067 đề HSG toán 9 hạ hòa 2015 2016

Ề

IC Ọ
ỘI UYỂ
ỌC SI
ĂM ỌC 2015 – 2016

Môn: TOÁN
21
12

ĐỀ CHÍNH THỨC

IỎI

2015

(Đề thi có 1 trang)
Câu 1 (3,0 điểm).
a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 4 x 2  8x  38  6 y 2
b) Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố.
Câu 2 (4,0 điểm).







a) Cho x  x 2  2015 y  y 2  2015  2015 .
Hãy tính giá trị của biểu thức A  x  y  2016.

3
3
3
b) Chứng minh rằng: Nếu ax  by  cz và

3

1 1 1
   1 thì
x y z

ax 2  by 2  cz 2  3 a  3 b  3 c .

Câu 3 (4,0 điểm).

a) Giải phương trình: 4  x 2  4 x  2   11 x 4  4
2

 x( x  y )  y  4 y  1  0
b) Giải hệ phương trình: 
2
2

 y( x  y)  2 x  7 y  2

Câu 4 (7,0 điểm).
Cho đường tròn (O, R) và dây cung BC cố định (BC < 2R). Điểm A di động
trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ các đường cao AD,
BE, CF cắt nhau tại H.
S

a) Chứng minh AEF và ABC đồng dạng và AEF  cos 2 A.
S ABC
b) Chứng minh rằng: SDEF  1  cos2 A  cos2 B  cos2 C .S ABC

c) Xác định vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho chu vi tam giác DEF đạt giá
trị lớn nhất.
Câu 5 (2,0điểm).
Cho a, b ,c
ố thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3
3
a  b  c3 a 2  b 2 b 2  c 2 c 2  a 2
P
 2


.
2abc
c  ab a 2  bc b 2  ca
-------HẾT------Họ và tên thí sinh:…………………………………, SBD:…………………
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm


ƯỚNG DẪN CHẤM CHỌ

ĂM

HỌC SINH GIỎI

ỌC 2015-2016

MÔN: TOÁN
Đây

ời giải ơ ược, thí sinh có lời giải khác m đúng thì giám khảo chấm vẫn chấm theo
th ng điểm dưới đây

ộ du

Bài

Giải phương trình nghiệm nguyên: 4 x2  8x  38  6 y 2
4 x2  8x  38  6 y 2  2x 2  4x  19  3y 2  2(x  1) 2  3(7  y 2 ) (*)

T thấy: 2(x  1) 2  7  y 2  y ẻ
T ại có: 7  y 2  0  y 2  7 . Do đó y 2  1  y  1
Lúc đó: 2(x  1) 2  18  (x  1)  3 nên x1  2; x 2  4
T thấy các cặp ố (2;1), (2;-1), (-4;1), (-4;-1) thỏ mãn (*) nên
củ phương trình.
Ta có n4 + 4 = n4 + 4 + 4n2 – 4n2
= ( n2 + 2)2 – ( 2n)2
= ( n2 – 2n + 2).( n2 + 2n+ 2)
Vì n
ố tự nhiên nên n2 + 2n+ 2 > 1 nên
n2 – 2n + 2 = 1
<=> n = 1
2

a

1

b





0,5
0,25
0,25
0,25

2



nghiệm

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Cho x  x 2  2015 y  y 2  2015  2015 . Hãy tính A iết: A  x  y  2016 ?





Nhân cả 2 vế củ đẳng thức đã cho với x  x 2  2015 t được:









2015 y  y 2  2015  2015 x  x 2  2015 (1)

a





Nhân cả 2 vế củ đẳng thức đã cho với y  y 2  2015 t được:









2015 x  x  2015  2015 y  y  2015 (2)
2

2

Cộng (1) với (2) theo vế rồi rút gọn t được: x + y = 0.
Vậy A = 2016.

2

) Chứng minh rằng: Nếu ax 3  by 3  cz 3 và
3

3

ax 2  by 2  cz 2  3

0,25

t t t 3
1 1 1
   t vì    1 (1)
x y z
x y z

1

1

1

4  x 2  4 x  2   11 x 4  4 (1)

 6  x 2  2 x  2   2  x 2  2 x  2   11


0,5
0,5

Suy ra: 3 a  3 b  3 c  3 t      3 t (2)
x y z
Từ (1) v (2) uy r điều phải chứng minh.

6  x2  2 x  2

0,75
0,25

ax 2  by 2  cz 2  3 a  3 b  3 c

Mặt khác: 3 t  x3 a  y3 b  z3 c

a

0,5

1 1 1
   1 thì
x y z

Đặt: ax 3  by3  cz 3  t . Ta có:

3

0,5

x2  2 x  2
 2  11 2
x2  2 x  2
x  2x  2

 x2  2 x  2 x2  2 x  2

0,5
0,25
0,5

0,5


do x2  2 x  2  ( x  1)2  1  0 với mọi x
0,5

x2  2 x  2
Đặt t 
(t > 0)
x2  2x  2
T được phương trình: 6t 2  11t  2  0

Giải (*) được t = 2 thỏ mãn yêu cầu
Nên t 

x 2  2x  2
x 2  2x  2
5 7

2

 4  3x 2  10 x  6  0  x 
2
2
3
x  2x  2
x  2x  2

0,5
2
 x 2  1  y ( y  x)  4 y
 x( x  y )  y  4 y  1  0



2
2
2
2
 y ( x  y )  2( x  1)  7 y
 y ( x  y )  2 x  7 y  2

 x2  1
x y  4

y


.
2
( x  y ) 2  2 x  1  7

y
 uv  4
 u  4v
 v  3, u  1
x2  1
, v  x  y t có hệ:  2
Đặt u 
 2

y
v  2u  7
v  2v  15  0
v  5, u  9

Dễ thấy y  0 , ta có:

b

 x2  1  y
 x2  x  2  0

 x  1, y  2


+) Với v  3, u  1 t có hệ: 
.

 x  2, y  5
x y 3
 y  3 x
 x2  1  9 y
 x 2  9 x  46  0


VN.
 x  y  5
 y  5  x
 y  5  x
KL: Vậy hệ đã cho có h i nghiệm: (1; 2) và (2;5)

0,5

0,5

0,5

 x2  1  9 y

+) Với v  5, u  9 ta có hệ: 

4

0,5

A

E
F
H

O
B

D

C

AE
AB
AF
Tam giác ACF vuông tại F nên co A =
.
AC
AE AF
 AEF ABC (c.g.c)
Suy ra
=
AB AC

T m giác ABE vuông tại E nên co A =
a

4

0,5
0,5
0,5


2

b

S
AE
Từ AEF ABC suy ra AEF     cos2 A
S ABC  AB 
S
S
Tương tự câu , BDF  cos2 B, CDE  cos2 C.
S ABC
S ABC
S S S S
S
Từ đó uy r DEF  ABC AEF BDF CDE  1  cos2 A  cos2 B  cos2 C
S ABC
S ABC

0,5
1,0
0,5

Suy ra SDEF  1  cos2 A  cos2 B  cos2 C  .S ABC

0,5

c) Chứng minh được OA  EF ; OB  DF ; OC  ED.

c

0,5

Có 2S ABC  2.(S AEOF  SBDOF  SCDOE )

0,5

 BC. AD  OA.EF  OB.FD  OC.ED

0,5

 BC. AD  R( EF  FD  ED )

0,5

BC. AD
R
Chu vi t m giác DEF ớn nhất khi v chỉ khi AD ớn nhất; AD ớn nhất
khi v chỉ khi A điểm chính giữ cung ớn BC.
 EF  FD  ED 

a2
b2

c2
2ab
2bc
2ac
P


 2
 2
 2
2bc 2ca 2ab c  ab a  bc b  ac
a 2 a 2  bc 1 b2 b2  ac 1 c2
c2  ab 1
M

 ;

 ;

 nên
2bc
2bc
2 2ac
2ac
2 2ab
2ab
2

Với các ố dương x, y t có
5

0,5

0,5
0,5
0,5

x y
  2  (x  y) 2  0 uôn đúng, dấu ằng
y x

0,25

xảy r khi v chỉ khi x = y.
Áp dụng t có:
 c2  ab
2ab   a 2  bc
2bc   b2  ac
2ac  3
P
 2




 



2

2
2ab
c

ab
2bc
a

bc
2ac
b

ac

 
 
 2

2+2+2 -

≥

3 9

2 2

Dấu ằng xảy r khi v chỉ khi = = c
a 3  b 3  c3 a 2  b 2 b 2  c 2 c 2  a 2
Kết uận :giá trị nhỏ nhất củ P 
 2



2abc
c  ab a 2  bc b 2  ca
ằng

0,5

9
khi a = b = c
2

Đính chính :Câu 5: P≥

0,25