Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dải

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẶNG THỊ THU HIỀN

TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
CẶP TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN
CHO PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA
TRÊN MIỀN HÌNH DẢI
Ngành: Toán giải tích
Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ NGÂN

THÁI NGUYÊN - 2019


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Ngân. Nội dung trong luận văn là trung
thực, không sao chép. Tôi cam đoan rằng các nguồn tài liệu tham khảo đã
được trích dẫn đầy đủ, mọi sự giúp đỡ để thực hiện luận văn đã được cảm
ơn.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2019
Tác giả
ĐẶNG THỊ THU HIỀN

i

Lời cảm ơn
Để hoàn thành luận văn tốt nghiệp và kết thúc khóa học, tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn tới Trường Đại học Sư Phạm- Đại học Thái Nguyên đã tạo cho
chúng tôi có một môi trường học tập, nghiên cứu tuyệt vời.
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thị Ngân, đã trực tiếp
hướng dẫn, truyền đạt kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt quá trình
thực hiện luận văn này.
Xin gửi lời cảm ơn đến tập thể giảng viên Khoa Toán - Trường Đại học
Sư Phạm Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và Viện Toán học
đã tận tình giảng dạy và tạo mọi điều kiện cho chúng tôi trong quá trình
học và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Do thời gian và kiến thức chuyên môn của bản thân còn hạn chế nên
luận văn của tôi không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được
ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện
hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2019
Tác giả
ĐẶNG THỊ THU HIỀN

ii


Mục lục
Lời nói đầu
Chương 1

1
Kiến thức cơ sở

3

1.1 Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . .

3

1.2 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3 Không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3.1 Không gian H s (R), H s (Ω), Hos (Ω) . . . . . . . . . . . .

4

1.3.2 Các không gian Sobolev véc tơ . . . . . . . . . . . . .

5

1.4 Toán tử giả vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Chương 2

Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân

đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa
trên miền hình dải
2.1 Đặt bài toán

11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân . . . . . .

16

2.3 Biến đổi về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính . .

23

2.3.1 Biến đổi về hệ phương trình tích phân với hạch logarit

24

2.3.2 Biến đổi về hệ phương trình vô hạn đại số tuyến tính .

26

Kết luận

30

Tài liệu tham khảo

31

iii


Lời nói đầu
Bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dải đã được
nhiều tác giả trên thế giới nghiên cứu đến. V. B. Zelentsov đã trình bày
những vấn đề về đĩa Kirchhoff - Love chưa thực hiện được trên một miền
hình dải, dưới dấu hiệu của một bao hàm cứng nối với một trong các biên
của đĩa khi biên khác của đĩa được cố định. Bài toán đưa về bài toán tìm
nghiệm tích - chập của phương trình tích phân loại một trên khoảng hữu
hạn với hạch đều. Từ tính chất về hạch của phương trình tích phân ta có
thể suy ra nghiệm của phương trình không kì dị khả tích. A. I. Fridman và
S. D. Eidelman đã xét một số bài toán biên cho phương trình song điều hòa
trên miền hình dải. Gần đây, định lý về tính duy nhất cho nghiệm không
âm của bài toán đã được chứng minh.
Mục đích của đề tài là nghiên cứu bài toán biên cho phương trình song
điều hòa trên miền hình dải. Bài toán biên trên miền hình dải với giả thiết
được giới hạn bởi y = 0, y = h với điều kiện ngàm được cho trên khoảng

|x| a và điều kiện gối tựa |x| > a. Sử dụng phép biến đổi Fourier đưa bài
toán biên của phương trình song điều hòa trên miền hình dải về hệ phương
trình cặp tích phân. Nghiên cứu tính tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ
phương trình cặp tích phân được thiết lập trong không gian Sobolev. Ngoài
ra luận văn cũng đưa ra phương pháp biến đổi hệ phương trình cặp tích
phân về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính.

Luận văn bao gồm: Mở đầu, hai chương nội dung, Kết luận và Tài liệu
tham khảo.
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở về không gian hàm và toán
tử giả vi phân, hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính.
Chương 2: Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài
1


toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dải. Đưa ra phương
pháp biến đổi hệ phương trình cặp tích phân về hệ vô hạn các phương trình
đại số tuyến tính.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2019
Tác giả
ĐẶNG THỊ THU HIỀN

2


Chương 1
Kiến thức cơ sở
Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở là hệ vô hạn
các phương trình đại số tuyến tính, biến đổi Fourier, các không gian hàm
và toán tử giả vi phân.

1.1

Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính

Định nghĩa 1.1. [6] Hệ phương trình có dạng
∞

xi =

ci,k xk + bi (i = 1, 2, ...),

(1.1)

k=1

trong đó các số xi là xác định trước, được gọi là hệ vô hạn các phương trình
đại số tuyến tính.
Khi ta thay xi , i = 1, 2... vào vế phải của (1.1) được các chuỗi hội tụ
đồng thời thỏa mãn các đẳng thức thì xi , i = 1, 2.. được gọi là nghiệm của
hệ (1.1).
Định nghĩa 1.2. [3] Hệ vô hạn (1.1) được gọi là chính quy nếu
∞

|ci,k | < 1 (i = 1, 2, ...),

(1.2)

k=1

được gọi là hoàn toàn chính quy nếu
∞

|ci,k |

1 − θ < 1,

0 < θ < 1,

(i = 1, 2, ...).

(1.3)

k=1

Nếu bất đẳng thức (1.2) (hoặc (1.3)) đúng với i = N + 1, N + 2, ..., thì
hệ (1.1) được gọi là tựa tựa chính quy (hoặc tựa hoàn toàn chính quy).
3


1.2

Biến đổi Fourier

Định nghĩa 1.3. [4],[5] Kí hiệu S = S(R) là không gian các hàm cơ bản,

F là phép biến đổi Fourier được xác định bởi
∞

g(x)eixζ dx,

g(ζ) = F [g](ζ) =
−∞

Định nghĩa 1.4. [4],[5] Kí hiệu S = S(R) là không gian các hàm suy rộng,

F −1 là phép biến đổi Fourier ngược được xác định bởi

∞

1
g˘(ζ) = F −1 [g](ζ) =
2π

g(x)e−ixζ dx.
−∞

Ký hiệu < g, ψ > là giá trị của hàm suy rộng g ∈ S trên hàm cơ bản

ψ ∈ S, ngoài ra (g, ψ) :=< g, ψ > .

1.3
1.3.1

Không gian hàm
Không gian H s (R), H s (Ω), Hos (Ω)

Định nghĩa 1.5. [5] Cho H s := H s (R)(s ∈ R) trong không gian Sobolev Slobodeskii được định nghĩa như bao đóng của tập hợp Co∞ (R) của hàm vi
phân vô hạn với chuẩn được xác định
∞

(1 + ζ 2 )s |v(ζ)|2 dζ

||v||s :=

1/2

< ∞,

v = F [v].

(1.4)

−∞

Không gian H s là không gian Hilbert với tích vô hướng sau
∞

(1 + ζ 2 )s u(ζ)v(ζ)dζ.

(u, v)s :=

(1.5)

−∞

Định nghĩa 1.6. [5] Giả sử Ω là một khoảng hoặc hệ các khoảng không
giao nhau trong R. Không gian con của H s (R) bao gồm hàm v(x) với giá
trong Ω được kí hiệu là Hos (Ω) và được định nghĩa như chuẩn của C0∞ (Ω).
4


Định nghĩa 1.7. [5] Giả sử h ∈ H s (R). Hạn chế của h trên Ω được kí hiệu
là hΩ , ta có

hΩ , λ = h, λ

với mọi λ ∈ C0∞ (Ω).

Tập hợp các hạn chế của các hàm thuộc H s (R) trên Ω kí hiệu là H s (Ω).
Chuẩn trong H s (Ω) được xác định bởi công thức

||h||Hs (Ω) = inf ||lh||s ,
l

trong đó cận dưới đúng có thể lấy theo các thác triển lh ∈ H s (R), h ∈

H s (Ω).
1.3.2

Các không gian Sobolev véc tơ

Giả sử X là không gian tôpô tuyến tính. Ta kí hiệu X và X 2 là tích trực
tiếp của hai không gian. Tôpô trong X 2 được xác định là tôpô thường của
tích trực tiếp. Ta sẽ dùng chữ in đậm để biểu thị các hàm véc tơ và ma trận.
Kí hiệu véc tơ v = (v1 , v2 ), và
S2 = S × S,

(S )2 = S × S .

Với v ∈ (S )2 , ψ ∈ S 2 , ta đặt
2

< v,ψ >=

< vi , ψi > .
i=1

Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của véc tơ v ∈ (S )2 là véc tơ
v = F ±1 [v] = (F ±1 [v1 ], F ±1 [v2 ])T , xác định bởi đẳng thức

< F [v], ψ >=< v, F [ψ] >,
1
< F −1 [v], ψ >=
< v, F [ψ](−x) >, ψ ∈ S 2 .
2π

(1.6)

Giả sử H si , Hosi (Ω), H si (Ω) là những không gian Sobolev, trong đó

i = 1, 2, Ω là một khoảng hoặc hệ các khoảng không giao nhau trong R. Ta
đặt
s = (s1 , s2 )T , Hs = H s1 × H s2 ,
Hos (Ω) = Hos1 (Ω) × Hos2 (Ω),
Hs (Ω) = H s1 (Ω) × H s2 (Ω).
5


Tích vô hướng và chuẩn trong H s và Hos (Ω) được xác định bởi công thức
2

2

||vi ||2si

(ui , vi )si , ||v||s =

(u,v)s =
i=1

1/2

,

i=1

trong đó ||vi ||si và (ui , vi )si lần lượt được xác định bởi công thức (1.4) và
(1.5). Chuẩn trong Hs (Ω) được định nghĩa bởi công thức
2

inf ||li vi ||2si

||v||Hs (Ω) :=
i=1

li

1/2

,

trong đó li là toán tử suy rộng của vi ∈ H si (Ω) từ Ω vào R.
Định lý 1.1. [1] Giả sử Ω ⊂ R, v = (v1 , v2 )T ∈ Hs (Ω), g ∈ H−s (Ω) và
lg = (l1 g1 , l2 g2 )T là một thác triển của g từ Ω đến R thuộc vào H−s (R). Khi
đó tích phân
2

∞

li gi (ζ)vi (ζ)dζ,

[g, v] := (lg, v)o :=

(1.7)

i=1 −∞

không phụ thuộc vào việc chọn thác triển lg . Do đó, công thức này xác định
hàm tuyến tính trên Hos (Ω). Ngược lại, với mỗi hàm tuyến tính Ψ(v) liên tục
trên Hos (Ω) tồn tại g ∈ H−s (Ω) sao cho Ψ(v) = [v, g] và ||Ψ|| = ||g||H−s (Ω) .
Chứng minh. Lấy l’g là một thác triển khác của hàm g. Khi đó ta có
lg - lg’ = 0 trên Ω, tức là

∀z ∈ (Co∞ (Ω))2 .

(lg − l’g,z)o = 0,

(1.8)

Do (Co∞ (Ω))2 là tập trù mật trong Hso (Ω), nên từ (1.8) ta có

(lg - l’g,v)o = 0,

∀u ∈ Hos (Ω),

Tức là (l’g,v)o = (lg,v)o . Do đó, tích phân trong (1.7) không phụ thuộc
vào cách chọn mở rộng lg. Từ đó, chúng ta được

|(lg,v)o |

||v||s .||lg||−s .
6


Từ (lg,v) không phụ thuộc vào cách chọn của lg, chúng ta có

|[g,v]| = |(lg,v)o |

||v||s inf ||lg||−s = ||v||s .||g||H−s (Ω) .
l

Do đó, mỗi g ∈ H−s (Ω) ứng với một phiếm hàm liên tục trên Hso (Ω) xác
định bởi công thức (1.7).
Phần thứ hai của Định lý 1.1 có thể được chứng minh bằng cách sử dụng
định lý Riesz.

1.4

Toán tử giả vi phân

Định nghĩa 1.8. [1] Xét toán tử giả vi phân của dạng sau

(Av)(x) := F −1 [A(ζ)v(ζ)](x),
trong đó A(ζ) = ||aij (ζ)||2×2 là một ma trận vuông cấp hai, v = (v1 , v2 )T
là một véc tơ chuyển vị của véc tơ dòng (v1 , v2 ), và v(ζ) := F [v] =

(F [v1 ], F [v2 ])T được gọi là toán tử giả vi phân, ma trận A(ζ) được gọi

là biểu trưng của toán tử A.
Định nghĩa 1.9. [1] Cho µ ∈ R. Ta nói rằng hàm a(ζ) thuộc lớp σ µ (R),
nếu

|a(ζ)|

D1 (1 + |ζ|)µ ,

∀ζ ∈ R,

µ
và thuộc lớp σ+
(R), nếu

D2 (1 + |ζ|)µ

a(ζ)

D1 (1 + |ζ|)µ ,

∀ζ ∈ R,

trong đó D1 và D2 là các hằng số dương.
Bổ đề 1.1. [1] Giả sử a(ζ) > 0 sao cho (1 + |ζ|)−µ a(ζ) là hàm liên tục bị
chặn trên R . Hơn nữa, giả sử đó là giới hạn dương của hàm (1 + |ζ|)−µ a(ζ)
khi ζ → ±∞ thì khi đó ta có
µ
a(ζ) ∈ σ+
(R).

Bổ đề 1.2. [6] Giả sử a(ζ) ∈ σ µ (R), v(x) ∈ H s (R), a(ζ)v(ζ) ∈ S (R), thì
toán tử giả vi phân F −1 [a(ζ)v(ζ)](x) là toán tử tuyến tính bị chặn từ H s (R)
vào H s−µ (R).
7


Chứng minh. Thật vậy, ta đặt

u(x) = F −1 [a(ζ)v(ζ)](x),
Chúng ta có

u(ζ) = a(ζ)v(ζ).

u(ζ) = a(ζ)v(ζ) và

(1 + |ζ|)s−µ |u(ζ)| = (1 + |ζ|)−µ |a(ζ)|.(1 + |ζ|)s |v(ζ)|

D(1 + |ζ|)s |v(ζ)|.
(1.9)

D||v||2s < ∞.

Từ (1.9) ta suy ra được ||u||2s−µ

Định nghĩa 1.10. [3] Giả sử A(ζ) = ||aij (ζ)||2×2 , ζ ∈ R, là một ma trận
vuông cấp hai, trong đó aij (ζ) là các hàm liên tục trên R, αi ∈ R, (i =

1, 2), α = (α1 , α2 )T . Kí hiệu
||aij (ζ)||2×2 , sao cho
ajj (ζ) ∈ σ αj (R),

α

(R) là lớp các ma trận vuông A(ζ) =

aij (ζ) ∈ σ αij (R),

Ta có thể nói rằng, ma trận A(ζ) thuộc lớp

αij

1
(αi + αj ).
2

α
+ (R),

nếu A(ζ) ∈

α

(R)

α

(R)

và nó là Hermintian, tức là (A(ζ))T = A(ζ), và thỏa mãn điều kiện
2

zT Az

(1 + |ζ|)αi |zi |2 ,

D1

∀z = (z1 , z2 )T ∈ C2 ,

i=1

trong đó D1 là hằng số dương. Cuối cùng ta có ma trận A(ζ) ∈
thuộc lớp

α
o (R),

nếu nó xác định dương với mọi ζ ∈ R.

Bổ đề 1.3. [3] Giả sử ma trận A(ζ) thuộc vào lớp

α
+ (R).

Khi đó, tích vô

hướng và chuẩn trong Hα/2 (R) lần lượt được định nghĩa bởi công thức sau
∞

F [uT (ζ)]A(ζ)F [v](ζ)dζ,

(u, v)A,α/2 =

(1.10)

−∞
∞

F [vT ](ζ)A(ζ)F [v](ζ)dζ

||v||A,α/2 =

1/2

,

(1.11)

−∞

Chứng minh. Dùng bất đẳng thức Cauchy- Schwartz có thể chỉ ra được
T

z(ζ) Az(ζ)

2

(1 + |ζ|)αi |wi (ζ)|2 ,

D2

i=1

8

(1.12)


trong đó D2 là một hằng số. Thế zi (ζ) bằng vi (ζ) = F [vi ](ζ) và z(ζ) bằng

F [v](ζ), vào trong (1.6), (1.12), sau đó lấy thích phân trên (−∞, ∞), ta
được như sau
∞

2

∞

(1 + |ζ|)αi |F [vi ](ζ)|2 dt

D1

F [vT ](ζ)A(ζ)F [v](ζ)dζ

i=1 −∞

−∞
∞

2

(1 + |ζ|)αi |F [vi ](ζ)|2 dζ.

D2
i=1 −∞

(1.13)
Từ (1.13), (1.4) và (1.7) ta được (1.11). Rõ ràng, tích phân (1.10) xác định
một tích vô hướng trong Hα/2 (R).
Định lý 1.2. [3] Giả sử A(ζ) ∈

s = α/2 ± ε,

α

(R), u ∈ Hs (R), trong đó

ε = (ε, ε)T ,

ε

0.

(1.14)

Khi đó toán tử giả vi phân Au được định nghĩa bởi công thức

F −1 [A(ζ)v(ζ)](x),

x ∈ R,

bị chặn từ Hs (R) vào Hs−α (R).
Chứng minh. Giả sử u(x) := (Av)(x) = F −1 [A(ζ)v(ζ)](x).
Do đó, ta có
u(ζ) = A(ζ)v(ζ).

(1.15)

Xét n - thành phần của véc tơ (1.15), ta được
2

un (ζ) =

ani (ζ)vi (ζ),

n = 1, 2.

(1.16)

i=1

Nhân các vế của (1.16) với (1 + |ζ|)sn −αn , ta được
2
sn −αn

(1 + |ζ|)

[ani (ζ)(1 + |ζ|)sn −αn −si ][(1 + |ζ|)si vi (ζ)]. (1.17)

un (ζ) =
i=1

9


Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz vào đẳng thức (1.17) ta được
2
2(sn −αn )

2
2(sn −αn −si )

2

(1 + |ζ|)

(1 + |ζ|)2si |vi (ζ)|2 .

|ani (ζ)| (1 + |ζ|)
i=1

i=1

Từ

|ani (ζ)|

D(1 + |ζ|)α/2+αi /2 ,

∀ζ ∈ R,

do (1.14) ta được
2

|ani (ζ)|2 (1 + |ζ|)2(sn −αn −si )

D,

∀ζ ∈ R.

(1.18)

i=1

Từ (1.14) và (1.18) chúng ta có
2

||un ||2sn −αn

||vi ||2si ,

D
i=1

khi đó, u = (Av)(x) ∈ Hs−α (R). Định lý đã được chứng minh.
Định lý 1.3. [3] Giả sử Ω là tập con bị chặn trong một khoảng trên R.
Khi đó phép nhúng Hs (Ω) lên Hs− (Ω) là hoàn toàn liên tục, trong đó

= ( , )T > 0 ⇔ > 0.

10

Chương 2
Tính giải được của hệ phương
trình cặp tích phân đối với bài toán
biên cho phương trình song điều hòa
trên miền hình dải
Trong chương này, chúng tôi trình bày tính giải được của hệ phương trình
cặp tích phân và phương pháp đưa hệ phương trình cặp tích phân về hệ vô
hạn các phương trình đại số tuyến tính.

2.1

Đặt bài toán

Ta nghiên cứu nghiệm Φ = Φ(x, y) của bài toán biên cho phương trình
song điều hoà [3]

∂ 4Φ
∂ 4Φ
∂ 4Φ
+2 2 2 + 4 =0
∆ Φ(x, y) =
∂x4
∂x ∂y
∂y
2

(2.1)

trên miền hình dải

Π = {(x, y) : −∞ < x < ∞, 0 < y < h}.
Gọi R là trục thực, (−a, a) là khoảng bị chặn.
Xét bài toán biên sau đây:
Tìm nghiệm Φ(x, y) của phương trình (2.1) trong miền hình dải Π thoả
mãn điều kiện biên
11


Φ|y=0 = p1 (x), x ∈ R,

(2.2)

Φ|y=h = p2 (x), x ∈ R,

(2.3)


∂Φ


= g1 (x), x ∈ (−a, a),
∂y y=0

M [Φ]
= 0,
x ∈ R\(−a, a),

(2.4)


∂Φ


= g2 (x), x ∈ (−a, a),
∂y y=h

M [Φ]
= 0,
x ∈ R\(−a, a),

(2.5)

y=0

y=h

trong đó

∂ 2Φ
∂ 2Φ
+ θ 2,
M [Φ] = M [Φ](x, y) =
∂y 2
∂x

0 < θ < 1.

(2.6)

Bài toán biên trên miền hình dải với giả thiết y = 0, y = h với điều kiện
ngàm được cho trên khoảng |x|

a và điều kiện gối tựa |x| > a. Hiển nhiên,
M [Φ] là mômen lực uốn với trục Oy.
Sử dụng biến đổi Fourier với biến số x của phương trình song điều hoà
(2.1), ta đạt được
2
d4 Φ(ζ, y)
2 d Φ(ζ, y)
− 2ζ
+ ζ 4 Φ(ζ, y) = 0,
dy 4
dy 2

(2.7)

trong đó Φ(ζ, y) = Fx [Φ(x, y)](ζ) là biến đổi Fourier đối với x của hàm

Φ(x, y). Lời giải tổng quát của phương trình vi phân (2.7) với ζ = 0 được
biểu diễn
Φ(ζ, y) = G1 (ζ) cosh(|ζ|y) + G2 (ζ)y cosh(|ζ|y) + G3 (ζ) sinh(|ζ|y)
+ G4 (ζ)y sinh(|ζ|y), (2.8)
trong đó G1 (ζ), G2 (ζ), G3 (ζ), G4 (ζ) là hàm tuỳ ý với biến số ζ. Giá trị

Φ(0, y) được biểu diễn
Φ(0, y) = lim Φ(ζ, y).
ζ→0

12

(2.9)


Sử dụng đổi Fourier đối với điều kiện (2.9), (2.2) và (2.8) ta có

Φ(ζ, 0) = G1 (ζ) = p1 (ζ),

(2.10)

Φ(ζ, h) = G1 (ζ) cosh(|ζ|h) + G2 (ζ)h cosh(|ζ|h) + G3 (ζ) sinh(|ζ|h)
+ G4 (ζ)h sinh(|ζ|h) = p2 (ζ).
Tức là

v1 (ζ) = M [Φ](ζ, 0) = Φyy (ζ, 0) − θζ 2 Φ(ζ, 0) = (1 − θ)ζ 2 G1 (ζ) + 2|ζ|G4 (ζ),
(2.11)
v2 (ζ) = M [Φ](ζ, h) = Φyy (ζ, h) − θζ 2 Φ(ζ, h) = (1 − θ)ζ 2 cosh(|ζ|h)G1 (ζ)
+ [2|ζ| sinh(|ζ|h) + (1 − θ)ζ 2 h cosh(|ζ|h)]G2 (ζ) + (1 − θ)ζ 2 sinh(|ζ|h)G3 (ζ)
+ [2|ζ| cosh(|ζ|h) + (1 − θ)ζ 2 h sinh(|ζ|h)]G4 (ζ).

(2.12)

Từ những biểu thức (2.10) - (2.12) ta biểu diễn các hàm chưa biết

G1 (ζ), G2 (ζ), G3 (ζ), G4 (ζ) theo các giới hạn u1 (ζ), u2 (ζ), p1 (ζ), p2 (ζ). Với
ζ = 0, sau một số bước biến đổi, ta có
G1 (ζ) = p1 (ζ),
(2.13)
v1

(1 − θ)|ζ|p1 (ζ)
G4 (ζ) =
−
,
(2.14)
2|ζ|
2
cosh(|ζ|h)
v2 (ζ)
G2 (ζ) = −
v1 (ζ) +
2|ζ| sinh(|λ|h)
2|ζ| sinh(|ζ|h)
(1 − θ)|ζ|
(1 − θ)|ζ| cosh(|ζ|h)
p1 (ξ) −
p2 (ζ),
(2.15)
+
2 sinh(|ζ|h)
2 sinh(|ζ|h)
h cosh(|ζ|h)
h
v
(ζ)
−
v2 (ζ)
G3 (ζ) =
1
2|ζ| sinh2 (|ζ|h)

2|ζ| sinh2 (|ζ|h)
sinh(2|ζ|h) + (1 − θ)|ζ|h
(1 − θ)|ζ|h cosh(|ζ|h) + 2 sinh(|ζ|h)
−
p
(ζ)
+
p2 (ζ).
1
2 sinh2 (|ζ|h)
2 sinh2 (|ζ|h)
(2.16)
Thế (2.13) - (2.16) vào (2.8) ta đạt được

Φ(ζ, y) = v1 (ζ)

h sinh(|ζ|y) − y sinh(|ζ|h) cosh(|ζ|(h − y))
2|ζ| sinh2 (|ζ|h)

13


+ v2 (ζ)
+ p1 (ζ)
+ p1 (ζ)
+ p2 (ζ)
+ p2 (ζ)

y cosh(|ζ|y) sinh(|ζ|h) − h sinh(|ζ|y) cosh(|ζ|h)
2|ζ| sinh2 (|ζ|h)

2 sinh(|ζ|h) sinh(|ζ|(h − y))
2 sinh2 (|ζ|h)
(1 − θ)|ζ|[y sinh(|ζ|h) cosh(|ζ|(h − y)) − h sinh(|ζ|y)]
2 sinh2 (|ζ|h)
(1 − θ)|ζ|(h − y) sinh(|ζ|y) cosh(|ζ|h)
2 sinh2 (|ζ|h)
2 sinh(|ζ|y) sinh(|ζ|h) − (1 − θ)y|ζ| sinh(|ζ|(h − y))
.
2 sinh2 (|ζ|h)

(2.17)

Từ (2.17), ta có

O(|ζ|e−|ζ|(h−y) ),

|ζ| → ∞,

(2.18)

hơn nữa, từ (2.9) ta có

Φ(0, y) = α1 (y) lim v1 (ζ) + α2 (y) lim v2 (ζ) + α3 (y) lim p1 (ζ) + α4 (y) lim p2 (ζ),
ζ→0

ζ→0

ζ→0

ζ→0

trong đó

y(h2 − y 2 ) + 3y(h − y)2
,
α1 (y) = −
12h
y(y 2 − h2 )
α2 (y) =
,
6h
h−y
α3 (y) =
,
h
y
α4 (y) = .
h
Thế (2.13) - (2.16) vào quan hệ sau

dΦ(ζ, 0)
= |ζ|G3 (ζ) + G2 (ζ),
dy
dΦ(ζ, h)
= [G1 (ζ)|ζ| + G4 (ζ)] sinh(|ζ|h) + [G3 (ζ)|ζ| + G2 (ζ)] cosh(|ζ|h)
dy
+ G2 (ζ)|ζ|y sinh(|ζ|h) + G4 (ζ)|ζ|h cosh(|ζ|h),

14

ta được

dΦ(ζ, 0)
= −a11 (ζ)v1 (ζ) − a12 (ζ)v2 (ζ) − a1 (ζ)p1 (ζ) + a2 (ζ)p2 (ζ), (2.19)
dy
dΦ(ζ, h)
= −a21 (ζ)v1 (ζ) − a22 (ζ)v2 (ζ) − a2 (ζ p1 (ζ) + a1 (ζ)p2 (ζ), (2.20)
dy
trong đó

|ζ|[(1 + θ) sinh(|ζ|h) cosh(|ζ|h) + (1 − θ)|ζ|h]
,
2 sinh2 (|ζ|h)
|ζ|[(1 + θ) sinh(|ζ|h) + (1 − θ)|ζ|h cosh(|ζ|h)]
a2 (ζ) =
,
2 sinh2 (|ζ|h)
sinh(|ζ|h) cosh(|ζ|h) − |ζ|h
,
a11 (ζ) = a22 (ζ)
2|ζ| sinh2 (|ζ| sinh2 (|ζ|h))
|ζ|h cosh(|ζ|h) − sinh(|ζ|h)
a21 (ζ) = a12 (ζ)
.
2|ζ| sinh2 (|ζ| sinh2 (|ζ|h))
a1 (ζ) =

(2.21)
(2.22)

(2.23)
(2.24)

Để xác định hàm chưa biết v1 (ζ) và v2 (ζ), chúng ta sử dụng đồng thời
điều kiện (2.4) và (2.5). Thoả mãn các điều kiện từ (2.11), (2.12), (2.19) và
(2.20), ta có hệ phương trình cặp tích phân với v1 (ζ), v2 (ζ) :

F −1 [A(ζ)v(ζ)](x) = g(x), x ∈ (−a, a)
F −1 [v(ζ)](x) = 0,

x ∈ R\(−a, a),

(2.25)

trong đó

v1 (x) = M [Φ](x, 0),

v2 (x) = M [Φ](x, h), v(x) = (v1 (x), v2 (x))T , (2.26)

v(ζ) = F [v(x)](ζ), g(x) = (g1 (x), g2 (x))T ,

(2.27)

g1 (x) = −g1 (x) − F −1 [a1 (ζ)p1 (ζ)](x) + F −1 [a2 (ζ)p2 (ζ)](x),

(2.28)

g2 (x) = g2 (x) + F −1 [a2 (ζ)p1 (ζ)](x) − F −1 [a1 (ζ)p2 (ζ)](x),

(2.29)

A(ζ) =

a11 (ζ) a12 (ζ)
.
a21 (ζ) a22 (ζ)

(2.30)

15


2.2

Tính giải được của hệ phương trình cặp tích
phân

Hệ (2.25) [3] được viết lại dưới dạng

rF −1 [A(ζ)v(ζ)](x) = g(x),

x ∈ (−a, a),

r v := r F −1 [v(ζ)](x) = 0,

x ∈ R\(−a, a),

(2.31)

trong đó toán tử F −1 được hiểu g(x) = (g1 (x), g2 (x))T , v(ζ) = F [v](ζ) =

(v1 (ζ), v2 (ζ))T , Khi đó, ta có
Bổ đề 2.1. [3] Ma trận A(ζ) được định nghĩa bởi công thức (2.23), (2.24)
, (2.30) được gọi là xác định dương, với mọi ζ = 0.
Từ đó ta có A(ζ) ∈

−α
o ,

α = (1, 1)T .

Bổ đề 2.2. [3]Giả sử a1 (ζ), a2 (ζ), a11 (ζ) và a12 (ζ) được xác định bởi công
thức (2.21) (2.22) (2.23), (2.24). Khi đó

a11 (−ζ) = a11 (ζ) > 0, a12 (−ζ) = a12 (ζ) > 0,

∀ζ = 0,

a1 (−ζ) = a1 (ζ) > 0, a2 (−ζ) = a2 (ζ) > 0, ∀ζ = 0.
h
h
a11 (0) = lim a11 (ζ) = , a12 (0) = lim a12 (ζ) = ,
ζ→0
ζ→0
3
6
1
1
a1 (0) = lim D1 (ζ) = , a2 (0) = lim a2 (ζ) = .

ζ→0
ζ→0
h
h
1
lim a11 (ζ) =
, lim a12 (ζ) = 0,
h→∞
2|ζ| h→∞
(1 + θ)|ζ
lim a1 (ζ) =
, lim a2 (ζ) = 0.
h→∞
h→∞
2

(i)

(ii)

(iii)

Từ các kết quả của Bổ đề 1.1 và Bổ đề 2. , kết hợp các biểu thức từ
(2.21) đến (2.24) ta có biểu thức sau
−1
a11 (ζ) = a22 (ζ) ∈ σ+
∩ C(R),

1
a1 (ζ) ∈ σ+

∩ C(R),

a12 (ζ) = a21 (ζ) và a2 (ζ) ∈ σ −β ∩ C(R),

16

∀β > 1.

(2.32)
(2.33)


Chúng ta đưa các kết quả sau cho vết Φ(x, y) trên biên y = 0 và y = h
của hình dải Π :
3

p1 (x) := Φ(x, 0) và p2 (x) := Φ(x, h) ∈ H 2 (R),

(2.34)
1

v1 (x) := M [Φ](x, 0) và v2 (x) := M [Φ](x, h) ∈ H − 2 (R).

(2.35)

Từ (2.32) và Bổ đề 1.2 nên ta có điều sau
Định lý 2.1. [3] Với các điều kiện (2.34) và (2.35) thỏa mãn, nên ta có
1

F −1 [a11 (ζ)v1 (ζ)](x) và F −1 [a22 (ζ)v2 (ζ)](x) ∈ H 2 (R),

F −1 [a21 (ζ)v1 (ζ)](x) và F −1 [a12 (ζ)v2 (ζ)](x) ∈ H δ (R),

∀δ > 1,

1

F −1 [a11 (ζ)p1 (ζ)](x) và F −1 [a1 (ζ)p2 (ζ)](x) ∈ H 2 (R),
F −1 [a2 (ζ)p1 (ζ)](x) và F −1 [a2 (ζ)p2 (ζ)](x) ∈ H δ (R),

∀δ > 1.

Từ Định lý 2.1, ta giả sử có những điều kiện sau
3

p1 (x) và p2 (x) ∈ H 2 (R),

(2.36)

1

g1 (x) và g2 (x) ∈ H 2 (−a, a).

(2.37)

Do đó, chúng ta có
g(x) ∈ Hα/2 (−a, a),

α = (1, 1)T .

(2.38)

Định lý 2.2. [3](Tính duy nhất) Với điều kiện (2.38) thỏa mãn. Khi đó,
−α/2

hệ phương trình cặp (2.31) có nhiều nhất một nghiệm v ∈ Ho

(−a, a).

Chứng minh. Giả sử v ∈ Hα/2 (−a, a) là nghiệm thuần nhất của hệ (2.31).
Sử dụng công thức từ (1.7)-(1.11) và Định lý 1.1, ta được
∞

vT (ζ)A(ζ)v(ζ)dζ = 0,

[Av,v] =
−∞

từ đó v ≡ 0.
Tức là

(Av)(x) = pF −1 [A(ζ)v(ζ)](x),
17

x ∈ (−a, a)


ta viết lại (2.31) thành

x ∈ (−a, a).

(Av)(x) = g(x),

(2.39)

Bây giờ, chúng ta xác định sự tồn tại nghiệm của hệ (2.39) trong không
−α/2

(−a, a), α = (1, 1)T .
Ta có ma trận


tanh(|ζ|h)
0


2|ζ|

A+ (ζ) = 

tanh(|ζ|h)  ,
0
2|ζ|
B(ζ) = A(ζ) − A+ (ζ).

gian Ho

−α
+ ,α

Bổ đề 2.3. [3] Chúng ta có A+ (ζ) ∈

(2.40)
(2.41)

= (1, 1)T .

Chứng minh. Giả sử

v1 = a1 + jb1 ,

v2 = a2 + jb2 ,

a1 , b1 , a2 , b2 ∈ R.

Chúng ta có

|v1 |2 = a21 + b21 ,
Ta có
T

v A+ v =

|v2 |2 = a22 + b22 .

tanh(|ζ|h)
[2(a21 + b21 + a22 + b22 )]
2|ζ|

0.

Do đó
T

v A+ v =
Sử dụng Bổ đề 1.1, ta có

tanh(|ζ|h)
(|v1 |2 + |v2 |2 ).
|ζ|

(2.42)

tanh(|ζ|h)
−1
∈ σ+
(R), nghĩa là tồn tại một hằng
|ζ|

số dương D, sao cho

tanh(|ζ|h)
|ζ|
Từ (2.42), (2.43) suy ra A+ (ζ) ∈

D

1
,
(1 + |ζ|)
−α

+ ,

Bổ đề được chứng minh.
18

∀ζ ∈ R.

α = (1, 1)T .

(2.43)


Ta suy ra được
−β

, β = (β, β)T , ∀β > 1.

B(ζ) ∈

−α/2

Bổ đề 2.4. [6]Tích vô hướng và chuẩn trong Ho

(R)(α = (1, 1)T ) được

xác định như sau
∞
T

(u,v)A+,−α/2 =

v(ζ) A+ (ζ)v(ζ)dζ,

(2.44)

−∞
∞
1/2

T

||v||A+,α/2 =

v(ζ) A+ (ζ)v(ζ)dζ

,

(2.45)

−∞

trong đó ma trận A+ (ζ) được xác định bởi công thức (2.40)
Định lý 2.3. [3](Sự tồn tại) Giả sử các biểu thức (2.36) và (2.37) đúng, khi
đó hệ phương trình cặp tích phân (2.31) có nghiệm duy nhất v = F −1 [v] ∈
−α/2

Ho

(−a, a).

Chứng minh. Từ giả thiết (2.36) và (2.37) đúng, do (2.28) và (2.29) và Định
lý 2.1, ta sẽ có
g(x) ∈ Hα/2 (−a.a),

α = (1, 1)T .

Chúng ta biểu diễn toán tử A bằng công thức (2.39) theo dạng A = A+ + B,
trong đó

A+ v = rF −1 [A+ v],

B v = rF −1 [Bv],

v = F [v].

(2.46)

Trước hết, ta xét hệ phương trình

A+ v(x) = f(x),

v(x) ∈ H−α/2
(−a, a),
o

(2.47)

trong đó, g(x) ∈ Hα/2 (−a, a) là một hàm véc tơ đã biết. Từ (1.7), (1.10),
(2.44) chúng ta có
∞

F [uT ](ζ)A+ (ζ)F [v](ζ)dζ = (u,v)A+,−α/2 ,

[A+ u,v] =
−∞

19


−α/2

(−a, a).
thỏa mãn (2.47), ta có

với các hàm véc tơ tùy ý u và v thuộc Ho
Do đó, nếu v ∈

α/2
Ho (−a.a)

∀u ∈ H−α/2
(−a, a).
o

(u,v)A+,−α/2 = [f,u],

(2.48)
−α/2

Với [f, v] là một hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert Ho

từ định lý Riesz, tồn tại duy nhất vo ∈

[f, v] = (vo , u)A+,−α/2 ,

−α/2
Ho (−a, a)

(−a, a),

sao cho

v ∈ H−α/2
(−a, a).
o

(2.49)

Từ (2.48) và (2.49) chúng ta được v = vo . Hơn nữa, ta lại có

||vo ||A+,α/2 = ||A−1 f||A+,α/2

D||f||Hα/2 (−a,a) ,

(2.50)

đúng, trong đó D là một hằng số dương. Sau đó, ta biến đổi hệ (2.31) thành

A+ v + B v = g.
Từ đó ta có
−1

v + A−1
+ B v = A+ g

(2.51)

Theo tính chất của Định lý 1.3, toán tử B v được xác định bởi (2.46) đầy
−α/2

−1
(−a, a) vào Hα/2 (−a, a), do (2.50) toán tử A+
bị
chặn. Do đó toán tử A−1
+ B là hoàn toàn bị chặn. Nên hệ phương trình (2.51)
là Fredholm. Vì tính duy nhất nghiệm, ( Định lý 2.2) nên hệ này cũng có
−α/2
nghiệm duy nhất v ∈ Ho (−a, a).

đủ và liên tục từ Ho

Định lý 2.4. Giả sử (2.36) và (2.37) đúng. Khi đó, có nghiệm duy nhất Φ
của Bài toán (2.1) - (2.5) thuộc vào không gian Sobolev H 1 (Π), H n (Π )(∀n

2, ∀ > 0), trong đó

Π := {(x, y) : −∞ < x < ∞, < y < h − }.
Chứng minh. Biểu diễn Φ(x, y) := F −1 [Φ(ζ, y)](x) trong đó Φ(x, y) xác
định bởi (2.17). Đầu tiên, ta chứng minh hàm Φ(x, y) thỏa mãn phương
20

trình (2.1) trong miền hình dải Π.
Thật vậy, trong (2.17) hàm v1 (ζ), v2 (ζ), p1 (ζ), và p2 (ζ) là các hàm xác
định, do (2.18) và (2.7) cùng với điều kiện |x| < ∞, 0 < y < h chúng ta
được

∆2 Φ(x, y) = F −1

2
d4 Φ(ζ, y)
2 d Φ(ζ, y)
−
2ζ
+ ζ 4 Φ(ζ, y) (x) = 0.
4
2
dy
dy

Dễ kiểm tra được điều kiện biên (2.2) và (2.3) thỏa mãn, và

M [Φ](x, 0) = v1 (x),

M [Φ](x, h) = v2 (x),

x ∈ R,

trong đó M [Φ] được xác định như (2.6). Các hàm v1 (x), v2 (x) được xác định
bởi điều kiện biên (2.4) và (2.5) tương đương với hệ phương trình cặp tích
phân (2.25). Theo Định lý 2.3, nếu điều kiện (2.36) và (2.37) thỏa mãn thì
−1/2

hệ phương trình (2.25) có nghiệm duy nhất v = (v1 , v2 ) ∈ Ho

(−a, a) ×
Từ đó, nếu điều kiện (2.36) và (2.37) thỏa mãn, thì nghiệm
duy nhất Φ(x, y) = F −1 [Φ(ζ, y)](x) của bài toán (2.1) - (2.5), là Φ(x, y)
được tính bằng (2.17).
Bây giờ, ta chứng minh Φ ∈ H 1 (Π). Trước hết, ta chứng minh
∂Φ
Φx =
∈ L2 (Π). Sử dụng đẳng thức Parseval ta có
∂x
−1/2
Ho (−a, a).

∞

∞

1
|Φx (x, y)|2 dx =
2π
−∞

ζ 2 |Φ(x, y)|2 dζ,

0 < y < h.

(2.52)

−∞

Thay Φ(ξ, y) từ (2.17) vào vế phải của (2.52) và áp dụng bất đẳng thức
Cauchy - Schwarz, ta được
∞

|Φx (x, y)|2 dx
−∞
∞

2
π

2

h sinh(|ζ|y) − y sinh(|ζ|h) cosh(|ζ|(h − y))
ζ |v1 (ζ)|
dζ
2|ζ| sinh2 (|ζ|h)
2

−∞
∞

2
+
π

2

y cosh(|ζ|y) sinh(|ζ|h) − h sinh(|ζ|y) cosh(|ζ|h)
ζ |v2 (ζ)|
dζ
2|ζ| sinh2 (|ζ|h)
2

−∞

2

2

21