Phương pháp chỉnh lặp song song giải hệ phương trình toán tử đơn điệu (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

TRẦN THANH HUYỀN

PHƯƠNG PHÁP CHỈNH LẶP SONG SONG
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

TRẦN THANH HUYỀN

PHƯƠNG PHÁP CHỈNH LẶP SONG SONG
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy

THÁI NGUYÊN - 2019




ử ử
ỵ







ữỡ Pữỡ tr t tỷ tr ổ









ổ

ổ ỗ trỡ





ố P tr





Pữỡ tr t tỷ ỡ


tỷ ỡ tr ổ



Pữỡ tr t tỷ t ổ

Pữỡ tr t tỷ J ỡ


tỷ J ỡ



Pữỡ tr t tỷ j ỡ

ữỡ ởt số ữỡ ữỡ tr t tỷ




ữỡ tr t tỷ ỡ


ữỡ tr t tỷ ữỡ



ỹ ở tử ừ ữỡ

ữỡ tr t tỷ J ỡ


Pữỡ



Pữỡ s s



Pữỡ s s

t

t






ỵ
H

ổ rt tỹ

E

ổ

E

ổ ố ừ E

SE

t ỡ ừ E

R

t số tỹ

R+

t số tỹ ổ



t rộ

x

ợ ồ x

D(A)

ừ t tỷ A

R(A)

ừ t tỷ A

A1

t tỷ ữủ ừ t tỷ A

I

t tỷ ỗ t

C[a, b]

ổ tử tr [a, b]

lp , 1 p <

ổ số tờ p

l

ổ số

Lp [a, b], 1 p <

ổ t p
tr [a, b]

d(x, C)

tứ tỷ x t ủ C

lim supn xn

ợ tr ừ số {xn }

lim inf n xn

ợ ữợ ừ số {xn }

xn x0

{xn } ở tử x0

xn

{xn } ở tử x0

J

x0

ố t





t t ổ ữủ ồ qs r
ữớ P ữ r ự ữ ừ t
tr ợ ữỡ tr ữớ r ỳ t ổ
ờ t t ổ rqs
r
t t ữủ t ởt ữủ t ỵ x E ữ t tứ ở ỳ
(f0 , f1 , . . . , fN ) F N +1 E F ổ N 0
r tỹ t ỳ tữớ ổ ữủ t tữớ
ữủ t fi F tọ

fi fi i ,

i = 0, 1, . . . , N,

ợ i > 0 s số trữợ ở ỳ ỳ (f0 , f1 , . . . , fN ) ữủ
trỹ t tr t số t ữủ ổ õ
t ồ

Ai (x) = fi ,

i = 0, 1, . . . , N,



Ai : D(Ai ) E F D(Ai ) ỵ ừ t
tỷ Ai tữỡ ự i = 0, 1, . . . , N
t õ ởt t t ổ t
ừ t ổ ử tở tử ỳ õ ữớ t
sỷ ử ữỡ ờ t s s số
ừ ỳ ọ t tữỡ ự ừ
t ởt tr ữỡ ữủ sỷ ử rở r
q ữỡ




ử t ừ t tr ởt số ữỡ
ữỡ tr t tỷ tr trữớ ủ t tỷ A0 ỡ

h tử ts ỏ t tỷ Ai i = 1, . . . , N õ t
t ỡ ữủ tr ổ tỹ E tr
ổ ố

ở ừ ữủ tr tr ữỡ ữỡ Pữỡ
tr t tỷ tr ổ ợ t ổ ỗ
trỡ ố tr tr ữỡ tr
t tỷ ỡ t ổ tr ổ ữỡ tr
t tỷ j ỡ tr ổ ũ ử ữỡ tr t
r t ổ
ữỡ ởt số ữỡ ữỡ tr t tỷ tr
ữỡ ữỡ tr tr t tỷ ỡ ũ
sỹ ở tử ừ ữỡ tr ữỡ s s
ữỡ s s ữỡ tr t tỷ j ỡ
tr ổ ũ sỹ ở tử ừ ữỡ
ữủ t t rữớ ồ ồ ồ
r q tr ồ t tỹ rữớ ồ
ồ t ồ tốt t tổ ữủ t ồ t
ự ổ t ỡ Pỏ t
ữủ tọ ỏ t ỡ t qỵ t ổ tr
rữớ ồ ồ ồ õ
qỵ t ổ trỹ t ợ ồ õ
t t tr t ỳ tự qỵ ụ ữ t
tổ t õ ồ
t ởt tổ ổ ữủ sỹ ữợ
ú ù t t ừ P ế ổ
tọ ỏ t ỡ s s ổ ỷ ớ tr ừ tổ ố ợ ỳ
ổ tổ
ổ ỷ ớ ỡ t t tợ ỳ ữớ


✹

✤➣ ❧✉æ♥ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❤é trñ ✈➔ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝

t➟♣ ✈➔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✾
❚→❝ ❣✐↔ ❧✉➟♥ ✈➠♥

❚r➛♥ ❚❤❛♥❤ ❍✉②➲♥




ữỡ

Pữỡ tr t tỷ tr ổ

ữỡ ợ t ởt số tự ỡ ổ
ỗ trỡ ố tr tr
ữỡ tr t tỷ ỡ ữỡ tr t tỷ j ỡ ũ
ử ữỡ tr t r t ổ tr ổ
rt ở ừ ữỡ ữủ t tr ỡ s tờ ủ tự tứ
t

ổ
E ổ ỵ E ổ ố ừ

E r t sỷ ử ỵ . ừ ổ
E E ợ ộ x E x E t t x (x) x , x x, x
t ố E = H ổ rt t t ố
t ổ ữợ ., . s tữỡ ự .

ổ ỗ trỡ

ổ E ữủ ồ
ợ ồ tỷ x E ổ ủ tự ừ E tỗ
t tỷ x E s

x (x) = x (x ) x E .


✻

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✷ ✭①❡♠ ❬✷✱ ✸❪✮ ●✐↔ sû E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝
♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿

(i) E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤↔♥ ①↕✳
(ii) ▼å✐ ❞➣② ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ E ✤➲✉ ❝â ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐ tö ②➳✉✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸ ✭①❡♠ ❬✸❪✮ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
✭✐✮ ❧ç✐ ❝❤➦t ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ x✱ y t❤✉ë❝ ♠➦t ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à SE := {x ∈ E : x = 1}
❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✱ x = y ✱ t❤➻

(1 − λ)x + λy < 1,
✭✐✐✮ ❧ç✐ ✤➲✉ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ 0 <

λ ∈ (0, 1);

≤ 2✱ x ≤ 1✱ y ≤ 1 ✈➔ x − y ≥

t❤➻ tç♥

t↕✐ δ = δ( ) > 0 s❛♦ ❝❤♦

x+y
< 1 − δ;
2
✭✐✐✐✮ trì♥ ♥➳✉ ❣✐î✐ ❤↕♥

lim
t→0

x + ty − x
t

tç♥ t↕✐ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ SE ✳
▼æ✲✤✉♥ trì♥ ❝õ❛ E ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

x+y + x−y
− 1 : x = 1, y = τ .
2

ρE (τ ) = sup

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✹ ✭①❡♠ ❬✸❪✮ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ trì♥ ✤➲✉ ♥➳✉
ρE (τ )
= 0.
τ →0
τ

lim hE (τ ) = lim

τ →0

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✺ ✭①❡♠ ❬✸✱ ❱➼ ❞ö ✷✳✶✳✷✱ ✷✳✶✳✸✱ ✷✳✷✳✸❪✮
✭✐✮ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Rn ✱ n ≥ 2 ✈î✐ ❝❤✉➞♥ x
n

x

2

i=1

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t✳

✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

1/2

x2i

=

2

,

x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn ,

✼

✭✐✐✮ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Rn ✱ n ≥ 2 ✈î✐ ❝❤✉➞♥ x

x

1

1

①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

= |x1 | + |x2 | + . . . + |xn |,

x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn ,

❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t✳
✭✐✐✐✮ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ lp ✱ Lp [a, b] ✈î✐ 1 < p < ∞ ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤➲✉✳

✶✳✶✳✷

⑩♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉✳ P❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✻ ✭①❡♠ ❬✶✸✱ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✸❪✮ ⑩♥❤ ①↕ J s : E → 2E ✱ s > 1
∗

✭♥â✐ ❝❤✉♥❣ ❧➔ ✤❛ trà✮ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

J s (x) = us ∈ E ∗ : x, us = x

us , us = x

s−1

,

x∈E

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✳ ❑❤✐ s = 2✱
→♥❤ ①↕ J 2 ✤÷ñ❝ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ J ✈➔ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛

E ✳ ❚ù❝ ❧➔
J(x) = u ∈ E ∗ : x, u = x

u , u = x

,

x ∈ E.

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✼ ✭①❡♠ ❬✶✸✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✻✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✹ ❪✱ ❬✸✱ ❱➼ ❞ö ✷✳✹✳✶✶❪✮
✭✐✮ ❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H ✱ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤ì♥
✈à I ✳
✭✐✐✮ ❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ lp (1 < p < ∞) ✈➔ Lp [0, 1] (1 < p < ∞)✱ →♥❤ ①↕ ✤è✐
♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ t÷ì♥❣ ù♥❣ ♥❤÷ s❛✉✿
∞

Jx =

p−1

|xi |

p
∀x = (xi )∞
i=1 ∈ l

s❣♥ (xi )
i=1

✈➔

Jx =

|x|p−1
s❣♥ (x) ∀x ∈ Lp [0, 1],
p−1
x

ð ✤➙② s❣♥(x) ❧➔ ❤➔♠ ❞➜✉ ❝õ❛ x ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝✿



−1, ♥➳✉ x < 0,


s❣♥(x) =
1,
♥➳✉ x > 0,




 0,
♥➳✉ x = 0.


✽

❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❇❛♥❛❝❤ E ✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✽ ✭①❡♠ ❬✸❪✮
(i) ◆➳✉ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥ t❤➻ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ J ❧➔
→♥❤ ①↕ ✤ì♥ trà✳

(ii) ◆➳✉ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥ ✤➲✉ t❤➻ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ J
❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ♠é✐ t➟♣ ❝♦♥ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ E ✳
❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② t❛ ❧✉æ♥ ❣✐↔ t❤✐➳t →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ J t❤ä❛
♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

x, J(x) = x

2

= J(x)

2

∀x ∈ E

❧➔ ✤ì♥ trà✳ ●✐↔ t❤✐➳t ♥➔② t❤ä❛ ♠➣♥ ♥➳✉ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥✳
❈→❝ ❜ê ✤➲ s❛✉ ✤➙② ✤÷ñ❝ sû ❞ö♥❣ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ❝❤➾♥❤ ❧➦♣ s♦♥❣ s♦♥❣ ❤✐➺♥ ✈➔ ➞♥ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳

❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✾ ✭①❡♠ ❬✺❪✮ ●✐↔ sû E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝ trì♥ ✤➲✉✳ ❑❤✐
✤â✱ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ E s❛♦ ❝❤♦ x ≤ R✱ y ≤ R t❛ ❝â

J(x) − J(y) ≤ 8RhE

16L x − y
R

,

tr♦♥❣ ✤â L ❧➔ ❤➡♥❣ sè ❋✐❣✐❡❧✱ (1 < L < 1.7)✳

❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✶✵ ✭①❡♠ ❬✺❪✮ ●✐↔ sû E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝ trì♥ ✤➲✉✳ ❑❤✐
✤â✱ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ E ✱ t❛ ❝â

x

2

≤ y

2

+ 2 x − y, J(x)

= y

2

+ 2 x − y, J(y) + 2 x − y, J(x) − J(y) .

❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✶✶ ✭①❡♠ ❬✺❪✮ ●✐↔ sû E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥ ✤➲✉✳ ❑❤✐ ✤â✱
✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ E ✱ t❛ ❝â

x − y, J(x) − J(y) ≤ 8 x − y

2

+ C( x , y )ρE ( x − y ),

tr♦♥❣ ✤â C( x , y ) ≤ 4 max{2L, x + y }✳




ờ sỷ E ổ trỡ õ
ợ ồ x, y E t õ

4 xy
,
R( x , y )

x y, J(x) J(y) R2 ( x , y )E
tr õ R( x , y ) =

21 ( x

2

+ y 2 ) ỡ ỳ x R y R

t

x y, J(x) J(y) 2LR2 E

4 xy
R

.

C t ỗ õ rộ ừ ổ
ỗ t E õ ợ ộ x E tỗ t t
ởt tỷ y C tọ

x y = d(x, C),
ợ d(x, C) = inf zC x z

C t ỗ õ rộ ừ
ổ E PC : E 2C

PC (x) =

y C : x y = d(x, C) x E

ữủ ồ tr tứ E C
ởt ử tr tr ổ Rn

ử sỷ a, b Rn a = 0 t ỷ ổ C Rn t
Q Rn

C = x Rn : a, x b 0
Q = x Rn : a, x b = 0 .
õ t tỷ C P ữủt


x,

PC (x) =
a, x b a

,

x
a 2


x,

PQ (x) =
a, x b a

,

x
a 2

a, x b 0
a, x b > 0.
a, x b = 0
a, x b = 0.


✶✵

✶✳✷ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉
✶✳✷✳✶

❚♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

❈❤♦ E ✈➔ F ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② t❛ ①➨t t♦→♥ tû
✤ì♥ trà A : E → F ✈î✐
▼✐➲♥ ①→❝ ✤à♥❤✿ D(A) := x ∈ E | A(x) = ∅ ✳
▼✐➲♥ ❣✐→ trà✿ R(A) := A(x) : x ∈ D(A) ✳
✣ç t❤à✿ ●r(A) := (x, y) ∈ E × F : x ∈ D(A), y = A(x) ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶ ✭①❡♠ ❬✷❪✮ ❚♦→♥ tû A : E → F ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t♦→♥ tû t✉②➳♥
t➼♥❤ ♥➳✉
✭❛✮ A(x + y) = A(x) + A(y) ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ D(A)❀
✭❜✮ A(αx) = αA(x) ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ D(A)✱ α ∈ R✳
❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ A ❧➔ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ t❛ s➩ ✈✐➳t Ax t❤❛② ❝❤♦ A(x)✳
❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ t♦→♥ tû ❧✐➯♥ tö❝✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✷ ✭①❡♠ ❬✷✱ ✸❪✮ ❚♦→♥ tû A : E → F ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
✭✐✮ ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ x0 ∈ D(A) ♥➳✉ ♠å✐ ❞➣② {xn } ⊂ D(A) ✈➔ xn → x0 t❤➻

A(xn ) → A(x0 )❀

✭✐✐✮ ❧✐➯♥ tö❝ t❤❡♦ t✐❛ ❤❛② h✲❧✐➯♥ tö❝ ✭❤❡♠✐✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s✮ t↕✐ x0 ∈ D(A) ♥➳✉ ✈î✐
♠å✐ y ∈ E ✱ tn ∈ R s❛♦ ❝❤♦ x0 + tn y ∈ D(A) t❤➻

A(x0 + tn y)

A(x0 ) ❦❤✐ tn → 0+ ;

✭✐✐✐✮ ❜→♥ ❧✐➯♥ tö❝ ❤❛② d✲❧✐➯♥ tö❝ ✭❞❡♠✐✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s✮ t↕✐ x0 ∈ D(A) ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐
❞➣② {xn } ⊂ D(A) ✈➔ xn → x ❦❤✐ n → ∞ t❤➻ A(xn )

A(x) ❦❤✐ n → ∞❀

✭✐✈✮ ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr➯♥ D(A) ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ❤➡♥❣ sè L ≥ 0 s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐

x, y ∈ D(A) t❛ ❝â A(x) − A(y) ≤ L x − y ;
✭✈✮ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ t➟♣ ω ⊂ D(A) ♥➳✉ A ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ ❝♦♠♣❛❝t tr➯♥ ω ❀




tử t sqt ts t x0 D(A)
ợ ồ {xn } D(A) s xn

x) t A(xn )

A(x0 )

n
õ t tỷ A õ t t tr õ tọ
t t t ồ x0 D(A)

t A tử st t õ tử
A tử t tử A tử t tử t t
ú ỵ r ữủ õ ổ ú
tỷ A ữủ ồ t tỷ ổ õ tử st ợ
số L = 1 A tử st ợ số L (0, 1) t t õ

A t tỷ

tỷ A : E F ữủ ồ
õ tr D(A) ợ ồ {xn } D(A) s xn x

A(xn ) y n t x D(A) y = A(x)
õ tr D(A) ợ ồ {xn } D(A) s xn

A(xn )

x

y n t x D(A) y = A(x)

õ tr D(A) ợ ồ {xn } D(A) s xn

A(xn ) y xn x A(xn )

x

y n t x D(A)

y = A(x)

ữợ t tỷ ỡ

tỷ A : E E ữủ ồ
ỡ A(x) A(y), x y 0 ợ ồ x, y E ỡ t
ừ t tự tr r x = y
dỡ tỗ t ởt ổ d(t) ổ ợ t 0

d(0) = 0 tọ t t
A(x) A(y), x y d( x ) d( y )

x y

x, y E;




ỡ tỗ t ởt ổ (t) ổ ợ t 0

(0) = 0 tọ t t
A(x) A(y), x y x y

x, y E;

(t) = t2 số ữỡ t A ữủ ồ t tỷ ỡ

ự

lim

x +

A(x), x
= + x E.
x

ữợ t t ừ t tỷ ỡ ữủ

tỷ A : E E ữủ ồ ỡ
ữủ ợ số ỡ ữủ tỗ t số
ữỡ s

A(x) A(y), x y A(x) A(y)

2

x, y E.

t
tỷ A : E E ỡ ữủ t tỷ ữủ
ừ õ t tr ỡ
ồ t tỷ ỡ ữủ t tỷ ỡ tử
st ợ số st L = 1/
ồ t tỷ ỡ ữủ t tỷ õ t
sỷ xn

x xn x D(A) A(xn ) y ứ t ỡ

ữủ ừ t tỷ A s r

A(xn ) A(x)

2

A(xn ) A(x), xn x
= A(xn ) y, xn x A(x) y, xn x 0,

n

ú ỵ ử ử tỷ ỡ ữủ
t tr ổ rt




ồ t tỷ t t A : H H tr ổ rt tỹ H tỹ
ủ t tử ổ t tỷ ỡ
1
ữủ tr õ tr r ợ t ừ t tỷ A

P tr PC ổ rt tỹ H t ỗ
õ C ừ H t tỷ A := I PC 1ỡ ữủ ú
ỵ r t tỷ ổ ỡ trứ C = H
f : E R ởt ỗ tử t rt tr
1
ổ E rt f ừ õ tử st t

f t tỷ ỡ ữủ
t ừ t tỷ A ợ t D(A)
t

tỷ A tứ
(D(A) E) E ữủ ồ
rt t x D(A) tỗ t t tỷ t t
tử A (x) : E E s ợ ồ h E tọ x + h D(A)
t õ

A(x + h) A(x) = A (x)h + r(x, h),
r(x, h) / h 0 h 0 õ A (x) A (x)h ữủ ồ
rt tữỡ ự ừ t tỷ A t x tỷ

A ữủ ồ rt õ rt t ồ x D(A)
t t x D(A) ợ ồ h E t R
tọ x + th D(A) tỗ t ợ
A(x + th) A(x)
= A(x, h).
lim
t0
t
tỗ t t tỷ t t tử B tứ E E s

A(x, h) = Bh t A (x) := B ữủ ồ t
ừ A t x

t ỵ ởt t tỷ rt t
t õ trũ ữủ
t tỗ t tử tr ừ x D(A) t
trũ ợ t x

Pữỡ tr t tỷ t ổ

t t ữỡ tr t tỷ tr ổ
t tỷ x0 E tọ

A(x0 ) := B(x0 ) f = 0,

f F,



B : E F ởt t tỷ tứ ổ E ổ
F t t ữủ r ữ r
t ữ s

E, F ổ tr t
ữủ ồ t t s ữợ
ữủ tọ
t ữủ ợ ồ f F
t õ t x E ợ ồ f F
x E ử tở tử f F
t t ởt tr tr ổ tọ t t
ữủ ồ t t ổ s
ởt trữớ ủ rt tữớ ừ t t ổ ú
ổ ờ t ợ t ờ ọ ừ ỳ B, f tợ sỹ t
ờ ợ ừ x E r t tỹ t ỳ B, f ổ t

õ ú t ự tt sỹ ử tở
tử ừ ợ ỳ B , f ừ B, f
ử ổ tỹ ởt tr ữỡ
t t ổ õ ữỡ

ờ E ởt ổ tỹ E ổ
ố ừ E f E A : E E ởt t tỷ h tử
õ tỗ t x0 E tọ t tự

A(x) f, x x0 0 x E,
t A(x0 ) = f
A t tỷ ỡ tr E t tr tữỡ ữỡ ợ

A(x0 ) f, x x0 0 x E.




ờ tr ữủ ồ ờ t t ừ t ồ ữớ
ự t q tr tr trữớ ủ E ổ rt
ụ ổ rr ự ởt ở
tr ổ ờ t ố ỳ t tự
A(x) f, x x0 0 ợ ồ x E ợ ữỡ tr t tỷ

A(x) = f
ữợ ởt ử ữỡ tr t tỷ t ổ

ử t t 0 (s) ừ ữỡ tr t
r t t ởt õ
1

K(t, s) 0 (s) ds = f0 (t),
0

f0 (t) tử trữợ tr ổ L2 [0, 1] Pữỡ tr
t r t t ởt t t ổ
t sỷ ữỡ tr õ 0 (s) õ ợ
1

K(t, s) sin(s)ds,

f1 (t) = f0 (t) +
0

ữỡ tr õ

1 (s) = 0 (s) + sin(s).
ợ t ý ừ ợ t ỳ f0 f1 tr

L2 [0, 1]
1

dL2 [0,1] (f0 , f1 ) = ||

K(t, s) sin(s)ds
0

1

2

2

1

dt

,



0

õ t ọ tũ ỵ t trữợ > 0, tỗ t K (t, s) C 1 (D)

D := [0, 1] ì [0, 1] s
K K

C1




.
2N

ỡ ỳ K (t, s) tử tr D tỗ t M > 0,
s

2 K



+

K
s



M


✶✻

✭❝❤✉➞♥ max tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ C 1 (D)✮✳ ❚➼❝❤ ♣❤➙♥ tø♥❣ ♣❤➛♥✱ t❛ ✤÷ñ❝
1

1
1
Kε (t, s) sin(ωs)ds = −
Kε (t, s) cos ωs −
0
ω
0
ε
Mε
<
,

≤
ω
2Ω
2ΩMε
❦❤✐ ω ≥ ω(ε) :=
. ❉♦ ✤â✱
ε
1

1
0

∂Kε
cos ωsds
∂s

1

K(t, s) sin(ωs)ds ≤

Kε (t, s) sin(ωs)ds

0

0
1

(Kε (t, s) − K(t, s)) sin(ωs)ds

+

≤

ε
.
Ω

0

❚ø ✤➙② s✉② r❛

∀ε > 0,

∃ω(ε) : ∀ω > ω(ε), f1 − f0 ≤ Ω

ε
= ε.
Ω

◆❤÷ ✈➟②✱ ❦❤✐ ω ✤õ ❧î♥✱ f1 r➜t ❣➛♥ f0 ✱ tr♦♥❣ ❦❤✐ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠

ϕ0 (s) ✈➔ ϕ1 (s) tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ L2 [0, 1] ❝â t❤➸ ❧➔♠ ❧î♥ ❜➜t ❦ý ✈➻
1

1
2

2

1
2

sin (ωs)ds
0

0

1
= |Ω|
2

2

= |N |

x0 (s) − x1 (s) ds

dL2 [0,1] (ϕ0 , ϕ1 ) =

1

1
2

1

1 − cos(2ωs) ds
0

1
sin(2ω)

= |Ω|
1−
2
2ω

1
2

≥

Ω
.
2

✶✳✸ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû J ✲✤ì♥ ✤✐➺✉
✶✳✸✳✶

❚♦→♥ tû J ✲✤ì♥ ✤✐➺✉

❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶ ✭①❡♠ ❬✸❪✮ ❚♦→♥ tû A : E → E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
(i) η ✲J ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ❤➡♥❣ sè η > 0 s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ D(A)✱
t❛ ❝â

Ax − Ay, j(x − y) ≥ η x − y 2 , j(x − y) ∈ J(x − y);

(ii) J ỡ ữủ ỗ ự j ỡ tỗ t
số > 0 s ợ ồ x, y D(A) t õ

Ax Ay, j(x y) Ax Ay 2 , j(x y) J(x y);
(iii) J ỡ ợ ồ x, y D(A) t õ
Ax Ay, j(x y) 0, j(x y) J(x y);
(iv) J ỡ ỹ A t tỷ J ỡ ỗ t r(A) ừ
t tỷ A ổ tỹ sỹ ự tr t ởt ỗ t ừ ởt t tỷ

j ỡ
(v) mJ ỡ A t tỷ J ỡ R(A + I) = E

ờ A : E E t tỷ J ỡ h tử
ợ D(A) = E t A t tỷ J ỡ ỹ

tỷ tử A : E E ữủ ồ J ỡ
ữủ ỡ J ỡ ữủ tỗ t ởt
+
: R+ ì R+
R tử t t t tự (s, t) = 0

t = 0 ợ ộ s > 0 ố s ợ ồ r > 0 x, y E

x , y r t õ
A(x) A(y), J(x y) r, A(x) A(y) .



t ợ t tỷ J ỡ ữủ ợ tỹ sỹ
ừ ợ t tỷ J ỡ ữủ

ử ồ t tỷ J ỡ ữủ J ỡ ữủ
õ J ỡ t A t tỷ J ỡ ữủ ợ
số c t A tử st ợ số st c1 t tự
tọ ợ (s, t) = ct2



Pữỡ tr t tỷ j ỡ

ổ E ữủ ồ õ t t
tỗ t ởt ồ ổ ỳ ỗ {En }
Pn : E En s Pn = 1 ợ ồ n 0 n En trũ
t tr E




sỷ E ổ õ t t A : E E t tỷ

J ỡ ợ D(A) J : E E ố
t t ữỡ tr

A(x) = f,

f E.



sỷ t SA ừ rộ õ t q s t t

ừ ữỡ tr

ờ sỷ ổ E õ t t tỷ
A : E E t tỷ J ỡ h tử ợ D(A) = E ố
t J : E E tử tử t õ
t ữỡ tr

A(x) + x = f



ợ t số ữỡ f E t

ờ ỵ E ởt ổ tỹ
ỗ t ợ t A mJ ỡ
tr E õ ợ ộ > 0 f E ố trữợ ữỡ tr

A(x) + x = f õ t x r t SA ừ
ữỡ tr A(x) = f rộ t {x } ở tử tợ x
t ừ t tự s

x , j(
x x ) 0 x SA .
ỡ ỳ t õ x x / tr õ x t
ừ ữỡ tr A(x) + x = f ợ > 0 t ý f E tọ

f f

ữỡ

ởt số ữỡ ữỡ
tr t tỷ
ữỡ tr ởt số ữỡ ữỡ tr
t tỷ ỡ J ỡ tr ổ rt H ổ
E ở ừ ữỡ ữủ t tr ỡ s tờ ủ tự tứ
t

ữỡ tr t tỷ ỡ


ữỡ tr t tỷ ữỡ

ử tr ữỡ ữỡ tr t tỷ
tr ổ rt tỹ H

Ai (x) = fi ,

i = 0, 1, . . . , N,



Ai : H H t tỷ ỡ fi H trữợ N 0
tt õ tự
N

SAi = ,

S :=
i=0

SAi t ừ ữỡ tr tự i ừ õ S
t ỗ õ tr H õ tỗ t t tỷ x0 S õ x
ọ t

x0 x = min z x ,
zS

x H.






Pữỡ ữỡ tr t tỷ tr ổ
rt tỹ H ữủ ổ t ữ s

Pữỡ Pữỡ H ởt
ổ rt tỹ sỷ z0 H tũ ỵ trữợ t t

zm ữủ
N

zm+1 = zm m A0 (zm ) +

à+1
Ai (zm ) + m
(zm x ) ,

à
m



i=1

m t số m t số à > 0 số tỹ
tũ ỵ
tr sỹ ở tử ừ ữỡ trữợ t t t ữỡ
tr t tỷ
N

A0 (x) +

à
m

à+1
Ai (x) + m
(x x ) = 0.



i=1

ỹ tỗ t t ừ ữỡ tr ữủ tr tr
ỵ s

ỵ sỷ A0 : D(A0 ) = H H t tỷ ỡ
h tử t tỷ Ai : D(Ai ) = H H i = 1, 2, . . . , N i ỡ
ữủ S := N
i=0 SAi = õ

(i) ợ ộ m > 0 ữỡ tr õ t xm
(ii) 0 < m 1 m 0 m + t

lim xm = x0 S õ

m+

x ọ t
xm+1 xm = O

| m+1 m |
,
à+1
m

xm+1 ừ ữỡ tr m ữủ t m+1

ự (i) Ai t tỷ i ỡ ữủ
i = 1, 2, . . . , N Ai ỡ Li tử st ợ Li = 1/i
õ Ai h tử ợ ộ m > 0 ố t tỷ

A := A0 +

à
m

N
i=1

Ai ỡ h tử D(A) = H A t tỷ




ỡ ỹ õ ỵ tr ữỡ tr
à+1
õ t I t tỷ ỡ t A + m
I

ụ t tỷ ỡ t ợ ộ m > 0 ữỡ tr õ
t xm

(ii) ứ ợ ồ x S t õ
N

A0 (xm ), xm x +

à
m

à+1
Ai (xm ), xm x + m

xm x , xm x = 0.
i=1

ứ ữỡ tr tr sỷ ử t t ỡ ừ t tỷ Ai s r


xm x , x xm 0 x S.
õ

xm x x x

x S.

õ {xm } ổ rt H ổ
tỗ t ừ {xm } ở tử tỷ tở

H ỡ t sỷ xm

x m + rữợ t t ự

x S0 t tứ t t ỡ ừ Ai i = 0, 1, . . . , N
t õ

A0 (x), x xm A0 (xm ), x xm
N



à
m

à+1
Ai (xm ), xm x + m
xm x , xm x
i=1
N

à
m

à+1
Ai (x), xm x + m
x x , xm x

x H.

i=1

ứ t tự tr m 0 m + t ữủ

A0 (x), x x 0 x H.
ờ t s r x S0 t t s ự x Si

i = 1, 2, . . . , N t tứ t t ỡ ừ Ai t õ
N

Ai (xm ), xm x +m xm x , xm x =
i=1

1

à A0 (xm ), xxm 0, x S0 .
m


✷✷

❈❤♦ αm → 0 ❦❤✐ m → +∞ t❛ ✤÷ñ❝
N

✭✷✳✼✮

Ai (x), x − x ≤ 0 ∀x ∈ S0 .
i=1

●✐↔ sû x ❧➔ ♣❤➛♥ tû t❤✉ë❝ Si ✱ i = 1, 2, . . . , N ✳ ❚ø ✭✷✳✼✮ ✈➔ t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛
❝→❝ t♦→♥ tû Ai t❛ ❝â
N

N

Ai (x), x − x ≥

0=
i=1

Ai (x), x − x ≥ 0.
i=1

❉♦ ✤â✱
N

N

Ai (x), x − x = 0 =
i=1

Ai (x), x − x .
i=1

❱➻ ✈➟②✱
N

Ai (x) − Ai (x), x − x = 0.
i=1

❙û ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t λi ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ♥❣÷ñ❝ ❝õ❛ Ai ✱ i = 1, 2, . . . , N t❛ ❝â
N

N

Ai (x) − Ai (x), x − x ≥

0=
i=1

λi Ai (x) − Ai (x)

2

≥ 0.

i=1

❉♦ ✈➟②✱

Ai (x) = Ai (x),

i = 1, 2, . . . , N.

❚ø ✤➙② s✉② r❛✱ x = x ♥➯♥ x ∈ S ✳ ❚✐➳♣ tö❝✱ tø ✭✷✳✻✮ t❛ ❝â

x − x∗ , x − xm ≥ 0 ∀x ∈ S,
❝❤♦ m → ∞ t❛ ✤÷ñ❝

x − x∗ , x − x¯ ≥ 0 ✈î✐ ♠å✐ x ∈ S.
❉♦ S ❧➔ t➟♣ ❧ç✐ ♥➯♥ t❛ t❤❛② x ❜ð✐ (1 − t)x + t¯
x✱ s❛✉ ✤â ❝❤✐❛ ❝↔ ❤❛✐ ✈➳ ❝❤♦

1 − t ✈➔ ❝❤♦ t → 1 t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
x¯ − x∗ , x − x¯ ≥ 0 ✈î✐ ♠å✐ x ∈ S,
s✉② r❛

x¯ − x∗ ≤ x − x∗

✈î✐ ♠å✐

x ∈ S.