025 đề thi HSG toán 9 huyện thạch hà 2018 2019

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THẠCH HÀ
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 9
NĂM HỌC 2018-2019
Bài 1.



a) Tính giá trị của A  4  15



10  6



4  15

b) Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
2018
2019
M
M
x2  2 x  3
x  2x  3
Bài 2. a) Cho 3 số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn a  b  c  0. Chứng minh:

1 1 1
1 1 1




 
a 2 b2 c 2 a b c
1 1
1 1
1
1
 2  1  2  2  ....  1 

2
2
1 2
2 3
2018 20192
Bài 3. a) Cho đa thức f  x  , tìm dư của phép chia f  x  cho  x  1 x  2  . Biết

b) Tính giá trị của B  1 

rằng f  x  chia cho x  1dư 7 và f  x  chia cho x  2 dư 1

b) Giải phương trình x3  3x2  2 x  6  0
c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x2  y 2  17  2 xy
Bài 4. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a
b
c
a)


2
bc ca ab

1
1
1
b)
là độ dà ba cạnh của một tam giác.
;
;
ab bc ca
Bài 5.
1) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH , trung tuyến AM , phân giác
4
AI . Tính HI , IM biết rằng AC  AB và diện tích tam giác ABC là 24cm2
3
2) Qua điểm O nằm trong ABC ta vẽ 3 đường thẳng song song với ba cạnh
của tam giác. Đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC, BC lần lượt
tại E và D, đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại
M và N, đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB, BC lần lượt tại
F , H . Biết diện tích các tam giác ODH , ONE, OMF lần lượt là a 2 , b2 , c 2 .
a) Tính diện tích S của tam giác ABC theo a, b, c
b) Chứng minh rằng S  3 a 2  b2  c2 


ĐÁP ÁN
Bài 1.
a) Ta có:

 10  6   4  15  4  15   8  2
3  . 5  3    5  3  5  3   2

A  4  15





5

15



5 3



2

b) Điều kiện xác định của biểu thức M là
 x  1
x 2  2 x  3  0   x  1 x  3  0  
x  3

x  0
2 x  3  0
 2
 x3
Điều kiện xác định của biểu thức N là 
x  2x  3  0 x  2x  3


Bài 2.

a) Ta có:
1 1 1
1
1  1 1 1 2 a  b  c
1 1 1
 1






2





 2  2  2 
2
2
2
abc
a b c a b c
 ab bc ca  a b c
1 1 1
1 1 1
1 1 1
 2 2 2
 2 2   

2
a b c
a b c
a b c
b) Với n là số nguyên dương, từ câu a ta thay a  1, b  n, c  n  1 ta có:
2

1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
 2
  
 1 2 
1 
2
2
2
1 n  n  1
1 n n  1
n  n  1
n n 1

Do đó:
1
1 

1
4076360
 1 1  1 1

B  1     1     ....  1 


  2019 
2019
2019
 1 2  2 3
 2018 2019 
Bài 3.
a) Gọi dư của phép chia f  x  cho  x  1 x  2  là ax  b

Ta có : f  x   p  x . x  1  7  q( x). x  2   1  k  x . x  1 x  2   ax  b
a  b  7
3a  6
a  2
Thay x  1, x  2 được 
.



2
a

b

1

b

7

a
b

5



Do đó dư cần tìm là 2 x  5

b) Phương trình  x3  x 2  4 x 2  4 x  6 x  6  0   x  1  x 2  4 x  6   0

Vì x2  4 x  6   x  2   2  0 nên phương trình có nghiệm duy nhất x  1
2


c) Phương trình  x  y    2 x   17   x  y    2 x   12  42 .
2

2

2

2

Vì 2x chẵn nên ta có


y  2 1
y  3

 x  2  y  2  1  
 y  2  1  y  1
2x  4  

y  2 1
 y  1
x  2  y  2 1 


 y  2  1  y  3
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên là:
 x; y    2;1;  2;3;  2; 3;  2; 1
Bài 4.
a
2a

. Tương tự:
bc abc
b
2b
c
2c

;

ca a bc a b a bc

Cộng vế theo vế các BĐT này lại ta được:
2 a  b  c
a
b
c



2
bc ca ab
abc
b)
Ta có :

a) Vì a  b  c 

c  a  b  2c  2a  2b  3c  3a  2b  4c  4a  a  2b  c 

4
1

a  2b  c c  a

1 1
4
1
1
4
 
với x, y  0 ta có



x y x y
a  b b  c a  2b  c
1
1
1
Do đó


. Tương tự ta cũng có:
ab bc ca
1
1
1
1
1
1


,


bc ca ab ca ab bc
Áp dụng BĐT


Bài 5.
1)

A

C
B

M

H I

Diện tích tam giác ABC là 24cm2
 AB  6(cm)
4
suy ra AB. AC  48  AB. AB  48  
 AC  AB  HC  HB do
AC

8
cm
3


đó M nằm giữa H và C.
Ta có BC  AB2  AC 2  10cm
Suy ra MB  MC  MA  5cm  MAC cân  MAC  C mà C  BAH

 MAC  BAH  MAC  450  IAC và BAH  450  IAB . Do đó I nằm giữa
điểm H và điểm M.
AB 2
 3,6cm
Áp dụng hệ thức lượng ta có: AB  BH .BC  BH 

BC
2

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:
IB AB 3
IB IC IB  IC BC 10
30

 



  IB  (cm)
IC AC 4
3
4
3 4
7
7
7


24
5
cm và IM  BM  IB  cm
35
7

Do đó: HI  IB  BH 
2)

A
E
F
N

O

M
B

D

H

C

a) Dễ dàng nhận thấy các tam giác ABC, ODH , EON , FMO đồng dạng
với nhau
Các tứ giác AFOE, BMOD, CHON là các hình bình hành nên OD  MB, EO  FA
Ta có:
2

2

SODH  OD   MB 
a
MB



 
 
S
S AB
 AB   AB 
2

(1)

2

S EON  EO   FA 
b
FA


 
 
S
S AB
 AB   AB 

(2)

2

S FMO  FM 
c
FM



(3)
 
S
AB
S
 AB 
Cộng vế theo vế 1 ,  2  ,  3 ta có:

a  b  c MB  FA  FM
2

 1 S  a  b  c
AB
S
b) Ta có :


S  3 a 2  b2  c 2    a  b  c   3 a  b  c   2  a 2  b2  c 2   2  ab  bc  ca 
2

  a  b    b  c    c  a   0 luôn đúng.
2

2

2

Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi a  b  c
Khi đó O là trọng tâm của tam giác ABC.

2