Về đồng dư đa thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THỊ HOÀN

VỀ ĐỒNG DƯ ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THỊ HOÀN

VỀ ĐỒNG DƯ ĐA THỨC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Nguyễn Thị Kiều Nga

THÁI NGUYÊN - 2019

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS Nguyễn
Thị Kiều Nga, cô đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả
trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới các quý thầy, cô giáo đã giảng
dạy lớp cao học Toán K11A, các bạn học viên và đồng nghiệp đã tạo điều
kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại
trường. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người
thân ln khuyến khích động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học
và viết luận văn này.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót và hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các
thầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019
Tác giả

Nguyễn Thị Hoàn

i


Mục lục
Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

1.2

Một số kiến thức cơ bản về đa thức một ẩn . . . . . . . . .

3

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Bậc của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Phép chia với dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.4

Nghiệm của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.5

Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của đa thức

7

Một số định lý cơ bản của số học . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 Đồng dư đa thức

10

2.1

Đồng dư đa thức với môđun một đa thức . . . . . . . . . . 10

2.2

Tập hợp gồm các lớp tương đương theo quan hệ đồng dư

2.3

môđun một .
đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Trường A[x] (p(x)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4

Đồng dư đa thức với môđun nguyên tố . . . . . . . . . . . . 18

2.5

Đồng dư đa thức với môđun lũy thừa nguyên tố

2.6

Đồng dư x2 ≡ a (mod m)

2.7

Phương trình đồng dư bậc hai tổng quát . . . . . . . . . . . 35

. . . . . . 23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Một số ứng dụng của đồng dư đa thức trong giải tốn sơ
cấp

38

3.1

Tìm đa thức dư khi chia đa thức f (x) cho g(x) trong A[x] . 38

3.2

Chứng minh đa thức f (x) chia hết cho đa thức g(x) trong A[x] 40

3.3

Tìm điều kiện để f (x) chia hết cho g(x) 6= 0 trong A[x] . . 43
ii


3.4

Bài toán về nghiệm của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5

Một số bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Kết luận

56

Tài liệu tham khảo

57

iii

Mở đầu
Đa thức là một khái niệm cơ bản và quan trọng của tốn học. Đa thức
khơng chỉ là đối tượng nghiên cứu của Đại số mà cịn là cơng cụ quan
trọng được sử dụng trong các nghiên cứu của Giải tích như Lý thuyết điều
khiển, Lý thuyết tối ưu... Trong các kỳ thi học sinh giỏi trong và ngoài
nước các bài toán về đa thức cũng thường được đề cập đến. Vì thế trong
chương trình tốn phổ thơng đa thức là một chuyên đề quan trọng và cần
thiết trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi.
Đồng dư đa thức là một vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm
khi nghiên cứu về đa thức mà trường hợp đặc biệt là các phương trình
đồng dư hoặc các đồng dư thức. Theo [4], cho A là một trường, f (x), g(x),

p(x) ∈ A[x], p(x) 6= 0. Ta nói f (x) đồng dư với g(x) theo môđun p(x)
nếu và chỉ nếu f (x) − g(x) chia hết cho p(x) trong A[x]. Vì thế "đồng dư
đa thức theo mơđun một đa thức" có thể coi là tổng quát của khái niệm
"đồng dư thức" đã biết.
Luận văn "Về đồng dư đa thức" nghiên cứu về đồng dư đa thức theo
môđun một đa thức, đồng dư đa thức theo môđun số nguyên tố và lũy
thừa một số nguyên tố. Các kết quả trong luận văn được tham khảo ở các
tài liệu [2], [4], [6], [7]. Hơn nữa, chúng tôi cũng đưa ra được đặc trưng của
đồng dư đa thức theo môđun một đa thức (Mệnh đề 2.1.2) và một số tính
chất của đồng dư đa thức theo môđun một đa thức (Định lý 2.1.3). Sử
dụng đồng dư đa thức, chúng tôi nghiên cứu một số ứng dụng của đồng
dư đa thức trong giải toán sơ cấp.
Luận văn gồm 3 chương.
Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị về đa thức và một số
tính chất số học cần thiết cho các chương sau.
Chương 2: Nghiên cứu về đồng dư đa thức: Đồng dư đa thức theo môđun
1

một đa thức và một số trường hợp đặc biệt là môđun số nguyên tố và lũy
thừa số nguyên tố.
Chương 3: Trình bày một số ứng dụng của đồng dư đa thức trong toán
sơ cấp.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian và năng lực nghiên cứu còn
hạn chế nên rất mong được sự góp ý của các thầy cơ và các bạn đọc để
luận văn được hồn thiện hơn.

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức về đa thức một
ẩn và kiến thức về số học như khái niệm đa thức, bậc, nghiệm của đa thức,
một số định lý thường gặp như Định lý phép chia với dư, Định lý Bezout,
Viete, hàm Euler, một số định lý quan trọng của số học,... nhằm thuận
tiện cho việc theo dõi các chương sau.

1.1
1.1.1

Một số kiến thức cơ bản về đa thức một ẩn
Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1. Cho A là một vành giao hoán có đơn vị. Một đa thức
một ẩn với hệ số trên A là một biểu thức có dạng:

f (x) = a0 + a1 x + ... + am xm ,

trong đó ai ∈ A với mọi i = 0, m và x là một kí hiệu gọi là biến. Khi đó,

ai gọi là các hệ số thứ i của đa thức, ai xi gọi là hạng tử thứ i của đa thức,
a0 gọi là hạng tử tự do. Kí hiệu A[x] là tập các đa thức một biến x với hệ
số trong A.
Cho hai đa thức
f (x) = a0 + a1 x + ... + an xn
và

g(x) = b0 + b1 x + ... + bm xm
3


thuộc A[x]. Khơng giảm tính tổng qt, ta có thể giả sử m > n và

m = n + t. Khi đó
g(x) = b0 + b1 x + ... + bn xn + bn+1 xn+1 + ... + bn+t xn+t .
Ta nói hai đa thức f (x) và g(x) là bằng nhau nếu ai = bi với mọi i = 0, n
và bn+1 = ... = bn+t = 0.
Định nghĩa 1.1.2. Cho hai đa thức

f (x) = a0 + a1 x + ... + an xn
và

g(x) = b0 + b1 x + ... + bm xm
thuộc A[x]. Khi đó
max {n,m}

f (x) + g(x) =

X

(ai + bi )xi .

i=0

f (x)g(x) =

m+n
i
X X
i=0


aj bi−j xi .

j=0

Quy ước ai = 0 nếu i > n và bi = 0 nếu i > m.
Khi đó A[x] là một vành giao hốn có đơn vị với phép cộng và phép
nhân các đa thức, A[x] gọi là vành đa thức một ẩn với hệ số trong A.
1.1.2

Bậc của đa thức

Định nghĩa 1.1.3. Bậc của đa thức khác 0 trong A[x]

f (x) = a0 + a1 x + ... + an−1 xn−1 + an xn
là n nếu an 6= 0, kí hiệu deg f (x) = n.
Quy ước, đa thức 0 khơng có bậc hoặc có bậc là −∞.

Sau đây là tính chất về bậc của đa thức
Định lý 1.1.4. Giả sử f (x), g(x) là hai đa thức khác 0 thuộc A[x].

4


(i) Nếu f (x) + g(x) 6= 0 thì


n
o
deg f (x) + g(x) 6 max deg f (x), deg g(x)
(ii) Nếu f (x)g(x) 6= 0 thì


deg f (x)g(x) 6 deg f (x) + deg g(x),
đẳng thức sẽ xảy ra nếu A là miền nguyên.
1.1.3

Phép chia với dư

Định lý 1.1.5. (Định lý phép chia với dư). Cho A là một vành giao hốn
có đơn vị và f (x), g(x) là hai đa thức thuộc A[x], g(x) là đa thức có hệ số
cao nhất khả nghịch trong A. Khi đó tồn tại duy nhất q(x), r(x) ∈ A[x]
sao cho f (x) = g(x)q(x) + r(x) và deg r(x) < deg g(x) nếu r(x) 6= 0.
Các đa thức q(x) và r(x) trong định lý trên lần lượt gọi là đa thức
thương và dư trong phép chia f (x) cho g(x). Nếu r(x) = 0 thì ta nói f (x)
chia hết cho g(x).
Kết quả sau đây là hệ quả trực tiếp của Định lý phép chia với dư trong
trường hợp đa thức g(x) là đa thức bậc nhất có hệ số cao nhất là 1.

Hệ quả 1.1.6. (Định lý Bezout). Cho A là một vành giao hốn có đơn vị
và g(x) ∈ A[x], α ∈ A. Khi đó dư của phép chia f (x) cho x − α là f (α).
Chú ý 1.1.7. Cho f (x) ∈ A[x], α ∈ A. Ta có lược đồ sau gọi là lược
đồ Horner để tìm thương và dư của phép chia f (x) cho x − α. Giả sử
n
P
f (x) =
ai xi , an 6= 0. Theo Định lý phép chia với dư, chia f (x) cho
i=0

x − α, ta được f (x) = (x − α)q(x) + r với r = f (α) và deg q(x) = n − 1.
Giả sử q(x) = bn−1 xn−1 + ... + b1 x + b0 . Đồng nhất các hệ số, ta có
bn−1 = an , bn−2 = an−1 + αbn−1 , ..., bk−1 = ak + αbk , ..., b0 = a1 + αb1 ,
r = a0 + αb0 .
an
an−1
...
a1
a0
α bn−1 = an bn−2 = an−1 + αbn−1 ... b0 = a1 + αb1 r = a0 + αb0

5


Nếu A là một trường, g(x) ∈ A[x], g(x) 6= 0 thì hiển nhiên hệ số cao
nhất của g(x) là khả nghịch. Vì thế ta có ngay hệ quả sau:
Hệ quả 1.1.8. Cho A là một trường và f (x), g(x) là hai đa thức thuộc

A[x], g(x) 6= 0. Khi đó tồn tại duy nhất q(x), r(x) ∈ A[x] sao cho
f (x) = g(x)q(x) + r(x) và deg r(x) < deg g(x) nếu r(x) 6= 0.

1.1.4

Nghiệm của đa thức

Trong toàn bộ mục này, ta luôn giả sử A là một vành giao hốn có
đơn vị.
Định nghĩa 1.1.9. Giả sử A là một vành con của vành giao hoán K . Cho

f (x) = a0 + a1 x + ... + an−1 xn−1 + an xn ∈ A[x]. Khi đó, số α ∈ K được
gọi là nghiệm của đa thức f (x) trong K nếu
f (α) = a0 + a1 α + ... + an−1 αn−1 + an αn = 0,
Từ Định lý Bezout ta có ngay bổ đề sau.
Bổ đề 1.1.10. Phần tử α ∈ A là nghiệm của f (x) ∈ A[x] khi và chỉ khi

f (x) chia hết cho x − α.
Định nghĩa 1.1.11. Cho K là vành giao hoán chứa vành A, f (x) ∈ A[x],

α ∈ K . Nếu tồn tại số tự nhiên k 6= 0 sao cho f (x) chia hết cho (x − α)k
nhưng f (x) không chia hết cho (x − α)k+1 thì α được gọi là nghiệm bội
bậc k của f (x).
Nếu k = 1 thì α được gọi là nghiệm đơn, k = 2 thì α được gọi là nghiệm
kép.
Từ Định nghĩa 1.1.11, ta có ngay bổ đề sau:
Bổ đề 1.1.12. Phần tử α ∈ K là nghiệm bội bậc k của f (x) ∈ A[x] khi
và chỉ khi f (x) chia hết cho (x − α)k .
Sau đây là công thức Viete về mối liên hệ giữa các nghiệm của đa thức
với các hệ số của đa thức đó.

6

Mệnh đề 1.1.13. (Công thức Viete). Cho A là một miền nguyên và

f (x) = a0 + a1 x + ... + an−1 xn−1 + an xn ∈ A[x].
Giả sử α1 , α2 , ..., αn là các nghiệm của f (x) trong một miền nguyên K
chứa A. Khi đó

n
X

αi = (−1)an−1 a−1
n

i=1

X
i
X

αi αj = (−1)2 an−2 a−1
n
...
αi1 αi2 ...αik = (−1)k an−k a−1
n

i1
α1 α2 ...αn = (−1)n a0 a−1
n

1.1.5

Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của đa thức

Trong toàn bộ phần này vành A là một trường.
Định nghĩa 1.1.14. i) Một đa thức a(x) ∈ A[x] gọi là một ước chung
của các đa thức f1 (x), ..., fs (x) ∈ A[x] nếu a(x) là ước của fi (x) với
mọi i = 1, s.
ii) Một ước chung a(x) của các đa thức f1 (x), ..., fs (x) gọi là một ước
chung lớn nhất của f1 (x), ..., fs (x) nếu a(x) là bội của mọi ước chung của

f1 (x), ..., fs (x).
Chú ý rằng ước chung lớn nhất của hai đa thức f (x), g(x) chỉ khác
nhau một nhân tử là hằng số khác 0 thuộc A.
Bổ đề 1.1.15. Cho a(x) ∈ A[x] là ước chung lớn nhất của f (x), g(x) ∈ A[x].
Khi đó đa thức t(x) ∈ A[x] cũng là ước chung lớn nhất của f (x), g(x) nếu
và chỉ nếu tồn tại 0 6= c ∈ A sao cho t(x) = c.a(x).
Ta có thể tìm ước chung lớn nhất của các đa thức dựa vào Định lý phép
chia với dư.
Bổ đề 1.1.16. Giả sử f (x) = g(x)q(x) + r(x), trong đó r(x) = 0 hoặc
deg r(x) < deg g(x). Khi đó đa thức a(x) là ước chung lớn nhất của f (x)
và g(x) nếu và chỉ nếu nó là ước chung lớn nhất của g(x) và r(x).
7


Định nghĩa 1.1.17. i) Một đa thức b(x) ∈ A[x] được gọi là một bội chung
của các đa thức f1 (x), ..., fs (x) ∈ A[x] nếu b(x) là bội của fi (x) với mọi

i = 1, s.
ii) Một bội chung b(x) của các đa thức f1 (x), ..., fs (x) gọi là một bội

chung nhỏ nhất của f1 (x), ..., fs (x) nếu mọi bội chung m(x) của fi (x) với
i = 1, s đều là bội của b(x).
Tương tự như ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của các đa thức

f (x), g(x) chỉ khác nhau các nhân tử là hằng số khác 0 trong A.
Bổ đề 1.1.18. Cho b(x) ∈ A[x] là bội chung nhỏ nhất của f (x), g(x) ∈ A[x].
Khi đó đa thức t(x) ∈ A[x] cũng là bội chung nhỏ nhất của f (x), g(x) nếu
và chỉ nếu tồn tại 0 6= c ∈ A sao cho t(x) = c.b(x).
Sau đây chúng tôi nhắc lại một số kiến thức số học để chuẩn bị cho các
chương sau là: Hàm Euler, Định lý Euler, Fermat, Wilson.

1.2

Một số định lý cơ bản của số học

Định nghĩa 1.2.1. Cho n là số tự nhiên khác 0. Hàm Euler của n ký hiệu
là ϕ(n) xác định như sau
- Nếu n = 1 thì ϕ(1) = 1
- Nếu n > 1 thì ϕ(n) = |{a ∈ N, a < n, (a, n) = 1}|.
Nhận xét 1.2.2. Nếu p ngun tố thì ϕ(p) = p − 1
Ví dụ 1.2.3. ϕ(4) = 2, ϕ(8) = 4, ϕ(5) = 4, ϕ(7) = 6.
Ta có cơng thức tính hàm Euler như sau:
Giả sử n có phân tích tiêu chuẩn n = pα1 1 pα2 2 ...pαk k thì

ϕ(n) = p1α1 −1 (p1 − 1)pα2 2 −1 (p2 − 1)...pαk k −1 (pk − 1).
Hay

1 
1 
1

ϕ(n) = n 1 −
1−
... 1 −
.
p1
p2
pk
Định lý 1.2.4. (Định lý Euler). Cho a là số nguyên, n là số nguyên dương
và (a, n) = 1. Khi đó

aϕ(n) ≡ 1( mod n).
8


Định lý sau là hệ quả của Định lý Euler.
Định lý 1.2.5. (Định lý Fermat). Cho p là số nguyên tố và với a là số
nguyên bất kỳ. Khi đó

ap ≡ a( mod p).
Hoặc phát biểu dưới dạng khác: Cho p là số nguyên tố, a là số nguyên,

(a, p) = 1. Khi đó
ap−1 ≡ 1( mod p).

9


Chương 2
Đồng dư đa thức
Trong chương này chúng tơi trình bày một số vấn đề về đồng dư đa

thức là: Đồng dư đa thức với môđun một đa thức, đồng dư đa thức với
môđun nguyên tố và đồng dư đa thức với môđun lũy thừa nguyên tố. Các
kết quả này được tham khảo ở [2], [4], [6], [7]. Chúng tôi cũng đưa ra đặc
trưng của đồng dư đa thức theo mơđun một đa thức và một số tính chất
của nó.

2.1

Đồng dư đa thức với môđun một đa thức

Trong mục này, chúng tơi trình bày về đồng dư đa thức với mơđun một
đa thức. Các kết quả chính trong mục này chúng tôi tham khảo trong [4].
Trong suốt mục này, ta luôn giả thiết vành A là một trường.
Định nghĩa 2.1.1. [4]. Cho f (x), g(x), p(x) ∈ A[x], p(x) 6= 0. Ta nói đa
.
thức f (x) và g(x) đồng dư theo môđun p(x) nếu f (x) − g(x)..p(x). Nếu

f (x) và g(x) đồng dư theo mơđun p(x) thì kí hiệu là


f (x) ≡ g(x) mod p(x) .
Mệnh đề sau đây chúng tôi đưa ra đặc trưng của đồng dư đa thức với
môđun một đa thức
Mệnh đề 2.1.2. Cho các đa thức f (x), g(x), p(x) ∈ A[x], p(x) 6= 0. Các
khẳng định sau là tương đương


(i) f (x) ≡ g(x) mod p(x) ;
10


(ii) f (x) và g(x) cho cùng một đa thức dư khi chia cho p(x);

(iii) f (x) = g(x) + p(x)t(x) với t(x) ∈ A[x].
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Vì A là một trường nên tồn tại phép chia có dư
trong A[x]. Giả sử f (x) = p(x)q(x) + r(x).
Nếu r(x) 6= 0 thì deg r(x) < deg p(x) và g(x) = p(x)h(x) + s(x).
Nếu s(x) 6= 0 thì deg s(x) < deg p(x).
Ta xét các trường hợp sau:
+ Trường hợp 1. Nếu ít nhất một trong hai đa thức r(x), s(x) bằng 0,
khơng mất tính tổng qt, ta giả sử r(x) = 0. Khi đó,


f (x) − g(x) = p(x) q(x) − h(x) − s(x).


.
.
Vì f (x) ≡ g(x) mod p(x) nên f (x) − g(x)..p(x). Suy ra s(x)..p(x). Điều
này xảy ra khi và chỉ khi s(x) = 0 (vì deg s(x) < deg p(x)).
.
+ Trường hợp 2. Nếu r(x) và s(x) 6= 0 thì f (x) − g(x)..p(x) khi và chỉ khi
.
r(x) − s(x)..p(x). Vì
deg (r(x) − s(x)) = max {deg r(x), deg s(x)} < deg p(x)
nên r(x) − s(x) = 0. Do đó r(x) = s(x).

(ii) ⇒ (iii). Giả sử f (x) = p(x)h(x) + r(x), g(x) = p(x)k(x) + r(x).
Nếu r(x) 6= 0 thì deg r(x) < deg p(x). Khi đó r(x) = g(x) − p(x)k(x).
Do đó, f (x) = g(x) + p(x)t(x) với t(x) = h(x) − k(x).
(iii) ⇒ (i). Hiển nhiên.
Sau đây, chúng tôi đưa ra một số tính chất của đồng dư đa thức
với môđun một đa thức. Chú ý rằng các đa thức trong phần này đều
thuộc A[x].

Định lý 2.1.3. a) Quan hệ đồng dư của các đa thức thuộc A[x] theo môđun
đa thức p(x) là quan hệ tương đương trên A[x];


b) Nếu fi (x) ≡ gi (x) mod p(x) với mọi i = 1, k thì


f1 (x) ± f2 (x) ± ... ± fk (x) ≡ g1 (x) ± g2 (x) ± ... ± gk (x) mod p(x) ;


f1 (x)f2 (x)...fk (x) ≡ g1 (x)g2 (x)...gk (x) mod p(x) ;
11






c) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x) thì f (x)h(x) ≡ g(x)h(x) mod p(x) ;




d) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x) thì f (x)±h(x) ≡ g(x)±h(x) mod p(x) ;




e) Nếu f (x)+h(x) ≡ g(x) mod p(x) thì f (x) ≡ g(x)−h(x) mod p(x) ;




f) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x) thì f (x) + h(x)p(x) ≡ g(x) mod p(x) ;


g) Với t là một số tự nhiên bất kì. Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x) thì


f t (x) ≡ g t (x) mod p(x) ;


h) Nếu fi (x) ≡ gi (x) mod p(x) với mọi i = 1, k . Khi đó với mọi

ui (x) ∈ A[x], i = 1, k thì


u1 (x)f1 (x) + ... + uk (x)fk (x) ≡ u1 (x)g1 (x) + ... + uk (x)gk (x) mod p(x) .




i) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x) thì h(f (x)) ≡ h(g(x)) mod p(x) ;


k) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x) và t(x) là ước chung của f (x), g(x), p(x)
thì
f (x) g(x)
p(x)

≡
mod
;
t(x)
t(x)
t(x)


l) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x) và t(x) là ước chung của f (x), g(x) và


p(x), t(x) = 1 thì

f (x) g(x)
≡
t(x)
t(x)



mod p(x) ;

m) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p1 (x) , f (x) ≡ g(x) mod p2 (x) , ...,




f (x) ≡ g(x) mod pk (x) thì f (x) ≡ g(x) mod p(x) với p(x) ∈ A[x]
là bội chung nhỏ nhất của p1 (x), ..., pk (x);


n) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x) , t(x) là ước của p(x) thì


f (x) ≡ g(x) mod t(x) ;



p) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x) thì (f (x), p(x)) = (g(x), p(x)).
Chứng minh. a) + Với mọi f (x) ∈ A[x], hiển nhiên


f (x) ≡ f (x) mod p(x) .
Do đó quan hệ đồng dư theo mơđun đa thức p(x) có tính chất phản xạ.


.
+ Giả sử f (x) ≡ g(x) mod p(x) . Suy ra f (x) − g(x) .. p(x). Do đó
12




.
g(x) − f (x)..p(x). Kéo theo g(x) ≡ f (x) mod p(x) . Vì thế quan hệ đồng
dư theo mơđun đa thức p(x) có tính chất đối xứng.


+ Với mọi f (x), g(x), h(x) ∈ A[x], giả sử f (x) ≡ g(x) mod p(x) và

.
.
g(x) ≡ h(x) mod p(x) . Suy ra f (x) − g(x)..p(x), g(x) − h(x)..p(x). Do




.
đó, f (x) − g(x) + g(x) − h(x) = f (x) − h(x)..p(x). Hay


f (x) ≡ h(x) mod p(x) .
Suy ra quan hệ đồng dư theo môđun đa thức p(x) có tính chất bắc cầu.


b) Theo giả thiết fi (x) ≡ gi (x) mod p(x) với mọi i = 1, k nên sẽ tồn
tại các đa thức hi (x) ∈ A[x], i = 1, k sao cho

fi (x) = gi (x) + hi (x)p(x).
Do đó,




f1 (x) ± f2 (x) ± ... ± fk (x) = g1 (x) + h1 (x)p(x) ± g2 (x) + h2 (x)p(x)


± ... ± gk (x) + hk (x)p(x)

= [g1 (x) ± g2 (x) ± ... ± gk (x)]
+ [h1 (x) ± h2 (x) ± ... ± hk (x)]p(x).
Vì thế


f1 (x) ± f2 (x) ± ... ± fk (x) ≡ g1 (x) ± g2 (x) ± ... ± gk (x) mod p(x) .
Ta có f1 (x)f2 (x)...fk (x) = [g1 (x) + h1 (x)p(x)]...[gk (x) + hk (x)p(x)].
Suy ra f1 (x)f2 (x)...fk (x) = g1 (x)g2 (x)...gk (x) + p(x)t(x).

Do đó f1 (x)f2 (x)...fk (x) ≡ g1 (x)g2 (x)...gk (x) (mod p(x)).
Các tính chất c, d, e, f, g, h là hệ quả của tính chất b.


i) Giả sử h(x) = a0 + a1 x + ... + an xn . Vì f (x) ≡ g(x) mod p(x) nên


[f (x)]i ≡ [g(x)]i mod p(x) , ∀i = 0, n.


Suy ra ai [f (x)]i ≡ ai [g(x)]i mod p(x) với ∀i = 0, n.
n
n


P
P
Do đó
ai [f (x)]i ≡
ai [g(x)]i mod p(x) .
i=0
i=0





Vì thế h f (x) ≡ h g(x) mod p(x) .
k) Vì f (x) ≡ g(x) (mod p(x)) nên tồn tại h(x) sao cho

f (x) = g(x) + h(x)p(x).
13


Vì t(x) là ước chung của f (x), g(x), p(x) nên ta có

f (x) g(x)

p(x)
=
+ h(x)
.
t(x)
t(x)
t(x)
Vậy

f (x) g(x)
≡
t(x)
t(x)

mod

p(x)

.
t(x)

l) Vì f (x) ≡ g(x) (mod p(x)) nên f (x) − g(x) = p(x)h(x), trong đó
.
h(x) ∈ A[x]. Do t(x) là ước chung của f (x), g(x) nên f (x) − g(x)..t(x).


.
.
Suy ra p(x)h(x)..t(x). Vì p(x), t(x) = 1 nên h(x)..t(x).
Đặt

h(x)

= m(x) ∈ A[x].
t(x)
Suy ra

f (x) − g(x) p(x)h(x)
≡
= p(x)m(x).
t(x)
t(x)
Vậy

f (x) g(x)
≡
(mod p(x)).
t(x)
t(x)


.
m) Vì f (x) ≡ g(x) mod pi (x) , ∀i = 1, k nên f (x)−g(x)..pi (x), ∀i = 1, k .
Suy ra f (x) − g(x) là bội chung của p1 (x), ..., pk (x). Giả sử p(x) là bội
.
chung nhỏ nhất của p1 (x), p2 (x), ..., pk (x). Khi đó, ta có f (x) − g(x)..p(x).
Vậy f (x) ≡ g(x) (mod p(x))
n) Theo giả thiết f (x) ≡ g(x) (mod p(x)) nên tồn tại h(x) sao cho
f (x) = g(x) + h(x)p(x).

(2.1)

Vì t(x) là ước của p(x) nên tồn tại `(x) sao cho

p(x) = t(x)`(x).

(2.2)

Thay (2.2) vào (2.1) ta có f (x) = g(x)+h(x)p(x) = g(x)+[h(x)`(x)]t(x).
Vậy f (x) ≡ g(x) (mod t(x)).


p) Giả sử d(x) = f (x), p(x) , suy ra d(x)|f (x), d(x)|p(x).


Vì f (x) ≡ g(x) mod p(x) nên

f (x) = g(x) + p(x)h(x).
14

(2.3)


Suy ra g(x) = f (x) − p(x)h(x).


Do đó d(x)|g(x). Từ đó ta thấy d(x) là ước chung của g(x), p(x) .
Giả sử m(x) là ước chung của g(x), p(x). Từ (2.3) ta có m(x) là ước
của f (x) nên m(x) là ước chung của f (x), p(x).
Mệnh đề 2.1.4. Giả sử m(x) là một đa thức có bậc lớn hơn hoặc bằng 1
và f (x) là đa thức bất kỳ, f (x) ∈ A[x]. Khi đó f (x) đồng dư theo môđun

m(x) với đa thức duy nhất r(x) mà deg r(x) < deg m(x) và r(x) gọi là
phần dư có bậc nhỏ nhất theo mơđun m(x).
Chứng minh. Theo Định lý phép chia với dư, ta có

f (x) = m(x)q(x) + r(x) với deg r(x) < deg m(x).

Do đó f (x) ≡ r(x) mod m(x) .
Hiển nhiên ta có mệnh đề sau đây
Mệnh đề 2.1.5. Giả sử r ∈ A và f (x) ∈ A[x]. Khi đó


f (x) ≡ f (r) mod (x − r) .
Ví dụ 2.1.6. Cho m(x) = x2 + x + 1 ∈ Z3 [x]. Tìm dư trong phép chia

f (x) = x5 + 2x3 + x2 + 1 cho m(x).
Giải. Ta có

f (x) = m(x)(x2 + 2x + 2) + (x + 1).
Vậy x + 1 chính là phần dư có bậc nhỏ nhất của f (x) theo môđun m(x).

2.2

Tập hợp gồm các lớp tương đương theo quan hệ
đồng dư môđun một đa thức

Cho p(x) ∈ A[x], p(x) 6= 0. Khi đó quan hệ đồng dư theo môđun p(x)
là một quan hệ tương đương trên A[x]. Với mọi f (x) ∈ A[x], lớp tương
đương của f (x) theo quan hệ đồng dư môđun p(x), hay gọi là lớp đồng
dư của f (x) môđun p(x), viết [f (x)]p(x) hoặc [f (x)] nếu p(x) đã rõ.
n



o


[f (x)]p(x) = g(x) ∈ A[x] g(x) ≡ f (x) mod p(x) .

Chú ý rằng [f (x)]p(x) = [g(x)]p(x) khi và chỉ khi f (x) ≡ g(x) mod p(x) .
15


Định nghĩa 2.2.1. Tập hợp gồm các lớp đồng
. dư
của các đa thức thuộc
A[x] theo môđun p(x) được ký hiệu là A[x] p(x) .
Với mọi b(x) ∈ [g(x)]p(x) thì b(x) gọi là đại diện của lớp đồng dư

[g(x)]p(x) . Do đó g(x) là đại diện của [g(x)]p(x) . Theo Định lý phép chia với
dư, với mọi f (x) ∈ A[x], ta có f (x) = p(x)q(x)+r(x). Giả sử deg p(x) = d


thì deg r(x) < d. Suy ra f (x) ≡ r(x) mod p(x) và do đó [f (x)]p(x) =
[r(x)]p(x) . Do r(x) là duy nhất nên mỗi lớp đồng dư môđun p(x) là được
đại diện bởi duy nhất đa thức r(x) ∈ A[x] mà deg r(x) < deg p(x).
Do đó
.
n
o




A[x] (p(x)) = [r(x)]p(x) r(x) ∈ A[x], deg r(x) < deg p(x) .