Bài tập đại số đại cương

B ừ HUY HIỂN

4.’

V-GO



BÙI HUY HIỀN

BÀI TẬP
■

DẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG
■

■

(Tái bản lăn th ứ nám)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC


Nhà xuất bản Giáo dục tại TP. Hà Nội giữ quyển công bố tác phẩm.

Mậ tổ chức, cà nhàn muốn sử dụng tảc phẩm óưới mọi hình thức phải ơược sự
đống ý của chủ sở hữu quyển tác giả.
04 - 2009/CXB/297 - 2117/GD

Mã số : 7K 150h9 - DAI

LỜI NÓI ĐẦU
Cuốn Đại sô đại CKƠH^ cùa tác giả Hoàng Xuân Sính từ lâu nay
đã là mội tài liệu hũni ích cho nhiều người làm toán và cả những
người học toán. Đặc biệt nó đã là "sách cấm nang" của nhiểu giáo
viẻn dạy toán trong các trường Đại học Sư phạm, Cao đẳng Sư
phạm và của sinh viên các trường này.
Trong cuốn sách dó tác giả đã đưa ra một khối lượng bài tập
tương đối phong phú, đa dạng và đầy đủ. Tuy vậy, trong đó có
nhiều bài tập nhiều độc già chưa tự giải được. Đế giúp cho độc giả
có một tài liệu hoàn chỉnh vé bộ sách Đại số Đại cương và thuận
lợi trong khi sử dụng nó, chúng tôi biên tập cuốn Bài tập đại sô'đại
cươii^ này.
Ngoài việc giải tường minh tất cả các bài tập trong cuốn Đại s ố
dại cươinỊ của tác giả Hoàng Xuân Sính chúng tôi có lựa chọn đưa
thêm một sô' bài tập nhầm giúp độc giả tham khảo và đi sâu hoíi
vào những nội dung cơ bán trong cuốn sách lí thuyết đã đề cập
đến. Chúng tòi không có tham vọng đưa vào đây những bài tập quá
khó hoặc có nội dung không găn với mục đích đã nêu trên.
Cuốn sách này gồm hai phần. Riần I tóm tắt lí thuyết và các để
toán, phán II là lời giải và hướng dẫn. Mỗi phần gồm sáu chương,
thứ tự các chưoíig được trình bày theo đúng thứ tự các chương mục
trong cuốn Đại sô đại I IÍƠỈIỊÌ.
Trong phđn để toán, đầu mỗi chương có giành một phẩn đê
tóm tất lí thuyết. Trong phần lời giải đối với những bài tập dễ hoặc
cách giải đơn giản chúng tôi chỉ cho lời giải vắn tắt. Đối với những


bài có nhiểu cách giải khác nhau chúng tôi chi trình bày một cách
giải ngấn gọn nhất.

Khi viết cuốn sách này chúng tôi đã nhận được nhiéu điều chỉ
dẫn quý báu của Giáo sư Tiến sĩ Khoa học Hoàng Xuân Sính, lác
giả cuốn Đại số Đại cươiig. Chúng tôi xin bày lỏ lòng biết ơn
chân thành đối với Giáo sư.
Hù Nội. tliihii' 3 Iiăni 1996
TÍH ^ ià


LỜI T ự A C H O LẨN TÁI BẢN C H ỈN H LÍ
Cuồn Bài tÚỊ} Đại sô Dại i inriiỊị dược xuâì bán lần dầu vào năm
1996. Từ khi phát hành, nó đã dược nhiều độc giả tìm đọc và sir
dụng. Vì lí do đó cho iới nay CUÔÌI sách đã íỉược tái bán nhiểu lần
với sô lưtyiig phát hành khá lứn.
Do sự phát triên khỏnti ngừng cúa Toán học hiện đại nên
chương Irình giảng dạy niỏii Tọáii ớ nhiều trường Đại học luôn
thay dối. Đặc biệt, gần dây chưtnig trình Đại sò và Số học ở Khoa
Toán cứa các trưòìig Đại học đã có sự thay đổi và điều chỉnh đáng
kể nhằm đáp ứng sự phát triến chung của Toán học và phù hợp với
nãng lực học lập của sinh vièn trong giai đoạn mới.
Theo yêu cầu của Nhà xuất bán Giáo dục và theo yêu cầu của
nhiều độc giả, một lần nữa, chúng tỏi cho tái bản cuốn sách này và
bổ sung thẽiTi nhiều bài tập mang tính chất định tính.
•

Chúng tỏi xin chân thành cám ơn những độc giả đã có nhiều ý
kiến đóng góp cho cuốn sách trong những lần phát hành trước. Hi
vọng cuốn sách này vẫn sẽ là tài liệu học tập và tham khảo hữu ích
cho sinh viên và học viên Cao h(K ớ các trường Đại học.
Hà Nội. thúng Ị năm 2005
rf« /• • -/

I ác ịỊici

5


BẨNÍỈ KÍ HIỆU
K í hiệu

Định nghĩa
Kí hiệu cúa phép phù định

p, p

Phú định của p

A

Kí hiệu của phép hội

pAq

V
pVq

->
p —>q

p và q

Kí hiệu của phép tuyển

p hoặc q

Kí hiệu của phép kéo theo
p kéo theo q
Kí hiệu của phép tương đương

p<->q
t= p
3
3 X P(x)
V
V X P(x)
P ( x ,y , ...,z ) = Ọ (x,y, ...,z )

p tương đưcmg q
p là một luật ỉôgic
Lượng từ tồn tại
Tồn tại X, P(x)
Lượng từ tổng quát
Với mọi X, P(x)
P ( x , y , z ) băng Ọ(x, y, ...,z)
p (x, y , . . z) tương đương lỏgic với
Ọ(x, y...... z)

6

N

Tập hợp các sô tự nhiên

z

Tập hợp các số nguyên


Q

Tập horp các số hữu tỉ

R

Tập hựp các sở ihực

c

Tập h(Ịfp các số phức
a là ước cúa b

a \b
A c B (A c B)
B 3 A (B 3 A)

A là tập con cùa tập hợp B

A- B

Hiệu cúa hai tập hợp A và B

A uB

Hợp của hai tập hợp A và B

A nB

Giao của hai tập hợp A và B
Tập hợp rỗng

0

CaB
A XB

Phần bù của tập hợp B trong A
Tích Đề-các của hai tập hợp A và B
Họ phần tử chỉ số hoá bời tập I
Họ tập hợp chỉ số hoá bởi tập 1
Cặp phần tử

(a, b)
Ọ

Bình phưong Đề-các của tập A

O A .

Tích Để-các của họ tập hợp

16

A1

f :X

Aj

Luỹ thừa Đề-các bậc I của tập hợp A
Y

f

Ánh xạ f từ X đến Y

X->Y

7


•x- '^x
Hom (X, Y)

Ánh xạ đổng nhất của tập X
Tập hợp các ánh xạ từ X đến Y

S(X)

Tập hợp các song ánh từ X đến Y

<A>

Nhóm sinh bời tập hợp A

<x>

Nhóm xyclic sinh bời phần tử X
Nhóm các phép thế bậc n

Sn
■AX)

Tập hợp các bộ phận cùa tập hợp X

C(G)

Tâm cúa nhóm G
Iđêan chính sinh bởi phần tử a

(a)
A sB

Hai nhóm (vành, trường) A và B đãng
cấu với nhau

AỊxl

Vành đa thức của ẩn X trên vành A

A(x)

Trường phàn thức của ẩn X trên miển
nguyên A

A|X|, X2,
C(a)
ã

Xnl

Vành đa thức của n ẩn X|, X2,
trên vành A

x„

Lớp các phần tử tưomg đương với phần
tử a
Ảnh của đồng cấu f

Kerf

Hạt nhân của đổng cấu f

G

Nhóm thương của nhóm G trên nhóm
con chuẩn tắc H

V.

8

H

Vành thương cua vành V trên iđêan I