Tóm tắt luận văn Tiến sĩ Toán học: Sự tồn tại nghiệm yếu của một lớp phương trình và hệ phương trình Elliptic không tuyến tính với hệ số không trơn trong Rn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THÀNH CHUNG

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM YẾU CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ
KHÔNG TRƠN TRONG RN
Chuyªn ngμnh: TOÁN HỌC
M∙ sè: 62 46 01 05

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

hμ néi – 2010


công trình đợc hon thnh tại

I HC QUC GIA H NI
TRNG I HC KHOA HC T NHIấN
Ngời hớng dẫn khoa học

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Phản biên 3:

Luận án tiến sĩ sẽ đợc bảo vệ trớc Hội đồng chấm luận án cấp nhà nớc họp tại Viện Nghiên cứu

văn hoá vào hồi

giờ

ngày tháng

Có thể tìm đọc luận án tại:
- i hc quc gia H Ni
- Th viện Quốc gia

năm 2010


ở
ừ ữ tế ỷ tứ trì r trở t ột
tệ ứ ủ ế tr ề t ọ
ế ố ữ t ứ ụ t ý tết ề ủ
ế sốt tr ứ ý tết ứ ụ ủ trì
r ó t tồ t ệ ế tế ỷ ệ
ủ trì r ợ ể t ột t
ệ ổ ể tứ ệ ế t ủ ó
t tr trì ột ề ễ t ể
t ố í ột q trì t ý ọ tì ệ ỉ q t
ế ệ ổ ể ủ trì r t ủ ì
ể ệ ứ trì r ó ý ĩ ớ ố tợ
ó tì ệ ở rộ ệ ệ ủ trì
r ột ề tết ó ệ ệ s rộ r
ờ ờ t ó tể r ề ị ĩ ề ệ s rộ
ột t ừ t ẽ ề t t ọ ừ ó
ý ĩ ề ệ t ý

r ố ó ớ ứ ủ ú t t r sử ụ
ế ứ sự tồ t ệ s rộ ệ
ế ủ t ố ớ trì ệ trì t
tế tí ớ tờ ợ sử ụ
t tử ệ ệ tr ệ ớ
ý ể t ộ ế
tỏ r ó ệ ự

ý tở ủ ế ụ

trì r ự tr sở ý tết ể tớ
ộ ủ ó t ét ề ệ ứ ột ế

J

tụ t ột ĩ ó tr

X

ợ

ự tí ợ ọ ế ợ ết s ể tớ
ủ ế

J

ệ s rộ ủ t ột

1

♣❤➳♣ t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣ ➤Ó t×♠ ➤✐Ó♠ tí✐ ❤➵♥ ❝ñ❛ ♠ét ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧➭ t×♠ ➤✐Ó♠
❝ù❝ t✐Ó✉ ❤♦➳ ❝ñ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ➤ã✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ✈✐Ö❝ t×♠ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ t✐Ó✉ ❝ñ❛ ♠ét
♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➠♥❣ ❤Ò ➤➡♥ ❣✐➯♥✳ ❱➯ ❧➵✐✱ ❧í♣ ❝➳❝ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❝ã t❤Ó ❝ù❝ t✐Ó✉ ❤♦➳
t➢➡♥❣ ➤è✐ ❤➵♥ ❝❤Õ✳ ❱× ✈❐②✱ tr♦♥❣ ♥❤✐Ò✉ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♥❣➢ê✐ t❛ q✉❛♥ t➞♠ ➤Õ♥
❝➳❝ ➤✐Ó♠ ②➟♥ ♥❣ù❛ ✭❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❝ù❝ t✐Ó✉✮ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ♥➝♥❣ ❧➢î♥❣✳
❈➡ së ➤Ó ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ➤✐Ó♠ ②➟♥ ♥❣ù❛ ❝ñ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧➭ ❝➳❝ ❜æ ➤Ò ❜✐Õ♥ ❞➵♥❣
✈➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝♦♠♣❛❝t✳ ▼ét ❦Õt q✉➯ q✉❛♥ trä♥❣ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ sù tå♥ t➵✐ ➤✐Ó♠
tí✐ ❤➵♥ ❝ñ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠

J

tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

X

➤ã ❧➭ ✧➜Þ♥❤ ❧ý q✉❛

♥ó✐✧ ✭▼♦✉♥t❛✐♥ ♣❛ss t❤❡♦r❡♠✮✳ ➜Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐ ❧➬♥ ➤➬✉ t✐➟♥ ➤➢î❝ ➤➢❛ r❛
✈➭♦ ♥➝♠ ✶✾✺✵ ❜ë✐ ❘✳ ❈♦✉r❛♥t ❝❤♦ ❝➳❝ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉✳ ◆➝♠ ✶✾✼✸✱ ❆✳ ❆♠❜r♦s❡tt✐ ✈➭ P✳ ❘❛❜✐♥♦✇✐t③ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤
➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐ ❝❤♦ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t ❧✐➟♥ tô❝ tr♦♥❣ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
❇❛♥❛❝❤✳
➜Þ♥❤ ❧ý

R

✵✳✶

✭①❡♠ ❬✶❪✮✳ ●✐➯ sö

(X, . ) ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ J : X →

❧➭ ♠ét ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥

P❛❧❛✐s✲❙♠❛❧❡✱ tø❝ ❧➭ ✈í✐ ♠ä✐ ❞➲②

{un } ⊂ X

X✱

t❤♦➯ ♠➲♥

t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥

|J(un )|

C ✱ ∀n ✈➭

DJ(un ) → 0 ❦❤✐ n → ∞✱ ➤Ò✉ ❝ã t❤Ó trÝ❝❤ ➤➢î❝ ♠ét ❞➲② ❝♦♥ ❤é✐ tô tr♦♥❣ X ✳
❍➡♥ ♥÷❛✱

J(0) = 0 ✈➭ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ J

(i)

❚å♥ t➵✐

α✱ r > 0 s❛♦ ❝❤♦ J(v)

(ii)

❚å♥ t➵✐

v0 ∈ X

✈í✐

t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ s❛✉✿

α ✈í✐ ♠ä✐ v ∈ X ✱ ||v|| = r❀

||v0 || > r s❛♦ ❝❤♦ J(v0 ) < 0✳

➜➷t

c = inf

max J(ϕ(t)) : ϕ ∈ C([0, 1], X), ϕ(0) = 0, ϕ(1) = v0 .

t∈[0,1]
❑❤✐ ➤ã✱ tå♥ t➵✐

u∈X

s❛♦ ❝❤♦

c = J(u)

α > 0 ✈➭ DJ(u) = 0✳

▲ý t❤✉②Õt ➤✐Ó♠ tí✐ ❤➵♥ ❝ï♥❣ ✈í✐ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐ ➤➲ ❣ã♣ ♣❤➬♥ q✉❛♥ trä♥❣
tr♦♥❣ ✈✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝❤♦ ♠ét ❧í♣ ❦❤➳ ré♥❣ ❝➳❝ ❜➭✐
t♦➳♥ ❜✐➟♥ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈➭ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ❦❤➠♥❣

−2−


tế tí ữ tế ủ ị ý q ú ù ớ ề ệ Ps
ợ ề t ọ ớ tr tế ớ q t ứ
ứ tr trì tết ổ ề ế
ứ ị ý q ú ớ ế tụ ế
tr ị ĩ ết q ệt ữ
í ứ t t ớ ệ số ỳ ị
ị ĩ X ột ó ế


J : X R tụ ế tr X

(i) J
(ii)

tụ tr

ớ ọ

ế tỏ ề ệ

X

u X tồ t ột tế tí DJ(u) : X R s
J(u + tv) J(u)
= DJ(u)(v), v X;
t0
t

lim
(iii)

ớ ỗ

ý ệ
t

v X u DJ(u)(v) tụ X

Cw1 (X)

t ế tụ ế tr

X

ễ

C 1 (X) Cw1 (X) tr ó C 1 (X) t ế

rét tụ tr

X

ế trớ ó ột ứ

q ế ệ ụ ị ý q ú ố ớ ế
tụ ế ù ý tở ở r ột ớ ứ ề ệ tồ
t ệ ế ột ớ rộ ớ t ố ớ trì
ệ trì t tế tí ế ợ
ết ớ ó rét
ố tợ ú t ề ế tr sự tồ t ệ
ế ủ trì ệ trì t ó

div(a(x, u)) = f (x, u), x ,
tr ó

ột t ở tr RN



ú ý r ột số tờ

ủ trì trì

div(|u|p2 u) = f (x, u), x ,
3




div(h(x)|u|p2 u) = f (x, u), x ,
tr ó

h : R t ột số ề ệ t ị ột t ớ

ớ t tử tr ợ ứ rộ r t tử



tử

div(a(x, u)) t ệ tr t ế t tế tí
ổ ể t ì t ọ ủ ệ tợ trề ệt tr t
tể ệ tợ trề só tr ì t ọ ủ ò
t ỏ t P trì ớ
tứ tế ố ớ

f (x, u) ột ể

u ồ ề ì t ọ tr ọ ợ

tử ọ tr trờ tụ ý tết trờ ữ ết q t
ợ từ ữ ứ ó ừ ó ý ĩ ề t ý tết ừ ó ý ĩ
ề t ứ ụ
ớ P r ứ sự tồ t
ệ ủ t rt ột ớ trì t tổ
qt tr ề ị

RN

ó tr ở ó

a :

ì RN RN a = a(x, ) ợ tết tụ t ế
ủ ột tụ

A : ì RN R

tứ

a(x, ) =

A(x,)



t ề ệ t

C(1 + ||p1 )

|a(x, )|
ớ ọ



x RN p (1, +) f : ì R R ợ tết

ột rtér t ề ệ ể rsttt
tứ tồ t số

à > p s
0 < àF (x, z)

ớ ọ

x



z R\{0}

zf (x, z)

tr ó

F (x, z) =


z
0

f (x, t)dt

ó

ệ ủ t í ể tớ ế tồ t ủ ế
ợ ết ớ t ợ ị ở tứ

F (x, u)dx, u W01,p ().

A(x, u)dx

J(u) =




ế tụ ứ ủ P r ề t
ở rộ ết q t r tết

4


ế ét

= RN

ứ ũ

ứ ột trờ ợ ỳ ị ủ trì tr ó
tết ợ t ở tết ế s

C(h0 (x) + h1 (x)||p1 )

|a(x, )|
ớ ọ
tờ

p

x RN p (1, +) h0 L p1 () h1 L1loc () ồ

h0 (x)

0 h1 (x)

t ệ tết

1

ớ ọ

h1 L1loc ()

x

õ r ớ sự

ế ợ ết ớ

t rt ó tể ị tr t

W01,p ()


ó ệ ủ t ỉ ó tể tồ t tr ột

H

ó ủ

W01,p () ì ý ó t tr

trờ ợ ợ ú t ọ t ề ủ
trì t


H

ó tr ó trọ ợ

ị ở

H=

u W01,p () :

h1 (x)|u|p dx <


ớ

u

H

h1 (x)|u|p dx

=

1
p



ế

J : H R tụ ế tứ J Cw1 (H) tết

ọ Ps ủ ế
t ề ệ Ps tr

H

J

ị ó

ệ ế ủ

t rt sẽ tồ t ờ ị ý q ú ế
tụ ế tr

H

ừ trì ứ ột ề

s tr ý tết ế ệ t ột ế

rét tụ ở ột ế tụ ế ết q ế
ổ ể ò ú ột số ề q ế ỏ tr
ó tể tì t tr trì ứ ủ
ệt ý ự tể ổ ể tr
ợ ứ ớ ế tụ ế

5


➜Þ♥❤ ❧ý

✵✳✷

✭①❡♠ ❬✶✼❪✮✳ ❈❤♦

X

❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ●✐➯ sö

J ∈

Cw1 (X) ✈➭ t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥✿
(i) J
(ii) J

❜Þ ❝❤➷♥ ❞➢í✐✱

c = inf X J ❀

t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ P❛❧❛✐s✲❙♠❛❧❡ tr➟♥

❑❤✐ ➤ã✱ tå♥ t➵✐

u∈X

s❛♦ ❝❤♦

X✳

J(u) = c ✈➭ DJ(u) = 0✳

❇➺♥❣ ❝➳❝❤ ➳♣ ❞ô♥❣ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ■✳ ❊❦❡❧❛♥❞ ❬✶✶❪✱ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐
❝ï♥❣ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❝ù❝ t✐Ó✉ ➤➢î❝ t❤✐Õt ❧❐♣ ❧➵✐ ❝❤♦ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ ②Õ✉
tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ ❝➳❝ t➳❝ ❣✐➯ ❍♦➭♥❣ ◗✉è❝ ❚♦➭♥ ✈➭ ◆❣➠ ◗✉è❝ ❆♥❤
➤➲ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❞➵♥❣ ✭✵✳✶✮✱ ✭✵✳✷✮✱
✭✵✳✸✮ ❝ã ❤Ö sè ❦❤➠♥❣ tr➡♥ tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ ❜Þ ❝❤➷♥

Ω ⊂ RN

✈➭ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ♠ét sè

❦Õt q✉➯ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ sù tå♥ t➵✐✱ ❦❤➠♥❣ tå♥ t➵✐ ✈➭ tÝ♥❤ ➤❛ ♥❣❤✐Ö♠✳
❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ➳♥ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ t✐Õ♣ tô❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈➭ ❤Ö
♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❞➵♥❣ ✭✵✳✶✮✱ ✭✵✳✷✮ ✈➭ ✭✵✳✸✮ ✈í✐ ❝➳❝ ✈✃♥ ➤Ò ❝ô t❤Ó ♥❤➢ s❛✉✿
✶✳ ◆❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐
♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❞➵♥❣ ✭✵✳✶✮✱ ✭✵✳✷✮ ✈➭ ✭✵✳✸✮ ✈í✐ ❤Ö sè ❦❤➠♥❣ tr➡♥ tr♦♥❣ ♠✐Ò♥

RN

Ω⊂

❦❤➠♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥✳

✷✳ ◆❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✈í✐
❤Ö sè ❦❤➠♥❣ tr➡♥ ✈➭ s✉② ❜✐Õ♥ tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ ❜Þ ❝❤➷♥ ❤♦➷❝

RN ✳

✸✳ ◆❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣
tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ tù❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧♦➵✐

p✲▲❛♣❧❛❝✐❛♥✳

✹✳ ◆❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣
tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ö❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈í✐ t❤Õ ✈Þ ❦✐Ó✉ ❍❛r❞②✳
◆é✐ ❞✉♥❣ ❧✉❐♥ ➳♥ ➤➲ ➤➢î❝ ❝➠♥❣ ❜è tr♦♥❣ ✼ ❜➭✐ ❜➳♦ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ✭❬✶✱ ✸✱ ✺✱ ✻✱ ✼✱
✾✱ ✶✵❪✱ ✧❉❛♥❤ ♠ô❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ❝ñ❛ t➳❝ ❣✐➯ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❧✉❐♥ ➳♥✧✮
✈➭ ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭② t❤➭♥❤ ✹ ❝❤➢➡♥❣✳
❚➳❝ ❣✐➯ ❧✉❐♥ ➳♥ ①✐♥ ➤➢î❝ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ ➤Õ♥ P●❙✳ ❚❙✳ ❍♦➭♥❣
◗✉è❝ ❚♦➭♥✱ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❈➡ ✲ ❚✐♥ ❤ä❝✱ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ❚ù ♥❤✐➟♥✱

−6−


➜➵✐ ❤ä❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➭ ◆é✐✱ ♥❣➢ê✐ ➤➲ ❞×✉ ❞➽t t➳❝ ❣✐➯ tõ ♥❤÷♥❣ ♥❣➭② ➤➬✉ ❧➭♠
❦❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ➳♥✳ ❉➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❝ñ❛ P●❙✳
❚❙✳ ❍♦➭♥❣ ◗✉è❝ ❚♦➭♥✱ sù ❣✐ó♣ ➤ì ❝ñ❛ ❝➳❝ ❚❤➬② ❈➠ ✈➭ ❝➳❝ ❛♥❤ ❝❤Þ ❡♠ tr♦♥❣
s❡♠✐♥❛r ❇é ♠➠♥ ●✐➯✐ tÝ❝❤✱ t➳❝ ❣✐➯ ➤➲ ❤ä❝ ➤➢î❝ ❝➳❝❤ ❧➭♠ ✈✐Ö❝ tr♦♥❣ ♠ét ♠➠✐
tr➢ê♥❣ ❦❤♦❛ ❤ä❝✱ ❝❤✉②➟♥ ♥❣❤✐Ö♣✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ❧✉❐♥ ➳♥ ➤➷❝ ❜✐Öt ❝➯♠ ➡♥ sù ❝é♥❣
t➳❝ ✈➭ ❝❤✐❛ sÏ ♥❤÷♥❣ t❤➠♥❣ t✐♥ ✈➠ ❝ï♥❣ ❤÷✉ Ý❝❤ ❝ñ❛ ❚❤❙✳ ◆❣➠ ◗✉è❝ ❆♥❤✱

♠ét ♥❣➢ê✐ ❜➵♥ ♥❤✐Öt t×♥❤ ✈➭ t❤➞♥ t❤✐Õt ❝ñ❛ t➳❝ ❣✐➯✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ❝ò♥❣ ♠✉è♥ ❣ö✐
❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ➤Õ♥ ❝➳❝ ❚❤➬② ❣✐➳♦ ➤➲ t❤❛♠ ❣✐❛ ♣❤➯♥ ❜✐Ö♥ ❣ã♣ ♣❤➬♥
❤♦➭♥ t❤✐Ö♥ ❧✉❐♥ ➳♥✳ ▲✉❐♥ ➳♥ ♥➭② sÏ ❦❤➠♥❣ t❤Ó ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ♥Õ✉ t➳❝ ❣✐➯ ❦❤➠♥❣
♥❤❐♥ ➤➢î❝ sù ❣✐ó♣ ➤ì tõ ❇❛♥ ●✐➳♠ ❤✐Ö✉✱ P❤ß♥❣ ❙❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝✱ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲
❈➡ ✲ ❚✐♥ ❤ä❝✱ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❍❚◆ ✲ ➜❍◗● ❍➭ ◆é✐✱ ❇❛♥ ●✐➳♠ ❤✐Ö✉✱ ❑❤♦❛
❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥✱ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ◗✉➯♥❣ ❇×♥❤✳ ❈✉è✐ ❝ï♥❣✱ t➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ➤➢î❝ ❝❤✐❛ sÏ
♥❤÷♥❣ t❤➭♥❤ ❝➠♥❣ ❝ñ❛ ♠×♥❤ ✈í✐ ❣✐❛ ➤×♥❤✱ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥ ✈➭ ❜➵♥ ❜❒✳
❍➭ ◆é✐✱ ♥❣➭② ✶✵ t❤➳♥❣ ✵✺ ♥➝♠ ✷✵✶✵

◆❣✉②Ô♥ ❚❤➭♥❤ ❈❤✉♥❣

−7−


❈❤➢➡♥❣ ✶

❇➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❦❤➠♥❣ ➤Ò✉ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣
tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ö❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr♦♥❣ ♠✐Ò♥
❦❤➠♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥

❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ♠ét ❧í♣ ❜➭✐
t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❦❤➠♥❣ ➤Ò✉ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ö❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr♦♥❣ ❝➳❝
♠✐Ò♥ ❦❤➠♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥ ❝ã ❜✐➟♥ tr➡♥✳ ❑Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➲ ➤➢î❝ ❝➠♥❣ ❜è
tr♦♥❣ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❬✶❪ tr➟♥ t➵♣ ❝❤Ý ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❆♥❛❧②s✐s ✭①❡♠ ✧❉❛♥❤ ♠ô❝ ❝➠♥❣
tr×♥❤ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ❝ñ❛ t➳❝ ❣✐➯ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❧✉❐♥ ➳♥✧✮✳

✶✳✶✳

❇➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ö❛ t✉②Õ♥
tÝ♥❤ tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ ❦❤➠♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥

●✐➯ sö

Ω ⊂ RN ✭N

3✮ ❧➭ ♠ét ♠✐Ò♥ ❦❤➠♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥ ❝ã ❜✐➟♥ ∂Ω tr➡♥✳ ❳Ðt ❜➭✐

t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t s❛✉ ➤➞②✿




− div(h(x)∇u) + q(x)u = f (x, u)



u(x) = 0





u(x) → 0
tr♦♥❣ ➤ã ❝➳❝ ❤➭♠

tr♦♥❣

tr➟♥

❦❤✐

Ω,

∂Ω,
|x| → +∞,

h✱ q : Ω → R t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt✿

(H) h ∈ L1loc (Ω)✱ h(x) ≥ 1✱ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ Ω❀
−8−

✭✶✳✶✮


(Q) q C()

tồ t

q0 > 0

s

q(x)

q0 > 0

x

ớ ọ

q(x) + |x| +
rớ ết ú ý r ế

h 1 t ợ ứ ở

ề t r trờ ợ
ột ị ó tr

h L1loc () h(x)



1 ớ ọ x t

ợ ứ tr ở sự t ệ ủ

h

t

t ét ề t ĩ ế ợ ết
ớ ó ị tr t t tờ

H01 ()

r ú t sẽ sử ụ ỹ tt ế ể ứ
t tết r

(F1) f (x, z) C 1 ( ì R, R) f (x, 0) = 0 ớ ọ x
(F2)

ồ t số

N +2
p (1, N
2 )

L () tr ó p0 =

ột

Lp0 ()

2N
2N (p+1)(N 2) s

|fz (x, z)| (x)|z|p1 , x , z R;
(F3)

ồ t

à > 2 s 0 < àF (x, z) z.f (x, z) x z R\{0},

tr ó

F (x, z) =

ớ tết

z
0

f (x, s)ds

h L1loc ()

ế ợ ết ớ t

ợ ị s

J(u) =
tr ó
ớ ọ

1
2

F (x, u) =

u H01 ()



[h(x)|u|2 + q(x)|u|2 ]dx

F (x, u)dx,

u
0 f (x, u)dx ó ế

J

ị

ệ ế ủ t ỉ ó tể tồ t tr

H1 ủ H01 () ợ ị ở

H1 =

[h(x)|u|2 + q(x)|u|2 ]dx < .

u E1 :


ó

H1 rt é ú s tụ H1

H01 () Li () i [2, 2 ] 2 =
ú
tr

2N
N 2 . ữ ớ tết

H1 L2 () t ế J

H1 tứ J Cw1 (H1 ) ị ĩ
9

(Q) tì é

tụ ế


✶✳✷✳

❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉

❚r♦♥❣ ♠ô❝ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥
✭✶✳✶✮ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

L1loc (Ω)
H1 ✳

H1 ✳

❑❤ã ❦❤➝♥ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ sù ①✉✃t ❤✐Ö♥ ❝ñ❛ ❤➭♠

❦❤✐Õ♥ ❝❤♦ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠

J

h ∈

❝ã t❤Ó ❦❤➠♥❣ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥

❉♦ ➤ã ❝❤ó♥❣ t❛ ❦❤➠♥❣ t❤Ó sö ❞ô♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐ ❞➵♥❣ ❝æ ➤✐Ó♥ tr♦♥❣

❬✶❪ ♠➭ ❝❤Ø ❝ã t❤Ó ❞ï♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐ ❝❤♦ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ ②Õ✉
❝ñ❛ ❉✳▼✳ ➜ø❝ tr♦♥❣ ❬✾❪✳ ❚❛ ♥ã✐

u ∈ H1 ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✮ ♥Õ✉
f (x, u)ϕdx = 0, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω).

[h(x)∇u · ∇ϕ + q(x)uϕ]dx −
Ω

Ω

❑Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ➤➢î❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ tr♦♥❣ ➤Þ♥❤
❧ý ❞➢í✐ ➤➞②✿
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳ ●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ (H)✱ (Q) ✈➭ (F1)−(F3) ➤➢î❝ t❤♦➯
♠➲♥✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✮ ❝ã Ýt ♥❤✃t ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❦❤➠♥❣ t➬♠ t❤➢ê♥❣
tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

H1 ✳

− 10 −


❈❤➢➡♥❣ ✷

❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ♠ét ❧í♣ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣
tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ö❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈í✐ ❤Ö sè

❦❤➠♥❣ tr➡♥ ✈➭ s✉② ❜✐Õ♥

❈❤➢➡♥❣ ♥➭② ❞➭♥❤ ❝❤♦ ✈✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠ét ❧í♣ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ö❛
t✉②Õ♥ tÝ♥❤ s✉② ❜✐Õ♥ ✈➭ ❦ú ❞Þ tr♦♥❣ ♠✐Ò♥

Ω ⊂ RN

✭❝ã t❤Ó ❜Þ ❝❤➷♥ ❤♦➷❝ ❦❤➠♥❣

❜Þ ❝❤➷♥✮✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝❤ñ ②Õ✉ ➤➢î❝ ✈✐Õt ❞ù❛ tr➟♥ ❤❛✐ ❜➭✐ ❜➳♦ ❬✸✱ ✺❪ ✭①❡♠ ✧❉❛♥❤
♠ô❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ❝ñ❛ t➳❝ ❣✐➯ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❧✉❐♥ ➳♥✧✮ ✈➭ ➤➢î❝ ❝❤✐❛
❧➭♠ ❤❛✐ ♣❤➬♥✳

✷✳✶✳

❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ö❛ t✉②Õ♥
tÝ♥❤ ✈í✐ ❤Ö sè ❦❤➠♥❣ tr➡♥ ✈➭ s✉② ❜✐Õ♥ tr♦♥❣

RN

❚r♦♥❣ ♠ô❝ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ①Ðt ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ö❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❞➵♥❣✿


 − div(h1 (x)∇u) + a(x)u = f (x, u, v)
 − div(h (x)∇v) + b(x)v = g(x, u, v)
2
◆Õ✉ ❝➳❝ ❤➭♠ sè hi

∈ L1loc (RN ) ✈➭ hi (x)

tr♦♥❣

tr♦♥❣

RN ,

✭✷✳✶✮

N

R .

1 ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ RN

❜➭✐ t♦➳♥ ➤➲ ➤➢î❝

♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tr♦♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ➤Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ♥➝♥❣ ❧➢î♥❣
❧✐➟♥ ❦Õt ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ P❛❧❛✐s✲❙♠❛❧❡✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ♣❤➯✐ ❞ï♥❣
❦Õt q✉➯ ✈Ò tÝ♥❤ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣ ♣❤Ð♣ ♥❤ó♥❣

− 11 −

E2 → L2 (RN , R2 )✳

❘â r➭♥❣ ❣✐➯


tết

hi (x)

ú

1 ớ ọ x RN

rt q trọ ề ế é

H2 E2 tụ tết ò t ề sẽ

trở ó r ụ ú t sẽ qết ữ
trờ ợ
sử

a, b : RN R hi : RN [0, ) i = 1, 2 tỏ

ề ệ s
N
(A B) a, b L
loc (R )

b(x)

tồ t số

a0 , b0 > 0

s

a(x)

a0

b0 ớ ọ x RN

(H) hi L1loc (RN ) i = 1, 2 tồ t số (0, 2) 0 > 0 s
hi (x)

0 |x| ớ ọ x RN

ớ tết ề h1 , h2 ệ ó tể s ế t ể x
ữ tr tết
tứ

a(x)



= 0

(A B) a, b ò ỏ ề ệ ứ

b(x)



|x|

ữ ó s

ợ ụ ờ ỹ tt ủ s ù ớ t tứ

r rr ổ ể tr
q ế ế ú t tết r

F, f, g : RN ì

R2 R tộ ớ C 1 F = (f, g) t ề ệ
(F1) f (x, 0, 0) = g(x, 0, 0) = 0 ớ ọ x RN
(F2)

ồ t số

L (RN ) r0 =
N +2
1, N
2+



1 Lr0 (RN ) L (RN ) 2 Ls0 (RN )

2N
2N (r+1)(N 2+)

s0 =

1 (x)|w|r1 + 2 (x)|w|s1

ớ ọ

x RN , w = (u, v) R2

ồ t

à > 2 s 0 < àF (x, w)



r, s

(0, 2) s

|f (x, w)| + |g(x, w)|

(F3)

2N
2N (s+1)(N 2+) tr ó

w R2 \{(0, 0)}

12

w ã F (x, w) ớ ọ x RN


●✐➯ sö ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
2
H2

w

❑❤✐ ➤ã

H2

h1 (x)|∇u|2 + h2 (x)|∇v|2 + a(x)|u|2 + b(x)|v|2 dx.

=
RN

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✈➭ ♣❤Ð♣ ♥❤ó♥❣

2N
N −2+α ✳ ❚❛ ♥ã✐

2α =

H2 ❧➭ ❜æ s✉♥❣ ❝ñ❛ C0∞ (RN ) t❤❡♦ ❝❤✉➮♥

w = (u, v) ∈ H2

H2 → L2α (RN )

❧✐➟♥ tô❝✱

❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣

tr×♥❤ ✭✷✳✶✮ ♥Õ✉

[h1 (x)∇u · ∇ϕ1 + h2 (x)∇v · ∇ϕ2 + a(x)uϕ1 + b(x)vϕ2 ] dx−
RN

−
RN

[f (x, u, v)ϕ1 + g(x, u, v)ϕ2 ] dx = 0, ∀ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) ∈ C0∞ (RN , R2 ).

➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳ ●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ (A

− B)✱ (H) ✈➭ (F1)−(F3) ➤➢î❝

t❤á❛ ♠➲♥✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✷✳✶✮ ❝ã Ýt ♥❤✃t ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❦❤➠♥❣
t➬♠ t❤➢ê♥❣ tr♦♥❣

✷✳✷✳

H2 ✳

❙ù ❦❤➠♥❣ tå♥ t➵✐ ✈➭ tÝ♥❤ ➤❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ♠ét ❧í♣ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣
tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ö❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈í✐ ❤Ö sè ❦❤➠♥❣ tr➡♥ ✈➭ s✉②
❜✐Õ♥ tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ ❜Þ ❝❤➷♥

▼ô❝ ♥➭② ❞➭♥❤ ➤Ó ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù ❦❤➠♥❣ tå♥ t➵✐ ✈➭ tÝ♥❤ ➤❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐
t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ♠ét ❧í♣ ❤Ö ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ö❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ ❜Þ ❝❤➷♥

Ω ⊂ RN

❝ã ❜✐➟♥ tr➡♥✳ ❳Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❞➵♥❣





− div(h1 (x)∇u) = λFu (x, u, v)



− div(h2 (x)∇v) = λFv (x, u, v)





u=v =0
tr♦♥❣ ➤ã

∇F = (Fu , Fv )

✈➭

λ

tr♦♥❣

Ω

tr♦♥❣

Ω

tr➟♥

∂Ω,

✭✷✳✷✮

❧➭ ♠ét t❤❛♠ sè t❤ù❝✱ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ❤➺♥❣ sè

α, β ∈ (0, 2) s❛♦ ❝❤♦
(H1) lim inf x→z |x − z|−α h1 (x) > 0✱ ∀z ∈ Ω❀
(H2) lim inf x→z |x − z|−β h2 (x) > 0✱ ∀z ∈ Ω✳
− 13 −


ố ớ ế ú t tết r

F (x, t, s) ột tộ ớ

C 1 tr ì [0, ) ì [0, ) t ề ệ s
(F1)

C1 , C2 > 0

ồ t

s

C1 t s+1 |Fs (x, t, s)|

|Ft (x, t, s)|

+1

C2 t+1 s ớ ọ (t, s) R2 x số , > 1 ớ +1
p + q = 1
+1
2

+

+1
2

< 1 + 1 < p < 2 =

2N
N 2+

+ 1 < q < 2 =

2N
N 2+

, (0, 2)
(F2)

ồ t số

R2

ớ

tp + sq

F (x, t0 , s0 ) > 0 x tr ó p q

ợ

(F1)

ở

(F3)



0 ớ ọ (t, s)

s0 t0 > 0 s F (x, t, s)

F

t

(x,t,s)
lim sup|(t,s)|,t,s>0 tF+1
s+1

0 ề t ế x

ớ sự t ệ tết ề h1 h2 ệ ó tể s ế t ề
ể tr

ệ ủ ó sẽ tồ t tr ột tí ợ

H3 = H01 (, h1 ) ì H01 (, h2 ) ở ó H01 (, hi ) i = 1, 2 ổ s ủ C0 ()
t t ứ

u

hi

=

2

hi (x)|u|

1, 2 ủ H3 ợ ị ở w

H3

= u

dx

h1 +

1

2



v

u C0 () i =
h2

w = (u, v)

H3 . ữ từ ữ ết q ủ P r s t ó é
ú
ớ

H3 Li () ì Lj () tụ ớ i [1, 2 ] j [1, 2 ] t

i [2, 2 ) j [1, 2 )

ó

w = (u, v) H3

ột ệ ế ủ

ệ ế

(h1 (x)u ã 1 + h2 (x)v ã 2 )dx

[Fu (x, u, v)1 + Fv (x, u, v)2 ]dx = 0, = (1 , 2 ) C0 (, R2 ).




ị ý



ớ ọ

ị ý

ớ tết

(H1)(H2) (F1) tồ t số > 0 s

< ệ ỉ ó ệ t tờ



ớ tết

> 0 s ớ ọ

(H1)(H2)



(F1)(F3)

tồ t số

ệ ó ít t ệ ế ệt

t tờ

14


❈❤➢➡♥❣ ✸

❇➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ tù❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧♦➵✐

p✲▲❛♣❧❛❝✐❛♥ tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ ❜Þ ❝❤➷♥
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣
tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ tù❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tæ♥❣ q✉➳t ❧♦➵✐

p✲▲❛♣❧❛❝✐❛♥

tr♦♥❣ ❝➳❝ ♠✐Ò♥ ❜Þ

❝❤➷♥ ❝ã ❜✐➟♥ tr➡♥✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ✸ ➤➢î❝ ✈✐Õt ❞ù❛ tr➟♥ ❜➭✐ ❜➳♦ ❬✻✱ ✼❪ ✭①❡♠
✧❉❛♥❤ ♠ô❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ❝ñ❛ t➳❝ ❣✐➯ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❧✉❐♥ ➳♥✧✮✱ ✈➭ ➤➢î❝
❝❤✐❛ ❧➭♠ ❤❛✐ ♣❤➬♥✿

✸✳✶✳

❇➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ tù❛ t✉②Õ♥
tÝ♥❤ ❧♦➵✐

p✲▲❛♣❧❛❝✐❛♥ tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ ❜Þ ❝❤➷♥

❚r♦♥❣ ♠ô❝ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ①Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝
tù❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tæ♥❣ q✉➳t ❧♦➵✐

p✲▲❛♣❧❛❝✐❛♥✿


 − div(a(x, ∇u)) = λf (x, u)

u = 0
tr♦♥❣ ➤ã

Ω ⊂ RN ✭N

tr♦♥❣

tr➟♥

Ω,

✭✸✳✶✮

∂Ω,

3✮ ❧➭ ♠ét ♠✐Ò♥ ❜Þ ❝❤➷♥ ❝ã ❜✐➟♥ tr➡♥✳

❳✉✃t ♣❤➳t tõ

♥❤÷♥❣ ý t➢ë♥❣ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❝ñ❛ ▼✳ ▼✐❤➝✐❧❡s❝✉ ✈➭ ❱✳ ❘➝❞✉❧❡s❝✉ ❬✶✺❪✱
♠ô❝ ➤Ý❝❤ ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr♦♥❣ ♣❤➬♥ ♥➭② ❧➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✸✳✶✮ ✈í✐ t❤❛♠
sè

λ ✈➭ ✈Õ ♣❤➯✐ f

➤æ✐ ❞✃✉✳ ➜➞② ❧➭ ♠ét sù ♠ë ré♥❣ tù ♥❤✐➟♥ tõ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯

− 15 −


tr ở ó t ò ỏ ế t ề ệ ể
rsttt
sử
ế



a : ì RN RN a = a(x, )

ủ tụ
A(x,)



a(x, ) =

tụ t

A : ì RN R A = A(x, )

tứ

A(x, 0) = 0 x ồ tờ a A t

tết s

C(h0 (x) + h1 (x)||p1 )

(A1) |a(x, )|
h0 L
ọ

(A2)

p
p1

ớ ọ

RN x

() 1 < p < N h1 L1loc () h0 (x)

tr ó

0 h1 (x)

1 ớ

x

t tứ

0

(a(x, ) a(x, )) ã ( )

t ớ ọ

, RN x ữ tứ r ỉ =
(A3)

k0 > 0 s
+
1
1
A(x,
)
A(x, ) + A(x, ) k0 h1 (x)| |p
2
2
2
N
ớ ọ , R x tứ A pồ ề t ế tứ

(A4)

ồ t số

ồ t số

ọ

k1 > 0 s k1 h1 (x)||p

a(x, ) ã

pA(x, ) ớ

R N x

ố ớ ế ú t tết r

f : ì [0, +) R

ột

rtér t ề ệ s

Ctp1 ớ ọ t [0 + ) x C > 0

(F1) f (x, 0) = 0 |f (x, t)|
(F2)

ồ t số t0 , t1

0
(F3)

t

> 0

s

F (x, t)

0

ớ ữ trị

t0 F (x, t1 ) > 0 ớ ọ x

ữ lim supt

F (x,t)
tp

0 ề t ế x tr ó F (x, t) =

t
0 f (x, s)ds

ó ế ợ ết ớ t ợ ở
tứ

A(x, u)dx

J(u) =

F (x, u)dx,


16


tr ó

u
0 f (x, t)dt t ị tụ ế

F (x, u) =

tr

u W01,p () :

H4 =

h1 (x)|u|p dx <


u

ớ

p
h1 (x)|u| dx

=

H4

1
p

. ó u H4 ột ệ ế

ủ t ế

f (x, u)dx = 0, C0 ().

a(x, u) ã dx


ị ý





ớ ọ

ớ tết

(A1)(A4) (F1) tồ t số > 0 s

< t ỉ ó ệ t tờ

ị ý ớ tết (A1)(A4) (F1)(F3) tồ t số
s ớ ọ





>0

t ó ít t ệ ế ệt

t tờ



t t tự tế tí

p ớ ề

ệ tế

ộ í ủ ụ ứ tí ệ ột ớ
t t tự tế tí

p


p u + |u|p2 u = f (u)

u
= àg(u)
|u|p2 n
tr ó

RN (N

số

f



,

tr

,

ú t t r tết s

g : R R tụ tồ t số M1 , M2 > 0

s

|f (t)|



3) ột ề ị ớ tr n t

tế ố ớ

(H1)

tr

M1 (1 + |t|p1 ), |g(t)|

17

M2 |t|p1 , t R;


(H2)



f

t

f (t)
= 0;
t0 |t|p1

lim
(H3)

ồ t số t0

t0
0 g(t)dt > 0.

R s F (t0 ) =

ể ý r ớ tết

t0
0

f (t)dt > 0 G(t0 ) =

(H1) ề ệ ể rsttt

t ì ể ứ ị ý ề sự tồ t ệ
ủ t ú t ụ ý ế ể tớ
ủ tr ó

u W 1,p () ột ệ ế ủ

t ế

(|u|p2 u ã + |u|p2 u)dx


ớ ọ

g(u)d = 0

W 1,p ()

ị ý



ó tồ t
số

f (u)dx à


tết r ề ệ

(H1)(H3)

ợ t

à > 0 s ớ ọ à [0, à) ó ột ở Kà



à > 0 ể ớ ọ Kà t ó ít t ệ ế

t tờ tr

W 1,p () ớ ỏ à

18

❈❤➢➡♥❣ ✹

❇➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ö❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈í✐ t❤Õ ✈Þ ❦✐Ó✉
❍❛r❞②

❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❞➭♥❤ ➤Ó ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t
➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ö❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã ❦ú ❞Þ ❦✐Ó✉ ❍❛r❞②✳ ◆é✐ ❞✉♥❣
❝❤ñ ②Õ✉ ➤➢î❝ ✈✐Õt ❞ù❛ ✈➭♦ ❝➳❝ ❜➭✐ ❜➳♦ ❬✾✱ ✶✵❪ ✭①❡♠ ✧❉❛♥❤ ♠ô❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤
❦❤♦❛ ❤ä❝ ❝ñ❛ t➳❝ ❣✐➯ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❧✉❐♥ ➳♥✧✮✱ ✈➭ ➤➢î❝ ❝❤✐❛ ❧➭♠ ❤❛✐ ♣❤➬♥✳

✹✳✶✳

❇➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ö❛ t✉②Õ♥
tÝ♥❤ ✈í✐ t❤Õ ✈Þ ❦✐Ó✉ ❍❛r❞② ✈➭ ➤æ✐ ❞✃✉

▼ô❝ ♥➭② ❞➭♥❤ ➤Ó ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ö❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❞➵♥❣


 −∆u = µ2 u + λf (x, u)
|x|

u =0
tr♦♥❣ ➤ã

λ ✈➭ 0

Ω ⊂ RN (N
µ<µ

tr♦♥❣

Ω,

tr➟♥

∂Ω,

✭✹✳✶✮

3) ❧➭ ♠ét ♠✐Ò♥ ❜Þ ❝❤➷♥ ❝❤ø❛ ❣è❝ ✈í✐ ❜✐➟♥ tr➡♥ ∂Ω✱

❧➭ ❝➳❝ t❤❛♠ sè ✈í✐

µ =

N −2
2

2

❧➭ ❤➺♥❣ sè tèt ♥❤✃t tr♦♥❣

❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❍❛r❞②✱ tø❝ ❧➭

|ϕ|2
dx
2
Ω |x|

1
µ

|∇ϕ|2 dx, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω).
Ω

− 19 −


tết r

f : ì [0, ) R ột rtér t

ề ệ s

C > 0 s |f (x, t)|

(F1)

ồ t số

(F2)

ồ t số

0
(F3)

Ct ớ ọ t R x

t0 > 0 s F (x, t)

0 F (x, t0 ) > 0 ớ ọ

x

t

ữ

limt sup F (x,t)
t2

0

ề t

x

tr ó

F (x, t) =

t
0 f (x, s)ds

t ù ớ ề ệ

(F1) (F2) (F3)

ột sự ở

rộ t tự từ ết q ủ rst ở ó t ò
ỏ

f

ụ tộ

x ó ỹ tt ế ở ự tr

ị ý q ú ý ự tể ó

u H01 () ột ệ ế

ủ ế

u ã dx à


ị ý



1
udx
2
|x|

tết r ề ệ

f (x, u)dx = 0, C0 ().


(F1) ợ t ó ớ ỗ

à [0, à ) tồ t số > 0 s ớ ọ < t ỉ
ó ệ t tờ

ị ý



tết r ề ệ

ó ớ ỗ

(F1)(F3)

ề ợ t

à [0, à ) tồ t số > 0 s t ó ít

t ệ ế t tờ ớ ề ệ

t rt ố ớ trì t ử tế
tí ớ tế ị ể r q ế tí ố ứ

t t từ ết q ứ ề sự ở ủ ề ế sự tồ
t ệ ủ t tr tr ụ ú t sẽ
ứ ột ớ t t ử tế tí tr trờ ợ

20


ề


= 1 ì 2 RN N

5 1 Rm m

2 ột ì kề í R k

2 ị ó tr

3 ó t t ố t ộ

m + k = N ụ tể ú t ứ sự tồ t ệ ủ t

u = à2 u + h(x)|u|q2 u ớ x = (x1 , x2 ) ,
|x|

u =0
ớ x = (x , x ) ,
1

tr ó

2

h(x) = |x2 |l số q l t ề ệ

2 < q < 2 + , 2 =

2N
2
2(k 2)
, =
min{
, l}.
N 2
N 2
m



ể ý r tết trờ ợ ớ tớ tớ
tr tớ ệ ế ủ t sẽ tồ t ể tớ
ủ ế ợ

J(u) =

1
2

1
J : H0,s
() R ợ ị ở tứ

|u|2


1
à
2
|u|
dx

|x|2
q

h(x)|u|q dx,


tr ó
1
H0,s
() = u H01 () : u(x1 , x2 ) = u(x1 , |x2 |), x = (x1 , x2 ) .

ị ý

sử ề ệ ợ t ó t

ó ít t ột ệ ế t tờ tr
ề ệ

0

à<à



ế t ú t ét t ớ ột ễ

g = 0 tứ

u = à2 u + h(x)|u|q2 u + g(x)
|x|

u =0
ị ý

0



à < à

1

H0,s
() ớ

1
g H0,s
()

ớ

x = (x1 , x2 ) ,

ớ

x = (x1 , x2 ) .





sử r ề ệ ợ t ó ớ ọ
tồ t số

1
g H0,s
() 0 < g
t tờ tr

1

<

à

> 0

ụ tộ

à

s ớ ọ

0 t ó ít t ệ ế

1
() ữ t ò ó
H0,s

21

à

0 à à




❑Õt ❧✉❐♥
❱Ò ♥é✐ ❞✉♥❣✱ ❧✉❐♥ ➳♥ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥
❡❧❧✐♣t✐❝ ❦❤➠♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã ❞➵♥❣ tæ♥❣ q✉➳t✿

− div(a(x, ∇u)) = f (x, u), x ∈ Ω,
tr♦♥❣ ➤ã

✭✶✮

Ω ❧➭ ♠ét t❐♣ ♠ë tr♦♥❣ RN ✳ ❍❛✐ tr➢ê♥❣ ❤î♣ r✐➟♥❣ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

✭✶✮ ❧➭

✈í✐ ❤➭♠ trä♥❣

− div(|∇u|p−2 ∇u) = f (x, u), x ∈ Ω,

✭✷✮

− div(h(x)|∇u|p−2 ∇u) = f (x, u), x ∈ Ω,

✭✸✮

h : Ω → R t❤♦➯ ♠➲♥ ♠ét sè ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ♥❤✃t ➤Þ♥❤✳

❱Ò ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ sö ❞ô♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥
❝ï♥❣ ✈í✐ ❧ý t❤✉②Õt ➤✐Ó♠ tí✐ ❤➵♥ ❝ñ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❇➺♥❣ ✈✐Ö❝ ➳♣ ❞ô♥❣ ❦Õt ❤î♣ ❝➳❝ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ♥æ✐ t✐Õ♥❣
♥❤➢✿ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❊❦❡❧❛♥❞✱ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐✱ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❝ù❝ t✐Ó✉ ✈➭
♥❣✉②➟♥ ❧ý ❜❛ ➤✐Ó♠ tí✐ ❤➵♥✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝ñ❛
❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ➤❛♥❣ ①Ðt ♥❤➢ ❧➭ ➤✐Ó♠ tí✐ ❤➵♥ ❝ñ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ♥➝♥❣ ❧➢î♥❣ ❧✐➟♥
❦Õt ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❤➭♠ ➤➢î❝ ①➞② ❞ù♥❣ t❤Ý❝❤ ❤î♣✳
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ✶ ✈➭ ❝❤➢➡♥❣ ✷✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ①Ðt sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❜➭✐
t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈➭ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ö❛ t✉②Õ♥

tÝ♥❤ ❝ã ♣❤➬♥ ❝❤Ý♥❤ ❞➵♥❣

− div(h(x)∇u) tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ ❜Þ ❝❤➷♥✱ ❦❤➠♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥

Ω

RN

❤♦➷❝ t♦➭♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

✈í✐ ❤Ö sè ❦ú ❞Þ t❤Ó ❤✐Ö♥ tr♦♥❣ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤î♣

s❛✉✿

(1)

❍➭♠

h ∈ L1loc (Ω) ✈➭ h(x)

(2)

❍➭♠

h ∈ L1loc (Ω) ✈➭ h(x)

1 ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ Ω ✭①❡♠ ❝❤➢➡♥❣ ✶✮❀
γ0 |x|α ✱ α ∈ (0, 2) ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ Ω✳

❜➭✐ t♦➳♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ➤➢î❝ ①Ðt ❝ã t❤Ó s✉② ❜✐Õ♥ t➵✐ ➤✐Ó♠

(3)

❑❤✐ ➤ã

x = 0 ✭①❡♠ ♠ô❝ ✷✳✶✮❀

h ∈ L1loc (Ω) ✈➭ ❝ã t❤Ó tr✐Öt t✐➟✉ t➵✐ ♥❤✐Ò✉ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣ Ω✳

❑❤✐ ➤ã✱

❜➭✐ t♦➳♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ➤➢î❝ ①Ðt ❝ã t❤Ó s✉② ❜✐Õ♥ t➵✐ ♥❤✐Ò✉ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣

Ω ✭①❡♠

❍➭♠

❝➳❝ ♠ô❝ ✷✳✷✮✳

− 22 −


õ r ộ ỳ ị ủ ệ số tr trì t ộ ứ t
ủ t ũ t ó ỹ tt ứ sẽ ó
t tế ữ t ợ ét tr ề ị
t

RN

tì é ú t

ò ú ữ ề sẽ ở ế ệ ứ tí ử
tụ ớ ế ề ệ t Ps ủ ế
ợ ết ớ t ể ụ ữ ó ệ
ữ tết tí ỹ tt tì ú t ụ
s t ỹ tt ế ũ ột số ớ ợ q ế
t tứ ộ s t tứ Pré t
tứ r rr
ét ủ ứ sự tồ t tí ệ ủ
trì t tự tế tí

p

r ụ

ú t ét t rt ố ớ trì tổ qt
tr ề ị

RN a t
|a(x, )|

tr ó h0

c0 (h0 (x) + h1 (x)||p1 ),

p

L p1 () h1 L1loc () h0 (x)

0 h1 (x)

1 ớ ọ x

ụ ứ t ể


p u + |u|p2 u = f (u)

u
|u|p2 n
= àg(u)
tr ó

tr

,

tr

,



f, g (p 1) ớ tế tí t ù ể ý r tr

trờ ợ ề ệ ể rsttt t
ể ứ sự tồ t ệ ủ t ú t ù ế
ý ế ể tớ ủ r ột
tr ữ ý ế ớ ợ t ệ tế tr ý
tết ể tớ

r ú t ét ì t rt ố ớ
trì t ử tế tí ó tế ị ể r

23