Phương trình bậc nhất một ẩn

MỤC LỤC

1. Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1. Định nghĩa phương trình bậc nhất . . . . . . . . . . . .

2

1.2. Hai quy tắc biến đổi phương trình . . . . . . . . . . . .

3

2. Phân dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.1. Giải phương trình bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . . . .

4

2.2. Giải và biện luận phương trình ♣am   bqx   cm   d ✏ 0

5

2.3. Tìm điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3. Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1


PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
(Dành cho lớp 8 )
1. Kiến thức cơ bản
1.1. Định nghĩa phương trình bậc nhất
Định nghĩa 1. Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng
ax   b ✏ 0
trong đó:
+ a và b là hai số đã cho và a ✘ 0.
+ x là ẩn.
+ ax   b là vế trái của phương trình và 0 là vế phải của phương trình.
Chú ý 1. Ẩn của phương trình không nhất thiết lúc nào cũng là x, có thể
là y, z, t, ...

Ví dụ 1. Các phương trình sau là phương trình bậc nhất một ẩn x.
1. 2x   1 ✏ 0.
2. x   2 ✏ 0.
3. x ✏ 0.
Ví dụ 2. Các phương trình sau là phương trình bậc nhất một ẩn t:
1. 4t   1 ✏ 0.
2. 2t ✏ 0

2


1.2. Hai quy tắc biến đổi phương trình
a) Quy tắc chuyển vế

Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang
vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
Ví dụ 3. 4x   1 ✏ 0 ta có thể chuyển hạng tử số 1 từ vế phải sang vế
trái và đổi dấu hạng tử đó thành

✁1, khi đó phương trình đã cho trở

thành 4x ✏ ✁1.
Ví dụ 4. 3x ✁ 4 ✏ 0 ta có thể chuyển hạng tử số

✁4 từ vế phải sang

vế trái và đổi dấu hạng tử đó thành 4, khi đó phương trình đã cho trở
thành 3x ✏ 4.
b) Quy tắc nhân với một số
Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số
khác 0.
Ví dụ 5. Ta có thể nhân cả hai vế của phương trình 2x   1

✏ 0 với

số 3 (vì số 3 khác số 0), tức là
3♣2x   1q ✏ 3.0

(1)

Vì a♣b   cq ✏ ab   ac và 3.0 ✏ 0 nên phương trình (1) trở thành
3.2x   3.1 ✏ 0

(2)

Vì 3.1 ✏ 3 và 3.2 ✏ 6 nên phương trình (2) trở thành 6x   3 ✏ 0 .
Vậy nhân cả hai vế của phương trinh 2x   1
phương trình 6x   3 ✏ 0.

3

✏ 0 với số 3 ta được


Ví dụ 6. Ta có thể nhân cả hai vế của phương trình 2x   4 ✏ 0 với
1
1
số (vì số khác số 0), tức là
2
2
1
1
♣
2x   4q ✏ ☎ 0
(3)
2
2
1
Vì a♣b   cq ✏ ab   ac và ☎ 0 ✏ 0 nên phương trình (3) trở thành
2
2x 4
 2 ✏0
(4)
2

2
4
Vì ✏ 1 và ✏ 2 nên phương trình (4) trở thành x   2 ✏ 0.
2
2
1
Vậy nhân cả hai vế của phương trình 2x   4 ✏ 0 cho số ta được
2
phương trình mới x   2 ✏ 0

2. Phân dạng toán
2.1. Giải phương trình bậc nhất một ẩn
Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn
Bước 1: Chuyển vế ax ✏ ✁b.
Bước 2: Nhân hai vế phương trình ax ✏ ✁b với số
Bước 3: Vậy x ✏

✁b .
1
ta được x ✏
a
a

✁b là nghiệm của phương trình đã cho.
a

Tổng quát phương trình ax   b ✏ 0 (a khác 0) được giải như sau:
ax   b ✏ 0 ô ax ✏ ✁b ô x ✏
Vậy x ✏

✁b .

✁b là nghiệm của phương trình đã cho.
a

Ví dụ 7. Giải phương trình sau
a) 2x   4 ✏ 0
b) 2x ✁ 1 ✏ 0
4

a


Giải
a) 2x   4 ✏ 0 ô 2x ✏ ✁4 ô x ✏

✁4 ô x ✏ ✁2. Vậy x ✏ ✁2 là nghiệm
2

của phương trình đã cho.
b) 2x ✁ 1

✏ 0 ô 2x ✏ 1 ô x ✏ 21 . Vậy x ✏ 12

là nghiệm của phương

trình đã cho.

2.2. Giải và biện luận phương trình ♣am   bqx   cm   d ✏ 0
Để giải và biện luận phương trình ♣am   bqx   cm   d ✏ 0 ta thực hiện

các bước sau:
Bước 1: Nếu am   b ✘ 0 ô am ✘ ✁b ô m ✘

✁b ♣a ✘ 0q thì phương
a

trình đã cho có nghiệm duy nhất là
x✏

✁♣cm   dq .
am   b

Bước 2: Nếu am   b ✏ 0 ô am ✏ ✁b ô m ✏

✁b ♣a ✘ 0q thì phương
a

trình đã cho trở thành
0x   c ☎

✁b   d ✏ 0.
a

Và nếu:
+) c ☎

✁b   d ✏ 0 thì phương trình đã cho có vô số nghiệm.

a
✁b

+) c ☎
a

  d ✘ 0 thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Bước 3: Kết luận
Ví dụ 8. Giải và biện luận phương trình ♣m   1qx   m   2 ✏ 0.
Giải

5


Nếu m   1 ✘ 0 ô m ✘ ✁1 thì phương trình có nghiệm duy nhất
x✏

✁♣m   2q .
m 1

Nếu m   1 ✏ 0 ô m ✏ ✁1 thì phương trình đã cho trở thành
0x   ♣✁1q   2 ✏ 0 ô 0x   1 ✏ 0.
Vì 1 ✘ 0 nên với m ✏ ✁1 phương trình đã cho vô nghiệm.

✏ ✁1 thì phương trình đã cho vô nghiệm và với m ✘ ✁1
✁♣m   2q .
phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x ✏
m 1
Vậy với m

Ví dụ 9. Giải và biện luận phương trình ♣m   1qx   4m   4 ✏ 0.
Giải

Nếu m   1 ✘ 0 ô m ✘ ✁1 thì phương trình có nghiệm duy nhất

✁♣4m   4q ✏ ✁4♣m   1q ✏ ✁4.
m 1
m 1
Nếu m   1 ✏ 0 ô m ✏ ✁1 thì phương trình đã cho trở thành
x✏

0x   4.♣✁1q   4 ✏ 0 ô 0x   0 ✏ 0 ô 0x ✏ 0.
Do đó với m ✏ ✁1 phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Vậy với m ✏ ✁1 thì phương trình đã cho có vô số nghiệm và với m ✘ ✁1
phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x ✏ ✁4.

2.3. Tìm điều kiện
Bài toán 1. Tìm điều kiện để phương trình ♣am   bqx   cm   d
nghiệm duy nhất.
Phương pháp giải

6

✏ 0 có


Điều kiện để phương trình ♣am   bqx   cm   d ✏ 0 có nghiệm duy nhất
✁b (a ✘ 0).
là am   b ✘ 0 ô am ✘ ✁b ô m ✘
a
Ví dụ 10. Tìm điều kiện để phương trình ♣m   1qx ✁ m

✏ 0 có nghiệm

duy nhất.
Giải
Điều kiện để phương trình ♣m   1qx ✁ m

✏ 0 có nghiệm duy nhất là

m   1 ✘ 0 ô m ✘ ✁1.

Bài toán 2. Tìm điều kiện để phương trình ♣am   bqx   cm   d

✏ 0 có

vô số nghiệm
Phương pháp giải
Bước 1: Điều kiện để phương trình ♣am   bqx   cm   d

✏ 0 có vô số

nghiệm là am   b ✏ 0 và cm   d ✏ 0.

✏ 0 ô m ✏ ✁ab (a ✘ 0), thay m ✏ ✁ab vào
✁b   d. Và nếu:
cm   d ta được cm   d ✏ c ☎
a
✁b   d ✏ 0 thì kết luận với m ✏ ✁b phương trình đã cho có
+) Nếu c ☎
Bước 2: Ta có am   b

a
vô số nghiệm.

+) Nếu c ☎

a

✁b   d ✘ 0 thì kết luận không có giá trị nào của m để phương

a
trình đã cho có vô số nghiệm.

Ví dụ 11. Tìm điều kiện để phương trình ♣2m   8qx ✁ m ✁ 4
số nghiệm.
7

✏ 0 có vô


Giải
Điều kiện để phương trình ♣2m   8qx ✁ m ✁ 4

✏ 0 có vô số nghiệm là

2m   8 ✏ 0 và

✁m ✁ 4 ✏ 0.
✁8 ô m ✏ ✁4, thay m ✏ ✁4
Ta có 2m   8 ✏ 0 ô 2m ✏ ✁8 ô m ✏
2

vào ✁m ✁ 4 ta được ✁m ✁ 4 ✏ ✁♣✁4q ✁ 4 ✏ 4 ✁ 4 ✏ 0.
Vậy điều kiện để phương trình đã cho có vô số nghiệm là m ✏ ✁4.
Ví dụ 12. Tìm điều kiện để phương trình ♣m   3qx ✁ m   1 ✏ 0 có vô số
nghiệm.
Giải
Điều kiện để phương trình ♣m   3qx ✁ m   1

✏ 0 có vô số nghiệm là

m   3 ✏ 0 và

✁m   1 ✏ 0.
Ta có m   3 ✏ 0 ô m ✏ ✁3, thay m ✏ ✁3 vào ✁m   1 ta được
✁m   1 ✏ ✁♣✁3q   1 ✏ 3   1 ✏ 4 ✘ 0.
Vậy không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Bài toán 3. Tìm điều kiện để phương trình ♣am   bqx   cm   d

✏ 0 có

nghiệm
Phương pháp giải
Phương trình có nghiệm, tức là phương trình có thể có nghiệm duy nhất
hoặc phương trình có vô số nghiệm.
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình ♣am   bqx   cm   d

✏ 0 có

nghiệm duy nhất.
Bước 2: Tìm điều kiện để phương trình ♣am   bqx   cm   d ✏ 0 có vô
số nghiệm.

8


Bước 3: Kết luận.
Ví dụ 13. Tìm điều kiện để phương trình ♣m

  1qx ✁ 4m ✁ 4 ✏

0 có

nghiệm
Giải
Điều kiện để phương trình ♣m   1qx ✁ 4m ✁ 4 ✏ 0 có nghiệm duy nhất
là m   1 ✘ 0 ô m ✘ ✁1.
Điều kiện để phương trình ♣m   1qx ✁ 4m ✁ 4

✏ 0 có vô số nghiệm là
m   1 ✏ 0 và ✁4m ✁ 4 ✏ 0. Ta có m   1 ✏ 0 ô m ✏ ✁1, thay m ✏ ✁1
vào ✁4m ✁ 4 ta được ✁4m ✁ 4 ✏ ✁4.♣✁1q ✁ 4 ✏ 4 ✁ 4 ✏ 0. Suy ra, với
m ✏ ✁1 phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Vì với m ✘ ✁1 phương trình đã cho có nghiệm duy nhất và với m ✏ ✁1
phương trình đã cho có vô số nghiệm nên phương trình đã cho có nghiệm
với mọi giá trị m.
Ví dụ 14. Tìm điều kiện để phương trình ♣m

  2qx ✁ 4m ✁ 4 ✏

0 có

nghiệm

Giải
Điều kiện để phương trình ♣m   2qx ✁ 4m ✁ 4 ✏ 0 có nghiệm duy nhất
là m   2 ✘ 0 ô m ✘ ✁2.
Điều kiện để phương trình ♣m   2qx ✁ 4m ✁ 4

✏ 0 có vô số nghiệm là
m   2 ✏ 0 và ✁4m ✁ 4 ✏ 0. Ta có m   2 ✏ 0 ô m ✏ ✁2, thay m ✏ ✁2
vào ✁4m ✁ 4 ta được ✁4m ✁ 4 ✏ ✁4.♣✁2q ✁ 4 ✏ 8 ✁ 4 ✏ 4 ✘ 0. Do đó
không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Vậy với m ✘ ✁2 thì phương trình đã cho có nghiệm.
9


Bài toán 4. Tìm điều kiện để phương trình ♣am   bqx   cm   d

✏ 0 vô

nghiệm
Phương pháp giải
Bước 1: Điều kiện để phương trình ♣am   bqx   cm   d ✏ 0 vô nghiệm
là am   b ✏ 0 và cm   d ✘ 0.

✏ 0 ô m ✏ ✁ab (a ✘ 0), thay m ✏ ✁ab vào
✁b . Và nếu
cm   d ta được cm   d ✏ c ☎
a
✁b ✏ 0 thì kết luận không có giá trị nào của m để phương
+) cm   d ✏ c ☎
Bước 2: Ta có am   b

a
trình vô nghiệm.

✁b
+) cm   d ✏ c ☎
a
✁
b
là m ✏
.
a

✘ 0 thì kết luận điều kiện để phương trình vô nghiệm

Ví dụ 15. Tìm điều kiện để phương trình ♣m   1qx   2m   2

✏

0 vô

nghiệm
Giải
Điều kiện để phương trình ♣m   1qx   2m   2 ✏ 0 vô nghiệm là m   1 ✏ 0
và 2m   2 ✘ 0.

  1 ✏ 0 ô m ✏ ✁1, thay m ✏ ✁1 vào 2m   2 ta được
2m   2 ✏ 2.♣✁1q   2 ✏ ✁2   2 ✏ 0.
Ta có m

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 16. Tìm điều kiện để phương trình ♣m   1qx   m   2 ✏ 0 vô nghiệm
Giải
Điều kiện để phương trình ♣m   1qx   m   2 ✏ 0 vô nghiệm là m   1 ✏ 0
và m   2 ✘ 0.
10


 1 ✏ 0 ô
m   2 ✏ ✁1   2 ✏ 1 ✘ 0.
Ta có m

m

✏ ✁1,

thay m

✏ ✁1

vào m

 2

ta được

Vậy điều kiện để phương trình đã cho vô nghiệm là m ✏ ✁1.

3. Bài tập luyện tập
Bài tập 1. Giải các phương trình sau
a) 2x   1 ✏ 0

1
c) x   3 ✏ 0
3
Đáp số: a) x ✏

b) 3x ✁ 8 ✏ 0
1
2
d) x   ✏ 0
3
5

✁1 , b) x ✏ 8 , c) x ✏ ✁9, d) x ✏ ✁6
2

3

5

Bài tập 2. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) ♣2m   1qx   3m ✁ 1 ✏ 0

b) 9mx   m ✁ 1 ✏ 0

c) m♣x ✁ mq ✏ x   m ✁ 2

d) 2x ✁ 2m ✏ x ✁ 3

Hướng dẫn giải: c) và d) Sử dụng quy tắc chuyển vế biến đổi phương trình
đã cho về dạng ♣am   bqx   cm   d ✏ 0.

Đáp số:
✁1 : phương trình có nghiệm duy nhất và m ✏ ✁1 : phương trình
a) m ✘
2
2
vô nghiệm.
b) m

✘ 0: phương trình có nghiệm duy nhất và m ✏ 0: phương trình vô

nghiệm.
c) m ✏ 1: phương trình có vô số nghiệm và m ✘ 1: phương trình có nghiệm
duy nhất.
d) Phương trình luôn có nghiệm duy nhất.
Bài tập 3. Tìm điều kiện để các phương trình sau có nghiệm
11


a) ♣3m   2qx ✁ m ✁ 1 ✏ 0

b) ♣m ✁ 1qx   m2 ✁ 1 ✏ 0

c) m♣x ✁ 2q   x♣m ✁ 3q ✏ 0

d) ♣m ✁ 3qx   m2 ✁ 2 ✏ 11

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình về dạng ♣am   bqx   cm   d ✏ 0.
Bài tập 4. Tìm điều kiện để phương trình ♣2m ✁ 4qx   m2
nghiệm

12

✁ 4 ✏ 0 vô