SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
Bài 1. (2,0 điểm)
a 1 a a 1 a2 a a a 1
với a > 0, a 1.
a
a a
a a a
a) Chứng minh rằng M 4.
6
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N
nhận giá trị nguyên?
M
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Cho các hàm số bậc nhất: y 0,5x 3 , y 6 x và y mx có đồ thị
lần lượt là các đường thẳng (d1), (d2) và (m). Với những giá trị nào của tham số
m thì đường thẳng (m) cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt tại hai điểm A
và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương?
b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di động
lần lượt trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua
điểm cố định I(1 ; 2) . Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của
1
1 .
N; từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q
2
OM
ON 2
Bài 3. (2,0 điểm)
17x 2y 2011 xy
a) Giải hệ phương trình:
x 2y 3xy.
b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho:
1
x y z z x (y 3).
2
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di
động trên (C ) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối
xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM
tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E. Các đường
thẳng BM và CN cắt nhau tại F.
a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng tích AMAN không đổi.
c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF
ngắn nhất.
Cho biểu thức: M
Bài 5. (1,0 điểm)
Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
KÌ THI CHỌN SINH HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2010-2011
Môn thi: TOÁN
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9
BÀIÝ
ĐIỂ
M
ĐỀ -ĐÁP ÁN
a 1 a a 1 a 2 a a a 1
với a > 0, a 1.
a
a a
a a a
a) Chứng minh rằng M 4.
6
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N
nhận giá trị nguyên.
M
Cho biểu thức: M
Bài 1
Do a > 0, a 1 nên:
a a 1 ( a 1)(a a 1) a a 1
a a
a ( a 1)
a
và
a a a a 1 (a 1)(a 1) a (a 1) (a 1)(a a 1) a a 1
a a a
a (1 a)
a (1 a)
a
1.a
(1,25đ M a 1 2
)
a
2,00
0,25
2
Do a 0; a 1 nên: ( a 1) 0 a 1 2 a
2
2 a
24
a
6 3
Ta có 0 N do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1
M 2
1.b
6 a
2
(0,75đ Mà N = 1 a 1 2 a 1 a 4 a 1 0 ( a 2) 3
)
a 2 3 hay a 2 3 (phù hợp)
M
Vậy, N nguyên a (2 3)
a) Cho các hàm số bậc nhất: y 0,5x 3 , y 6 x và y mx có đồ thị
lần lượt là các đường thẳng (d1), (d2) và (m). Với những giá trị nào của
tham số m thì đường thẳng (m) cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt
tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B có hoành
độ dương?
Bài 2
b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di
động lần lượt trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN
luôn đi qua điểm cố định I(1 ; 2) . Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M
và tung độ của N; từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
Q
2.a
1
1 .
2
OM ON 2
Điều kiện để (m) là đồ thị hàm số bậc nhất là m 0
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2,00
0,25
(0,75đ Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và (m) là:
)
0,5x 3 mx (m 0,5)x 3
Điều kiên để phương trình này có nghiệm âm là m 0,5 0 hay m 0,5
Phương trình hoành độ giao điểm của (d2) và (m) là:
6 x mx (m 1)x 6
Điều kiên để phương trình này có nghiệm dương là m 1 0 hay m 1
Vậy điều kiện cần tìm là: 1 m 0,5; m 0
Đặt m = xM và n = yN mn 0 và m 1
(*)
Nên đường thẳng qua ba điểm M, I, N có dạng: y = ax+b
0 am b
2 a b hệ thức liên hệ giữa m và n là 2m n mn
n b
2.b Chia hai vế cho mn 0 ta được: 1 2 1
m n
(1,25đ
2
2
1
4
4
1 2 1
1 2
1
)
1 2 2
5 2 2
m n
m n
mn
m n
m n
0,25
0,25
0,25
0,25
(**)
1
1 1
2 1
Q 2 2 ; dấu “=” xảy ra khi ; kết hợp (**): m = 5, n = 2,5
m n
m
n
5
0,25
(thỏa (*))
0,25
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là
1
5
0,25
17x 2y 2011 xy
a) Giải hệ phương trình:
x 2y 3xy.
Bài 3 (1)
1
b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho: x y z z x (y 3)
2
(2)
17 2
1 1007
9
x
y x 2011 y 9
490
Nếu xy 0 thì (1)
(phù hợp)
1 2 3
1 490
y 9
x
1007
9
y x
17 2
1 1004
3.a
y x 2011 y 9
(1,25đ Nếu xy 0 thì (1)
xy 0 (loại)
)
1 2 3
1 1031
18
x
y x
Nếu xy 0 thì (1) x y 0 (nhận).
9
9
KL: Hệ có đúng 2 nghiệm là (0;0) và
;
490 1007
3.b Điều kiện x ≥ 0; y z ≥ 0; z x ≥ 0 y ≥ z ≥ x ≥ 0
(0,75đ (2) 2 x 2 y z 2 z x x y z z x 3
)
( x 1)2 ( y z 1)2 ( z x 1)2 0
2,0 đ
0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
x 1
x 1
y z 1 y 3 (thỏa điều kiện)
z 2
z x 1
Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường
kính AB cố định. Gọi M là điểm di động
trên (C ) sao cho M không trùng với các F
điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng
M
của O qua A. Đường thẳng vuông góc
với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N.
Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) tại
B
C
A
O
điểm
thứ
hai
là
E.
Các
đường
thẳng
BM
Bài 4
và CN cắt nhau tại F.
a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F
(C )
E
thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng tích AMAN
không đổi.
N
c) Chứng minh rằng A là trọng tâm
của tam giác BNF khi và chỉ khi NF
ngắn nhất.
MN BF và BC NF
4.a A là trực tâm của tam giác BNF
(1,00đ FA NB
Lại có AE NB
)
Nên A, E, F thẳng hàng
CAN MAB , nên hai tam giác ACN và AMB đồng dạng.
4.b
AN AC
(0,75đ Suy ra:
AB AM
)
Hay AM AN AB AC 2R 2 không đổi (với R là bán kính đường tròn (C ))
0,25
3,0 đ
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2
3
Ta có BA BC nên A là trong tâm tam giác BNF C là trung điểm NF
(3)
Mặt khác:
0,25
CAN CFM , nên hai tam giác CNA và CBF đồng dạng
CN AC
4.c
CN CF BC AC 3R 2
BC CF
(1,25đ
)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: NF CN CF 2 CN CF 2R 3
không đổi
Nên:
NF ngắn nhất CN =CF C là trung điểm NF (4)
(3) và (4) cho ta: A là trong tâm tam giác BNF NF ngắn nhất
Bài 5 Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên.
Đặt:
S = 123456789101112
0,25
0,25
0,25
0,25
0,75
0,50
S
(1,00đ
(1) là một số nguyên
3467891112
100
)
hai chữ số tận cùng của S là 00
Mặt khác, trong suốt quá trình nhân liên tiếp các thừa số ở vế phải của (1),
nếu chỉ để ý đến chữ số tận cùng, ta thấy
S
có chữ số tận cùng là 6 (vì
100
34=12; 26=12; 27=14; 48=32; 29=18; 811=88; 812=96)
Vậy ba chữ số tận cùng của S là 600
0,25
0,25