các phân phối xác suất. Hàm mật độ xác suất của quá trình ngẫu
nhiên chuẩn n chiều có dạng [29-31]
p ( x1 ,...xn ) 

 1 n n

exp      ij ( xi  mi )( x j  m j ) 
(2 ) n K ij
 2 i 1 j 1


trong đó

 i2

i j
Kij  K ji   ( xi  mi )( x j  m j )   
 ij i j i  j

1

(1.31)

là ma trận n  n của các mômen trung tâm, K ij là định thức tương ứng và ij là các
phần tử của ma trận nghịch đảo, mi = <xi>. Hàm mật độ xác suất của quá trình ngẫu
nhiên chuẩn 1 chiều và 2 chiều không tương quan có trung bình zero, tương ứng là:

 x12 
1
p(x1 ) 
exp  2 
2πσ1
 2σ1 
 x12
x22 
p( x1 , x2 ) 
exp  2  2 
2 1 2
 2 1 2 2 
1

(1.32)