Tính điều khiển của hệ thú - mồi ngẫu nhiên có đáp ứng chức năng dạng crowley - martin

22

Journal of Transportation Science and Technology, Vol 20, Aug 2016

TÍNH ĐIỀU KHIỂN CỦA HỆ THÚ - MỒI NGẪU NHIÊN
CÓ ĐÁP ỨNG CHỨC NĂNG DẠNG CROWLEY - MARTIN
CONTROLABILITY OF A STOCHASTIC PREDATOR - PREY MODEL WITH
CROWLEY - MARTIN FUCTIONAL RESPONSE
Trần Đình Tướng1, Trần Hà Lan2
Khoa Cơ bản, Trường ĐH GTVT Tp. HCM, Tp. HCM
2
Khoa Cơ sở, Trường ĐH Kinh tế Nghệ An, Tp. Vinh

1

Tóm tắt: Bài báo này mở rộng kết quả [2] về dáng điệu tiệm cận của mô hình thú - mồi chịu nhiễu
ngẫu nhiên có đáp ứng chức năng dạng Crowley - Martin trong trường hợp suy biến, từ đó tính điều khiển
của hệ được xem xét.
Từ khóa:Tính điều khiển; sự suy biến; tính ergodic; mô hình thú-mồi.
Abstract: In this work, we improve some results of dynamic behaviour of a stochastic predator - prey
model with Crowley - Martin functional response in [2] (degenerate case). From this, its controlability is
considered.
Keywords: Controllability; degenerate; ergodicity; predator - prey model.

1. Giới thiệu
Dạng tất định của mô hình Kolmogorov
hai lọai có dạng tổng quát như sau:
ẋ (t) = xf(x, y)
{
ẏ (t) = yg(x, y)
Trong trường hợp f(x, y) = b − py và

g(x, y) = cx − d ta gọi mô hình trên là mô
hình Lotka - Volterra cổ điển.
Tuy nhiên khi nghiên cứu dạng tất định
của hệ sinh thái, người ta nhận thấy rằng chúng
thường gặp phải một số hạn chế nhất định:
Không xét được các yếu tố nhiễu ngẫu nhiên
như là chuyển động Brown; không rõ nguồn
thức ăn; thiếu sự nghiên cứu về tập tính cá thể
của từng loài,... Một lý do góp phần quan trọng
không kém là không xét được các tác động
ngẫu nhiên của môi trường. Do vậy, mô hình
quần thể dưới tác động các yếu tố ngẫu nhiên
được quan tâm nghiên cứu như là xu thế tất
yếu.
Theo thời gian, hệ thú - mồi ngẫu nhiên
được nghiên cứu dưới nhiều dạng đáp ứng chức
năng khác nhau. Chẳng hạn Gause năm 1934
(xem [2]) đã trình bày mô hình dưới dạng:
ẋ (t) = x(t)[a1 − b1 y(t)p(x(t))]
{
ẏ (t) = y(t)[−a2 + b2 x(t)p(x(t))]
Với hàm cường độ p(x) được thể hiện với
x
các đặc trưng riêng biệt. Như p(x) = m +m x
1

(Dạng Holling II), hoặc p(x) = m

x2

2

1 +m2 x

2

(Dạng Holling III), hoặc p(x) = m

x
1 +m2 x+m3 x

2

(Dạng Holling IV) (xem [2]). Hoặc mô hình thú
mồi có đáp ứng chức năng dạng Beddington DeAngelis [3] nghiên cứu về dáng điệu tiệm
cận mô hình thú-mồi ngẫu nhiên với nhiễu
Brown. Mặt khác [2] đã nghiên cứu điều kiện
cần và gần như đủ cho tính bền vững và tính
ergodic của hệ ngẫu nhiên có đáp ứng chức
năng dạng Crowley - Martin, mô hình này có
dạng:
dx(t) = x(t)[a1 − b1 x(t)
− (1+m

c1 y(t)
1 x(t))(1+m2 y(t))

]dt

+αx(t)dB1 (t)

dy(t) = y(t)[−a2 − b2 y(t)
+ (1+m

c2 x(t)
1 x(t))(1+m2 y(t))

(1)

]dt

{
+βy(t)dB2 (t)
Trong đó:
ai , bi , ci , mi , i = (1; 2): Các hằng số
dương;
α, β ≠ 0, B1 (. ), B2 (. ): Hai quá trình
Brown độc lập.
Hai đại lượng x(t), y(t) được kí hiệu lần
lượt là mật độ của mồi và thú tại thời điểm
t (t ≥ 0).
Tuy nhiên các kết quả mô hình trên được
xét cho hai quá trình Brown B1 (. ), B2 (. ) độc
lập nhau. Trong trường hợp B1 (. ) = B2 (. ) =
W(. ) thì kết quả sẽ như thế nào? Và từ đó ta có
thể tìm hiểu tính điều khiển của hệ. Trong


TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI, SỐ 20 - 08/2016

trường hợp suy biến (B1 (. ) = B2 (. ) =

W(. ) ), hệ (1) trở thành
dx(t) = x(t)[a1 − b1 x(t)
− (1+m

c1 y(t)
1 x(t))(1+m2 y(t))

]dt

+αx(t)dW(t)
dy(t) = y(t)[−a2 − b2 y(t)
+ (1+m

c2 x(t)
1 x(t))(1+m2 y(t))

(2)

]dt

{
+βy(t)dW(t).
Do tính đối xứng của chuyển động Brown,
ta có thể giả sử rằng 𝛼 ≥ 0.
Cấu trúc bài báo được trình bày như sau,
trong mục 1, chúng tôi giới thiệu tình hình thời
sự của vấn đề đang nghiên cứu. Phần đầu tiên
của mục 2 chúng tôi trình bày lại các kết quả
[2] trong trường hợp hệ không suy biến. Trọng
tâm của mục 2, chúng tôi trình bày những kết

quả chính của bài báo. Mục cuối cùng bày tỏ
lòng biết ơn đến những cơ quan, đơn vị đã tài
trợ và tạo điều kiện thuận lợi cho quá trình
nghiên cứu này.
2. Kết quả chính
Trước hết ta nhắc lại một số kết quả trong
trường hợp hệ (2) không suy biến (xem [2]).
Định lý 1: Nếu λ < 0 thì lim y(t) = 0
t→∞

hầu chắc chắn và phân phối của x(t) sẽ hội tụ
yếu đến μ− (. ) , đại lượng này là độ đo xác suất
bất biến duy nhất của φ(t) trên ℝ+ .
Mặt khác μ− (. ) là phân phối của eθ với θ là
biến ngẫu nhiên có hàm mật độ f∗ (với
∞

β2
c2 ex
λ ≔ −a2 − + ∫
f (x)dx)
2
1 + m1 ex ∗
−∞

Định lý 2: Với λ > 0 quá trình
(x(t), y(t)) có một độ đo bất biến tập trung
2,0
2
trên ℝ2,0

+ (với ℝ+ là phần trong của ℝ+ .)
Định lý 3: Nếu λ > 0, hệ (1) sẽ tồn tại duy
nhất độ đo xác suất bất biến 𝜇 ∗ với giá ℝ2,0
+ .
Hơn nữa:
a) Với bất kỳ hàm f(x, y) là μ∗ khả tích đi
2,0
từ ℝ+ vào ℝ, ta có:
t

1
lim f(x(s),y(s))ds  
t  t
0

∀(𝑥(0), 𝑦(0) ∈ ℝ2,0
+ .

2,0


f  x,y  μ*  dx,dy ,

23

b) lim ‖P(t, (x, y), . ) − μ∗ (. )‖ = 0,
t→∞

∀x, y ∈ ℝ2,0
+ . Trong đó P(t, (x, y), . ) là xác

suất chuyển của (x(t), y(t)) và ‖. ‖ là chuẩn
biến phân toàn phần.
Bây giờ, ta sẽ trình bày nội dung chính của
bài báo.
Từ kết quả lim y(t) = 0 khi λ < 0 điều
t→∞

này dẫn đến x(t) hội tụ yếu đến phân phối
dừng μ− (. ) của φ(t). Do vậy, ta giả sử λ > 0
cho quá trình có độ đo xác suất bất biến μ∗ trên
ℝ2,0
+ . Đặt ζ(t) = lnx(t) và η(t) = lny(t). Hệ
phương trình (2) trở thành:
dζ(t) = (a1 −
− (1+m

α2
2

−b1 eζ(t)

c1 eη(t)
ζ(t) )(1+m eη(t) )
1e
2

)dt

+αdB1 (t)
dη(t) = (−a2 −

+ (1+m

β2
2

(3)
− b2 η(t)

c2 eζ(t)
ζ(t) )(1+m eη(t) )
1e
2

)dt

+βdB2 (t)
{
u,v (t), u,v
Ký hiệu ζ
η (t) là nghiệm của (3)
với giá trị ban đầu (u, v). Gọi ̂
P(t, (u, v), . ) là
xác suất chuyển:
α2
a1 − 2 −b1 eu
c1 ev
−
(1 + m1 eu )(1 + m2 ev )
A(u, v) =
β2

−a2 − 2 −b1 ev
c1 eu
−
( (1 + m1 eu )(1 + m2 ev ))
Và: B(u, v) = (αβ)
Ta cần nhắc lại vài khái niệm về hoán tử
của trường vector (Lie bracket). Nếu X(x) =
(X1 , X2 )T và Y(x) = (Y1 , Y2 )T là các vector
trên ℝ2 thì hoán tử của trường vector này là
trường vector được định nghĩa bởi:
[X, Y]i (x) = (X1

∂Yi
∂Xi
(x) − Y1
(x))
∂x1
∂x1
+ (X2

∂Yi
∂Xi
(x) − Y2
(x)),
∂x1
∂x1

i = (1,2)

Ta cần giả thiết sau:

24

Journal of Transportation Science and Technology, Vol 20, Aug 2016

Giả thiết: Đại số Lie L(u, v) được sinh
bởi A(u, v), B(u, v) thỏa mãn dim L(u, v) = 2
với mỗi (u, v) ∈ ℝ2 . Mặt khác, tập các vector
A, B, [A, B], [A, [A, B]], [B, [A, B]], … là span
của ℝ2 .
Ta nhận thấy rằng giả thiết trên thỏa mãn
với hầu hết tình huống. Chẳng hạn, xét trường
hợp ai , bi , ci , mi , α (i = 1,2) là các hằng số
dương và β ≠ 0. Chú ý rằng bộ số (u, v) thỏa
mãn
tính
chất
khi
các
vector
A, B, [A, B], [A, [A, B]], [B, [A, B]], … tác động
trên bộ số này không phải là span của ℝ2 sẽ là
nghiệm của hệ phương trình det(A, B) = 0,
det(A, [A, B]) = 0, … Mỗi thành phần của nó
là phương trình đa thức với các biến eu , ev . Do
vậy, ta có thể chứng minh rằng không có bộ
(u, v) nào thỏa mãn hệ phương trình trên khi số
phương trình đủ lớn.
Để mô tả giá của độ đo bất biến 𝜇 ∗ và để

chứng minh tính ergodic của (3), ta cần xét hệ
điều khiển sau
u̇ ∅ (t) = α∅(t) + a1 −
−b1 eu∅(t) −

c1 ev∅
m1 +m2 e

v∅(t)

α2
2

(t)

+m3 ev∅

v̇ ∅ (t) = β∅(t) − a2 −
c2 eu∅

(t)

β2

(t)

(4)

2

−b ev∅(t) −
(t)
(t)
{ 2
m1 +m2 eu∅ +m3 eu∅
Trong đó ∅ nhận được từ tập của các hàm
thực liên tục từng khúc nhận giá trị trên ℝ+ .
Gọi (u∅ (t, u, v), v∅ (t, u, v)) là nghiệm của
(4) với điều khiển ∅ và giá trị ban đầu (u, v).
Ký hiệu O1+ (u, v) là tập đạt được từ bộ (u, v),
theo nghĩa tập các giá trị của (u′ , v ′ ) ∈ ℝ2 sao
cho tồn tại t ≥ 0 và điều khiển ∅(. ) thỏa mãn
u∅ (t, u, v) = u′ , v(t, u, v) = v ′ . Ta thấy rằng
với giả thiết 1 đảm bảo tính truy cập được của
(4), nghĩa là O1+ (u, v) có phần trong khác rỗng
với mỗi (u, v) ∈ ℝ2 (xem [8]). Bây giờ ta sẽ
xét một vài tính chất đã được trình bày trong
[9]. Gọi A là tập con của ℝ2 thỏa mãn tính chất
với
mọi
𝑤1 , 𝑤2 ∈ 𝐴, ta
có
w2 ∈
+ (w )
2
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
O1 1 ( w1 ∈ ℝ ). Khi đó tồn tại duy nhất
tập B cực đại B ⊃ A sao cho tính chất này vẫn
thỏa mãn cho B. Do vậy 𝐵 là tập điều khiển.
Tập điều khiển C được gọi là bất biến nếu

+
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅
O
1 (w) ⊂ C với mọi w ∈ C.

β

Đặt z∅ = v∅ − α u∅ , ta có hệ tương đương
u̇ ∅ (t) = α∅(t) + g(u∅ (t), z∅ (t))

{

(5)

ż ∅ (t) = h(u∅ (t), z∅ (t))

Trong đó:
g(u, z)
α2
= a1 − − b1 eu
2

β

c1 ez+αu

−
(1 + m1

eu ) (1

+

.

β
m1 ez+αu )

Và:
h(u, z) = − (a2 +

β2 β
α2
+ (a1 − ))
2 α
2

β
β
−b2 ez+αu + b1 eu
α
β
β
c2 eu + α c1 ez+αu
+
β
(1 + m1 eu ) (1 + m1 ez+αu )

Ký hiệu O2+ (u, v) là tập tất cả (u′ , v ′ ) ∈

ℝ2 sao cho tồn tại t > 0 và điều khiển ∅(. ) sao
cho u∅ (t, u, v) = u′ , z∅ (t, u, v) = z ′ . Ta có
một số kết quả sau:
Mệnh đề 1 : Với mỗi u0 , u1 , z0 ∈ ℝ, ϵ >
0 tồn tại điều khiển ∅ và T > 0 sao cho
u∅ (T, u0 , v0 ) = u1, |u∅ (T, u0 , v0 ) − z0 | < ϵ.
Thật vậy, giả sử rằng u0 < u1 và gọi ρ1 =
sup{|g(u, z)|, |h(u, z)|: u0 ≤ u ≤
u1 , |z − z0 | ≤ ϵ}. Ta chọn ∅(t) ≡ ρ2 với
αρ
( ρ 2 − 1) ϵ ≥ u1 − u0 . Ta dễ dàng kiểm tra
1

với điều khiển trên, có 0 ≤ T ≤

ϵ

ρ1

sao cho

u∅ (T, u0 , v0 ) = u1, |z∅ (T, u0 , v0 ) − z0 | < ϵ.
Nếu u0 > u1 , ∅(t) được thiết kế tương tự.
Mệnh đề 2 : Với z0 > z1 bất kỳ, khi đó sẽ
có u0 ∈ ℝ và điều khiển ∅ và T > 0 sao cho
z∅ (T, u0 , v0 ) = z1
và
u∅ (t, u0 , v0 ) =
u0 , ∀0 ≤ t ≤ T. Do vậy, nếu β > 0 và −u0 đủ
lớn, sẽ tồn tại ρ3 > 0 sao cho h(u0 , z) = −ρ3 ,

∀z1 ≤ z ≤ z0 . Từ tính chất này, kết hợp với
(5), suy ra rằng tồn tại điều khiển ∅ và T > 0
thỏa mãn. Trong trường hợp β < 0 ta có thể
chọn u0 đủ lớn, từ đó ta có kết quả tương tự.


TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI, SỐ 20 - 08/2016

Định lý 4: Giả sử rằng β < 0 và β ≥ α.
Gọi c ∗ = sup{ z̅ 𝑠𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 sup{h(u, z)} >
u∈ℝ

0, ∀z ≤ z̅}. Khi đó c ∗ > −∞ (c ∗ có thể bằng
∞). Ngoài ra với (u, z) ∈ ℝ2 tùy ý, ta có
′ ′
′
∗
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
O+
2 (u, v) ⊃ {(u , z ): z < c }.
Chứng minh. Thật vậy, ta có ngưỡng (xem
[2])
∞

β2
c2 ex
λ ≔ −a2 − + ∫
f (x)dx > 0
2
1 + m1 ex ∗

−∞

Theo bất đẳng thức Jensen, ta có:
∞

𝑐2 𝑒 𝑥
∫
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
1 + 𝑚1 𝑒 𝑥 ∗

−∞

𝑐2 ∫ℝ exp(𝑥)𝑓∗ (𝑥)𝑑𝑥

≤

1 + 𝑚1 ∫ℝ exp(𝑥)𝑓∗ (𝑥)𝑑𝑥
𝛼2
𝑎1 −
2
𝑐2
𝑏1
=
.
𝛼2
𝑎1 − 2
1 + 𝑚1
𝑏1
̅
u

Đặt e =

a1 −

α2
2

b1

, ta có :

α2
a1 −
2
c1
b1
h(u̅, z) =
α2
β
a1 −
2 )(1 + m . ez+αu̅ )
(1 + m1
2
b1

− (a2 +

+

β
β2
) + b2 ez+αu̅
2

β
β
c
ez+αu̅
1
α
β

(1 + m1 eu̅ ) (1 + m2 ez+αu̅ )

Ta chú ý rằng :
α2
a1 −
2
c1
b1
K≔
>0
α2
β
a1 −
(1 + m1 b 2 )(1 + m2 . ez+αu̅ )
1
Với giá trị K > 0 ta có h(u̅, z) > 0 khi ez
đủ nhỏ. Phần còn lại của định lý có thể chứng

minh như sau. Trước hết ta nhận xét rằng từ
tính liên tục phụ thuộc liên tục tại giá trị ban
+
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
đầu nếu ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
O+
2 (w2 ) ⊂ O2 (w1 ), ta có w2 ∈

25

2
2
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
O+
2 (w1 ) (với w1 , w2 ∈ ℝ . Với (u, v) ∈ ℝ ,
ta định nghĩa Ξu,v : = {z1 : ∃u1 sao cho
(u1 , z1 ) ∈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
O2+ (u, z)} . Do vậy, với bất kỳ
(u0 , z0 ) ∈ ℝ2 ta dễ dàng suy ra từ mệnh đề 1
và 2 ở trên ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
O+
2 (u0 , z0 ) ⊃ {(u1 , z1 ): z1 ≤ z0 }.
+ (u,
Do vậy, O2 z) ⊃ {(u1 , z1 ): z1 ≤ Ξu,v }. Nếu
Ξu,v < c ∗ , sẽ tồn tại h(û, Ξu,v ) > 0. Do h(. )
liên tục, ẑ > Ξu,v sao cho inf{h(û, Ξu,v ): z ∈
[Ξu,v , ẑ]} > 0. Do vậy, sẽ có điều khiển ∅ và
T > 0 thỏa mãn u∅ (t, û, Ξu,v ) = û, ∀t ∈
[0, T]. Do vậy, (û, v̂) ∈ O+
̂ , Ξu,v ) ⊂

2 (u
+ (u,
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
O2 z). Điều này mâu thuẫn với định nghĩa
của Ξu,v . Chứng minh được hoàn tất∎
Định lý 5: Hệ điều khiển (4) có duy nhất
tập điều khiển bất biến C. Nếu 0 < β < α, thì
𝐶 = ℝ2 . Nếu β < 0 hoặc β ≥ α, thì tập C =
β
{(u, v): = v − α u ≤ c ∗ }.

Chứng minh. Nếu 0 < β < α, từ hai mệnh
đề trên, với bất kỳ bộ số (u1 , z1 ), (u2 , z2 ) ∈
ℝ2 , ta luôn có (u2 , z2 ) ∈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
O1+ (u1 , z1 ) . Điều
này dẫn đến ℝ2 là tập điều khiển bất biến duy
nhất. Xét trường hợp β < 0 hoặc β ≥ α, khi đó
ta có thể suy ra trực tiếp từ định lý 1 trên nếu
c ∗ = ∞. Nếu c ∗ < ∞, từ định nghĩa của c ∗ ta
có h(u, c ∗ ) ≤ 0, ∀u ∈ ℝ. Do vậy, xét cho mọi
điều khiển ∅, ta có z∅ (T, u, z) ≤ c ∗ , ∀t ≥ 0 và
dẫn đến z ≤ c ∗ . Mặt khác ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
O2+ (u, z) ⊂
′ ′ ): ′
∗
{(u , z z ≤ c }. Kết hợp với định lý 1, ta suy
ra ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
O2+ (u, z) = {(u, z): z ≤ c ∗ } với mọi 𝑢 ∈
ℝ, z ≤ c ∗ . Do vậy, {(u, z): z ≤ c ∗ } là tập điều
khiển bất biến cho (5). Sự duy nhất của tập điều

khiển này được suy ra từ {(u, z): z ≤ c ∗ } ⊂
2
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
O+
2 (u, z) với mỗi (u, z) ∈ ℝ . Từ đó C ≔
β
{(u, v): v − α u ≤ c ∗ } chính là tập điều khiển
bất biến cho (4).
Trong trường hợp λ > 0, khi đó sẽ có độ
đo xác suất bất biến π∗ kết hợp với μ∗ của (1).
Do tính duy nhất của tập C, từ giả thiết trên ta
suy ra π∗ là độ đo xác suất bất biến duy nhất
với giá C. Hơn nữa, ∀(u, v) ∈ C và f là μ∗ −
khả tích:
t

1
P{lim ∫ f(ζu,v (s) , ηu,v (s))
t→∞ t
0


26

Journal of Transportation Science and Technology, Vol 20, Aug 2016

= ∫ f(u′ , v ′ )π∗ (du′ , dv ′ )} = 1
ℝ2

Kết quả này đã được chứng minh trong [9].

Hơn nữa, từ [12] ta được
̂(t, (u, v), . ) − π∗ (. )|| → 0, ∀(u, v) ∈ C,
lim ||P

t→∞

với ‖. ‖ là chuẩn biến phân toàn phần theo điều
kiện Hormander ∎
3. Kết luận
Trong trường hợp hệ suy biến, với giả thiết
tập
các
vector
A, B, [A, B], [A, [A, B]],
[B, [A, B]], …là span của ℝ2 ta đã mô tả giá của
độ đo bất biến μ∗ và kiểm tra tính ergodic của
hệ bằng việc xét tính điều khiển của hệ. Ngoài
ra, do khuôn khổ có hạn của bài báo, ta có thể
chứng minh được với những điều kiện thích
hợp, hệ tất định của (1) sẽ tồn tại phân phối
dừng và hệ này cũng có tính ergodic.
4. Lời cảm ơn
Bài báo này được tài trợ một phần từ đề tài
“Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của hệ sinh
thái với môi trường ngẫu nhiên” với mã số
KH1511. Ngoài ra, tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn đến nhóm nghiên cứu đã quan tâm giúp đỡ
cho nhiều ý kiến hết sức xác đáng và giá trị.
Cuối cùng, tác giả còn xin chân thành cảm ơn
Viện nghiên cứu Cao cấp về toán (VIASM),

Viện Đào tạo và Hợp tác Quốc tế (IEC), Khoa
Cơ bản Trường ĐH GTVT Tp. HCM đã tạo
điều kiện thuận lợi để bài báo được hoàn
thành
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Hữu Dư (2005), Điều khiển tối ưu hệ tất định
và ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà
Nội.

[2] Trần Đình Tướng (2015), Ngưỡng cho sự phát
triển bền vững và tuyệt chủng của mô hình quần thể
ngẫu nhiên có hàm đáp ứng dạng Crowley-Martin,
Tạp chí khoa học công nghệ vận tải, số tháng 8.
[3] Du. N. H., Dang N. H., Yin G. (2016), Conditions for
permanence and ergodicity of certain stochastic
predator-prey models, J. Appl. Prob. 543, no. 1, 187
- 202.
[4] Gause, G. F. (1934) The Struggle for Existence,
Williams and Wilkins, Baltimore.
[5] Ji C., Jiang D. (2011), Dynamics of a stochastic
density dependent predator-prey system with
Beddington-DeAngelis functional response. J. Math.
Anal. Appl., no. 1, 441-453.
[6] Liu, X. Q.; Zhong, S. M.; Tian, B. D.; Zheng, F. X.
(2013), Asymptotic properties of a stochastic
predator-prey model with Crowley-Martin
functional response. J. Appl. Math. Comput. 43, no.
1-2, 479 - 490
[7] Lotka, A. J. (1925), Elements of Physical Biology,
Williams and Wilkins, Baltimore.

[8] Jurdjevic, V. (2009), Geometric Control Theory,
Cambridge University Press, Vol. 52.
[9] Kliemann, W. (1987), Recurrence and invariant
measures for degenerate diffusions. Ann. Probab.,
no. 2, 690-707.
[10] Stettner, L. (1986), On the existence and uniqueness
of invariant measure for continuous time Markov
processes. LCDS Report No. 86-16, Brown
University, Providence.
[11] Ichihara, K., Kunita, H. (1977), A classification of the
second order degenerate elliptic operators and its
probabilistic characterization, Z. Wahrsch. Verw.
Gebiete, 235-254.
[12] Ikeda, N., Watanabe, S. (1989), Stochastic
differential equations and diffusion processes.
Second Edition, North-Holland Publishing Co.,
Amsterda.

Ngày nhận bài: 25/07/2016
Ngày chuyển phản biện: 28/07/2016
Ngày hoàn thành sửa bài: 13/08/2016
Ngày chấp nhận đăng: 20/08/2016