Phương trình đưa được về dạng ax+b=0

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG
ax   b ✏ 0

1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1. Nhân đơn thức với một đa thức . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1. Nhân đa thức với đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2. Phương trình đưa được về dạng ax   b ✏ 0 . . . . . . . . . . .

3

2.1. Hai vế của phương trình là hai đa thức . . . . . . . . . .

3

2.2. Phương trình chứa phân thức không có ẩn ở mẫu . . . .

8

1


1. Kiến thức chuẩn bị

1.1. Nhân đơn thức với một đa thức
Tổng quát: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn
thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
Chẳng hạn, muốn nhân đơn thức A với đa thức B   C   D ta làm như
sau
A♣B   C   Dq ✏ A.B   A.C   A.D.
Trong đó A, B, C, D là các đơn thức.
Ví dụ 1. 2x♣3x2   x   1q ✏ 2x.3x2   2x.x   2x.1 ✏ 6x3   2x2   2x.

1.2. Nhân đa thức với đa thức
Tổng quát: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi
hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi các các tích
với nhau.
Chẳng hạn, muốn nhân đa thức A   B với đa thức C

  D ta làm như

sau

♣A   B q♣C   Dq ✏ A.C   A.D   B.C   B.D.
Trong đó A, B, C, D là các đơn thức.
Ví dụ 2.

♣2x   x2q♣2x   1q ✏ 2x.2x   2x.1   x2.2x   x2.1
✏ 4x2   2x   2x3   x2.

2


2. Phương trình đưa được về dạng ax   b ✏ 0

Ta chỉ xét các phương trình mà hai vế của chúng là hai biểu thức hữu
tỉ của ẩn, không chứa ẩn ở mẫu và có thể đưa được về dạng ax   b ✏ 0.

2.1. Hai vế của phương trình là hai đa thức
Phương pháp giải:
Bước 1: Thực hiện phép nhân đơn thức với một đa thức và phép nhân đa
thức với đa thức để bỏ dấu ngoặc.
Bước 2: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế
kia.
Bước 3: Thu gọn ta được phương trình dạng ax ✏ b.
Bước 4: Kết luận.
Chú ý 1. Khi chuyển vế hạng tử từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu
hạng tử đó, khi chuyển hằng số từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hằng
số đó.
Ví dụ 3. (Bài 10 SGK toán 8 tập 2 trang 12) Tìm chỗ sai và sửa lại các
bài toán sau cho đúng:
a) 3x ✁ 6   x ✏ 9 ✁ x
ô 3x   x ✁ x ✏ 9 ✁ 6
ô 3x ✏ 3
ôx✏1

b) 2t ✁ 3   5t ✏ 4t   12
ô 2t   5t ✁ 4t ✏ 12 ✁ 3
ô 3t ✏ 9
ôt✏3
Giải

a) Sai từ bước 3x   x ✁ x

✏ 9 ✁ 6 vì không đổi dấu ✁x thành  x khi

chuyển từ vế trái sang vế phải và không đổi dấu ✁6 thành  6 khi chuyển
từ vế phải sang vế trái, dẫn đến đáp số sai.
3


Sửa lại:

3x ✁ 6   x ✏ 9 ✁ x

ô 3x   x   x ✏ 9   6
ô 5x ✏ 15
ô x ✏ 3.
b) Sai từ bước 2t   5t ✁ 4t ✏ 12 ✁ 3 vì không đổi dấu ✁3 thành  3 khi
chuyển từ vế phải sang vế trái, dẫn đến đáp số sai.
Sửa lại:

2t ✁ 3   5t ✏ 4t   12

ô 2t   5t ✁ 4t ✏ 12   3
ô 3t ✏ 15
ô t ✏ 5.
Ví dụ 4. Giải phương trình 2x♣x2 ✁ 3q   ♣x   1q♣2 ✁ 2x2 q ✁ 4 ✏ ✁2x2 .
Phương pháp giải
Bước 1: Thực hiện phép nhân đơn thức với một đa thức và phép nhân
đa thức với đa thức để bỏ dấu ngoặc:
2x.x2 ✁ 2x.3   x.2   1.2 ✁ x.2x2 ✁ 1.2x2 ✁ 4 ✏ ✁2x2

ô 2x3 ✁ 6x   2x   2 ✁ 2x3 ✁ 2x2 ✁ 4 ✏ ✁2x2.
Bước 2: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế
kia:

2x3 ✁ 6x   2x   2 ✁ 2x3 ✁ 2x2   2x2

✏ ✁2   4.

Bước 3: Thu gọn và giải phương trình:

♣2 ✁ 2qx3  ♣✁6   2qx  ♣✁2   2qx2 ✏ 2 ô ✁4x ✏ 2 ô x ✏ ✁24 ô x ✏ ✁21 .
Theo các bước trên, ta trình bày bài giải như sau:
4


Giải

2x♣x2 ✁ 3q   ♣x   1q♣2 ✁ 2x2 q ✁ 4 ✏ ✁2x2

ô 2x.x2 ✁ 2x.3   x.2   1.2 ✁ x.2x2 ✁ 1.2x2 ✁ 4 ✏ ✁2x2
ô 2x3 ✁ 6x   2x   2 ✁ 2x3 ✁ 2x2 ✁ 4 ✏ ✁2x2
ô 2x3 ✁ 6x   2x   2 ✁ 2x3 ✁ 2x2   2x2 ✏ ✁2   4
ô ♣2 ✁ 2qx3   ♣✁6   2qx   ♣✁2   2qx2 ✏ 2
ô ✁4x ✏ 2
ô x ✏ ✁24
ô x ✏ ✁1 .

✧ ✯
✁1 .
Vậy phương trình có tập nghiệm S ✏
2

2

Ví dụ 5. (Bài 11 SGK toán 8 tập 2 trang 13) Giải các phương trình
a) 3x ✁ 2 ✏ 2x ✁ 3;
b) 3 ✁ 4u   24   6u ✏ u   27   3u;
c) 5 ✁ ♣x ✁ 6q ✏ 4♣3 ✁ 2xq;

✁6♣1, 5 ✁ 2xq ✏ 3♣✁15   2xq;
e) 0, 1 ✁ 2♣0, 5t ✁ 0, 1q ✏ 2♣t ✁ 2, 5q ✁ 0, 7;
✂
✡
3
5
5
f)
x✁
✁
✏ x.
2
4
8
d)

Giải
a) 3x ✁ 2

✏ 2x ✁ 3 ô 3x ✁ 2x ✏ ✁3   2 ô x ✏ ✁1. Vậy tập nghiệm
của phương trình S ✏ t✁1✉ .

5

b) 3 ✁ 4u   24   6u ✏ u   27   3u.

3 ✁ 4u   24   6u ✏ u   27   3u ô ✁4u   6u ✁ u ✁ 3u ✏ 27 ✁ 3 ✁ 24

ô ♣✁4   6 ✁ 1 ✁ 3qu ✏ 0
ô ✁2u ✏ 0
ô u ✏ 0.
Vậy tập nghiệm của phương trình S ✏ t0✉ .
c) 5 ✁ ♣x ✁ 6q ✏ 4♣3 ✁ 2xq
5 ✁ ♣x ✁ 6q ✏ 4♣3 ✁ 2xq ô 5 ✁ 1.x ✁ 1.♣✁6q ✏ 4.3   4.♣✁2xq
ô 5 ✁ x   6 ✏ 12 ✁ 8x
ô ✁x   8x ✏ 12 ✁ 6
ô ♣✁1   8qx ✏ 6
ô 7x ✏ 6
ô x ✏ 76 .
✧ ✯
6
Vậy tập nghiệm của phương trình S ✏
.
7
d) ✁6♣1, 5 ✁ 2xq ✏ 3♣✁15   2xq
✁6♣1, 5 ✁ 2xq ✏ 3♣✁15   2xq ô ✁6.1, 5 ✁ 6.♣✁2xq ✏ 3.♣✁15q   3.2x
ô ✁9   12x ✏ 45   6x
ô 12x ✁ 6x ✏ 45   9
ô ♣12 ✁ 6qx ✏ 54
ô 6x ✏ 54
ô x ✏ 546

ô x ✏ 9.
Vậy tập nghiệm của phương trình S ✏ t9✉ .

6


e) 0, 1 ✁ 2♣0, 5t ✁ 0, 1q ✏ 2♣t ✁ 2, 5q ✁ 0, 7
0, 1 ✁ 2♣0, 5t ✁ 0, 1q ✏ 2♣t ✁ 2, 5q ✁ 0, 7

ô 0, 1 ✁ 2.0, 5t ✁ 2.♣✁0, 1q ✏ 2.t   2.♣✁2, 5q ✁ 0, 7
ô 0, 1 ✁ t   0, 2 ✏ 2t ✁ 5 ✁ 0, 7
ô ✁t ✁ 2t ✏ ✁5 ✁ 0, 7 ✁ 0, 1 ✁ 0, 2
ô ♣✁1 ✁ 2qt ✏ ✁6
ô ✁3t ✏ ✁6
ô t ✏ ✁✁63
ô t ✏ 2.
Vậy tập nghiệm của phương trình S
✂
✡
3
5
5
f)
✏x
x✁
✁
2
4
8
3
2

✂

x✁

5
4

✡

✁

5
8

✏ t2✉ .
✂ ✡

✏ x ô 23 .x   32 . ✁ 54 ✁ 58
ô 23 x ✁ 158 ✁ 58 ✏ x
ô 23 x ✁ x ✏ 158   58
✂
✡
3
ô 2 ✁ 1 x ✏ 45
ô 21 x ✏ 54
5
ô x ✏ 41
2
ô x ✏ 52 .

Vậy tập nghiệm của phương trình S

✏

7

✧ ✯

5
.
2

✏x


2.2. Phương trình chứa phân thức không có ẩn ở mẫu
Phương pháp giải:
Bước 1: Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu.
Bước 2: Thực hiện phép nhân đơn thức với một đa thức và phép nhân đa
thức với đa thức để bỏ dấu ngoặc.
Bước 3: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế
kia.
Bước 4: Thu gọn ta được phương trình dạng ax ✏ b.
Bước 5: Kết luận.
Ví dụ 6. Giải phương trình

2x   1
2

  3x 3✁ 2 ✏ x  5 1

Phương pháp giải
Bước 1: Quy đồng mẫu hai vế:
2.3.♣x   1q
3.5.♣2x   1q   2.5.♣3x ✁ 2q
✏
2.3.5
2.3.5
  10♣3x ✁ 2q ✏ 6♣x   1q .
ô 15♣2x   1q 30
30
Bước 2: Nhân hai vế với 30 ta được:
15♣2x   1q   10♣3x ✁ 2q
30.
30

✏ 30. 6♣x30  1q

ô 15♣2x   1q   10♣3x ✁ 2q ✏ 6♣x   1q.

Bước 3: Thực hiện phép nhân đơn thức với một đa thức và phép nhân đa
thức với đa thức để bỏ dấu ngoặc:
15.2x   15.1   10.3x ✁ 10.2 ✏ 6.x   6.1 ô 30x   15   30 ✁ 20 ✏ 6x   6.
Bước 4: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế
kia:
30x   30x ✁ 6x ✏ 6 ✁ 15   20
8


Bước 5: Thu gọn và giải phương trình:

♣30   30 ✁ 6qx ✏ 11 ô 54x ✏ 11 ô x ✏ 11
.
54
Theo các bước trên, ta trình bày bài giải như sau:
2x   1
2

  3x 3✁ 2 ✏ x  5 1 ô
ô

Giải
3.5.♣2x   1q   2.5.♣3x ✁ 2q
2.3.♣x   1q
✏
2.3.5
2.3.5
15♣2x   1q   10♣3x ✁ 2q
6♣x   1q
✏
30
30

ô 15♣2x   1q   10♣3x ✁ 2q ✏ 6♣x   1q

ô 15.2x   15.1   10.3x ✁ 10.2 ✏ 6.x   6.1
ô 30x   15   30 ✁ 20 ✏ 6x   6
ô 30x   30x ✁ 6x ✏ 6 ✁ 15   20
ô ♣30   30 ✁ 6qx ✏ 11
ô 54x ✏ 11
11

ô x ✏ 54
Vậy phương trình có tập nghiệm S

✏

✧ ✯
11
54

Ví dụ 7. (Bài 12 SGK toán 8 tập 2 trang 13) Giải các phương trình sau:
a)

5x ✁ 2
3

✏ 5 ✁2 3x ;

b)

10x   3
12

Giải
5x ✁ 2
5 ✁ 3x
✏
3
2
Bước 1: Quy đồng mẫu hai vế:
a)

2♣5x ✁ 2q
6

✏ 3♣5 ✁6 3xq .

Bước 2: Nhân hai vế với 6 để khử mẫu:
2♣5x ✁ 2q ✏ 3♣5 ✁ 3xq
9

✏ 1   6  3 8x ;


Bước 3: Thực hiện phép nhân đơn thức với một đa thức để bỏ dấu ngoặc:
2.5x   2.♣✁2q ✏ 3.5   3.♣✁3xq ô 10x ✁ 4 ✏ 15 ✁ 9x.
Bước 4: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế
kia:
10x   9x ✏ 15   4
Bước 5: Thu gọn và giải phương trình:
19
ô x ✏ 1.
♣10   9qx ✏ 19 ô 19x ✏ 19 ô x ✏ 19
Theo các bước trên, ta trình bày bài giải như sau:
5x ✁ 2
3

✏ 5 ✁2 3x ô 2♣5x6✁ 2q ✏ 3♣5 ✁6 3xq
ô 2♣5x ✁ 2q ✏ 3♣5 ✁ 3xq
ô 10x   9x ✏ 15   4
ô 10x ✁ 4 ✏ 15 ✁ 9x

ô 19x ✏ 19

ô x ✏ 1.
Vậy tập nghiệm của phương trình S ✏ t1✉.
10x   3
b)
✏ 1   6   8x
12
3
Bước 1: Quy đồng mẫu hai vế:
10x   3
12

4♣6   8xq
✏ 1.12
 
.
12
12

Bước 2: Nhân hai vế với 12 để khử mẫu:
10x   3 ✏ 12   4♣6   8xq.
Bước 3: Thực hiện phép nhân đơn thức với một đa thức để bỏ dấu ngoặc:
10x   3 ✏ 12   4.6   4.8x ô 10x   3 ✏ 12   24   32x.
10


Bước 4: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế
kia:
10x ✁ 32x ✏ 12   24 ✁ 3.

Bước 5: Thu gọn và giải phương trình:

♣10 ✁ 32qx ✏ 33 ô ✁22x ✏ 33 ô x ✏ ✁3322 ô x ✏ ✁23 .
Theo các bước trên, ta trình bày bài giải như sau:
10x   3
12

4♣6   8xq
✏ 1   6  3 8x ô 10x12  3 ✏ 1.12
 
12
12

ô 10x   3 ✏ 12   4♣6   8xq
ô 10x   3 ✏ 12   24   32x
ô 10x ✁ 32x ✏ 12   24 ✁ 3

ô ✁22x ✏ 33
ô x ✏ ✁23 .
✧ ✯
✁3 .
Vậy tập nghiệm của phương trình S ✏
2

11