016 đề thi HSG toán 9 huyện lai vung 2018 2019

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN LAI VUNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2018-2019
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1. (4,0 điểm)
1. Tính A 



8 3 2  2 5



2  10 0,2



2. Tìm các số tự nhiên n sao cho B  n2  2n  18 là số chính phương
3. Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a chia cho 13 dư 2 và b
chia cho 13 dư 3 thì a 2  b2 chia hết cho 13
Câu 2. (4,0 điểm)
1. Cho biểu thức C 





2 x 3
x x 3
x 3


. Tìm diều kiện xác
x 2 x 3
x 1
3 x

định và rút gọn C
2. a) Chứng minh

x4  1 

1
x 2  4  với mọi số thực x. Dấu đẳng thức xảy

17

ra khi nào ?

1
b) Cho a, b là các số thực thỏa mãn a 2  b 2  . Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
biểu thức D  a 4  1  b4  1
Câu 3. (4,0 điểm)
1. Giải các phương trình sau:
a) x4  2 x3  4 x  4

1
1
b) 2  x  2   2 x  1
x
x
2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:
An dự định đi từ A đến B bằng xe đạp điện trong khoảng thời gian nhất
định. Nếu An đi với vận tốc 20km / h thì đến B sớm 12 phút. Nếu An đi với
vận tốc 12km / h thì đến B trễ 20 phút. Tính quãng đường AB và thời gian dự
định đi lúc đầu của An
Câu 4. (4,0 điểm)
1. Cho hình vuông ABCD và điểm M thuộc cạnh BC ( M khác B, C). Một
đường thẳng đi qua A và vuông góc với AM cắt CD tại N
a) Chứng minh BM  DN
AM
b) Tính tỉ số
MN
2. Cho tam giác ABC , đường cao AH . Trên tia đối tia AH lấy điểm D sao cho
AD  BC. Tại B kẻ BE  AB sao cho BE  AB (E và C thuộc hai nửa mặt
phẳng đối nhau từ bờ là AB). Tại C kẻ CF  AC sao cho CF  AC (F và B


thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau từ bờ AC ). Chứng minh ba đường thẳng
DH , BF và CE đồng quy
Câu 5. (4,0 điểm)
Cho đường tròn  O; R  và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M
di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A, vẽ các tiếp tuyến ME, MF với
đường tròn  O  ,( E, F là các tiếp điểm). Đường thẳng chứa đường kính của đường
tròn song song với EF cắt ME, MF lần lượt tại C và D. Dây EF cắt OM tại H, cắt
OA tại B

1. Chứng minh rằng: OAOB
. không đổi
2. Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đường
thẳng d
3. Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích của HBO lớn nhất.


ĐÁP ÁN
Câu 1.
1) A  8  3 2  2 5


 2





 2 2 3 2 2 5





2  10 0,2




2   2 5    2 

2  20

2

5 2 2 5

2

 20  2  18
2) Đặt n2  2n  18  a 2
2
 a 2   n  1  17   a  n  1 a  n  1  17

Vì a  , n    a  n  1   a  n  1 ;17 là số nguyên tố
Suy ra a  n  1  17(*) và a  n  1  1  a  n  2
Thay a  n  2 vào (*) tính được n  7
3) Do a chia cho 13 dư 2 nên a  13x  2  x  
b chia cho 13 dư 3 nên b  13 y  3 y  

 a 2  b 2  13x  2   13 y  3
2

2

 169 x 2  52 x  4  169 y 2  78 y  9
 13.13 x 2  4 x  13 y 2  6 y  1  13K 13
Vậy a 2  b2 chia hết cho 13 dfcm 
Câu 2.
1. Điều kiện xác định: x  0, x  9
C





x x 3 2




  x  3
x  1 x  3
2

x 3 



x 1

x x  3  2 x  12 x  18  x  4 x  3





x 1

x 3



x  3  x  8 



x

1
x

3
x

1
x

3
 
  


x x  3x  8 x  24

2a) Ta có

x4  1 

x8
x 1

2
1
x 2  4   0  17  x 4  1   x 2  4   0

17

Mà 17  x 4  1   x 2  4    4 x 2  1  0 với mọi x
2

2


Vậy 17  x 4  1   x 2  4  hay
2

x4  1 

Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  

1
x2  4

17

1
2

1
a 2  b2  8


17
1
1 1
17

.  8  
Mà a 2  b 2   D 
2
2
17  2

1
17
Vậy GTNN của D là
khi a  b 
2
2
Câu 3.
1a) x4  2 x3  4 x  4 (1)
1  x 4  2 x3  x 2  x 2  4 x  4
2b) Áp dụng kết quả câu 2a) ta có: D 

 x 2  x  1   x  2 
2

2

 x  x  1  x  2
 x2  2  x   2


 2
x
x

1


x

2


 x  2 x  2  0(VN )

Vậy S  2
1
1
1b) 2  x  2   2 x  1 (3)
x
x
x  0
x  0


Điều kiện xác định  x  2  0  
1
2 x  1  0  x   2


 3  1  x 2 x  2  x  x 2 2 x  1

 1  x   x 2  x  2  2 x  1   0
 1  x   x 2 .

1 x
0
x  2  2x  1


 1  x  1 


x 1

x2

x2
0
1
 0(VN ...do..DK )
x  2  2x  1 
x  2  2x  1


Vậy S  1


2) Gọi x (giờ) là thời gian dự định đi lúc đầu ( x  0)
Theo đề bài ta có phương trình:
1
1



20  x    12  x    20 x  4  12 x  4  x  1(tm)
5
3


 1
Vậy thời gian dự định là 1 giờ, quãng đường AB dài 20.1    16km
 5
Câu 4.

B

A

M

N

C

D

1) a) ABM và ADN có:
AB  AD, ABM  ADN  900 ; BAM  DAN  900  MAD
nên ABM  ADN ( g.c.g )  BM  DN
b) Vì ABM  ADN  AM  AN  AMN vuông cân tai A

AM


Do đó
MN

AM 2
MN 2



AM 2
AN 2  AM 2



AM 2
2 AM 2



2
2


D

A

F
I

E

1

B

2

H

C

2) DAC và BCF có:
DA  BC ( gt ); AC  CF ( gt ); DAC  BCF  900  ACH
Nên DAC  BCF  ACD  F
Mà ACD  DCF  900  F  DCF  900
Gọi I là giao điểm của BF và DC . Trong CIF có F  DCF  900
 CIF  900 hay DC  BF
Chứng minh tương tự ta được: DB  CE
Trong DBC có DH , CE, BF là các đường cao nên chúng đồng quy


Câu 5.

M
E C

H

A

B NK O

F
D
OE  OF   R 
 OM là đường trung trực của EF  OM  EF
1. Ta có 
ME

MF

OB OH
HOB AOM 

 OA.OB  OH .OM
(1)
OM OA
(2)
EOM vuông tại E, đường cao EH nên OE 2  OH .OM
2
2
.  OE  R (không đổi)
Từ (1), (2) suy ra OAOB
R2
2
2. Vì OA.OB  R  OB 
mà R không đổi do đó OB không đổi mà O cố
OA
định nên B cố định

Vậy khi điểm M di chuyển trên đường thẳng d thì EF luôn đi qua điểm cố định B
BO
3. Gọi K là trung điểm của OB , mà BHO vuông tại H nên HK 
2
Do OB không đổi nên HK không đổi
HN .BO
Kẻ HN  BO , ta có: S BHO 
2
Vì BO không đổi, nên S HBO lớn nhất  HN lớn nhất
Mà HN  HK , dấu "  " xảy ra  N  K
Vậy S HBO lớn nhất  HBO vuông cân tại H  MO tạo với OA một góc 450