Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ ĐIỆP

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2019


2


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ ĐIỆP

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP
Ngành: Toán giải tích
Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học
GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN

Thái Nguyên, năm 2019


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan Luận văn "Bài toán Bất đẳng thức biến phân
hai cấp" là công trình nghiên cứu khoa học của riêng tôi dưới sự hướng
dẫn trực tiếp của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn.
Ngoài ra, trong luận văn tôi còn sử dụng một số kết quả, nhận xét
của một số tác giả khác đều có chú thích và trích dẫn nguồn gốc.Trong
quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa
học với sự trân trọng và biết ơn.
Nếu phát hiện bất kỳ sự gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu trách
nhiệm về nội dung luận văn của mình.

Thái Nguyên, ngày 30 tháng 04 năm 2019
Tác giả

NGUYỄN THỊ ĐIỆP

i


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Thái
Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến GS.
TSKH. Nguyễn Xuân Tấn người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình
chỉ bảo và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua.
Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô giáo Khoa Toán,
Phòng Đào tạo Sau đại học, các bạn học viên lớp Cao học K25 Toán giải
tích trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã luôn giúp đỡ, tạo điều kiện

thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Tác giả cũng xin bày tỏ biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân
đã luôn khuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và
làm luận văn.
Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các
thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.

Thái Nguyên, ngày 30 tháng 04 năm 2019
Tác giả

NGUYỄN THỊ ĐIỆP

ii


Danh mục các ký hiệu viết tắt
R

tập số thực

∈

thuộc của một phần tử đối với tập hợp

∀x

mọi x

Rn

không gian Euclid thực n-chiều

H

m =

không gian Hilbert thực

xn → x

dãy hội tụ mạnh tới x

xn

dãy hội tụ yếu tới x

x

m, m

chuẩn của vectơ m

m, m

tích vô hướng của hai vectơ m và n

H ×H
T :A→H
P rA (x)

tích đề các của H vào H
ánh xạ từ A vào H
hình chiếu của x lên tập A

TAnat

ánh xạ giá tự nhiên của T trên A

V I(T, A)

bài toán Bất đẳng thức biến phân

CP (T, A)

bài toán bù xác định bởi nón A và ánh xạ T

Sol(T, A)

tập nghiệm của bài toán VI (T,A)

EP (A, f )

bài toán cân bằng

BV I(T, G, A)

bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp.

iii

Mục lục
Lời mở đầu

1

1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . .

4

4 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

5 Dự kiến kết quả nghiên cứu

4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương I: Kiến thức chuẩn bị

5

1.1 Không gian Hilbert và một số tính chất . . . . . . . . . . . .

5

1.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân . . .

8

Chương II: Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức
biến phân hai cấp

22

2.2 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Kết luận

34

Danh mục các tài liệu tham khảo

35

iv


LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.

Bài toán bất đẳng thức biến phân được Stampacchia, nhà toán học
người Ý đưa ra từ cuối những năm 50 đầu những năm 60 của thế kỉ XX.
Trước hết, ông đưa ra bài toán trong không gian Rn . Bài toán được phát
biểu như sau: Cho A ⊂ Rn là một tập hợp, T : A → Rn . Bài toán: Tìm

x ∈ A sao cho
T (x), x − x ≥ 0 với mọi x ∈ A.

(1)

Bài toán này được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân, x là nghiệm
của (1). Thông thường người ta ký hiệu bài toán này là (VI(T,A)), tiếng
anh: Variational inequality.
Sau đó bài toán này được mở rộng thành trường hợp tổng quát hơn:
Cho ϕ : A → R, bài toán: Tìm x ∈ A sao cho

T (x), x − x + ϕ(x) − ϕ(x) ≥ 0.
Bài toán này được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân suy rộng.
Hiển nhiên rằng những bài toán này bao luôn bài toán tối ưu. Tiếp
theo những bài toán này được mở rộng sang không gian vô hạn chiều và
được áp dụng vào nhiều bài toán của phương trình vi phân đạo hàm riêng
eliptic, những bài toán phương trình đạo hàm riêng với ràng buộc biên và
những bài toán về tài chính, bài toán về giao thông. Trong những bài toán
trên ta thấy có tập hợp và ánh xạ cùng tham gia vào việc phát biểu của
bài toán. Căn cứ vào ánh xạ, người ta phân thành bất đẳng thức afin và
1


bất đẳng thức phi tuyến. Ban đầu người ta chứng minh được sự tồn tại
của nghiệm các bài toán với giả thiết về tính liên tục của ánh xạ T và tính

lồi compact của tập A. Tiếp theo người ta phát triển các bài toán này cho
trường hợp không gian vô hạn chiều, trước hết là không gian Hilbert. Sự
tồn tại nghiệm của bài toán với các điều kiện nhẹ hơn: T là ánh xạ đơn
điệu, A là tập lồi, đóng và thỏa mãn điều kiện bức trên A. Ngoài ra, người
ta còn mở rộng các bài toán này cho trường hợp liên quan tới ánh xạ đa
trị: T : A → 2A , bài toán: Tìm x ∈ A, v ∈ T (x) sao cho

v x − x ≥ 0 với mọi x ∈ A.
Bài toán này được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị.
Tới năm 1994, Blum và Oettli phát biểu bài toán điểm cân bằng
tổng quát: Cho X là không gian vectơ lồi địa phương thực, A ⊂ X là một
tập lồi đóng, khác rỗng và ϕ : A × A → R là hàm thỏa mãn ϕ(x, x) = 0
với mọi x ∈ A. Bài toán: Tìm điểm x ∈ A sao cho

ϕ(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ A.
Bài toán này được gọi là bài toán cân bằng. Thông thường người ta ký hiệu
bài toán này là (EP(A, ϕ)). Hàm ϕ được gọi là song hàm. Hiển nhiên bài
toán bất đẳng thức biến phân là trường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng
khi ta đặt ϕ(x, y) = T (x, y − x) . Khi ấy ϕ(x, y) ≥ 0 ⇔ T (x, y − x) ≥ 0.
Tức là nghiệm của bài toán cân bằng đối với hàm ϕ chính là nghiệm của
bài toán bất đẳng thức biến phân.
Ngoài ra các bài toán khác như bài toán điểm yên ngựa, bài toán
cân bằng Nash, bài toán điểm bất động, bài toán bất đẳng thức biến phân
đa trị,... cũng chỉ là trường hợp riêng của bài toán cân bằng.
Trong thực tế nhiều khi ta gặp những tình huống giải bài toán này
trên tập nghiệm của bài toán khác. Những bài toán như vậy được gọi là
bài toán cấp hai. Mục đích của luận văn này là viết một tổng quan về sự
tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân và xây dựng thuật
2

toán tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm
bài toán bất đẳng thức biến phân khác, hay là tìm Thuật toán giải bài
toán bất đẳng thức biến phân cấp hai.
Việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và việc tìm ra những thuật toán
để tìm nghiệm của bài toán này đóng vai trò quan trọng trong việc đưa
toán học vào giải quyết các vấn đề thực tế. Chính vì vậy với mong muốn
tìm hiểu nhiều hơn về vấn đề trên, cùng với sự gợi ý giúp đỡ nhiệt tình
của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, tôi chọn đề tài: "Phương pháp
chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp" làm luận văn
thạc sĩ của mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích mà đề tài đặt ra là nghiên cứu phương pháp chiếu giải bài
toán bất đẳng thức biến phân hai cấp. Đề tài đề xuất phương pháp mới
để giải bài toán VIEP(T,ϕ,A) trong trường hợp bài toán BV I(T, G, A)
với ánh xạ giá T đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz, ánh xạ G đơn điệu
mạnh ngược. Gần đây, bài toán này đã được P.N. Anh và cộng sự đưa ra
phương pháp đạo hàm tăng cường trong [1]. Các thuật toán đề xuất được
cho dưới dạng hiển, hay các bài toán phụ chỉ cần tính toán các phép chiếu
của một điểm trên một tập lồi. Tuy nhiên, điểm hạn chế là thuật toán
đòi hỏi phải tính toán thêm các vòng lặp trong tại mỗi bước lặp. Điểm
mới trong phương pháp của chúng tôi là sử dụng tính chất co của ánh xạ

Tλ = I˘λF với λ > 0, F đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz. Khi đó,
thuật toán đề xuất chỉ đòi hỏi tính toán một phép chiếu tại mỗi bước lặp,
các thuật toán này có sự hiệu quả hơn về mặt cấu trúc, tính hội tụ và thực
thi tính toán.

3

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Với các mục đích đặt ra như trên, trong luận văn này chúng tôi
nghiên cứu các nội dung sau về phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng
thức biến phân hai cấp. Nghiên cứu xây dựng thuật toán tìm nghiệm của
bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp với giả thiết hàm giá G đơn điệu
mạnh ngược và hàm T đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz.

4. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập tài liệu về bất đẳng thức biến phân đã công bố trên các
tạp chí và sách giáo khoa, sách chuyên khảo. Xây dựng thuật toán chiếu
giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp. Thuật toán này cải tiến
phương pháp đạo hàm tăng cường của P.N. Anh [2].

5. Dự kiến kết quả nghiên cứu
Luận văn là một tổng quan về một số kết quả của phương pháp
chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp.
Đề tài luận văn được chia thành 2 chương:
Chương 1. Đưa ra một số kiến thức chuẩn bị về không gian Hilbert
và các tính chất của nó. Đặc biệt là đưa ra phép chiếu trong không gian
Hilbert trong một tập lồi, đóng. Các tính chất của các hàm: tính đơn điệu,
tựa đơn điệu. Tìm một số các điều kiện đủ để bài toán bất đẳng thức biến
phân có nghiệm.
Chương 2. Trình bày bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, sự
hội tụ của các dãy lặp trong thuật toán và xây dựng Thuật toán chiếu giải
bài toán bất đẳng thức biên phân hai cấp.

4

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC
CHUẨN BỊ
.

1.1 Không gian Hilbert và một số tính chất
Khi phát biểu một bài toán, người ta phải quan tâm bài toán được
đặt ra ở đâu. Tức là phải quan tâm tới không gian nghiệm của bài toán.
Vậy trước hết ta phải nhắc lại một số kiến thức liên quan tới không gian,
sau đó tới một số tính chất của chúng.
Một không gian tuyến tính thực (phức) cùng với một hàm ·, · song
tuyến tính thực (phức) thỏa mãn điều kiện

x, x ≥ 0 ∀x ∈ H,

x, x = 0 ⇔ x = 0

được gọi là không gian tiền Hilbert thực (phức).
Trong không gian tiền Hilbert ta định nghĩa được chuẩn của x ∈ H
như sau: x =

x, x , ta dễ dàng chứng minh được đây là một chuẩn

trên H và từ chuẩn này ta định nghĩa được khoảng cách giữa hai điểm

m, n như sau: ρ(x, y) = x − y , khi ấy H, ρ trở thành không gian định
chuẩn.
Nếu H đầy đủ với chuẩn này thì không gian với tích vô hướng được
gọi là không gian Hilbert. Ta dễ dàng nhận thấy không gian Hilbert H ,
cấu trúc tôpô và cấu trúc đại số tương đương nhau, tức là các phép tính

đại số liên tục với tôpô sinh bởi metric.
Tiếp theo ta đưa vào khái niệm ánh xạ trong không gian Hilbert.
5


Cho H1 , H2 , H3 là không gian Hilbert, phép chuyển T chuyển một
phân tử từ H1 vào H2 được gọi là một ánh xạ (hay một toán tử), ta có
thể phân loại các ánh xạ đưa vào cấu trúc tôpô và cấu trúc đại số.
(i) T (αx + βy) = αT (x) + βT (y) với α, β ∈ R, x, y ∈ H1 thì T được
gọi là ánh xạ tuyến tính; ngược lại T được gọi là ánh xạ phi tuyến;
(ii) T được gọi là liên tục nếu x → x thì T (x) → T (x);
(iii) T có đồ thị đóng thì được gọi là ánh xạ đóng;
(iv) T chuyển từ tập giới nội thành tập compact tương đối (A ⊂ H1 ,

T A là compact) thì T được gọi là ánh xạ compact.
Định nghĩa 1.1. Ánh xạ T : H → H được gọi là ánh xạ compact
nếu với mọi dãy {xn } bị chặn trong H , dãy {T xn } chứa dãy con hội tụ.
Tiếp theo ta nêu một số tính chất của ánh xạ.
(v) Cho T1 , T2 liên tục (đóng, compact) thì T1 + T2 cũng liên tục
(đóng, compact);
(vi) Cho T là liên tục (đóng, compact) và α ∈ R thì αT cũng là liên
tục (đóng, compact);
(vii) Cho T1 : H1 → H2 , T2 : H2 → H3 , T1 , T2 liên tục (đóng,
compact) thì T1 ◦ T2 cũng liên tục.
Định nghĩa 1.2. Cho H là một không gian tuyến tính thực. Tích
vô hướng xác định trên H là một ánh xạ được xác định như sau:

·, · : H × H → R
(m, n) → m, n
thỏa mãn các điều kiện sau:

(a) m, n = n, m , ∀m, n ∈ H;
(b) m + n, p = m, n + n, p , ∀m, n, p ∈ H;
(c) λm, n = λ m, n , ∀λ ∈ R, ∀m, n ∈ H;
(d) m, m ≥ 0, ∀m ∈ H, m, m = 0, ↔ m = 0,
6


m, n được gọi là tích vô hướng của hai véctơ m và n.
Nếu H là không gian tuyến tính với tích vô hướng như trên, ta có
thể định nghĩa chuẩn của phần tử m ∈ H như sau: m =

m, m với

mọi m ∈ H thì H được gọi là không gian định chuẩn.
Trong luận văn này ta thống nhất ký hiệu H là một không gian
Hilbert thực và ta chủ yếu làm việc trên không gian Hilbert H .
Ta nói hai véctơ m và n của một không gian Hilbert H trực giao với
nhau, và ký hiệu m ⊥ n, nếu m, n = 0.
Định nghĩa 1.3. Một dãy {xk } ∈ H được gọi là hội tụ mạnh đến

x∗ ∈ H nếu xk − x∗ → 0 khi k → ∞, ký hiệu xk → x∗ .
Tương tự ta cũng có các phép tính về dãy hội tụ.
Một dãy {xk } ∈ H được gọi là hội tụ yếu đến x∗ ∈ H nếu u, xk −

x∗ → 0 với mọi u ∈ H khi k → ∞, ký hiệu xk

x∗ .

Định lý 1.1 ([4]). Giả sử H là không gian Hilbert thực, cho dãy

{xn } và x∗ ∈ H . Khi đó, ta có
(i) Nếu xn → x, thì xn

x∗ ;

x∗ và xn → x∗ trong H , thì xn → x∗ ;

(ii) Nếu xn

(iii) Nếu không gian Hilbert thực H là hữu hạn chiều, thì sự hội tụ
mạnh và hội tụ yếu là tương đương;
(iv) Mọi dãy con bị chặn trong không gian Hilbert H đều chưa dãy
con hội tụ yếu.
Theo định nghĩa của chuẩn, ta có tính chất quan trọng sau.
Bổ đề 1.1 ([3]). Với mỗi x, y ∈ H , ta có
(i) x − y

2

= x

2

(ii) t(x) + (1 − t)y

− y
2

2

− 2 x − y, y ,

=t x

2

+ (1 − t) y

[0, 1].

7

2

− t(1 − t) x − y 2 , ∀t ∈


Cho A là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của H . Hình chiếu của
một điểm x ∈ H trên A, ký hiệu P rA (x) là một điểm thuộc A và gần điểm

x nhất. Tức là: Hay,
P rA (x) = argmin{ x − y : y ∈ A}.
Phép chiếu xác định như trên có các tính chất sau:
Bổ đề 1.2 ([9]). Cho A là một tập con lồi đóng khác rỗng của H .
Khi đó,
(i) x − P rA (x), y − P rA (x) ≤ 0, ∀y ∈ A, x ∈ H ;
(ii) P rA (x) − P rA (y), x − y ≥ P rA (x) − P rA (y) 2 , ∀x, y ∈ H ;
(iii) x − P rA (x)

2

≥ x−y
2

(iv) P rA (x) − P rA (y)

2

− y − P rA (x) 2 , ∀x ∈ H, y ∈ A;

≤ x − y 2 , ∀x, y ∈ H ;

(v) P rA (x)−P rA (y)

2

≤ x−y 2 − P rA (x)−x+y−P rA (y) 2 , ∀x, y ∈

(vi) x − P rA (x − y)

2

≥ y , ∀x, y ∈ H ;

H;
(vii) z − P rA (x − y)

2

≥ x−z

2

− 2 x − z, y + 5 y 2 , ∀x, z ∈

A, y ∈ H.
Phép chiếu P rA trong không gian Hilbert đóng vai trò quan trọng
trong việc xây dựng Thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân.

1.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức
biến phân
1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân
Cho A là tập con, lồi, khác rỗng trong một không gian Hilbert thực

H và ánh xạ T : A → H . Bài toán bất đẳng thức biến phân xác định bởi
A và T , ký hiệu V I(T, A) là bài toán tìm x∗ ∈ A sao cho
T (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ A.

8

(1.1)


Tập nghiệm của bài toán được ký hiệu Sol(T, A). Ánh xạ T thường được
gọi là ánh xạ giá.
Chú ý.
a) Trong trường hợp đặc biệt A = H , bài toán V I(T, A) được viết
dưới dạng bài toán giải phương trình phi tuyến

T (x) = 0.

b) Khi A là một nón lồi trong H , (thỏa mãn λx ∈ A với mọi λ ∈ R+
và x ∈ A), từ x∗ ∈ A ta có

T (x∗ ), λx∗ − x∗ ≥ 0, ∀λ ∈ R+
và do đó

T (x∗ ), x∗ = 0.

(1.2)

Ngược lại nếu x∗ ∈ A thỏa mãn (1.2) và

A(x∗ ) ∈ A∗ = {y ∈ H : y, x ≥ 0, ∀x ∈ A}
thì x∗ ∈ S(T, A). Như vậy bài toán V I(T, A) được phát biểu dưới dạng
bài toán tìm điểm x∗ thỏa mãn

x∗ ∈ C, T (x∗ ) ∈ A∗ , T (x∗ ), x∗ = 0.
Bài toán này thường được gọi là bài toán bù phi tuyến trong không gian
Hilbert thực H .
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân và tìm thuật toán xây dựng dãy lặp hội tụ tới nghiệm của bài toán
ta cần tới một số tính chất sau của toán tử giá.
Định nghĩa 1.4. Cho A là một tập con , khác rỗng của H . Một ánh
xạ T : A → H được gọi là:
(a) đơn điệu mạnh với hằng số γ > 0 trên A, nếu

T (x) − T (y), x − y ≥ γ
9

x−y

2

, ∀x, y ∈ A;


(b) đơn điệu trên A, nếu

T (x) − T (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ A;
(c) giả đơn điệu trên A, nếu

T (y), x − y ≥ 0 → T (x), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ A;
(d) đơn điệu mạnh ngược trên A với hằng số β > 0, nếu

T (x) − T (y), x − y ≥ β

T (x) − T (y)

2

.∀x, y ∈ A;

(e) liên tục Lipschitz với hằng số L > 0 trên A, nếu

T (x) − T (y) ≤ L

x − y , ∀x, y ∈ A.

Theo định nghĩa trên, nếu T đơn điệu mạnh ngược với hằng số β > 0
thì T liên tục Lipschitz với hằng số L =

1
β

và đơn điệu trên A, và quan hệ

(a) → (b) → (c). Nhưng chiều ngược lại là không đúng trong trường hợp
tổng quát. Chẳng hạn như T : A → R xác định bởi F (x) = x2 là giả đơn
điệu, nhưng không đơn điệu trên A = R, là đơn điệu nhưng không đơn
điệu mạnh trên A = [0, 1].
Mệnh đề 1.1. Điểm x∗ ∈ A là một nghiệm của bài toán bất đẳng
thức biến phân V I(T, A) khi và chỉ khi

x∗ = P rA (x∗ − λT (x∗ )),
trong đó λ là một hằng số dương bất kỳ.
Chứng minh. Cho λ > 0. Theo định nghĩa của phép chiếu P rA và

x∗ = P rA (x∗ − λT (x∗ )), ta có
x∗ − λf (x∗ ) − x∗ , x − x∗ ≤ 0, ∀x ∈ A
và do đó

− λT (x∗ ), x − x∗ ≤ 0, ∀x ∈ A.
10


Vậy x∗ ∈ Sol(T, A).
Định nghĩa 1.5. Bài toán bù được cho bởi nón lồi A và một ánh xạ

T : A → H là bài toán đi tìm một vectơ x∗ ∈ H với
x∗ , T (x∗ ) ∈ A∗ , T (x∗ , x∗ ) = 0,

(1.3)

với

A∗ := {d ∈ H : d, x ≥ 0 ∀x ∈ A},
là một nón ngẫu hứng của A. Bài toán (1.3) được biết tắt là CP (T, A).
Mối liên hệ mật thiết giữa bài toán bất đẳng thức biến phân và bài
toán bù phi tuyến tính được mô tả dưới đây:
Mệnh đề 1.2. Nếu A là một nón lồi, điểm x∗ là một nghiệm của
bài toán bù CP (T, A) nếu và chỉ nếu x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng
thức biến phân V I(T, A).
Chứng minh. Nếu x∗ là một nghiệm của bài toán bù CP (T, A),
n
n
và A(x∗ ), x∗ = 0. Khi đó
, A(x∗ ) ∈ R+
thì x∗ ∈ R+

A(x∗ ), x − x∗ = A(x∗ ), x − A(x∗ ), x∗
n
= A(x∗ ), x ≥ 0, ∀x ∈ R+
.

Vì vậy, x∗ là nghiệm đúng của V I(T, A).
n
là nghiệm của bài toán bất đẳng thức
Mặt khác, giả sử x∗ ∈ R+

biến phân V I(T, A). Đặt

ei = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0), v = x∗ + ei ,
n
trong đó 1 là vị trí thứ i. Khi đó v ∈ R+
và

0 ≤ A(x∗ ), x∗ + ei − x∗ = T (x∗ ), ei = fi (x∗ ).
Do vậy,
n
A(x∗ ) = (A1 (x∗ ), ..., An (x∗ )) ∈ R+
.

11

(1.4)


Từ bất đẳng thức
n
A(x∗ ), x − x∗ ≤ 0, ∀x ∈ R+
n
và x = 0 ∈ R+
, suy ra

A(x∗ ), x∗ ≤ 0,
n
hơn nữa, theo giả sử u∗ ∈ R+
và theo (1.4) ta có A(x∗ ), x∗ ≥ 0. Như vậy

A(x∗ ), x∗ = 0.

Vậy x∗ là nghiệm đúng của CP (T, A).

1.2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
Trước hết ta trình bày khái niệm về phép chiếu metric, hay còn gọi
là phép chiếu trực giao. Tiếp theo ta trình bày tóm tắt một số điều kiện
về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.
Trong bài toán bất đẳng thức V I(T, A), với mỗi u ∈ A và λ > 0
xét ánh xạ TAnat : A → A xác định bởi

TAnat (u) = u − PA (u − λT (u)).
Ánh xạ TAnat thường được gọi là ánh xạ giá tự nhiên của T trên A. Mối
quan hệ giữa nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(T, A) và
ánh xạ giá tự nhiên TAnat được trình bày trong kết quả dưới đây.
Mệnh đề 1.3. Một điểm u∗ là một nghiệm của bài toán bất đẳng
thức biến phân V I(T, A) nếu và chỉ nếu nó là không điểm của ánh xạ TAnat ,
hay 0 = TAnat (u∗ ).
Chứng minh.Theo định nghĩa nghiệm của bài toán bất đẳng thức
biến phân V I(T, A) và λ > 0, ta có

λT (u∗ ), v − u∗ ≥ 0, ∀v ∈ A.

12


hay

u∗ − [u∗ − λT (u∗ )] , v − u∗ ≥ 0, ∀v ∈ A.
Mà u − PA (u), v − PA (u) ≤ 0, ∀v ∈ A, u ∈ H nên bất đẳng thức
này tương đương với

u∗ = PA (u∗ − λT (u∗ )),
hay u∗ là không điểm của ánh xạ giá tự nhiên TAnat .
Hầu hết các kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức
biến phân V I(T, A) được chứng minh đều dựa vào định lý điểm bất động
Browder.
Định lý 1.3. Cho A là môt tập con, lồi, compact và khác rỗng của
không gian Hilbert thực H , và một ánh xạ liên tục T : A → H . Khi đó bài
toán bất đẳng thức biến phân V I(T, A) có nghiệm.
Chứng minh. Ta có, với mỗi u ∈ H thì PA (u) tồn tại và duy nhất,
ánh xạ PA còn được gọi là ánh xạ không giãn trên A. Do vậy, với mỗi

λ > 0, phép chiếu PA (I − λT ) : A → A là một ánh xạ liên tục. Từ A là
một tập lồi, compact khác rỗng và PA (I − λT ) liên tục, tồn tại duy nhất
không điểm u∗ ∈ A của ánh xạ giá tự nhiên TAnat sao cho 0 = TAnat (u∗ ).
Với mỗi u = u∗ − λT (u∗ ), ta có

v − PA (u∗ − λT (u∗ )), u∗ − λT (u∗ ) − PA (u∗ − λA(u∗ )) ≤ 0, ∀v ∈ A.
Kết hợp điều này với PA (I − λT )(u∗ ) = u∗ suy ra

v − u∗ , u∗ − λT (u∗ ) − u∗ ≤ 0.
Với giả thiết λ > 0, ta có

T (u∗ ), v − u∗ ≥ 0, ∀v ∈ A.
Vậy u∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(T, A).
13


Sol(T, A) là ký hiệu tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân V I(T, A). Thông qua các giả thiết đơn điệu của hàm giá T , việc giải
bài toán bất đẳng thức biến phân V I(T, A) rất gần với việc giải bài toán

sau (ký hiệu DV I(T, A)):
Tìm u∗ ∈ A sao cho T (u), u − u∗ ≥ 0, ∀u ∈ A.
Bài toán này thường được gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán bất đẳng
thức biến phân V I(T, A). Ta ký hiệu tập nghiệm của bài toán DV I(T, A)
là Sol(T, A)∗ . Khi đó tính chất của tập nghiệm Sol(T, A) và mối quan hệ
của nó với tập nghiệm Sol(T, A)∗ như nhau.
Định lý 1.4. Cho A là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của một
không gian Hilbert thực H và một ánh xạ liên tục T : A → H . Khi đó, bài
toán bất đẳng thức biến phân V I(T, A) có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại

R > 0 sao cho bài toán bất đẳng thức biến phân V I(KA ∩ B(0, R), T ) có
một nghiệm uR thỏa mãn

uR < R.

Chứng minh. Giả sử bài toán bất đẳng thức biến phân V I(K, F )
có một nghiệm u∗ ∈ K . Chọn R thỏa mãn R > u∗ . Khi đó

F (u∗ ), v − u∗ ≥ 0, ∀v ∈ K.
Do đó, u∗ ∈ K ∩ B(0, R) và

F ∩ (u∗ ), v − u∗ ≥ 0, ∀v ∈ K ∩ B(0, R).
Như vậy, bài toán V I(K ∩ B(0, R), F ) có nghiệm u∗ .
Ngược lại, giả sử uR là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân V I(A ∩ B(0, R), T ) thỏa mãn

uR < R. Khi đó, với mỗi v ∈ A,

tồn tại ≥ 0 đủ nhỏ sao cho w = uR + (v − uR ) ∈ A ∩ B(0, R). Theo định
nghĩa tồn tại nghiệm uR của bài toán V I(A ∩ B(0, R), T ) ta có uR ∈ A

và

0 ≤ T (uR ), − uR =

T (uR ), v − uR , ∀v ∈ A.
14


Điều này có nghĩa là uR là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

V I(T, A).
Định lý 1.5. Cho A là một tập lồi, đóng, giới nội trong không gian
Hilbert H và T : A → H ∗ là ánh xạ đơn điệu và liên tục trên các không
gian con hữu hạn chiều. Khi ấy tập nghiệm của Bất đẳng thức biến phân
(1.1) khác rỗng, lồi và đóng. Nếu ngoài ra T là đơn điệu chặt thì (1.1) có
tính duy nhất nghiệm.
Để chứng minh định lý 1.5 thì ta cần bổ đề sau về tính chất ánh xạ
đơn điệu và một bổ đề về sự tồn tại nghệm của bất đẳng thức trong không
gian hữu hạn chiều.
Bổ đề 1.3 (Minty [10], 1962). Cho tập A, không gian H và ánh
xạ T như ở Định lý 1.4. Khi ấy x ∈ A thỏa mãn T x, y − x ≥ 0, ∀y ∈ A
khi và chỉ khi T y, y − x ≥ 0, ∀y ∈ A.
Do chứng minh của Bổ đề 1.3 đối với ánh xạ đơn điệu và Bổ đề 1.5
đối với ánh xạ giả đơn điệu ở phần sau về cơ bản là tương tự nên ta bỏ
qua chứng minh Bổ đề 1.2 và trình bày chứng minh Bổ đề 1.5 chi tiết ở
phần sau.
Chứng minh định lý 1.5.
Ở đây ta chỉ nêu ý chính của chứng minh (một số kết quả tổng quát
hơn với cách chứng minh tương tự (đối với bất đẳng thức biến phân giả đơn
điệu) được chứng minh chi tiết ở phần sau). Đặt S(v) = {u : T u, v −u ≥

0}, ∀v ∈ A.
Ta có S(v) đóng yếu trong tập compact yếu A và họ tập {S(v) : v ∈

A} có tính chất giao hữu hạn. Tính chất này được chỉ ra nhờ dùng Bổ đề
1.3 để chứng minh bất đẳng thức biến phân sau có nghiệm:

uM ∈ A ∩ M : T uM , v − uM ≥ 0, ∀v ∈ ∩M,
15


trong đó M ⊂ B là một không gian con hữu hạn chiều của B với A ∩ M =
∅.
Do đó

v∈A S(v)

= ∅1 , nghĩa là (1.1) có nghiệm. Tính lồi, đóng của

tập nghiệm suy ra từ Bổ đề 1.2.
Trong trường hợp tập so sánh không giới nội, sự tồn tại nghiệm của
bất đẳng thức biến phân (1.1) đối với ánh xạ đơn điệu được thiết lập nhờ
Định lý sau.
Định lý 1.6. Cho A là một tập lồi, đóng trong không gian Hilbert
H và ánh xạ T : A → B ∗ . Cần và đủ để bất đẳng thức biến phân (1.1)
có nghiệm là tồn tại một R > 0 sao cho bất đẳng thức biến phân sau có
nghiệm uR với uR < R

uR ∈ AR : T uR , v − uR ≥ 0, ∀v ∈ AR ,

(1.5)

ở đây AR = {x ∈ A : x ≤ R}.
Chứng minh. Nếu x là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1)
thì với R > x ta có uR = x là nghiệm của (1.5) với u < R.
Ngược lại, giả sử u là nghiệm của (1.5) với u < R, khi ấy với y ∈ A
bất kì ta luôn có yt = uR + t(y − uR ) ∈ AR với t ∈ (0, 1] thích hợp và do
đó luôn có 0 ≥ T uR , uR − yt = t T uR , uR − y hay T uR , uR − yt ≤

0, (∀y ∈ A) nghĩa là uR là một nghiệm của (1.1). Dưới đây là một hệ quả
sử dụng điều kiện bức và có nhiều ứng dụng.
Hệ quả 1.2. Cho A là tập lồi, đóng trong không gian Hilbert H và

T : A → B ∗ là ánh xạ đơn điệu và liên tục trên các không gian con hữu
hạn chiều sao cho điều kiện bức sau thỏa mãn:
Tồn tại x0 ∈ A để

A.

T x−T x0 ,x−x0
x−x0

→ +∞ khi x

→ +∞, x ∈

(1.6)
Khi ấy Bất đẳng thức biến phân (1.1) có nghiệm.
Chứng minh. Do (1.6) nên có thể chọn R > max( T x0 , x0 )
16

sao cho:

T x − T x0 , x − x0
≥ R, ∀x ∈ A, x ∈ R.
x − x0

Khi ấy

T x, x − x0 ≥ R x − x0 + T x0 , x − x0
≥ R x − x0 + T x0 . x − x0
= (R − T x0 ). x − x0
≥ (R − T x0 ).( x − x0 ) > 0, ∀x ∈ A, x ≥ R.
(do cách chọn ở trên).
Giả sử xR là nghiệm của Bất đẳng thức biên phân (1.5) (Bất đẳng
thức biến phân này có nghiệm theo định lý (1.5)). Khi ấy xR , x0 −xR ≥ 0.
Do đó nếu

− xR = R thì mâu thuẫn với (1.7). Vậy

− xR < R.

Theo Định lý (1.6), Bất đẳng thức biến phân (1.1) có nghiệm.
Nhận xét 1.1. Do
và

T x0 ,x−x0
x−x0

T x−T x0 ,x−x0
x−x0

=

T x,x−x0
x−x0

−

T x0 ,x−x0
x−x0

là giới nội khi x → +∞, x ∈ A nên (1.6) tương đương

với điều kiện bức sau:
Tồn tại x0 ∈ A để

T x,x−x0
x−x0

→ +∞ khi x → +∞, x ∈ A.

(1.8)

Về tính duy nhất nghiệm của bất đẳng thức biến phân đợn điệu ta
có bổ đề sau.
Bổ đề 1.5. Cho A là tập lồi, đóng trong không gian Hilbert H và

T : A → B ∗ là ánh xạ đơn điệu chặt. Khi ấy nghiệm của bất đẳng thức

biến phân (1.1) là duy nhất.
Chứng minh. Giả sử Bất đẳng thức biến phân (1.1) có hai nghiệm
phân biệt và. Khi ấy ta có:

T x1 , y − x1 ≥ 0, ∀y ∈ A;
T x2 , y − x2 ≥ 0, ∀y ∈ A.
17


Cho y = x2 trong bất đẳng thức thứ nhất và y = x1 trong bất đẳng
thức thứ hai rồi cộng lại thì nhận được:

T x1 − T x2 , x2 − x1 ≥ 0.
Điều này mâu thuẫn với tính đơn điệu chặt của T. Vậy nghiệm của
(1.1) là duy nhất.
Từ Hệ quả 1.2, Bổ đề 1.2 và Bổ đề 1.4 ta có kết quả quan trọng sau
về sự tồn tại duy nhất nghiệm của Bất đẳng thức biến phân (1.1) với ánh
xạ đơn điệu. Ta phát biểu kết quả này thành định lý dưới đây.
Định lý 1.7. Cho A là tập lồi, đóng trong không gian Hilbert H và

T : A → B ∗ là ánh xạ đơn điệu, thỏa mãn điều kiện bức (1.8) và liên tục
trên các không gian con hữu hạn chiều.
Khi ấy tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1) khác rỗng, lồi
và compact yếu. Ngoài ra, nếu T là đơn điệu chặt thì bất đẳng thức biến
phân (1.1) có duy nhất nghiệm.
Chứng minh. Bất đẳng thức biến phân (1.1) có nghiệm (do hệ quả
1.2 và nhận xét 1.1). Theo bổ đề 1.2 tập nghiệm của (1.1) là tập nghiệm
của bài toán

x ∈ A : T y, y − x ≥ 0, ∀y ∈ A,

do đó tập này lồi, đóng (yếu). Do điều kiện bức, tập nghiệm lồi, đóng (yếu)
của (1.1) lại thuộc một tập compact yếu nên nó compact yếu. Tính duy
nhất nghiệm (khi T là đơn điệu chặt) suy ra từ bổ đề 1.4.
Nhận xét 1.2. Từ định lý 1.7 ta nhận được định lý 1.5 như là một
hệ quả (Điều kiện bức (1.8) được thỏa mãn do A là tập giới nội).
Bất đẳng thức biến phân trong trường hợp giả đơn điệu có dạng sau:
Tìm x ∈ A sao cho

T x, y − x ≥ 0, ∀y ∈ A.
18

(1.9)