Học như thế nào

Trong phần này tôi xin nêu một ví dụ điển hình về ứng dụng kết quả của
bài toán trong sách giáo khoa hình học lớp 9:
Bài 1: (Bài 23-sgk-trang 76-hình học lớp 9-tập II)
Cho đờng tròn (O) và một điểm M bên ngoài đờng tròn đó. Qua M kẻ
hai cát tuyến MAB và MCD với đờng tròn.
Chứng minh rằng: MA.MB = MC.MD
D
C
O
B
A
M
GT: MAB và MCD là hai cát tuyến
của (O)
KL: MA.MB = MC.MD.
Chứng minh:
Xét MAD và MCB có:
M là góc chung; MBC = MDA ( cùng chắn cung AC)

MAD ~ MCB
MDMCMBMA
MB
MD
MC
MA
..
==
(đpcm)
Bài 2:( Bài 33-sgk-trang 80-hình học lớp 9-tập II)
Cho đờng tròn (O) và một điểm M bên ngoài đờng tròn đó. Qua M kẻ
tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB.

Chứng minh rằng MT
2
= MA.MB.
O
B
A
T
M
GT: (O) ; MT là tiếp tuyến (O)
MAB là cát tuyến.
KL: MT
2
= MA.MB
Chứng minh:
Xét MTA và MBT có
M chung;
MTA = TBM ( góc nội tiếp và góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn
cung AT)

MTA ~ MBT
MBMAMT
MT
MA
MB
MT
.
2
==
(đpcm)
Đây là hai bài toán khá đơn giản song kết luận của bài toán khá quan

trọng giúp chúng ta giải quyết đợc mộp lớp bài toán có liên quan đến kết luận
của hai bài toán này. Sau đây là các bài toán mà trong quá trình giải sử dụng
kết quả của hai bài toán trên.
Bài 3:
Cho đờng tròn (O) và một điểm M cố định bên ngoài đờng tròn đó.
Qua M kẻ cát tuyến MAB với đờng tròn.
Chứng minh rằng tích MA.MB không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến.
Chứng minh:
Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT với đờng
tròn (O)
Theo kết quả của bài toán 2. Ta có:
MTA ~ MBT
MBMAMT
MT
MA
MB
MT
.
2
==
Do M cố định nên đoạn thẳng MT không
O
B
A
T
M
đổi

MA. MB không phụ thuộc vào vị trí
của cát tuyến MAB.

Nhận xét: Đây là bài toán không đơn giản đối với học sinh trung bình và khá
nếu học sinh cha biết đến hai bài toán trên. Bài toán 3 chẳng qua là cách phát
biểu khác với bài toán 1 và bài toán 2.
Bài 4: Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B . Kẻ tiếp tuyến chung
MN của hai đờng tròn ( M (O); N (O'); đờng thẳng AB cắt MN tại I.
Chứng minh rằng: I là trung điểm của MN.
Chứng minh:
Sử dụng kết luận của bài toán 2 .Ta có:
Xét (O)

IM
2
= IA . IB
Xét (O')

IN
2
= IA . IB

IM
2
= IN
2


IM = IN

I là
trung điểm của đoạn MN.
I

O'
O
M
N
B
A
Nhận xét: Bài toán 4 đợc tạo ra từ bài toán 2 song mức độ khó hơn nếu học
sinh không có t duy linh hoạt sáng tạo thì rất khó tìm ra ngay lời giải của bài
toán 4. Tuy nhiên nếu biết khai thác kết luận của bài toán 2 thì lời giải thật
đơn giản.
Bài 5:
Từ điểm A bên ngoài đờng tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đ-
ờng tròn. Gọi BD là dây của đờng tròn song song với AC, E là giao điểm của
AD với đờng tròn, I là giao điểm của BE và AC. Chứng minh rằng I là trung
điểm của AC.
Hớng dẫn HS dựa vào bài toán 2 tìm
cách chứng minh .
Ta cần chứng minh: IC = IA
Theo bài toán 2 ta có: IC
2
= IE . IB
Vậy ta chỉ cần chứng minh: IA
2
= IE . IB.
Để có IA
2
= IE. IB ta chứng minh IAE
~ IBA
I
E

D
C
O
B
A
Chứng minh:
Theo kết quả của bài toán 2 ta có: IC
2
= IE. IB (1)
Có : AC // BD

BDA = IAE ( so le)
Mà BDA = ABI ( Góc nội tiếp và góc tạo bởi 1tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn
cung BE)


IAE = IBA.
Xét IAE và IBA có I chung; IAE = IBA.

IAE ~ IBA


IA
IE
IB
IA
=


IA

2
= IE . IB (2)
Từ (1) và (2)

IC
2
= IA
2


IC = IA

I là trung điểm của AC.
Nhận xét: Trong bài toán này nhờ có kết quả của bài toán 2 nên con đờng tìm
dến lời giải dễ dàng mạch lạc hơn.
Bài 6:
Cho hình vuông ABCD có cạnh dài 2cm. Tính bán kính của đờng tròn
đi qua A và B biết rằng đoạn tiếp tuyến kẻ từ D đến đờng tròn đó bằng 4cm.
Chứng minh:
Gọi F là giao điểm của DA với đờng tròn (O)
Có FAB = 90
0


FB là đờng kính.
áp dụng bài toán 2 ta có:
DE
2
= DA. DF = DA( DA + AF )

16 = 2.( 2 + AF ) => AF = 6 (cm)
ABF có A = 90
0
Ta có:
BF
2
= AB
2
+ AF
2
= 2
2
+ 6
2
= 40

BF = 2
10
Vậy bán kính đờng tròn là
10
cm.
O
F
E
D C
BA
Bài 7:
Qua điểm A nằm ngoài đờng tròn (O), kẻ cát tuyến ABC với đờng tròn.
Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K. Qua K kẻ đờng
vuông góc với AO, cắt AO tại H và cắt đờng tròn (O) tại E và F ( E nằm giữa

K và F ). Gọi M là giao điểm của OK và BC. Chứng minh rằng tứ giác EMOF
nội tiếp đờng tròn.
Hớng dẫn học sinh tìm lời giải.
Để tứ giác EMOF nội tiếp ta cần chứng
minh
F
1
= M
1
muốn vậy ta chỉ ra KME
~ KFO
cần có thêm KE . KF = KM . KO
theo bài toán 2 thì KE . KF = KC
2
nên
ta chỉ cần chứng tỏ
KM . KO = KC
2

Chứng minh:
1
1
H
M
K
O
F
E
C
B

A
Từ kết luận của bài toán 2 ta có : KC
2
= KE . KF (1)
KCO có C = 90
0
, CM OK

KC
2
= KM. KO (2)