Tóm tắt Sửa chữa sai lầm của học sinh trong dạy học giải toán xác suất lớp 11 trung học phổ thông

1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Ngày nay, trí tuệ con người được xem là yếu tố hàng đầu thể hiện quyền lực và sức
mạnh một quốc gia nhiều nước trên thế giới đều đã ý thức được rằng giáo dục không chỉ là
phúc lợi xã hội, mà thực sự là đòn bẩy quan trọng để phát triển kinh tế, phát triển xã hội.
Tổng Bí thư Đỗ Mười cũng đã từng nói nhân dịp khai giảng năm học 1995 - 1996:
“Con người là nguồn lực quý báu nhất, đồng thời là mục tiêu cao cả nhất. Tất cả do con
người và vì hạnh phúc của con người, trong đó trí tuệ là nguồn tài nguyên lớn nhất của
quốc gia. Vì vậy, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng và trọng dụng nhân tài là vấn đề có tầm
chiến lược, là yếu tố quyết định tương lai của đất nước.
Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí
tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động
và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư
cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc
sống. Môn toán luôn là môn học quan trọng nhất của tất cả các cấp học, từ lớp mẫu giáo,
cấp tiểu học, cấp trung học cơ sở, trung học phổ thông và cấp độ đại học. Ở từng giai
đoạn, môn toán sẽ luôn bổ sung cho nhau ở một cấp độ cao hơn, như từ thấp đến cao. Và
quan trọng hơn nữa cũng là môn hỗ trợ cho môn vật lý,hóa học, sinh học và các môn học
khác.
Xác suất thống kê là một ngành của Toán học, nghiên cứu về các hiện tượng ngẫu
nhiên mang tính quy luật. Do đó ngành Toán học này rất cần thiết đối với đời sống con
người, nhằm khám phá ra các quy luật của tự nhiên và xã hội. Mặt khác, các vấn đề thuộc
phương pháp và kĩ thuật tính toán về Lí thuyết tổ hợp và Xác suất áp dụng rất nhiều trong
khi giải quyết những bài toán thực tiễn phức tạp của đời sống.
Chủ đề Xác suất trong chương trình giải tích bậc THPT là chủ đề hoàn toàn mới
trong đó xuất hiện rất nhiều những thuật ngữ, kí hiệu, khái niệm mới. Vì vậy việc dạy và
học chủ đề này đương nhiên sẽ chứa đựng những khó khăn nhất định và những sai lầm
khi giải toán xác suất.
Xuất phát từ những lí do trên, tôi xin lựa chọn đề tài nghiên cứu “Sửa chữa những
sai lầm của học sinh trong dạy học giải toán xác suất lớp 11 trung học phổ thông”.

2. Mục tiêu nghiên cứu
Xác định được những khó khăn, sai lầm và nguyên nhân dẫn đến những sai lầm
thường gặp trong giải toán xác suất của học sinh Trung học phổ thông. Từ đó, đề xuất


2
một số giải pháp sửa chữa những sai lầm đó cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng
học tập môn toán của học sinh.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Sửa chữa sai lầm của học sinh trong dạy học giải toán xác suất
lớp 11 trung học phổ thông
- Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học xác suất lớp 11 ở trường Trung học phổ thông.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Dạy học xác suất ( Đại số và giải tích 11 cơ bản) ở một số trường THPT trên địa bàn
tỉnh Phú Thọ.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu xác định được những khó khăn và sai lầm mà học sinh hay mắc phải và đề xuất
được các biện pháp sửa chữa những sai lầm đó trong dạy học xác suất thì sẽ góp phần
nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán ở trường Trung học phổ thông.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về những về những khó khăn và sai lầm thường gặp khi giải toán
- Tìm hiểu mục tiêu, nội dung dạy học xác suất
- Tìm hiểu về thực trạng của việc giải toán xác suất
- Tìm hiểu về những khó khăn, sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán xác suất
- Đề xuất một số biện pháp sư phạm giúp học sinh phát hiện, sửa chữa và hạn chế
dẫn những sai lầm khi giải toán về xác suất
- Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của các biện pháp sửa chữa
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung
chính của luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2. Một số biện pháp sư phạm khắc phục sai lầm và sửa chữa sai lầm trong
giải toán xác suất.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Dạy học giải bài tập toán ở trường Trung học phổ thông
1.1 .Chức năng của bài toán
Theo từ điển Toán học: Toán học là một ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ
đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.
Mỗi bài tập toán đều chứa đựng một cách tường minh hay không tường minh những


3
chức năng khác nhau. Những chức năng này đều hướng tới việc thực hiện các mục đích
dạy học. Trong môn toán, các bài tập mang các chức năng sau [19]
* Chức năng dạy học:
Bài tập toán nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo
ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
* Chức năng giáo dục:
Bài toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú
học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
* Chức năng phát triển:
Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh, đặc biệt rèn luyện
những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học.
* Chức năng kiểm tra:
Bài tập toán còn nhằm đánh giá mức độ về kết quả dạy và học, đánh giá khả năng
độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh.
1.2. Vai trò của việc giải bài tập toán
Theo Nguyễn Bá Kim vai trò của bài tập toán được thể hiện trên ba bình diện
sau[8]:

- Về mặt mục tiêu dạy học: bài tập toán thể hiện những chức năng khác
nhau hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn Toán như:
+ Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng Toán học ở
những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học;
+ Phát triển năng lực trí tuệ chung: Rèn luyện các thao tác tư duy, hình thành các
phẩm chất trí tuệ;
+ Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như những phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
- Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán là một phương tiện để cài đặt nội dung
dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã học ở phần lý
thuyết.
- Về mặt phương pháp dạy học: Bài tập toán là giá mang những hoạt động để
học sinh kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục
đích dạy học khác. Khai thác tốt bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức tốt cho học
sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng
tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu


4
1.3. Hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh
Khi tiến hành hình thành kĩ năng cho h ọc s inh , giáo viên cần:
- Giúp học sinh biết cách tìm và nhận ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối
quan hệ giữa chúng.
- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các đối tượng cùng
loại.
- Xác lập được mối liên hệ giữa bài toán mô hình khái quát và các kiến thức
tương ứng.
Để hình thành một kĩ năng cần được tiến hành thông qua các hoạt động luyện tập, củng
cố, vận dụng thông qua việc thực hiện các thao tác, hành động và diễn ra theo một quy trình
trong một khoảng thời gian nhất định.

1.4. Dạy học giải bài tập toán ở Trường trung học phổ thông
Thông qua giải bài tập toán, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao
gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt
động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt
động trí tuệ trung và những hoạt động ngôn ngữ.
Dạy học giải bài tập toán không chỉ là giáo viên hướng dẫn học sinh trình bày
một lời giải đúng đắn, đầy đủ và chính xác mà giáo viên còn phải biết cách hướng dẫn
học sinh thực hành giải bài tập theo yêu cầu của phương pháp tìm tòi lời giải. K hông
chỉ đơn thuần cung cấp lời giải bài toán cho học sinh mà là giúp học sinh làm thế
nào đề giải được bài toán. Để giúp tăng hứng thú học tập cho học sinh, phát triển tư duy, rèn
luyện kỹ năng và hoạt động độc lập sáng tạo cho họ, giáo viên phải hình thành cho học sinh
một quy trình chung và các phương pháp tìm tòi lời giải một bài toán.
1.4.1. Vấn đề lựa chọn các bài tập toán
Hệ thống bài tập được lựa chọn cần phải thoả mãn một số yêu cầu sau:
- Bài toán phải đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp để học sinh từng bước
hiểu được một cách vững chắc và có kỹ năng, kỹ xảo vận dụng các kiến thức đó và
đồng thời cũng tăng khả năng thích thú của người học trong học toán và giải toán.
- Các bài tập phải có liên hệ mật thiết với nhau nhằm hoàn chỉnh hệ thống kiến
thức của học sinh, giúp các em nắm vững kiến thức.
- Hệ thống bài tập phải giúp cho học sinh hiểu được phương pháp giải từng bài
toán cụ thể. Vì vậy, học sinh cần được bắt đầu từ những bài tập đơn giản, sau đó tăng
dần độ khó, việc giải bài tập sáng tạo được coi là kết thúc việc giải hệ thống những bài
tập đã được lựa chọn.


5
1.4.2. Dạy học phương pháp giải bài tập toán
Để giải bài toán ta có thể thực hiện theo các quy trình như sau :
“ Bước 1. Tìm hiểu nội dung đề bài
- Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh
- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Bước 2. Tìm cách giải
- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái
đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm
với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một
trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử
dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy
nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích,…
- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết
quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan,…
- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất.
Bước 3. Trình bày lời giải
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm
các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4. Nghiên cứu sâu lời giải
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.” [8]
1.4.3. Hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
Một số kiểu hướng dẫn giải bài tập tuỳ theo mục đích sư phạm của việc giải bài
tập gồm:
- Hướng dẫn theo mẫu: Sự hành động theo một mẫu đã có thường gọi là hướng
dẫn theo mẫu hay hướng dẫn Angôrit. Hướng dẫn theo mẫu là hướng dẫn, chỉ rõ cho
học sinh những hành động cụ thể cần thực hiện và trình tự thực hiện các hành động đó
để đi đến kết quả cần tìm.
- Hướng dẫn tìm tòi: Hướng dẫn tìm tòi là kiểu hướng dẫn mang tính chất gợi ý cho
học sinh suy nghĩ, tìm tòi phát hiện cách giải quyết, không phải là giáo viên hướng dẫn cho
học sinh chấp hành theo mẫu đã có mà là giáo viên gợi mở để học sinh giải quyết.
- Kiểu hướng dẫn khái quát chương trình hoá: Đây cũng là kiểu hướng dẫn cho học
sinh tự tìm tòi giải quyết tuy nhiên nét đặc trưng của kiểu hướng dẫn này là giáo viên định

6
hướng tư duy cho học sinh theo đường lối, khái quát của việc giải quyết vấn đề.
1.5. Quan niệm về sai lầm của học sinh trong khi giải toán
1.5.1. Quan điểm trong phương pháp dạy học theo thuyết hành vi
Thuyết hành vi quan niệm rằng: Sai lầm của học sinh là một hiện tượng tiêu cực, có
hại cho việc lĩnh hội kiến thức và do đó cần tránh, nếu gặp thì cần khắc phục.
1.5.2. Quan điểm của theo thuyết kiến tạo về sai lầm của học sinh
Thuyết Kiến tạo quan niệm rằng "sai lầm không đơn giản do thiếu hiểu biết, mơ hồ
hay ngẫu nhiên sinh ra mà còn là hậu quả của một kiến thức trước đây đã từng có hữu
ích và đem lại thành công, nhưng bây giờ tỏ ra sai hoặc đơn giản là không còn thích
hợp nữa. Trong hoạt động của giáo viên cũng như của học sinh, sai lầm bao giờ cũng
góp phần hình thành nên nghĩa của kiến thức lĩnh hội được".[21]
1.5.3. Quan điểm trong phương pháp dạy học theo Thuyết tình huống
Sai lầm ở đây có thể hiểu theo các chướng ngại của thuyết Tình huống, ở đây chủ
yếu chúng ta quan tâm tới những chướng ngại mà học sinh có thể tránh được trong quá
trình tìm kiếm tri thức Toán học nói chung và giải Toán nói riêng.
2. Dạy học giải toán Xác suất ở trường Trung học phổ thông
2.1. Nội dung của chương xác suất
- Ở bậc THPT (Chủ yếu là ở lớp 10 và 11):
+ Lớp 10: Tiếp tục cung cấp cho HS một cách có hệ thống những kiến thức, kĩ
năng của phương pháp trình bày số liệu thống kê, phương pháp thu gọn số liệu thống
kê nhờ các số đặc trưng của bảng số liệu. Cụ thể bao gồm những nội dung sau: Bảng
phân bố tần số, bảng phân bố tần suất, bảng phân bố tần số ghép lớp, bảng phân bố tần
suất ghép lớp, biểu đồ hình cột, biểu đồ hình quạt, đường gấp khúc tần số (tần suất), số
trung vị, mốt, số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn.
+ Lớp 11: Trang bị cho HS những kiến thức cơ bản của đại số tổ hợp gồm các quy
tắc cộng và nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp (không lặp), khai triển Niutơn. Về nội
dung xác suất, HS được tìm hiểu định nghĩa cổ điển của xác suất, mô tả không gian

mẫu, mô tả các biến cố liên quan với phép thử, tính xác suất theo định nghĩa, các quy
tắc cộng xác suất, nhân xác suất, mối liên hệ giữa các biến cố đối, biến cố độc lập và
định nghĩa thống kê của xác suất …
2.2.

Vai trò và ý nghĩa của nội dung chương xác suất

2.2.1. Vai trò của Xác suất trong hoạt động thực tiễn của loài người
Một số ứng dụng của Lí thuyết xác suất: Trong vật lí phân tử, để nghiên cứu các hệ
rất nhiều phân tử, phương pháp động lực học là bất lực, mà phải sử dụng phương pháp


7
Thống kê – xác suất. Lí thuyết xác suất được sử dụng rộng rãi trong sinh vật học. Và
hiện nay di truyền học hiện đại đang tiếp tục sử dụng rộng rãi các phương pháp Thống
kê xác suất. Sự vận dụng các phương pháp Thống kê xác suất trong việc tổ chức và
điều khiển nền sản xuất đã mang lại cho nền kinh tế quốc dân nhiều lợi ích rất to lớn.
2.2.2. Vai trò và ý nghĩa của việc đưa chủ đề Tổ hợp và Xác suất vào môn Toán
trong chương trình phổ thông
Theo Nguyễn Bá Kim thì "Thống kê Toán và Lí thuyết xác suất lại có nhiều khả
năng trong việc góp phần giáo dục thế giới quan khoa học cho học sinh. Bởi vậy ngay
từ những năm cuối thập kỉ 50 của thế kỉ XX, nhưng kết quả nghiên cứu của các nhà
Toán học và Sư phạm trên thế giới đã khẳng định một số tri thức cơ bản của Thống kê
toán và Lí thuyết xác suất phải thuộc vào học vấn phổ thông, tức là khẳng định sự cần
thiết đưa một số yếu tố của các lĩnh vực đó vào môn Toán ở trường phổ thông" [9]
3. Thực trạng việc dạy và học giải toán xác suất ở trường Trung học phổ thông
3.1. Điều tra từ giáo viên
- Phương pháp dạy học truyền thống vẫn được sử dụng phổ biến (6/8 GV chiếm
75%). Nhiều giáo viên trong quá trình dạy học môn toán nói chung, dạy học tổ hợp
xác suất nói riêng chưa thực sự quan tâm nhiều đến việc phát hiện và sửa chữa sai lầm

cho học sinh.
- Giáo viên gặp nhiều khó khăn trong việc đưa ra hệ thống bài tập về tổ hợp, xác
suất phong phú sao cho có thể phán đoán tương đối chính xác những sai lầm học sinh dễ
mắc phải ( 5/8 GV chiếm 62,5%). Hệ thống bài tập nhiều khi còn lặp lại nhiều lần, điều
này dễ gây nhàm chán cho học sinh đặc biệt những học sinh khá, giỏi.
- Việc sử dụng các phương pháp dạy học kết hợp với những biện pháp cụ thể để
khắc phục sai lầm cho học sinh trong học tập chủ đề tổ hợp, xác suất vẫn chưa được quan
tâm đúng mức của một số giáo viên ( 5/8 GV chiếm 62,5%).
3.2. Điều tra từ học sinh
- Nhiều học sinh cảm thấy trừu tượng, khó dẫn đến ngại, không hứng thú khi học tổ
hợp, xác suất ( 245/360 chiếm 68,1%).
- Nhiều học sinh đã không kiên trì để khắc phục khó khăn, sai lầm dẫn đến thiếu
động lực, tự tin khi giải quyết các vấn đề khác của chủ đề mà giáo viên giao
cho ( 210/360 chiếm 58,3% ).
- Khả năng tự học, tự tìm thấy sai lầm của mình ở nhiều học sinh còn kém ( 196/360
chiếm 54,4% ).
- Nhiều học sinh khi làm bài tập xong không kiểm tra lại, hoặc có kiểm tra cũng


8
không phát hiện mình mắc lỗi ở đâu dẫn đến kết quả bài toán bị sai ( 127/360 chiếm
35,3% ).
4. Những khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán xác suất
4.1. Khó khăn do học sinh còn thiếu khả năng trực giác xác suất
Nếu các yếu tố của Đại số và hình học có được chỗ dựa là trực giác số và trực giác
không gian tương ứng của học sinh thì đối với các yếu tố của lí thuyết xác suất cơ sở
tương tự là không có. Trực giác xác suất là trực giác toán học được thể hiện trong
nghiên cứu các tình huống xác suất (được hiểu theo nghĩa rộng, bao gồm cả những
tình huống trong các mô hình toán học - xác suất, lẫn những tình huống thực tiễn
mang đặc trưng xác suất). Chính điều này dẫn đến những khó khăn ở học sinh khi

học các yếu tố của lí thuyết xác suất.
Ví dụ: Gieo ngẫu nhiên hai đồng tiền cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các
biến sau:
a) A: “Mặt sấp xuất hiện hai lần”
b) B: “ Mặt sấp xuất hiện một lần”
c) C: “ Mặt sấp không xuất hiện”
Có HS giải như sau:
Phép thử T: “ Gieo ngẫu nhiên hai đồng tiền cân đối và đồng chất” . Khi đó sẽ xảy
ra một trong những biến cố: A; B; C và các kết quả là đồng khả năng
Khi đó P( A)  P( B)  P(C ) 

1
3

Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Ở bài toán này đòi hỏi học sinh có sự
tưởng tượng các khả năng xảy ra khi gieo hai đồng tiền cân đối đồng chất. Học sinh cần
phải nhận thấy rằng:
- Biến cố A có một khả năng xảy ra đó là cả hai đồng tiền cùng xuất hiện mặt sấp
- Biến cố B có hai khả năng xảy ra:
Trường hợp 1: Đồng tiền thứ nhất xuất hiện mặt sấp, đồng tiền thứ hai xuất hiện một
ngửa.
Trường hợp 2. Đồng tiền thứ nhất xuất hiện mặt ngửa, đồng tiền thứ hai xuất hiện mặt
sấp.
Biến cố C có một khả năng xảy ra đó là cả hai đồng tiền cùng xuất hiện mặt ngửa
Như vậy: biến cố B có hai khả năng xảy ra và nhiều hơn biến cố A và C nên ba biến cố A;
B; C không thể là đồng khả năng.


9
Điều này cho thấy HS chưa hiểu đúng về khái niệm không gian mẫu, do còn thiếu khả

năng trực giác xác suất nên dẫn đến học sinh bị ngộ nhận các biến cố là đồng khả năng.
Lời giải đúng
Không gian mẫu:    SS , SN , NS , NN 
Vì đồng tiền cân đối và đồng chất nên các kết quả đồng khả năng xảy ra
a) Biến cố A có một khả năng xảy ra: P( A) 

n( A) 1

n ( ) 4

b) Biến cố B có hai khả năng xảy ra: P( B) 

n( B ) 2 1
 
n ( ) 4 2

c) Biến cố C có một khả năng xảy ra: P(C ) 

n(C ) 1

n ( ) 4

4.2. Sai lầm do chưa nắm vững mối quan hệ giữa ngữ nghĩa và cú pháp của
ngôn ngữ tổ hợp - xác suất
Nhiều thuật ngữ và kí hiệu Toán học đã được mọi người thừa nhận và sử dụng thống
nhất. Nhưng do quan niệm hoặc do thói quen, một số nhà Toán học hoặc một số quốc gia
có thể sử dụng những kí hiệu và thuật ngữ khác nhau ứng với cùng một khái niệm, hoặc
sử dụng cùng một thuật ngữ hoặc cùng một kí hiệu ứng với những khái niệm khác nhau.
Ví dụ: Với các chữ số: 0;1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số trong
đó chữ số 1 có mặt hai lần và các số khác chỉ xuất hiện một lần.

Có HS giải như sau:
Gọi số cần tìm có dạng: a1a2 a3a4 a5 a6 a7
Với 2 vị trí nào đó có 2 chữ số 1 sẽ có 2 ! hoán vị như nhau
Ta có: a1 có 5 cách chọn
a2 có 6 cách chọn
a3 có 5 cách chọn
a4 có 4 cách chọn
a5 có 3 cách chọn
a6 có 2 cách chọn
a7 có 1 cách chọn

Vậy số a1a2 a3a4 a5 a6 a7 có 5.6.5.4.3.2.1=3600 cách chọn
Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Ở bài toán này chữ số 1 có mặt hai lần
nên lúc này ta coi như hai số 1 này là khác nhau. Khi đó tập hợp số ban đầu là:
{ 0;1;1;2;3;4;5}. Do vậy số a1 phải có 6 cách chọn.


10
Tuy nhiên học sinh đã không để ý đến điều kiện chữ số 1 có mặt hai lần dẫn đến
chọn số a1 có 5 cách chọn là sai.
Lời giải đúng
Gọi số cần tìm có dạng: a1a2 a3 a4 a5 a6 a7
Do chữ số 1 có mặt hai lần nên lúc này ta coi như hai số 1 này là khác nhau. Khi đó tập
hợp số ban đầu là: { 0;1;2;3;4;5;1}
Với 2 vị trí nào đó có 2 chữ số 1 sẽ có 2 ! hoán vị như nhau
Ta có: a1 có 6 cách chọn
a2 có 6 cách chọn
a3 có 5 cách chọn
a4 có 4 cách chọn
a5 có 3 cách chọn

a6 có 2 cách chọn
a7 có 1 cách chọn

Vậy số a1a2 a3 a4 a5 a6 a7 có 6.6.5.4.3.2.1=4320 cách chọn
4.3. Khó khăn khi nhận thức các suy luận có lý trong sự phân biệt với suy luận
diễn dịch
Khi giải các bài toán Xác suất đặc biệt là các bài toán có nội dung thực tiễn, học
sinh buộc phải sử dụng kết hợp các suy luận hợp lí và các suy luận diễn dịch trong trình
bày và chứng minh các kết quả đã thu được. Kĩ năng này là hoàn toàn mới đối với học
sinh, vì thế học sinh không tránh khỏi những khó khăn nhất định.
Ví dụ: Chính vì chưa nắm được sự suy luận hợp lí trong suy luận diễn dịch nên có
HS giải thích như sau: Khi biết rằng “Xác suất để xạ thủ H bắn trúng bia (khi xạ thủ đó
bắn vào bia một viên đạn) bằng 0,8” có nghĩa là cứ 10 lần cho xạ thủ H bắn vào bia một
viên đạn trong những điều kiện cơ bản không đổi của trường bắn thì có đúng 8 lần xạ
thủ H bắn trúng bia.
Cách giải thích trên là hoàn toàn sai, để khắc phục sự những khó khăn đó chúng
tôi sẽ giải quyết ở chương 2 của Luận văn.
4.4. Khó khăn khi nhận dạng và thể hiện các khái niệm về tổ hợp - xác suất
Thực tiễn sư phạm cho thấy trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắm
vững nội hàm và ngoại diên khái niệm sẽ dẫn tới học sinh hiểu không trọn vẹn, thậm chí


11
hiểu sai lệch bản chất khái niệm. Mặt khác, nhiều khái niệm Toán học là sự mở rộng
hoặc thu hẹp của khái niệm trước đó, việc không nắm và hiểu không đúng khái niệm có
liên quan làm học sinh không hiểu, không có biểu tượng đúng về khái niệm mới. Trong
nhiều trường hợp, học sinh không hiểu rõ bản chất của các khái niệm tổ hợp – xác suất
do đó dẫn đến sai lầm khi giải toán.
Ví dụ : Có bốn bạn học sinh: An, Bình, Chiến, Đức. Có bao nhiêu cách chọn ra 3
bạn để làm vào ban cán sự lớp (lớp trưởng, lớp phó, bí thư)?

Có HS giải như sau:
3
Số cách chọn 3 trong 4 bạn vào ban cán sự lớp là: C4 

4!
 4 cách chọn
3!.1!

Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Đây là bài toán có sự sắp xếp giữa các
chức vụ ( lớp trưởng, lớp phó, bí thư) học sinh cần dùng công thức chỉnh hợp để tính.
Tuy nhiên, vì chưa nắm vững được những kiến thức về tổ hợp và chỉnh hợp nên dẫn đến
không biết khi nào cần dùng tổ hợp khi nào dùng chỉnh hợp.
Lời giải đúng:
3
Số cách chọn 3 trong 4 bạn vào ban cán sự lớp là: A4  4.3.2  24 cách chọn

4.5. Sai lầm liên quan đến suy luận, phân chia bài toán thành các trường hợp
riêng
Học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm khi giải những bài toán có liên
quan đến việc phân chia trường hợp. Nhìn từ góc độ tổng quát thì việc phân chia trường
hợp trong quá trình giải Toán vô cùng phong phú và đa dạng, nó không theo một khuôn
mẫu cố định nào. Do đó, khi thực hiện học sinh gặp rất nhiều khó khăn, mắc phải rất
nhiều sai lầm, thậm chí không tìm ra được cơ sở để phân chia trường hợp.
Ví dụ: Trên giá sách có 3 ngăn. Ngăn thứ nhất có 8 quyển sách Toán khác nhau,
ngăn thứ hai có 7 quyển sách Ngữ Văn khác nhau và ngăn thứ ba có 9 quyển sách Tiếng
Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn ra 2 quyển sách loại khác nhau?.
Có HS giải như sau:
Một học sinh đã giải như sau:
Tổng số quyển sách là: 8+7+9=24 quyển
2

Số cách chọn 2 quyển sách loại khác nhau là: C24  552 cách

Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Bài toán có 3 loại sách: Toán, Ngữ văn
và Tiếng anh mà chỉ chọn ra 2 loại nên sẽ có 3 trường hợp xảy ra:
TH1: 1 quyển sách toán và 1 quyển sách Ngữ văn
TH2: 1 quyển sách toán và 1 quyển sách Tiếng anh


12
TH3: 1 quyển sách Ngữ văn và 1 quyển sách Tiếng anh
Ở lời giải trên, học sinh chưa biết cách suy luận bài toán cũng như phân chia bài
toán thành các trường hợp riêng nên đã xét thiếu trường hợp.
Lời giải đúng
Để chọn ra hai quyển sách khác nhau thì có 3 trường hợp sau xảy ra:
TH1: Chọn ra 1 quyển sách toán và 1 quyển sách văn
Có: 8.7 = 56 cách chọn
TH2. Chọn ra 1 quyển sách toán và 1 quyển sách tiếng anh
Có 8.9=72 cách chọn
TH3. Chọn ra 1 quyển sách văn và 1 quyển sách tiếng anh
Có 7.9=63 cách chọn
Vậy ta có số cách chọn hai quyển khác nhau là:
56+72+63=191 cách chọn
4.6. Sai lầm khi thực hiện các phép biến đổi tương đương
Học sinh thường mắc phải sai lầm khi thực hiện chuyển đổi bài toán bằng các phép
biến đổi tương đương
1
2
3
Ví dụ: Giải phương trình: C x  C x  Cx 

5
x
3

Có HS giải như sau:

5
C1x  Cx2  Cx3  x
3
x( x  1)! x ( x  1)( x  2)! x( x  1)( x  2)( x  3)! 5
�


 x
1( x  1)!
2!( x  2)!
3!( x  3)!
3
� 6 x  3x( x  1)  x( x  1)( x  2)  10 x
� 6 x  3x 2  3x  x 3  3 x 2  2 x  10 x  0
�  x3  6 x 2  9 x  0
�  x( x  3)2  0
� x  0; x  3
Nguyên nhân nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Đối với bài này, yêu cầu học sinh

�

Cnk 
cần nhớ công thức tính của tổ hợp �
�

�
n!
và điều kiện của k  0 �k �n 
k !(n  k )! �
�

khi giải toán. Ở lời giải trên học sinh đã áp dụng đúng công thức tính tổ hợp tuy nhiên ở
phần kết luận học sinh đã không để ý đến điều kiện của k và n dẫn đến kết luận sai.


13
Lời giải đúng:

5
C 1x  Cx2  Cx3  x
3
1 �x
�
�
2 �
x
ĐKXĐ: �
�
3 �x
�

x 3

5

C 1x  C x2  Cx3  x
3
�

x( x  1)! x( x  1)( x  2)! x( x  1)( x  2)( x  3)! 5


 x
1( x  1)!
2!( x  2)!
3!( x  3)!
3

� 6 x  3 x( x  1)  x( x  1)( x  2)  10 x
� 6 x  3 x 2  3x  x 3  3 x 2  2 x  10 x  0
�  x3  6 x 2  9 x  0
�  x( x  3) 2  0
� x  0; x  3
Vì x �3 nên x=0 ( loại) và x=3 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm: x=3
5. Kết luận chương I
Lí thuyết xác suất đóng một vai trò cực kì quan trọng trong nhiều ngành khoa học,
nhất là trong các ngành khoa học, nhất là trong các ngành khoa học thực nghiệm như y
khoa, sinh học, nông nghiệp, kinh tế. Đặc biệt, thống kê rất cần cho các cấp lãnh đạo, các
nhà quản lí, các nhà hoạch định chính sách. Khoa học thống kê cung cấp cho họ các
phương pháp thu thập xử lí và diễn giải các phân tích về dân số, kinh tế, giáo dục…đề từ
đó có thể vạch chính sách và ra các quyết định đúng đắn. Từ đó cho thấy rằng Xác suất là
một trong những chủ đề của Toán ứng dụng cần được chú trọng dạy cho học sinh.
Tuy nhiên, qua khảo sát và điều tra thực trạng cho thấy quá trình học và giải toán Xác
suất của học sinh còn gặp nhiều khó khăn và sai lầm. Đây cũng là cơ sở lí luận để chúng

tôi thực hiện nội dung của chương 2: Biện pháp sư phạm khắc phục và sửa chữa sai lầm
trong giải toán xác suất.


14
CHƯƠNG 2: BIỆN PHÁP SƯ PHẠM KHẮC PHỤC VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM
TRONG GIẢI TOÁN XÁC SUẤT
1. Định hướng xây dựng một số biện pháp khắc phục sai lầm và sửa chữa sai
lầm trong giải toán Xác suất cho học sinh trung học phổ thông
- Định hướng 1: Hệ thống các biện pháp được xây dựng dựa trên cơ sở tôn trọng
nội dung chương trình, SGK, các tài liệu chuyên đề và các nguyên tắc dạy học.
- Định hướng 2: Hệ thống các biện pháp được xây dựng phải dựa trên định hướng
đổi mới PPDH hiện nay; tạo cho học sinh có một môi trường hoạt động tích cực, tự giác,
sáng tạo.
- Định hướng 3: Hệ thống các biện pháp được xây dựng phải mang tính khả thi, có
thể thực hiện được trong điều kiện thực tế của quá trình dạy học.
- Định hướng 4: Trong quá trình thực hiện các biện pháp, cần quan tâm đúng mức
tới việc tăng cường hoạt động cho người học, phát huy tối đa tính tích cực, độc lập cho
người học.
2. Một số biện pháp sư phạm khắc phục sai lầm và sửa chữa sai lầm thường
gặp cho học sinh khi giải toán xác suất
2.1. Biện pháp 1: Sửa chữa sai lầm của học sinh nhằm rèn luyện cho học sinh
hiểu bản chất và ý nghĩa của những khái niệm, quy tắc và các kí hiệu trong sách giáo
khoa từ đó vận dụng vào giải toán Xác suất
a) Mục đích: Giúp học sinh nắm vững được bản chất và ý nghĩa của những khái
niệm, quy tắc và các khái niêmh trong sách giáo khoa từ đó vận dụng vào giải toán
b) Cơ sở khoa học
Để giải được một bài toán, điều kiện cần đó là việc nắm vững bản chất và ý nghĩa
của những khái niệm, quy tắc và những kí hiệu và chỉ khi đã nắm vững được những điều
đó thì chúng ta mới giải được toán.

c) Cách thực hiện
- Hình thành các khái niệm một cách sinh động, đi từ các ví dụ thực tế đến toán học
một cách tự nhiên, có nhiều ví dụ về các tình huống thực tế có nội dung về Xác suất.
- Tiếp tục sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu của lí thuyết tập hợp mà học sinh quen dùng
ở các lớp dưới
- Thể hiện tinh thần của cấu trúc không gian Xác suất: , A, P , trong đó  là
không gian các biến cố sơ cấp, A là đại số các biến cố ( đại số các tập con của  ), P là
độ đo xác suất của A.
Ví dụ 2.6: Cho tập A = {1, 2, 3, 4}.


15
a) Hãy chỉ ra các chỉnh hợp chập 3 của tập hợp A.
b) Tính số chỉnh hợp chập 3 của tập hợp A.
c) Hãy chỉ ra các tổ hợp chập 3 của tập hợp A.
d) Tính số tổ hợp chập 3 của tập hợp A.
Việc liệt kê ra các chỉnh hợp tuy mất thời gian nhưng học sinh được rèn luyện tính
kiên trì cũng từ đó học sinh có cái nhìn sâu sắc về sự phân biệt các chỉnh hợp khác nhau
là như thế nào, tương tự như đối với tổ hợp. Có thể cho học sinh trả lời câu hỏi: Hai
chỉnh hợp khác nhau khi nào? Hai Tổ hợp khác nhau khi nào?
2.2. Biện pháp 2: Tạo ra các tình huống phù hợp với trình độ nhận thức của học
sinh nhằm phát huy tính tích cực của học sinh trong giải toán Xác suất
a) Mục đích biện pháp: Tạo ra các tình huống phù hợp với trình độ nhận thức của
học sinh nhằm tăng sự hứng thú của học sinh từ đó phát huy được tính tích cực của học
sinh trong giải toán.
b) Cơ sở khoa học
Hoạt động học toán của học sinh là hoạt động nhằm lĩnh hội các tri thức, khái niệm,
kỹ năng giải quyết các vấn đề Toán học. Nó bao gồm việc định hướng tìm tòi, lập kế
hoạch thực hiện, bản thân hoạt động và kiểm tra hiệu quả của nó. Vấn đề tâm lý chủ
yếu ở đây là hứng thú tìm tòi, lòng ham hiểu biết và mong muốn hoàn thiện bản thân nếu sự hứng thú không được hình thành thì bản thân sự lĩnh hội sẽ diễn ra thấp hơn nhiều

so với tiềm năng sẵn có ở học sinh.
c) Cách thực hiện
- Xây dựng tình huống phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh từ thực tế.
- Xây dựng tình huống phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh từ các kiến thức
đã học.
- Xây dựng tình huống phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh bằng cách yêu
cầu học sinh dùng cách tương tự để giải quyết bài toán.
Ví dụ: Một bình chứa 20 viên bi, với 8 viên bi trắng, 7 viên bi đen, và 5 viên bi đỏ.
a) Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để:
i) Lấy được cả 3 viên bi trắng.
ii) Lấy được một viên bi trắng, một viên bi đen, một viên bi đỏ.
b) Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi. Tính xác suất rút được 6 viên bi trắng, 3
viên bi đen và 1 viên bi đỏ.
c) Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để:
i) Lấy được đúng một viên bi trắng.


16
ii) Lấy được đúng hai viên bi trắng.
Với bài này có nhiều câu ở mức độ khó dần: Số lượng viên bi được lấy tăng lên
trong mỗi câu do đó khi tính xác suất trong trường hợp lấy các viên bi khác mầu phải
phân ra nhiều trường hợp hơn, như vậy mức độ phức được nâng dần.
2.3. Biện pháp 3: Sửa chữa sai lầm cho học sinh nhằm tập luyện cho học sinh
một số thuật giải của dạng toán Xác suất
a) Mục đích biện pháp: Tập luyện cho học sinh một số thuật giải của dạng toán xác
suất giúp học sinh làm quen với các dạng bài và dễ dàng nhận dạng được kiến thức cần
được sử dụng để giải toán.
b) Cơ sở khoa học.
Tư duy thuật giải có vai trò quan trọng trong nhà trường phổ thông đặc biệt trong
dạy học giải bài tập toán. Trong môn toán nói chung và chủ đề Tổ hợp – xác xuất nói

riêng, có nhiều dạng toán được giải quyết nhờ thuật giải.
c) Cách thực hiện.
* Xác định quy tắc thuật giải một số dạng toán:
a. Thuật giải áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất:
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu(số khả năng xảy ra).
Bước 2: Tính số phần tử của tập hợp mô tả biến cố đang xét (số kết quả thuận lợi).
Bước 3: Lấy số kết quả thuận lợi chia cho số khả năng xảy ra: P ( A) 

A


b. Thuật giải áp dụng các qui tắc tính xác suất
* Bước 1:
Đặt tên cho biến cố cần tính xác suất là A, các biến cố liên quan đến biến cố A là:

A1; A2 ;....... An sao cho:
Biến cố A biểu diễn được theo các biến cố A1; A2 ;....... An .
Xác suất của các biến cố A1; A2 ;....... An là tính được (dễ hơn so với tính A )
Xác định được mối quan hệ giữa các biến cố A1; A2 ;....... An .
* Bước 2: Biểu diễn biến cố A theo các biến cố A1; A2 ;....... An .
* Bước 3:
Xác định mối quan hệ giữa các biến cố và áp dụng quy tắc:
1) Nếu A1; A2 xung khắc: P ( A1 �A2 )  P( A1 )  P  A2 
2) Nếu A1; A2 đối nhau: P ( A1 )  1  P( A2 )


17
3) Nếu A1; A2 độc lập: P ( A1 A2 )  P ( A1 ) P ( A2 )
Chú ý: A và B độc lập thì A và B ; A và B; A và B cũng độc lập và A và B độc
lập thì P ( AB )  P ( A) P( B )

* Hướng dẫn học sinh kĩ năng giải bài toán Xác suất theo quy trình của G.
Polya:
G. Polya đã từng viết: “Tìm được cách giải một bài toán là một điều
phát minh”. Quy trình 4 bước của G. Polya như sau: [33]
- Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
- Bước 2: Xây dựng chương trình giải cho bài toán.
- Bước 3: Thực hiện chương trình giải đã xây dựng ở bước 2.
- Bước 4: Nghiên cứu sâu về lời giải.
Đối với quy trình này, khi áp dụng vào mỗi dạng toán cụ thể sẽ góp phần tập cho
HS xây dựng được một phương pháp chung để giải bài toán đó. Bản chất của việc này
là làm cho HS chủ động tiếp thu, dễ hiểu, dễ nhớ kiến thức.
Ví dụ: Có 5 em học sinh không quen biết nhau cùng đi đến một kệ sách ở thư viện
và trên kệ sách có 7 quyển sách khác nhau. Giả sử các em học sinh chọn quyển sách một
cách ngẫu nhiên. Tính xác suất của các biến cố sau:
a. A = {cả 5 em học sinh cùng chọn một quyển sách}
b. B = {5 em học sinh chọn ra 5 quyển sách khác nhau }
c. C = {Có 3 em học sinh cùng chọn chung 1 quyển sách}
Quy trình giải:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
?. Bài toán yêu cầu tính những cái gì?
!. Bài toán yêu cầu tính xác suất của các biến cố A, B, C, ; tức là tính
P(A), P(B), P(C).
Bước 2: Xây dựng chương trình giải cho bài toán
?. Để tính xác suất của một biến cố ta thường sử dụng công thức nào?
!. Có thể dùng định nghĩa xác suất cổ điển ; hay các tính chất của xác suất
?.Với những bài toán nào ta có thể dùng tính chất để tính xác suất?
!. Khi có thể biểu diễn mối quan hệ giữa các biên cố.
?. Khi nào ta có thể tính xác suất theo định nghĩa cổ điển?
!. Khi xác định được các kết quả đồng khả năng của không gian mẫu và số các
kết quả thuận lợi của biến cố.

?. Với bài toán này ta có thể tính được các kết quả đồng khả năng của không


18
gian mẫu và số các kết quả thuận lợi của biến cố không?
!. Có thể tính được.
Bước 3: Thực hiện chương trình giải đã xây dựng ở bước 2
P ( A) 

m
n

với m là số các kết quả thuận lợi của biến cố A và n là các kết quả đồng

khả năng của không gian mẫu.
Ta có: Gọi n là số cách 5 học sinh vào 7 quyển sách � n  C17 .C17 .C17 .C17 .C17  16807
cách
a)

Gọi m là số cách cả 5 em học sinh cùng chọn một quyển sách

Ta có m= C71  7 � P ( A) 
b)

7
16807



1

2401

Gọi k là số cách 5 em học sinh chọn ra 5 quyển sách khác nhau

Ta có k  C75 .5!  2520 � P ( B ) 

2520

360



16807

2401

c) Gọi h là số cách có 3 em học sinh chọn cùng 1 quyển sách 2 em học sinh chọn 1
trong 6 quyển sách còn lại
300

Ta có k  C53 .1.6.5  300 � P (C ) 
16807
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
?. Nêu các bước để giải một bài toán theo định nghĩa xác suất cổ điển?
!. Để tính Xác suất theo định nghĩa cổ điển ta thực hiện theo 4 bước
- Xác định không gian mẫu, từ đó tính n là các kết quả đồng khả năng của không
gian mẫu.
- Tính m là số các kết quả thuận lợi của biến cố A
- Áp dụng công thức: P ( A) 

m
n

2.4. Biện pháp 4: Sửa chữa sai lầm cho học sinh nhằm chú trọng phát triển khả
năng trực giác xác suất cho học sinh
a) Mục đích của biện pháp: Giúp học sinh phát triển được khả năng trực giác xác
suất của mình, từ đó dễ dàng hình dung, tưởng tượng và định hướng được các khả năng
xảy ra của xác suất.
b) Cở sở khoa học
Như đã trình bày, trực giác xác suất là sự “thấy trực tiếp” các khái niệm hoặc các


19
sự kiện của Lý thuyết xác suất trong các tình huống xác suất. Ở mức độ cao, trực giác
xác suất cho khả năng định hướng nghiên cứu trong các tình huống mới không quen biết,
dự đoán được kết quả nghiên cứu và đường lối tìm ra kết quả đó, phát hiện được những sai
lầm rõ ràng. Trực giác xác suất là một nhân tố quan trọng trong quá trình nhận thức logic các
yếu tố của Lý thuyết xác suất và trong quá trình vận dụng Lý thuyết xác suất vào thực tiễn.
c) Cách thực hiện
Hình thành và phát triển trực giác xác suất cho học sinh có thể coi là một trong
những biện pháp quan trọng nhằm đạt được mục tiêu: “Học sinh phải có được cái nhìn
trực giác về tính ngẫu nhiên, tính đại diện và xu hướng mẫu để mở rộng khả năng của
học trong việc đánh giá những thông tin thống kê” [3]. Do đó trực giác xác suất ở học
sinh phổ thông là cần thiết và có thể rèn luyện được. Để thực hiện được điều này trong
nội dung và phương pháp dạy học cần phải thực hiện trong từng giai đoạn, trong các tình
huống điển hình của quá trình dạy học: dạy học khái niệm, dạy học chứng minh định lí,
dạy học giải bài tập có nội dung thực tiễn.
- Giai đoạn trước khi định nghĩa một khái niệm, chứng minh một mệnh đề hay
giải một bài toán: Trong giai đoạn này giáo viên cần hướng dẫn học sinh sử dụng các
phương pháp trực quan như đo đạc, làm thực hành, thí nghiệm, thực hiện các phép thử,

hình vẽ, mô tả,... từ đó các em sẽ phân tích, đánh giá các tình huống xác suất cụ thể và
được tập luyện khả năng thấy trực tiếp các khái niệm, mệnh đề trước khi định nghĩa khái
niệm, chứng minh mệnh đề cũng như thấy trực tiếp đường lối xây dựng, xử lí mô hình
xác xuất của bài toán có nội dung thực tiễn trước khi giải bài toán đó.
Theo Đỗ Mạnh Hùng: “Khi sử dụng phương pháp trực quan và suy luận hợp lí để
đánh giá các tình huống xác suất cụ thể, có thể giúp học sinh thấy trực tiếp (không
qua định nghĩa) khái niệm xác suất trong những tình huống chứa đựng nó. Bằng cách
đó trực giác xác suất của học sinh được hình thành và sau đó nó được vận dụng ngay
...” [7].
- Giai đoạn trong quá trình định nghĩa một khái niệm, chứng minh một mệnh đề,
giải một bài toán: Trong giai đoạn này giáo viên cần giúp đỡ học sinh củng cố mối liên
hệ giữa nội dung của cách giải quyết vấn đề với những điều mà các em đã thấy trước
bằng trực giác để xác nhận, củng cố và phát triển trực giác xác suất của các em, sử
dụng trực giác để kiểm tra và điều chỉnh nội dung của cách giải quyết vấn đề.
- Giai đoạn sau khi định nghĩa một khái niệm, chứng minh một mệnh đề, giải một
bài toán: Trong giai đoạn này, giáo viên cần hướng dẫn học sinh sử dụng phương
pháp trực quan và các suy luận hợp lí để phân tích, đánh giá kết quả vừa thu được; liên


20
hệ kết quả đó với các tình huống thực tế khác nhau; từ đó giúp các em thấy được các
khái niệm, định lí của thống kê xác suất trong các tình huống thực tế sinh ra nó. Mặt
khác cũng cần tổ chức cho học sinh đối chiếu những kết quả mà các em thấy được một
cách trực giác với kết quả thu được sau khi giải quyết vấn đề; các em có thể tự xác
nhận trực giác xác suất đúng hay phải điều chỉnh, bác bỏ trực giác xác suất chưa đúng
của mình, rút ra kinh nghiệm cần thiết cho bản thân.
Theo Trần Đức Chiển: “Các hoạt động nhằm hình thành, phát triển trực giác xác
suất của HS bao gồm: tổ chức trò chơi; thực hiện các thí nghiệm (thực hoặc ảo);
nhận dạng và thể hiện các đồ thị, sơ đồ, biểu đồ, các bảng phân phối tần số, tần suất
thực nghiệm (rời rạc hay ghép lớp); kết hợp các suy luận hợp lí với suy luận diễn dịch”

[3].
Ví dụ : Hình thành, phát triển và sử dụng trực giác xác suất của học sinh khi
hướng dẫn học sinh làm bài tập sau:
Gieo 4 đồng xu cân đối một cách độc lập. Tính xác suất của các biến cố sau: A: “Cả
4 đồng xu đều ngửa”
B: “Có ít nhất 2 đồng xu ngửa”
C: “Có đúng một đồng xu ngửa”
Khi hướng dẫn học sinh giải bài tập này giáo viên phải tận dụng cơ hội trong từng
giai đoạn để hình thành, phát triển và sử dụng trực giác xác suất của học sinh.
- Giai đoạn trước khi giải bài toán: giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phương
pháp trực quan để phân tích, để “thấy trực tiếp” các khả năng xảy ra của từng biến cố:
Khi thực hiện phép thử T: “Gieo 4 đồng xu cân đối”, biến cố A chỉ có thể xảy ra một khả
năng: Trong kết quả của phép thử T, cả 4 đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa. Biến cố B có
thể xảy ra các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Trong kết quả của phép thử T có 2 đồng xu xuất hiện mặt ngửa.
Trường hợp 2: Trong kết quả của phép thử T có 3 đồng xu xuất hiện mặt ngửa.
Trường hợp 3: Trong kết quả của phép thử T có cả 4 đồng xu đều xuất hiện mặt
ngửa.
Biến cố C có các khả năng xảy ra như sau:
Khả năng 1: Đồng tiền thứ nhất xuất hiện ngửa, đồng tiền thứ 2, 3,4 xuất hiện sấp
Khả năng 2: Đồng tiền thứ 2 xuất hiện ngửa, đồng tiền thứ nhất ,3,4 xuất hiện sấp
Khả năng 3: Đồng tiền thứ 3 xuất hiện ngửa, đồng tiền thứ nhất và 2,4 xuất hiện
sấp
Khả năng 4: Đồng tiền thứ 4 xuất hiện ngửa, đồng tiền thứ nhất và 2,3 xuất hiện


21
sấp
Qua phân tích học sinh “ thấy trực tiếp ” được rằng biến cố C có khả năng xảy ra
nhiều nhất, biến cố A có khả năng xảy ra ít nhất. Việc phân tích và đánh giá các tình

huống xác suất khác nhau giúp hình thành được trực giác xác suất cho học sinh (nhờ
những phương pháp trực quan và suy luận hợp lí).
Giai đoạn trong khi giải bài toán: Từ sự phân tích để “ thấy trực tiếp ” khả năng xảy ra
của các biến cố học sinh sử dụng các bước tính xác suất của từng biến cố để có được kết
quả cụ thể, từ đó liên hệ với những điều thấy trước bằng trực giác để xác nhận.
Kết quả cụ thể là:
P ( A)  P ( N ). P ( N ). P ( N ).P ( N ) 

1 1 1 1
1
. . . 
2 2 2 2 16

P ( B )  P ( S ).P ( S ).P ( S ).P ( S )  P ( N ).P ( S ).P ( S ).P ( S )  P ( S ).P ( N ). P ( S ). P ( S )
 P ( S ).P ( S ). P ( N ). P( S )  P ( S ). P ( S ). P( S ). P ( N )

=

1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
5
. . .  . . .  . . .  . . .  . . . 
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16

Suy ra P ( B )  1  P ( B )  1 

5
16



11
16

P (C )  P ( N ).P ( S ).P ( S ).P ( S )  P ( S ).P ( N ).P ( S ).P ( S )  P ( S ).P ( S ).P ( N ).P ( S )
 P ( S ).P ( S ). P ( S ).P ( N )

=

1 1 1 1
. . . 
2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
. . .  . . .  . . . 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

- Giai đoạn sau khi giải bài toán: Sau khi giải bài toán này, cần hướng dẫn HS nhận
xét rằng: Từ cách phân tích hoặc biểu diễn kết quả trực tiếp của phép thử T sẽ xét được
tính cách riêng biệt của mỗi đồng xu (có thể sử dụng sơ đồ cây hoặc có thể phân tích
trực tiếp khi sử dụng quy tắc nhân của giải tích tổ hợp. Bằng cách đó sẽ phát triển được
trực giác xác suất của HS đến mức độ cao hơn: Trực giác định hướng cho việc giải bài
toán cần nghiên cứu.
2.5. Biện pháp 5: Bồi dưỡng tư duy toán học và sử dụng chính xác ngôn ngữ
toán học cho học sinh khi giải toán Tổ hợp - Xác suất
a) Mục đích biện pháp: Bồi dưỡng tư duy toán học và sử dụng chính xác ngôn ngữ
toán học giúp học sinh phát triển tư duy toán học và nắm vững kiến thức.
b) Cơ sở khoa học và cách thực hiện
Dạy học Toán học nói chung và dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác suất nói riêng cần

22
chú ý đến nhiệm vụ góp phần phát triển tư duy Toán học cho học sinh. Điều này được
thực hiện thông qua hệ thống các bài tập.
Hệ thống bài tập được phân làm 3 loại như sau:
Loại 1: là các bài tập để củng cố và bổ sung cho lí thuyết;
Loại 2: là các bài tập dùng để dạy cho học sinh vận dụng những điều đã học vào giải các
bài toán có nội dung thực tiễn.
Loại 3: là một số bài tập thuộc loại 2 nhưng được soạn ở mức độ cao hơn để
góp phần phát triển năng lực tư duy Toán học của học sinh, mà năng lực đó thể hiện ở
mặt trí tuệ và mặt định hướng của năng lực học Toán là: Có tư duy khái quát hoá, phân
tích, tổng hợp, tư duy logic; tư duy có tính linh hoạt, sáng tạo; sử dụng thành thạo các kí
hiệu toán học thông thường; biết ghi nhớ chọn lọc các kiến thức toán học cơ bản; biết tự
kiểm tra và vận dụng được kiến thức toán học vào giải quyết các bài toán được đặt ra
(mặt trí tuệ). Say mê giải toán, thích phát hiện các quy luật toán học, kiên nhẫn quyết
tâm giải các bài toán khó (mặt định hướng).
Ví dụ : Một lớp có 31 học sinh đăng kí tham gia chơi 2 môn thể thao: đá cầu và cầu
lông. Có 40 bạn đăng kí chơi đá cầu, 34 bạn đăng kí chơi cầu lông và 11 bạn không đăng
kí chơi môn nào. Hỏi có bao nhiêu bạn:
a) Đăng kí chơi cả 2 môn
b) Chỉ đăng kí chơi một môn
Hướng dẫn học sinh giải bài tập này, trước hết gọi A và B lần lượt là tập hợp học
sinh đăng kí chơi đá cầu và cầu lông. Khi đó:
Tập hợp học sinh đăng kí chơi cả hai môn là tập nào? (tập A �B )
Tập hợp học sinh đăng kí chơi ít nhất một môn là tập nào? (tập A �B )
Giáo viên yêu cầu học sinh tính n(A), n(B), n( A �B )? Và hãy tính n( A �B ) dựa
vào quy tắc cộng mở rộng?
Số bạn chỉ đăng kí chơi một môn bằng số bạn đăng kí chơi trừ đi số bạn không
đăng kí chơi môn nào. Từ gợi ý này học sinh có thể đưa ra kết quả.

2.6. Biện pháp 6: Đưa học sinh vào các tình huống thử thách với những khó
khăn và sai lầm, từ đó có các phản ví dụ cần thiết để học sinh điều ứng sơ đồ nhận
thức đã có a) Mục đích biện pháp: Khi đưa học sinh vào các tình huống thử thách với
những khó khăn và sai lầm sẽ giúp học sinh nhận dạng được các sai lầm từ đó khắc
phục được những sai lầm.
b) Cơ sở khoa học
Một trong những phương thức cho học sinh thử thách thường xuyên với


23
những bài toán dễ dẫn đến sai lầm trong lời giải đó là cài đặt các bài toán có chứa các
“bẫy”. Mỗi khi học sinh mắc sai lầm là đồng nghĩa với việc sa bẫy, "bẫy" trong các bài
toán là các tình huống được các tác giả cài đặt mà nếu học sinh không vững kiến thức cơ
bản thì sẽ mắc phải sai lầm.
c) Cách thực hiện
Trước khi đưa ra bài toán để thử thách sai lầm của học sinh, dĩ nhiên giáo viên cần
có một sự hình dung trực giác rằng, chỗ này, chỗ kia HS có thể mắc sai lầm. Nhờ sự hình
dung trực giác ấy giáo viên thiết kế bài toán tương thích. Qua thực tiễn trình bày lời giải
bài toán ấy sẽ cung cấp cho giáo viên một sự nhận định sát thực tế hơn so với cảm nhận
trực giác ban đầu, và khi khẳng định chắc chắn sự sai lầm của học sinh thì một khâu đặc
biệt quan trọng là phải dành thời gian thích đáng để nhấn mạnh kiến thức cần lưu ý có
thể liên quan trực tiếp đến những sai lầm vừa mắc, thực chất là sự thể chế hóa một lần
nữa.
Tuy nhiên, giáo viên không nên lặp lại quá trình nhiều lần đối với một vấn đề vì
như vậy sẽ tạo ra tính ỳ, làm mất hứng thú cho học sinh.
Ví dụ 2.26: Trong hộp có 6 viên bi khác. Có bao nhiêu cách để lấy 3 viên bi trong 6
viên bi đó?
Lời giải 1.
Số cách lấy 3 viên bi trong 6 viên bi là C63  20 cách
Lời giải 2

Số cách lấy ra viên bi thứ nhất là: 6 cách
Số cách lấy ra viên bi thứ hai là: 5 cách
Số cách lấy ra viên bi thứ ba là: 4 cách
Vậy số cách lấy 3 viên bi trong 6 viên là: 6.5.4=120 cách
Lời giải 3
Số cách lấy ra viên bi đầu tiên là 5 cách
Số cách lấy ra 2 viên bi tiếp theo là C42
Vậy số cách lấy ra 3 viên bi trong 6 viên là 5. C42 =30 cách
Hãy tìm ra lời giải đúng
Phân tích:
Lời giải1: Đúng
Lời giải 2 và 3: Sai, vì dề bài không yêu cầu về thứ tự của các màu có nghĩa là:
Giả sử ta đánh số các viên bi lần lượt 1,2,3,4,5,6 và 3 viên bi ta lấy ra là 1,2,3.


24
Khi xét về khả năng lấy ra được ba viên bi 1,2,3 thì có các khả năng (1,2,3); (1,3,2);
(2,1,3); (2,3,1); (3,1,2); (3,2,1)
Tuy nhiên, trong các khả năng trên thì số viên bi lấy ra vẫn chỉ là 3 viên bi: 1,2 và 3
3. Kết luận chương 2
Nội dung chủ yếu của chương 2 là lập luận về các biện pháp sư phạm góp phần
khắc phục và sữa chữa những khó khă, sai lầm và rèn luyện kĩ năng giải toán của học
sinh trong quá trình học tập chủ đề Xác suất ở trường THPT. Để xây dựng được các biện
pháp đã nêu, Luận văn đã vận dụng tổng hợp các cơ sở lí luận và thực tiễn của Tâm lí
học, Giáo dục học và PPDH bộ môn, từ đó đề xuất một số định hướng sư phạm và xây
dựng các biện pháp khắc phục khó khăn và sai lầm trong giải toán chủ đề Xác suất dựa
trên các định hướng sư phạm đó để nhằm mục đích sao cho các biện pháp đã đưa ra
được hiện thực hóa một cách cụ thể và có ý nghĩa.
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1. Mục đích thực nghiệm

Mục đích thực nghiệm là kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của việc thực hiện
các BPSP để khắc phục, sữa chữa khó khăn, sai lầm trong giải toán Tổ hợp - Xác suất
cho HS và kiểm định giả thuyết khoa học của Luận văn.
2. Nội dung thực nghiệm
Thực nghiệm dạy học Tổ hợp – Xác suất trong chương trình Đại số và
Giải tích lớp 11, Ban cơ bản.
Chúng tôi đã tiến hành soạn hai giáo án dạy thực nghiệm như sau:
Bài soạn 1: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP. Mục đích nhằm minh hoạ cho
BPSP 1, 2, 3 và 6. Bằng cách vận dụng linh hoạt các PPDH và đưa HS vào các tình
huống có thể phát sinh những khó khăn và sai lầm để kịp thời khắc phục trong giờ
dạy, GV sẽ giúp cho HS tích cực học tập, phòng tránh được những khó khăn và sai
lầm có thể gặp phải trong các tình huống tương tự (Phụ lục 1).
Bài soạn 2: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ. Mục đích nhằm minh hoạ cho các BPSP
4 và 5, GV dạy học theo bài soạn trên sẽ giúp cho HS nắm chắc các nội dung kiến thức
cơ bản, được thử thách qua các tình huống có thể gặp phải những khó khăn và sai lầm,
qua đó GV có thể kịp thời sửa chữa và giúp đỡ các em khắc phục. Đồng thời thông qua
các ví dụ thực tế góp phần làm cho HS thấy được ý nghĩa thực tiễn của xác suất, HS
sẽ thấy hứng thú hơn khi học tập nội dung này (Phụ lục 2).


25
3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm
3.1. Đối tượng thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được thực hiện tại trường THPT Tam Nông.
- Lớp thực nghiệm: Lớp 11 A2 có 46 học sinh.
GV dạy lớp thực nghiệm là thầy giáo : Phạm Hùng.
- Lớp đối chứng : Lớp 11A3 có 44 học sinh.
GV dạy lớp đối chứng là thầy giáo: Trần Gia Bính
Dựa trên kết quả đánh giá học tập trong các năm học trước thì chất lượng
học toán của hai lớp là tương đối đều nhau.

3.2. Tiến trình thực nghiệm
Đợt thực nghiệm được tiến hành từ ngày 22/10/2017 - 17/11/2017. Đối với lớp đối
chứng, GV dạy như những giờ dạy bình thường. Việc dạy học thực nghiệm và đối chứng
được tiến hành song song theo lịch giảng dạy của nhà trường. Để đánh giá kết quả thực
nghiệm, ngoài việc quan sát lớp học, trao đổi ý kiến với các GV dự giờ, cả 2 lớp cùng
làm bài kiểm tra 1 tiết để đánh giá kết quả.
ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT
Thời gian: 45phút
Câu 1 ( 2đ ): Từ các chữ số 0, 1, 5, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ?
Câu 2 ( 3đ ): Một tổ có 8 nữ và 7 nam. GVCN muốn thành lập một đội văn
nghệ gồm 6 HS. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập nếu:
a) 6 HS được chọn tuỳ ý.
b) Đội gồm có 3 nam và 3 nữ.
Câu 3 ( 2đ ): Gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tìm xác suất để
được:
a. Tổng số chấm xuất hiện bằng 5.
b. Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 5.
Câu 4 ( 3đ ): Ba người cùng bắn vào một mục tiêu. Gọi Ak là biến cố người thứ
k bắn trúng mục tiêu (k=1,2,3). Tính xác suất của các biến cố sau ?
a. Chỉ có người thứ nhất bắn trúng mục tiêu. b. Chỉ
có một người bắn trúng mục tiêu.
4. Kết quả thực nghiệm
4.1 Đánh giá về mặt định tính
Qua các giờ dạy nội dung “ Tổ hợp – Xác suất ” theo hướng chủ động phòng tránh